SØK400 våren 2002, oppgave 4 v/d. Lund

Transkript

1 SØK400 våren 2002, oppgave 4 v/d. Lund I denne oppgaven er det usikkerhet, men den eneste usikkerheten er knyttet til hvilken tilstand som vil inntreffe. Vi vet at det bare er to mulige tilstander, og vi vet hvilken verdi hvert verdipapir vil ha i hver av de mulige tilstandene. Vi vet også hvilken inntekt realinvesteringen vil gi i hver av tilstandene. Dessuten kjenner vi sannsynlighetene for hver tilstand. Jeg skal først se på hvor mye en vil få igjen i de to tilstandene dersom en investerer en krone, fordelt på de to verdipapirene. Dette er vist 1 ifigur1. Seinere i oppgaven er den samlede summen som investeres i de to verdipapirene ikke lik 1, men P 1, W, eller W I. Men det kan være en fordel først å studere dette enklere problemet. På aksene er inntegnet hvor stor inntekt en vil få itilstand1,y 1,ogi tilstand 2, Y 2. De to kraftig tegnede vektorene viser hva en får igjen hvis alt plasseres i ett av de to verdipapirene, henholdsvis (Y 1,Y 2 )=(R 11,R 12 ) og (Y 1,Y 2 )=(R 21,R 22 ). Hvis en andel a plasseres i papir 1 og 1 a ipapir 2, blir resultatet (Y 1,Y 2 )=a(r 11,R 12 )+(1 a)(r 21,R 22 ). Samlingen av slike punkter, for ulike verdier av a, er den rette linja som er stiplet gjennom endepunktene for de to vektorene. Hvis f.eks. a = 1/3 får vi punktet merket α, 2 og alle kombinasjoner der a (0, 1) finnes mellom endepunktene på vektorene. Hvis a<0 eller a>1, vil 3 (netto)inntekten (Y 1,Y 2 ) fortsatt ligge på den samme rette linja gjennom vektorenes endepunkter, men ikke lenger mellom endepunktene. For eksempel kan vi velge a = 5/2, d.v.s. vi investerer kroner 2,50 i papir 1 og minus kroner 1,50 i papir 2. Da oppnår vi punktet merket β. 4 1 Takk til Elisabeth Hågå forå gjengi figurene i Corel Draw. 2 Her har vi et lite teknisk problem: Vi har greidd å gjengi α i figuren i.pdf-filen når vi ser den på skjermen, men printeren vår skriver den ikke ut. Punktet α er på den fallende rette linja i figur 1, vektorsummen av de to kraftig tegnede vektorene, d.v.s. mellom disse to. 3 Vi antar at det er tillatt å investere en negativ sum i ett av de to papirene. Dette er nevnt i oppgaveteksten, niende linje. Hvis verdipapiret hadde vært risikofritt, svarer dette til et vanlig lån. Hvis papiret er risikabelt (d.v.s. hvis R i1 R i2 for dette papiret), kalles det et kort-salg (short-sale på engelsk), og skjer i praksis ved at en låner f.eks. en aksje, selger den med det samme, men dermed er forpliktet til å kjøpe den igjen seinere for å kunne levere den tilbake til utlåneren. Den må derved kjøpes tilbake uansett hvor dyr den er blitt, og kort-selgeren (låneren) vil være interessert i at aksjekursen på tilbakeleveringsdatoen blir så lav som mulig. 4 Punktet β er skjæringspunktet mellom den fallende rette linja og den horisontale aksen. 1

2 Det spesielle med β er at Y 2 =0. Detata =5/2 gir oss dette punktet, stemmer på figuren, og med tallene i del (e) av oppgaven. Mer generelt kan vi finne denne verdien av a ved å løse (Y 1,Y 2 )=a(r 11,R 12 )+(1 a)(r 21,R 22 )=(Y 1, 0), som er en vektorlikning, d.v.s. to likninger, i Y 1 og a. For å finne a er det nok å løse den ene. Om vi kaller a-løsningen for a 1,harvi a 1R 12 +(1 a 1)R 22 =0, som har løsningen 5 a 1 = R 22 /(R 22 R 12 ). Linja gjennom endepunktene for de to vektorene har stigningstall Z (R 12 R 22 )/(R 11 R 21 ), som er negativ i figur 1 og i det talleksempelet vikommertilidel(e)avoppgaven. Viskalnedenfordrøftehvasomvil skje hvis Z 0, men antar inntil videre Z < 0. Linja gjennom vektorenes endepunkter har dermed likningen Y 2 = R 22 + R 12 R 22 (Y 1 R 21 )= R 22R 11 R 12 R 21 + R 12 R 22 Y 1. R 11 R 21 R 11 R 21 R 11 R 21 Dette er mulighetsområdet for en investor som eier en krone, og som bare står overfor de to verdipapirene som investeringsmuligheter. Investoren må oppgi Z av Y 2 for å oppnå en enhet mer av Y 1, eller, om en vil, 1/ Z av Y 1 for å oppnå en enhet mer av Y 2. Vi finner skjæringspunktet med Y 1 -aksen, merket β påfigur1,vedå sette Y 2 = 0 i likningen for mulighetsområdet. Dette gir verdien Y 1 = R 12R 21 R 11 R 22 R 1, R 12 R 22 som definerer R 1. R 1 uttrykker altså hvor mye vi får igjen i tilstand 1 dersom vi investerer en krone på en slik måte at vi er sikre på åfåigjennøyaktig null i tilstand 2. Tilsvarende kan vi finne skjæringspunktet med Y 2 -aksen (som er så høyt oppe at det ikke er innenfor figur 1): R 2 R 22R 11 R 12 R 21 R 11 R Det fins selvsagt også en størrelse a 2 som gir den andelen som skal plasseres i papir nr. 1 når 1 a 2 plasseres i papir nr. 2, og vi krever at Y 1 =0. 2

3 Jeg nevnte ovenfor at vi oppnådde punktet β, d.v.s. (Y 1,Y 2 )=(R 1, 0), ved å investere et beløp a 1 ipapir1ogetbeløp1 a 1 i papir 2. Hvis vi nå reduserer begge disse investeringene med en faktor 1/R 1,betyrdetat a 1/R 1 blir investert i papir 1, og (1 a 1)/R 1 i papir 2. Da blir selvsagt også inntekten redusert til (Y 1,Y 2 )=(1, 0). Vi skal se nedenfor at dette gir oss svaret på del (a). Både før og etter at vi skalerte ned de nevnte investeringene i de to verdipapirene, var forholdet mellom dem a 1/(1 a 1)= R 22 /R 12. Det gjelder selvsagt uavhengig av hvor mye vi investerer totalt, at hvis og bare hvis vi holder fast ved dette forholdet mellom investeringer i de to papirene, vil den samlede avkastningen bli null i tilstand 2. (a) Vi må løse følgende likningssystem: R 11 x 1 + R 21 x 2 =1,R 12 x 1 + R 22 x 2 =0. Løsningen blir, dersom R 22 R 11 R 12 R 21 0, x 1 = R 22 R 22 R 11 R 12 R 21,x 2 = og vi ser at summen av disse blir x 1 + x 2 = R 12 R 22 R 11 R 12 R 21, R 22 R 12 R 22 R 11 R 12 R 21 P 1, som definerer P 1. P 1 kalles tilstandsprisen for tilstand 1. Vi ser at P 1 =1/R 1, og det er klart at de to størrelsene vi nettopp har funnet, x 1 og x 2, nettopp svarer til de to investeringene a 1/R 1 og (1 a 1)/R 1 som vi drøftet ovenfor. 6 Dersom vi bunter sammen verdipapir 1 til en verdi av x 1 og verdipapir 2tilenverdiavx 2,harvifått en bunt som til sammen kalles et Arrow verdipapir for tilstand 1: Et verdipapir som gir igjen 1 (krone, evt. 1 dollar) i tilstand 1 og ingenting ellers. Under tilsvarende forutsetninger kan vi konstruere Arrow verdipapirer for tilstand 2 (men det er det ikke spørsmål etter i oppgaven), og generelt i alle tilstander (dersom det er mer enn 2). 7 Vi må se nærmere på forutsetningene for å kunne konstruere slike Arrow verdipapirer, som er det samme som forutsetningene for at det skal eksistere 6 Tilleggsoppgave: Vis at det er mulig å velge a slik at vi får en sikker avkastning av investeringene. Hvor i figur 1 finner vi denne (Y 1,Y 2 )-vektoren? 7 To andre betegnelser på Arrow verdipapirer er Arrow-Debreu verdipapirer og elementære tilstandsbetingede krav. 3

4 entydig bestemte tilstandspriser. Hva skjer hvis nevneren R 22 R 11 R 12 R 21 er null? Det betyr at R 22 /R 21 = R 12 /R 11,altsåatdetovektorene i figur 1 er parallelle, d.v.s. de ligger oppå hverandre, bortsett fra at de kan ha ulik lengde. I så fall vil enhver investering i de to verdipapirene, uansett fordelingen mellom dem, gi en avkastningsvektor for de to tilstandene som ender opp langs den rette linja som går parallelt med de to vektorene. Vi sier da at de to vektorene er lineært avhengige, og likningssystemet for x 1 og x 2 har ikke noen løsning. 8 Det vil ikke eksistere en entydig bestemt tilstandspris for tilstand 1, og heller ikke for tilstand 2. Vi kan oppsummere: Hvis vi ønsker å investere i de to verdipapirene slik at vi bare får inntekt i tilstand 1, men med sikkerhet ingenting i tilstand 2, måviinvestereitopapireneiforholdetx 1 /x 2. Hvis vi investerer en krone på denne måten, får vi igjen R 1 i tilstand 1. Hvis vi derimot investerer P 1, får vi igjen en krone i tilstand 1. Helt tilsvarende kan vi definere tilstandsprisen for tilstand 2, P 2 1/R 2. (b) Maksimeringsproblemet for denne personen er gitt at max x 1,x 2,I π 1U(C 1 )+π 2 U(C 2 ), W = x 1 + x 2 + I, C 1 = R 11 x 1 + R 21 x 2 + f(i), C 2 = R 12 x 1 + R 22 x 2. Om vi setter disse tre likningene sammen, får vi mulighetsområdet, den avtakende rette linja i figur 2, C 2 =(C 1 f(i)) R 12 R 22 + R 11R 22 R 12 R 21 (W I). R 11 R 21 R 11 R 21 Vi velger i stedet å sette inn for C 1 og C 2, men beholde den første bibetingelsen, og få Lagrange-funksjonen L b = π 1 U(R 11 x 1 +R 21 x 2 +f(i))+π 2 U(R 12 x 1 +R 22 x 2 )+λ b (W x 1 x 2 I). Førsteordensbetingelsene kan skrives λ b = π 1 U (C 1 )R 11 + π 2 U (C 2 )R 12 = π 1 U (C 1 )R 21 + π 2 U (C 2 )R 22 = π 1 U (C 1 )f (I). 8 Dersom nevneren er ulik null, og de to vektorene er lineært uavhengige, sier vi at de utspenner (Y 1,Y 2 )-planet. 4

5 Av dette finner vi bl.a. følgende likning, som det er spurt etter: R 22 R 12 = π 1U (C 1 ) R 11 R 21 π 2 U (C 2 ). Venstre side i denne likningen er Z, mens høyre side er den marginale V substitusjonsbrøk mellom konsum i tilstandene 1 og 2, komme tilbake til tolkningen av denne likningen. Videre finner vi fra de samme førsteordensbetingelsene: C 1 / V C 2. Vi skal f (I) = R 12R 21 R 11 R 22 R 1. R 12 R 22 Denne likningen bestemmer I entydig, uavhengig av U-funksjonen, W, π 1 og π 2, og vi har dermed vist det oppgaven ber om. (c) Vi skal tolke likningen. Investoren har mulighet til, i ubegrenset omfang, å investere penger i de to verdipapirene slik at de gir null igjen i tilstand 2, men en avkastning R 1 itilstand1(pr.investertkrone). Det er naturlig å sammenlikne realinvesteringen med denne muligheten, siden realinvesteringen også gir avkastning bare i tilstand 1. For små I skal vi anta at den marginale avkastningen i tilstand 1 av åøkei er større enn R 1,og da er dette mer lønnsomt enn å investere i verdipapirene. Men siden f er konkav, er det rimelig å tro at vi kommer til et punkt der f (I) =R 1,ogda lønner det seg ikke åøkei ytterligere. 9 Forutsetningen for at vi i det hele tatt skal benytte realinvesteringsmuligheten er at f (0) >R 1. En forutsetning for at optimal I skal være entydig bestemt, uavhengig av nyttefunksjon, formue og sannsynligheter, er at de to vektorene som beskriver verdipapirenes avkastninger, ikke er lineært avhengig av hverandre. Når de ikke er det, fins det, som vi har sett, entydig bestemte tilstandspriser, d.v.s. verdien av å oppnå enøktinntektpå en krone i en bestemt tilstand er entydig bestemt i verdipapirmarkedene. I så fall vil en realinvestering bli foretatt utelukkende ved å sammenlikne avkastningen av den med disse tilstandsprisene. Dette vil gjelde mer generelt, for investeringer som har avkastning i mer enn en tilstand. Alle aktører som tar tilstandsprisene for gitt, og som har anledning til å tilpasse sin beholdning av verdipapirer optimalt, vil verdsette enhver investeringsmulighet ved å verdsette den tilhørende inntekten i 9 Vi ser at tolkningen svarer helt til det vi kjenner til under full sikkerhet: Hvis en investering med avtakende skalautbytte gir en sikker avkastning om en periode (og ellers ingenting), og den sikre renten er r, skal vi investere inntil det punktet der marginal avkastning er 1 + r. 5

6 hver tilstand ut fra disse tilstandsprisene, og deretter summere verdiene for alle tilstander. Hvis inntekten i tilstand s er Y s, for alle s, vil verdien av å ha krav på disse inntektene være P s Y s. s For en investering må denne summen sammenliknes med investeringskostnaden. Vi ser dermed at investoren først kan fastlegge I, uavhengig av sine individuelle preferanser, sin formue, og sannsynlighetene, og deretter fordele W I mellom de to verdipapirene. 10 På figur 2 er mulighetsområdet for (C 1,C 2 ) tegnet inn. Vi finner først punktet f(i) på den horisontale aksen. Hvordan I og f(i) fastlegges, er ikke illustrert i figuren. Deretter tegner vi inn de to vektorene fra figur 1 med startpunktet forskjøvet til (f(i), 0), og skalert opp med faktoren W I, sidendetnå er beløpet W I som skal investeres i verdipapirene, og ikke en krone. Mulighetsområdet blir nå en rett linje gjennom endepunktene til de to vektorene. Investoren har avtakende, konvekse indifferenslinjer i (C 1,C 2 )-diagrammet, og vil tilpasse seg der en av disse tangerer mulighetsområdet. Vi har dermed tolket likningen som ga likhet mellom Z og den marginale substitusjonsbrøk. (d) Maksimeringsproblemet uten verdipapir 2 løses på tilsvarende måte som i del (b). Lagrange-funksjonen blir L d = π 1 U(R 11 x 1 + f(i)) + π 2 U(R 12 x 1 )+λ d (W x 1 I). Førsteordensbetingelsene kan skrives Disse kan oppsummeres λ d = π 1 U (C 1 )R 11 + π 2 U (C 2 )R 12 = π 1 U (C 1 )f (I). f (I) =R 11 + π 2U (C 2 ) π 1 U (C 1 ) R 12, og det er ikke lenger mulig å bestemmer I uavhengig av nyttefunksjonen, formuen, eller sannsynlighetene. En annen måte å skrive likningen på girde 10 Dette vil faktisk også være optimalt hvis optimal I er større enn W. I så fall må realinvesteringen delvis finansieres med kort-salg av verdipapirer. 6

7 to uttrykkene for helningen til mulighetsområdet og den marginale substitusjonsbrøk: R 12 = π 1U (C 1 ) f (I) R 11 π 2 U (C 2 ). Det gjenstår å vise at venstre side her faktisk er helningen til mulighetsområdet. Figur 3 illustrerer dette. Ta utgangspunkt i punktet (WR 11,WR 12 ), endepunktet på den kraftig tegnede vektoren, som gir konsumet i de to tilstandene dersom hele formuen investeres i verdipapiret. Hvis nå en krone overflyttes fra verdipapiret til realinvesteringen, reduseres C 2 med R 12,mensC 1 får en nettoøkning f(1) R 11 f (0) R En videre overføring av penger fra verdipapiret til I gir punktene på den avtakende, konkave kurven. For hver krone som overflyttes fra verdipapiret til realinvesteringen, er reduksjonen i C 2 lik R 12,mens økningen i C 1 er lik f (I) R 11. Vi finner derfor en helning R 12 /(f (I) R 11 ). (Helningen avhenger altså avi, d.v.s. at i hvert punkt er helningen avhengig av den verdi på I som gir en f(i) lik den horisontale avstanden mellom verdipapir-vektoren og den konkave kurven.) (e) For å regne ut løsningen i talleksempelet, er det en fordel å starte med f (I), som er bestemt ut fra R is -ene. Denne gir I og f(i), og vi kan deretter løse for x 1 og x 2 fra førsteordensbetingelsene. Jeg fant I =4/9,f(I) =4/3. Førsteordensbetingelsene gir oss nå ( ) 1 2/3 4 = C1 C 2 =8C 1. C 2 Om vi setter inn uttrykkene for C 1 og C 2, gir dette oss en likning i x 1 og x 2. Den andre likningen får vi fra budsjettbetingelsen. ( 0,9x 1 +1,5x 2 =8 1,2x 1 + x ), 3 2=x 1 + x , gir x 1 = 85/9,x 2 =11,C 1 =1,C 2 =8. 11 Hvis nettoøkningen i dette utgangspunktet ikke er positiv, vil det ikke være interessant å benytte realinvesteringsmuligheten i det hele tatt. 7

8 (b) fortsatt: Hva skjer hvis Z 0? I så fall gir det ene verdipapiret minst like høy avkastning som det andre i begge tilstander, og bedre i minst en tilstand. (Jeg ser bort fra at de kan gi lik avkastning i begge tilstander.) Da sier vi at det ene verdipapiret vil dominere det andre. Hvis dette inntreffer, vil individene kunne skaffe seg sikre, uendelig store inntekter ved å etterspørre uendelig av det dominerende papiret og minus uendelig av det dominerte. Dette kalles risikofri arbitrasje. Vi antar at dette ikke kan beskrive en likevektssituasjon, m.a.o. at prisene på verdipapirene i dette tilfellet ville endres. Førsteordensbetingelsene for en indre løsning av maksimeringsproblemet kan ikke gjelde i dette tilfellet, siden de ville innebære at U < 0ienav tilstandene. Det er i strid med det vi forutsetter om U-funksjonen. 8

9 Y 2 R 22 a R 12 R 21 R 11 b Y 1 Figur 1: Inntekter som følger av å investere en krone i verdipapirene.

10 C 2 Eksempel på optimal tilpasning (W-I)R 22 U 2 U 1 (W-I)R 12 f(i) f(i)+(w-i)r 21 f(i)+(w-i)r 11 C 1 Figur 2: Mulighetsområdet med realinvestering og to verdipapirer

11 C 2 Eksempel på optimal tilpasning WR 12 (W-I)R 12 2 U U 1 (W-I)R 11 WR 11 (W-I)R+f(I) 11 C 1 Figur 3: Mulighetsområdet med realinvestering og ett verdipapir.