SØK400 våren 2002, oppgave 8 v/d. Lund

Transkript

1 SØK400 våren 00, oppgave 8 v/d. Lund Dette løsningsforslaget må leses i sammenheng med boka til Macho-Stadler og Pérez- Castrillo, spesielt avsnitt 3A.1. Modellen i oppgaven er et spesialtilfelle (med spesifiserte u- og v-funksjoner og med tall for parametrene) av modellen i dette avsnittet i boka. Dette er igjen et spesialtilfelle (med bare to tilstander) av modellen i avsnitt 3.3, som igjen er et spesialtilfelle (med bare to innsatsnivåer) av modellen i avsnitt 3.. For å spare plass her blir en del av resonnementene og likningene i boka ikke gjentatt. (a) Hvis arbeiderens innsats kan verifiseres, kan lønna til arbeideren gjøres avhengig av innsatsen. Samtidig gjøres lønna uavhengig av resultatet, slik at arbeideren slipper å bære noe av risikoen knyttet til resultatet. Dette er effisient risikoallokering, siden arbeideren er risikoavers, mens bedriften er risikonøytral. Vi kan kalle lønna ved høy innsats for w H, mens lønna ved lav innsats er w L. Hvis arbeideren yter høy innsats, får han forventet nytte wh wh = w 3 H, der e H = er innsatsen. Reservasjonsnyttenivået er 0, slik at reservasjonslønna for høy innsats blir w H =4. Hvis arbeideren yter lav innsats, får han forventet nytte 1 wl + 3 wl 1= w 3 L 1, der e L = 1 er innsatsen. Reservasjonsnyttenivået er 0, slik at reservasjonslønna for høy innsats blir w L =1. Bedriften kan få arbeideren til ta jobben ved å kreve et visst innsatsnivå og sette lønna lik den reservasjonslønna som svarer til dette nivået. Hvis den krever høy innsats, får den forventet profitt 3 (x w H )+ 1 3 (x 1 w H )=1 w H =8. Hvis den krever lav innsats, får den forventet profitt 1 3 (x w L )+ 3 (x 1 w L )=6 w L =5. Konklusjonen blir at bedriften vil kreve høy innsats og tilby lønn lik 4. (b) Hvis innsatsen ikke kan verifiseres, vil arbeideren bare velge høy innsats dersom lønna avhenger av resultatet, og bare dersom den høyere lønna ved godt resultat er høy nok, sammenholdt med forskjellene i sannsynligheter og i unytten av innsats, til at arbeideren derved får høyere forventet nytte. Men en slik løsning vil påføre arbeideren noe av risikoen knyttet til resultatet, d.v.s. en ineffektiv risikoallokering. Situasjonen er vist i figur 1, som er en variant av figur 3.5 i læreboka. w er vist langs horisontal akse, mens w 1 er vist langs vertikal akse. Arbeideren slipper å bære 1

2 resultatrisiko langs 45-graders-strålen ut fra origo, som er stiplet. En indifferenskurve for (forventet-)nyttenivå u er gitt ved [ ] 1 ( w 1 = e H + u p H ) w 1 p H for høyt innsatsnivå, og [ 1 ( w 1 = e L + u p L ) w 1 p L ] for lavt innsatsnivå. (Dette finner vi ved å stille opp uttrykkene for forventet nytte, og løse for w 1.) (Som i boka skriver vi nå p H i stedet for p(e H ), og tilsv. for p L.) Om vi setter u =0,får vi to kurver, den bratteste av de to som er tegnet gjennom H (d.v.s. (w,w 1 )=(4, 4)), samt kurven gjennom L (d.v.s. (w,w 1 )=(1, 1)). De to kurvene møtes i punktet (w,w 1 )=(9, 0). Her er arbeideren altså indifferent mellom åytelav innsats og å yte høy innsats. Samlingen av alle de punktene som gir indifferens, er kalt f(w,w 1 )iboka.forå finne denne kurven må viløse p H w +(1 p H ) w 1 e H = p L w +(1 p L ) w 1 e L for w. (Dette er likn. (3.C1) i boka. Deretter kommer (3.C), men siden vi kjenner u-funksjonen, kan vi løse for w 1 eksplisitt.) Løsningen er ( w w 1 = eh e L ). p H p L Denne kurven er tegnet i figuren og merket f. Legg merke til at det ikke er noen rett linje, noe som også er nevnt i boka like etter likn. (3.C). (Skjæringspunktet med horisontal akse er heller ikke som avmerket i figur 3.3, men dette uttrykket opphøyd i annen.) Til venstre for kurven vil arbeideren foretrekke lav innsats, mens til høyre vil arbeideren foretrekke høy innsats. Bedriften kan altså velge mellom å la arbeideren yte lav innsats og tilby reservasjonslønna w = w 1 = 1, eller å gi arbeideren insentiv til å yte høy innsats. Det er kanskje ikke opplagt at punktet L i figuren, der w = w 1 = 1, er løsningen på bedriftens profittmaksimeringsproblem dersom arbeideren ikke skal ha insentiv til høy innsats. Grafisk kan dette sees ved å ta utgangspunkt i indifferenskurven gjennom L, og å finne det punktet på kurven som tangerer en isoprofittlinje, d.v.s. gir bedriften høyest forventet profitt. Vi vil se i figur 3 at dette faktisk er punktet L. Hvordan kan bedriften oppnå høy innsats? Insentivforenlighetsbetingelsen: Arbeideren må bli tilbudt en kontrakt som ligger på eller til høyre for kurven f. Deltakerbetingelsen: Kontrakten må ligge på eller nordøst for reservasjons-indifferenskurven (gjennom H og H ). Vi ser at H (d.v.s. (w,w 1 )=(9, 0)) er et slikt punkt. Alle andre punkter med positiv w 1 på og til høyre for kurven f vil også oppfylle begge betingelsene. Blant disse punktene vil bedriften velge det som gir høyest forventet profitt, og vi skal se at det vil være H. For å komme videre trenger vi bedriftens isoprofittkurver, i dette tilfellet -linjer.

3 Siden figuren skal kunne tolkes som en variant av en Edgeworth bytteboks, kan vi sette bedriftens origo, d.v.s. null-profitt-punktet, der x 1 w 1 = x w = 0, til punktet (w,w 1 )=(18, 0), siden x =18ogx 1 = 0. Den vanlige bytteboksen har dermed kollapset til en del av den horisontale w 1 -aksen. Men uttrykket for forventet profitt er definert og gir økonomisk mening ogsåpå oversiden og undersiden av aksen, så vi kan tegne isoprofittlinjer og bruke disse til å analysere bedriftens valg. En isoprofittlinje for profittnivå B for det tilfellet at arbeideren yter høy innsats, er gitt ved p H (x w )+(1 p H )(x 1 w 1 )=B, (1) som kan løses for w 1 = x 1 B 1 p + ph H 1 p (x H w ). Tilsvarende er isoprofittlinjene ved lav innsats gitt ved w 1 = x 1 B 1 p L + pl 1 p L (x w ). I figur er to par av disse linjene tegnet inn, stiplet. Det ene går gjennom bedriftens origo, og viser altså null-profitt-linjene. Den bratteste av disse svarer til høy innsats, siden p H 1 p H > pl 1 p L. Isoprofittlinjene for høy innsats er en samling av parallelle linjer som er fallende i diagrammet, og forventet profitt blir høyere jo lengre mot sørvest vi kommer. Dette forklarer hvorfor H er det beste punktet bedriften kan oppnå, gitt at arbeideren skal gis insentiv til høy innsats. Dette kan eventuelt analyseres med Kuhn-Tucker-metoden som i avsnitt 3.3, og en vil finne at begge restriksjoner er bindende i optimum. Isoprofittlinja gjennom H er tegnet i diagrammet, og profittnivået for denne linja blir det maksimale bedriften kan oppnå gitt at innsatsen skal være høy. Nå gjenstår det å sammenlikne med profittnivået gitt at innsatsen skal være lav. Isoprofittlinja for dette tilfellet er tegnet gjennom punktet L i figur, og den har mindre helning (i absoluttverdi), siden denne (bare) gjelder for lav innsats. I forbindelse med figur 3.7 og 3.8 bruker læreboka skjæringspunktene mellom disse to aktuelle isoprofittlinjene og bedriftens 45-graders-linje til å finne hvilken profitt som er maksimal, d.v.s. om det vil lønne seg for bedriften å gi arbeideren insentiv til høy innsats. Skjæringspunktene med 45-graders-linja vil si de punktene der Fra likning (1) ser vi at når () er oppfylt, så er x 1 w 1 = x w. () B = x 1 w 1 = x w. (Legg merke til at de to foregående likningene gjelder både for høy og lav innsats.) Men dermed har vi fått en metode for å avlese profittnivået i figuren. Vi følger isoprofittlinja ned til bedriftens 45-graders-linje, og kan avlese en av koordinatene til 3

4 skjæringspunktet. Den isoprofittlinja som skjærer 45-graders-linja lengst mot sørvest, gir høyest profitt. Ser av figur at dette er linja gjennom H i dette tilfellet. Kan regne ut (eller avlese i figuren) at profitten blir 6, mens den ville ha blitt 5 hvis kontrakten L hadde blitt valgt. For å spare plass vil vi heretter sette figur 1 og sammen, som i figur 3. Så forandrer vi parametrene som indikert i del (c) og (e) av oppgaven. (c) Hvis x = 1, vil vi få en situasjon som vist i figur 4. Det er bare bedriftens situasjon som er endret, slik at indifferenskurvene er som før. Men bedriftens origo og 45-graderslinje er forskjøvet mot venstre i diagrammet, og dermed blir valget mellom de to løsningene annerledes. Vi ser at profittnivået blir høyest ved å velge lav innsats. (d) Når x = 18, fikk vi en løsning med ineffektiv allokering av risiko. Vi vet at den effektive allokeringen under full informasjon er at arbeideren ikke bærer noe av risikoen knyttet til resultatet. Når x = 1, fikk vi en løsning med ineffektiv innsats. Vi vet at den effektive løsningen under full informasjon er gitt ved at arbeideren yter høy innsats. (e) Vi skal løse problemene vi har sett på ovenfor, med nye sannsynligheter, p H =1/, p L = 1/4. Vi skal løse dem både for x =4ogforx = 3. For de nye sannsynlighetene blir indifferenskurvene og f-kurven mindre bratte. De to punktene L og H er de samme, men punktet H blir nå (w,w 1 )=(16, 0). Figur 5 viser situasjonen med x = 4. Her ser vi at L gir høyere forventet profitt enn H,nemlig5istedetfor4. Figur 6 viser situasjonen med x = 3. Den eneste forskjellen er at bedriftens origo og 45-graders-linje er forskjøvet mot høyre. I dette tilfellet blir H foretrukket framfor L, og profitten blir dermed 8 i stedet for 7. 4

5 Figur 1 (jfr. fig. 3.5 hos MS-PC): Indifferenskurver ved reservasjonsnivået for nytten for hhv. lav og høy innsats, og indifferenskurve for det nyttenivået som oppnås ved H-kontrakten ved lav innsats. Stiplet kurve "f" viser punktene der arbeideren er indifferent mellom høy og lav innsats. Bedriftens origo er i punktet (0,18). Figur (jfr. fig. 3.8): Isoprofittkurver gjennom punktene L og H', og gjennom bedriftens origo (d.v.s. null profitt). 5

6 Figur 3: Figur 1 og satt sammen. Figur 4: Som figur 3, men med x = 1, d.v.s. oppg. (c). 6

7 H 1 L 1 Figur 5: Som figur 3, men med x = 4, p =, p =, d.v.s. oppg. (e). 4 Figur 6: Som figur 5, men med x = 3, d.v.s. oppg. (e). 7