Hvordan modellere et marked med heterogene produkter?

Transkript

1 Heterogene produkter eller Differensierte produkter Eksempler: - biler - frokostblandinger - reisetider mange produktvarianter på markedet konsumentene har ulike preferanser: noen liker best den ene varianten, andre liker best den andre. Hva skjer dersom en bedrift setter opp prisen sin? Noen konsumenter skifter til en annen produktvariant, men ikke alle. Høy pris betyr ikke lenger null etterspørsel = c ikke lenger likevekt Hvordan modellere et marked med heterogene produkter? Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 1

2 Skal vi modellere konsumentenes preferanser? Eller skal vi gå rett på etterspørselsfunksjonen? La oss gå rett på. Duopol. Enhetskostnader: c 1 og c 2. Ingen faste kostnader. Etterspørselen etter bedrift is produkt avhenger av begge bedrifters priser: Q 1 = A b 1 + k 2 Q 2 = A b 2 + k 1 Hvis bedrift 1 øker prisen sin, vil - etterspørselen etter 1s produkt falle, og - etterspørselen etter 2s produkt stige. Vi antar 0 < k < b Rimelig med b > k? Effekten av egen pris er større enn effekten av andres pris. Hvis k > b, ville prisen i likevekt bli uendelig stor. Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 2

3 Analyse: Hva skjer i likevekt? Bedrift 1s profitt: π 1 = π 1 ( 1, 2 ) = ( 1 c 1 )(A b 1 + k 2 ) (tilsvarende for bedrift 2) - strategirom spiller i: [0, ] - profittfunksjon kontinuerlig og deriverbar (henger sammen, glatt) førsteordens betingelser Nash-likevekt: Førsteordensbetingelsene for bedrift 1 og bedrift 2 holder samtidig. π (, ) π, ( ) = 0 = 0 Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 3

4 Førsteordensbetingelsen for bedrift 1: π 1 ( 1, 2 ) = ( 1 c 1 )(A b 1 + k 2 ) π1( 1, 2) = (A b 1 + k 2 ) b( 1 c 1 ) 1 = A 1 + k 2 +bc 1 = 0 Bedriftens reaksjonsfunksjon: hvordan avhenger bedriftens optimale pris av motpartens pris? Løser førsteordensbetingelsen med hensyn på 1 : = R = A + k + bc ( ) 2 1 Jo høyere bedrift 2s pris er, jo høyere pris vil bedrift 1 velge. Grafisk: bedrift 1s reaksjonskurve 2 R 1 ( 2 ) 1 Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 4

5 Vi finner Nash-likevekten: Førsteordensbetingelsene for bedrift 1 og 2: π (, ) π, ( ) = 0 = 0 To ligninger to ukjente. A 1 + k 2 +bc 1 = 0 A 2 + k 1 +bc 2 = 0 FOB[1] FOB[2] Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 5

6 Løsning av ligningssystemet: innsettingsmetoden Finner et uttrykk for 1 fra FOB[1] 1 A + k + bc 2 1 = (reaksjonsfunksjonen!) Setter dette inn for 1 i FOB[2] A + k2 + bc1 A 2 + k +bc 2 = 0 Én ligning én ukjent ( 2 ): A 4b Ak + k 2 2 +bkc c 2 = 0 = ( 2 + ) + ( 2 + ) A b k b bc kc b k 2 1 bedrift 2s likevektspris A c + kc k 4b k 2 1 = + b 2 2 Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 6

7 Setter dette uttrykket for 2 inn i bedrift 1s reaksjonsfunksjon: 1 = A c2 + kc1 A + k + b bc k 4b k 1 = ( 4 ) + ( 2 + ) + ( ) + 1( 4 ) ( 4b k ) A b k Ak b k bk bc kc bc b k ( ) A + k + 4b c + kc = 2 2 ( ) 4b k A 2 bc + = + b kc k 4b k bedrift 1s likevektspris De to likevektsprisene er symmetriske. Hvis bedriftene har identiske kostnader: c 1 = c 2 = c A + bc 1 = 2 = 2 b k Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 7

8 2 R 1 ( 2 ) R 2 ( 1 ) Likevekt 1 Komparativ statikk Vi benytter reaksjonsfunksjonene: R i ( j) A + kj + bci =, i j. Hva skjer med likevekten dersom det skjer en økning i - etterspørselen? (A ) - den ene bedriftens kostnader? (f.eks. c 1 ) - effekten på egen etterspørsel av annens pris? (k ) - effekten på etterspørselen av egen pris? (b ) Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 8

9 Helning på reaksjonskurvene R ' k 1 i = < ( j) 2 Antagelsen k < b gjør at vi kan være sikre på at reaksjonskurvene skjærer hverandre. riskonkurranse: Bedriftenes strategiske variable er priser. R ' i ( j) k = > 0 Reaksjonskurvene har positiv helning. Bedriftenes strategiske variable er strategiske komplementer. En økning i den enes pris gir incentiver til økning i den andres pris. (Det motsatte kalles strategiske substitutter.) Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 9

10 Eksempel: Trafikk over Den engelske kanal. Forenklet bilde: To konkurrenter: togtunnel og bilferjer Heterogene transport-produkter Togtunnelen har lavere grensekostnader enn bilferjene To spørsmål: Bør togtunnelen sette samme pris som bilferjene? Er det gunstig for bilferjene å rasjonalisere driften? i A c + kc = + b k 4b k i j 2 2, i j. Likevekt med forskjell i grensekostnad gir lavere pris til lavkost-bedriften ( 2 )( ) b k c c b = b = c c 4b k + k ( ) c 1 < c 2 1 < 2 En reduksjon i egne grensekostnader senker likevektsprisene i begge bedrifter. Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 10

11 Grafisk analyse: R 1 ( 2 ) 2 R 2 ( 1 ) 1 R 1 ( 2 ) 2 R 2 ( 1 ) 1 Tore Nilssen Næring og handel Forelesning 4 lansje 11