1 er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk, og du kan gjøre endringer underveis. Programmet har også andre funksjoner, men disse skal vi ikke komme nærmere inn på her. Programmet er gratis og kan lastes ned fra www. geogebra.no. Der finner du også mer utdypende opplæringsmanualer knyttet til programmet. Oppgaver som løses med dette programmet, finner du i Faktor Grunnbok og Oppgavebok, Faktor Eksamensforberedende hefte, Faktor Fordypningshefte og på nettsidene til. Menylinjer og de vanligste funksjonene Her gjør du de tilpasningene du trenger. Hvis ikke Oppsett vises automatisk, velger du oppsett selv fra Vis-menyen. De viktigste oppsettene er: Vis Algebrafelt Grafikkfelt Konstruksjonsforklaring Inntastingsfelt 84
Skjermbildet og de vanligste funksjonene Verktøylinje der aktivt verktøy er markert med blått omriss Angreknapp Algebrafelt Innstillinger for akser og rutenett Grafikkfelt Inntastingsfelt Husk at du kan alltid angre handlinger ved hjelp av Ctrl + z. (angreknappen) eller Verktøylinja Verktøylinja inneholder mange knapper. Under hver knapp vil du få fram flere verktøy hvis du trykker på den lille pilen nederst i høyre hjørne. Når du holder musepekeren over et verktøy, kommer det fram en hjelpetekst. Vi skal nå komme inn på de vanligste funksjonene som ligger under hvert verktøy på verktøylinja. Det fins mange flere verktøy enn de vi tar for oss her. Flytt Lar deg ta tak i et objekt og flytte det. 85
Punkt Lar deg opprette et nytt valgfritt punkt. Lar deg opprette et skjæringspunkt. Lar deg opprette et midtpunkt eller sentrum i en regulær figur. Linjer og linjestykker Lar deg opprette en linje gjennom to punkter. Lar deg opprette et linjestykke mellom to punkter. Lar deg opprette et linjestykke med gitt lengde. Lar deg opprette en stråle fra ett punkt gjennom et annet punkt. Lar deg opprette en vektor (pil) fra ett punkt til et annet punkt. Normaler, halveringsstråler og parallelle linjer Lar deg opprette normalen (90 ) mellom et punkt og en linje. Lar deg opprette en parallell linje gjennom et punkt. Lar deg opprette en midtnormal mellom to punkter. Lar deg halvere en vinkel. 86
Mangekanter Lar deg opprette en irregulær mangekant. Lar deg opprette en regulær mangekant. Lar deg opprette en mangekant som ikke kan forandres. Sirkler, sirkelbuer og sirkelsektorer Lar deg opprette en sirkel ved hjelp av to punkter. Lar deg opprette en sirkel med mål (radius i cm). Lar deg opprette en sirkel ved hjelp av tre punkter. Vinkler og størrelser Lar deg opprette en vinkel ved hjelp av tre punkter. Lar deg opprette en vinkel med angitt størrelse. Lar deg måle en avstand (cm). Lar deg måle et areal (cm 2 ). Lar deg måle stigningen til en funksjon. 87
Speiling og rotasjon Lar deg speile et objekt om en linje. Lar deg speile et objekt om et punkt. Lar deg rotere et objekt rundt et punkt. Justeringer Lar deg flytte grafikkfeltet og justere aksene ved å dra i dem. Hold musepekeren over aksen du vil justere. Da kommer det opp en dobbeltpil. Hold så venstre museknapp inne og dra aksen i ønsket retning. Husk at du kan alltid angre handlinger ved hjelp av eller Ctrl + z. (angreknappen) Konstruksjonsforklaring Velg Konstruksjonsforklaring fra Vis-menyen. 88
Konstruksjonsforklaringsfeltet vil vise seg. Juster feltet i bredde slik at alt vises. Trykk på eksporter-knappen under Konstruksjonsforklaring. Skriv inn «Tittel» og «Laget av» og trykk på Eksporter. Konstruksjonsforklaringen vil nå være tilgjengelig fra Utskrifts-menyen, se Utskrift. Velg «konstruksjonsforklaring» først etter at du er ferdig med konstruksjonen. 89
Utskrift Velg Forhåndsvis utskrift fra Fil-menyen. Her velger du hva som skal skrives ut. (Algebrafelt, Grafikkfelt, Konstruksjonsforklaring osv.) Her velger du stående eller liggende papirretning. Her justerer du størrelsen på det du skal skrive ut. Husk at du kan angre handlinger ved hjelp av eller Ctrl + z. Egne notater: (angreknappen) Se side 89 om hvordan du eksporterer konstruksjonsforklaringen slik at den vises i forhåndsvisningen for utskrift! 90
2 Lineære funksjoner Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Vis funksjonen y =3x -- 2 i et koordinatsystem. NB! Bruk punktum (.) og ikke komma (,) om du skal skrive desimaltall. Løsning Skriv inn funksjonsuttrykket «y=3x 2» i inntastingsfeltet. Du kan også skrive inn «f(x)=3x 2». Trykk Enter (linjeskift) og funksjonen vises. Resultat Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Sett navn på aksene, og velg til slutt om du vil klippe ut, lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 91
To lineære funksjoner og merking av koordinatene til skjæringspunktet Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Vis funksjonene f ðxþ =3x -- 2 og gðxþ =--x + 6 i et koordinatsystem, og finn koordinatene for skjæringspunktet mellom de to grafene. Løsning Skriv inn funksjonsuttrykket «f(x)=3x 2» i inntastingsfeltet. Trykk Enter (linjeskift). Skriv deretter inn «g(x)= x+6» og trykk Enter (linjeskift). Velg så Skjæring mellom to objekt. Klikk på skjæringspunktet mellom de to grafene. Merk at skjæringspunktet A får koordinatene (2, 4) i algebrafeltet. Høyreklikk på punktet A, velg Egenskaper og velg så Navn og Verdi. Verdien (koordinatene) til punktet A vil nå bli synlig i grafikkfeltet. 92
Velg deretter ABC-verktøyet fra menyen og skriv inn teksten: «De to grafene skjærer hverandre i punkt A. Punkt A har koordinatene (2, 4).» Du kan også ta en utskrift og skrive inn teksten for hånd på denne. Eventuelt kan du skrive teksten i et tekstbehandlingsprogram. Da kan du klippe ut teksten og lime den inn i grafikkfeltet. Resultat Bruk ABC-funksjonen fra verktøylinja for å gi navn til aksene. Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Sett navn på aksene, og velg til slutt om du vil klippe ut, lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: 93
Kvadratisk funksjon Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Vis funksjonen fðxþ = 1 2 x2 -- 4 i et koordinatsystem. bruker ^ som regnetegn for potens. Husk punktum og ikke komma ved desimaltall! Løsning Skriv inn «f(x)=0.5x^2 4» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Resultat Hvis du vil finne ekstremalpunktet (bunnpunktet), skriver du inn formelen «Ekstremalpunkt[f]» i inntastingsfeltet. Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Sett navn på aksene, og velg til slutt om du vil klippe ut, lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 94
Rasjonal funksjon (brøkfunksjon) Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel a) Vis funksjonen y = 5000 i et koordinatsystem. Bruk x-verdier x mellom 1 og 20. b) Merk av verdien av y når x er 10. Løsning Skriv inn «Funksjon[5000/x,1,20]» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Skriv inn «x=10» i inntastingsfeltet, og marker skjæringspunktet med grafen ved hjelp av Skjæring mellom to objekt. Høyreklikk på punktet A, velg Egenskaper og velg så Navn og verdi. Verdien (koordinatene) til punktet A vil nå bli synlig i grafikkfeltet. 95
Leser av koordinatene til punkt A og finner at y = 500 når x = 10. Du kan også ta en utskrift og skrive inn teksten for hånd på denne. Eventuelt kan du skrive teksten i et tekstbehandlingsprogram. Da kan du klippe ut teksten og lime den inn i grafikkfeltet. Resultat Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Sett navn på aksene, og velg til slutt om du vil klippe ut, lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: 96
Formler og kommandoer I inntastingsfeltet kan du skrive inn likninger, funksjonsuttrykk eller beregningskommandoer. Nedenfor ser du noen eksempler. Flere finner du i Faktor Regelhefte, Faktor Digital og på geogebra.no Husk at du må bruke punktum (.) i stedet for komma (,) ved inntasting av desimaltall. Lineærfunksjon Parabel Hyperbel Kommando: Forklaring: x=5 Viser en linje gjennom x =5 y=6 Viser en linje gjennom y =6 f(x)=2x+3 Viser en funksjon med stigningstall +2 y=2x+3 og konstantledd +3 Funksjon[2x-5,0,5] Viser funksjonen y = 2x -- 5 avgrenset med x-verdier fra 0 til 5 h(x)= 0.05x^2+x+5 Viser parabelen hðxþ = --0,05x 2 + x +5 y= 0.05x^2+x+5 Ekstremalpunkt[h] Nullpunkt[h] Skjæring[y,h] f(x)=3/x y=3/x Funksjon[5/x+3,1,20] Viser topp- eller bunnpunkt til en parabel (her parabelen hðxþþ Viser parabelens skjæringspunkt med førsteaksen (her parabelen hðxþþ Viser skjæringspunktene mellom funksjonen y og parabelen h Viser hyperbelen y = 3 x Viser hyperbelen y = 5 + 3 avgrenset med x x-verdier fra 1 til 20 Når du høyreklikker i grafikkfeltet, kan du velge Vis alle objekt. Da vises grafen du har tegnet automatisk! 97
Navn på grafer, punkt og akser Når alle grafer, skjæringspunkt og annet er lagt inn i koordinatsystemet, setter du navn på dem. Høyreklikk i grafikkfeltet og velg Grafikkfelt eller Egenskaper, eller bruk hurtigtasten Ctrl + E. Velg Egenskaper oppe til venstre. Velg så hvilket element du vil navngi (funksjoner, linjer, punkt eller annet). Velg Navn og verdi for hvert element under Vis navn-knappen. Velg deretter Innstillinger oppe til venstre. Velg så Navn og enheter på x-aksen og y-aksen. Du kan også skrive egen tekst rett inn i de to feltene. x-akse y-akse Her kan du også ta bort negative x- og y-verdier. Eksempel på aksetekst kan være: x (lengde) x (timer) x (meter) x (minutter) y (areal) y (kroner) y (høyde) y (liter) 98
Fremgangsmåte Velg Fremgangsmåte fra Vis-menyen. Fremgangsmåtefeltet vil vise seg. Juster feltet i bredde slik at alt vises. Du kan skrive inn utfyllende tekst i Objekttekst-feltet. Etter at du har valgt Fremgangsmåte fra Vis-menyen, vil Fremgangsmåte være tilgjengelig fra Utskrift-menyen. Eksportere alt til én side Du kan også eksportere Grafikkfelt og Fremgangsmåte slik at det vises på én side (skrives ut på én side). Trykk på eksporter-knappen under Fremgangsmåte. 99
Skriv inn «Tittel», «Laget av» og eventuelt dato og trykk på Eksporter. Du vil nå bli bedt om å lagre. Skriv inn filnavn, lagringssted og trykk på lagre. Oppgaven vil nå bli vist i din nettleser (Firefox, Crome, Explorer, Safari eller liknende). Skriv så ut oppgaven fra nettleseren via Fil-menyen. Utskrift Velg Forhåndsvis utskrift fra Fil-menyen. Her velger du hva som skal skrives ut. (Algebrafelt, Grafikkfelt, Fremgangsmåte osv.) Her velger du stående eller liggende papirretning. Her justerer du størrelsen på det du skal skrive ut. Husk at du også kan skrive ut alt på én side via eksporter-funksjonen. Se Eksportere alt til én side på forrige side. Du kan også bruke Utklippsverktøyet for å kopiere grafikkfelt o.l. inn i et tekstdokument hvis du syns det er enklere! 100
3 Likninger Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Løs likningen 2x --3 = 2 + x grafisk. Løsning Når vi skal løse likninger grafisk, skriver vi inn det som står til venstre for likhetstegnet og det som står til høyre, hver for seg. Skriv inn «2x 3» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Skriv inn «2+x» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Marker skjæringspunktet mellom grafene. 101
Høyreklikk på punktet A, velg Egenskaper og velg så Navn og verdi. Verdien (koordinatene) til punktet A vil nå bli synlig i grafikkfeltet. Velg så ABC-verktøyet fra menyen og skriv inn denne teksten: «Linjene skjærer hverandre i et punkt som har førstekoordinaten x = 5. Løsningen på likningen er derfor x = 5.» Resultat Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Sett navn på aksene, og velg til slutt om du vil klippe ut, lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 102
Likninger med to ukjente Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Løs likningssettet grafisk y =--2x --3x =--y -- 5 Husk punktum, ikke komma, om du skriver desimaltall! Løsning Skriv inn «y= 2x» i inntastningsfeltet og trykk Enter (Linjeskift). Skriv inn «3x= y 5» i inntastningsfeltet og trykk Enter (Linjeskift). Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Marker skjæringspunktet mellom grafene. 103
Høyreklikk på punktet A, velg Egenskaper og velg så Navn og verdi. Verdien (koordinatene) til punktet A vil nå bli synlig i grafikkfeltet. Velg så ABC-verktøyet fra menyen og skriv inn denne teksten: «Linjene skjærer hverandre i punktet (1, 2). Løsningen på likningssettet er derfor x =1ogy = 2.» Resultat Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene. Sett navn på aksene, og velg til slutt om du vil klippe ut, lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 104
Egne notater: 105
4 Geometri: punkter, sirkler og linjer Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag en sirkel med radius 5cm og kall sentrum for S. b) Lag to punkter AB på sirkelbuen og trekk linjestykket AB. c) Lag en parallell til AB gjennom S. Kall skjæringspunktene med sirkelbuen for P og Q. d) Lag en sirkel med sentrum P og radius PA. e) Lag en sirkel med sentrum Q og radius QA. Løsning Opprett en sirkel med radius lik 5 cm. Høyreklikk på sentrum (A) og velg Gi nytt navn. Kall sentrum for S. Opprett punktene A og B på sirkelbuen. Opprett linjestykket AB. 106
Opprett en parallell linje til AB gjennom S. Kall skjæringspunktene med sirkelbuen for P og Q. Opprett en sirkel med sentrum i P og radius PA. Opprett en sirkel med sentrum i Q og radius QB. Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 107
Geometri: vinkler og normaler Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag en vinkel på 60 der toppunktet heter B og vinkelbeina går gjennom punktene A og A'. b) Lag linjestykket AA'. c) Lag midtnormalen til AA' og kall skjæringspunktet med linjestykket AA' for C. (Midtnormalen blir halveringsstrålen til vinkelen.) d) Nedfell normalen fra C til begge vinkelbeina. Kall skjæringspunktene for D og E. Løsning Opprett en vinkel på 60. Toppunktet får navnet B, og vinkelbeina går gjennom punktene A og A', som ligger like langt fra B. Opprett linjestykket AA'. Opprett midtnormalen til AA'. Egne notater: 108
Marker skjæringspunktet mellom midtnormalen og linjestykket AA'. Kall skjæringspunktet for C. Nedfell normalene fra C til BA og BA'. Kall skjæringspunktene for D og E. Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 109
Geometri: mangekanter Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag en regulær trekant med sider 3 cm. b) Lag en regulær firkant med sider 3 cm. c) Lag en regulær femkant med sider 3 cm. Løsning Opprett en regulær mangekant ved hjelp av to punkter. Velg 3 hjørner for trekanten. Gjør tilsvarende for firkant og femkant. Du kan også starte med et linjestykke på 3 cm! Juster sidene ved å dra i ett av hjørnene slik at sidene blir 3 cm. Sidens lengde vises i algebrafeltet. 110
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: 111
Geometri: lengde, omkrets og areal Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag et linjestykke AB på 5cm. b) Lag et kvadrat ABCD på linjestykket AB. c) Tegn inn de to diagonalene i kvadratet og kall skjæringspunktet for S. d) Lag en sirkel med sentrum S og radius SA. e) Finn ved hjelp av måling: Diagonalens lengde, sirkelens omkrets, kvadratets areal og sirkelens areal. Løsning Opprett et linjestykke med lengde 5 cm. Opprett et kvadrat på linjestykket AB. 112
Tegn inn de to diagonalene til kvadratet, merk skjæringspunktet og kall det for S. Opprett en sirkel med sentrum S og periferipunkt A. Mål deretter ved hjelp av måleverktøyet: Lengden til diagonalen Omkretsen til sirkelen Arealet av kvadratet Arealet av sirkelen 113
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: 114
Geometri: sammensatte figurer Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel Eksempel a) Lag et kvadrat ABCD med sider 4 cm. b) Lag en halvsirkel på linjestykket CD. c) Lag en likebeint trekant med høyde 4 cm på BC. d) Lag en rettvinklet trekant hvor ADG =90 og AG = 2 cm. e) Lag en trekant ABH på linjestykket AB hvor BAH = 60 og ABH =30. Løsning Opprett et linjestykke med lengde 4 cm. Lag så et kvadrat på linjestykket. Opprett en halvsirkel på linjestykket CD. 115
Opprett midtnormalen til CB og avsett et linjestykke EF = 4 cm på midtnormalen. Opprett den likebeinte trekanten BFC. Opprett en stråle fra C gjennom D. Opprett deretter et linjestykke DG = 2 cm på strålen fra C gjennom D. 116
Opprett den rettvinklede trekanten ADG. Opprett vinkel A =60 og B =30. Start med vinkelbeinet, så toppunktet. Opprett en stråle fra B til A' og fra A til B'. Opprett deretter trekanten AHB. 117
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: 118
Geometri: speiling og rotasjon Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag en trekant ABC og et linjestykke DE. Speil trekanten om linjestykket. b) Lag en trekant FGH og et punkt I. Roter trekanten 150 om punktet. Løsning Opprett en trekant ABC og et linjestykke DE. Speil trekanten om linjestykket. Punktmarkeringen A, B og C kommer opp automatisk. 119
Opprett en trekant FGH og et punkt I. Roter trekanten 150 om I. Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 120
Geometri: perspektivtegning Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel Tegn et rett firkantet prisme med ett forsvinningspunkt. Løsning Opprett et rektangel ABCD og et forsvinningspunkt P. Opprett stråler fra rektangelets hjørner gjennom P. Opprett et punkt E på strålen fra A. Opprett en parallell linje til AD gjennom E. 121
Kall skjæringspunktet med DP for F. Opprett en parallell linje til CD gjennom F. Kall skjæringspunktet med CP for G. Opprett en parallell linje til AB gjennom E. Kall skjæringspunktet med BP for H. Opprett flatene (mangekantene) ABHE, EHGF, ADFE, CGFD og BCGH i prismet. 122
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: 123
Geometri: konstruksjon Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og velg bort markeringen på Akser og Rutenett. Eksempel 1 Lag en trekant ABC der AB = 7,5 cm, A =90 og B = 22,5. Løsning C Hjelpefigur A 7,5 cm 22,5 B Nr. Forklaring Verktøy Ikon 1. Opprettet et linjestykke AB = 7,5 cm Linjestykke med bestemt lengde 2. Opprettet 90 i A Vinkel med fast størrelse 3. Opprettet 22,5 i B Vinkel med fast størrelse 4. 5. 6. Opprettet en stråle fra A gjennom B' Opprettet en stråle fra B gjennom A' Opprettet skjæringspunkt mellom strålene Stråle gjennom to punkter Stråle gjennom to punkter Skjæring mellom to objekter 7. Opprettet trekanten ABC Mangekant 124
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: 125
Eksempel 2 Lag en firkant ABCD der AB = 5 cm, BAC =60, B =90 og CAD = ACD = 45. Finn arealet av firkanten. Løsning Hjelpefigur D 45 45 60 A 5 cm C B Nr. Forklaring Verktøy Ikon 1. Opprettet linjestykket AB =5cm Linjestykke med bestemt lengde 2. Opprettet BAC = 60 Vinkel med fast størrelse 3. Opprettet 90 i B Vinkel med fast størrelse 4. 5. 6. 7. 8. 9. Opprettet en stråle fra A gjennom B' Opprettet en stråle fra B gjennom A' Opprettet skjæringspunktet C mellom strålene Opprettet CAD og ACD =45 Opprettet en stråle fra A gjennom C' og fra C gjennom A' 1 Opprettet skjæringspunktet D mellom strålene Stråle gjennom to punkter Stråle gjennom to punkter Skjæring mellom to objekter Vinkel med fast størrelse Stråle gjennom to punkter Skjæring mellom to objekter 10. Opprettet firkanten ABCD Mangekant 11. Fant arealet av firkanten ABCD: 46,65 cm 2 Areal 126
Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater: 127
Eksempel 3 LagenfirkantABCD der AB =9cm, ABE =30, DCE =45, DE = AD, diagonalene skjærer hverandre i punktet E og avstanden fra E til AB =3cm. Løsning Hjelpefigur D 45 E C A 3 cm 30 9 cm B Nr. Forklaring Verktøy Ikon 1. Opprettet linjestykket AB =9cm Linjestykke med bestemt lengde 2. Opprettet ABE = 30 Vinkel med fast størrelse 3. 4. 5. 6. 7. 8. Opprettet en stråle fra B gjennom A' (firkantens ene diagonal) Opprettet en normal til AB og kalte den P Opprettet et punkt P 1 på 3 cm opp på normalen fra P Opprettet en parallell linje gjennom P 1 Opprettet skjæringspunktet E mellom den parallelle linjen og ABEs høyre vinkelbein Opprettet en stråle fra A gjennom E (firkantens andre diagonal) Stråle gjennom to punkter Midtnormal Linjestykke med bestemt lengde Parallell linje Skjæring mellom to objekter Stråle gjennom to punkter 9. Halverte linjestykket AE Midtnormal 128
Nr. Forklaring Verktøy Ikon 10. 11. Fant D i skjæringspunktet mellom midtnormalen og ABEs høyre vinkelbein Opprettet et punkt C på strålen fra A gjennom E Skjæring mellom to objekter Nytt punkt 12. Opprettet ECD = 45 i C Vinkel med fast størrelse 13. 14. Opprettet en stråle fra C gjennom E' Justerte strålen (ECDs høyre vinkelbein) slik at den går gjennom D Stråle gjennom to punkter Flytt 15. Opprettet firkanten ABCD Mangekant Resultat Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 129