Eksamen ECON H17 - Sensorveiledning

Transkript

1 Eksamen ECON22 - H7 - Sensorveiledning Karakterskala: B C D E F Oppgave ( poeng) a) f (x) = 2 x + x og f er kun definert for x >, slik at i hele sitt definisjonsområde er f (x) > og f er stigende. b) g (x) = 2x + 2 og g er definert for alle x, slik at g (x) = gir x = og dermed er g stigende for x < og synkende for x >. c) h x = x og h y = 2 y, og siden y2 alltid er positiv, må også x > være definisjonsområdet. Da er h stigende for x > og ikke definert for x <. h er synkende for y < og stigende for y >.

2 Oppgave 2 ( poeng) a) Sant. Kan vises direkte ved logaritmisk derivasjon: y(x) = x x Ta logaritmer på hver side: ln y(x) = ln x x = x ln x Deriver med hensyn på x: y (x) y(x) = ln x + x x Løs for y (x): y (x) = (ln x + )y(x) = x x (ln x + ) b) Usant. Følger direkte fra definisjonen i Sydsæter. Det stasjonære punktet vil her være et minimumspunkt. c) Sant. Konsumenten har kun insentiv til å arbeide dersom reallønna er høyere enn betalingsvilligheten for fritid. Dersom det hadde vært motsatt ville fritid vært verdsatt "for høyt". d) Konsumenten løser problemet: max U(c, f) gitt at w(t f) = pc der det er innsatt for tidsbudsjettet. Det gir at θ c λp = og λw= som de to førsteordensbetingelsene. Det gir oss at: c = wθ og f = T p c = T θ. Dermed er påstand sant, og direkte må da p w påstand 2 være galt fordi fritid er uavhengig av timelønna. Oppgave 3 (5 poeng) a) L = wl + qk λ(k L x ) () 2

3 Som har førsteordensbetingelsene: w λ(k L ) = (2) q λ(k L ) = (3) b) Vi bruker førsteordensbetingelsene til å finne at: w q = K L (4) K = w q L (5) Og dette kan vi sette tilbake i beskrankningen, som her er gitt ved K L = x. Det gir oss: ( ) w q L L = x (6) Løst for L gir det L = ( ) q w ( x ) (7) Siden problemet er helt likt for K kan vi umiddelbart få at K = ( w q ) ( x ) (8) c) i) Omhyllingsteoremet gir C w = L, og tilsvarende ii) C q = K Noter at ved en inkurie ble en i denne løsningen borte i oppgaveteksten. De studentene som har gjort et forsøk på denne oppgaven ble derfor ved sensur ettertrykkelig kompensert for dette. 3

4 d) ( q C = w w [ C = w ) ( q ( x ) ) + q ) ( w ( x + q q ( ) ] w (x ) ) (9) () Ved å derivere får vi da at: [ + w ( ) q + + q w ( ) ] (x ) () For full pott kan man stoppe her i oppgave d). e) Her kreves det å jobbe videre fra oppgave d) ved å vise at vi kan nå L. [ ( q + w ( q ) + w ( q ) + w ) ( q ) + w [ ( ( ( q ) ( + w ( ) ( q x w ) ) ) ) ( ) ) ( + [ ( + ] ( x [ + = L ] (x ] (x ) ] (x ) ) ) ) (2) (3) (4) (5) (6) 4

5 Oppgave 4 (5 poeng) Definert for x > og y >. Finner at: f x = x f y = 2 y (7) (8) f f xx = x 2 < (9) yy = < (2) 4y3/2 f xy = (2) Det gir oss at f xxf yy (f xy) 2 > og dermed er betingelsene for konkavitet tilfredsstilt. Oppgave 5 ( poeng) a) dy dx = 6x+y x 2y b) dy dx = y 2 xy+x c) nta at z = z(x, y). Da er z y = Fy F z gir dz dy variabler. der F (x, y, z(x, y)) = yz + y 2 xz. Det = z+2y. Vi må bruke partiellderivert-tegn fordi z er en funksjon av to y x Oppgave 6 (7 poeng) a) Sant. Fordi summen av en vares Cournot-elastisiteter og Engel-elastisitet må være, vet vi at dersom den er nøytralelastisk har den Cournot-elastisitet e =, og når den er et normalt gode, men ikke luksusgode er > E >. Da må e 2 > for at E + e + e 2 = skal kunne holde. b) Sant. Dette følger direkte fra homogenitetsegenskapene. c) Usant. En monopolist vil alltid tilpasse seg på den elastiske delen av etter- 5

6 spørselskurven. Oppgave 7 (8 poeng) a) ( + r)m + m 2 = ( + r)(c + pc 2 ) + c 2 + pc 22 Denne sier at total inntekt over livsløpet må være like stor som totalt forbruk over livsløpet. b) Lagrange-funksjonen blir: L = u(c, c 2 ) + ũ(c 2, c 22 ) λ(( + r)(c + pc 2 ) + c 2 + pc 22 ( + r)m m 2 ) (22) Som gir de fire førsteordensbetingelsene: u c λ( + r) = (23) u c2 λp( + r) = (24) ũ c2 λ = (25) ũ c22 λp = (26) c) I første periode: u c u c2 = p (27) For at konsumenten skal være indifferent mellom de to varene i periode, må det antallet enheter konsumenten må gi fra seg av gode 2 for å kjøpe en ekstra enhet av gode være nøyaktig det konsumenten er villig til å gi fra seg. I andre periode: ũ c2 ũ c22 = p (28) 6

7 Med samme tolkning som i første periode. Mellom periodene: u c ũ c2 = ( + r) (29) lternativet til å konsumere en enhet av gode i dag er å spare den enheten og konsumere ( + r) enheter i morgen, neddiskontert med en faktor (som beskriver konsumentens "utålmodighet"). u c = p( + r) ũ c22 (3) u c2 = p( + r) ũ c2 (3) u c2 = ( + r) ũ c22 (32) Med tilsvarende tolkninger. d) Vi har at c = c (p, r, R). Vi setter inn for R = (+r)m +m 2 og totalderiverer uttrykket c (p, r, ( + r)m + m 2 ). Det gir: dc dr = c r + c R R r = h r (c + pc 22 ) c R + m c R (33) Der den andre likheten fremkommer ved bruk av Slutskysammenhengen. Vi samler leddene og får: dc dr = h r + (m c pc 22 ) c R (34) Substitusjonseffekten er alltid negativ. Siden konsum i hver periode er fullverdig, ser vi at dersom det er negativ sparing (låning) i periode, med totalt konsum i periode større enn total inntekt i periode, vil konsum av c helt sikkert gå ned når renta øker fordi vi med sikkerhet kan si at inntektseffekten er negativ. En konsument med høy inntekt i periode, som sparer i periode møter to motstri- 7

8 dende effekter. Substitusjonseffekten er negativ, men inntektseffekten er positiv. Vi kan da ikke si noe om retningen på konsumet av c med sikkerhet. Oppgave 8 (5 poeng) a) Monopolisten løser: max x p(x)x c(x) (35) Med førsteordensbetingelse p (x)x + p(x) c (x) = (36) b) Husk at den inverse deriverte er gitt som: x (p) = p (x) (37) Da får vi: x (p) x + p(x) = c (x) (38) ( ) x p(x) x (p)p(x) + = c (x) (39) Så husker vi at ε = x (p)p x(p) multiplisere dette leddet med, som gir: som er definert negativ. Får å få tallverdien må vi da ( p ) = c (x) (4) ε 8

9 c) Vi løser problemet med den spesifikke funksjonen: max Bp ε p 2 kb2 p 2ε (4) Som gir førsteordensbetingelsen: ( ε)bp ε + kb 2 p 2ε = (42) Som med mellomregninger gir: p ε+ = kb (43) ε ( ) p = ε kb +ε (44) Det gir oss også at: ( x = B ε kb ( x = ε k ) ε +ε ) ε +ε B (45) +ε (46) d) Vi finner: k = ( ) ε + ε ε kb +ε ε B > (47) Vi ser altså at prisen øker når k øker. ngitt i elastisitet får vi: El k p = ( +ε ε El k p = + ε kb) ε +ε ε Bk ( kb) +ε ε (48) (49) 9

10 Vi ser at fordi ε > så må > El k p >. Oppgave 9 ( poeng) a) Fordi markedslikevekten kan betegnes som ns(p) = ND(p) ser vi at p må være en funksjon p = p(n, N) implisitt gitt fra denne markedslikevekten. b) Vi kan altså skrive: ns(p(n, N)) = ND(p(n, N)) (5) Og dermed kan vi finne ved derivasjon gjennom uttrykket med hensyn på n at: S + n ds dp n = n = N dd dp n (5) S ND p ns p < (52) Hvis vi antar stigende tilbudskurve og fallende etterspørselskurve, vet vi at S p > og D p <. Da finner vi at en økning i antall tilbydere reduserer likevektsprisen. Hva med likevektskvantum? X n = ND p n = ND ps ND p ns p > (53) Likevektskvantum øker. c) Tilsvarende som i b) løser vi: n ds dp N = D + N dd dp N = N (54) D ns p ND p > (55) Men siden N går ned, vil det bety at likevektsprisen går ned. Likevektskvantum

11 får da endringen: X N = ns p N = ns pd ns p ND p < (56) Likevektskvantum går ned når antall etterspørrere N går ned.