Obligatorisk innleveringsoppgave - Veiledning Econ 3610, Høst 2013 Oppgave 1 Vi ser på en økonomi der det kun produseres ett gode, ved hjelp av arbeidskraft, av mange, like bedrifter. Disse kan representeres av én superbedrift, med produktfunksjonen: x γ N, (1) der x er produsert mengde, og N er mengden arbeidskraft som anvendes i produksjonen. Den produserte varen etterspørres av to grupper av konsumenter. Begge gruppene tilbyr også arbeidskraft i markedet. Gruppe A består av n identiske konsumenter, med preferanser gitt ved: U A αf A + a ln c A, (2) der f A er mengde fritid, og c A angir konsumet. Hver konsument har 1 tidsenhet tilgjengelig, som fordeles mellom arbeid, gitt ved h A, og fritid, slik at f A + h A 1. Konsumentene i A-gruppen har ingen eierrettigheter i bedriftene som produserer konsumvaren, slik at deres eneste inntekt kommer fra arbeidskraften de tilbyr i markedet. Den andre gruppen konsumenter, gruppe B, består tilsvarende av m identiske konsumenter, med preferanser gitt ved: U B βf B + b ln c B. (3) Også disse konsumentene fordeler 1 tidsenhet mellom arbeid og fritid. Hver konsument i gruppe B eier også en like stor andel av bedriftene, slik at hver av disse - i tillegg til arbeidsinntekt - har en inntekt R B π/m, der π er profitten som genereres i bedriften. Vi antar parameterverdier slik hver aktørs optimeringsproblem gir en indre løsning. a) Utled og tolk marginal substitusjonsbrøk mellom konsum og fritid for en konsument i A- gruppen. 1
MSB A (c A, f A ) A c A A f A a 1 α MSB utledes ved å sette nyttenivået til en konsument i A-gruppa til et gitt nivå; U A αf A + a ln c A U 0 A. Dette definerer f A som en funksjon av c A. Deriver enten utrykket implisitt, eller løs ut for f A, og deriver: f A U A 0 α a α ln c A MSB A df A dc A Brøken angir det subjektive bytteforholdet mellom konsum og fritid for en konsument i gruppe A. Med andre ord: Denne konsumentens betalingsvilje for konsum i enheter av tid, altså hvor mye konsumenten er villig til å jobbe for å øke konsumet med én enhet. Alternativt: Hvor mye fritid konsumenten skal ha i kompensasjon dersom konsumet reduseres med én enhet, gitt at nyttenivået ikke skal endres. Konsumvaren, og arbeidskraft, omsettes i markedet til prisene p og. Hver konsument maksimerer sin nytte for gitt budsjettbetingelse, og tar markedsprisene for gitt. Den representative superbedriften maksimerer profitten, gitt prisene. b) Løs maksimeringsproblemet for en konsument i gruppe A, og for en konsument i gruppe B. Utled etterspørsel etter konsumvaren, og tilbud av arbeidskraft, fra begge gruppene. Her er det viktig å sette opp problemene riktig, inkludert riktig budsjettbetingelse: En konsument i gruppe A løser problemet: max {αf A + a ln c A } gitt pc A h A (BB) f A,c A,h A c A f A + h A 1 (tidsbegrensningen) Dette problemet kan for eksempel løses ved å sette inn den andre betingelsen, og deretter sette opp følgende Lagrange-funksjon: L α(1 h A ) + a ln c A λ(pc A h A ) 2
Vi finner da konsumentens tilpasningsbetingelse ved å eliminere λ fra førsteordensbetingelsene: L α + λ 0 h A L a λp 0 c A c A a α p c A Tilpasningsbetingelsen gir oss sammen med budsjettbetingelsen etterspørsel og arbeidstilbud for hver konsument i gruppe A: c A (p, ) a α p (følger direkte fra (i)) h A (p, ) a α (følger ved å sette inn for c A i BB) Arbeidstilbudet er altså uavhengig av prisforholdet. Dette skyldes den spesifikke formen på nyttefunksjonen. Problemet for en konsument i gruppe B er helt tilsvarende, bortsett fra at en andel av profitten fra den representative bedriften inngår som gitt inntekt, i budsjettbetingelsen: Tilpasningsbetingelsen er gitt ved: max f B,c B,h B {βf B + b ln c B } gitt pc B h B + R B f B + h B 1 R B : π m (i) b c B β p og etterspørsel og arbeidstilbud følger fra denne og budsjettbetingelsen: c B (p,, R B ) b β p h B (p,, R B ) b β R B (ii) Det totale arbeidstilbudet, og den totale etterspørselen, finner vi ved å multiplisere etterspørsel og tilbud for hver konsument i de to gruppene med henholdsvis n og m. c) Løs bedriftens maksimeringsproblem, og utled funksjoner for faktoretterspørsel, tilbud av konsumvaren, og profitt. 3
Bedriftens profitt er gitt ved Π px N. Bedriftens maksimeringsproblem er dermed gitt ved: max {pγ N N} N Tilpasningsbetingelsen er gitt ved førsteordensbetingelsen: og denne definerer bedriftens etterspørsel etter arbeidskraft: pγ 1 2 N 0 (iii) N(p, ) 1 4 γ2 ( p Fra faktoretterspørselen følger tilbudsfunksjonen, og bedriftens profittfunksjon: ) 2 d) x(p, ) γ N(p, ) 1 2 γ2 p π(p, ) px(p, ) N(p, ) 1 p2 γ2 4 Sett opp betingelsene for generell markedslikevekt. Husk at det tilsammen er n + m konsumenter. Vis at prisen på konsumvaren, målt i tidsenheter (eller enheter av arbeidskraft), p/, i likevekt vil være gitt ved: ( p 2 n a α + m b ) 1 β γ 2 Betingelser for generell likevekt: N(p, ) nh A (p, ) + mh B (p,, R B ) 1 ( p 4 γ2 nc A (p, ) + mc B (p,, R B ) x(p, ) n a α R B π(p, ) m R B ) 2 a n α + m b β mr B p + m b β p 1 γ2 ( ) 1 p2 γ2 /m 4 4
To av disse likningene er tilstrekkelig for å regne ut p/, realprisen på konsumvaren. For eksempel kan vi sette inn for R B i likningen for likevekt i arbeidsmarkedet, og løse ut for p/: e) 1 ( p ) 2 a 4 γ2 n α + m b β 1 p2 γ2 4 1 ( p ) 2 a 2 γ2 n α + m b β ( p ) ( 2 2 n a γ 2 α + m b β p 2 Forklar kort hvorfor den relative prisen stiger i a/α og b/β synker i γ stiger i n og m ( n a α + m b β ) ) 1 γ 2 En økning i a/α tilsvarer en vridning i A-gruppens konsumenters preferanser mot høyere verdsetting av konsum relativt til fritid. Tilsvarende for b/β (gruppe B). Endringen i prisforholdet vil signalisere dette. Når konsumentene verdsetter konsum høyere (relativt til fritid) vil de tilby mer arbeidskraft i markedet, og etterspørre mer av konsumvaren, for gitte priser. For at likevekt skal opprettholdes må produksjonen opp, og dermed stiger prisen på konsumvaren, relativt til prisen på arbeidskraft. Når γ øker, stiger produktiviteten i produksjonen av konsumvaren. Dette betyr at arbeidskraft kaster mer av seg i form av økt produksjon. Dette gjenspeiles i en lavere pris på konsumvaren relativt til arbeidskraften (eller: en høyere pris på arbeidskraft relativt til konsumvaren). Når produktiviteten øker, vil bedriften etterspørre mer arbeidskraft, og tilby mer av konsumvaren, for gitte priser. For at likevekt skal opprettholdes, må konsumentene øke sin etterspørsel etter konsumvaren, og øke sitt arbeidstilbud. Dermed synker prisen på konsumvaren, relativt til prisen på arbeidskraft. Til slutt: Økt antall konsumenter i én eller begge grupper øker både arbeidstilbudet og etterspørselen etter konsumvaren (totalt), for gitte priser. For at bedriften skal være villig til å etterspørre mer arbeidskraft - og produsere mer av varen - må den relative prisen ned. Dette fordi marginalproduktiviteten er avtakende. Jo flere konsumenter, jo mindre produktiv blir arbeidskraften på marginen, og jo mer må konsumentene jobbe for det samme konsumet per individ. 5 1
f) Vis at allokeringen som realiseres i denne markedslikevekten er Pareto-optimal. Her gir oppgaveteksten svært lite hjelp. En tilstrekkelig besvarelse av denne deloppgaven fordrer enten en grundig forklaring av betingelsene for effektivitet (hva de er, og hvorfor), eller utledning av disse. I tillegg må det selvsagt vises at disse betingelsene er tilfredsstillt i markedsløsningen. Utledning av betingelsene følger. Med to grupper av konsumenter definerer vi effektivitet ved å sette nytten til den ene gruppen til et gitt nivå, og deretter finne de betingelser som sikrer at konsumentene i den andre gruppen ikke kan få høyere nytte ved en omallokering. Samfunnsplanleggerens problem blir dermed: max f A,f B,c A,c B,h A,h B,N,x n(αf A + a ln c A ) gitt m(βf B + b ln c B ) mu 0 B x γ N N nh A + mh B h A + f A 1 h B + f B 1 nc A + mc B x Problemet kan løses ved for eksempel å sette inn de fem siste betingelsene, og deretter sette opp Lagrange-funksjonen: c {}} A { L n α(1 h A) + a ln 1 n (γ nh A + mh }{{ B mc } B ) λ ( ) m(β(1 h B ) + b ln c B ) mub 0 N Førsteordensbetingelsene er gitt ved: L nα + n a 1 h A c A n γ 1 2 N n 0 γ 1 2 N α a c A (*) L n a 1 h B c A n γ 1 2 N m + λmβ 0 L n a 1 1 ( m) λmb 0 c B c A n c B 6
Ved å eliminere λ fra de to siste likningene, får vi: γ 1 2 N β b c B (**) Likningene (*) og (**) gir (sammen med den realøkonomiske rammen) betingelsene for effektiv allokering i denne økonomien. Vi vet fra likning (i) (konsument A s tilpasning) at: α a c A p Fra likning (ii) (konsument B s tilpasning) har vi at : β b c B p Til slutt har vi fra likning (iii) (produsentens tilpasning) at: γ 1 2 N p Betingelsene for effektivitet følger direkte fra disse tre, og vi har dermed vist at allokeringen som realiseres i markedet er effektiv. g) Besvar følgende spørsmål ved å drøfte kort: Finnes det flere Pareto-optimale allokeringer av ressursene i denne økonomien? En endring i eierforholdene til bedriften - for eksempel ved at eierrettighetene overføres fra B-konsumentene til A-konsumentene vil endre allokeringen. Vil dette endre markedslikevektens effektivitetsegenskaper? Den realøkonomiske rammen og betingelsene (*) og (**) definerer alle allokeringer i denne økonomien som er Pareto-optimale. Det finnes imidlertid mer enn én Pareto-optimal allokering, fordi vi har mer enn én konsument. I samfunnsplanleggerens problem blir allokeringen bestemt av nyttenivået som tildeles konsumentene i B-gruppa, U 0 B. I markedsløsningen vil eierrettighetene i økonomien bestemme hvilken Pareto-optimal allokering som realiseres. En endring i eierforholdene slik at eierrettighetene til bedriften overføres fra B-konsumentene til A-konsumentene vil endre allokeringen i retning av at A-konsumentene øker sitt konsum av fritid. Samtidig vil B-konsumentene redusere sitt konsum av fritid (øke arbeidstilbudet). Denne allokeringsendringen endrer imidlertid ikke effektivitetsegenskapene i markedsløsningen; markedsløsningen vil nå gi en annen Pareto-optimal allokering. 7
Oppgave 2 Vi skal nå se på en økonomi hvor det produseres tre varer. Vare 1 produseres kun ved hjelp av arbeidskraft, og produktfunksjonen er gitt ved F (N 1 ). Denne varen benyttes kun som innsatsfaktor, i produksjonen av de to andre varene. Produktfunksjonen for vare 2 er gitt ved G(N 2, z 1 ) der z 1 angir mengden av vare 1 som benyttes som innsatsfaktor i produksjonen, og N 2 angir mengden arbeidskraft. En gitt mengde arbeidskraft, N, er tilgjengelig i økonomien. I produksjonen av vare 3 benyttes ingen arbeidskraft, men både vare 1 og 2 brukes som innsatsfaktorer. Her er produktfunksjonen gitt ved H(y 1, y 2 ) der y 1 og y 2 angir mengden som benyttes av henholdsvis vare 1 og 2. Vi antar at alle varene produseres av mange små bedrifter, som representeres ved tre superbedrifter, uten markedsmakt. Tilsvarende er mange like konsumenter representert ved en representativ konsument. Denne konsumenten har nytte av konsum av vare 2 og 3, og preferansene er gitt ved nyttefunksjonen U(c 2, c 3 ). Den realøkononomiske rammen i denne økonomien er dermed gitt ved følgende sett av likninger, i tillegg til konsumentens preferanser: N N 1 + N 2 (1) x 1 F (N 1 ) (2) x 2 G(N 2, z 1 ) (3) x 3 H(y 1, y 2 ) (4) x 1 z 1 + y 1 (5) c 2 x 2 y 2 (6) c 3 x 3 (7) Samfunnsplanleggerens maksimeringsproblem, som løses av betingelsene for effektiv allokering av ressursene i økonomien, har 3 frihetsgrader (7 betingelser, 10 endogene variable: N 1, N 2, x 1, x 2, x 3, z 1, y 1, y 2, c 2, c 3 ). a) Sett opp samfunnsplanleggerens maksimeringsproblem, og vis at betingelsene for effektiv allokering kan skrives som: F (N 1 ) y 1 N 2 y 1 z 1 y 2 (8,9,10) 8
Samfunnsplanleggerens maksimeringsproblem er gitt ved: max U(c 2, c 3 ) gitt (1) (7) N 1,N 2,x 1,x 2,x 3,z 1,y 1,y 2,c 2,c 3 Avveiningene samfunnsplanleggeren står ovenfor kan formuleres som: Hvordan fordele arbeidskraften mellom produksjon av vare 1 og 2? Hvordan fordele produsert mengde av vare 1 mellom produksjon av vare 2 og 3? Hvordan fordele produsert mengde av vare 2 mellom produksjon av vare 3, og konsum? Problemet kan for eksempel løses ved hjelp av innsetting av alle syv betingelsene: U(c 2, c 3 ) U(x 2 y 2, x 3 ) ( bet. (6) og (7) ) U(G(N 2, z 1 ) y 2, H(y 1, y 2 )) ( bet. (3) og (4) ) U(G(N N 1, z 1 ) y 2, H(F (N 1 ) z 1, y 2 )) ( bet. (1),(2) og (5)) : Ũ(N 1, z 1, y 2 ) Førsteordensbetingelsene for maksimering av funksjonen Ũ er gitt ved: Ũ N 1 N 2 ( 1) + y 1 F (N 1 ) 0 Ũ z 1 z 1 + y 1 ( 1) 0 Ũ ( 1) + 0 y 2 y 2 (i) (ii) (iii) (8) følger direkte fra (i), (9) følger direkte fra (ii), og (10) følger direkte fra (iii). b) Forklar det økonomiske innholdet i hver av disse betingelsene. Betingelse (9) kan også skrives på følgende måte:. z 1 y 1 Illustrer betingelsen på denne formen i et badekardiagram. Forsøk å gi en forklaring på hvorfor allokeringen av den tilgjengelige mengden av vare 1 ikke er effektiv (eller Pareto optimal) hvis betingelsen ikke gjelder. De tre betingelsene definerer effektiv allokering av arbeidskraften, effektiv allokering av vare 1, og effektiv allokering av vare 2. 9
Betingelse (8); F (N 1 ) (8) y 1 N 2 viser at verdien av en marginal økning i konsumet av vare 2, målt i enheter av vare 3 (MSB mellom vare 2 og 3), må være lik det antall enheter av vare 3 som kan fremskaffes gjennom økt bruk av vare 1 som innsatsfaktor, dersom produksjonen av vare 2 reduseres marginalt ved en reduksjon i mengden arbeidskraft som benyttes, og den økte produksjonen av vare 1 benyttes som innsatsfaktor i produksjonen av vare 3. Arbeidskraften skal altså allokeres slik at den siste enheter kaster like mye av seg i begge anvendelser. Betingelse (9); y 1 z 1 (9) viser at MSB (med samme tolkning som for bet. (9)) må settes lik MTB mellom vare 2 og 3. Mengden av vare 3 som kan fremskaffes ved en marginal reduksjon i produksjonen av vare 2 ved en omallokering av vare 1, skal altså være lik den mengden konsumenten skal ha i kompensasjon (av vare 3) for en marginal reduksjon i konsumet av vare 2. Produsert mengde av vare 1 skal kaste av seg like mye i begge anvendelser, på marginen. Tilslutt viser betingelse (10); y 2 (10) at den direkte gevinsten i enheter av vare 3 ved å øke mengden av vare 2 som benyttes i produkjsonen må være lik mengden av vare 3 konsumenten må ha i kompensasjon for en marginal reduksjon i konsumet av vare 2. Siste enhet av vare 2 skal kaste like mye av seg i begge anvendelser. Når vi snakker om marginale endringer er det helt ok å tilnærme ved å si en enhets endringer. Det er heller selvsagt ikke slik at disse formuleringene er den eneste fasiten på hvordan tolkningene kan gjøres! Omskrevet viser betingelse (9) at allokeringen av vare 1 mellom produksjon av vare 2 og 3 må gjøres slik at den siste enheten gir like stor nytteøkning, uavhengig av hvor den plasseres. Venstresiden er altså økningen i produksjonen av vare 2 ved en marginal økning i bruken av vare 1 i produksjonen, multiplisert med nytteøkningen ved en marginal økning i 10
konsumet av vare 2. Produktet gir dermed nytteøkningen ved en marginal økning i z 1. Helt tilsvarende gir høyresiden nytteøkningen ved en marginal økning i bruken av vare 1 som innsatsfaktor i produksjonen av vare 3. Betingelsen kan illustreres i et badekardiagram, der en gitt mengde av vare 1 tilgjengelig angir bredden på diagrammet. Langs vertikal-aksen måles nytte per enhet av vare 1. Venstresiden i likningen vil synke i z 1, mens høyresiden vil synke i y 1, og punktet der de to er like gir optimal fordeling av vare 1. Til slutt: Dersom betingelse (9) ikke holder, for eksempel ved at venstresiden er større enn høyresiden, vil konsumentens nytte kunne økes ved en endring i allokeringen av vare 1 mellom produksjonen av de to varene. Dersom venstresiden er større enn høyresiden er mengden vare 1 som benyttes i produksjonen av vare 3 for høy, slik at en overføring av vare 1 til produksjonen av vare 2 vil gi en gevinst (økt konsum av vare 2) som er større enn kostnaden (redusert konsum av vare 3). I et fritt marked vil ressursene allokeres ved at alle aktørene tilpasser seg til gitte priser. Den representative konsumenten maksimerer sin nytte, for gitte priser, og gitt budsjettbetingelsen, mens hver av de tre representative bedriftene maksimerer sin profitt, for gitte priser. Vi antar at konsumenten eier både arbeidskraften og de tre bedriftene, og at alle inntekter i økonomien dermed må tilfalle konsumenten. Prisene på de tre produserte varene er henholdsvis p 1, og, mens arbeidskraften handles til prisen. c) Finn aktørenes tilpasningsbetingelser, og vis at den effektive allokeringen realiseres i markedslikevekten. Konsumentens optimeringsproblem: max c 2,c 3 U(c 2, c 3 ) gitt c 2 + c 3 R R : N + π 1 + π 2 + π 3 Problemet kan løses for eksempel ved hjelp av Lagranges metode, og tilpasningsbetingelsen er gitt ved: (K) Produsenten av vare 1 løser problemet: ved å sette: max N 1 {p 1 F (N 1 ) N 1 } p 1 F (N 1 ) (P.1) 11
Tilsvarende løser produsenten av vare 2 problemet: ved å tilpasse seg i følge de to betingelsene: max{ G(N 2, z 1 ) N 2 p 1 z 1 } N 2,z 1 N 2 z 1 p 1 (P.2.1) (P.2.2) Mens produsenten av vare 3 maksimerer sin profitt, ved å løse problemet: som gir følgende tilpasningsbetingelser: max{ H(y 1, y 2 ) p 1 y 1 y 2 } y 1,y 2 y 1 p 1 y 2 (P.3.1) (P.3.2) (K) og (P.3.2) gir direkte betingelse (10). Videre har vi fra (P.3.1) og(p.2.2) at: y 1 z 1 p 1 p 1 som sammen med (K) gir betingelse (9). Til slutt gir (P.1) og (P.2.1): Ved å bruke (P.3.1) får vi da: F (N 1 ) N 2 F (N 1 ) y 1 N 2 og dette gir oss, sammen med (K), betingelse (8). p 1 p 1 p 1 p 1 Dermed har vi vist at allokeringen som realiseres i markedslikevekten er effektiv. 12