OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002

Transkript

1 Økonomisk institutt Universitetet i Oslo OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002 Oppgave (Eksamen V-98, oppg. ) Betrakt et individ som maksimerer forventet nytte. (a) Forklar hva som menes med sikkerhetsekvivalenten for et prospekt. Hvis et individ er risikoavers, hva er forholdet mellom sikkerhetsekvivalenten og forventningsverdien av prospektet? Betrakt de følgende to prospektene: P gir 00 kroner med sannsynlighet 2/3 og 200 kroner med sannsynlighet /3. P 2 gir 50 kroner med sannsynlighet /3, 50 kroner med sannsynlighet 5/9 og 300 kroner med sannsynlighet /9. (b) (c) Regn ut forventningsverdien for hvert av disse prospektene. Vis at P 2 kan ses på som et sammensatt prospekt som gir prospektet P 3 med sannsynlighet 2/3 og prospektet P 4 med sannsynlighet /3, hvor P 3 gir 50 kroner med sannsynlighet /2 og 50 kroner med sannsynlighet /2, og hvor P 4 gir 50 kroner med sannsynlighet 2/3 og 300 kroner med sannsynlighet /3. (d) Vis at ethvert risikoavers individ som maksimerer forventet nytte, foretrekker P framfor P 2. Oppgave 2 - Sikker og usikker finansinvestering (Eksamen H-90) Betrakt funksjonen U(C) = ae bc + d, der a, b, og d er konstanter, e er grunntallet for naturlige logaritmer og C er konsum.

2 2. Hvilke(n) betingelse(r) må a, b og d tilfredsstille for at E[U(C)] skal være en meningsfylt forventet-nytte-funksjon for et risikoaverst individ? Regn ut målene for absolutt og relativ risikoaversjon. Betrakt et individ som planlegger for en framtidig periode, og som har den oppgitte E[U(C)]- funksjonen med de(n) betingelsen(e) på a, b og d som du fant under punkt. Individet har en formue, W, som skal deles mellom to finansinvesteringer, W 0 og W. Det framtidige konsumet er lik summen av de framtidige verdiene av disse investeringene. W 0 vil øke til W 0 R 0, der R 0 er en sikker avkastning ( + renten). Den tilsvarende avkastningen på W er R, men denne er stokastisk. Individet betrakter W, R 0 og sannsynlighetsfordelingen til R som eksogene. 2. Gjør rede for individets maksimeringsproblem og løsningen av dette. 3. Drøft påstanden "Optimal W avhenger ikke av størrelsen på W." Anta i det følgende at R bare har to mulige utfall, R og R 2, der R > R 2. Sannsynligheten for R er p. 4. Beskriv løsningen på maksimeringsproblemet i dette tilfellet. Vis at under visse betingelser kan det optimale valget av W skrives som W = ln - b( R p ( R - R 0 ) ( - p )( R - R * R 2 ) ) 5. Finn ut i hvilken retning endringer i p, R, R 2, R 0 og b påvirker det optimale valget av W ut fra formelen i punkt 4. Forsøk å tolke det du finner. 6. Drøft om det er mulig at W * gitt ved formelen i punkt 4 kan være større enn W. Hva vil individet i så fall gjøre dersom det ikke er mulig å låne penger?

3 3 7. Drøft om det er mulig at W * gitt ved formelen i punkt 4 kan være negativ. Hva vil individet i så fall gjøre dersom det ikke er mulig å investere et negativt beløp med den usikre avkastningen R? 8. Drøft hva som vil skje hvis R < R 0, og hva som vil skje hvis R 2 > R Forsøk til slutt å drøfte: a. Vil de to situasjonene som er beskrevet i punkt 8 kunne inntreffe? b. Hvordan vil løsningen på punktene -4 se ut dersom individet i stedet er tiltrukket av risiko? Oppgave 3 (Eksamen V-00, oppg. ) En bonde (bonde ) dyrker poteter. Hvis det blir mildvær, blir avlingen 0. Hvis det blir frost, blir avlingen 2. Naboen (bonde 2), som vil være utsatt for samme vær, dyrker også poteter, men på en annerledes åker. Hvis det blir mildvær, blir avlingen 6. Hvis det blir frost, blir avlingen 4. De to bøndene lever på et isolert sted uten andre mennesker, og de konsumerer bare poteter. (Avlingene er nettotall, dvs. avling ut over behovet for settepoteter for den følgende perioden.) Sannsynligheten for mildvær er π, og sannsynligheten for frost er π. Begge bøndene oppfatter situasjonen slik den er beskrevet her. Anta at hver bonde i maksimerer forventet nytte πv X ) + ( π ) v ( X ), i ( Mi i Fi hvor v i er en strengt økende og strengt konkav nyttefunksjon, og hvor X Mi er konsumert mengde poteter for bonde i hvis det er mildvær, og X er konsumet hvis det blir frost. a) Illustrer i en Edgeworth-boks hvordan det kan tenkes at bøndene har nytte av å inngå en avtale om delvis bytte av avling. Du kan anta at avtalen vil bli inngått før været blir kjent, og at den oppfattes som bindende for begge parter. b) Vis i Edgeworth-boksen hvilke allokeringer som er Pareto-optimale. Bruk uttrykkene for forventet nytte til å utlede førsteordensbetingelsen for Pareto-optimale allokeringer. Anta i resten av oppgaven at for hver bonde i har funksjonen v i følgende form Fi

4 i 4 k i X v ( X ) = e, hvor k i er en positiv konstant, som kan være den samme for begge bønder eller ha to ulike verdier. c) Forklar betydningen av konstanten k i i denne nyttefunksjonen. d) Bruk resultatet under punkt b) til å finne et eksplisitt uttrykk for hvilke allokeringer som er Pareto-optimale. (Hint: Sett inn de eksplisitte funksjonsformene for v og v 2 i betingelsen under punkt b) og foreta en logaritmisk transformasjon.) Vis resultatet i Edgeworth-boksen, først for tilfelle der k = k2, og så for tilfellet der k = 4k2. e) Vis at den opprinnelige allokeringen er Pareto-optimal hvis k = 4 k2. Under hvilke betingelser vil bonde avgi avling i mildvær mot å få avling ved frost, og under hvilke betingelser vil det være omvendt? Om vi holder k 2 fast, drøft virkningen i Edgeworthboksen av at k 0, og gi en intuitiv forklaring på dette. Oppgave 4 - Tilstandsbetingede krav Anta at det bare er to mulige tilstander, s =,2, i neste periode. Det fins to verdipapirer, i =,2, og disse gir bruttoavkastning R is pr. investert krone når tilstand s inntreffer. Bruttovkastningene R is kan betraktes som eksogene. De er alle positive. (a) Vis betingelsen(e) for at det er mulig å plassere et beløp x i verdipapir og et beløp x 2 i verdipapir 2 slik at disse plasseringene til sammen gir igjen et beløp på (krone) i tilstand s = og 0 i tilstand s =2. Finn x, x 2 og x +x 2 uttrykt ved R is -ene. (Eventuelt kan x eller x 2 være negativ.) Vis situasjonen i et diagram. Anta i det følgende at betingelsene vist i punkt (a) holder. Betrakt en person med nyttefunksjonen V = E[U(C)] = π U(C ) + π 2 U(C 2 ), der C er neste periodes usikre konsum, π s er sannsynligheten for tilstand s, π + π 2 =,

5 5 C s er konsumet i tilstand s, U( ) er voksende og konkav. Personen har en formue, W, som kan plasseres i de to verdipapirene og i en realinvestering, W = x + x 2 + I, der I er verdien av realinvesteringen. (Her refererer ikke lenger x og x 2 til de spesielle plasseringene i punkt (a) ovenfor.) Realinvesteringen gir bare avkastning i tilstand s =. Den totale avkastningen i denne tilstanden er f(i), der f er en voksende, konkav funksjon. Vi kan anta at f (0) > R R - R R R - R (b) Formuler personens maksimeringsproblem og budsjettbetingelsene for de to tilstandene, når all avkastning av investeringene blir konsumert. Vis at følgende likning følger av førsteordensbetingelsene for maksimum når (R 22 -R 2 )/(R -R 2 ) > 0: R R 22 - R - R 2 2 = π π 2 U ( C U ( C 2 ) ) Vis at valget av I er uavhengig av U-funksjonen, av W, og av sannsynlighetene π og π 2 i dette tilfellet. Vis situasjonen i et diagram, og tolk resultatet. Hva vil skje hvis (R 22 -R 2 )/(R -R 2 ) < 0? (c) Ser du noen sammenheng mellom størrelsen på f'(i) i punkt (b) og størrelsen på x +x 2 i punkt (a)? Tolk resultatet. (d) Situasjonen er som under (b) bortsett fra at verdipapir 2 ikke fins. Blir valget av I fortsatt uavhengig av U-funksjonen og av π og π 2? Tolk resultatet. (e) Beregn de optimale x, x 2 og I under (b) når U(C) = 3C /3 f(i) = 2I /2

6 R =,2, R 2 = 0,9, R 2 =, R 22 =,5 π = 3/7, π 2 = 4/7, W=2. 6 Oppgave 5 (Eksamen H-96) (a) Forklar følgende spill-teoretiske begreper: (i) Et normal-form spill. (ii) En Nash-likevekt. (iii) Et gjentatt spill med diskontering. Hva er en spillers strategi i et slikt spill? (iv) En delspill-perfekt likevekt. (v) Et statisk spill med ufullstendig informasjon. Hva er en spillers strategi i et slikt spill? (vi) En Bayesiansk Nash-likevekt. (b) To identiske bedrifter utgjør et duopol. Hvis ingen av bedriftene reklamerer, oppnår hver av bedriftene en profitt lik Anta at reklame ikke er markedsutvidende, men i stedet virker til å overføre etterspørsel til den reklamerende bedriften. Det koster 4000 for en bedrift å reklamere. Slik reklame fører til at den reklamerende bedriftens profitt, eksklusive reklameutgiftene, øker med 6000, og at den andre bedriftens profitt reduseres med Hvis begge bedriftene reklamerer, oppveies derfor virkningen på bedriftenes profitt eksklusive reklameutgiftene. (i) Still opp denne situasjonen som et statisk spill på normal form, og vis at den entydige Nash-likevekten innebærer at begge bedriftene reklamerer. (ii) Anta så at denne situasjonen gjentas slik at den kan modelleres som et uendelig gjentatt spill med diskontering. Vis at hvis diskonteringsfaktoren δ /3, finnes det en delspillperfekt likevekt som innebærer at ingen av bedriftene reklamerer. (c) Betrakt fortsatt de to identiske bedriftene som utgjør et duopol, og som hver oppnår en profitt lik 6000 hvis ingen av bedriftene reklamerer. Anta nå at reklamen er

7 7 markedsutvidende, og at denne markedsutvidende virkningen kommer begge bedriftene likt til gode uansett hvem som reklamerer. Det koster fortsatt 4000 for en bedrift å reklamere. Hvis bare en bedrift reklamerer, utvides markedet slik at profitten, eksklusive reklameutgiftene, øker med 3000 for hver av bedriftene. Hvis begge bedriftene reklamerer, utvides markedet slik at profitten, eksklusive reklameutgiftene, øker med 5000 for hver av bedriftene. (i) Still opp denne situasjonen som et statisk spill på normal form, og vis at den entydige Nash-likevekten innebærer at ingen av bedriftene reklamerer. (ii) Anta så at denne situasjonen gjentas slik at den kan modelleres som et uendelig gjentatt spill med diskontering. Vis at hvis diskonteringsfaktoren δ 2/3, finnes det en delspillperfekt likevekt som innebærer at begge bedriftene reklamerer. (iii) Finnes det i det uendelig gjentatte spillet under punkt (ii) noen delspill-perfekt likevekt der reklame forekommer, hvis /3 δ < 2/3? (d) Betrakt på nytt situasjonen under del (c), men anta nå at det koster enten 2500 eller 4000 for en bedrift å reklamere. Hver bedrift vet om det er billig eller dyrt for en selv å reklamere, og har den oppfatning at det med sannsynlighet 0,5 er billig for den andre bedriften å reklamere, og at det med sannsynlighet 0,5 er dyrt for den andre bedriften å reklamere. (i) Still opp denne situasjonen som et statisk spill med ufullstendig informasjon, og bestem minst en Bayesiansk Nash-likevekt. (ii) Hva er mengden av Bayesianske Nash-likvekter i det statiske spillet under punkt (i)? Forsøk å argumentere for at en av disse likevektene er rimeligere enn de andre. Oppgave 6 Oppgavene 4.a, 4.2, 4.3a og første del av 4.5 i Gibbons Oppgave 7 (Eksamen V-99)

8 8 En selger (S) og en kjøper (K), som begge er risikonøytrale, vurderer om de skal gjøre en bruktbilhandel. Hvis bilen er i funksjonsdyktig stand, er den verd kr for S og for K. Hvis bilen er god, koster det 0000 kr å få reparert bilen slik at den kommer i funksjonsdyktig stand; hvis bilen er dårlig, koster dette kr. Vi antar at reparasjonene foretas etter at en eventuell handel er gjennomført. S kjenner til om bilen er god eller dårlig. Det gjør ikke K; han tror at begge typer biler er like sannsynlige. Forøvrig er alle opplysninger åpent kjent. (a) Betrakt følgende spill: "Naturen" velger om bilen er god eller dårlig. K velger dernest en pris (P) for bilen uten å ha kjennskap til om bilen er god eller dårlig. S kan så si ja (J) eller nei (N) til å selge bilen til denne prisen etter å ha fått kjennskap til om bilen er god eller dårlig. Hva menes med en strategi for K i dette spillet? Hva menes med en strategi for S i dette spillet? Hva menes med en perfekt Bayesiansk likevekt? Finn den perfekte Bayesianske likevekten i dette spillet. Vil begge typer biler bli omsatt? Anta så at S kan tilby en garanti, slik at de reparasjoner som K må gjennomføre etter en eventuell handel, blir dekket av S. Anta at det koster S 0 % ekstra å bekoste reparasjonene når bilen er i K's eie; dvs. S må i så fall betale 000 kr hvis bilen er god, og kr hvis bilen er dårlig, for å få bilen i funksjonsdyktig stand. (b) Betrakt følgende spill: "Naturen" velger om bilen er god eller dårlig. Etter å ha fått kjennskap til dette, velger S om hun vil selge bilen med eller uten garanti. K velger så en pris (P) for bilen etter å ha fått informasjon om S tilbyr garanti eller ikke, men uten å ha kjennskap til om bilen er god eller dårlig. S kan til slutt si ja (J) eller nei (N) til å selge bilen til denne prisen. Hva menes med en strategi for K i dette spillet? Hva menes med en strategi for S i dette spillet? Finn en perfekt Bayesiansk likevekt hvor bilen tilbys med garanti hvis bilen er god, og tilbys uten garanti hvis bilen er dårlig. (c) I spillet under (b), finnes det en perfekt Bayesiansk likevekt hvor bilen tilbys uten garanti hvis bilen er god, og tilbys med garanti hvis bilen er dårlig? (d) I spillet under (b), finnes det en perfekt Bayesiansk likevekt hvor bilen tilbys med garanti uansett om bilen er god eller ikke? Hva må i så fall K tro om bilen hvis den allikevel skulle tilbys uten garanti?

9 9 (e) I spillet under (b), finnes det en perfekt Bayesiansk likevekt hvor bilen tilbys uten garanti uansett om bilen er god eller ikke? Hva må i så fall K tro om bilen hvis den allikevel skulle tilbys med garanti? (f) Hvilken av de likevektene du har funnet, foretrekker S ex ante (dvs. før hun vet om bilen er god eller dårlig)? Hvilken av de likevektene du har funnet, foretrekker K? Oppgave 8 (Eksamen H-98, med en mindre endring) En bedrift engasjerer en arbeider for å utføre en arbeidsoppgave. Arbeideren kan velge enten gjøre stor innsats, e H = 2, eller liten innsats, e L =. Resultatet av utført arbeid er verifiserbart og kan enten være godt, x 2 = 8, eller dårlig, x = 0. La p(e) være sannsynligheten for et godt resultat hvis innsatsen er lik e, og la p(e) være sannsynligheten for et dårlig resultat hvis innsatsen er e, hvor e er lik enten e H eller e L. La p(e H ) = 2 3 og p(e L ) = 3. La w 2 være betalingen fra bedriften til arbeideren hvis resultatet er godt, og la w være betalingen fra bedriften til arbeideren hvis resultatet er dårlig. Bedriften ønsker å maksimere p(e)(x 2 w 2 ) + ( p(e))(x w ). Arbeiderens forventede nytte er gitt ved p(e)( w 2 e) + ( p(e))( w e) hvis innsatsen er lik e. Arbeideren er ikke villig til å la seg engasjere og yte innsatsen e hvis p(e)( w 2 e) + ( p(e))( w e) < 0. (a) Hva er den optimale kontrakten som bedriften kan tilby, hvis arbeiderens innsats kan verifiseres? (b) Hva er den optimale kontrakten som bedriften kan tilby, hvis arbeiderens innsats ikke kan verifiseres; dvs. at arbeideren må gis insentiver til å yte høy innsats? (c) Svar så på (a) and (b) nå under forutsetning av at x 2 = 2. (d) Gjør rede for den type ineffektivitet som skapes ved at arbeiderens innsats ikke kan verifiseres under hvert av tilfellene x 2 = 8 og x 2 = 2.

10 0 (e) La så p(e H ) = 2 og p(e L ) = 4. Svar på (a) and (b) under forutsetning av at x 2 = 24. Svar så på (a) and (b) under forutsetning av at x 2 = 32. I begge tilfeller holdes x fortsatt lik 0. Oppgave 9 (Eksamen V-00, oppg. 3) En monopolist som produserer og selger et produkt, har mulighet for å velge kvaliteten, q, på produktet. Enhetskostnaden avhenger av kvaliteten: c(q), hvor c > 0 og c > 0. Hver konsument ønsker å kjøpe én enhet av produktet eller ingenting. Monopolisten søker, for hver konsument, å maksimere p c(q), hvor p er produktprisen. Konsumenten søker å maksimere kq p, hvor k er en parameter som bestemmer betalingsvilligheten for kvalitet. Konsumenten kjøper produktet hvis og bare hvis kq p 0. Konsumentene er av to typer; en type som har høy betalingsvillighet for kvalitet, L H L en type som har lav betalingsvillighet for kvalitet, k = k, hvor k > k. H k = k, og a) Hvordan vil monopolisten bestemme pris og kvalitet for hver av de to typene, hvis monopolisten kan observere hvilken type hver enkelt konsument er, og videresalg blant konsumentene ikke er mulig? Gitt disse prisene, hvilken kvalitet ville begge typer konsumenter kjøpe hvis de fritt kunne velge blant de to variantene? b) Anta nå at monopolisten ikke kan observere hvilken type hver enkelt konsument er, men istedet tilbyr en meny av produkter til alle, bestående av en høykvalitetsvariant til høy pris og en lavkvalitetsvariant til lav pris. Skriv opp deltaker- og insentivforenlighetsbetingelsene for begge type konsumenter. Anta at monopolisten tror at en andel γ av konsumentene har høy betalingsvillighet, slik at problemet blir å maksimere H H L L γ ( p c( q )) + ( γ )( p c( q )), under deltaker- og insentivforenlighetsbetingelsene. Vis at prisen for høykvalitetsvarianten er bestemt ved H H H H L L = k q ( k k q, p ) og at førsteordensbetingelsen for lavkvalitetsvarianten er L γ H L k ( k k ) = c ( q γ Hvorfor er kvalitetsspredningen større under asymmetrisk informasjon? L ).

11 H L 2 c) Bestem pris og kvalitet for de to variantene når k = 3, k = 2, γ = 2, og c ( q) = 2 q. Gjør dette både under forutsetning av at monopolisten kan observere hvilken type hver enkelt konsument er, og under forutsetning av at dette ikke er mulig. Oppgave 0 - Pensjonsforsikring under asymmetrisk informasjon Konsumenter som vet hvor lenge de kommer til å leve, kan oppnå en optimal fordeling av konsumet over tid ved å spare for pensjonsalderen. Når levetiden er usikker, kan det være bedre med en pensjonsforsikring. La oss betrakte en økonomi hvor konsumentene lever i enten eller 2 perioder. Det er to typer konsumenter, type h med en høy sannsynlighet for å leve i periode 2 og type med en lav sannsynlighet. Sannsynlighetene angis med π h og π l, der > π h > π l > 0. Andelen av konsumentene som er av type, er gitt ved γ, og 0 < γ <. Det finnes ett konsumgode i denne økonomien, og alle beløp måles i enheter av dette godet. En konsument som har tilgjengelig x i periode og x 2 i periode 2 og dessuten har en sannsynlighet π for å leve i periode 2, har en forventet intertemporal nytte lik: U(x ) + πu(x 2 ), der vi implisitt antar at renten på kapitalmarkedet er lik null. Uten pensjonsforsikring har hver konsument en inntekt lik y i periode og 0 i periode 2. Pensjonsforsikring tilbys av en gruppe konkurrerende, risikonøytrale forsikringsselskaper i form av kontrakter (P, q), som innebærer at en konsument som betaler inn P i periode, får utbetalt q i periode 2 hvis hun lever da. (a) Illustrer markedet for pensjonsforsikring ved hjelp av et (x, x 2 )-diagram. Tegn inn kurver som representerer mengdene av aktuarisk rettferdige kontrakter for hver konsumenttype. Tegn også inn indifferenskurver for hver konsument-type. Hvorfor har den ene typen indifferenskurver som overalt er brattere enn den andre typens? (b) Ved symmetrisk informasjon, der forsikringsselskapene kjenner den enkelte konsuments π, tilbys den enkelte konsument en kontrakt som gjør x = x 2. Hvorfor? Marker kontraktene for de to konsumenttypene i diagrammet. (c) Ved asymmetrisk informasjon, der forsikringsselskapene ikke kjenner den enkelte konsuments π, tilbyr hvert selskap en meny av kontrakter, dvs. en kontrakt per konsument-

12 2 type. Gjør rede for hvorfor det ikke finnes noen ikke-separerende (pooling) likevekt. Hvilke kontrakter tilbys i en separerende likevekt i rene strategier, hvis en slik likevekt finnes? Marker kontraktene i den separerende likevekten i diagrammet. (d) Hva er det som gjør at en separerende likevekt ikke eksisterer for alle parameterverdier? (Bruk diagrammet.) Hva skjer i dette markedet dersom en separerende likevekt i rene strategier ikke finnes? (e) La oss anta at befolkningen i denne økonomien opplever en forbedret helse i den forstand at γ, andelen av konsumentene med lav sannsynlighet for å leve lenge, faller. Hvilke implikasjoner vil en slik helseforbedring kunne ha på virkemåten til markedet for pensjonsforsikring? (f) En offentlig pensjonsordning vil, i motsetning til den private og uregulerte vi har beskrevet så langt, kunne subsidiere den ene konsument-typen på bekostning av den andre. La oss tenke oss at det offentlige forbyr private pensjonsordninger og istedet tilbyr en meny av forsikringskontrakter til selvkost, slik at forventet profitt ved salg av denne menyen til hele befolkningen er lik null. Diskuter, ved hjelp av diagrammet, hvilke menyer som er aktuelle for det offentlige å bruke når heller ikke det offentlige har informasjon om den enkelte konsuments sannsynlighet for å leve lenge. Skill mellom tilfellene med hhv. relativt få og relativt mange konsumenter med en lav sannsynlighet for å overleve til periode 2. Oppgave (Eksamen H-97, oppg. 2) (a) Hva er Nash's forhandlingsløsning? Hvilke aksiomer bygger løsningen på? (b) Anta at mengden av mulige utbetalingsvektorer er {(u, u 2 ) u + u 2 < }, med (0, 0) som trusselpunkt. Hvilken utbetalingsvektor bestemmer Nash's forhandlingsløsning? (c) Hva er Rubinsteins spill for sekvensielle forhandlinger? Hva er den entydige delspillperfekte likevekten i dette spillet? (d) Hva går likevektsutfallet i Rubinsteinspillet mot når diskonteringsfaktoren (δ, lik for begge spillerne) går mot? Sammenhold dette svaret med det svaret du fikk under (b).