Kontinuitet og grenseverdier

Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke to fenomener i virkeligheten. Det første er endringen i kroppstemperaturen til en pasient på sykehus. Temperaturen hennes måles på bestemte tidspunkter: Klokkeslett 06.00 08.00 10.00 12.00 14.00 16.00 Temperatur / C 37, 7 38, 1 40, 1 40 38, 9 38, 3 Selv om vi bare har disse målingene, så vet vi at kroppstemperaturen er noe som endrer seg på en glatt måte. Det kan ikke skje at temperaturen stiger fra 38 til 40 uten at det først går gjennom 38, 5, da 39, da 39, 5 samt alle de andre temperaturene mellom 38 og 40. Derfor er det hensiktsmessig å tegne målingene ovenfor på en graf og trekke en sammenhengende kurve gjennom punktene vi så får (figur 1). Nå skal vi tenke på noe helt annet: å sende en pakke hos Posten. Vi finner ut hvor mye det vil koste fra (denne fiktive) portotabellen: Vekt Pris Under 5kg 95kr 5 10kg 110kr 10 15kg 125kr 15kg oppover 150kr Obs: Her må vi presisere at man betaler 110kr for akkurat 5kg, og 125kr for akkurat 10kg, og så videre. Det finnes en notasjon for dette, som vi gir om et øyeblikk. 1

Prisen er en funksjon av vekt, som oppfører seg annerledes enn temperaturen: Mellom for eksempel de to vektene 9, 9kg og 10, 1kg er det en stigning i prisen på 15kr. Men i motsetning til temperaturen, så får prisen lov til å stige plutselig, uten at det går gjennom alle prisene mellom 110kr og 125kr. Dette fremstilles godt på grafen, som har et sprang i 10kg (fig. 2). Det stemmer med intuisjonen at den første funksjonen skulle være kontinuerlig og den andre ikke. Hvordan skal vi innbake denne idéen i en brukbar matematisk definisjon? 1.1 Definisjon nr. 1 Hvis vi ser på grafene til funksjonene, så legger vi merke til en viktig forskjell mellom dem: den første er sammenhengende mens den andre har sprang i flere steder. Derfor er det kanskje rimelig å si som første forsøk: Definisjon #1: En funksjon er kontinuerlig dersom dens graf er sammenhengende 1. Med denne definisjonen kan vi se (eller i hvert fall la oss overtales) at lineære funksjoner og polynomer er kontinuerlige. For eksempel, grafen til 3 x er ei rett linje og den til x 2 + 4 er en parabel, som begge to består av én grein, uten sprang (fig. 3). Til gjengjeld, kan det hende at en rasjonal funksjon f(x) = g(x)/h(x) ikke er kontinuerlig. Dersom h(x) = 0 for et tall x, er ikke f(x) definert, og grafen har et sprang i x. For eksempel, grafen til den rasjonale funksjonen 1 x(x + 3) har sprang i x = 3 og x = 0, så er ikke denne funksjonen kontinuerlig (fig. 4). Men for å gå videre, trenger vi en annen definisjon av kontinuitet. Dette, fordi (1) Det er ikke alltid at vi har mulighet (eller lyst :-) ) å trekke grafen. 1 Obs: Det kan være et problem med dette. Hvis en funksjon ikke er definert i et punkt, da sier noen at det er et diskontinuitetspunkt, mens andre mener at kontinuitet kan rett og slett ikke undersøkes i dette punktet. Vi forholder oss til det første synespunktet, selv om det andre har visse logiske fordeler. 2

(2) Et mer seriøst problem: kanskje den delen av grafen som vi har under øynene ikke viser alt som vi må få med oss. Det er ofte umulig å se på hele grafen, og det kunne hende for eksempel at i x = 10 15 er det et sprang som ikke vi vet om (fordi at grafen våre bare strekker til 10 14 :-) ). (3) I praksis har vi ofte behov for å betrakte kontinuitet i et punkt, som kan være litt upraktisk med denne definisjon. Dessuten, fra et didaktisk synespunkt er det godt med flere ulike innfallsvinkler til et begrep. Derfor skal vi nå arbeide mot en ny definisjon. Notasjon for åpne og lukkede intervall: La a og b være tall, med a < b. Da skriver vi: Lukket intervall: [a, b] = alle tall større enn eller lik a og mindre enn eller lik b Halvlukket/halvåpent intervall: [a, b) = alle tall større enn eller lik a og mindre enn b Halvlukket/halvåpent intervall: (a, b] = alle tall større enn a og mindre enn eller lik b Åpent intervall: (a, b) = alle tall større enn a og mindre enn b Nå kan vi legge opp portotabellen helt presist, slik: Vekt / kg Pris / kr [0, 5) 95 [5, 10) 110 [10, 15) 125 [15, ) 150 Merk at ikke er et tall; uttrykket [15, ) betyr alle tall større enn eller lik 15. Et intervall med eller er alltid åpent på den siden som -en står på. 1.2 Definisjon nr. 2 Hvordan da kan vi si matematisk at det finnes ingen sprang i grafen eller det finnes et sprang i grafen i punkt x? La oss se videre på portotabellen i fig. 2. Prisen for å sende en pakke på 10kg er 125kr. Men hvis vi forflytter oss i det hele tatt nedover fra 10kg, da er prisen 110kr. Uansett hvor nært vi 3

kommer til 10kg nedenfra, så lenge vi ikke er helt på 10kg, er det en vesentlig differanse mellom prisen til 10kg og prisen til vår pakke. Til gjengjeld, la oss se på grafen til kroppstemperaturen i kl. 10, når temperaturen var 40, 1. Kanskje temperaturen kl. 09:55 var 40, 06. Da var det omtrent 40, 08 kl. 09:57 og 40, 09 kl. 09:59. Jo nærmere klokkesletten ble til kl. 10, desto nærmere ble temperaturen til 40, 1. Det er denne siste bemerkningen som vi skal bruke for å lage vår andre definisjon av kontinuitet: Definisjon #2: En funksjon f(x) er kontinuerlig i punktet c dersom når x går mot c, da nærmer f(x) seg til f(c). Nærmere presist, f(x) er kontinuerlig i c dersom vi kan få differensen f(x) f(c) til å være så liten som vi vil, ved å velge en x som ligger nært nok til c. Se fig. 5 for en grafisk fremstilling av denne idéen. Det kan hende at f(x) går mot f(c) dersom x går mot c ovenfra, men ikke hvis x går mot c nedenfra, eller omvendt. Dette er tilfellet i punktene der portotabellfunksjonen ikke er kontinuerlig. For å ha kontinuitet, må f(x) gå mot f(c), samme hvilken retning vi kommer fra. For å ivareta denne betrakningen og gjøre denne definisjonen enda mer presis, pleier man å bruke grenseverdier. Siden vi skal ha mye bruk for grenseverdier når vi senere lærer om derivasjon og integrasjon, skal vi sette kontinuitetsbegrep til siden i en liten stund og studere grenseverdier for seg. 2 Grenseverdier La f være en réel funksjon. De sentrale spørsmålene som preger oss som studerer grenseverdier, er følgende: La c være et tall. Hva skjer med f(x) dersom x går mot c, men uten at x blir lik c? Er det et tall som f(x) nærmer seg til, dersom x vokser eller avtar uten grense? 2.1 Noen eksempel Mange grenseverdier er helt opplagt. La oss begynne med et enkelt eksempel: f(x) = 2x+2, og c = 3. Hvilket tall nærmer f(x) seg til, dersom x går mot 3? 4

Jo, hvis x blir nesten lik 3, bare litt større eller litt mindre, da blir 2x nesten like 6, og 2x+2 nesten lik 8. Ved å velge x så nær til 3 som nødvendig, så kan vi få 2x + 2 til å være så nær til 8 som vi vil. La oss gjøre dette helt presist: For eksempel, tenk om vi ønsker å finne en x som er slik at differensen er mindre enn 0, 1. Vi får ulikheten f(x) 8 = 2x + 2 8 = 2x 6 0, 1 < 2x 6 < 0, 1 som gir 2, 95 < x < 3, 05. Derfor, for alle x i intervallet (2.95, 3.05) har vi f(x) 8 < 0, 1. Vi ser at det ikke var noe spesielt med 0, 1; for ethvert positivt tall ε ( epsilon, en gresk bokstav), kunne vi finne en ny betingelse på x som vil gjøre at f(x) 8 < ε. Derfor er det rimelig å si at grenseverdien til f(x) = 2x + 2 dersom x går mot 3 er lik 8. Se fig. 6. I dette tilfellet var det litt trivielt, siden f er en enkel lineær funksjon med f(3) = 8. Men det kan hende at grenseverdien er mer interessant å betrakte. For eksempel, la oss se på funksjonen (fig. 7) { 4 hvis x = 2 f(x) = 3 hvis x 2. Det interessante punktet hos denne f er selvfølgelig x = 2. Vi har f(2) = 4. Til gjengjeld, hva er grenseverdien til f(x) når x går mot 2, men blir hele tiden litt unna? Jo, hvis x ikke er akkurat lik 2, da er f(x) lik 3. Uansett hvor nært x ligger til 2, bare x ligger den minste biten til venstre eller høyre av 2, da er f(x) = 3. Derfor er vi ført til å uttale at grenseverdien til f(x) når x går mot 2 er lik 3. Dette er kanskje litt forbausende, fordi at grenseverdien er forskjellig fra funksjonens verdi i x = 2. Slik ser vi at grenseverdien kan inneholde viktig informasjon om funksjonens oppførsel. 2.2 Venstre og høyre grenseverdier Nå må vi ta hensyn til noe enkelt men viktig, nemlig, at hvis vi nærmer oss til et punkt nedenfra, så kan vi få et annet resultat enn hvis vi kommer ovenfra. Tenk på funksjonen (fig. 8) { 2x + 1 hvis x 0 f(x) = 3x + 4 hvis x > 0. 5

Hvis x går mot 0 nedenfra, da nærmer f(x) seg til 1, men hvis x går mot 0 ovenfra, så nærmer f(x) seg til 4. Resultatet er altså avhengig av hvilken side vi lar x gå mot 0 fra. I dette tilfelle kan vi rett og slett ikke påstå at funksjonen har et bestemt grenseverdi når x går mot 0. (I alle punkter unntatt x = 0 kan vi beregne grenseverdien akkurat som vi gjorde i det første eksempelet, fordi at f er satt sammen av to lineære funksjoner.) Derfor, for at en vilkårlig funksjon f(x) skal ha en grenseverdi i et punkt c, må vi få samme resultat, uavhengig av hvilken side x går mot c fra. Definisjon: La f være en funksjon, og c et tall. Dersom de eksisterer, skriver vi henholdsvis lim f(x) og lim f(x) x c x c + for verdiene som f(x) nærmer seg til, dersom x går mot c nedenfra eller ovenfra, de såkalte venstre og høyre grenseverdiene. Notasjonen lim kommer fra det latinske ordet limes som betyr grense (som også gir det engelske ordet limit ). 2.3 Definisjon av en grenseverdi Nå er vi i stand til å gi definisjon av en grenseverdi. Definisjon: La f være en funksjon og c et tall. Hvis f(x) nærmer seg et bestemt tall B når x går mot c både nedenfra og ovenfra, da sier vi at grenseverdien til f(x) når x går mot c er lik B. Med symboler, dersom lim f(x) og lim f(x) x c x c + eksisterer og er begge to lik B, da sier vi at lim f(x) = B. x c Nærmere presist, vi kan gjøre differansen mellom f(x) og B så liten som vi vil, ved å velge x nært nok til c. For eksempel, i 2.1 fant vi ut at lim(2x + 2) = 8. x 3 (Strengt talt, skulle vi ha undersøkt både lim x 3 (2x + 2) = 8 og lim +(2x + 2) = 8; 6 x 3

det er fint å arbeide gjennom dette.) Også fant vi ut at hvis f(x) er lik { 2x + 1 hvis x 0 da gjelder lim x 0 3x + 4 hvis x > 0 x 0 f(x) = 4 og lim f(x) = 1, + men siden de er forskjellige, så eksisterer ikke selve lim f(x). x 0 2.4 Grenseverdier i uendelighet Det er en annen viktig type grenseverdier, som brukes når man studerer vannrette asymptoter til grafer. Det kan hende at dersom x går mot uendelighet, eller mer presist, vokser uten grense, så mister vi likevel ikke kontroll over verdien til en funksjon. For eksempel, la oss betrakte f(x) = 2x 5 4 x. Med slike funksjoner kan det hende at dersom x blir veldig stor (eller stor negativ), så nærmer f(x) seg et bestemt tall. Digitale verktøy er godt tilpasset for å undersøke dette: x f(x) 1 1 10 2, 5 100 2, 03125 1000 2, 00301205 10 6 2, 000003 x f(x) 1 1, 4 10 1, 78571429 100 1, 97115385 1000 1, 99701195 10 6 1, 999997 Selv om dette ikke beviser noen ting, ser det allikevel ut som om jo større blir x, desto mindre blir differansen mellom f(x) og 2, og det samme når x blir stort negativ. La oss se om vi kan forklare dette matematisk. Hvis vi ser bort fra punktet x = 0, da får vi lov å uttrykke f(x) på følgende måte: 2 (5/x) (4/x) 1. Nå skal vi la x til å vokse stort. Jo større blir x, desto mindre blir 5/x og 4/x, og det blir det som er igjen i funksjonsuttrykket, nemlig 2/( 1) = 2, som har mest å si om funksjonens verdi. Derfor er det naturlig å si at grenseverdien 7

av f(x) når x går mot uendlighet, er lik 2. På samme måte kan vi se at når x avtar stort, så nærmer f(x) seg til 2 (nå nedenfra istedenfor ovenfra). I fig. 9 tolker vi funksjonens oppførsel for stor x geometrisk: grafen har linja y = 2 som en vannrette asymptote, altså ei linje som grafen nærmer seg til når x vokser i én eller den andre retning. Bemerkning: Det er viktig å påpeke at det er ingen x som er slik at f(x) = 2. (Hvis vi forsøker å løse likningen f(x) = 2, så ser vi dette raskt.) Som sagt, er poenget at vi kan gjøre differansen mellom f(x) og 2 så liten som vi vil, ved å velge x stort (eventuelt stort negativt) nok. Slik er vi ført til Definisjon: La f være en funksjon. Hvis f(x) går mot et bestemt tall B når x vokser [eller avtar] uten grense, da sier vi at grenseverdien til f(x) når x går mot uendelighet [eller minus uendelighet] er lik B. Med symboler, lim f(x) = B x Obs: I vårt eksempel ovenfor gjaldt [ eller lim f(x) = B x lim f(x) = lim f(x) = 2. x x Men det trenger ikke å være slik. For eksempel, eksponensialfunksjonen 2 x (fig. 10) vokser uten grenser dersom x vokser uten grenser, men dersom x avtar uten grenser, nærmer 2 x seg til 0. I symboler: ]. lim x 2x = 0, men lim 2 x eksisterer ikke. x På arbeidsarket Litt om grenseverdier finner vi eksempel på flere mer eller mindre eksotiske situasjoner som kan oppstå. 3 Tilbake til kontinuitet Nå er vi i stand til å bruke grenseverdier for å opplyse diskusjonen om kontinuitet. 3.1 Definisjon nr. 3 La f være en funksjon og c et tall. Husk på Definisjon #2 for kontinuitet: 8

En funksjon f er kontinuerlig i c dersom når x går mot c, da nærmer f(x) seg til f(c). Men i 2.3 fant vi frem til: Grenseverdien til f(x) når x går mot c er tallet som funksjonens verdi nærmer seg til når x går mot c, dersom dette tallet eksisterer. Derfor kan vi uttrykke kontinuitet som følgende: Definisjon #3: La f være en funksjon og c et tall. Da er f kontinuerlig i c dersom grenseverdien lim x c f(x) eksisterer og er lik f(c). Bemerkning: For at f skal være kontinuerlig i c, så må det først være definert i c. La oss se hvordan denne definisjonen ser ut i forhold til noen av funksjonene som vi så på i sted: f(x) = 2x + 2 og c = 3. Vi fant ut at lim x c f(x) = lim(2x + 2) = 8. x 3 Men siden f(3) er også lik 8, i følge Definisjon #3 er f(x) kontinuerlig i x = 3. Dette stemmer med intuisjonen, siden f er en vanlig lineær funksjon med en sammenhengende graf. Oppgave: Vis at 2x + 2 er kontinuerlig i et vilkårlig punkt c. Vi hadde funksjonen som var konstant bortsett fra i ett punkt: { 4 hvis x = 2 f(x) = 3 ellers. Vi så at grenseverdien her i x = 2 eksisterte, men var forskjellig fra funksjonens verdi i x = 2. Nærmere presist, lim f(x) = 3, men f(2) = 4. x 2 9

Derfor er f ikke kontinuerlig i x = 2. Ser vi på grafen, så ser vi at det er nok et sprang i x = 2 (egentlig, to sprang: fra 3 til 4 og tilbake igjen). Den følgende funksjonen var satt sammen av to lineære funksjoner: { 2x + 1 hvis x 0 f(x) = 3x + 4 hvis x > 0 Vi undersøkte grenseverdiene når x går mot 0, og fant ut at lim x 0 x 0 f(x) = 1 og lim f(x) = 4. + Siden de er forskjellige, så eksisterer rett og slett ikke grenseverdien til f i 0. Derfor kan funksjonen ikke være kontinuerlig i 0. Det er nok et stort sprang i grafen. Vi husker den rasjonale funksjonen f(x) = 2x 5 4 x. Hvor er denne funksjonen kontinuerlig? La c være et vilkårlig réelt tall, og la oss undersøke ( ) 2x 5 lim f(x) = lim. x c x c 4 x Går x mot c enten nedenfra eller ovenfra, så går f(x) mot 2c 5 4 c ( ) hvis dette er definert. Vi ser at: Hvis c 4, så er uttrykket ( ) definert og lik f(c), så er f kontinuerlig for alle c 4. Til gjengjeld, funksjonens verdi f(4) er ikke definert, så kan ikke funksjonen være kontinuerlig i c = 4. Den har heller ikke noen grenseverdi i c = 4: uttrykket ( ) vokser uten grenser når x går mot 4. Dette stemmer med det vi sa om grafen tidligere: den har to sammenhengende greiner og et sprang i x = 4. Slik ser vi hvordan den nye definisjonen kan brukes til å undersøke kontinuitet. 10

4 Noen nyttige fakta Her skal vi uttale uten bevis noen nyttige fakta om kontinuerlige funksjoner: Polynomfunksjoner er kontinuerlige i alle punkt. Eksponentialfunksjoner er kontinuerlige i alle punkt. Logaritmefunksjonen ln(x) er kontinuerlig der den er definert. La f(x) og g(x) være to funksjoner som er kontinuerlige i et punkt c. Da er summen f(x) + g(x), differensen f(x) g(x) og produkten f(x) g(x) alle kontinuerlige i c også. Videre er α f(x) kontinuerlig i c for alle tall α. Forholdet f(x)/g(x) er kontinuerlig i c med mindre g(x) = 0. 5 Å gjøre funksjoner kontinuerlige Her skal vi betrakte det følgende spørsmålet: Hvis en funksjon ikke er kontinuerlig i et punkt eller på et intervall, er det mulig å gi den en ny verdi eller verdier slik at den blir kontinuerlig? For eksempel, la oss se enda en gang på { 4 hvis x = 2 f(x) = 3 ellers som ikke er kontinuerlig i x = 2. For at den skal være kontinuerlig, så skulle lim f(x) og lim f(x) x 2 x 2 + ha vært like hverandre og, videre, like f(2). De er like hverandre (begge to er lik 3) men er forskjellige fra f(2) = 4. Derfor, hvis vi sletter den nåværende verdien f(2) = 4 og erstatter den med 3, så får vi ny funksjon, som har samme verdi som f i alle punkter unntatt det problematiske x = 2, og som er kontinuerlig overalt. Vi skriver ˆf(x) for den modifiserte funksjonen. Faktisk, er ikke ˆf ikke annet enn konstantfunksjonen som har verdi 3 i alle x. Klippe, klippe, lime, lime: Denne prosedyren kan tolkes grafisk: vi har klippet ut punktet (2, 4) på grafen og limt den tilbake på hullet i (2, 3), slik at ˆf har en sammenhengende graf. Den tilfredstiller også ( ) lim ˆf(x) = lim f(x) = 3 = ˆf(2) x 2 x 2 11

og er derfor kontinuerlig i følge Definisjon #3. Poenget er at hvis en funksjon f(x) ikke er kontinuerlig i et punkt c, men allikevel har en grenseverdi i c, da kan vi lage en kontinuerlig funksjon ˆf(x) ved å definere { f(x) hvis x c ˆf(x) := lim x c f(x) hvis x = c. Her er et annet, mindre kunstig eksempel: f(x) = x2 4 x + 2 (x + 2)(x 2) =. x + 2 (Selv om det kan se ut som om vi kan forkorte med (x + 2), har vi faktisk ikke lov til dette, fordi at uttrykket (x + 2) kan bli lik 0.) Denne f(x) er kontinuerlig i alle punkter untatt x = 2, der det ikke er definert: Verdien i x = 2 blir 0/0, som ikke har mening. Derfor kan f heller ikke være kontinuerlig i x = 2. Men vi skal vise at f(x) har likevel en grenseverdi når x går mot 2. Nøkkelpoenget her er at når vi betrakter grenseverdier, så tillater vi ikke x å bli lik 2, bare veldig nær til det. Derfor tillates x + 2 ikke å bli 0, så får vi lov å forkorte med det. Vi får lim f(x) = lim x 2 x 2 ( x 2 4 x + 2 ) = lim x 2 ( ) (x + 2)(x 2) x + 2 = lim (x 2). (1) x 2 Grenseverdien av x 2 når x går mot 2 er lettere å få tak i: det er rett og slett ( 2) 2 = 4. Ved å definere ˆf( 2) som grenseverdien til den opprinnelige f(x), altså som 4 gjør vi ˆf(x) til en kontinuerlig funksjon. Faktisk, er ˆf(x) ikke annet enn x 2. Se fig. 11. Bemerkning: Det at vi av og til kan få noe fornuftig ut av det meningsløse uttrykket 0/0, er noe av det viktigste med grenseverdier. Denne teknikken er en hjørnestein i oppbygging av derivasjons- og integrasjonsbegrepene, som vi senere skal se. Obs: Det er ikke alle diskontinuiteter som lar seg fjernes på denne måten. For eksempel, { 2x + 1 hvis x 0 f(x) = 3x + 4 hvis x > 0 har ingen grenseverdi når x går mot 0. Derfor er det ingen tall vi kan erstatte f(0) med for å få en kontinuerlig funksjon. 12

Nå skal vi se på en annen problemstilling. Tenk om vi har en funksjon som er udefinert på et intervall, for eksempel x 2 hvis x 2 f(x) =?? hvis 2 < x 2 x 2 + 1 hvis x > 2 Vår oppgave er å definere f på intervallet ( 2, 2] slik at den blir kontinuerlig. Det er selvfølgelig mange faktisk uendelig mange måter å gjøre dette på, men én av dem fremstår som den enkleste: siden alt vi trenger er en sammenhengende graf, så holder det med å lage en lineær funksjon hvis grafen går gjennom ( 2, 4) og (2, 5). Stigningstallet til grafen blir grafen beskrives av likningen 5 4 2 ( 2) = 1 4 y 5 = 1 x 2 (x 2), altså y = 5 + 4 4. Med ettpunktsformelen får vi at = x 18. 4 Derfor definerer vi f(x) = 1 (x 18) på intervallet ( 2, 2], og får en sammenhengende graf (fig. 4 12). Bemerkning: Vi ser at funksjonene x 2 og x 2 +1 egentlig ikke hadde mye å si om hvordan vi løste denne oppgaven. Men når vi ser på tilsvarende oppgaver i derivasjon, så blir de mer vesentlige. A Enda en definisjon til en grenseverdi Våre definisjoner av grenseverdier er brukbare for det vi gjør, men de kan gjøres ennå mer presise. Definisjonen som brukes i matematisk forskning, bygger på det at hvis f(x) har en grenseverdi B når x går mot c, da kan vi gjøre differensen mellom f(x) og B så nær til 0 som vi vil, ved å gjøre differensen mellom x og c liten nok. Det er vanlig å betrakte absoluttverdiene til disse differensene (henholdsvis f(x) B og x c ), fordi at fortegnet på differensen er som regel mindre viktig. Denne aspekten fanges presist av den såkalte epsilon delta-definisjonen 2 for en grenseverdi: Definisjon #4: Vi sier at lim f(x) = B x c 2 Epsilon (ε) og delta (δ) er to greske bokstaver. 13

hvis det følgende gjelder: For hvert positivt tall ε kan vi finne et tall δ som er slik at hvis 0 < x c < δ, da er f(x) B < ε. Bemerkning: Vi må skrive 0 < x c < δ og ikke bare x c < δ fordi at x ikke får lov å være akkurat lik c. Eksempel: La oss bevise ved bruk av Definisjon #4 at funksjonen f(x) = x 2 + 4 er kontinuerlig i punktet 0; altså at lim x 0 (x2 + 4) = f(0) = 4. La ε være et vilkårlig positivt tall. Vi vil bevise at det finnes et tall δ som er slik at hvis x 0 = x < δ, da skal vi ha f(x) 4 < ε. (Intuitivt sett: Vi vil vite at hvis vi velger en x nært nok til 0, da kan vi få f(x) til å ligge så nært til 4 som vi vil.) Vi har f(x) 4 = x 2 + 4 4 = x 2. Derfor, for å ha f(x) 8 < ε, må vi ha x 2 < ε, altså x < ε. Dermed kan vi her velge δ = ε. Med andre ord, for hver x i intervallet ( ε, ε) har vi f(x) 4 < ε. Slik ser vi at vi kan alltid finne en x i nærheten av 0 som er slik at f(x) er så nær til 4 som vi vil. Krever vi for eksempel f(x) 4 < 0.1, da holder det å ha x < 0, 1, altså x i intervallet ( 0, 1, 0, 1) ( 0, 31623, 0, 31623). Epsilon delta-definisjoner finnes for mange begrep innenfor funksjonslære og kalkulus. På lang sikt er de den mest tilfredsstillende måten å legge opp disse begrepene. Mer informasjon kan finnes i nesten enhver tekst i kalkulus på universitetsnivå; for eksempel Ayres [A, s. 9]. Referanser [A] F. Ayres: Calculus, 2. utgave, Schaum s Outline Series, McGraw Hill, UK, 1972. [BV] T. Breiteig, R. Venheim: Matematikk for Lærere 2, 4. utgave, Universitetsforlaget, Oslo, 2005. [SRH] B. K. Selvik, R. Rinvold, M. Johnsen Høines: Algebra og funksjonslære, Matematiske sammenhenger, Caspar Forlag, Bergen, 1999. Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold Grenaderveien 11 3103 Tønsberg Email: george.h.hitching@hive.no 14