Påbygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i boka

Påygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale medier. Den relative frekvensen for 0 59 minutter er 5 0,0 0 % 5 = =. Den relative frekvensen for 60 119 minutter er 8 0,3 3 % 5 = =. Den relative frekvensen for 10 179 minutter er 1 0,48 48 % 5 = =. 3. a Vi lager en taell og teller opp antall jenter i hver klasse. Tid i minutter Tellekolonne Antall (frekvens) Relativ frekvens 0 14 1 11,1 % 15 9, % 30 44 3 33,3 % 45 59, % 60 74 1 11,1 % Sum 9 100 % Frekvensene er gitt i den tredje kolonnen av taellen. c De relative frekvensene for de fem klassene er 1 0,111 11,1% 9 = =, 0,, % 9 = =, 3 0,333 33,3 % 9 = =, 0,, % 9 = = og 1 0,111 11,1% 9 = =. 3.3 a Vi skriver av taellen og fyller inn de tallene som mangler. Tid i sekunder Antall (frekvens) Relativ frekvens [79, 81 3 1,4 % [81, 83 5 35,7 % [83, 85 3 1,4 % [85, 87 14,3 % [87, 89 1 7,1 % Sum 14 100 % Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 44

c 3.4 a c d e 3.5 a 3 + 5 = 8 utøvere hadde en total tid som var edre enn 83 sekunder. 3 + + 1 = 6 utøvere hadde en total tid som var 83 sekunder eller dårligere. Det svarer til 6 = 0,49 = 4,9 % av utøverne. 14 7 = 0,5= 5 %. Påstanden er riktig. 8 3 = 0,30 = 30 %. Påstanden er gal. 10 63 = 0,35= 35 %. Påstanden er gal. 180 90 = 0,375= 37,5 %. Påstanden er riktig. 40 7 = 0,333= 33,3 %. Påstanden er riktig. 1 Vi skriver av taellen og fyller inn de tallene som mangler. Tid i minutter Antall (frekvens) Relativ frekvens 0 9 3 5,0 % 30 59 4 33,3 % 60 89 16,7 % 90 119 1 8,3 % 10 149 16,7 % Vi ruker Excel til å kontrollere frekvensene i oppgave a. (Framgangsmåten er gitt på sidene 110-111 i læreoka.) Vi ser at frekvensene stemmer med dem vi fant i oppgave a. Aschehoug www.lokus.no Side av 44

3.6 Vi skriver av taellen og fyller ut de tallene som mangler. Tid i sekunder Antall (frekvens) Relativ frekvens [10,70,10,80 5,0 % [10,80,10,90 3 37,5 % [10,90,11,00 1 1,5 % [11,00,11,10 5,0 % Sum 8 100 % 3.7 Vi skriver av taellen og fyller inn de tallene som mangler. Karakterer Antall (frekvens) Relativ frekvens 1 9,5 % 4 19,0 % 3 5 3,8 % 4 6 8,6 % 5 3 14,3 % 6 1 4,8 % Sum 1 100 % 3.8 a Vi skriver av taellen. Alder Antall (frekvens) Relativ frekvens 0 9 år 619 1,3 % 10 19 år 635 1,6 % 0 9 år 670 13,3 % 30 39 år 681 13,5 % 40 49 år 736 14,6 % 50 59 år 635 1,6 % 60 69 år 549 10,9 % 70 79 år 305 6,0 % 80 89 år 181 3,6 % 90 år og oppover 41 0,8 % Sum 505 100 % 1 619 + 635 = 154. Det var 154 tusen personer under 0 år. 305 + 181+ 41 = 57. Det var 57 tusen personer som var 70 år eller mer. 3 619 + 635 + 670 + 681+ 736 + 635 + 549 + 305 + 181+ 41 = 505. Det var til sammen 505 tusen personer i Norge. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 44

Vi regner ut de relative frekvensene som mangler i taellen. 635 0,16 1,6% 505 = =, 736 0,146 14,6% 505 = =, 181 0,036 3,6% 505 = = Vi summerer de relative frekvensene: 1,3 + 1,6 + 13,3 + 13,5 + 14,6 + 1,6 + 10,9 + 6,0 + 3,6 + 0,8 = 100, 100 Summen av de relative frekvensene er 100 %. c 1 1,3+ 1,6 + 13,3 = 38,. Altså er 38, % av efolkningen var under 30 år. 3,6 + 0,8 = 4, 4. Altså er 4,4 % av efolkningen var 80 år eller mer. Løsninger 3.9 a Vi lager en taell for frekvens og relativ frekvens: Høyde Antall (frekvens) Relativ frekvens 150 154 cm 1 3,3 % 155 159 cm 6,7 % 160 164 cm 6 0,0 % 165 169 cm 1 40,0 % 170 174 cm 5 16,7 % 175 179 år 3 10,0 % 180 184 cm 1 3,3 % Sum 30 100 % Vi ruker et regneark til å kontrollere frekvensene i oppgave a, og ser at resultatet et det samme. (Framgangsmåten er gitt på sidene 110-111 i læreoka.) Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 44

3.10 Vi lager en taell som viser frekvens og relativ frekvens: Antall søsken Antall (frekvens) Relativ frekvens 0 5 19, % 1 14 53,8 % 6 3,1 % 3 1 3,8 % Sum 6 100 % 3.11 a Vi lager en taell som viser frekvens og relativ frekvens: Utslipp (tonn) Antall (frekvens) Relativ frekvens [0,,5 5,3 % [,5, 5 7 18,4 % [5,0, 7,5 13 34, % [7,5,10,0 8 1,1 % [10,0,1,5 6 15,8 % [1,0,,5 5,3 % Sum 38 100 % 1 Vi leser av taellen at det er + 7 = 9 land som har et utslipp per innygger som er mindre enn 5 tonn. Vi leser av taellen at det er + 7 + 13 + 8 = 30 land som har et utslipp per innygger som er mindre enn 10 tonn. 3 Vi leser av taellen at det er 6 + = 8 land som har et utslipp per innygger som er 10 tonn eller mer. c 1 9 = 0, 37 = 3,7 %. Den relative frekvensen er 3,7 % for land som har mindre enn 38 5 tonn utslipp per innygger 30 = 0,789 = 78,9%. Den relative frekvensen er 78,9 % for land som har mindre enn 38 10 tonn utslipp per innygger. 3 8 = 0, 11 = 1,1%. Den relative frekvensen er 1,1 % for land som har 10 tonn eller 38 mer utslipp per innygger. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 44

3.1 a Vi skriver av taellen og fyller inn de tallene som mangler. Tid i sekunder Kumulativ Kumulativ Frekvens frekvens relativ frekvens 11,7 1 1 10 % 11,9 3 30 % 1,1 5 50 % 1,3 1 6 60 % 1,4 1 7 70 % 1,6 1 8 80 % 1,8 1 9 90% 13, 1 10 100 % 1 Det er 6 av guttene som har en personlig rekord som er 1,3 sekunder eller edre. Det er 8 av guttene som har en personlig rekord som er 1,6 sekunder eller edre. c 1 Det er 60 % av guttene som har en personlig rekord som er 1,3 sekunder eller edre. Det er 80 % av guttene som har en personlig rekord som er 1,6 sekunder eller edre. 3.13 Vi lager en taell som viser frekvens, kumulativ frekvens og kumulativ relativ frekvens: Karakter Frekvens Kumulativ Kumulativ frekvens relativ frekvens 1 1 1 4,8 % 3 14,3 % 3 5 8 38,1 % 4 8 16 76, % 5 4 0 95, % 6 1 1 100,0 % Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 44

3.14 a Vi skriver av taellen og fyller inn de tallene som mangler. Alder Antall Kumulativ Kumulativ (i tusen) frekvens relativ frekvens 0-9 år 619 619 1,3 % 10-19 år 635 154 4,8 % 0-9 år 670 194 38,1 % 30-39 år 681 605 51,6 % 40-49 år 736 3341 66,1 % 50-59 år 635 3976 78,7 % 60-69 år 549 455 89,6 % 70-79 år 305 4830 95,6 % 80-89 år 181 5011 99, % 90 år og over 41 505 100,0 % 1 Det er 605 tusen personer som var 39 år eller yngre. 505 3341 = 1711. Det er 1711 tusen personer som var 50 år eller eldre. c 1 38,1 % av den norske efolkningen var yngre enn 30 år. 100, 0 78, 7 = 1,3. 1,3 % av den norske efolkningen var minst 60 år. 3.15 a Den kumulative frekvensen er 300 for intervallet [30,40 minutter. Det etyr at 300 elever ruker mindre enn 40 minutter til skolen. Den kumulative frekvensen er 150 for intervallet [0,30 minutter. Det etyr at 150 elever ruker mindre enn 30 minutter til skolen. Dermed er det 375 150 = 5 elever som ruker 30 minutter eller mer til skolen. c 300 150 = 150 elever ruker mellom 30 og 40 minutter til skolen. Hvis reisetidene til disse 150 elevene fordeler seg noenlunde jevnt over intervallet [30,40 minutter, vil det være omtrent 75 elever i intervallet [30,35 minutter. Da vil det være omtrent 150 + 75 = 5 elever som ruker mindre enn 35 minutter til skolen. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 44

3.16 a Den kumulative frekvensen er 3. Påstanden er gal. c d e Den kumulative relative frekvensen er 60 %. Påstanden er riktig. Den kumulative frekvensen er 4. Påstanden er riktig. Den kumulative relative frekvensen er 100 %. Påstanden er gal. Den kumulative relative frekvensen er 80 %. Påstanden er riktig. 3.17 a Vi fyller inn de tallene som mangler i taellen. c Høyde i cm Frekvens Kumulativ Kumulativ frekvens relativ frekvens 163 1 1 1,5 % 165 1 5,0 % 167 3 5 6,5 % 173 7 87,5 % 175 1 8 100,0 % De kumulativere relative frekvensene som mangler er: 0,5 5,0 % 8 = =, 5 0,65 6,5 % 8 = = og 8 1,00 100,0 % 8 = =. jenter var 165 cm eller kortere. 6,5 % var 167 cm eller kortere. d 100, 0 6,5 = 37,5. 37,5 % av jentene var 173 cm eller høyere. 3.18 a Vi skriver av taellen og fyller inn de tallene som mangler. Antall jenter i Antall familier Kumulativ Kumulativ i familien (frekvens) frekvens relativ frekvens 0 16,7 % 1 6 8 66,7 % 3 11 91,7 % 3 1 1 100,0 % c Kumulative relative frekvenser som mangler: 0,167 16,7 % 1 = =, 11 0,917 91,7 % 1 = =. Det etyr at det er 8 familier som har ingen eller én jente. Det er 3 + 1 = 4 familier som har flere jenter enn gutter. Det utgjør 4 = 0,333 = 33,3 % av familiene. 1 Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 44

d Vi kontrollerer eregningene i Excel. (Framgangsmåten er gitt på sidene 117-118 i læreoka.) Vi ser at frekvensene, de kumulative frekvensene og de kumulative relative frekvensene stemmer med dem vi fant i oppgave a. 3.19 a Vi skriver av taellen og fyller inn tallene som mangler. Tid i minutter Antall (frekvens) Kumulativ frekvens Kumulativ relativ frekvens 18 1 1 8,3 % 1 1 16,7 % 6 1 3 5,0 % 33 5 41,7 % 41 1 6 50,0 % 48 1 7 58,3 % 64 1 8 66,7 % 70 1 9 75,0 % 11 1 10 83,3 % 15 1 11 91,7 % 146 1 1 100,0 % c d e Kumulative relative frekvenser som mangler er: 3 0,5 5,0 % 1 = =, 5 0, 417 41,7 % 1 = =, 6 0,50 50,0 % 1 = =, 8 0,667 66,7 % 1 = =, 9 0,75 75,0 % 1 = =, 11 0,917 91,7 % 1 = =. 3 gutter rukte mindre enn en halv time på dataspill. 7 gutter rukte mindre enn én time på dataspill. Altså rukte 1 7 = 5 gutter rukte minst én time på dataspill. 3 = 0, 50 = 5,0 %. Altså rukte 5,0 % av guttene mindre enn en halv time på dataspill. 1 5 = 0, 417 = 41,7 %. Altså rukte 41,7 % av guttene rukte minst én time på dataspill. 1 Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 44

3.0 Vi ruker Excel til å gjøre eregningene. (Framgangsmåten er gitt på sidene 117-118 i læreoka.) 3.1 a Det var 60 ansatte som tjente mindre enn 500 000 kroner. 100 0 = 80. Det var 80 ansatte som tjente minst 400 000 kroner. c 90 60 = 30 ansatte tjente mellom 500 000 og 600 000 kroner. Hvis lønna til disse 30 ansatte fordeler seg noenlunde jevnt over intervallet [500,600 tusen kroner, vil det være omtrent 15 ansatte i intervallet [500,550 tusen kroner. Da vil det være omtrent 60 + 15 = 75 ansatte som tjener mindre enn 550 000 kroner. d 60 0 = 40 ansatte tjente mellom 400 000 og 500 000 kroner. Hvis lønna til disse 40 ansatte fordeler seg noenlunde jevnt over intervallet [400,500 tusen kroner, vil det være omtrent 10 ansatte i intervallet [400,45 tusen kroner. Da vil det være omtrent 60 + 10 = 70 ansatte som tjener mindre enn 45 000 kroner. 3. Vi tegner histogrammet. Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 44

3.3 Vi tegner stolpediagrammet. 14 1 10 Antall familier 8 6 4 0 0 1 3 Antall søsken 3.4 Vi tegner stolpediagrammet. 30 Relativ frekvens (%) 0 10 0 1 3 4 5 6 Karakter 3.5 Vi regner ut høydene for klassene: 10 høyde for klassen [70,80 : 1 15 høyde for klassen [90,100 : 1,5 10 =, 0 høyde for klassen [80,90 : 10 =, 10 =, 5 høyde for klassen [100,10 : 0, 5 0 = Aschehoug www.lokus.no Side 11 av 44

Så tegner vi histogrammet. 3.6 Vi tegner histogrammet. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 44

3.7 Vi tegner stolpediagrammet. 6 5 Antall familier 4 3 1 0 0 1 3 Antall arn 3.8 Vi tegner histogrammet. Antall jenter Høyde (cm) Aschehoug www.lokus.no Side 13 av 44

3.9 Vi tegner histogrammet. 3.30 Vi tegner stolpediagrammet. Antall kamper 9 8 7 6 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 6 Antall mål Aschehoug www.lokus.no Side 14 av 44

3.31 Vi regner ut høydene for klassene: 0 høyde for klassen [0,,5 : 8,0,5 =, 1 høyde for klassen [,5, 5, 0 : 4,8,5 =, 6 høyde for klassen [5,0, 10,0 : 1, høyde for klassen [10,0, 0, 0 : 0,5 3 høyde for klassen [0,0, 30, 0 : 0,3 Så tegner vi historammet. 5 =, 5 10 = 10 =, høyde for klassen [30,0, 45, 0 : 0,13 15 = 3.3 Vi skriver antall tekstmeldinger i stigende rekkefølge: 11 13 15 7 8 33 45 53 Det er til sammen 9 meldinger. Medianen er den midterste av den, dvs. melding nummer 5. Median er 7 meldinger. 3.33 Vi skriver timelønna i stigende rekkefølge: 95 95 100 100 105 110 115 10 10 15 Det er til sammen 10 timelønner. Midtpunktet ligger mellom timelønn nummer 5 og timelønn nummer 6. 105 + 110 = 107,50 Medianen av timelønnene er 107,50 kroner. Aschehoug www.lokus.no Side 15 av 44

3.34 Det er 1+ + 5+ 8+ 5+ = 3 elever i klasse B. Den kumulative relative frekvensen for karakteren er 1 + 3 = = 0,087 = 8,7 %. 3 3 karakteren 3 er 1 + + 5 8 = = 0,348 = 34,8 %. 3 3 karakteren 4 er 1 + + 5 + 8 16 = = 0,696 = 69,6 %. 3 3 Den kumulative relative frekvensen passerer 50 % for karakteren 4. Derfor er karakteren 4 medianen av karakterene. 3.35 a Vi tar utgangspunkt i kumulativ relativ frekvens 50 % på andreaksen og trekker en vannrett linje til den treffer grafen. Fra det punktet der den vannrette linja treffer grafen, trekker vi en loddrett linje ned til førsteaksen. Der den loddrette linja treffer førsteaksen, leser vi av medianen. Av figuren ser vi at medianen for antall timer foran TV-en er ca. 9 timer. Halvparten av elevene ser på TV mindre enn 9 timer i løpet av én uke og halvparten ser på TV mere enn det. Aschehoug www.lokus.no Side 16 av 44

3.36 a Av taellen ser vi at medianen ligger i fartsklassen 80, 90 km/h. Løsninger Vi ser på den rette linja y = ax + som er slik at y = 0 når x = 80 og y = 60 når x = 90. Vi finner: c 60 0 40 a = = = 4,0 90 80 10 = y ax = 0 4,0 80 = 300 Medianen er løsningen av likningen ax + = 50. Det gir 50 50 ( 300) x = = = 87,5 a 4,0 Medianfarten er 87,5 km/h. At medianfarten er 87,5 km, etyr at halvparten av ilene kjørte saktere enn 87,5 km/h, og halvparten av ilene kjørte fortere enn 87,5 km/h. 3.37 Vi skriver høydene i stigende rekkefølge: 157 161 163 169 170 Det er til sammen 5 høyder. Midtpunktet er høyde nummer 3. Medianen av høydene er 163 cm. 3.38 Vi skriver tidene til TV-titting i stigende rekkefølge: 10 3 8 35 41 41 48 5 68 Det er til sammen 9 tider. Midtpunktet er tid nummer 5. Medianen av tidene til TV-titting er 41 minutter. 3.39 Vi skriver antall fyrstikker i stigende rekkefølge: 47 48 49 49 50 50 51 51 5 5 Det er til sammen 10 fyrstikkesker. Midtpunktet ligger mellom antall fyrstikker i eske nummer 5 og antall fyrstikker i eske nummer 6. 50 + 50 = 50 Medianen er 50 fyrstikker. Aschehoug www.lokus.no Side 17 av 44

3.40 Den kumulative relative frekvensen for 0 mål per kamp er 4 0,133 13,3 % 30 = = 1 mål per kamp er 4 + 9 13 = = 0, 433 = 43,3 % 30 30 mål per kamp er 4 + 9 + 6 19 = = 0,633 = 63,3 % 30 30 Den kumulative relative frekvensen passerer 50 % for mål per kamp. Derfor er medianen mål per kamp. 3.41 a Vi tar utgangspunkt i kumulativ relativ frekvens 50 % på andreaksen og trekker en vannrett linje til den treffer grafen. Fra det punktet der den vannrette linja treffer grafen, trekker vi en loddrett linje ned til førsteaksen. Der den loddrette linja treffer førsteaksen leser vi av medianen. Av figuren ser vi at medianinntekten lir ca. 415 tusen kroner. c Halvparten av norske kvinner i full jo tjente mindre enn 415 000 kroner i året og halvparten tjente mer enn 415 000 kroner. Medianlønnen til norske menn i full jo er 450 000 kr, som er 35 000 kroner høyere enn medianlønnen til norske kvinner i full jo. Aschehoug www.lokus.no Side 18 av 44

3.4 Vi kan løse oppgaven manuelt eller med et regneark. Her viser vi hvordan du kan løse oppgaven med GeoGera. Da skriver vi karakterene inn i regnearket til GeoGera, klikker på «Analyse av en variael» og velger «Analyser». Av figuren nedenfor til høyre ser vi at medianen er karakteren 4. 3.43 Vi skriver farten til ilene i stigende rekkefølge. 78 80 81 83 85 86 87 87 91 91 9 93 94 95 97 98 Siden 16 er et partall, er medianen gjennomsnittet av verdi nummer 16 = 8 og verdi nummer 16 + 9 87 + 91 =. Medianen er = 89 km/h. Halvparten av ilene kjørte fortere enn 89 km/h og halvparten kjørte saktere enn 89 km/h. 3.44 Vi regner ut kumulativ relativ frekvens for hver klasse: kumulativ relativ frekvens for klassen [10, 0 : 5 0, 067 6, 7 % 375 = = kumulativ relativ frekvens for klassen [0,30 : 5 + 15 = 0, 40 = 40 % 375 kumulativ relativ frekvens for klassen [30, 40 : 5 + 15 + 150 = 0,80 = 80 % 375 kumulativ relativ frekvens for klassen [40,50 : 5 + 15 + 150 + 75 = 1, 00 = 100, 0 % 375 Aschehoug www.lokus.no Side 19 av 44

Vi tegner grafen av de kumulative relative frekvensene slik det er forklart på sidene 134-135 i læreoka. Da får vi grafen nedenfor. Vi tar så utgangspunkt i kumulativ relativ frekvens 50 % på andreaksen og trekker en vannrett linje til den treffer grafen. Fra det punktet der den vannrette linja treffer grafen, trekker vi en loddrett linje ned til førsteaksen. Der den loddrette linja treffer førsteaksen leser vi av medianen. Av figuren ser vi at mediantiden lir 3,5 minutter. 3.45 a Vi regner ut kumulativ relativ frekvens for hver klasse: 13 kumulativ relativ frekvens for klassen [0, 1, 0 : 0, 035 3,5 % 367 = = 13 + 96 kumulativ relativ frekvens for klassen [1,0,, 0 : = 0, 97 = 9, 7 % 367 13+ 96 + 16 kumulativ relativ frekvens for klassen [,0, 3, 0 : = 0, 7380 = 73,8 % 375 13 + 96 + 16 + 79 kumulativ relativ frekvens for klassen [3,0, 7, 0 : = 0,954 = 95, 4 % 363 13 + 96 + 16 + 79 + 17 kumulativ relativ frekvens for klassen 7,0 og mer: = 1,00 = 100,0 % 367 Vi tegner grafen av de kumulative relative frekvensene slik det er forklart på sidene 134-135 i læreoka. Da får vi grafen på neste side. Vi tar så utgangspunkt i kumulativ relativ frekvens 50 % på andreaksen og trekker en vannrett linje til den treffer grafen. Fra det punktet der den vannrette linja treffer grafen, trekker vi en loddrett linje ned til førsteaksen. Der den loddrette linja treffer førsteaksen leser vi av medianen. Av figuren på neste side ser vi at medianprisantydningen lir ca.,5 millioner kroner. Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 44

Medianprisantydningen ligger i intervallet,0,3,0. c Vi ser på den rette linja y = ax + som er slik at y = 9,7 når x = og y = 73,8 når x = 3. Vi finner: 73,8 9,7 44,1 a = = = 44,1 3 1 = y ax = 9,7 44,1 = 58,5 Medianen er løsningen av likningen ax + = 50. Det gir 50 50 ( 58,5) x = = =,46 a 44,1 Medianprisantydningen er,46 millioner kroner. Halvparten av leilighetene hadde en prisantydning under,46 millioner kroner og halvparten hadde en prisantydning over,46 millioner kroner. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 44

3.46 Vi ruker Excel for å finne medianen. Vi legger først CO -utslippene inn cellene B:B39 i regnearket (se nedenfor). Så gir vi kommandoen MEDIAN(B:B39). Vi ser at medianen er 6,547 tonn CO per innygger. 3.47 Timelønnen elevene får til sammen, er 10 + 100 + 95 + 115 + 100 + 110 + 105 + 10 + 15 + 95 = 1085 1085 = 108,5 10 Gjennomsnittlig timelønn er 108,50 kroner. Aschehoug www.lokus.no Side av 44

3.48 a Vi skriver av taellen og fyller inn de tallene som mangler. Fart (km per time) Midtpunkt x m Frekvens f [70, 80 75 10 750 [80, 90 85 0 1700 [90,100 95 15 145 [100,10 110 5 550 Sum 50 445 xm f 80 + 90 100 + 10 Vi finner midtpunktene som mangler: = 85 og = 110 Vi finner de produktene av midtpunkt og frekvens som mangler: 85 100 = 1700 og 110 50 = 550. Summen av produktene er 445. 445 88,5 50 =. Gjennomsnittsfarten er 88,5 km/h. 3.49 Gjennomsnittskarakteren er: 1 0,115 + 0, 04 + 3 0, 49 + 4 0, 13 + 5 0,143 + 6 0,076 = 3,3 3.50 Vi teller opp antall jenter i hver familie. Seks familier har 1 jente, og det er det vanligste antall jenter. Typetallet er 1 jente. 3.51 Vi skriver verdiene i stigende rekkefølge: 1 3 3 4 4 6 a Typetallet er. Påstanden er gal. Medianen er 3. Påstanden er gal. c Gjennomsnittet er + 1 + 3 + 4 + + 6 + 3 + 4 + = 3. Påstanden er riktig. 9 d Medianen og gjennomsnittet er egge lik 3. Påstanden er riktig. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 44

3.5 157 + 170 + 169 + 163 + 161 = 164. 5 Gjennomsnittshøyden for jentene er 164 cm. 3.53 48 + 50 + 51+ 49 + 50 + 5 + 47 + 51+ 49 + 5 = 49,9. 10 Gjennomsnittlig antall fyrstikker er 49.9. 3.54 Vi samler opplysningene i en taell. Karakterer (x) Frekvens (f) x f 1 1 1 1 3 5 15 4 7 8 5 3 15 6 1 6 SUM 18 67 67 = 3, 7. Gjennomsnittskarakteren er 3,7. 18 4 er den vanligste karakteren. Typetallet er 4. 3.55 Vi ruker Excel til å finne gjennomsnittet. (Framgangsmåten er gitt på sidene 147-148 i læreoka.) Gjennomsnittlig antall timer elevene ser på TV er 10,8 timer. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 44

3.56 a Åtte elever fikk karakteren 4, og det er den vanligste karakteren. Typetallet er 4. Gjennomsnittskarakteren er 1 1 + + 3 5 + 4 8 + 5 5 + 6 = 3, 9. 3 3.57 Vi skriver opp verdiene i stigende rekkefølge. Løsninger 18 1 6 33 33 41 48 64 70 11 15 146 a Midtpunktet ligger mellom tid nummer 6 og tid nummer 7. Medianen er gjennomsnittet av de to tidene på hver side av midtpunktet. 41+ 48 = 44,5 Medianen av tiden rukt til dataspill er 44,5 minutter. 18 + 1+ 6 + 33 + 33 + 41+ 48 + 64 + 70 + 11 + 15 + 146 = 61, 4 1 Gjennomsnittstiden er 61,4 min. c Det er noen tider som er klart større enn de andre. Disse vil trekke gjennomsnittet opp, men vil ikke ha noe etydning for medianen. Derfor er gjennomsnittet større enn medianen. 3.58 a, Vi ruker Excel for å finne median og gjennomsnitt. Først legger vi høydene inn i cellene A1:A30 i regnearket (se nedenfor). Så gir vi kommandoen MEDIAN(A1:A30) for å finne medianen og kommandoen GJENNOMSNITT(A1:A30) for å finne gjennomsnittet.. c Medianhøyden er 166 cm og gjennomsnittshøyden er 166,7 cm. Høydene til jentene er noenlunde symmetrisk fordelt, og da vil medianen og gjennomsnittet være ganske like. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 44

3.59 a Midtpunktet ligger mellom verdi nummer 4 og verdi nummer 5. Medianen er gjennomsnittet av de to utslippene på hver side av midtpunktet. 3, 4 + 3, 4 = 3, 4. Medianutslippet er 3,4 tonn per innygger. c 3,5 = 6,7. Gjennomsnittet er 6,7 tonn per innygger. 48 I oppgave 3.31 tegnet vi et histogram for utslippsdataene. Histogrammet er langt fra å være symmetrisk. Det er derfor klar forskjell på median og gjennomsnitt. 3.60 a Vi ruker et regneark til å finne gjennomsnittet. (Framgangsmåten er gitt på sidene 147-148 i læreoka.) 66 =,. Strømsgodset skåret, mål i gjennomsnitt per kamp. 30 I ni kamper skåret Strømsgodset 1 mål, og det er det vanligste antallet. Typetallet er 1 mål per kamp. 3.61 Vi ruker et regneark slik det er vis på sidene 147-148 i læreoka. 8,5 = 7,4. Gjennomsnittlig utslipp for landene var 7,4 tonn per innygger. 38 3.6 Vi finner at gjennomsnittlig antall jenter for firearnsmødrene er 0 0,083 + 1 0,65 + 0,355 + 3 0,34 + 4 0,063 = 1,9 jenter. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 44

3.63 Vi ruker et regneark til å finne gjennomsnittet. Gjennomsnittsalderen for kvinnene var 30,4 år. Nedenfor er det vist hva det står i cellene i regnearket. 3.64 Gjennomsnittet for alle elevene på Vg er 0 3,75 + 30 3,50 = 3, 60. 50 3.65 Vi skriver verdiene i stigende rekkefølge: 80 81 85 86 87 91 91 93 95 98 Siden vi har 10 verdier, ligger medianen mellom verdi nummer 5 og verdi nummer 6. Første halvdel av dataene som kommer før medianen er: 80 81 85 86 87 Første kvartil er medianen for disse fem verdiene, dvs. 85 km/h. Andre halvdel av dataene som kommer etter medianen er: 91 91 93 95 98 Tredje kvartil er medianen for disse fem verdiene, dvs. 93 km/h. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 44

3.66 Vi skriver verdiene i stigende rekkefølge: 11 13 15 7 8 33 45 53 Siden vi har ni verdier er medianen tall nummer 5. Første halvdel av dataene som kommer før medianen er: 11 13 15 Første kvartil er medianen for disse fire verdiene, dvs. 13 + 15 = 14 tekstmeldinger. Andre halvdel av dataene som kommer etter medianen er: 8 33 45 53 Tredje kvartil er medianen for disse fem verdiene, dvs. 33 + 45 = 39 tekstmeldinger. Løsninger 3.67 a Den høyeste farten er 98 km/h og den laveste farten er 80 km/h. Variasjonsredden er 98 km/h 80 km/h = 18 km/h. Første kvartil er 85 km/h og tredje kvartil er 93 km/h Kvartilredden er 93km/h 85km/h = 8 km/h. 3.68 a Minste verdi er 11 tekstmeldinger og største verdi er 53 tekstmeldinger. Variasjonsredden er 53 11 = 4 tekstmeldinger. Første kvartil er 14 tekstmeldinger og tredje kvartil er 39 tekstmeldinger. Kvartilredden er 39 14 = 5 tekstmeldinger. 3.69 a Gjennomsnittshøyden for rødrene er 179 + 184 + 177 = 180 cm. 3 Vi lager en taell som viser høydene, avvikene og kvadratavvikene. Navn Høyde Avvik Kvadratavvik Per 179 179 180 = 1 ( 1) = 1 Pål 184 184 180 = 4 4 = 16 Espen 177 177 180 = 3 ( 3) = 9 c d Summen av kvadratavvikene er 1+ 16 + 9 = 6 cm. 1+ 16 + 9 = 13 = 3, 6 3 1 Standardavviket for høydene til rødrene er 3,6 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 44

3.70 Vi ruker regnearket i GeoGera til å kontrollere utregningen på side 158. (Framgangsmåten er gitt på sidene 13 og 160 i læreoka.) Vi ser at standardavviket s = 5,5 cm som stemmer med det vi fant på sidene 157-158 Vi ruker også regnearket i GeoGera til å kontrollere utregningen i oppgave 3.69. Vi ser at standardavviket s = 3,6 cm, som er det samme som vi fant i oppgave 3.69. 3.71 Av taellen ser vi at elevene fikk disse karakterene: 1, 1,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6. Vi skriver verdiene inn i regnearket i GeoGera og ruker analyseverktøyet til å finne standardavviket, se resultatet til høyre. (Bare den øverste delen av vinduet fra GeoGera er vist.) Standardavviket er s = 1,35. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 44

3.7 Vi legger inn verdiene i regnearket til GeoGera og ruker analyseverktøyet til å svare på oppgavene. a Variasjonsredden er 5 1= 4. Påstanden er riktig. Standardavviket er 1,4. Påstanden er gal. c Første kvartil er. Påstanden er gal. d Tredje kvartil er 4. Påstanden er riktig. e Kvartilredden er 4 =. Påstanden er riktig. 3.73 a Variasjonsredden er 170 157 = 13 cm. Vi skriver høydene i stigende rekkefølge: 157 161 163 167 170 Første halvdel av dataene som kommer før medianen er: 157 161 Første kvartil er medianen for disse to verdiene, dvs. 157 + 161 = 159 cm. Andre halvdel av dataene som kommer etter medianen er: 167 170 Tredje kvartil er medianen for disse to verdiene, dvs. 167 + 170 = 168,5 cm. 3.74 Vi legger inn verdiene i regnearket til GeoGera og ruker analyseverktøyet til å svare på oppgavene. a Variasjonsredden er 5 47 = 5 fyrstikker. Første kvartil er 49 og tredje kvartil er 51. Kvartilredden er 51 49 = fyrstikker c Standardavviket er 1,7 fyrstikker. Aschehoug www.lokus.no Side 30 av 44

3.75 Vi legger inn verdiene i regnearket til GeoGera og ruker analyseverktøyet til å svare på oppgavene. a Variasjonsredden er 68 10 = 58 minutter. Første kvartil er 5,5 minutter og tredje kvartil er 50 minutter. Kvartilredden er 50 5,5 = 4,5 minutter. c Standardavviket er 17,1 minutter. 3.76 Vi legger inn verdiene i regnearket til GeoGera og ruker analyseverktøyet til å svare på oppgavene. a Variasjonsredden er 146 18 = 18 minutter. Første kvartil er 9,5 minutter og tredje kvartil er 91,0 minutter. Kvartilredden er 91 9,5 = 61,5 minutter. c Standardavviket er 43,5 minutter. 3.77 Karakterene på matematikkprøven i stigende rekkefølge: 1 1 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 Karakterene på norskprøven i stigende rekkefølge: 1 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 (Medianen er markert med rødt for egge prøvene.) a Variasjonsredden er 6 1= 5 for egge prøvene. Første halvdel av karakterene for matematikkprøven er: 1 1 3 3 3 3 Første kvartil er medianen for disse ti verdiene, dvs. + =. Andre halvdel av karakterene for matematikkprøven er: 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 Tredje kvartil er medianen for disse ti verdiene, dvs. 4 + 4 = 4. Kvartilredden for matematikkprøven er 4 =. Første halvdel av karakterene for norskprøven er: 1 3 3 3 3 3 4 4 Første kvartil er medianen for disse ti verdiene, dvs. 3 + 3 = 3. Aschehoug www.lokus.no Side 31 av 44

Andre halvdel av karakterene for norskprøven er: 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 c Tredje kvartil er medianen for disse ti verdiene, dvs. 4 + 5 = 4,5. Kvartilredden for norskprøven er 4,5 3= 1,5. Kvartilredden viser at karakterene varierer mindre for norskprøven en for matematikkprøven. At variasjonsredden er 5 viser are at hele karakterskalaen er rukt. 3.78 Vi skriver inn verdiene i Excel, og ruker regnearket til å løse oppgavene. a Medianen er timer og gjennomsnittet er 3, timer. Det er noen elever som trener mye mere enn de andre. Disse vil trekke gjennomsnittet opp, men vil ikke ha noe etydning for medianen. Så her er det medianen som gir est uttrykk for «sentrum» i dataene. Første kvartil er 0 timer og tredje kvartil er 3,5 timer. At første kvartil er 0 timer, etyr at (minst) en firedel av elvene ikke trente siste uke. At tredje kvartil er 3,5 timer, etyr at omtrent en firedel av elevene trente minst 3,5 timer siste uke. c Variasjonsredden er 16 0 = 16 timer. Kvartilredden er 3,5 0 = 3,5 timer. Variasjonsredden lir sterkt påvirket av at én elev trente 16 timer. Kvartilredden lir ikke påvirket av at én elev trente spesielt mye. Kvartilredden er et edre spredningsmål enn variasjonsredden. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 44

3.79 Vi skriver inn karakterene i Excel og ruker regnearket til å finne gjennomsnitt og standardavvik. Gjennomsnittet er 4,0 og standardavviket er 1,3. 3.80 Vi skriver inn høydene i Excel åde i cm og i meter og ruker regnearket til å finne standardavviket. a Standardavviket for høydene målt i cm er 5,1 cm. Standardavviket for høydene målt i meter er 0,051 m. 5,1 cm er det samme som 0,051 m. Standardavviket lir det samme om vi måler høydene i cm eller meter. c Standardavviket er gitt ved formelen summen av kavadratavvikene s = n 1 Nå er summen av kavadratavvikene i cm = 100 (summen av kavadratavvikene i meter) slik at standardavvik i cm = 100 (standardavvik i meter) Det stemmer med det vi fant i oppgavene a og. Aschehoug www.lokus.no Side 33 av 44

3.81 a Variasjonsredden er 40,1 0,1 = 40,0 tonn. Det er 48 verdier, så første halvdel av dataene er de 4 minste verdiene. Første kvartil er medianen av disse 4 verdiene, dvs. gjennomsnittet av verdi nummer 1 og verdi nummer 13. Første kvartil er 0,9 + 0,9 = 0,9 tonn. Andre halvdel av dataene er de 4 største verdiene. Tredje kvartil er medianen av disse 4 verdiene, dvs. gjennomsnittet av verdi nummer 36 og verdi nummer 37. Tredje kvartil er 7,7 + 9,3 = 8,5 tonn. Kvartilredden er 8,5 0,9= 7,6 tonn. c Vi tegner et oksplott for CO utslippene. 3.8 Vi legger inn verdiene i regnearket til GeoGera og ruker analyseverktøyet til å svare på oppgavene. a Variasjonsredden er 180 151 = 9 cm. Første kvartil er 16 cm og tredje kvartil er 171 cm. Kvartilredden er 171 16 = 9 cm. c d Boksplott for høydene er gitt til høyre. Standardavviket er 6,4 cm Aschehoug www.lokus.no Side 34 av 44

3.83 a 1 Det er til sammen elever. De relative frekvensene for taco, pizza og pølser er henholdsvis: 10 0, 45 =, 7 0,3 = og 5 0, 3 = Det gir følgende gradtall for sirkelsektorene: Taco: 10 360 163,6 =, Pizza: 7 360 114,5 =, Pølser: 5 360 81,8 = Vi tegner et sektordiagram.. Løsninger Vi tegner et stolpediagram. 3.84 Vi tegner et stolpediagram. Aschehoug www.lokus.no Side 35 av 44

3.85 Et linjediagram (kurvediagram) god framstilling av endringene i røykevanene: 80 70 60 50 Andel (%) 40 30 0 10 0 000 00 004 006 008 010 01 Dagligrøykere Av-og-til røykere Ikke-røykere 3.86 Vi regner ut de relative frekvensene i Excel. Nedenfor er det vist hva det står i cellene i regnearket. Aschehoug www.lokus.no Side 36 av 44

Vi tegner et stolpediagram i Excel. Vi ser at Oslo har en større andel av efolkningen i aldersgruppen 0 4 år, mens Akershus har en større andel i de andre aldersgruppene. 3.87 a Vi tegner et linjediagram. Gjennomsnittlig kvadratmeterpris har steget med 5700 5000 = 0700 kroner for delte oliger og med 36 00 6000 = 30 00 kroner for leiligheter. Leilighetene har hatt den største prisøkningen på gjennomsnittlig kvadratmeterpris. En grunn til det er at det er en større andel leiligheter i de store yene, og der har prisstigningen vært størst. 3.88 Det er flere enere, toere, femmere og seksere i spansk enn det er i internasjonal engelsk, og det er flere treere og firere i internasjonal engelsk enn det er i spansk. Karakterene i spansk fordeler seg mer jevnt over hele skalaen enn karakterene i internasjonal engelsk. Aschehoug www.lokus.no Side 37 av 44

3.89 Diagrammet til venstre gir det este ildet av hvordan folketallet har utviklet seg i de to verdensdelene. For diagrammet til høyre starter andreaksen ved 400 millioner, og det kan derfor gi inntrykk av at folketallet i Afrika har steget mer enn det som er tilfellet. 3.90 a Vi finner at gradtallet for tysk er 40 360 7 00 =, gradtallet for fransk er 60 360 108 00 = og gradtallet for spansk er 100 360 180 00 =. Vi tegner sektordiagrammet i Excel. 3.91 a Vi finner at gradtallet for svart kaffe er 0, 0 360 = 7 0,40 360 = 144, gradtallet for espresso er 0,30 360 = 108 0,10 360 = 36. Vi tegner et sektordiagram., gradtallet for cappuccino er og gradtallet for kaffe latte er Aschehoug www.lokus.no Side 38 av 44

Vi tegner et stolpediagram. 3.9 a Boksplottene viser verdien til største og minste verdi, første kvartil, tredje kvartil og median. 1 Medianen for ensinprisen er minst i A-y. Medianen for ensinprisen er størst i C-y. 3 Bensinstasjonen som selger illigst ensin ligger i B-y. 4 Bensinstasjonen som selger dyrest ensin ligger i C-y. c Det er «priskrig» i B-y. 3.93 Vi tegner et stolpediagram. Diagrammet viser at det er en større andel enere, toere og treere i sidemål, mens det er en større andel firere, femmere og seksere i hovedmål. Aschehoug www.lokus.no Side 39 av 44

3.94 a Vi ruker Excel for å finne gradtallene for sirkelsektorene. Vi tegner sektordiagrammet i Excel. 3.95 Vi tegner et linjediagram (kurvediagram) som viser utviklingen i ruk av Internett en gjennomsnittsdag i perioden 000 01. Andel (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 0 000 00 004 006 008 010 01 År 9-15 år 16-4 år 5-44 år 45-66 år Aschehoug www.lokus.no Side 40 av 44

3.96 a Vi finner at gradtallet for NRK er 0,411 360 = 148,0, gradtallet for TV er Løsninger 0, 55 360 = 91,8, gradtallet for TV Norge er 0,076 360 = 7,4, gradtallet for TV3 er 0, 044 360 = 15,8 og gradtallet for andre kanaler er 0,14 360 = 77,0. Vi lager et sektordiagram. Vi lager et stolpediagram. 3.97 a c d e Boksplottene viser verdiene for største og minste utslipp, første kvartil, tredje kvartil og median. Landet med størst utslipp ligger i Asia. Medianen er størst i Europa og minst i Afrika. Variasjonsredden er størst i Asia og minst i Afrika. Kvartilredden er størst i Asia og minst i Afrika. Aschehoug www.lokus.no Side 41 av 44

3.98 Vi tegner et linjediagram (kurvediagram) som viser utviklingen av kvadratmeterprisen for oliger i Tromsø i perioden 000 01 Kapitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a Vi skriver antall mål per kamp i stigende rekkefølge: 1 3 3 4 4 5 5 Siden det er 11 verdier er mediantallet verdi nummer 6. Medianen er 3 mål. Medianen sier oss hva midtpunktet er i et datamateriale. Gjennomsnittet er: 1 + + + + + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 33 = = 3 mål. 11 11 Gjennomsnittet er summen av dataverdiene delt på antall verdier i datamaterialet. Typetallet er mål. Typetallet er den verdien i som forekommer flest ganger i et datamateriale. Vi lager en taell. Antall mål 1 3 4 5 Frekvens 1 4 Kumulativ frekvens 1 5 7 9 11 Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 44

Oppgave Vi finner at gradtallet for fotall er 10 360 180 40 =, gradtallet for asketall er og gradtallet for natursti er 40 360 60 40 =. 80 360 10 40 = Vi tegner sektordiagrammet. Oppgave 3 a Variasjonsredden i Bergen var ca. 450 mm, og variasjonsredden på Røros var ca. 100 mm. Variasjonsredden for nedøren var størst i Bergen. Diagrammene er tegnet med ulik skala på andreaksen. Det kan feilaktig gi inntrykk av at variasjonen i nedør er den samme i Bergen og Røros. Diagrammene ør tegnes med samme skala på andreaksen. Del Med hjelpemidler Oppgave 4 Vi ruker Excel og utvider taellen. a Vi ser av den siste kolonnen at den kumulative relative frekvensen passerer 50 % i aldersklassen [0, 40 år. Derfor er medianen mindre enn 40 år. Vi ser av taellen at gjennomsnittsalderen er 39,8 år. Aschehoug www.lokus.no Side 43 av 44

Nedenfor viser vi fôrmelene som er rukt i regnearket. Oppgave 5 Vi skriver tallene i regnearket i GeoGera og ruker analyseverktøyet. a Første kvartil er 8 trekk, medianen er 4 trekk og tredje kvartil er 63 trekk. Kvartilredden er 63 8 = 35 trekk. Kvartilredden viser størrelsen på det intervallet som inneholder (omtrent) de 50 % midterste verdiene i datamaterialet. c Vi kan ruke variasjonsredde og standardavvik. Variasjonsredden er 67 16 = 51 trekk og standardavviket er 19,0 trekk. Aschehoug www.lokus.no Side 44 av 44