007/1 Notater Anna-Karn Mevk Notater Et uskkerhetsål for Produksjonsndeksen for ndustr Stasavdelng/Seksjon for etoder og standarder
Innhold 1. Innlednng... 3. Laspeyres volundeks... 3 3. Produksjonsndeksen for ndustr... 5 3.1. Korttdsndeksen... 6 3.. Langtdsndeksen... 7 4. Et uskkerhetsål for produksjonsndeksen... 8 4.1. Utlednng av uskkerhetsål... 8 4.. Hva påvrker den ålte uskkerheten... 14 4.3. En egrensng for uskkerhetsålet... 15 5. Talleksepel... 16 6. Oppsuerng... 8 Referanser... 8 Vedlegg... 9 Modellvalg... 9 1
1. Innlednng Produksjonsndeksen for ndustr er en ånedlg volundeks. Ideelt skal den åle voluendrngen earedngsverden nnen olje- og gassutvnnng ndustr ergverksdrft og kraftforsynng (en v å egrense våre uskkerhetseregnnger tl ndustr og ergverksdrft se kapttel 4.). Indeksen er ygd opp so en årlg kjedet Laspeyres ndeks. I dette notatet skal v lage et uskkerhetsål for produksjonsndeksen. V ønsker å lage et uskkerhetsål so ser noe o hvor nær v kan forvente at produksjonsndeksen er den faktske voluendrngen. Med et slkt uskkerhetsål kan v lage konfdensntervall so er en populær åte å frestlle uskkerheten på. (Et konfdensntervall er et ntervall so ed stor sannsynlghet oslutter den størrelsen so skal esteres dette tlfellet voluendrngen earedngsverden). Dered trenger v en konkret defnsjon på hva so enes ed voluendrng earedngsverden (ellers er det uulg å s noe o hvor godt produksjonsndeksen klarer å treffe denne voluendrngen). So for volundekser generelt har v ngen slk defnsjon. (Det fns defnsjoner på ulke ndekser so kan rukes tl å åle en voluendrng so f.eks. Laspeyres og Paasches volundeks en v har kke funnet noen defnsjon på selve voluendrngen). Derfor skal v dette notatet lage oss en defnsjon for dette og åle uskkerheten produksjonsndeksen ut fra denne. V starter kapttel ed å g en kort nnførng oppyggngen av en kjedet Laspeyres volundeks. Med utgangspunkt denne ndeksen lager v en defnsjon på hva v skal ene ed voluendrng. I kapttel 3 presenterer v produksjonsndeksen og ser hvordan defnsjonen på voluendngen lr denne stuasjonen. I kapttel 4 lager v et uskkerhetsål for ndeksen. Dette har v så enyttet tl å estere uskkerheten produksjonsndeksen for 005 og 006. Resultatet av dette gr v kapttel 5. Helt tl slutt gr v en oppsuerng kapttel 6. I aredet ed uskkerhetseregnngene og skrvng av notatet har Øyvnd Naustdal og Joaqun Rodrguez på seksjon 40 (økonoske ndkatorer) dratt ed nyttge tlakeeldnger og vktg nforasjon.. Laspeyres volundeks Volundekser rukes en del nnen økonosk statstkk. Henskten ed slke ndekser er å åle voluendrnger. V kan ev. s at en volundeks skal ang hvor stor faktor av en verdendrng so skyldes endrng volu tl forskjell fra endrng prs. De kanskje est kjente volundeksene er Paasche og Laspeyre. Her skal v g en kort presentasjon av Laspeyres ndeks. V skal ta for oss en stuasjon hvor det er den årlge voluendrngen produksjonsverden so skal åles. La oss s at det er endrngen fra år t-1 tl år t so skal eregnes (år t-1 kalles gjerne assår ens t kalles statstkkår). Da er Laspeyres volundeks gtt ved Q t 1 t pj q s j j t/ t 1 t 1 t 1 p s j j q j = der s er et utvalg av edrfter suen er over de vktgste varene tl den enkelte edrft t 1 q j og j t t 1 q j er produsert engde av vare j for edrft årene t-1 og t (henholdsvs) og p j er en prs på vare j for edrft år t-1. (Merk at suene teller og nevner skal være over de sae enhetene). 3
Det kan eerkes at Laspeyres ndeks kke edfører saenhengen endrng verd = ( endrng prs) ( endrng volu). Når en verd endrer seg fra en perode tl en annen skyldes dette noralt en konasjon av prs- og voluendrng (v ser ort fra proleatkken ed kvaltetsendrnger). Hvs en volundeks skal åle den delen av en verdendrng so skyldes endrng volu ens en prsndeks skal åle den delen so skyldes endrng prs er dette en saenheng v ønsker. Men produktet av Laspeyres prs- og volundeks er kke lk verdendrngen. (Fshers ndeks er derot en ndeks so tlfredstller denne saenhengen (Chevaler 003)). Hva er så Q t / t 1 en estator for? I dette notatet velger v å s at Q t / t 1 er en estator for den størrelsen v får på Q t / t 1 hvs v oserverer hele populasjonen. Dvs. v velger å s at Q t / t 1 er en estator for Q t 1 t pj q U j j t/ t 1 t 1 t 1 p U j j q j = der U er alle edrfter populasjonen og suen j er over alle varene tl den enkelte edrft. Størrelsen Qt / t 1 er ed andre ord vår defnsjon på en voluendrng. Merk at suene teller og nevner skal gå over de sae enhetene. Dette etyr l.a. at edrfter so lr etalert løpet av år t kke er ed t / t 1 Q. Bdraget fra dsse edrftene lr dered kke regnet ed den salede voluendrngen. Det er også vert å erke seg at v vlle fått en annen defnsjon på voluendrng hvs v hadde tatt utgangspunkt en annen ndeks enn Laspeyres. Den kjedede ndeksen tl Laspayres for år t og ed assår t I = Q Q Q 100. t/ t n t n+ 1/ t n t 1/ t t/ t 1 n er gtt ved I en slk kjedng kalles Q t / t 1 gjerne for korttdsndeks ens / It t n kalles langtdsndeks. Ford I = Q Q 100 får v at / t 1/ t n t n+ 1/ t n t 1/ t It t n kan skrves so I = I Q. t/ t n t 1/ t n t / t 1 Dvs. at v får langtdsndeksen for år t ved å kjede korttdsndeksen Q t / t 1 på langtdsndeksen for år t 1. Når v joer ed langtdsndeksen I t/ t n= It 1/ t n Qt / t 1 dette notatet skal v se på It 1/ t n so en gtt konstant. Det er ed andre ord are korttdsndeksen Q t / t 1 so er stokastsk It / t n. Grunnen tl at v vl ehandle It 1/ t n so en gtt konstant er at ndekser stort sett enytter seg av det sae utvalget hvert år (dvs. panel). Dette skaper en avhengghet ello korttdsndeksene og dered også ello It 1/ t n og Q t / t 1 so v kke klarer å håndtere. (Selv uten avhengghet ello korttdsndeksene får v proleer hvs v kke ehandler It 1/ t n so en konstant ford v da å eregne varansen tl et produkt av n stokastske korttdsndekser). 4
Ford v skal se på It 1/ t n so en gtt konstant langtdsndeksen / langtdsndeksen er en estator for I = I Q. t / t n t 1/ t n t/ t 1 It t n velger v å s at Det hadde kanskje vært er naturlg å se på It / t so en estator for n It / t n= It 1/ t n Qt/ t 1 der It 1/ t n = Qt n+ 1/ t n Qt 1/ t 100. Men da vl uskkerheten tl It / t n lant annet avhenge av dfferansen I t 1/ t I n t 1/ t og ford I n t 1/ t n er ukjent vl v kke klare å estere denne uskkerheten. V kunne selvsagt valgt å estere den ukjente It 1/ t n ed It 1/ t n en da ender v opp ed det sae uskkerhetsålet so v får ed I t / t n= It 1/ t n Qt/ t 1. Derfor synes v det er lke gret å se på It / t so en estator for n I t / t n= It 1/ t n Qt/ t 1 og åle uskkerheten ut fra dette. 3. Produksjonsndeksen for ndustr Produksjonsndeksen er ygd opp so en årlg kjedet Laspeyres ndeks og den skal åle voluendrngen earedngsverden nnen olje- og gassutvnnng ndustr ergverksdrft og kraftforsynng. Indeksen eregnes på flere aggregerngsnvåer. Det laveste nvået er sektornvå eller earedngsnvå so det også kalles (en dsse pulseres kke). En sektor tlsvarer all hovedsak en nærngsgruppe altså 4-sfret NACE-nvå (se Sørensen 1998 og Standard for nærngsgrupperng). Det er totalt 13 sektorer nnen olje- og gassutvnnng ndustr ergverksdrft og kraftforsynng en produksjonsndeksen eregnes are for 10 av dsse. De 1 sektorene so ndeksen kke eregnes for har ngen eller veldg lav aktvtet. Alle andre aggregerngsnvå er ygd opp av en eller flere sektorer. Utvalget so rukes tl eregnng av ndeksen le trukket 1996. Det le enyttet stratfsert enkel tlfeldg trekkng der strataene le estet ut fra osetnng sysselsettng og nærng. Stratfserng og allokerng av utvalgsenheter er gjort slk at alle edrfter ed nst 100 sysselsatte og alle ed nst 10% av osetnngen på sektornvå er tatt ed utvalget. Vdere er det kke trukket ut edrfter lant de so har færre enn 10 sysselsatte. Utvalgsstørrelsen for de resterende strataene er este ved optal allokerng (asert på edrftenes osetnng). Dette gjør at deknngsgraden for utvalget ed hensyn tl osetnng er veldg stor. I 1998 var f.eks. deknngsgraden på 80%. Det gjøres årlge oppdaternger av utvalget. Indeksen skal so nevnt åle endrngen voluet av earedngsverd. Bearedngsverden tl en edrft er gtt ved rutto produksjonsverd nus verden på nnsatsvarene. Hvs p j t og q j t er henholdsvs prs og engde for en produsert vare j for edrft perode t ens α l t og δ l t er henholdsvs prs og engde for en nnsatsvare l for edrft peroden t kan earedngsverden for edrft skrves so Suen. a = p q α δ t j j t j t l l t l t j er over alle varer so edrften produserer og l er over alle nnsatsvarer so edrften enytter. (Ford det praktsk talt er uulg å få dsse opplysnngene på ånedsass å v ruke andre data for å åle voluendrngen earedngsverden. Dette koer v tlake tl avsntt 3.1). 5
3.1. Korttdsndeksen Korttdsndeksen skal åle voluendrngen for en estet åned sett forhold tl en gjennosnttlg åned året før. Med vår defnsjon av voluendrng fra kapttel får v at korttdsndeksen er en estator for voluendrngen Q t = * a U t at 1 1 U. Her er U engden av alle edrfter so hører tl gjeldende aggregerngsnvå a t 1 er * earedngsverden tl edrft år t-1 og a t = p j jt 1 q jt α l lt 1 δlt earedngsverden for åned år t eregnet ed sae prser so rukes år t-1). (dvs. Voluendrngen Q t kan skrves so en vektet su av voluendrngene på sektornvå. Hvs v lar Q etegne voluendrngen for en sektor har v at t der w t = Q t wq t t = U a U t 1 a t 1 U er engden av edrfter sektor og suen er over sektorene so nngår det nvået Q t gjelder. Vekten w t tl en sektor tlsvarer sektorens andel av earedngsverden på gjeldende nvå. Vekten avhenger ed andre ord av hvlket aggregerngsnvå Q gjelder. t Voluendrngen esteres ed ndeksen Q wq = t t t der Q t er ndeks for sektor. Ideelt sett skal Q t være en ndeks for voluendrngen earedngsverden. Men de nødvendge dataene for å eregne earedngsverd er noralt are tlgjenglg på årlg ass og ed etydelg forsnkelse. Det er derfor kke ulg å lage en slk ndeks. I stedet er det valgt å lage en ndeks so åler endrngen enten produksjonsverd faste prser eller teverk håp o at dette skal g en god tlnærng av voluendrngen earedngsverden. Faktsk har v kke tlgang tl earedngsverden fra foregående år heller selv kke aggregerte verder. Dette etyr at vektene so er andeler av earedngsverd fra foregående år kke er kjent. Derfor rukes det vekter so er eregnet ut fra fraskrevne earedngsverder. I våre analyser har v valgt å se ort fra dette hvlket etyr at v underslår noe av uskkerheten produksjonsndeksen. Sektorene hvor v enytter ndeks for voluendrng produksjonsverden tlhører nærngene 10-1 3-7 9.7 31.3 36 37 og 40 (se Standard for nærngsgrupperng). Det er totalt 81 sektorer og v velger å kalle dsse for produksjonssektorer. I dsse sektorene antas det at voluendrngen 6
produksjonsverden (asert på de vktgste varene tl edrftene) gr en god tlnærng av voluendrngen earedngsverden. Dvs. at Q t U U j j p p q j t 1 j t q j t 1 j t 1 1 der jt 1 p og q jt 1 er henholdsvs prs og produsert engde av vare j for edrft år t-1 og q jt er produsert engde av vare j for edrft åned år t. Suen går over de vktgste varene j tl edrften. I produksjonssektorene lr dered voluendrngen earedngsverd estert ed ndeksen Q s 1 j j t j t t p j t 1 q j t 1 1 s j = der s er utvalget av edrfter fra sektor. p q Sektorene hvor v enytter en ndeks for teverk tlhører nærngene 8-35 (unntatt 9.7 og 31.3). Det er totalt 39 sektorer og v velger å kalle de teverkssektorer. I dsse sektorene har det vært vanskelg å fnne gode produkter å nnhente tall for og produksjonen av et produkt kan ta flere åneder. Derfor kan v kke ruke voluendrng ånedlg produksjonsverd so en tlnærng av voluendrngen ånedlg earedngsverd. I stedet antas det at endrng rukte teverk kan g en tlfredsstllende tlnærng hvs det korrgeres for produktvtet. Mer presst antar v saenhengen Q t f U U t t t t 1 1 der t t 1 er rukte teverk for edrft år t-1 ens t t er rukte teverk åned år t. Faktoren f er en produktvtetsfaktor so skal korrgere for at edre produksjonsutstyr ny teknkk og lgnende øker produktvteten per teverk. Ford produktvteten kan varere fra sektor tl sektor og fra åned tl åned er det lagd produktvtetsfaktorer so avhenger av sektor og åned. I teverkssektorene lr dered voluendrngen earedngsverd estert ed Q t = f s s t t t t 1 1. 3.. Langtdsndeksen I produksjonsndeksen rukes det årlg kjedng ed 1995 so referanseperode. Ford korttdsndeksene åler endrngen for en åned sett forhold tl en gjennosnttlg åned året før kan dsse kke kjedes sae drekte. I stedet lages det årlge korttdsndekser so åler endrngen for 7
et år sett forhold tl foregående år og så kjedes dsse saen. De årlge korttdsndeksene er gtt ved 1 1 Q t = Qt dvs. gjennonttet av de ånedlge korttdsndeksene. 1 = 1 Langtdsndeksen for en åned år t er nå gtt ved I t = Q96 Q97 Qt 1 Qt 100 = I Q t 1 t der I t = Q Q Q 100. ( It 1 kan sees på so en langtdsndeks for år t-1). 1 96 97 t 1 So v arguenterte for kapttel skal v se på I t so en estator for I = I Q t t 1 t og v skal ehandle It 1 so en gtt konstant. Altså produksjonsndeksen er gtt ved I = I Q t t 1 t og v skal lage et uskkerhetsål so ser noe o hvor nær v kan forvente at produksjonsndeksen er voluendrngen I t = It 1 Qt. Vdere skal v ehandle It 1 so en gtt konstant. For er nforasjon o produksjonsndeksen se Sørensen (1998). 4. Et uskkerhetsål for produksjonsndeksen 4.1. Utlednng av uskkerhetsål I dette kapttelet skal v lage et uskkerhetsål for produksjonsndeksen I t. V skal lage det v kaller et odellasert uskkerhetsål. Det etyr at v ser på utvalget so gtt ens edrftenes teverk t t og produksjonsverd jt 1 q jt er stokastske varale. 1 j p 1 Det er q jt (produsert engde av vare j for edrft åned år t) so er stokastsk. Ford en og sae edrft rapporterer for flere varer velger v å odellere suen jt 1 q jt frefor hver q jt for seg (suen j 8 j p er over alle varer edrften rapporterer for). På den åten slpper v å tenke på avhengghetsstrukturen ello varene tl en edrft.
V har valgt å se ort fra uskkerhet so skyldes ålefel og frafall. I tllegg tl har v valgt å se ort fra at endrng produksjonsverd og teverk are er tlnærnger tl voluendrng earedngsverd. I stedet lager v et uskkerhetsål so o det er eksakt lkhet dvs. Q t U j = U j p p q j t 1 j t q j t 1 j t 1 1 for produksjonssektorene og Q t = f t U t tt 1 1 U for teverkssektorene. Hvor ye v underslår uskkerheten ed dette avhenger av hvor stor forskjell det er ello voluendrng earedngsverd og endrng produksjonsverd eller teverk. For å kunne lage det odellaserte uskkerhetsålet trenger v odell for produksjonsverden p j jt 1 q jt og rukte teverk t t for en edrft. Det vser seg at egge dsse størrelsene stort sett lar seg eskrve veldg ra ed rateodellen når forrge års verder er forklarngsvarael. Dvs. for edrfter produksjonssektorene har v odellen E p j t 1 q j t g p j t 1 q j t 11 j =β j ( j ) V p q =σ p q 1 j t 1 j t g j j t 1 j t 1 der g deler nn edrftene 6 grupper avhengng av hvlken sektor edrften tlhører. For edrfter teverkssektorene har v E tt =βg tt 1 1 ( t ) V =σ 1 t g tt 1 der g deler nn edrftene 3 grupper. (Se vedlegg for er o odelltlpassngen). For å gjøre notasjonen ltt lettere nnfører v varalene y og x for en edrft der y = t j t p q j t 1 j t hvs edrften tlhører en produksjonssektor hvs edrften tlhører en teverkssektor og x = t j t 1 p j t 1 q j t 1 1 hvs edrften tlhører en produksjonssektor 1 hvs edrften tlhører en teverkssektor. 9
Dered har v odellen [ y ] E = β g x ( y ) V g x =σ for åde produksjonsverd og teverk. I tllegg antar v at edrftene er uavhengge av hverandre. V skal nå sjekke o produksjonsndeksen I t er forventnngsrett for I t under denne odellen dvs. o forventet verd tl dfferansen I t I t er lk null. Først erker v oss at I I = I Qt I Q = I Q Q t t t 1 t 1 t ( t t ) t 1 = I w Qt w Q = I w Q Q. t 1 t t t ( t ) t 1 t t Dered har v ved å huske at It 1 er en konstant E It I t It 1 wt E Qt Q = t. t For å fnne forventnngen tl Q Qt ruker v defnsjonen av y og x og får at Q t s = f s y x og Q t U = f U y x for åde produksjonssektorene og teverkssektorene. Her er f = 1 for produksjonssektorene (for teverkssektorene er f produktvtetsfaktoren). Av dette får v 10
E It I t It 1 w E t Qt Q = t y s = It 1 wt E f f x s E y s = It 1 wt f x s = I w f β β = 0. ( ) t 1 t g g U U [ ] E[ y ] U U Produksjonsndeksen er ed andre ord forventngsrett. Ford produksjonsndeksen er forventnngsrett er kvadratroten av predksjonsvaransen et fornuftg ål på uskkerheten. Dvs. v ruker standardavvket st ( I ) ( t It = V It It ) x y x so ål på uskkerheten tl produksjonsndeksen I t. ( ) For å eregne predksjonsvaransen tl I t enytter v at It It = It 1 wt Q t. t Q På grunn av uavhengghet og at It 1 er en konstant får v ( ) ( ) ( ) t V I I = I w V Q Q. t t t 1 t t Predksjonsvaransen tl I t er ed andre ord en vektet su av predksjonsvaransene tl korttdsndeksen på sektornvå. For predksjonsvaransene tl korttdsndeksen på sektornvå har v 11
( ) ( ) V Q t Q = V Qt C Qt Q + V Q ( ) ( ) t t t y y y y s s U U = V f C f f + V f x s x x x s U U C ( y y s ) U ( x s )( x ) U V( y s ) ( x s )( x U ) σ = ( f ) + x s g σg σ = ( f ) + x s U g σg σg σg σ g = ( f ) + x s x x U U 1 1 = ( f) σ g x s U. x U x x Standardavvket st ( I t It ) der kan dered skrves so ( ) ( ) ( ) t st I I = I w V Q Q t t t 1 t t ( ) ( ) 1 1 V Qt Qt = f σ g x s U x. Ford dette standardavvket er ukjent å det esteres før v kan ruke det tl å åle uskkerheten. Det gjør v ved å estere predksjonsvaransen tl korttdsndeksene på sektornvå. I predksjonsvaransen tl korttdsndeksen er σ g ukjent. I tllegg er x ukjent for edrftene so kke er ed utvalget. V å derfor estere σ g og x for s. So estator for σ g ruker v 1 1 σ ( ) g = y βx n x g 1 s g 1
der β= y x s g er edrfter utvalget so tlhører gruppe g og n g er antall edrfter s g s s g. Dette er en forventnngsrett estator for g σ g. Ved esterng av x har v rukt forskjellge estatorer produksjonssektorene og teverkssektorene. I teverkssektorene er x = t t 1 1 dvs. x er edrftens gjennosnttlg rukte teverk per åned. Innen hver sektor er det en proporsjonal saenheng ello x og edrftens sysselsettng. Ford v kjenner sysselsettngen tl alle edrftene fra regster har v utnyttet denne saenhengen ved å estere x ed x ( ) = x s syss syss U \ s s der syss er sysselsettng tl edrft. I produksjonssektorene er x = p j t 1 q j t 1 1 j dvs. x er edrftens gjennosnttlge produksjonsverd per åned. I noen av sektorene er det en proporsjonal saenheng ello x og edrftens osetnng. For dsse sektorene har v derfor estert x ed ( s s ) \ x = x os os U s der os er osetnngen tl edrft (v kjenner osetnngen tl alle edrfter fra regster). I resten av sektorene har v rukt gjennosnttlg x -verd so estator dvs. x = x. s Med dsse estatorene for σ g og st 1 V It It = It wt Qt Qt (1) ( ) ( ) der ( ) ( ) x får v følgende estator for standardavvket st ( I t It ) ( ) 1 1 V Q t Qt = f σ g. x x + x s s U\ s Det er ed andre ord dette esterte standardavvket v ruker tl å åle uskkerheten produksjonsndeksen. V skal nå lage et konfdensntervall for voluendrngen I st I wt ( Qt Qt I ) =. V wt ( Qt Qt ) t t ( I t It ) ( ) t. V har at : Under vsse etngelser på V wt Qt Qt har v derfor fra Lndeergsetnngen at ( I ) ( t It st It It ) er tlnæret standardnoraltfordelt (Bjørnstad 1986) hvs aggregerngsnvået er over tlstrekkelg ange sektorer. Et tlnæret 95% konfdensntervall for 13
voluendrngen I t er dered gtt ved I ( t ± 1.96 st It It ). Ford st ( I t It ) putter v nn estatoren st ( I t It ) for den og ruker ( ) I ± 1.96 st I I t t t er ukjent so et 95% konfdensntervall for voluendrngen I t. Det ør eerkes at hvs aggregerngsnvået tl ndeksen kke er over tlstrekkelg ange sektorer så er det kke skkert dette ntervallet kan rukes so et 95% konfdensntervall (en det vl kunne rukes so et 75% konfdensntervall). 4.. Hva påvrker den ålte uskkerheten Uskkerhetsålet st ( I t It ) ser noe o hvor nær v kan forvente at produksjonsndeksen I t er I t. So v ser av (1) frekoer denne uskkerheten so en vektet su av predksjonsvaransene tl korttdsndeksen på sektornvå. Ford predksjonsvaransen er et ål på uskkerhet etyr det at v får uskkerheten tl produksjonsndeksen I t ved å suere saen de vektede uskkerhetene tl korttdsndeksen på sektornvå. Av dette får v at uskkerheten tl I t avhenger av hvlke sektorer so nngår aggregerngsnvået og hvor stor uskkerhet og vekt dsse sektorene har. Det typske er at jo høyere aggregerngsnvå dvs. jo flere sektorer so er ed jo ndre uskkerhet. Men hvs noen sektorer har en stor uskkerhet konert ed en stor vekt saenlgnet ed de andre sektorene kan det også hende at uskkerheten går opp når v aggregerer over flere sektorer. For å få lav uskkerhet på aggregert nvå er det derfor vktg at v har lav uskkerhet de sektorene so har stor vekt og so v skal nevne neste avsnttet kan v få lav uskkerhet ved å øke deknngsgraden sektoren. Dvs. høy deknngsgrad sektorene so har stor vekt er vktg for å få lav uskkerhet. Uskkerheten tl korttdsndeksen på sektornvå ser noe o hvor nær v kan forvente at korttdsndeksen er det tallet v vlle fått på ndeksen hvs v har fulltellng sektoren. V skal nevne noen forhold so påvrker denne uskkerheten. Et forhold er utvalgsstørrelsen. Jo flere edrfter v tar ed utvalget jo ndre uskkerhet. Et annet er utvalgets deknngsgrad ålt ved x dvs. ålt ved forrge års produksjonsverd eller teverk. Jo større deknngsgrad v har utvalget jo ndre uskkerhet. Tl sst skal v nevne et forhold so har ed hvordan produksjonsverden eller teverksruken tl en edrft har endret seg forhold tl foregående år. Hvs alle edrfter nnen en sektor har endret seg relatvt lkt så drar dette tl lten uskkerhet denne sektoren (se fgur 1). Her derot edrftene endret seg veldg forskjellg så drar dette tl stor uskkerhet (se fgur ). 14
Produksjonsverd for edrfter nnen produksjon av fner kryssfner o.l. Fgur 1 Fguren vser hvordan produksjonsverden har endret seg fra foregående år for edrfter so drver ed produksjon av fner kryssfner o.l. (dvs. sektor 00). Uskkerheten tl korttdsndeksen for denne sektoren er.9. Den horsontale aksen vser gjennosnttlg produksjonsverd 005 ens den vertkale aksen vser produksjonsverd for januar 006 (eregnet ed 005-prser). Den heltrukne lnjen er regresjonslnjen v får ed rateodellen. Produksjonsverd for edrfter nnen earedng av frukt og grønnsaker Fgur Fguren vser hvordan produksjonsverden har endret seg fra foregående år for edrfter so drver ed earedng av frukt og grønnsaker (dvs. sektor 1530). Uskkerheten tl korttdsndeksen for denne sektoren er 9.4. Den horsontale aksen vser gjennosnttlg produksjonsverd 005 ens den vertkale aksen vser produksjonsverd for januar 006 (eregnet ed 005-prser). Den heltrukne lnjen er regresjonslnjen v får ed rateodellen. 4.3. En egrensng for uskkerhetsålet I noen få av sektorene (ca. 15) lr det salet nn aggregerte opplysnnger per sektor. Dsse opplysnngene kan kke rytes ned på edrftsnvå. Ford uskkerhetsålet (1) forutsetter opplysnger på edrftsnvå kan det kke rukes på dsse sektorene. Ford v kke har funnet noen annen åte å 15
åle uskkerheten dsse sektorene har v valgt å s at de kke har noen uskkerhet altså at de har uskkerhet lk null. (Dsse sektorene har fått V Q Q = 0 uskkerhetsålet (1)). ( t t ) Dette etyr at v underslår uskkerheten fra dsse sektorene. Men for de fleste av sektorene er vekten ved aggregerng så lten at dette kke etyr noe nevneverdg på aggregert nvå (forutsatt at uskkerheten tl sektoren kke er ekstret stor). Men for fre av sektorene hvor v underslår uskkerheten er vektene veldg store. Dette gjelder sektorene fra olje- og gassutvnnng og kraftforsynng (nærng 11 og 40). Uskkerhetsålet (1) vl derfor underestere uskkerheten etydelg hvs dsse fre sektorene er ed aggregerngsnvået tl I t. Konklusjonen er dered at uskkerhetsålet (1) kke kan rukes tl å åle uskkerheten tl produksjonsndeksen for olje- og gassutvnnng og kraftforsynng eller andre aggregerngsnvåer hvor olje- og gassutvnnng og kraftforsynng nngår. 5. Talleksepel V skal nå presentere resultatene v fkk når v enyttet uskkerhetsålet fra forrge kapttel tl å åle uskkerheten produksjonsndeksen. Peroden v har sett på er januar-deseer 005 og januardeseer 006. For hver av dsse 4 ånedene har v eregnet det esterte standardavvket I I gtt ved (1). st ( t t ) I tllegg tl å eregne st ( I t It ) har v eregnet 95% konfdensntervallet I ( t ± 1.96 st It It ) og varasjonskoeffsenten. Varasjonskoeffsenten angr hvor stor uskkerheten er prosent av ndeksen og er gtt ved st ( I t It ) I t 100. V har gjort eregnngene på 5 aggregerte nvåer (se taell 1). Taell 1 Aggregerngsnvå Aggregerngsnvå Antall sektorer Utvalgets deknngsgrad 006 ålt ved osetnng (%) Industr 108 68.4 Innsatsvarer 5 65.0 Investerngsvarer 3 64.1 Varge konsuvarer 8 65. Ikke-varge konsuvarer 30 67.9 Av fgur 3 5 7 9 og 11 kan v tydelg se at for 006 så er produksjonsndeksen for alle aggregerngsnvå en del lavere jul enn resten av året. Det sae er tlfelle for 005. Dette V har også gjort eregnngene for aggregerngsnvået ndustr og ergverksdrft. Resultatet av dette vser at uskkerheten nnen ndustr og ergverksdrft er så å s den sae so nnen ndustr. 16
ndkerer at aktvteten er en del lavere jul enn resten av året noe so kanskje kan forklares ed fereavvklng. Av taell kan v se at estert standardavvk for ndustr lgger ello 0.59 og 0.87 005 og ello 0.49 og 0.79 006. Varasjonskoeffsenten lgger ello 0.59 og 1.05 005 og ello 0.45 og 0.94 006. Ut fra dsse tallene kan v nok s at det er veldg lten uskkerhet produksjonsndeksen nnen ndustr. Saenlgner v uskkerheten ello de to årene fnner v at det er lavere uskkerhet 006 enn 005 (se fgur 4). Ser v på utvklngen det esterte standardavvket utover året ser v at st ( I t It ) totalt sett øker fra tl noveer for så å gå ltt ned gjen deseer (se fgur 4). Denne tendensen ser også ut tl å gjelde for de andre aggregerngsnvåene (unntatt for varge konsuvarer). En ulg forklarng på dette kan være at edrftene har ltt forskjellg utvklng utover året. Denne forskjellen vl l tydelggere jo lengre ut året v koer ford v da får lengre avstand tl peroden v saenlgner ot. Dette etyr så fall at det lr større forskjell utover året ed tanke på hvordan en edrfts produksjonsverd/teverk har endret seg forhold tl foregående år. So v nevnte kapttel 4.1 får v større uskkerhet jo større forskjellen er ello edrftene. At uskkerheten går ned gjen deseer å så fall ety at edrftene gjen lr er lke. (Ford utvalg og populasjon er konstant gjenno året I I ). kan kke endrng dsse være ed på å forklare endrngen st ( t t ) Industr er det aggregerngsnvået so har nst uskkerhet. Størst uskkerhet har v for varge konsuvarer. Her lgger det esterte standardavvket ello.90 og 7.07 005 og.61 og 4.48 006. Varasjonskoeffsenten varerer ello.60 6.1 og.66 7.44 henholdsvs 005 og 006. Dette tyder på at det er en del uskkerhet nnen varge konsuvarer en kke veldg stor. At det er ndustr so har nst uskkerhet og varge konsuvarer so har størst uskkerhet er kke overraskende. Industr er det høyeste aggregerngsnvået v ser på ens varge konsuvarer er det laveste og so v nevnte kapttel 4.1 er det typsk at jo høyere aggregerngsnvå jo ndre uskkerhet. For de tre aggregerngsnvåene nnsattsvarer nvesterngsvarer og kke-varge konsuvarer har v nokså lten uskkerhet. I 005 lgger f.eks. det esterte standardavvket ello 0.90 1.57 0.9 1.41 og 1.6 1.81 respektvt. De tlsvarende tallene for varasjonskoeffsenten er 0.93 1.91 0.88 1.53 og 1.35.19. I fgur 1 ser v at uskkerheten for kke-varge konsuvarer er klart lavere 006 enn 005. For nvesterngsvarer derot har v at uskkerheten er nst 005 ed unntak av to åneder (se fgur 8). Saenlgner v uskkerheten tl kke-varge konsuvarer nnsattsvarer og nvesterngsvarer fnner v at 005 så er det kke-varge konsuvarer so har størst uskkerhet. Mnst uskkerhet har nvesterngsvarer (ed unntak av tre åneder). For 006 derot er det kke-varge konsuvarer so har nst uskkerhet (ed unntak av 3 åneder) ens nnsatsvarer og nvesterngsvarer har størst uskkerhet ca. 6 åneder hver. Med et par unntak har v at varasjonskoeffsenten er en del større jul enn de andre ånedene. Dette skyldes at produksjonsndeksen er en del ndre denne åneden saenlgnet ed de andre ånedene. Dered lr varasjonskoeffsenten so angr uskkerheten prosent av ndeksen en del større uten at det esterte standardavvket er tlsvarende større. 17
Taell Uskkerhet tl produksjonsndeksen nnen ndustr 18
Fgur 3 Fgur so vser konfdensntervallet tl voluendrngen I t nnen ndustr. Produksjonsndeksen er arkert ed og ntervallet er arkert ed. Langs den horsontale aksen er datoen gtt på foren åå. Fgur 4 Fguren vser uskkerheten dvs. estert standardavvk tl produksjonsndeksen nnen ndustr. For hver åned (horsontal akse) er uskkerheten 005 og 006 gtt ved henholdsvs den heltrukne og den stplede lnjen. 19
Taell 3 Uskkerhet tl produksjonsndeksen nnen nnsatsvarer 0
Fgur 5 Fgur so vser konfdensntervallet tl voluendrngen I t nnen nnsatsvarer. Produksjonsndeksen er arkert ed og ntervallet er arkert ed. Langs den horsontale aksen er datoen gtt på foren åå. Fgur 6 Fguren vser uskkerheten dvs. estert standardavvk tl produksjonsndeksen nnen nnsatsvarer. For hver åned (horsontal akse) er uskkerheten 005 og 006 gtt ved henholdsvs den heltrukne og den stplede lnjen. 1
Taell 4 Uskkerhet tl produksjonsndeksen nnen nvesterngsvarer
Fgur 7 Fgur so vser konfdensntervallet tl voluendrngen I t nnen nvesterngsvarer. Produksjonsndeksen er arkert ed og ntervallet er arkert ed. Langs den horsontale aksen er datoen gtt på foren åå. Fgur 8 Fguren vser uskkerheten dvs. estert standardavvk tl produksjonsndeksen nnen nvesterngsvarer. For hver åned (horsontal akse) er uskkerheten 005 og 006 gtt ved henholdsvs den heltrukne og den stplede lnjen. 3
Taell 5 Uskkerhet tl produksjonsndeksen nnen varge konsuvarer 4
Fgur 9 Fgur so vser konfdensntervallet tl voluendrngen I t nnen varge konsuvarer. Produksjonsndeksen er arkert ed og ntervallet er arkert ed. Langs den horsontale aksen er datoen gtt på foren åå. Fgur 10 Fguren vser uskkerheten dvs. estert standardavvk tl produksjonsndeksen nnen varge konsuvarer. For hver åned (horsontal akse) er uskkerheten 005 og 006 gtt ved henholdsvs den heltrukne og den stplede lnjen. 5
Taell 6 Uskkerhet tl produksjonsndeksen nnen kke-varge konsuvarer 6
Fgur 11 Fgur so vser konfdensntervallet tl voluendrngen I t nnen kke-varge konsuvarer. Produksjonsndeksen er arkert ed og ntervallet er arkert ed. Langs den horsontale aksen er datoen gtt på foren åå. Fgur 1 Fguren vser uskkerheten dvs. estert standardavvk tl produksjonsndeksen nnen kkevarge konsuvarer. For hver åned (horsontal akse) er uskkerheten 005 og 006 gtt ved henholdsvs den heltrukne og den stplede lnjen. 7
6. Oppsuerng I dette notatet har v laget et uskkerhetsål for produksjonsndeksen. V har valgt å s at produksjonsndeksen er en estator for den størrelsen v vlle fått hvs v har fulltellng og ålt uskkerheten ut fra dette. Dvs. v har laget et uskkerhetsål so ser noe o hvor nær v kan forvente at produksjonsndeksen er det tallet v vlle fått ed fulltellng. V har laget det v kaller et odellasert uskkerhetsål. Det etyr at v ehandler utvalget so gtt ens v tenker oss at edrftenes produksjonsverd og teverkruk er stokastske varale. Vdere har v valgt å se ort fra ulge felklder so frafall og ålefel. V har enyttet uskkerhetsålet tl å eregne uskkerheten produksjonsndeksen for 005 og 006. Resultatet av dette tyder på at hvs aggregerngsnvået ofatter ange nok sektorer så er det lten uskkerhet produksjonsndeksen. Referanser Bjørnstad J.F. (1986): Asyptotsk teor nstetutt for ateatske realfag Unverstetet Trosø. Chevaler M. (003): Chan Fsher Volue Index Methodology Techncal serues no. 4 Statstcs Canada Incoe and Expendture Accounts Devsnon. Statstsk sentralyrå (003): Produksjonsndeks for ndustr og ergverksdrft olje- og gassutvnnng og kraftforsynng 1996-00 NOS D 43. Statstsk sentralyrå (1994): Standard for nærngsgrupperng NOS C 18. Sørensen E. (1998): Produksjonsndeks for ndustren Notater 98/44 Statstsk sentralyrå. Zhang L-C. (006): Prsndekseregnnger Notater 006/74 Statstsk sentralyrå. 8
Vedlegg Modellvalg Basert på data fra 005 og 006 har v koet fra tl at åde produksjonsverden p j jt 1 q og rukte teverk t t stort sett lar seg eskrve veldg godt ed rateodellen når forrgge års verder er forklarngsvarael. Dvs. for edrfter produksjonssektorene har v odellen og E p j t 1 q j t g p j t 1 q j t 11 j =β j ( j ) V p q =σ p q 1 j t 1 j t g j j t 1 j t 1 der g deler nn edrftene 6 grupper avhengng av hvlken sektor edrften tlhører. Gruppe: Produksjonssektorer so tlhører nærng: 1 10 13 og 14 (Bergverksdrft) 15 og 16 (Nærngs- og nytelsesddelndustr) 3 17-19 (Tekstl- og eklednngsndustr) 4 0 (Trelast- og trevarendustr) 5 1-35 (Innsats- og nvesterngsvareproduserende ndustr) 6 36 og 37 (Møler og annen ndustr) jt For edrfter teverkssektorene har v og E tt =βg tt 1 1 ( t ) V =σ 1 t g tt 1 der g deler nn edrftene 3 grupper. Gruppe: Teverkssektorer so sorterer under: 7 Innsatsvarer (E1) 8 Investerngsvarer (E) 9 Konsuvarer (E3 og E4) Hvor ra produksjonsverden og rukte teverk lar seg eskrve av rateodellen varerer fra gruppe tl gruppe og fra åned tl åned. Hvs v ruker R tl so ål odelltlpassngen får v at gruppe 9 (teverkssektorer so sorterer under konsuvarer) har aller est tlpassng. 3 For denne gruppen 3 R er en størrelse so lgger ello 0 og 1 og er et ål på hvor stor andel av den totale varasjonen dataene so forklares av odellen. Jo nærere R er 1 jo er forklarer odellen av den totale varasjonen. 9
lgger R ello 0.91 og 0.989 noe v å kunne s er veldg ra. Mnst ra tlpassng har v for gruppe 3 dvs. produksjonssektorer nærng 17-19. For denne gruppen varerer R ello 0.61 og 0.90. For de resterende gruppene lgger R ello 0.66 og 0.98. Saenlgner v odelltlpassngen for en og sae gruppe fra åned tl åned fnner v at det stort sett er jul so har nst R. Dvs. jul er den åneden hvor odelltlpassngen er nst ra når v ruker R so ål. Brukte teverk for edrfter gruppe 9 januar 005 Fgur A.1 Plott so vser saenhengen ello t t (vertkal akse) og tt 1 1 (horsontal akse) åned = januar og år t=005. Den heltrukne lnjen er regresjonslnjen v får ed rateodellen. Brukte teverk for edrfter gruppen 9 jul 005 Fgur A. Plott so vser saenhengen ello t t (vertkal akse) og tt 1 1 (horsontal akse) åned = jul og år t=005. Den heltrukne lnjen er regresjonslnjen v får ed rateodellen. 30
Produksjonsverd for edrfter gruppe 3 januar 005 Fgur A.3 Plott so vser saenhengen ello p j jt 1 q jt (vertkal akse) og p j t 1 q j t 1 1 j (horsontal akse) åned = januar og år t=005. Den heltrukne lnjen er regresjonslnjen v får ed rateodellen. Produksjonsverd for edrfter gruppe 3 jul 005 Fgur A.4 Plott so vser saenhengen ello p j jt 1 q jt (vertkal akse) og p j t 1 q j t 1 1 j (horsontal akse) åned = jul og år t=005. Den heltrukne lnjen er regresjonslnjen v får ed rateodellen. 31