Modeller med skjult atferd

Transkript

1 Modeller med skjult atferd I dag og neste gang: Kap. 6 i GH, skjult atferd Ser først på en situasjon med fullstendig informasjon, ikke skjult atferd, for å vise kontrasten i resultatene En prinsipal, en agent, svært enkelt problemstilling Hensikt med forenkling: Få fram noen viktige poenger uten unødvendige komplikasjoner Ulempe med forenkling: Urealistisk Agenten yter innsatsen (effort) e og mottar betalingen (wage) w (dette er samlet lønnsinntekt, ikke pr. time) Agenten verdsetter dette til w e o Åpenbart ikke en verdsetting i pengeenheter, siden inntekten ikke inngår direkte, men som kvadratrot o Dreier seg i stedet om mer abstrakt verdsetting, der en krone ekstra er mindre verdt jo mer en har fra før o Økonomer kaller dette begrepet nytte (utility) o Figuren viser w som funksjon av w 1

2 Nyttefunksjoner, usikkerhet og mulige utfall Funksjonsformen w er valgt bare fordi det er en kjent matematisk funksjon; det viktige her er at funksjonen er voksende (mer inntekt gir alltid høyere nytte) og konkav (krummer nedover) (jo høyere inntekt, jo mindre nytte av å øke inntekten med en enhet) Ikke åpenbart hvordan innsats skal måles; GH har valgt å måle den i nytte-enheter Prinsipalens nyttefunksjon er P(e) w Her er P(e) en uspesifisert sammenheng (mer nedenfor) Siden w inngår direkte i nyttefunksjonen, er denne åpenbart målt i pengeenheter Rimelig å tenke på dette som overskudd fra en virksomhet, der P(e) er bruttoinntekt, f.eks. en salgsverdi av et produkt, mens w, betaling til agenten, er eneste kostnad (bortsett fra evt. investeringer som er betalt før den situasjonen vi studerer) Innsatsen, e, samspiller med usikre omgivelser Innfører flere forenklinger: o P kan bare ha to mulige utfall, P = 10 eller P = 30 o Innsatsen påvirker sannsynligheten for utfallene o e kan bare ha to mulige nivåer, e = 0 eller e = 1 o Hvis e = 0, er sannsynligheten 1/3 for P = 30 o Hvis e = 1, er sannsynligheten 2/3 for P = 30 o (Medfører at ssh. for P = 10 er hhv. og ) o (Fyll ut riktige tall!) 2

3 Fullstendig informasjon vs. ufullstendig informasjon Vil betrakte to ulike versjoner av hvordan agentens innsats samspiller med usikre omgivelser I versjon 1 kan prinsipalen observere (og verifisere) både agentens innsats og utfallet for P I versjon 2 kan prinsipalen observere (og verifisere) utfallet for P, men ikke agentens innsats Før agenten velger innsats, skal det inngås en kontrakt der betalingen, w, kan gjøres betinget av verifiserbare størrelser Åpenbar forskjell mellom versjonene: Bare i versjon 1 kan w gjøres direkte avhengig av agentens innsats Hvis w skal spore til innsats (insentivlønn), vil dette enklere kunne ordnes i versjon 1 I begge versjoner vil P være en usikker (risikabel, stokastisk) størrelse Betalingen, w, kan settes til et fast beløp, eller kontrakten kan gjøre den avhengig av e og/eller P Hvis w gjøres avhengig av P, vil w også være usikker Siden prinsipalens nyttefunksjon er P(e) w, vil prinsipalen bære o all risiko i P hvis w er konstant (eller uavhengig av P) o ingen risiko hvis w plukker opp all risiko i P o noe av risikoen hvis kontrakten er et mellomtilfelle av disse to yttertilfellene Ser nå på figur 6.1 som viser versjon 1 3

4 Versjon 1: Fullstendig informasjon Innsats kan verifiseres; kontrakten kan være av typen hvis lav innsats, så w = a, hvis høy innsats, så w = b Fornuftig, i motsetning til w avhengig av P, usikker Agenten velger høy innsats hvis dette gir høyere nytte Nyttenivå er a 0 hvis lav innsats, b 1 hvis høy Om prinsipalen skal oppnå at høy innsats blir valgt: Må ha kontrakt slik at b 1 > a, dvs. b> a+ 2 a + 1 Denne betingelsen ved kontraktsutforming, for å oppnå ønsket atferd, kalles insentivforenlighetsbetingelsen Legg merke til at usikkerheten er representert i treet ved å innføre en tredje spiller, naturen (uten payout!) Treet viser også muligheten agenten har til å avvise kontrakten, som gir nyttenivå lik en reservasjonslønn, som her er satt lik 1 (ikke utledet av andre tall eller formler, kunne ha vært hvilket som helst positivt tall) For at agenten skal velge å delta, må derfor b 1> 1, dvs. b > 4; dette kalles deltakerbetingelsen 4

5 Prinsipalens beste kontrakt (fullstendig informasjon) Ingen grunn for prinsipalen til å la agenten få noe ekstra Så lenge de to betingelsene overholdes: Velg høyest mulig forventet overskudd, lav a, lav b Kan derfor redusere problemet: Tilstrekkelig å se på kontrakter (punkter {a,b}) langs kanten av området (Gjentar GH figur 6.6) Mulig å regne ut (jfr. GH, s. 113) at det beste punktet for prinsipalen er a = 0, b = 4 Bygger på en teori om prinsipalens preferanser mellom usikre utfall GH argumenterer for at prinsipalen bare bryr seg om forventet overskudd vi kommer tilbake til dette Realisert forventet overskudd er 1 * *30 4 = Realisert nytte for agenten er 4 1= 1 5

6 Versjon 2: Ufullstendig informasjon Innsats kan ikke verifiseres; kontrakten kan derimot være av typen hvis lav produksjon, så w = y, hvis høy produksjon, så w = z Insentiv til innsats siden e påvirker sannsynlighetene Men uansett valgt innsats vil w nå være usikker Uheldig å la agenten bære usikkerhet hvis prinsipalen er bedre i stand til å bære den Forrige versjon: Velg høy innsats hvis det gir høy nytte Denne versjonen: Uansett valg av e vil utfallet (og dermed nytten) være usikker Figur 6.7 i GH illustrerer dette spillet Det er tegnet inn to informasjonsmengder som viser hvilken informasjon prinsipalen har ved utbetaling av w Prinsipalen vil vite hvilken av de to mengdene som er realisert, dvs. P kan observeres, men ikke e 6

7 Versjon 2: Ufullstendig informasjon (forts.) Trenger nå en teori om hvordan agenten velger mellom: o Lav innsats (e = 0), som gir sannsynlighetene 2/3 for y 0 og 1/3 for z 0 o Høy innsats (e = 1), som gir sannsynlighetene 1/3 for y 1 og 2/3 for z 1 Bruker teorien om forventet nytte, jfr. GH app. 6.1 Kommer tilbake til begrunnelsen for teorien Teorien tilsier at agenten ønsker så høy forventet nytte som mulig, dvs. velger høy innsats hvis ( y 1) + ( z 1) ( y 0) + ( z 0) Kan omformuleres til z y+ 6 y + 9 Dette er insentivforenlighetsbetingelsen i versjon 2 Deltakerbetingelsen er 1 ( y 1) + 2 ( z 1) Kan omformuleres til z 25y 30 y + 9 Svarer til fig i GH, men nå med y og z på aksene 7

8 Prinsipalens beste kontrakt (ufullstendig informasjon) Igjen velger prinsipalen beste kontrakt langs kanten av mulighetsområdet For prinsipalen: Ingen grunn til å tilby agenten noe ekstra ( deltakerbetingelsen sikrer deltakelse) Høyest mulig forventet overskudd oppnås ved y = 0, z = 9, jfr. GH, s. 116 Realisert forventet overskudd er 1 * *21 = Realisert forventet nytte for agenten er fortsatt lik 1 Konklusjon: o Informasjonsasymmetrien fører til et tap o Kunne tenke oss at tapet ble delt mellom partene o Men siden agentens nytte allerede er på et minimum, definert av deltakerbetingelsen, er det prinsipalen som bærer tapet I det følgende skal vi se nærmere på de to aktørenes preferanser når det er usikkerhet, som også forklarer hvorfor informasjonsasymmetri fører til tap 8

9 Preferanser under usikkerhet Betrakter situasjoner der et individ kan velge mellom flere alternativer Minst ett ( ofte flere ) av alternativene gir usikre konsekvenser Det valget som treffes, er ikke usikkert, men konsekvensene er usikre, i hvert fall for noen av de alternativene som valget står mellom Eksempler der ett av alternativene er (nesten) sikkert: o Valg mellom å godta et jobbtilbud eller lete videre o Valg mellom lån med flytende eller fast rente o Valg mellom å plassere penger i banken eller i aksjer Eksempler der begge alternativene er usikre: o Valg mellom to ulike aksjefond o Valg mellom lav innsats og høy innsats (s. 7 foran) o Valg mellom å eie eller leie bolig Skal fokusere på usikkerhet som kan beskrives med sannsynligheter ( risiko, ikke total usikkerhet ) I versjon 2 av prinsipal-agent-modellen (s. 7 foran) fører hvert av valgalternativene til sannsynlighetsfordelinger med bare to utfall Skal holde oss til dette i dag, selv om teorien kan utvides til mange utfall (jfr. framtidig verdi av en aksje) Valget står mellom to sannsynlighetsfordelinger Summen av sannsynlighetene for alle mulige utfall innenfor samme alternativ (samme sannsynlighetsfordeling) er lik 1 9

10 Oppsummering av sannsynlighetsfordeling i ett tall? Enklere å analysere preferanser (og valg) hvis vi for hvert alternativ kan regne ut ett tall som gir uttrykk for hvor bra alternativet er Ulike individer vil ha ulike preferanser, og ville vanligvis regne ut forskjellige tall, men metoden ville være enkel Mulig kandidat for et slikt tall: Forventet utfall Matematisk forventning er et veid gjennomsnitt av de mulige utfallene, med sannsynlighetene som vekter Eksempel: Forventet overskudd for prinsipal s. 5 foran: *(10 4) + *(30 4) = Hvis preferansene kan uttrykkes ved at en beslutningstaker ønsker høyest mulig forventet inntekt (og ikke bryr seg om andre egenskaper ved sannsynlighetsfordelingen), kalles beslutningstakeren risikonøytral Konsekvens av å være risikonøytral: Er indifferent i forhold til å flytte inntekt mellom de mulige utfallene, så lenge forventet inntekt er uendret I eksempelet: Er indifferent mellom følgende fire: o 6 med ssh. 1/3 og 26 med ssh. 2/3 o 58 med ssh. 1/3 og ingenting med ssh. 2/3 o ingenting med ssh. 1/3 og 29 med ssh. 2/3 o 10 med ssh. 1/3 og 34 med ssh. 2/3 Er dette rimelig beskrivelse av preferanser? Kanskje for noen beslutningstakere pga. store talls lov 10

11 Forventet nytte og risikoaversjon Lett å se en svakhet ved risikonøytralitet: Motvilje mot alternativer der noen utfall gir svært lav inntekt o Spesielt problematisk hvis utfallene vi ser på, beskriver hele personens inntekt i en viss periode, f.eks. et år o Vanskelig å kompensere svært lav inntekt under noen utfall med høyere inntekt i andre utfall (selv når personen betrakter dette fra et tidligere tidspunkt) o For å ønske et slikt alternativ (en slik sannsynlighetsfordeling) må det i alle fall gis solid kompensasjon i de gode utfallene, mer enn det som trengs for å gi samme forventningsverdi Et annet tall som kan brukes til å oppsummere hvert valgalternativ, kalles forventet nytte Tar forventning av nytte-tall for hvert utfall, ikke inntekt, men nytten avhenger bl.a. av inntekt Vanlig å anta risikoaversjon, dvs. nytten er en konkav funksjon av den usikre, framtidige inntekten Stemmer med intuisjonen om at en ekstra krone betyr ekstra mye i de utfallene der en har lav inntekt 11

12 Konkav nyttefunksjon og risikoaversjon Kvadratrotfunksjonen eksempel på konkav nyttefunksjon Kan illustrere i figuren at en vil foretrekke å utjevne inntekt mellom utfallene, framfor at inntektene er mer ulike, når en sammenlikner alternativer med samme forventede inntekt Enklest å illustrere med to utfall med ssh. 1/2 for hvert Vil foretrekke alternativet (10, 6) framfor (12, 4), som foretrekkes framfor (14, 2), osv. Omvendt: Utfall kan ha ulik forventet inntekt, men gi samme forventet nytte, f.eks. (9, 4) og (16, 1) 12

13 Oppsummering Har anvendt forventet inntekt som preferansemål for prinsipalen, men forventet nytte for agenten o Vanlig i prinsipal-agent-modeller, men ikke opplagt o Bygger på at prinsipalen ofte er aksjeselskap, der risikoen spres mellom mange eiere o Eierne har også mange andre inntektskilder, og store talls lov tilsier at det samlede utfallet for dem blir i nærheten av forventningsverdien o Dette holder ikke helt hvis utfallene samvarierer mer om dette i kurs i finansteori o Agenten derimot, antas å ha inntekten vi studerer, som eneste inntekt, eller i hvert fall viktig del o Derfor risikoaversjon: Betaler mye i form av redusert forventet inntekt for å unngå at noen utfall gir lav inntekt Forventet inntekt som preferansemål er et spesialtilfelle av forventet nytte, når nyttefunksjonen er lineær: o Konkav nyttefunksjon: Risikoaversjon o Lineær nyttefunksjon: Risikonøytralitet o Konveks nyttefunksjon: Risikotiltrekning Hvis prinsipalen er risikonøytral, men agenten risikoavers, er det uheldig at agenten bærer risiko En effektiv kontrakt mellom en risikonøytral og en risikoavers lar den risikonøytrale bære all risiko Men ved asymmetrisk informasjon avveining: Må gi agenten risiko for at agenten skal ha insentiv til innsats 13