Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire
Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Potenser..................................... 4 2.3 Standardform.................................. 4 2.4 n-terøtter.................................... 4 3 Funksjoner 5 3.1 Verditabell................................... 5 3.2 Graf....................................... 5 3.3 Utregning på grafen.............................. 7 3.3.1 Finne y når du kjenner x....................... 7 3.3.2 Skjæringspunkt med aksene.................... 8 3.3.3 Finne x når du kjenner y....................... 8 3.3.4 Finne topp- og bunnpunkter..................... 9 3.3.5 Finne likningen for tangent..................... 10 3.3.6 Finne momentan vekst........................ 11 4 Arbeid med regneark 11 5 Median 15 6 Gjennomsnitt 15 6.1 Gjennomsnitt når alle dataene er oppgitt.................. 15 6.2 Gjennomsnitt i frekvenstabell........................ 16 7 Standardavvik 17 7.1 Standardavvik når alle dataene er oppgitt................. 17 7.2 Standardavvik i frekvenstabeller...................... 18 8 Histogram 19 9 Spredningsdiagram 22 10 Regresjon 24 10.1 Lineær regresjon................................ 24 10.2 Eksponentiell regresjon............................ 25 10.3 Andregradsregresjon............................. 26 10.4 Potensregresjon................................ 27 2
Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet TI-Nspire CAS som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg2P», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 2P, 3. utgave, Gyldendal Undervisning, 2013. I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 10 Potensregning 2.2 15 Standardform 2.3 21 n-terot 2.4 23 Verditabell 3.1 50 Oppbygning av regneark 4 77 Median 5 80 Gjennomsnitt 6 82 Standardavvik 7 87 Histogram 8 116 Tegne graf 3.2 117 Skjæring med aksene 3.3.2 119 Finne når grafen antar en bestemt y-verdi 3.3.3 121 Regne ut funksjonsverdier 3.3.1 123 Finne toppunkt og bunnpunkt 3.3.4 129 Tangent 3.3.5 156 Spredningsdiagram 9 158 Lineær regresjon 10.1 160 Eksponentiell regresjon 10.2 163 Andregradsregresjon 10.3 167 Potensregresjon 10.4 3
1 Om TI-Nspire Dette heftet omtaler dataprogrammet TI-Nspire CAS. Versjonen som er brukt er 3.9, men forklaringene her burde kunne brukes også til andre versjoner av TI-Nspire. 2 Regning 2.1 Tallregning Vanlig tallregning gjør du i en kalkulator. I menyen velger du «Legg til Kalkulator». Du taster inn regnestykker som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). 2.2 Potenser Programmet bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Eksempel: Vi skriver inn utregningen 4 + 5 2 3 : Svaret blir altså 44. 2.3 Standardform Å taste inn tall på standardform gjøres ved å taste potensen inn på vanlig måte: Tallet 1,3 10 29 tastes inn som «1.3 10 29». 2.4 n-terøtter TI-Nspire har egen funksjon for n-terøtter. Trykk på «Matematiske sjabloner» og velg nterot der. Du kan også taste nterøtter inn som potenser. Da bruker vi at n a = a 1 n, altså for eksempel 4 20 = 20 1 4. Dette taster vi inn med «20 (1/4)» og får 2,11. 4
3 Funksjoner 3.1 Verditabell Det er flere måter å lage verditabell på i TI-Nspire. Vi velger å først først definere funksjonen i en kalkulator, før vi lager verditabellen i «Lister & Regneark». Eksempel: Vi skal lage verditabell for funksjonen f(x) = 36 0.96 x med x fra 5 til 20. I kalkulatoren skriver vi da inn «f(x):=36*0.96 x». Nå starter vi en «Lister & Regneark»-side. Fra verktøy-menyen velger vi Funksjonstabell > Skift til funksjonstabell. Vi blir spurt om hvilken funksjon vi skal lage verditabell for. Vi velger f. Da kommer verditabellen opp. Vi kan nå la programmet lage verditabell som begynner på x = 5 og som øker med 5 i hvert trinn. Da går vi til verktøymenyen igjen og velger Funksjonstabell > Rediger funksjonsinnstillinger. Der setter vi tabellstart til 5 og tabelltrinn til 5. Da skal det se slik ut: 3.2 Graf Å tegne grafen til en funksjon er i prinsippet bare å taste inn funksjonsuttrykket og så tilpasse vinduet ved å dra i aksene. 5
Eksempel: Vi vil lage en rask skisse av grafen til f(x) = x 2. Vi åpner et grafvindu ved å velge «Legg til Grafer». Der taster vi inn «x 2». Med en gang vi har tastet linjeskift, vises grafen: Nå kan vi endre vindusinnstillingene på flere måter: 1. Vi kan dra i aksene. 2. Vi kan velge passende zoom-nivå fra menyen vi får opp ved å høyreklikke på grafikkfeltet. 3. Vi kan velge passende verktøy fra «Vindu/Zoom»-menyen på verktøy-menyen. 4. Vi kan bestemme eksakt hvilke verdier vi vil ha på aksene, se forklaring nedenfor. For å tegne en rask skisse i TI-Nspire er ofte de første alternativene tilstrekkelige. For å tegne en graf nøyaktig er det imidlertid nødvendig å bestemme eksakt hvilke verdier som skal være på aksene. Eksempel: Vi skal tegne grafen til funksjonen f(x) = 0, 0215x 2 + 0, 87x + 2, 10 for x mellom 0 og 45. Eksempelet er hentet fra side 116 i læreboka. 6
1. Vi lager en verditabell over funksjonen med x fra 0 til 45, se forklaring ovenfor i avsnitt 3.1. 2. Vi leser av hvilke y-verdier som passer. I verditabellen ser vi at y minst må være 3 og aldri er over 11. Vi vil derfor la y være mellom 3 og 11. Vi lar x være mellom -3 og 45. (Strengt tatt er det tilstrekkelig å la x og y gå fra 0, men da vil ikke aksene bli synlige.) 3. Vi velger «Vindusinnstillinger» fra «Vindu/Zoom»-menyen på verktøy-menyen. Vi setter «XMin» til 3, «XMaks» til 45, «YMin» til 3 og «YMaks» til 11. Da blir grafen vår slik: 3.3 Utregning på grafen 3.3.1 Finne y når du kjenner x Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi a av x, taster vi inn f(a). Eksempel: Vi lar f være f(x) = 0, 005x 2 + 0, 28x, som i eksempel 2 på side 120 i læreboka. Vi velger «Legg til Grafer» og lar f1(x) være 0, 005x 2 + 0, 28x. Deretter velger vi «Legg til Kalkulator» og skriver inn «f(60)». Da får vi 38,8 til svar. 7
3.3.2 Skjæringspunkt med aksene Skjæringspunktene med y-aksen finner du ved å regne ut f(0), se avsnitt 3.3.1 ovenfor. Skjæringspunktene med x-aksen kalles nullpunkter. Du finner nullpunktene til en graf f ved å bruke «Null»-verktøyet på «Analyser graf»-menyen på verktøy-menyen. Eksempel: Vi skal finne nullpunktene til funksjonen f(x) = 0, 0215x 2 + 0, 87x + 2, 10. Vi velger «Analyser graf» > «Null». Deretter klikker vi på grafen, så på et punkt til venstre for nullpunktet og til slutt på et punkt til høyre for nullpunktet. Vi gjentar for det andre nullpunktet. Da ser det slik ut Dette betyr at nullpunktene har koordinatene A( 2, 28, 0) og B(42, 7, 0). Dersom en funksjon ikke har noe nullpunkt, vil TI-Nspire svare «Fant ingen nullpunkt innenfor de angitte grensene. 3.3.3 Finne x når du kjenner y Vi skal finne når en funksjon f har oppnådd en bestemt verdi b. Dette kan gjøres på flere måter. Vi velger å gjøre det ved å tegne inn en rett linje y = b og så finne skjæringspunktet mellom denne linja og grafen. 8
Eksempel: Vi skal finne når den rette linja y = 0, 32x + 65 får verdien y = 200. Eksempelet er hentet fra side 119 i læreboka. Vi legger til en grafapplikasjon og legger først inn funksjonen f1(x) = 0, 32x + 65. Deretter velger vi «Grafkommando/- redigering» > «Funksjon» fra verktøy-menyen og legger vi inn funksjonen f2(x) = 200. Vi tegner grafen til de to funksjonene, jfr. avsnitt 3.2 over. Til slutt finner skjæringspunktet mellom disse funksjonene ved å velge «Analyser graf» > «Skjæringspkt», klikker på et punkt til venstre for skjæringspunktet og deretter på et punkt til høyre for skjæringspunktet. Da ser det slik ut: Dette betyr at f(x) = 200 når x = 422. 3.3.4 Finne topp- og bunnpunkter Vi skal finne toppunktet på grafen til f(x) = 0, 015x 3 +0, 29x 2 1, 39x+4, hentet fra eksempel 3 på side 122 i læreboka. Vi legger til en grafer-applikasjon, legger inn funksjonen som «f(x)». Deretter velger vi «Analyser graf» > «Maksimum» fra verktøy-menyen. Vi klikker på et punkt til venstre for toppunktet og deretter på et punkt til høyre for toppunktet. Da ser det slik ut: 9
Dette betyr at koordinatene til toppunktet er (9, 71, 4, 11). 3.3.5 Finne likningen for tangent Vi tar utgangspunkt i funksjonen f(x) = 0, 0197x 3 + 2, 5x 2 1, 3x + 65 fra side 128 i læreboka. Vi skal finne tangenten til grafen til f for x = 15. Vi legger inn funksjonsuttrykket som «f1(x)». Så velger vi «Geometri» > «Punkter Linjer» > «Punkt på» og klikker et sted på grafen. Deretter dobbeltklikker vi på x-koordinaten til punktet og taster inn «15». Deretter velger vi «Geometri» > «Punkter & linjer» > «Tangent» og klikker på punktet. 10
Så likningen til tangenten blir y = 60, 4x 364, 53. 3.3.6 Finne momentan vekst Vi tar utgangspunkt i funksjonen f(x) = 0, 0197x 3 +2, 5x 2 1, 3x+65 fra side 128 i læreboka. Vi skal finne den momentane veksten til f for x = 15, altså f (15). Vi legger et punkt på grafen med x-koordinat 15, som forklart ovenfor i avsnitt 3.3.5. Deretter velger vi «Analyser graf» > «dy/dx» og klikker på punktet. Da vises den momentane veksten på skjermen. Vi ser at f (15) = 60, 4. 4 Arbeid med regneark TI-Nspire inneholder et forenklet regneark. Du kan få gjort det meste i dette regnearket. Det finnes imidlertid også egne programmer som er laget spesielt for regneark. Dersom du kjenner et slikt fra før, kan det være hensiktsmessig å bruke det i stedet. Et regneark kan i mange situasjoner forenkle arbeidet i matematikken. For det første kan du dele opp inntasting og utregning, slik at det blir enklere å feilsøke enn om du regner med papir eller lommeregner. For det andre finnes det effektive metoder for å bygge opp regneark, slik at du sparer inntasting. 11
Som eksempel på hvordan vi bygger opp et regneark, går vi her gjennom regnearket på side 50 i boka. Vi velger «Legg til lister og regneark», og starter med å taste inn kolonneoverskriftene. Der overskriftene er for lange, viser TI-Nspire bare starten av teksten. Da ser regnearket vårt slik ut: Vi skal taste inn stigende tall fra 1 til 6. Når det er såpass få tall, er det raskest å taste inn manuelt. Når det er mange, lønner det seg å få progammet til å gjøre det. Vi øver på det siste: Vi taster inn 1 og 2 i cellene A2 og A3. Deretter markerer vi de to cellene. Vi tar tak i nedre høyre hjørne og drar det ned til vi har fylt seks rader. Vi taster inn frekvensene i kolonne B. Under frekvensene vil vi summere. Da skriver vi «=sum(b2:b7)», og programmet summerer for oss. Legg merke til at vi bruker et likhetstegn i starten av kommandoen slik at programmet skal forstå at vi skriver inn en kommando og ikke vanlig tekst. Summeringskommandoen finner du også på menyknappen «Dokumentverktøy», under Data > Matematisk liste > Sum av elementer. 12
Nå skal vi lage kolonnen for kumulativ frekvens. Den første verdien er rett og slett første frekvens. Vi setter derfor celle C2 til «=B2». Resten av cellene i kolonne C skal være summen av cellen over og cellen til venstre, altså summen av kumulativ frekvens til nå og frekvensen på denne linja. Da setter vi celle C3 til «=C2+B3». Deretter markerer vi celle C3 og utvider cellen til å gjelde hele kolonnen ved å dra i nedre høyre hjørne. Da ser det slik ut: Neste kolonne er relativ frekvens. Hver celle skal settes til frekvensen, i kolonne B, dividert med summen av frekvensene, celle B8. Hvis vi gjør som ovenfor og setter celle D2 til «=B2/B8», vil ikke de neste cellene få referanse til B8 når vi utvider. De vil referere til B9, B10, B11 og så videre. For å unngå dette, må vi låse referansen 13
til celle B8. Det gjør vi ved å sette tegnet «$» inni referansen, slik «=B2/$B$8». Da kan vi utvide også denne cellen til å gjelde hele kolonnen. Hvis du dobbeltklikker på cellene, vil du kunne se hvilken kommando som står der. Kontroller for eksempel at celle D5 inneholder «B5/$B$8». Tabellen din skal nå se slik ut: Kolonnen for relativ kumulativ frekvens er omtrent lik den for relativ frekvens, men med den forskjellen at det er den relative frekvensen fra kolonne C vi dividerer med B8. Vi setter celle E2 til «=C2/$B$8» og utvider cellen til hele kolonnen. (Vi får samme resultat om vi utvider kolonne D til å omfatte kolonne E.) Da ser det slik ut. 14
Hvis vi ønsker det, kan vi summere kolonne D og kontrollere at summen blir 1, slik vi har gjort ovenfor. Dersom din tabell viser brøker, ikke desimaltall, kan du, om du ønsker det, sette dokumentet til å alltid vise desimaltall. Da går du til Fil > Innstillinger > Dokumentinstillinger og setter «Beregningsmodus» til «Tilnærmet». 5 Median For å finne medianen, legger vi inn alle dataene våre og bruker kommandoen «=median()». Inni parentesene legger vi inn området dataene er lagt inn, for eksempel «=median(a1:a30)». Dette gjør du ved å ha markøren mellom parentesene og så klikke og dra over alle cellene med dataene i. 6 Gjennomsnitt 6.1 Gjennomsnitt når alle dataene er oppgitt Gjennomsnittet regner vi ut med kommandoen «=mean()». Mellom parentesene skriver vi inn området datene ligger i, for eksempel «=mean(a1:a6)». Plasser markøren mellom parentesene. Så klikker du og drar over alle cellene du vil ha gjennomsnittet av. 15
6.2 Gjennomsnitt i frekvenstabell Dersom dataene er oppgitt i en frekvenstabell er det lettest å regne ut gjennomsnittet selv. Vi setter opp dataene i to kolonner. Så lar vi cellene i den tredje kolonnen være produktet av cellene i de to første. Tast inn tabellen. Klikk i første celle til høyre for tabellen (C2). Tast inn «=», klikk på celle A2, klikk til høyre for teksten i celle C2, tast inn «*», klikk på celle B2, tast linjeskift to ganger. Utvid cellen til hele kolonnen (til C7). Til slutt summerer du kolonne B og C. Gjennomsnittet er nå summen av kolonne C dividert med summen av kolonne B, altså «=C8/B8». Da skal tabellen din se ut som figuren nedenfor. 16
7 Standardavvik 7.1 Standardavvik når alle dataene er oppgitt Vi finner standardavviket med komandoen «=stdevpop()». Denne finner du på verktøymenyens Data > Matematisk liste > Populasjonens standardavvik. 1. Inni parentesene angir du området for dataene, akkurat som for gjennomsnittet. 1 Det finnes også en kommando «=stdevsamp()». Den gir galt svar. 17
7.2 Standardavvik i frekvenstabeller Med en frekvenstabell, er det best å regne ut standardavviket selv. 1. Regn ut gjennomsnittet som beskrevet over. 2. La celle D2 være «=B2*(A2-$C$10) 2». (Pass på at referansen til C10 er låst slik at det blir «$C$10».) 3. Utvid D2 til hele kolonne D, altså til D7. 4. Summer kolonne D (sett D8 til «=sum(d2:d7)»). 5. Standardavviket er kvadratroten av D8 dividert med B10. Det får du med «=sqrt(d8/b10)». 18
8 Histogram For å lage histogram, legger vi inn dataene i «Lister & Regneark», beregner klassebreddene og histogramhøyden manuelt og tegner så histogrammet i «Data & Statistikk». Eksempel: Vi vil lage et histogram for denne frekvenstabellen: [0, 1 2 [1, 2 4 [2, 4 3 I en ny oppgave velger vi «Lister & Regneark». 1. I kolonne A legger vi inn nedre grense for hvert klasseintervall. I kolonne B legger vi inn øvre grense i hvert klasseintervall. I kolonne C legger vi inn frekvensen. 2. I kolonne D regner vi ut klassemidtpunktet 2 : Sett celle D1 til gjennomsnittet av A1 og B1, altså D1 = (A1 + B1)/2. Utvid celle D1 til å D2 og D3. 2 Denne verdien skal plassere søylen på riktig x-verdi. Vi kan velge en hvilken som helst x-verdi i intervallet vårt. 19
3. I kolonne E regner vi ut klassebredden. Sett celle E1 til differansen mellom B1 og A1, altså E1 = B1 A1. Utvid E1 til E2 og E3. 4. I kolonne F regner vi ut histogramhøyden, altså frekvens dividert med klassebredde. Sett F1 = C1/E1 og utvid til F2 og F3. 5. I kolonne G lister vi opp alle klassegrensene. Da skal vi få en rad mer enn i alle de andre kolonnene. 6. Gi alle kolonnene passende navn, for eksempel henholdsvis intervallvenstre, intervallhøyre, frekvens, xliste, klassebredde, histogramhøyde og klasseinndeling. Da skal tabellen din se slik ut: Deretter legger jeg til en side med «Data & Statistikk». Jeg gjør følgende: 1. Høyreklikk på x-aksen og velg «Legg til X-variabel med Summary List». 2. Velg «xliste» som X-liste og «histogramhøyde» som Oppsummeringsliste og klikk på OK. 3. På verktøy-menyen velger du nå Plottegenskaper > Histogram-egenskaper > Binære innstillinger > Variabel Bin-bredde. Der velger du nå «klasseinndeling» som Liste over inndeling og klikker på OK. Da får du histogrammet på figuren under. 20
Eksempel: Vi skal lage histogrammet på side 133 i læreboka. Først lager vi en ny oppgave med en side med «Lister &Regneark». Vi lager kolonner for venstre klassegrense, høyre klassegrense, frekvens, x-verdier, klassebredde, histogramhøyde og klasseinndeling, jfr. figuren nedenfor. Husk å gi kolonnene passende navn! 21
Nå legger vi til en ny side med «Data & Statistikk». Vi høyreklikker på x-aksen og velger «Legg til X-variabel med Summary List». Vi setter X-list til «alder» og Oppsummeringsliste til «histogramhøyde». På verktøymenyen går vi nå til Plottegenskaper > Histogram-egenskaper > Binære innstillinger > Variabel Bin-bredde. Der velger vi «klasseinndeling». Da blir histogrammet vårt slik: 9 Spredningsdiagram Vi lager spredningsdiagram ved å legge inn datasettet i «Lister & Regneark», og så definere hva som skal være x og hva som skal være y i «Data & statistikk». 22
Eksempel: Vi skal lage spredningsdiagrammet fra side 156 i læreboka, altså med utgangspunkt i følgende verditabell: x 1 2 5 7 8 y 2 5 5 4 6 I en ny oppgave legger vi til en side med «Lister & Regneark». Der legger vi inn verditabellen vår. I øverste linje gir vi navn til x-verdiene og y-verdiene, for eksempel henholdsvis «xliste» og «yliste». Da ser det slik ut: Deretter legger vi til en ny side i oppgaven og legger til «Data & statistikk». Vi klikker på teksten «Klikk for å legge til variabel» langs x-aksen og velger «xliste». Deretter klikker vi på teksten «Klikk for å legge til variabel» langs y-aksen og velger «yliste». Da blir spredningsdiagrammet tegnet opp: 23
For å endre utsnittet som vises i vinduet nå, kan du dra i aksene. Flytt markøren over enden på hver akse til den endrer seg til en markør som viser at du kan dra i aksen. Dra så til du har det utsnittet du ønsker. 10 Regresjon Regresjon i TI-Nspire gjøres slik: 1. Legg datasettet ditt inn i på en side med «Lister & Regneark» og lag spredningsdiagram, se avsnitt 9. 2. Velg passende regresjonstype fra verktøymenyens Analyser > Regresjon. 10.1 Lineær regresjon Vi skal foreta lineær regresjon på verditabellen på side 158 i læreboka. Først legger vi verditabellen inn i regnearket og lager spredningsdiagram med skonummer langs x-aksen og høyden langs y-aksen, se avsnitt 9. Deretter velger vi Analyser > Regresjon > Vis lineær (mx + b). 24
Da får vi tegnet inn regresjonslinja sammen med funksjonsuttrykket. Altså er funksjonsuttrykket som tilnærmet viser sammenhengen mellom skonummer og høyde y = 4, 8x 24, 5. 10.2 Eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon utføres ved å velge «Vis eksponensiell» fra Regresjonsmenyen. 25
Vi skal utføre regresjonen på side 160 i læreboka. 1. Vi legger inn verditabellen i «Lister & Regneark». 2. Vi lager nye side med «Data & statistikk» og legger timer langs x-aksen og nikotinmengde langs y-aksen. 3. Vi velger Analyser > Regresjon > Vis eksponensiell fra verktøymenyen. Nedenfor finner ser du en figur som viser hvordan TI-Nspire-vinduet ser ut etter denne regresjonen. Som vi kan se, blir uttrykket for regresjonskurven f(x) = 40,31 0,705 x 10.3 Andregradsregresjon Andregradsregresjon utføres med kommandoen «Vis kvadratisk» fra regresjonsmenyen. Dersom vi bruker «Vis kubisk» får vi en tredjegradsfunksjon til svar, og bruker vi «Vis fjerdegrads», får vi en fjerdegradsfunksjon. Eksempel: Vi utfører regresjonen på side 162 og 163 i læreboka. 1. Vi legger inn verditabellen i «Lister & Regneark». 2. Vi lager nye side med «Data & statistikk» og legger fart langs x-aksen og stopplengde langs y-aksen. 26
3. Vi velger Analyser > Regresjon > Vis kvadratisk fra verktøymenyen. Nedenfor finner ser du en figur som viser hvordan TI-Nspire-vinduet ser ut etter denne regresjonen. Som vi kan se fra figuren, blir uttrykket for regresjonskurven f(x) = 0,01x 2 + 0,23x + 0,34 10.4 Potensregresjon Potensregresjon utføres med kommandoen «Vis potens» fra regresjonsmenyen. Eksempel: Vi utfører regresjonen på side 167 i læreboka. 1. Vi legger inn verditabellen i «Lister & Regneark». 2. Vi lager nye side med «Data & statistikk» og legger lengde langs x-aksen og svingetid langs y-aksen. 3. Vi velger Analyser > Regresjon > Vis kvadratisk fra verktøymenyen. Da får vi omtrent følgende bilde: 27
Vi ser at regresjonskurven har funksjonsuttrykket f(x) = 2 x 0,5 28