Funksjonslære Derivasjon Maemaikk 2 Avdeling for lærerudanning, Høgskolen i Vesfold 19 mars 2009 1 Innledning La f(x) være en funksjon, alså, en sørrelse som er avhengig av x De kan ofe være hensiksmessig å sille spørsmåle hvor for vokser eller avar f(x) i e viss punk? E grunnleggende eksempel er: Tenk om vi kjører en bilur, og lar f(x) være srekningen som vi har ilbakelag oss eer x minuer Å spørre hvor for srekningen vokser i e idspunk er re og sle å spørre hvor for vi kjører i de idspunke 11 Lineære funksjoner Dersom funksjonen vår er lineær, er de e kjen begrep som beregner hvor for den vokser/avar: signingsalle il grafen For eksempel, enk om vi kjører en bilur på 20km i en halv ime med hel jevn far Vi lar x være iden og f(x) være ilbakelag srekning eer iden x Grafen av f(x) (figur 1) er ei re linje gjennom origoen og (1/2ime, 20km) Dens signingsall er 20km 0 1/2 ime 0 = 40km/ime som er bare faren Med andre ord: Vi husker a signingsalle il linja er disansen som y- verdien (alså, f(x)-verdien) siger dersom x-verdien øker med 1 Til gjengjeld, i virkeligheen, er hasigheen (i km/ime) lik veksen i srekning dersom iden øker med 1 ime Så svarer signingsalle il hasigheen i vår geomerisk fremsilling av siuasjonen 1
Eller, vi kunne også ha bruk formelen som gir faren = ilbakelag srekning, id ilbakelag srekning = faren id som blir f(x) = (40km/ime) x i vår noasjon Slik ser vi igjen forbindelsen mellom faren og signingsalle 12 Veks av ikke-lineære funksjoner Hvis funksjonen vår ikke er lineær, kommer vi ikke umiddelbar på e begrep, ilsvarende signingsalle, som gir informasjon om hvor for funksjonen vokser il enhver id I virkeligheen er de flese funksjoner ikke lineære; for eksempel er de lie sannsynlig a vi kjører med hel jevn far i en halv ime Kanskje kjøre vi gjennom en by i de førse i minuer, og da kom vi u på lande der vi kunne kjøre forere, og da kom vi il en ny by og måe lee eer parkeringsplass, slik a vi kjøre sakere i de sise i minuer (fig 2) Her er de vanskeligere å si akkura hvor for vi kjøre il enhver id ; de er kanskje vanskelig engang å si hva dee beyr Men som førse anslag, kan vi a dele srekningen med iden for hele reisen Da får vi igjen 40km/ime Slik får vi fakisk gjennomsnishasigheen for uren Dee er e anslag il hasigheen il enhver id, men e veldig grov e Kan vi forbedre de, på noen vis? Jo, vi legger merke il a uren besod sor se av re bier der hasigheen variere mindre enn de variere over hele uren Hver bi vare omren 10 minuer Hvis vi da deler idsramme i re bier på 10 minuer, da går de an å beregne gjennomsnishasigheen i hver av disse korere periodene (fig 3) U ifra grafen leser vi de følgende punkene: (0, 0), (10 min, 4km), (20 min, 18km) og (30 min, 20km) Derfor er gjennomsnishasigheen i den førse 10 minuersperioden lik 4km 10 min den i den andre 10 minuersperioden er 18km 4km 20 min 10 min = 14km 10 min = 0, 4km/min = 24km/ime, = 1, 4km/min = 78km/ime 2
og den i den sise er 20km 18km 30 min 20 min = 2km 10 min = 0, 2km/min = 12km/ime Nå har vi få ak i e bedre anslag il hasigheen i hver idspunk av uren De vi har gjor er å lae som om funksjonen var lineær i hver iminuersperiode, slik a dens graf på hver inervall er linjesykke mellom endpunkene av grafen på inervalle Da har vi bruk den spesielle egenskapen av lineære funksjoner som vi diskuere ovenfor: a signingalle kan beregnes og gir funksjonens vekshasigheen il enhver id Men dee er forse kun e anslag Vi kan forbedre de ved å dele opp videre på grafen: isedenfor å dele i re inervall på 10 minuer, ar vi seks sykker på 5 minuer hver På hver av disse, beregner vi gjennomsnishasigheen som signingsalle il linjesykke mellom endpunkene av grafen på inervalle (den såkale sekanen il grafen i de o punkene) Ved å gjena denne prosedyren mange ganger, kan vi få il e veldig god anslag il hasigheen i hver idspunk Men hvor nøyakig kan vi få de il å være? La oss enke a vi kjøre forbi en farskonroll når vi var akkura 18 minuer ue på veien og hadde kjør 17km, og vil vie akkura hva sod på speedomeeren i de idspunke Vi kan gjøre som før, og se på e lie sykke av grafen, som sarer i punke (18 min, 17km) og sreker li u il høyre Vi velger e punk i dee inervalle, og beregner signingsalle il sekanen mellom de o punkene (fig 4) Dee er e anslag il hasigheen i akkura 18 minuer Ved å velge e punk nærmere il (18, 17), får vi e bedre anslag Og nå kommer e nøkkelpoeng: jo nærmere de andre punke kommer il (18, 17), deso nærmere kommer sekanen mellom de o punkene il angenen il grafen i (18, 17) Derfor er de rimelig å si a hasigheen i idspunke 18 minuer er lik signingsalle il den angenen Denne moiverer en definisjon: Definisjon 11 La f være en funksjon av en variabel x som er definer i e punk c Dersom de eksiserer, kalles signingsalle il angenen il grafen av f i punke c for den derivere il f i punke c med hensyn il x Vi noerer den f (c) (ual f derivere av c ) Den derivere måler hvor for funksjonen vokser i punke c I vår eksempel sår x for iden, og funksjonens verdi i e (ids)punk er lik srekningen ilbakelag i de idspunke Å spørre hvor for denne srekningen vokser i e idspunk er ikke anne enn å spørre hvor for vi kjøre i de idspunke I 3
vår nye erminologi, er hasigheen den derivere av srekningen med hensyn il id La oss se på e par andre eksempel: Eksempel 12 La f(x) = 34x 5 og c = 5 Grafen er ei re linje, og angenen il grafen i 5 er ikke anne enn den samme linja Derfor er f (5) lik signingsalle il selve linja, som er 34 Fakisk gjelder de samme for alle punker: f (x) = 34 for alle x Eksempel 13 La f(x) = x og c = 0 Grafen har ingen god definer angen i punke (0, 0): alle sekaner gjennom (0, 0) og e punk il vensre av (0, 0) har signingsall 1, og alle sekaner gjennom (0, 0) og e punk il høyre av (0, 0) har signingsall +1 Derfor enderer signingsallene ikke il e besem all når de andre punke forflyer seg mo (0, 0) Se fig 5 Derfor kan vi ikke snakke om den derivere i x = 0 I alle andre punker kan vi de, akkura som vi gjorde med den lineære funksjonen i de forrige eksempele For eksempel, f (2) = 1 og f ( 3) = 1 Nå ve vi hva den derivere er, og vi har se hvordan de kan beregnes eller anslås i e par ilfelle De nese vi skal a oss av, er å beregne den derivere il en funksjon hivs grafen ikke er sa sammen av linjesykker 2 Den derivere med grenseverdier Vi egner grafen il funksjonen f(x) = x 2 La oss si a vi vil beregne den derivere il f(x) i 1, alså f (1) Hva er egenlig angenen il grafen i 1? De er uanse ei linje gjennom punke (1, f(1)) For å besemme de, renger vi derfor bare e signingsall, og da kan vi bruke epunksformelen For hver all som ikke er null, kan vi rekke sekanen il grafen gjennom punkene (1, f(1)) og (1 +, f(1 + )) Alle sekanene er linjer gjennom vår punk (1, f(1)) Når blir veldig lie, så nærmer sekanene seg il angenen il grafen i (1, f(1)) ((fig 6) Signingsalle il denne linja er da grenseverdien av signingsallene il sekanene dersom går mo null La oss se om vi kan bruke denne idéen i praksis Signingsalle il sekanen gjennom (1, 1) og (1 +, f(1 + )) er lik f(1 + ) f(1) (1 + ) 1 4
Nå rekker vi grenseverdien: ( ) ( ) f() f(1) (1 + 2 + 2 ) 1 = (1 + ) 1 ( ) 2 + 2 = = (2 + ) (som vi kan gjøre fordi a aldri blir null) = 2 Ved hjelp av Excel kan vi se på noen verdier: f(1+) f(1) 0, 5 1, 5 0, 25 1, 75 0, 1 1, 9 0, 01 1, 99 10 3 1, 999 10 6 1, 999 999 f(1+) f(1) 0, 5 2, 5 0, 25 2, 25 0, 1 2, 1 0, 01 2, 01 10 3 2, 001 10 6 2, 000 001 Bemerkning 21 De er naurlig å bruke grenseverdier for å modellere denne prosessen De er en konkre geomerisk grunn il a blir vilkårlig lie med aldri lik null: Vi vil ha en sekan som ligger veldig nær il angenen, men for å rekke en sekan renger vi o punker og ikke bare e Derfor kan ikke 1 + være lik 1, alsa kan ikke være lik 0 Disse berakninger moiverer en ny definisjon av den derivere: Definisjon 22 La f(x) være en funksjon som er definer i e punk c Den derivere il f i punke c med hensyn il x er grenseverdien ( ) f(c + ) f(c) dersom denne eksiserer Obs: Vi inkluderer med hensyn il x i definisjonen fordi a hvis f hadde vær en funksjon av o eller flere variabler, da kunne vi ha undersøk den derivere med hensyn il noen av dem Men siden de flese av våre funksjoner er avhengig bare av én variabel, skal vi som regel ikke bry oss om å presisere de 5
Eksempel 23 La f(x) = x 3 Vi vil undersøke hvor for f(x) vokser i punke 2 Eer den vi så ovenfor, kan vi si a denne svarer il verdien av den derivere f i 2 Vi beregner (2 + ) 3 ( 2 3 ) = 8 12 6 2 3 + 8 12 6 3 3 = ( = ) 12 6 2 = 12 A den derivere er negaiv, beyr a funksjonen avar i punke 2 isedenfor å vokse Vi opplevde akkura samme med signingsalle il ei linje Skisserer vi grafen, så ser vi a 12 ser u som e rimelig anslag il signingsalle il angenen (fig 7) Eksempel 24 La f(x) være lik x 2 2x, og la oss beregne den derivere il f i punke 1 Vi har f(1 + ) f(1) = ( (1 + ) 2 2(1 + ) ) ( 1) = 1 + 2 + 2 2 2 + 1 = 2 og derfor er den derivere i 1 lik ( ) 2 = = 0 Her er signingsalle il angenen lik null, alså angenen er vannre i punke 1 (fig 8) Dee skjer gjerne (men ikke bare!) når funksjonen har en opp- eller bunnpunk, og dee er en enorm nyig egenskap av den derivere Dee kommer vi ilbake il Bemerkning 25 Vi beregne idligere a den derivere il x 2 i punke 1 var lik 2 Dessuen kan vi se, på samme måen som i Eksempel 12, a den derivere il den lineære funksjonen 2x er 2 overal Derfor, i dee ilfelle er den derivere il summen x 2 2x i punke 1 lik summen av de derivere: 0 = 2 + ( 2) Dee gjelder fakisk generel, og vi kommer ilbake il de Eksempel 26 La f(x) = 1/x og c = 1 Dersom den eksiserer, er den 6
derivere f (1) lik ( 1 1+ 1) = = = = 1 ( ) 1 (1+) 1+ (1 + ) 1 1 + Derfor har angenen il grafen av f(x) = 1/x i punke (1, 1) signingsall 1 Se fig 9 I mosening, hadde vi sa x = 0 i de sise eksempele, da hadde vi ikke kunne beregne den derivere (Hvorfor de?) Også kunne ikke funksjonen x deriveres i alle punker La oss nå se nærmere på problemsillingen gi en funksjon f og e punk c, når går de an å finne den derivere f (c)? 3 Deriverbarhe Definisjon 31 Vi sier a en funksjon f er deriverbar i e punk c dersom grenseverdien ( ) f(c + ) f(c) (1) eksiserer Geomerisk, beyr dee a grafen har en veldefiner angen i punke (c, f(c)), som ikke er loddre 1 Av ulike grunner kan de hende a den derivere ikke finnes Her undersøker hva som skal il Førs, selvfølgelig, må funksjonen være definer i c, ellers har vi ikke engang punke (c, f(c)) som vi renger for å skrive opp formelen (1) Nå ualer vi en nyig resula: Sening 32 Hvis f er deriverbar i c, så må de være koninuerlig i c 1 Hvis denne grenseverdien ikke eksiserer, da bør vi sjekke om de er fordi angenen eksiserer men er loddre (som f eks f(x) = 3 x i punke 0), eller om grafen virkelig ikke har en veldefiner angen, på grunn av noe anne 7
Bevis Ikke vanskelig, men dessverre har vi ikke id il de her Derfor, hvis en funksjon ikke er koninuerlig i c, kan den heller ikke være deriverbar i c Dee gir for eksempel en levin måe å se a 1/x ikke er deriverbar i 0 Men de finnes koninuerlige funksjoner som ikke er deriverbare, som for eksempel absoluverdifunksjonen x, og disse må vi kunne a oss av Nå minner vi om a den derivere er en grenseverdi Derfor, for a den skal eksisere, må vi få samme svar om vi lar gå mo null enen nedenfra eller ovenfra Eksempel 33 Absoluverdifunksjonen f(x) = x er koninuerlig overal Vi undersøker den derivere i c = 0 Vi beregner førs 0 + 0 = Siden de er den vensre grenseverdien som vi undersøker, er negaiv Derfor får vi = 1 = 1 Til gjengjeld, hvis går mo 0 ovenfra, da er > 0, og vi har 0 + 0 + = + = + 1 = 1 + Den vensre grenseverdien er forskjellig fra den høyre, så eksiserer ikke selve grenseverdien Denne bekrefer a funksjonen x ikke kan deriveres i punke 0 Ser vi på grafen (fig 5), så legger vi merke il a grafen ikke er gla i 0, men har e hjørne eller knekkpunk Inuiiv virker de rimelig a de er ingen besem angen il grafen i knekkpunke: de er mange linjer som reffer grafen i (0, 0 ), men, for å bruke eknisk erminologi, ingen av dem kysser både den vensre og den høyre delene av grafen 2 Eksempel 34 Er funksjonen { x 2 hvis x 1 f(x) = 2x 1 hvis x 1 2 De finnes en generalisering av angenbegrepe som kalles for oskulerende rom Dee navne kommer fra de lainske orde osculum, som beyr kyss Maemaikk er spennende! 8
deriverbar i punke 1? Siden funksjonen er sa sammen av o forskjellige formler, må vi være eksra sikker på a vi sjekker både de høyre og vensre grenseverdiene Vi har og f(1 + ) f(1) f(1 + ) f(1) + (1 + 2 + 2 ) 1 = ( ) 2 + 2 = = (2 + ) = 2 (2(1 + ) 1) 1 = + 2 + 2 2 = + = + 2 = 2 Da de vensre og høyre grenseverdiene er like, er funksjonen deriverbar i punke 1, il ross for a de er e slags overgangspunk Se fig 10 Men hvis funksjonen hadde vær { x 2 hvis x 1 f(x) = 3x 2 hvis x 1 da hadde vi funne u på samme måe a f(1 + ) f(1) = 2, men + f(1 + ) f(1) = 3 Derfor er ikke denne funksjonen deriverbar i punke 1 hvor vi går fra én formel il den andre Se fig 11 4 Den derivere som en funksjon Hiil har vi berake den derivere som noe vi assosierer il en funksjon i e punk Men i Eksempel 12 og 13 var de e vink på a vi kan fakisk enke på den derivere som en funksjon i seg selv I og med a signingsalle av angenen il en graf i e punk x er e all som varierer med x, så kan vi i prinsipp lage en funksjon av de 9
Definisjon 41 La f være en funksjon av x Den derivere av f er den følgende funksjonen x signingsalle av angenen il grafen av f i punke x dersom den eksiserer Vi noerer den f eller f (x) De vi gjør er å berake angenene i e generel punk, isedenfor kun e besem punk Eksempel 42 La f(x) = 34x 5 Vi så a for hver x var signingsalle av angenen i x il grafen av f lik 34 Funksjonen f (x) er derfor en konsanfunksjon, med verdi 34 overal Bemerkning 43 Hadde f(x) vær lik 34x 6 eller 34x + 55, da hadde f (x) likevel vær de samme Denne kan forklares geomerisk: de å legge en konsan il en funksjon bare flyer grafen opp eller ned i den verikale reningen Denne påvirker ikke signingsallene il angenene; se fig 12 De er ikke vanskelig å bevise a dee gjelder for alle funksjoner, ikke bare de lineære Eksempel 44 La f(x) = x Eer de vi så i Eksempel 13 kan vi si med en gang a { 1 hvis x < 0 f (x) = 1 hvis x > 0 Siden den derivere eksiserer ikke i x = 0, så er funksjonen f (x) ikke definer i x = 0 Å beregne den derivere La f(x) være en funksjon Her skal vi bruke akkura samme eknikken som i 2 for å finne en formel for den derivere f (x) Som før, finner vi u a signingsalle av angenen il grafen av f i (de generelle) punke (x, f(x)) kan anslås med signingsall il en sekan gjennom punke (x, f(x)) og e anne punk (x +, f(x + )) på grafen som ligger (x, f(x)) nær Dee blir f(x + ) f(x) (x + ) x Signingsalle il angenen blir grenseverdien = f(x + ) f(x) f(x + ) f(x), (2) 10
dersom de eksiserer Dee likner veldig på de vi gjorde i 2 Forskjellen er a (1) gir u bare e all mens (2) gir u en ny funksjon, som er avhengig av x Eksempel 45 La oss finne den derivere il f(x) = x 2 2x Vi beregner f(x + ) f(x) (x + ) 2 2(x + ) x 2 + 2x = x 2 + 2x + 2 2x 2 x 2 + 2x = 2x + 2 2 = = (2x + 2) = 2x 2 Denne funksjonen er definer for alle x, så er f(x) deriverbar overal Seer vi inn x = 1, så får vi igjen f (1) = 0, som vi fan u i Eksempel 24 I fig 13 har vi fremsil f(x) sammen men sin derivere De er noe ineressan å hene her: f (x) har e nullpunk i bunnpunke il grafen il f(x) Ifølge definisjonen av den derivere, har angenen i dee punke signingsall 0, alså, den er vannre Til vensre av bunnpunke peker angenene nedover, alså har negaive signingsall, som svarer il de a f (x) < 0 for x < 1 På samme måe, il høyre av bunnpunke peker angenene oppover, alså har posiive signingsall, som svarer il de a f (x) > 0 for x > 1 Slike samspill mellom geomeri på grafene av f(x) og f (x) kan bli veldig spennende Eksempel 46 La f(x) = 1/x Dersom den eksiserer, er den derivere f (x) lik ( 1 ) 1 x+ x Vi har 1 x + 1 x Den derivere f (x) er da lik ( ) x(x+) = x (x + ) (x + )x = (x + )x = ( ) 1 = 1 x(x + ) x 2 11
Denne eksiserer i alle punker unna x = 0, som svarer il de a grafen, som er hyperbelen xy = 1, har ingen angen i x = 0 Fakisk er ikke funksjonen engang definer i 0, så forvener vi ikke å kunne derivere de der 5 Noen formler 51 Summer Vi så i Eksempel 24 a den derivere il x 2 2x i punke 0 var ikke anne enn summen av de derivere av x 2 og 2x i 0 De er ikke vanskelig å se a dee gjelder veldig generel Sening 51 Hvis f(x) er en summe g(x) + h(x), og hvis g (x) og h (x) eksiserer, da eksiserer f (x) og den er lik g (x) + h (x) Bevis Vi har f(x + ) f(x) (g(x + ) + h(x + )) (g(x) + h(x)) = (g(x + ) g(x)) + (h(x + ) h(x)) = ( ) ( ) g(x + ) g(x) h(x + ) + h(x) = + som vi renge = g (x) + h (x) Oppgave: La f(x) være en funksjon med derivere f (x) La α være e vilkårlig réel all Vis a den derivere il α f eksiserer og lik α f 52 Monomer og polynomer I Eksempel 23 og 24 så vi på de derivere av ulike poenser av x Her gir vi en generell regel for derivering av slike monomfunksjoner Sening 52 La n være e posiiv helall Da er den derivere av x n lik n x n 1 Bevis Vi må beregne grenseverdien (x + ) n x n 12 (3)
Ved bruk av Den binomiske seningen har vi ( n (x + ) n = x n + nx n 1 + 2 Derfor blir (3) lik ( nx n 1 + ) x n 2 2 + + ( ) n x n 1 + n n 1 ( ) ( ) n n n n 2 + + )x n 1 + n 2 n 1 Siden alle leddene borse fra de førse inneholder en, så forsvinner de når går mo 0 Derfor får vi a den derivere er lik nx n 1, som vi skulle Bemerkning 53 Fakisk gjelder denne enda mer generel: for hver poense x s der s er e ikke-null réel all (posiiv eller negaiv helall, rasjonalall eller vilkårlig réelall), så er den derivere il x s lik sx s 1 Vi minner nå om a en polynomfunksjon er en sum av konsanmulipler av monomfunksjoner Ved hjelp av seninger 51 og oppgaven eer den, sammen med sening 52, ser vi a for å derivere en polynomfunksjon, kan vi derivere hver ledd for seg og så legge resulaene sammen Eksempel 54 La f(x) = x 4 + 2x 3 5x 2 + 5x 4 Da er den derivere f (x) = 4x 3 + 2(3x 2 ) 5(2x) + 5 = 4x 3 + 6x 2 10x + 5 53 Produkregelen Vi så i sening 51 a den derivere il en summe er bare summen av de derivere il summandene Den derivere il en produk eller e forhold er li mer kompliser, og disse skal vi nå beregne Den følgende formelen kalles også for produkregelen eller Leibnizregelen, il ære for G W Leibniz, som spile en sor rolle i uviklingen av grenseverdier, derivasjon og inegrasjon Sening 55 La f(x) være en produk g(x)h(x) Dersom g (x) og h (x) eksiserer, så gjelder f (x) = g(x)h (x) + g (x)h(x) Bevis Vi må undersøke grenseverdien g(x + )h(x + ) g(x)h(x) 13
Vi bruker en lien ricks: vi legger noe il urykke som er null: ( g(x + )h(x + ) g(x + )h(x) + g(x + )h(x) g(x)h(x) Nå skiller vi urykke i o: ( ) g(x + )h(x + ) g(x + )h(x) Denne kan vi fakorisere slik: ( ( )) h(x + ) h(x) g(x + ) + ) ( g(x + )h(x) g(x)h(x) ( ) g(x + ) g(x) + h(x) Ved sening 32, ve vi a g er en koninuerlig funksjon Derfor, når går mo null, så går g(x + ) mo g(x) Derfor er grenseverdien vi suderer lik g(x)h (x) + g (x)h(x), ) som er de vi renge Eksempel 56 Dee gir for eksempel e ny bevis for a den derivere av f(x) = x 3 er lik 3x 2 Vi seer g(x) = x 2 og h(x) = x, slik a f(x) = g(x) h(x) Da har vi f (x) = g(x)h (x) + g (x)h(x) = x 2 1 + x 2x = 3x 2 54 Å derivere e forhold Sening 57 La f(x) være e forhold g(x)/h(x) Dersom g(x) og h(x) er deriverbare, så gjelder Bevis Vi må undersøke grenseverdien f (x) = h(x)g (x) g(x)h (x) h(x) 2 g(x+) g(x) h(x+) h(x) Vi finner felles nevner for brøkene over sreken, og får ( g(x + )h(x) h(x + )g(x) h(x)h(x + ) 14 )
Nå bruker vi en ricks som vi gjorde i sening 55: vi legger noe il som ikke endrer verdien av de hele: ( ) g(x + )h(x) g(x)h(x) + g(x)h(x) h(x + )g(x) Nå blir urykke lik ( ) g(x + )h(x) g(x)h(x) h(x)h(x + ) Vi fakoriserer og omskriver li: h(x) ( g(x + ) g(x) h(x)h(x + ) + ( g(x)h(x) h(x + )g(x) h(x)h(x + ) ) 1 h(x)h(x + ) ( h(x + ) h(x) g(x) ) ) 1 h(x)h(x + ) Siden h(x) er koninuerlig, så går h(x + ) mo h(x) når går mo null Urykke er derfor lik h(x)g (x) 1 h(x) 1 2 g(x)h (x) h(x) = h(x)g (x) g(x)h (x) 2 h(x) 2 som er de vi renge Med forholdregelen kan vi finne den derivere il en rasjonal funksjon La oss se på noen eksempler Eksempel 58 Vi så i Eksempel 26 a den derivere av 1/x i punke 1 er lik 1 Her skal vi bruke de vi har funne il å beregne den derivere i e vilkårlig punk, med foruseningen a x 0 Vi seer g(x) = 1 (en konsanfunksjon) og h(x) = x Ved sening 57, ve vi a den derivere av g(x)/h(x) er lik x 0 1 1 x 2 = 1 x 2 Eksempel 59 Hva er den derivere av f(x) = 3x+2 x 2 +1? Som før, seer vi g(x) = 3x + 2 og h(x) = x 2 + 1 Ved sening 57, ve vi a den derivere av f(x) er lik (x 2 + 1) 3 (3x + 2) 2x = 3x2 + 3 6x 2 4 (x 2 + 1) 2 x 4 + 2x 2 + 1 15 = 3x2 1 x 4 + 2x 2 + 1
6 Problemsillinger i hverdagslive De er mange problemer som oppsår i hverdagslive som har å gjøre med å maksimere eller å minimere en sørrelse Dee svarer ofe il å finne oppeller bunnpunker på en graf Derfor er de hensiksmessig å prøve å bruke derivasjon for å finne maksimum eller minimum Vi diskuerer e eksempel: Eksempel 61 Vi har 200m med neinggjære som skal brukes il å avsenge e rekangular areal Hva er de sørse slike areale som vi kan få il? Vi skriver x for lengden på én side av rekangele Da blir en annen side 100 x (hvor vi forsår a denne er en lengde i meer) Areale blir da x(100 x), eller 100x x 2 Vi definerer f(x) := 100x x 2 De vi må gjøre er å finne den xen som gir sørs mulig verdi av f(x) På grafen (fig 14), ser den maksimale verdien u il å være i x = 50, alså når rekangele er fakisk e kvadra Dee skal vi nå bevise, ved hjelp av eknikkene som vi nå kan i derivasjon Hva er de som danner e opppunk på grafen? Jo, de finnes e område rund punke slik a alle verdier av funksjonen i dee område er mindre enn verdien i vår punk (fig 15) Dee beyr a grafen siger opp il den når den maksimale verdien, og da begynner å ava Derfor, il vensre av den maksimale verdien er signingsallene av angenene il grafen (alså de derivere) posiive, og il høyre er de negaive Og i selve maksimumpunke er angenen vannre, som vi så i Eksempel 24, så har signingsall null Derfor, hvis vi vil finne en maksimumverdi il funksjonen, alså e opppunk på grafen, må vi prøve å finne e punk der den derivere er null I vår ilfelle er f(x) = 100x x 2, så er f (x) = 100 2x Dee er null hvis og bare hvis x = 50, akkura som vi enke Vi ar e eksempel il: Eksempel 62 Tenk om vi har e kvadra med papp, 40cm på siden som vi skal bree i en esk (uen lokk) Vi skal skjære u e lie kvadra fra hver hjørne og da bree opp, som i fig 16 Hva er den sørse volumen som vi kan få il slik? De vi må besemme oss for, er hvor høy opp vi skal bree sidene Vi skriver f(x) for volumen av esken vi får hvis vi breer en lengde x opp Vi har f(x) = x (40 2x) 2 = 1600x 160x 2 + 4x 3 16
Som forklar ovenfor, må vi finne de x-verdiene der den derivere er null Førs beregner vi f (x) = 1600 320x + 12x 2 Dee forsvinner hvis og bare hvis 3x 2 80x + 400 = 0 Nullpunkene er x = 80 ± 6400 4 3 400 2 3 = 80 ± 40, 6 alså x = 20/3 eller x = 20 Hva har skjedd her? Vi får o punker der den derivere er null De enese vi kan gjøre er å see inn verdiene og finne u hvor sor volum vi får i hver punk Vi har f ( ) 20 = 3 128 000 27 4740, 74cm 3 mens f(20) = 0, som vi kunne uanse se: hvis vi skjærer u e kvadra på 20cm 20cm fra hver hjørne, da er de ingen ing igjen Derfor, hvis de er en opppunk, må de være i x = 20/3, og dee kan vi sjekke ved å kikke på funksjonens graf Generel, hvis de oppsår flere enn én mulighe for opppunke, er de bare å see inn hver x-verdi og se hvilken virkelig gir oss funksjonens sørse verdi Se også Obs 1 nedenfor Bunnpunker: Ved e liknende vis ser vi a i e bunnpunk må den derivere også være lik null Derfor kan vi bruke samme sraegi for å løse problemer der en sørrelse må minimeres Obs: De vi her har skisser er lang fra omfaende To ing å passe på: 1 Funksjoner som oppsår på denne måen er ofe ikke definer på den hele linja For eksempel, den i Eksempel 62 var bare definer på [0, 20] på grunn av de fysiske begrensningene på pappsykke, selv om de maemaiske urykke 1600x 160x 2 + 4x 3 har mening for alle x De kan hende i virkeligheen a opppunke på grafen befinner seg uenfor definisjonsområde som vi disponerer I så fall kan den prakiske måen å maksimere sørrelsen være å velge en x som ligger på e eller de andre endpunke på definisjonsområde Dee er noen som må sjekkes ved hver problemsilling for seg Som regel kan vi få fin oversik fra en graf 2 De er ikke allid a e nullpunk av den derivere svarer il e opp- eller bunnpunk For eksempel, den derivere av x 3 er 3x 2, som forsvinner i 0, men (0, 0) er hverken e opppunk eller e bunnpunk 17
Hisorien om slike og andre kriiske punker er veldig ineressan, men dessverre lang mer omfaende enn vi her har plass il Oppgave: La f(x) = ax 2 + bx + c være en vilkårlig annengradsfunksjon Bruk derivasjon for å bevise a opp- eller bunnpunke på grafen har x- koordina b/2a 7 Den andrederivere I begynnelsen enke vi på en bilur, og vi rakk en graf av ilbakelag srekning som funksjon av iden Den derivere il srekningen med hensyn il id, fan vi u var faren Men faren er e kjen begrep i seg selv, som også endrer over id Derfor er de hensiksmessig å derivere faren Den derivere il faren, alså hvor for faren endrer seg, kalles for akselerasjon, e anne kjen begrep Siden vi har deriver o ganger, sier vi a akselerasjon er den andrederivere av srekningen med hensyn il id I fig 17 har vi grafene av srekning mo id, faren mo id og akselerasjon mo id Bemerkning 71 Selv om srekningen og hasigheen aldri var negaive, kan akselerasjonen være negaiv, fordi a hasigheen kan ava De går selvfølgelig an å prøve å derivere en vilkårlig funksjon f(x) o ganger (eller flere!) Derfor lager vi en definisjon: Definisjon 72 La f(x) være en funksjon som er deriverbar Dersom f (x) også er deriverbar, skriver vi f (x) for den derivere il f (x) Vi kaller f (x) for den andrederivere av f(x) Dersom funksjonen vår modellerer e fysisk begrep, har den andrederivere ofe en ineressan olkning, som var ilfelle ovenfor der f(x) var srekningen ilbakelag eer id x Referanser [A] F Ayres: Calculus, 2 ugave, Schaum s Ouline Series, McGraw Hill, UK, 1972 [BV] T Breieig, R Venheim: Maemaikk for Lærere 2, 4 ugave, Universiesforlage, Oslo, 2005 [SH] S L Salas, E Hille: Calculus, 7h ediion, John Wiley & Sons Inc, USA, 1995 18
[SRH] B K Selvik, R Rinvold, M Johnsen Høines: Algebra og funksjonslære, Maemaiske sammenhenger, Caspar Forlag, Bergen, 1999 Avdeling for Lærerudanning Høgskolen i Vesfold Grenaderveien 11 3103 Tønsberg Email: georgehhiching@hiveno 19