30 2
Prosent og eksponentiell vekst MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre suksessive renteberegninger og regne praktiske oppgaver med eksponentiell vekst
2.1 Prosentfaktorer Når vi skal regne ut 14 % av 8000 kr, regner vi slik: 14 % av 8000 kr = 0,14 8000 kr = 1120 kr Vi finner 14 % av et tall ved å multiplisere tallet med 0,14. Tallet 0,14 kaller vi prosentfaktoren til 14 %. På tilsvarende måte er 0,25 prosentfaktoren til 25 % og 0,08 prosentfaktoren til 8 %. Prosentfaktoren til p % er p 100. Finn prosentfaktorene til 3 %, 35 % og 12,5 %. Prosentfaktorene er 3 100 = 0,03 35 100 = 0,35 12,5 100 = 0,125 Når vi kjenner prosentfaktoren, er prosenten = prosentfaktoren 100 % Finn prosenten når prosentfaktoren er 0,07, 0,33 og 0,037. Prosentene er 0,07 100 % = 7 % 0,33 100 % = 33 % 0,037 100 % = 3,7 % 32 Sinus Påbyggingsboka P > Prosent og eksponentiell vekst
? Oppgave 2.10 Finn prosentfaktoren til a) 5 % b) 27 % c) 125 % d) 4,5 % e) 17,5 % f) 123,2 % Oppgave 2.11 Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,02 b) 0,13 c) 1,50 d) 0,017 e) 0,225 f) 1,07 2.2 Prosentregning Prosentfaktoren til 14 % er 0,14. I kapittel 2.1 så vi at 14 % av 8000 kr = 0,14 8000 kr = 1120 kr Vi har denne regelen: Prosentfaktoren tallet vi regner prosenten av = prosentdelen av tallet For matvarer betaler vi 14 % merverdiavgift. Finn merverdiavgiften for matvarer som koster 550 kr uten merverdiavgift. Prosentfaktoren til 14 % er 0,14. Ettersom vi regner merverdiavgiften av prisen uten merverdiavgift, er merverdiavgiften 14 % av 550 kr = 0,14 550 kr = 77 kr? Oppgave 2.20 Vi betaler 25 % merverdiavgift for varer som ikke er matvarer. Finn merverdiavgiften for slike varer når prisen uten merverdiavgift er a) 400 kr b) 3300 kr c) 22 600 kr Oppgave 2.21 Anne har tre kontoer i banken. På kontoene står det 2500 kr, 37 800 kr og 178 000 kr. Hun får 2,4 % rente per år på alle kontoene. Hvor mange kroner rente får hun til sammen på ett år? 33
Vi vet at Dermed er prosentfaktoren tallet vi regner prosenten av = prosentdelen av tallet prosentfaktoren = prosentdelen av tallet tallet vi regner prosenten av Vi finner prosentfaktoren ved å dividere prosentdelen av tallet med tallet vi regner prosenten av. a) Hvor mange prosent er 120 kr av 400 kr? b) En mann satte 6400 kr i banken og fikk 166,40 kr i rente på ett år. Hvor mange prosent rente fikk han? a) Prosentfaktoren er prosentdelen av tallet = 120 kr tallet vi regner prosenten av 400 kr = 120 400 = 0,30 Når prosentfaktoren er 0,30, er prosenten 0,30 100 % = 30 % b) Prosentfaktoren er prosentdelen av tallet tallet vi regner prosenten av = 166,40 kr 6400 kr Når prosentfaktoren er 0,026, er prosenten 0,026 100 % = 2,6 % = 166,40 6400 = 0,026? Oppgave 2.22 Thea kjøper en moped som koster 18 000 kr. Hun får 2700 kr i avslag. Hvor mange prosent avslag får hun? Oppgave 2.23 Anders satte 12 000 kr i banken. Etter ett år har han fått 300 kr i rente. Hvor mange prosent rente fikk han? 34 Sinus Påbyggingsboka P > Prosent og eksponentiell vekst
Vi vet at prosentfaktoren tallet vi regner prosenten av = prosentdelen av tallet Det gir denne regelen: Tallet vi regner prosenten av = prosentdelen av tallet prosentfaktoren a) Lønna til Martin er 12 % av det han selger for. Ei uke fikk han 4200 kr i lønn. Hvor mye solgte han for? b) Martin satte penger i banken og fikk 2,2 % rente per år. Han fikk 308 kr i rente. Hvor mye penger satte Martin i banken? a) Prosentfaktoren til 12 % er 0,12. Salgssummen er dermed 4200 kr = 35 000 kr 0,12 b) Prosentfaktoren til 2,2 % er 0,022. Beløpet han satte i banken, var 308 kr = 14 000 kr 0,022? Oppgave 2.24 a) Thea skal kjøpe moped. Hun ser på en som koster 24 000 kr. Hun kan få 1080 kr i avslag i prisen. Hvor mange prosent avslag kan hun få? b) Thea ser på en annen moped. Hun kan få 5 % avslag i prisen. Det svarer til 1650 kr. Hvor mye koster denne mopeden uten avslag? Oppgave 2.25 For matvarer er merverdiavgiften 14 %. Hva koster matvarene uten merverdiavgift når merverdiavgiften er 105 kr? Hva blir prisen med merverdiavgift? 35
? Oppgave 2.26 For transport er merverdiavgiften 8 %. Hva koster en reise uten merverdiavgift når merverdiavgiften er 600 kr? Hva blir prisen med merverdiavgift? 2.3 Prosentvis økning Når vi skal legge til 25 % merverdiavgift, svarer prisen uten merverdiavgift til 100 %. Prisen med merverdiavgift svarer da til 100 % + 25 % = 125 % Prosentfaktoren til 125 % er 125 100 = 1,25 Når en vare koster 640 kr uten merverdiavgift, er prisen medregnet 25 % merverdiavgift 1,25 640 kr = 800 kr Tallet 1,25 kaller vi vekstfaktoren ved 25 % økning. Legg merke til at vekstfaktoren 1,25 er 1 + 0,25 = 1 + prosentfaktoren til 25 % Ved prosentvis økning er vekstfaktoren = 1 + prosentfaktoren og prosentfaktoren = vekstfaktoren 1 Finn vekstfaktoren til 18 % økning. Prosentfaktoren til 18 % er 0,18. Vekstfaktoren er 1 + 0,18 = 1,18 Vekstfaktoren er 1,18. 36 Sinus Påbyggingsboka P > Prosent og eksponentiell vekst
Finn prosenten når vekstfaktoren er 1,225. Når vekstfaktoren er 1,225, er prosentfaktoren = vekstfaktoren 1 = 1,225 1 = 0,225 Prosenten er 0,225 100 % = 22,5 %? Oppgave 2.30 Finn vekstfaktoren når en pris blir satt opp a) 15 % b) 5 % c) 7,5 % Oppgave 2.31 Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 1,45 b) 1,025 c) 1,375 Når en vare koster 640 kr uten merverdiavgift, er prisen medregnet 25 % merverdiavgift 1,25 640 kr = 800 kr. Det passer med denne formelen: Vekstfaktoren den opprinnelige verdien = den nye verdien En forretning selger CD-er som koster 80 kr uten merverdiavgift. Finn prisen medregnet 25 % merverdiavgift. Prosentfaktoren til 25 % er 0,25. Vekstfaktoren er da 1 + 0,25 = 1,25 Prisen med merverdiavgift blir 1,25 80 kr = 100 kr 37
? Oppgave 2.32 Anne har tre kontoer i banken. På kontoene står det 2500 kr, 37 800 kr og 178 000 kr. Hun får 2,4 % rente per år på alle kontoene. Bruk vekstfaktoren til å regne ut hvor mange kroner hun har til sammen i banken etter ett år. Oppgave 2.33 Martin hadde for to år siden 12 000 kr i banken. Det første året fikk han 2,5 % rente og det andre året 3,5 %. a) Hvor mye penger har Martin i banken nå? b) Hvor mange prosent har beløpet vokst i løpet av disse to årene? 2.4 Prosentvis nedgang Når vi setter ned en pris med 10 %, er det den gamle prisen som svarer til 100 %. Den nye prisen svarer til 100 % 10 % = 90 % Hvis den gamle prisen er 400 kr, blir den nye 90 % av 400 kr = 0,90 400 kr = 360 kr Tallet 0,90 kaller vi vekstfaktoren ved 10 % nedgang. Legg merke til at vekstfaktoren 0,90 er 1 0,10 = 1 prosentfaktoren til 10 % Ved prosentvis nedgang er vekstfaktoren = 1 prosentfaktoren og prosentfaktoren = 1 vekstfaktoren Finn vekstfaktoren ved 12 % nedgang. Vekstfaktoren ved 12 % nedgang er 1 0,12 = 0,88 38 Sinus Påbyggingsboka P > Prosent og eksponentiell vekst
Finn prosenten når vekstfaktoren er 0,93. Når vekstfaktoren er 0,93, er prosentfaktoren = 1 vekstfaktoren = 1 0,93 = 0,07 Prosenten er 0,07 100 % = 7 %? Oppgave 2.40 Finn vekstfaktoren når en størrelse minker med a) 25 % b) 7 % c) 2,5 % Oppgave 2.41 Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 0,85 b) 0,98 c) 0,875 Også ved prosentvis nedgang er vekstfaktoren tallet før endringen = tallet etter endringen I mars tjente Ola 15 400 kr og Kari 16 800 kr. I april tjente begge to 15 % mindre. Hva tjente de i april? Prosentfaktoren til 15 % er 0,15. Vekstfaktoren ved 15 % nedgang blir da 1 0,15 = 0,85 Ola tjente 0,85 15 400 kr = 13 090 kr Kari tjente 0,85 16 800 kr = 14 280 kr 39
? Oppgave 2.42 Forretningen Smekker har tre vinterjakker som koster 1500 kr, 2000 kr og 2800 kr. a) I mars blir prisene satt ned med 20 %. Hva blir prisene på jakkene i mars? b) I april blir prisene satt ned med ytterligere 30 %. Hva blir prisene på jakkene i april? Oppgave 2.43 Magnus var overvektig og veide 120 kg 1. januar. Da begynte han på et slanke kurs. Det første halvåret gikk han ned 10 % i vekt. Det andre halvåret gikk han ned enda 5 %. a) Hvor mye veide Magnus etter et halvt år? b) Hvor mye veide Magnus etter ett år? c) Hvor mange prosent gikk vekten ned i løpet av ett år? d) Det neste året la Magnus på seg igjen og veide 120 kg i løpet av året. Hvor mange prosent la Magnus på seg? e) Forklar hvorfor det er forskjell på svarene i oppgave c og oppgave d. 2.5 Prosentvis endring i flere perioder Vi setter 8000 kr i banken til 4 % rente per år. Nå vil vi finne ut hvor mye vi har i banken etter 3 år og etter 10 år. Vekstfaktoren til 4 % økning er 1,04. Etter ett år har 8000 kr vokst til 8000 kr 1,04 = 8320 kr Det andre året skal vi ha rente av 8320 kr. Etter to år har vi derfor 8320 kr 1,04 = 8652,80 kr Dette kan vi regne ut på en annen måte: (8000 kr 1,04) 1,04 = 8000 kr 1,04 2 = 8652,80 kr Etter tre år har vi (8000 kr 1,04 2 ) 1,04 = 8000 kr 1,04 3 = 8998,91 kr For hvert år som går, skal vi multiplisere med vekstfaktoren 1,04. Etter 10 år har vi 8000 kr 1,04 10 = 11 841,95 kr 40 Sinus Påbyggingsboka P > Prosent og eksponentiell vekst
Etter n år vil kapitalen vår ha økt til 8000 kr 1,04 n. Tilsvarende gjelder hver gang vi har en fast prosentvis økning eller nedgang i flere perioder. Når en størrelse vokser eller minker med en fast prosent i n perioder, finner vi resultatet ved å regne ut startverdien (vekstfaktoren) n Hvis vi kaller startverdien for B 0 og vekstfaktoren for k, er verdien B etter n perioder gitt ved B = B 0 k n I 2003 kjøpte Anne bil. Det var en 2001-modell som hun betalte 210 000 kr for. Hun regnet med at verdien av bilen kom til å gå ned med 15 % per år de neste årene. a) Finn verdien av bilen i 2007 og i 2009. b) Hva kostet bilen som ny i 2001 når vi forutsetter at prisutviklingen har vært den samme hele tida, også før 2003? a) Siden prisen går ned med 15 % per år, blir vekstfaktoren 1 0,15 = 0,85 Etter 4 år, i 2007, er verdien 210 000 kr 0,85 4 = 110 000 kr I 2009 er verdien 210 000 kr 0,85 6 = 79 200 kr b) La x være prisen i 2001. Da må x 0,85 2 = 210 000 kr 210 000 kr x = 0,85 2 x = 291 000 kr I 2001 var prisen 291 000 kr. 41
I eksempelet foran kunne vi også ha regnet ut prisen i 2001 på denne måten: x = 210 000 kr 0,85 2 = 291 000 kr Når vi regner bakover i tid, bruker vi negativ eksponent. Hvis en størrelse B 0 øker eller minker med en fast prosent per periode, er den etter x perioder gitt ved B = B 0 k x der k er vekstfaktoren. Hvis x er et negativt tall, er B verdien for x perioder siden. Folketallet i en by øker i gjennomsnitt med 2 % per år i årene etter 2000. 1. januar 2005 var folketallet 48 500. a) Finn folketallet 1. januar 2008. b) Finn folketallet 1. januar 2000. a) Vekstfaktoren er her 1,02. 1. januar 2008 er 3 år framover i tid fra 2005. Folketallet er da 48 500 1,02 3 = 51 469 1. januar 2008 er folketallet ca. 51 500. b) 1. januar 2000 er 5 år bakover i tid fra 2005. Folketallet var 48 500 1,02 5 = 43 928 1. januar 2000 var folketallet ca. 43 900. 42 Sinus Påbyggingsboka P > Prosent og eksponentiell vekst
? Oppgave 2.50 En student sparer 5000 kr av studielånet sitt. Hun setter pengene i en bank som gir henne 4 % rente per år. Hvor mye har studenten i banken etter a) 3 år b) 5 år c) 7 år Oppgave 2.51 I en kommune sank innbyggertallet 1,3 % per år fra 2000 til 2006. I 2000 var innbyggertallet 35 430. a) Hva var innbyggertallet i 2006? Tenk deg at innbyggertallet fortsetter å synke etter 2006 på den samme måten. b) Finn et uttrykk for antallet innbyggere t år etter 2000. c) Når vil innbyggertallet komme ned i 30 000? Oppgave 2.52 Et brød kostet 1,50 kr i 1970. I perioden 1970 1992 steg brødprisen 10 % per år. I perioden etter 1992 var økningen 3 % per år. a) Hva kostet da et brød i 1980 og i 1992? b) Hva var brødprisen i år 2000 og i 2007? c) Hvor mange prosent steg brødprisen fra 1970 til 2007? Oppgave 2.53 En familie kjøpte ny bil i 2002 for 280 000 kr. Verdien av bilen går ned med 13 % per år. a) Hva kan familien regne med å få solgt bilen for i 2011? b) Familien kjøpte en tilsvarende ny bil i 2007. Utsalgsprisen hadde gått opp med 4 % per år fra 2002. Hvor mye må familien betale i mellomlegg for den nye modellen? Rund av svaret til nærmeste 100 kr. 43
2.6 Eksponentiell vekst Folketallet i en storby passerte 5,0 millioner 1. januar 2005. Folketallet økte med 12 % per år i perioden 1995 2007. Vekstfaktoren er da 1,12. La B være folketallet i millioner x år etter 2005. Da er B = 5,0 1,12 x Formelen ovenfor gjelder også når x ikke er et helt tall. Når en størrelse vokser på den måten, har vi eksponentiell vekst. Størrelsen vokser eksponentielt. Veksten i prosent er da den samme i alle perioder som er like lange. 1. juli 2008 er 3,5 år etter 1. januar 2005. Folketallet er da B = 5,0 1,12 3,5 = 7,4 Folketallet er 7,4 millioner. Vi lager en tabell for årene 1995 2015. Årstall 1995 2000 2005 2010 2015 x (år) 10 5 0 5 10 B 1,6 2,8 5,0 8,8 15,5 Vi markerer punktene i et koordinatsystem og trekker en glatt kurve gjennom punktene. Millioner y 16 14 B 12 10 8 6 4 2 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 x År En størrelse som øker eksponentielt, vil etter hvert vokse kraftig. Vi legger merke til at folketallet i denne byen blir omtrent tidoblet fra 1995 til 2015 hvis utviklingen fortsetter på denne måten etter år 2007. Hvis utviklingen fortsetter også etter 2015, vil folketallet bli tidoblet også fra 2015 til 2035. Folketallet vil da bli ca. 150 millioner. 44 Sinus Påbyggingsboka P > Prosent og eksponentiell vekst
Radioaktive stoffer sender ut radioaktiv stråling. Litt av det radioaktive stoffet blir samtidig omdannet til et annet stoff. Vi har 100 g av et radioaktivt stoff, og vi vet at 12 % av dette stoffet blir omdannet hvert år. Hvor lang tid tar det før stoffmengden er halvert? Vekstfaktoren er 1 0,12 = 0,88 Stoffmengden M i gram etter x år er derfor gitt ved M = 100 0,88 x Vi lager nå tabell og tegner deretter grafen: x (år) 0 2 4 6 8 10 M (g) 100 77,4 60,0 46,4 36,0 27,9 g 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 y M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 År Vi skal finne ut når vi har igjen 50 g av det radioaktive stoffet. Avlesing viser: Vi har igjen halvparten av det radioaktive stoffet etter omtrent 5,4 år. Denne tida er uavhengig av hvor mye stoff vi begynte med. Halvparten av stoffet vil være omdannet etter 5,4 år samme hvor mye eller lite vi har av det. Vi sier at 5,4 år er halveringstida til stoffet. x 45
? Oppgave 2.60 1. januar 2000 var folketallet i verden 6,0 milliarder. Folketallet økte med 1,3 % årlig i perioden fra 2000 til 2007. a) Finn folketallet i 2005. Anta at folkemengden i verden fortsetter å øke med 1,3 % årlig også etter 2007. b) Finn en formel for folketallet F x år etter 2000. c) Finn folketallet 1. juli 2006 med denne formelen. d) 6. februar 2007 var folketallet 6,57 milliarder. Hvordan passer formelen på dette tidspunktet? e) På Internett finner du befolkningsklokker som følger folketallet på jorda. Det ligger en slik klokke på denne adressen: http://www.census.gov/main/www/popclock.html Finn folketallet på jorda nettopp nå. Hvordan passer det med formelen i oppgave b? f) Tegn en graf som viser utviklingen i folketall. g) Finn ut fra grafen når folkemengden kommer til å passere 7 milliarder. Oppgave 2.61 Folketallet i et land er i dag 92 millioner. Det har i flere år økt med 2,3 % i året. a) Finn en formel for folketallet F om x år. b) Finn folketallet om fem år og for fem år siden. c) Tegn en graf som viser utviklingen av folketallet i de neste 40 årene. d) Finn ut fra grafen når folketallet er fordoblet. Oppgave 2.62 Arne og Beate har begge 220 000 kr i årslønn. I lønnsforhandlingene går de med på at de skal ha ulik lønnsutvikling. Arne skal nå hvert år få en lønnsøkning på 4,5 %, mens Beate får et fast tillegg på 12 000 kr i året. a) Finn formler for lønna A til Arne og lønna B til Beate om x år. b) Framstill lønnsutviklingen i et koordinatsystem. c) Når kommer Arne og Beate igjen til å ha like høy lønn? 46 Sinus Påbyggingsboka P > Prosent og eksponentiell vekst
SAMMENDRAG Prosentfaktor Prosentfaktoren til p % er p 100. Å finne prosentdelen av et tall Prosentdelen av et tall = prosentfaktoren tallet vi regner prosenten av Å finne prosenten prosentdelen av tallet Prosentfaktoren = tallet vi regner prosenten av Når vi kjenner prosentfaktoren, er prosenten = prosentfaktoren 100 %. Å finne tallet vi regner prosenten av prosentdelen av tallet Tallet vi regner prosenten av = prosentfaktoren Vekstfaktor Ved prosentvis økning er vekstfaktoren = 1 + prosentfaktoren prosentfaktoren = vekstfaktoren 1 Ved prosentvis nedgang er vekstfaktoren = 1 prosentfaktoren prosentfaktoren = 1 vekstfaktoren Tallet etter endring Ved en prosentvis endring er tallet etter endringen = vekstfaktoren tallet før endringen Prosentvis endring i flere perioder Hvis en størrelse B 0 øker eller minker med en fast prosent per periode, er den etter x perioder gitt ved B = B 0 k x der k er vekstfaktoren. Hvis x er et negativt tall, er B verdien for x perioder siden. Eksponentiell vekst En størrelse vokser eksponentielt hvis den øker eller minker med en fast prosent i like lange perioder. 47