Løsgsforslag Eksame Statstkk Nov 00 Oppgave a) Det fs 8 mulge kombasjoer. Dsse fes ved å utelate ett og ett tall. Atall utvalg av størrelse 7 blat m er ( m 7 ). b) Prs Atall Rekker 3 kr. ( 7 ) 3 kr.... 6... 7 3 kr. 376 kr. Tlærmelse, år p µ, kommer fra resultatet; lm b(x;, p) p(x; µ). b(x;, p) er bomsk med parametre og p. p(x; µ) er posso med parametre µ. Dersom p er lte og stor, vl possofordelge være e god tlærmelse tl de bomske fordelge. Tlærmelse vl være gtt ved hvor P (X x) b(x;, p) p(x; µ) µx x! exp( µ), µ p 48 335 5 379 66 4.0. Possotlærmelse:
P (X 0) exp( 4) 0.083, P (X ) 4 exp( 4) 0.0733. Bomsk tlærmelse: P (X 0) ( p) 0.084, P (X ) 4 ( p) 0.0736. V ser at tlærmelse er meget god. Oppgave a) Merk fra Ve dagram at I kke overlapper F eller R. P (R F ) P (R F ) P (F ) 0.3 0.5 0.6 P (R I ) P (R I ) P (I ) P (R) P (I) 0.4 0.05 0.4 b) Geerelle forutsetger for bomsk fordelg ) Forsøksrekke består av ekeltforsøk.
) Det regstreres ku suksess eller kke suksess. ) Sasylghete for suksess er lk alle forsøk. v) Ekeltforsøkee er uavhegge. For X har v ) Det er valgt ut kamper. ) V regstrerer ku om de som får første målet ver(suksess) eller kke. ) Sasylghete for suksess er p og er atatt å være kostat. v) V atar at kampee er uavhegge. Dette er rmelge atakelser. Setralgreseteoremet ser: Dersom Z, Z,..., Z er uavhegg detsk fordelte fra sasylghetsfordelge f Z (z), hvor E(Z) µ og V ar(z) σ, så vl Z µ kovergere mot e ormalfordelg med σ forvetg 0 og varas. Der Z Z. For e bomsk forsøksrekke, defer Z slk at: Z hvs suksess, og Z 0 ellers. Med adre ord: { p hvs z P (Z z) p hvs z 0 Slk at E(Z ) p og V ar(z ) p( p). Sde ekeltforsøkee er uavhegge så er Z ee også uavhegge. Av setralgreseteoremet følger at ˆp p kovergerer mot e ormalfordelg med forvetg 0 og p( p) varas. Der ˆp Z. c) H 0 : p 0.8 mot H : p < 0.8 Evetuelt: H 0 : p 0.8 mot H : p < 0.8 V øsker å forkaste dersom ˆp < k, hvor k bestemmes slk at V beytter at Z ˆp p 0 p0 ( p 0 ) uder H 0. Da har v fra lgge over: P (ˆp < k) α 0.05 er tlærmet ormalfordelt med forvetg 0 og varas P (Z < (k p0 ) p0 ( p 0 ) ) 0.05 (k p0 ) p0 ( p 0 ) Z 0.05 3
p Dette gr k p 0 Z 0 ( p 0 ) 0.05. V forkaster H 0 dersom: ˆp < p 0 Z 0.05 p0 ( p 0 ) 0.8 0.658 For 4 og X Z 7 får v ˆp 0.7, k 0.67. V forkaster kke H 0. V ka kke pastå at ekspertkommetatore tar fel på 5 proset vå. d) V øsker at styrke på teste alteratvet p 0.7 skal være mst 0.9. Dvs P (ˆp < 0.8 0.658 p 0.7) 0.9 V beytter at Z ˆp 0.7 0.7 0.3 er tlærmet ormalfordelt med forvetg 0 og varas uder alteratvet med p 0.7. Isatt kravet fra lgge over gr dette: P (Z < 0.8 0.7 0.658 ) 0.9 0.7 0.3 0.7 0.3 0. percetle ormalfordelge er lk Z 0..8. Kravet som må oppfylle blr dermed: 0. 0.658.8 0.7 0.3 0.7 0.3 Løsge blr 55. kamper. Dvs at v må se mst 56 kamper for å oppå de øskede styrke på teste. Oppgave 3 a) P (Bot) P (P.vakt akommer før Katre) P (T < ) 5 exp( t 5 ) dt 0 exp( 5 ) 0.33. Deferer K kostad ved parkergsopphold. Får da 4
P (K 300) P (Bot løpet av t tmer) P (T < t) t 0 λ exp( tλ)dt exp( λt). P (K 0) P (Ikke bot løpet at t tmer) exp( λt). E(K) 300( exp( λt)) + 0 300( exp( λt)). Forvetet kostad løpet av 8 tmer: E(K 8 ) 300( exp( 8 5 )) 39.40kr. Ordær prs: 8 30 kr 40 kr. Det løer seg (økoomsk) å kke betale. b) Fer sasylghetsmaksmergsfuksjoe L(λ) f(t,..., t ; λ) λ exp( λt ), de aturlge logartme av sasylghetsmaksmergsfuksjoe, l(λ) l(l(λ)) l(λ) λ og de derverte av de aturlge logartme av sasylghetsmaksmergsfuksjoe l λ λ t. 5 t
De dobbeltderverte er l λ λ. Setter de derverte lk ull, og får da et uttrykk for sasylghetsmaksmergsestmatore ˆλ t. Dee vet v er verde som maksmerer λ, ford de dobbeltderverte alltd er mdre e ull her. E(ˆλ) E( t ) E( t ) λ V ser da at estmatore kke er forvetgsrett, og foreslår da λ ˆλ. λ er å forvetgsrett, og ka estmeres: E( λ) E(ˆλ) λ λ 9 λ 4.5 0.447. c) Fra tabelle ka ma lese: For T ekspoeselt fordelt, M T (t) t. λ 6
For U χ -fordelt med frhetsgrader, M U (t) Beytter å stadard regeregler for MGF: M P ( t). T (t) M T (t) ( t λ ). P M λ T (t) MP T (λt) ( t) Har å vst at V λ T har samme MGF som e χ -fordelt varabel med frhetsgrader og dermed er V χ -fordelt med frhetsgrader. d) Fra c) har v følgede P (χ α < λ T < χ α ) α, hvor χ α og χ α er kvatler e χ -fordelt med frhetsgrader. Har da P ( χ α T < λ < χ α T ), og v får et ( α) 00% kofdestervall for λ For de aktuelle stuasjoe [ χ α T, χ α T ] [λ L, λ R ]. χ α, χ 0.975,40 4.43, χ α, χ 0.05,40 59.34. 7
Får da λ L 0.874, λ R 0.6980. (studetee ble kke bedt om å berege dsse). Sde 300( exp( λt)) er mootot økede λ, så blr ( α) 00% kofdestervall for λ lk [300( exp( λ L t)), 300( exp( λ R t))], hvor λ L og λ R er som tdlgere. For t 8 får v tervallet [69.90, 98.87]. 8