LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver x < R. (Dette er Teorem 19, s. 56, Adms.) Vi skl i det etterfølgende gi et bevis for dette viktige resultt som er forskjellig fr beviset i boksen. Det er flere grunner til dette. Beviset hos Adms unngår begrepet uniform konvergens v funksjonsfølger. Dette er et begrep som erfringsmessig fller vnskelig. Men på den nnen side er også beviset på s. 56-57 nokså vnskelig å forstå, så lite er vunnet ved å velge bokens bevis. Dessuten er uniform konvergens et begrep mn møter mnge steder i mtemtisk nlyse, så det kn være nyttig å introdusere idéen så tidlig som mulig. Vi skl strte med å se på s(t)dt n n + 1 xn+1 = (s(t) n t n )dt Det gjelder å bevise t det til hver ε >, finnes en n N s.. dette uttrykket er mindre enn ɛ når N n En velkjent regneregel (Se Teorem 3, (f), s. 292) gir: (s(t) n t n )dt s(t) 1 n t n dt
Det er nå nærliggende å tro t siden prtilsummene s N (t) konvergerer mot s(t) i hvert punkt v [, x], så må det finnes et n N s.. når N n, så vil: s(t) n t n < ε/r ; t [, x] ( ) I så fll er vi i mål. Vi hr d nemlig for N n : (s(t) n t n )dt < ε R s(t) dt = ε R x < ε n t n dt siden vi her hr nttt < x < R. (Dersom R < x <, kn vi gå frm på tilsvrende måte.) Det er to tvilsomme punkter i ovenstående rgument! 1. Vi vet ikke t s(t)dt eksisterer. 2. Vi vet heller ikke t ulikheten ( ) ovenfor holder for smme n (når ɛ > er gitt) for lle punktene i [, x]. 1. Dersom vi kn bevise t summefunksjonen t s(t) er kontinuerlig på [, x], følger integrerbrheten ut fr Teorem 2, s. 29, Adms. Vi vet selvsgt t hver prtilsum s N (t) = n t n er kontinuerlig på hele tllinjen. Og det er d nærliggende å tro t grensefunksjonen s N er kontinuerlig. Men dette holder ikke generelt! Dette frmgår v følgende eksempel. L: f n (x) = x n ; x [, 1]. Dette gir en følge {f n } v kontinuerlige funksjoner som konvergerer mot grensefunksjonen gitt ved: { ; x < 1 f(x) = 1 ; x = 1 2
Altså er grensefunksjonen diskontinuerlig i x = 1 2. For å illustrere problemet som kn oppstå m.h.t. ulikheten ( ) studerer vi smme funksjonsfølge som ovenfor. For x = 1 ser vi t: 2 når n 4 for den ngitte ε. f n ( 1 2 ) f(1 2 ) = f n( 1 ) < ε (se figur) 2 For x = 3 4 hr vi t for å oppnå: f n ( 3 4 ) f(3 4 ) < ε for smme ε må vi ihvertfll nt n 6. Og lr vi x 1 rykke nærmere 1, må vi for fstholdt ε > stdig velge n større for å være grntert t n n medfører t: når ε holdes fst! f n (x 1 ) f(x 1 ) < ε. De problemene vi hr registrert i 1. og 2. ovenfor motiverer følgende: DEFINISJON: Vi sier t funksjonsfølgen {f n }, f n : [, b] R 3
konvergerer uniformt mot en funksjon: f : [, b] R dersom det til hvert ε < finnes et n = n (ε) N s.. når n n så gjelder: f n (x) f(x) < ε for lle x [, b]. (Betegnelsen n (ε) indikerer t n bre vhenger v ε og ikke v x.) Det vi kller punktvis konvergens kn formuleres slik: Til hvert ε > og hvert x ε [, b] finnes det et n = n (ε, x) N s.. når n n så vil: f n (x) f(x) < ε At n = n (ε, x) betyr t n svrende til et gitt ε > også vil vhenge v x. Dette illustreres ved eksemplet forn. Når det gjelder symbolbruken lr mn: lim f n(x) = f(x) betegne punktvis konvergens, mens mn gjerne skriver: for å betegne uniform konvergens. Vi kn nå bevise følgende viktige: TEOREM A: lim f n(x) = f(x), unif. på [, b], Ant t funksjonsfølgen {f n } konvergerer uniformt mot f på [, b] og t hver funksjon f n er kontinuerlig. D gjelder følgende: (i) f er kontinuerlig på [, b], (ii) lim f n(x)dx = f(x)dx MERKNAD: Integrerbrheten v f på [, b] følger v (i). 4
BEVIS: (i) Det gjelder å bevise t til hvert ε > og fstholdt x ε [, b] finnes en δ > s.. når x [, b] og x x < δ så er f(x) f(x ) < ε. Siden lim f n (x) = f(x) unif., må det finnes n = n (ε), s.. n n medfører t f n (x) f(x) < ε/3 for lle x [, b]. Vi fstholder så et n 1 n. Siden hver f n er kontinuerlig, finnes det et δ > s.. når x [, b] og x x < δ, så gjelder: f n1 (x) f n1 (x ) < ε/3 Vi hr d for x [, b] og x x < δ : f(x) f(x ) = f(x) f n1 (x) + f n1 (x) f n1 (x ) + f n1 (x ) f(x ) f(x) f n1 (x)+f n1 (x) f n1 (x )+f n1 (x ) f(x ) < ε/3+ε/3+ε/3 = ε. Siden ε > og x [, b] vr fritt vlgt, betyr dette t f er kontinuerlig på hele [, b]. (ii) Her gjelder det å bevise t for hver ε > finnes det et n N s.. når n n, så vil: f n (x)dx f(x)dx < ε (Her bør en merke seg t integrerbrheten v f på [, b] følger v (i).) Siden lim f n (x) = f(x) unif., vet vi t det finnes n N s.. når n n, så vil: f n (x) f(x) < ε/(b ) for lle x [, b]. Vi hr d for n n : f n (x)dx f(x)dx = f n (x) f(x)dx < (f n (x) f(x))dx ε b dx = ε 5
FORELØPIG TILBAKEBLIKK: Ser vi på de tvilsomme punkter i beviset for nnen del v Teorem 19, (det vi betegnet som 1. og 2. forn), ser vi t vi er i mål dersom vi kn bevise følgende: TEOREM B: Hvis potensrekken nx n hr konvergens-intervll ] R, R [ med summefunksjon s(x), så vil lim n x n = s(x) unif. på hvert lukket delintervll [, b] som er inneholdt i ] R, R [. MERKNAD: Dette resultt gir d både t t s(t) er kontinuerlig og dermed integrerbr på [, x] - og t ulikheten ( ), s.2, holder på [, x]. BEVIS: Vi kn for å forenkle rgumentet nt t det lukkede intervll vi ser på er [, x], der < x < R. (Den mer generelle situsjonen omtlt i teoremet bevises helt nlogt.) Lr vi t [, x] hr vi: n t n n x n Siden n x n konvergerer bsolutt for hver x ] R, R [, (Teorem 17, s. 52-53, Adms), konvergerer rekken det et n s.. N n impliserer t t [, x] : n x n. Dvs. t for ε > finnes n x n < ε. Dette gir for hver n=n s(t) N 1 n t n n t n n=n 6 n x n < ε n=n
Altså hr vi t: lim N n t n = s(t) unif. på [, x]. MERKNAD: Vi hr nå fullført beviset for den siste påstnden i Teorem 19. Den første delen som gjelder derivsjon ledd for ledd, s (x) = n n x n 1 for hvert x i konvergensintervllet, følger nå nokså greit v.h.. fundmentlteoremet kombinert med følgende: LEMMA: Hvis potensrekken n x n konvergerer i ] R, R[, så vil også potensrekken: n n x n 1 konvergere i dette intervllet. BEVIS FOR LEMMA: Vi ntr for enkelhets skyld t < x < R. L y ]x, R [. Vi hr d: Vi hr t: n n x n 1 = n n x y lim n x y n 1 n 1 = y n 1 siden x < y og lim t t/ t = når > 1 (3.4 Adms). Altså finnes det 7
n N s.. når n n så vil n x y n 1 n n x n 1 n y n 1 < 1. Altså hr vi for n n t Konvergens v rekken n y n 1 gir d t rekken: n n x n 1 konvergerer. Ut fr det vi hr vist tidligere kn d rekken n n x n 1 med sum S(x) integreres ledd for ledd på intervllet [, x], < x < R. Dette gir: = S(t)dt = n n t n 1 dt n x n = 1 x + 2 x 2 + + n x n + = s(x) Derivsjon gir d ut fr fundmentlteoremet: S(x) = s (x) eller: siden: s (x) = d dx forutstt t f er kontinuerlig. n n x n 1 f(t)dt = f(x) 8
HISTORISK MERKNAD: Niels Henrik Abel (182-1829) oppdget t A.L. Cuchy (1789-1857) hdde begått den feil t hn tok det for gitt t dersom en følge {f n } v kontinuerlige funksjoner konvergerte punktvis mot en grensefunksjon f, så måtte f også være kontinuerlig. Vårt eksempel viser t dette er glt. Begrepet uniform konvergens ble introdusert v P. Seidel (1821-1896) og G. Stokes (1819-193), uvhengig v hverndre i 1847. Men det vr K. Weierstrss (1815-1897) som først så betydningen v dette begrep og brukte det systemtisk i sine forelesninger i Berlin. 9