KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 EKSAMENSDATO:. desember 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og sider formelrk) TILLATTE HJELPEMIDLER: John Hugn: Formler og tbeller. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblynt som gir gjennomslg. Ved innlevering skilles hvit og gul besvrelse og legges i hvert sitt omslg. Oppgvetekst, kldd og blå kopi beholder kndidten. Husk kndidtnummer på lle rk.
Eksmen i Mtemtikk. desember 9 Hvert v de bokstvpunktene teller likt. Oppgver uten bokstvpunkter regnes som et bokstvpunkt. Oppgve ) Deriver funksjonen f gitt ved f(x) = ( x 8 )4. b ) Finn likningen til tngenten til kurven gitt ved likningen y = ( x 8 ) 4 i punktet der x =3. Svret skl gies på stndrdformen y = x + b. Oppgve Finn grensen lim x x 3 x + x 4x +3. Oppgve 3 En prtikkel beveger seg i xy plnet, og hr ved tidspunktet t posisjonen gitt ved posisjonsfunksjonen r(t) = [ te t, ln(t +3) ]. Finn v(), det vil si hstighetsvektoren ved tidspunktet t =. Oppgve 4 Regn ut det bestemte integrlet /8 sin (πt + π/4) dt. Oppgve 5 L F være det fltestykket som er vgrenset v kurvene gitt ved likningene y = x + og y =x +. Regn ut volumet v det legemet som frmkommer når F roteres om x ksen.
Eksmen i Mtemtikk. desember 9 Oppgve 6 ) Vis ved integrsjon t x 3 e x dx = ( x ) e x + C b ) Finn llmenn løsning v differensillikningen y +xy = x 3 c ) En entydig kontinuerlig deriverbr funksjon y, definert for <x<, oppfyller Finn et eksplisitt funksjonsuttrykk for y. Oppgve 7 x y = y, y() =. En kontinuerlig funksjon y = y(x) definert for x 4 oppfyller differensillikningen y = e y /, y() =. Du skl ltså godt t en slik løsning finnes, det er utenfor pensum å vise dette. Denne oppgven kn løses uten å løse difflikningen, noe du heller ikke bør prøve på. Løsningen er ikke en elementær funksjon. For hvilke x mellom og 4 er y en voksende funksjon? For hvilke x mellom og 4 er grfen til y konveks (krummer oppover)? Svrene skl selvfølgelig begrunnes. Lykke til.
Eksmen i Mtemtikk. desember 9 3 Formelrk. Derivsjon og integrsjon (to sider). Derivsjonsregler f, g, u og v er deriverbre funksjoner., b og r er konstnter. Generelle derivsjonsregler f f f + bg f + bg Lineritet u v u v + u v Produktregelen 3 u v u v u v v Kvotienttregelen 4 f(u(x)) f (u) u (x) Kjerneregelen Den deriverte v spesielle funksjoner f(x) f (x) 5 x + b Spesielt f(x) =x + b: b = 6 x r rx r Også omr er negtiv eller en brøk 7 sin(x) cos(x) 8 cos(x) sin(x) 9 tn(x) +tn (x) Alterntiv: tn(x) =/ cos (x) e x e x ln(x) rcsin(x) x x Mer generelt: ln( x ) =/x 3 rctn(x) +x
Eksmen i Mtemtikk. desember 9 4 Integrsjonsregler Generelle integrsjonsregler f + bg dx = fdx+ b gdx u v dx = uv u vdx 4 f(u(x)) u (x) dx = f(u) du Lineritet Delvis integrsjon Substitusjon Integrlet v spesielle funksjoner 5 6 7 8 3 dx = x + C Integrsjon v konstnt x r dx = r+ xr+ + C r (Se for r = ) cos(x) dx = sin(x) +C sin(x) dx = cos(x) +C e x dx = e x + C x dx = ln( x )+C dx = rcsin(x)+c x dx = rctn(x)+c +x Bestemte integrler 4) Hvis f(x) er kontinuerlig og F (x) =f(x)er A d b b f(x) dx =[F (x)] b = F (b) F (). 5) Integrsjon over smmenstt område, A er disjunkt union v intervllene [, c] og [d, b]: c b b c b f(x) dx = f(x) dx+ f(x) dx. Spesielt f(x) dx = f(x) dx+ f(x) dx. c 6) Ombytting v grenser: 7) Substitusjon: b f(x) dx = f(u(x))u (x) dx = b f(x) dx. u(b) u() f(u) du. Helt slutt!
Løsning, eksmen i Mtemtikk. desember 9 Oppgve ) Kjerneregelen, med kjerne u = x 8ogdermedu =x: f (x) =4u u =4(x 8) 3 x =8x(x 8) 3 b ) Tngentlikningen for =3ery = f(3) + f (3)(x 3). f(3) = (3 8) 4 = 4 =. f (3) = 8 3 (3 8) 3 =4 3 = 4. Oppgve y = + 4(x 3) y =4x 7. Innsetting v x = giribåde teller og nevner, så L Hopitls regel kn prøves: x 3 x ( ) + lim x x 4x +3 = L Hopitl 3x 4x = lim x x 4 = 3 4 = 4 =/ Oppgve 3 Hstigheten er den deriverte v posisjonen med hensyn på tiden. Koordintvis derivsjon. I første koordint trengs produktregelen: (te t ) = e t + t e t =(+t)e t. I ndre koordint trengs kjerneregelen: ln(t +3) = u u = t +3 t : v(t) = [ ( + t)e t, ] t t +3. Innsetting v t =gir v() = [ ( + )e, ] t =[, ]. +3 Oppgve 4 Substitusjon med u =πt + π/4. D er du/dt =π π du = dt. Substitusjon i grensene: Øvre grense: u =π 8 + π/4 =π/. Nedre grense: u =π +π/4 =π/4. ( π/ sin(u) du = [ cos(u)]π/ π π/4 π π/4 = ( cos(π/) + cos(π/4)) = + π π Oppgve 5 ) = Volum v et legeme vgrenset v x =, x = b, x ksenoggrfentily er π y dx. Når vgrensingertogrfer,tily >y er volumet v omdreiningslegemet volumet v omdreiningslegemt dnnet v y minus hullet som er omdreiningslegemet dnnet v y. 4π
Løsning, eksmen i Mtemtikk. desember 9 Alterntivt kn du rgumentere vi Riemnnsum, skivemetoden, der skivene får ytre rdius y og et hull med rdius y.) b b b V = π y dx π y dx = π y y dx. For å finne vgrensing i x retningen v det innelukkede fltestykket F må du finne ut for hvilke x de to funksjonsuttrykkene er like: x +=x + x x = x = x =. Du kn for eksempel finne ut hvilken som er størst ved åsepå hvilken som er størst i et v punktene i intervllet [, ], for eksempel x =: y = x +: y() = + =. y =x+: y() = + = 3. Det er ltså den lineære funksjonen som er størst og skl velges som y : V = π (x+) (x +) dx = π 4x +4x+ (x 4 +x +)dx = π x 4 +x +4xdx [ = π 5 x5 + ] 3 x3 +x = π( 5 5 + 3 3 + 3 3 + 8 5+8 5 ) = π = 4 5 5 π. Oppgve 6 ) Substituer med z = x. D blir dz/dx =x dz = xdx. Fktoren x i dz trekkes ut fr x 3 = x x, og den gjenstående fktoren x er z: x 3 e x dx = ze z dz Det gjenstående integrlet er delvis integrsjon uv dx = uv u vdx,medu = z og dermed u =ogv = e z, og dermed også v = e z : = ( ) ze z e z dz = (zez e z )+C = ( x e x e x) + C = ( x ) e x + C b) F (x) = xdx= x + C, så integrerende fktor er e x som multipliseres inn: e x y + e x xy = e x x 3 ( ) e x y = x 3 e x Integrerer begge sider, og integrlet på høyresiden er oppgven: e x y = ( x ) e x + C Dividerer begge sider med e x, som er det smme som å multiplisere med e x : ( ( y = x ) ) e x + C e x y = ( x ) + Ce x
Løsning, eksmen i Mtemtikk. desember 9 3 c) På grunn v leddet y er den neppe lineær, så vifår prøve å ordne den til formen F (y)y = G(x) for seprble difflikninger. Det får vi til ved å dividere begge sidere med x y : y y = x y dy = x dx Integrerer begge sider: y dy = x dx y = x + C y = x + C Det kn være greit å bestemme C nå, ved å sette inn x =ogy =: = + C C = += Multipliserer begge sider med y, og divideretter med lt som står forn y: ( = x + ) y y = /x + Det er greit å rydde opp i den brudne brøken ved å multiplisere teller og nevner med x: Oppgve 7 y = x x Siden e u > for lle u,er høyresiden e y / >. Fr difflikningen er dette lik y. Det vil si t y >, og funksjonen y er voksende for lle x i domenet. Grfen er konveks der y >. Ved å derivere begge sider v likhetstegnet med hensyn på x finnes et uttrykk for y.iderivsjonen brukes kjerneregelen med eksponenten som kjerne. Den deriverte v ekspoenenten er ( y) y, der siste fktor y kommer v t y en funksjon v x så kjerneregelen er brukt også på den deriverte v kjernen (implisitt derivsjon): y = e y / ( y) y Fr første del v oppgven hr vi t y >, og fortstt e y / >. Fortegnet på y er ltså det smme som fortegnet på y. Sideny() = (tilleggsbetingelsen) og y er voksende er y<, og dermed y >, for x<. Dermed er også y > forx<. Konklusjon: Grfen til y er konveks for x<. For x>erdenkonkv(y < ) og for x = hr den et vendepunkt.