Sam ser bort fra faste kostnader, men har en liten kostnad c per kunde. (a) Hvorfor er det rimelig å tro at Sam er risikonøytral?

Transkript

1 I en guidebok for en nasjonalpark står det: It is customary to pay 4 dollars extra if you are able to see a rhinoceros during your twohour safari. Dette skyldes at neshorn er det største og sjeldneste dyret i parken. Sam driver et en-manns-selskap som selger slike to-timers safarier, og han vurderer å annonsere et tilbud med forholdsvis høy pris, men no extra payment for rhinos. Sam har i praksis monopol på virksomheten, så antallet kunder er upåvirket av tilbudene. Sam vet av erfaring at det er to kundegrupper, men kan ikke se forskjell på de enkelte kundene før safarien begynner. Sam kjenner også sannsynligheten, p, for å se neshorn. Denne er den samme på hver safari, og han har aldri funnet ut hvordan han kan påvirke den. En andel a av kundene er primært opptatt av å se de andre dyrene. De kan akseptere 4 dollar i fast betaling for safarien, men bare 1 dollar fast hvis de i tillegg må betale 4 dollar hvis de ser neshorn. En andel 1-a er derimot bare villig til å betale 3 dollar fast, men kan tenke seg å betale 2 dollar fast hvis det er en tilleggsbetaling på 4 dollar for å se neshorn. Sam ser bort fra faste kostnader, men har en liten kostnad c per kunde. (a) Hvorfor er det rimelig å tro at Sam er risikonøytral? (b) Drøft hva slags kontrakter Sam vil tilby hvis tilleggsbetalingen for å se neshorn må være enten null eller 4 dollar. Drøft hva som vil lønne seg for ham for ulike kombinasjoner av a og p. Du bør i hvert fall undersøke de fire kombinasjonene mellom, på den ene siden, a =,1 eller a =,9, og, på den andre siden, p =,1 eller p =,9. (c) Hvorfor spiller størrelsen på c ingen rolle hvis den er liten, f.eks. mellom 1 og 2 cent per kunde?

2 Løsningsforslag, oppgave 1 i innleveringsoppgave, ECON 181 v 4 Den viktigste pensumreferansen er Hendrikse, avsnitt Dette ble dekket i forelesningen 22. mars. Se spesielt side 7 og 8 om kontrakter med to parametre (her: fast betaling og evt. ekstrabetaling for å se neshorn) og om selvseleksjon. (a) Sam gjentar disse safariene hver dag, og utfallene er uavhengige av hverandre. Realisert samlet inntekt vil komme svært nær forventet inntekt. Dette følger av store talls lov. Strengt tatt betyr ikke dette at Sam er risikonøytral. Det betyr derimot at usikkerheten i samlet inntekt blir liten når antallet uavhengige safarier er stort. Dermed gjør vi ikke noen stor feil ved å anta at Sam kan se bort fra usikkerheten, og at han bare bryr seg om forventet inntekt, som om han var risikonøytral. (b) Sam har tre mulige strategier. Han setter prisene så høyt som mulig, enten for å tiltrekke alle kundene til en kontrakt med bare fast betaling, eller for å tiltrekke alle til en kontrakt med 4 dollar ekstrabetaling for neshorn, eller han tilbyr to kontrakter, igjen med så høy pris som mulig, der han satser på at kundegruppene skal sortere seg selv (selv-seleksjon) på de to kontraktene, dvs. en kontrakt skal være akseptabel for hver kundergruppe. Vi tegner et diagram som viser de fire kombinasjonene av fast betaling og evt. ekstrabetaling for å se neshorn.

3 pris per neshorn 4 (1, 4) (2, 4) type 2, andel 1 a type 1, andel a (3, ) (4, ) 4 fast pris Hver kontrakt består av to tall, (x, y), der x er fast betaling og y er ekstrabetaling. Diagrammet viser høyeste akseptable priser for de to kundetypene. For hver kundetype kjenner vi høyeste akseptable faste pris når det ikke er ekstrabetaling for neshorn, og høyeste akseptable faste pris kombinert med 4 dollar ekstrabetaling. Linjene som er tegnet mellom disse punktene, kan oppfattes som indifferenskurver ved reservasjons-nyttenivået. Det er ingenting som tilsier at de skal være rette linjer, men vi har heller ikke bruk for disse linjestykkene, bare for endepunktene, siden oppgaven sier at ekstrabetalingen enten er null eller 4 dollar. Det at linjene krysser hverandre, muliggjør selv-seleksjon, som skjer hvis Sam tilbyr (4, ) og (2, 4) samtidig. Siden type 1 vil akseptere (4, ), vil de også akseptere (3, ). Siden type 2 vil akseptere (2, 4), vil de også akseptere (1, 4). Dette muliggjør ikke-separerende (pooling) løsninger.

4 Forventet bruttoinntekt per kunde for hver strategi blir: (i) Kontrakten (3, ) blir akseptert av alle og gir 3 per kunde (ii) Kontrakten (1, 4) blir akseptert av alle og gir 1+4p per kunde (iii) Kontraktene (4, ) og (2, 4) gir selv-seleksjon. Per kunde blir den forventede inntekten a 4 + (1-a) (2+4p) = 2 + 2a + 4p 4ap. Her vil (iii) være foretrukket framfor (ii) hvis 2 + 2a + 4p 4ap > 1+4p, som inntreffer hvis og bare hvis p < (2a + 1)/4a. Videre vil (iii) være foretrukket framfor (i) hvis 2 + 2a + 4p 4ap > 3, som inntreffer hvis og bare hvis p > (1-2a)/4(1 a). Disse to ulikhetene deler kvadratet av mulige a- og p-verdier i tre felt, jfr. figuren nedenfor. Legg merke til at de fire punktene i kvadratet som det blir spurt spesielt om ((,1,,1), (,1,,9), (,9,,1), og (,9,,1)), fordeler seg på de tre feltene, slik at hvert av de tre alternativene vil være optimalt for en eller to av disse parameterkombinasjonene. p,75 (ii),5 (iii),25 (i),5 a

5 Vi konsentrerer oss nå om de fire parameterkombinasjonene (a, p) som er nevnt i oppgaveteksten. Tabellen viser forventet bruttoinntekt til Sam per kunde (uten fradrag for kostnaden c) for hver av de tre strategiene hans og hver av kombinasjonene. Hver strategi består av en eller to kontrakter. Både strategi (i), altså (3, ), og strategi (ii), altså (1, 4), er utformet slik at begge typer kunder vil akseptere den ene kontrakten som tilbys (et pooling equilibrium, ikke-separerende likevekt). Strategi (iii), altså de to kontraktene (4, ) og (2, 4), fører også til at begge kundetyper aksepterer, men her velger de hver sin kontrakt. Sammenlikninger for hver av de fire kolonnene til høyre viser: Når (a, p) = (,1,,1), vil (i) gi høyest forventet bruttoinntekt. Når (a, p) = (,9,,9), vil (ii) gi høyest forventet bruttoinntekt. Når (a, p) = (,1,,9), eller (a, p) = (,9,,1), vil (iii) gi høyest forventet bruttoinntekt. Dette blir en sum for de to kundetypene. For (a, p) = (,1,,9) vil forventet bruttoinntekt ved å tilby (4, ) alene være 3,6, som er større enn f.eks. 3, som oppnås ved å tilby (3, ) alene. Men det lønner seg å tilby (2, 4) i tillegg til (4, ), noe som tiltrekker bare kunder av type 2, og som gir en forventet brutto tilleggsinntekt på,24. Et tilsvarende resonnement gjelder for (a, p) = (,9,,1). p =,1 p =,9 a =,1 a =,9 a =,1 a =,9 (i) (3, ) 3 3, 3, 3, 3, (ii) (1, 4) 1 + 4p 1,4 1,4 4,6 4,6 (iii) (4, ) a 4,4 3,6,4 3,6 og (2, 4) (1-a) (2+4p) 2,16,24 5,4,56 sum = 2,56 3,84 5,44 4,16

6 naturen type 1 type 2 Sam (i) (ii) (iii) (i) (ii) (iii) kunden A R A R A R A R A R A R 3-c > 1+4p-c 4-c 3-c 1+4p-c > 2+4p-c Treet illustrerer spillet på ekstensiv form, og er i prinsippet av samme type som figur 7.4, 7.15 og 7.16 hos Hendrikse. I dette tilfellet er det ikke noen ekstra informasjon her i forhold til det vi kan få fram uten denne figuren. Den eneste grunnen til å ta med figuren, er at noen har forsøkt å inkludere en slik figur i besvarelsen av oppgaven, og da har det kanskje interesse å se hvordan det skulle ha vært gjort. Dette viser spillet mellom Sam og en kunde. Naturen har bestemt om kunden er av type 1 (neshornelskerne) eller type 2 (de andre), men Sam vet ikke typen. Han har uendelig mange strategier å velge mellom, men figuren viser bare de tre som vi har resonnert oss fram til på forhånd. Sams payoff vil bli den samme uansett type hvis han velger (i) eller (ii), men hvis han velger (iii), dvs. tilbyr to kontrakter, vil typene sortere seg selv, og payoff avhenger av hvilken type denne kunden tilhører. Payoff til kunden vet vi lite om. Den er ikke noen viktig del av besvarelsen, siden vi bare ser på strategier for Sam der vi på forhånd har funnet ut at kunden vil akseptere. Det som følger om payoff til kunden, er derfor bare for spesielt interesserte: Reservasjonsnytten er satt til null (men dette kunne ha vært et hvilket som helst tall). Der hvor vi vet at kunden så vidt aksepterer, kunne vi ha satt nytten til det samme nivået,. Dette er nemlig tilstrekkelig ut fra definisjonen av Nash-likevekt. Kunden vil ikke angre på å akseptere hvis dette gir like høy nytte som å ikke akseptere. Men siden alt i oppgaveteksten er oppgitt i hele tall, kan det tenkes at den øvre grensen for hvilken kontrakt kunden kan akseptere i hvert tilfelle, egentlig er litt høyere. Kunden får i så fall en liten positiv nytte ved å akseptere, som er kalt. For enkelhets skyld har vi antatt at den er lik ved fire sluttnoder. Ved to av sluttnodene vet vi at kunden kommer bedre ut enn dette. Det dreier seg om kundetype 1 i tilfelle kontrakten er (3, ), siden denne kundetypen ville ha akseptert (4, ). Det dreier seg også om kundetype 2 i tilfelle kontrakten er (1, 4), siden denne typen ville ha akseptert (2, 4).

7 (c) I alle de løsningene vi har sett, har bruttoinntekten per kunde vært større enn 2 cent. Det har altså vært lønnsomt å tiltrekke seg alle kundene i alle tilfellene, og dermed har det ikke hatt noen betydning om c har vært f.eks. 1 eller 2 cent. Det er klart at med en betydelig høyere variabel kostnad (kostnad per kunde som bare påløper for dem som faktisk aksepterer kontrakten) kunne det være aktuelt å endre strategi.