S kapittel Rekker Løsiger til kapittelteste i læreboka A a Det femte og sjette eiffeltallet ser slik ut: b De fire første leddee er det bare å telle opp:,5,9,4 For å komme til este ledd, legger vi til, 4, 5, Ledd ummer fem blir da 4 + 6 = 0, ledd ummer seks blir 0 + 7 = 7 og ledd ummer sju blir 7 + 8 = 5 Vi får altså,5,9,4,0,7,5 c Hvis vi ser på illustrasjoe av rekka, ser vi at ledd ummer består av det -te aturlige tallet pluss det -te trekattallet (se eksempel 5, s ) ( + ) Det -te trekattallet er gitt ved T = ( + ) + ( + ) Vi ka altså skrive eiffeltallee som E = T + = = d Dee oppgave løses eklest ved hjelp av digitalt verktøy Legg i de eksplisitte formele som rekke og be om summe fra og med ledd ummer til og med ledd ummer 00 Svaret blir S 00 = 76 750 Vil du løse oppgave ute hjelpemidler, ka du følge dee framgagsmåte: 00 Summe skriver vi ut som S00 = 00 00 E = + = = = Imate i paretese er altså summe av de hudre første kvadrattallee pluss tre gager summe av de hudre første aturlige tallee Summe av de første kvadrattallee fier vi ved å se på møstret i tallfølge som summee daer: + + 4 + 4 5 4+ S, S, S, S4, =,5,4,0, =,,,, ( + ) + ( + )( + ) Vi ser at S = = 6 Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side av 5
00 0 0 00 0 67 00 6767 676 700 Med = 00 får vi S00 = = = = = 8 50 6 + Summe av de første aturlige tallee er S = 00 + Med = 00 får vi S00 = 00 = 50,5 00 = 5050 Summe av de hudre første eiffeltallee blir derfor S 00 = ( 8 50 + 5050) = ( 8 50 + 550) = 5 500 = 76 750 B a Vi vil bruke sumformele for aritmetiske rekker med = 40 Vi treger det førtiede leddet, som blir a40 = a + ( 40 ) d = 6 + 9,5 = 64,5 Summe blir da a+ a40 S40 = 40 = ( 6 + 64,5) 0 = 40 b Formele for det -te leddet er ( ) a = a + d a a 45,5 6 Vi løser med hesy på og får = + = + = 94 d, 5 Leddet 45,5 er altså ledd ummer 94 a + a c Summe av de første leddee er gitt ved S = Med a = a + ( ) d får a+ a + ( ) d 6+,5,5 0,5+,5 vi S = = = = 5, 5+ 0,75 Vi må løse ulikhete S 000 med hesy på for å fie svaret på dee oppgave Vi løser ulikhete 5, 5+ 0,75 000 med et digitalt verktøy og får,8 De miste heltallige som oppfyller kravet er derfor = 4 C a Vi har at a = 6 og a 4 = 4,5 Vi vet også at a a k 4 =, så kvotiete blir 4, 5 k = = 6 k b Vi vil bruke sumformele for geometriske rekker, S = a k 7 0,5 Da får vi S7 = 6 = 7,44 0,5 a 6 c Kravet for koverges er k <, så rekka kovergerer Summe er S = = = 7 k 0,5 Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side av 5
D a Det er i alt iskudd Like før det siste iskuddet (altså ved utgage av det est siste året) har hu 0, 04 S0 = 0 000 kr,04 = 69 84 kr på koto Så setter hu i det siste, 04 beløpet Det øker saldoe hees til 69 84 kr + 0 000 kr = 69 84 kr b Vi setter beløpet hu ka ta ut lik x Nåverdiee av de årlige utbetaligee daer e x geometrisk rekke med a =, k = og = 8, 04, 04 Summe av rekka skal være lik 69 84 (På figure står det K for x) 8 x, 04 Vi får likige = 69 84, 04, 04 Oddru ka ta ut 94 966 kr hvert år Det gir x = 94 966 Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side av 5
E a Vi må se på åverdiee av avbetaligsbeløpee for å fie kjøpesumme Nåverdie av det første beløpet er 60 000 kr,07 Nåverdie av det adre er 60 000 kr,07, osv Dette daer e geometrisk rekke med a = 60 000 kr,07 og k =, 07 Summe av de fem første leddee blir åverdie av de fem avbetaligsbeløpee: 5, 07 S5 = 60 000 kr,07 = 46 0 kr, 07 Kjøpesumme blir altså like over 46 000 kr b De samme aalyse ka gjøres på tilbudet Ae-Mari får fra de adre forretige 5, 07 Avbetaligsbeløpee kommer på S5 = 0 000 kr,07 = 006 kr, 07 I tillegg skal hu betale 00 000 kr kotat, så hu må ut med 006 kr totalt Det betyr at hu sparer ca 000 kr på å kjøpe bile her F a b Sluttverdie av alle termibeløpee må være lik sluttverdie av låesumme Av skjemaet ser vi at sluttverdiee av termibeløpee daer e geometrisk rekke med 4 4, 005 4 ledd, a = T og k =, 005 Det gir oss 00 000,005 = T 0,005 Løser vi likige, får vi T = 44 Termibeløpet blir 44 kr Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side 4 av 5
For kvartalsvis betalig blir vekstfaktore,005 Løsiger til kapittelteste i læreboka Det er 8 kvartaler i låeperiode, så 8 8 (, 005 ) vi får likige 00 000 (,005 ) = T (,005 ) Vi løser likige, og får T = 6 Termibeløpet blir 6 kr G a Vi må se på åverdie av alle utbetaligee De første utbetalige er 500 og har åverdie 500, 05 500,0 De adre utbetalige er på 500,0 og har åverdie, 05 9 9 500,0 De siste utbetalige er 500,0 og har åverdie 40, 05 500, 0 Dette tilsvarer e geometrisk rekke med a = og k =, 05, 05 40, 0 500, 05 Sumformele gir oss S40 = = 49, 05, 0, 05 Kut har altså satt i 49 kr på kotoe b Vi må se på summe år atallet ledd i rekka går mot uedelig Sumformele for kovergete geometriske rekker gir S = 5000 500 6 667,05, 0 = 0,0 =, 05 Ha må sette i 6 667 kr for at betaligee skal kue fortsette i all framtid Aschehoug Udervisig wwwlokuso Side 5 av 5