8 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 8 05-04-0 5:3:7
Følger og rekker MÅL for opplærige er t eleve skl kue fie møstre i tllfølger og bruke dem til å summere edelige ritmetiske og geometriske rekker og dre rekker, med og ute digitle hjelpemidler vgjøre om e uedelig geometrisk rekke er koverget, og berege summe v rekk løse prktiske problemer i forbidelse med sprig, lå og vbetligskjøp ved å bruke rekker 9 0 Sius S kp teoridel.idd 9 05-04-0 5:3:8
. Følger og rekker Mrte går i 3. klsse på e videregåede skole. Til jul fikk hu krkteree 4, 3, 5, 4, 5, 4, 3 og 5 Det vr i fgee orsk hovedmål, orsk sidemål, orsk mutlig, historie, religio, kroppsøvig, fysikk og mtemtikk. Rekkefølge v krkteree hr her betydig, for rekkefølge forteller hvilket fg det er. Tllee 4, 3, 5, 4, 5, 4, 3 og 5 er et eksempel på det vi kller e tllfølge eller e følge. Forskjelle på e tllfølge og e tllmegde er t i e tllfølge hr rekkefølge v tllee betydig. Leddee er ummerert. I e tllmegde er rekkefølge ute betydig. Mrte øver seg i hoderegig. Hu begyer med tllet og dobler det. Deretter dobler hu svret. Slik holder hu på så lege hu klrer. På de måte får hu frm tllee, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5, 04, I prisippet k hu fortsette i det uedelige. Tllee der e uedelig følge. Tllee i e tllfølge kller vi ledd. Ofte bruker vi symbolet om det første leddet i e tllfølge, om det dre leddet, osv. I tllfølge ovefor er Vi ser t, 4, 8, 6,... 3 4 3 4,,,,... Ledd r. er 3 4 Vi hr fuet e formel for ledd r.. Med de k vi fie ledd r. 0 direkte: 0 0 04 EKSEMPEL Leddee i e følge er gitt ved formele 3 Fi de fem første leddee i følge ved regig. 0 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 0 05-04-0 5:3:9
Løsig: 3 3 5 3 3 3 8 4 3 4 5 3 5 4 Noe gger kjeer vi ikke formele for leddee i e tllfølge. Vi kjeer bre det første leddet og smmehege mellom et ledd og det este. EKSEMPEL I e tllfølge er det første leddet For lle turlige tll > er 3 Fi de fem første leddee i tllfølge. Løsig: Vi vet t det første leddet er I formele 3 velger vi for å fie det dre leddet. Det gir 3 3 3 6 For å fie det tredje leddet setter vi 3. 3 3 36 8 3 3 For å fie det fjerde leddet setter vi 4. 3 3 38 54 4 4 3 For å fie det femte leddet setter vi 5. 3 3 354 6 5 5 4 De fem første leddee er, 6, 8, 54 og 6. 0 Sius S kp teoridel.idd 05-04-0 5:3:3
? OPPGAVE.0 I e følge er ledd r. gitt ved 5 Fi ledd r., ledd r. 5 og ledd r. 0. OPPGAVE. I e følge er ledd r. gitt ved 3 Fi de fem første leddee og ledd r. 0 i følge. OPPGAVE. I e tllfølge er det første leddet 3. Når >, er + 4 Fi de fem første leddee i følge. OPPGAVE.3 I e tllfølge er det første leddet 6. Når >, er Fi de fem første leddee i følge. Det regestykket vi får år vi skl summere leddee i e tllfølge, kller vi e rekke. Tllfølge gir rekk 6,, 4, 48, 96 6 + + 4 + 48 + 96 Tllee 6,, 4, 48 og 96 er leddee i rekk. Rekk ovefor hr fem ledd og er et eksempel på e edelig rekke. De uedelige tllfølge,, 4, 8, gir de uedelige rekk + + 4 + 8 + E uedelig rekke hr uedelig mge ledd. Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 05-04-0 5:3:3
På smme måte som i tllfølger bruker vi ofte symbolet om det første leddet i e rekke, om det dre leddet, osv. I rekk 6 + + 4 + 48 + 96 er 6,, 4, 48 og 96 3 4 5 Det tllet vi får år vi legger smme leddee i e edelig rekke, kller vi summe v rekk. Vi bruker s som symbol for summe v de første leddee. I rekk ovefor er Geerelt er s 3 6 + + 4 4 s 5 6 + + 4 + 48 + 96 86 s + + + + + 3 4... Ofte er leddee i e rekke gitt ved e formel. EKSEMPEL Leddee i e rekke er gitt ved ) Skriv dee rekk med de fem første leddee. b) Fi s 3 og s 5 ved regig. c) Fi s 0 og s 00 digitlt. Løsig: ) Først fier vi de fem første leddee i rekk 3 4 5 Rekk er b) s s 3 3 5 4 7 5 9 + 3 + 5 + 7 + 9 + 3 5 + 3+ 5 9 + 3+ 5+ 7+ 9 5 3 0 Sius S kp teoridel.idd 3 05-04-0 5:3:33
c) I GeoGebr CAS fier vi summe v de 0 første leddee på dee måte: Legg merke til t vi først skriver formele, deretter vet på vribele og til slutt de miste og de største verdie v vribele. Når vi skl fie summe v de 00 første leddee, går vi frm slik: s 00 og s 0 000 0 00? OPPGAVE.4 Fi summee s 5, s 6, s 7 og s 8 i rekk + 3 + 5 + 7 + + 3 + 7 + 9 OPPGAVE.5 Leddee i e rekke er gitt ved 3 ) Fi summe s 6 ved regig. b) Fi summe s 0 digitlt. OPPGAVE.6 Leddee i e rekke er gitt ved ) Fi summe s 5 ved regig. b) Fi summe s 5 digitlt. 4 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 4 05-04-0 5:3:33
. Figurtll Når vi kvdrerer et turlig tll, får vi et kvdrttll. Her er de miste kvdrttllee:, 4, 9, 6, 5, 36, Dette er e tllfølge der vi k klle leddee K, K, K 3,. Kvdrttll r. er gitt ved formele K Kvdrttllee k vi også frmstille ved hjelp v kuler på dee måte: K K 4 K 3 9 K 4 6 Vi ser t for eksempel kvdrttll r. 4 der et kvdrt med 4 kuler i hver retig. Tllfølger som vi k få frm slik som ovefor ved å sette smme for eksempel kuler på e bestemt måte, kller vi figurtll. Kvdrttllee er dermed et eksempel på figurtll.? OPPGAVE.0 Nå skl vi se på oe figurtll som vi k klle rektgeltll. Her er de miste rektgeltllee: R R 6 R 3 ) Fi rektgeltllee R 4 og R 5. b) Fi e formel for rektgeltllet R. c) Tllet 870 er et rektgeltll. Hvilket ummer hr det? 5 0 Sius S kp teoridel.idd 5 05-04-0 5:3:34
? OPPGAVE. Nå skl vi se på oe tll som vi kller trekttll. Her er de miste trekttllee: T T 3 T 3 6 T 4 0 ) Fi trekttllee T 5 og T 6. b) Smmelik trekttllee med figurtllee i oppgve.0, og bruk formele du ft i oppgve.0, til å vise t trekttll r. er gitt ved formele T ( + ) c) Fi ummeret til trekttllet 80. d) Se på summe v to trekttll som følger etter hverdre. Hvilke regel ser ut til å gjelde? Vis t regele di er riktig både ut fr kulee og ved regig. Vi ser å på rekk v de miste positive oddetllee + 3+ 5+ 7+ 9+... Summe v de første leddee er: s s s s s 3 4 5 + 3 4 + 3+ 5 9 3 + 3+ 5+ 7 6 4 + 3+ 5+ 7+ 9 5 5 På side 4 ft vi t s s 0 00 00 0 0 000 00 Det k se ut som om summe v de første oddetllee er s 6 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 6 05-04-0 5:3:34
I GeoGebr CAS k vi udersøke om dette stemmer. Oddetll r. i er gitt ved formele i i Summe v de første oddetllee fier vi dermed slik: Det ser ut til t s er lik kvdrttllet K. Dette k vi også se ved hjelp v figurtllee på side 5. Ut fr dette ser vi for eksempel t K er smmestt v de røde og de grøe kulee. K + 3 4 K 3 3 er smmestt v de røde, de grøe og de blå kulee. K 3 + 3 + 5 9 K 4 4 er smmestt v de røde, de grøe, de blå og de svrte kulee. K 3 + 3 + 5 + 7 6 Vi legger merke til t hver gg vi legger på ye kuler for å lge et ytt kvdrttll, må vi legge på kuler mer e gge før. Atllet kuler vi må legge til er 3, 5, 7, 9,, osv. Dermed blir K + 3+ 5+ 7+ 9+... + ( ) Kvdrttllet K er summe v de miste positive oddetllee. Her brukte vi figurtll til å vise t summe v de miste oddetllee er? I oppgve.43 skl du vise ved regig. 7 0 Sius S kp teoridel.idd 7 05-04-0 5:3:36
? OPPGAVE. I oppgve.0 så vi på rektgeltllee: R R 6 R 3 Vi ft dee formele: ( ) R + ) Fi summe v de to miste, de tre miste, de fire miste og de fem miste positive prtllee. Hvilke regel ser ut til å gjelde? Prøv ut regele di ved å summere flere prtll. b) Forklr regele i oppgve ut fr figurtllee. c) Bruk CAS til å fie e formel for summe v de miste prtllee. d) Bruk formele til å fie summe v de 50 miste prtllee. OPPGAVE.3 I oppgve. så vi på trekttllee: T T 3 T 3 6 T 4 0 Vi ft dee formele for trekttll r. : T ( + ) ) Fi summe v de to miste, de tre miste, de fire miste og de fem miste turlige tllee. Hvilke regel ser ut til å gjelde? b) Hvord k du ved hjelp v figurtllee se t regele i oppgve er riktig? c) Bruk CAS til å fie e formel for summe v de miste turlige tllee. d) Bruk regele til å fie summe v de 40 miste turlige tllee. 8 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 8 05-04-0 5:3:36
.3 Aritmetiske og geometriske følger I e ritmetisk følge er det er e fst differse d mellom to ledd som følger etter hverdre. Følge, 5, 8,, er ritmetisk med differse d 3, for vi legger 3 til et ledd for å få det este leddet. I dee følge er + 3 + 3 5 + 3 5+ 3 8 + 3 8+ 3 3 4 3 EKSEMPEL I e ritmetisk følge er det første tllet 9 og d. Fi de fem første leddee. Løsig: 9 + d 9+ ( ) 7 3 + d 7+ ( ) 5 4 3 + d 5+ ( ) 3 +d 3+ ( ) 5 4 Vi skl utlede e formel for leddet i e ritmetisk følge. D begyer vi med å rege ut de første leddee for å se etter et møster: + d 3 + d ( + d)+ d + d 4 3 + d ( + d)+ d + 3d +d ( + 3d)+ d + 4d 5 4 Vi ser t for lle leddee her gjelder formele + ( ) d Dette kue vi h fuet ut direkte. Når vi skl fie ledd r., må vi legge differse d til i lt gger. ( ) 9 0 Sius S kp teoridel.idd 9 05-04-0 5:3:38
I e ritmetisk følge med differse d er det første leddet lik. Ledd r. er d gitt ved formele + ( ) d EKSEMPEL I e ritmetisk følge er det første leddet 3, og differse d. ) Fi e formel for ledd r.. b) Fi ledd r. 37. Løsig: ) Ledd r. er gitt ved formele + ( ) d 3+ ( ) 3+ + b) Ledd r. 37 er 37 37 + 75? OPPGAVE.30 Skriv opp de fem første leddee i e ritmetisk følge der ) og d 5 b) 4 og d OPPGAVE.3 Fi differse og e formel for leddet i de ritmetiske følgee. ) 5,, 7, 3, b) 8, 64, 47, 30, OPPGAVE.3 Kri får 00 kr i ukepeger i uke r.. Beløpet skl økes med kr hver uke. ) Fi e formel for beløpet i uke r.. b) Omtret hvor mye får hu i ukepeger om år? OPPGAVE.33 I e ritmetisk følge er det femte leddet 5 3 og differse d 4. ) Fi det første leddet. b) Fi e formel for ledd r.. c) Fi ummeret til leddet 05. 0 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 0 05-04-0 5:3:40
I e geometrisk følge fis det et tll k slik t vi lltid får det este leddet ved å gge med tllet k. Tllet k kller vi kvotiete. I følge 3, 6,, 4, 48, får vi det este leddet ved å gge med. Det er e geometrisk følge der kvotiete k. I dee følge er 3 3 6 6 4 3 4 3 osv. EKSEMPEL I e geometrisk følge er det første leddet 8, og kvotiete k. Fi de fem første leddee. Løsig: De fem første leddee er 8 k 8 4 3 k ( 4) 4 k 3 5 k 4 ( ) I e geometrisk følge fier vi et ledd ved å gge det forrige leddet med et fst tll k. Dermed er forholdet mellom et ledd og leddet for lltid lik kvotiete k.! E følge der vi bre hr oppgitt de første leddee, er geometrisk hvis lle forholdee,, 3 4 3 er like for de leddee som vi kjeer. 0 Sius S kp teoridel.idd 05-04-0 5:3:4
EKSEMPEL Udersøk om følge er geometrisk, og fi evetuelt kvotiete. 9, 6, 4, 8 3, Løsig: Vi udersøker om det er et fst forhold mellom de leddee som er oppgitt. 3 4 3 6 6 9 9 3 4 4 6 6 3 8 8 3 3 3 8 4 43 3 Alle forholdee er like. Følge er geometrisk med kvotiet k 3.? OPPGAVE.34 Skriv opp de fem første leddee i e geometrisk følge der ) 5 og k b) 6 og k c) 8 og k 3 OPPGAVE.35 Fi kvotiete k i de geometriske følgee. ), 3, 9, 7,... b) 65, 5, 5, 5,... c) 3,, 3 9 7, 4, 8,... Nå skl vi utlede e formel for leddet i e geometrisk følge. Først fier vi de første leddee for å se etter et møster. k 3 k k ( k ) k 3 4 k 3 k ( k ) k 3 4 5 k 4 k ( k ) k Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 05-04-0 5:3:44
Slik k vi fortsette. Vi ser t for lle leddee gjelder formele k Dette kue vi h fuet direkte. For å fie ledd r. må vi multiplisere med k i lt gger. ( ) I e geometrisk følge med kvotiet k er ledd r. gitt ved k der er det første leddet. EKSEMPEL Fi det 0. leddet i de geometriske følge 3, 6,, 4, Løsig: I dee følge er 3 og k. Det gir 0 9 k 3 536 0 EKSEMPEL På ei øy blir det stt ut 00 kier. Vi reger med t kibestde øker med 4 % per uke. Hvor mge kier er det på øy om ett år? Løsig: Vekstfktore til 4 % er,04. Ettersom kibestde øker med 4 % per uke, må vi gge tllet kier ei uke med,04 for å fie tllet este uke. Atllet kier er dermed e geometrisk følge med kvotiet k,04. Tllet på kier i uke r. 5 er 5 5 k 04, 00 739 5 Om ett år er det 739 kier på øy. 3 0 Sius S kp teoridel.idd 3 05-04-0 5:3:44
? OPPGAVE.36 Fi e formel for leddet og fi deretter 0 for hver v følgee i oppgve.35. OPPGAVE.37 Udersøk om følgee er geometriske og fi evetuelt kvotiete. ) 9, 6, 4, 8 3, 6 9 b), 9, 6, 4, 3 c),,,, 4 OPPGAVE.38 Tek deg t Juds stte e sølvmyt i bke i året 30 e.kr. ) Hvor mge sølvmyter ville det h stått på de kotoe i 05 hvis vi reger med % rete per år? b) Hv blir beløpet med % rete per år?.4 Aritmetiske rekker Når vi skl summere leddee i e ritmetisk følge, får vi e ritmetisk rekke. I e ritmetisk rekke er det dermed e fst differse d mellom to ledd som følger etter hverdre i rekk. Rekk + 5 + 8 + + 4 + er ritmetisk med differse d 3. Fr kpittel.3 vet vi t ledd r. i e ritmetisk rekke er gitt ved + ( ) d På slutte v dette delkpittelet viser vi t vi hr dee formele for summe v de første leddee i e slik ritmetisk rekke: Summe v de første leddee i e ritmetisk rekke er gitt ved s ( + ) 4 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 4 05-04-0 5:3:45
EKSEMPEL Reg ut summe + + 3 + + 00. Løsig: Uttrykket er e ritmetisk rekke der og differse d. Rekk hr 00 ledd, slik t 00, og det siste leddet er 00 00. Summe blir s 00 00 ( + 00) 00 ( + 00) 00 0 5050 EKSEMPEL Heidi får 00 kr i ukepeger. Beløpet skl økes med kr hver uke. ) Hvor mye får Heidi i ukepeger i hver v de fire første ukee? b) Hvor mye får Heidi i ukepeger i uke r. 04 (om to år)? c) Hvor mye får Heidi smlet i ukepeger de to første år? Løsig: ) De fire første ukee får hu 00 kr 00 kr + kr 0 kr 3 0 kr + kr 04 kr 4 04 kr + kr 06 kr b) Ukepegee der e ritmetisk følge der det første leddet 00 kr og differse d kr. I uke r. 04 (om år) får hu 04 + ( 04 ) d 00 kr + 03 kr 306 kr c) Summe v lle kroebeløpee de to første år blir s 04 04 ( + 04) 04 ( 00 kr + 306 kr) kr Smlet får Heidi kr i ukepeger de to første år. 5 0 Sius S kp teoridel.idd 5 05-04-0 5:3:47
? OPPGAVE.40 Fi summe v de første leddee i e ritmetisk rekke år ), d 5og 0 b) 00, d 3og 30 c) 5, 0 og d) 50, 3 og 50 0 OPPGAVE.4 Fi summe v de ritmetiske rekkee både ved regig og ved hjelp v digitlt hjelpemiddel. ) + 4 + 7 + + 8 b) 00 + 98 + 96 + + 50 c) + + 3 + 4 + + 000 d) 0 + 0 + 30 + + 000 OPPGAVE.4 ) Fi summe v lle de turlige tllee som er midre e 0 000. b) Fi summe v lle de positive oddetllee som er midre e 0 000. c) Fi summe v lle de positive prtllee som er midre e 0 000. OPPGAVE.43 Vis t summe v de første positive oddetllee er lik. EKSEMPEL I e ritmetisk rekke er det første leddet 5 og differse d. Summe v rekk er 9. ) Skriv opp de første leddee i rekk. b) Fi et uttrykk for ledd r.. c) Fi ved regig og digitlt tllet ledd i rekk. Løsig: ) Det første leddet er 5. De este leddee får vi frm ved å legge til. Rekk er 5 + 7 + 9 + + b) Ledd r. i de ritmetiske rekk er gitt ved + ( ) d + ( ) + + 5 5 3 c) Ved regig: Her er tllet ledd ukjet. Formele for summe v ledd gir s ( + + + + ) ( 5 ( 3)) ( 8) + 8 ( + 4) + 4 6 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 6 05-04-0 5:3:49
Dette gir e likig som vi k løse. s 9 + 4 9 + 4 9 0 6 Ettersom må være et positivt tll, får vi løsige. Rekk består v ledd. Digitlt: Vi bruker t + 3 og lr x være tllet ledd i rekk. I GeoGebr CAS k vi løse oppgve slik: Rekk består v ledd.? OPPGAVE.44 I e ritmetisk rekke med og d 7 er summe 350. Hvor mge ledd er det i rekk? OPPGAVE.45 Kri får å 00 kr i ukepeger. Beløpet skl økes med kr hver uke. Hvor lg tid går det før hu i lt hr fått utbetlt 0 000 kr? OPPGAVE.46 E bedrift omsetter for 00 millioer kr i 05 og reger med å øke omsetige med 5 millioer kr per år. Fi de smlede omsetige i periode fr og med 05 til og med 04 ved å summere e rekke. OPPGAVE.47 Vis t summe v de første leddee i e ritmetisk rekke er gitt ved s + ( ) d der er det første leddet og d er differse. 7 0 Sius S kp teoridel.idd 7 05-04-0 5:3:50
BEVISET FOR FORMELEN FOR SUMMEN AV EN ARITMETISK REKKE Nå skl vi utlede e formel for summe s v de første leddee i e ritmetisk rekke. Vi viser utledige for 5. For e rekke med ledd k vi gå frm på de smme måte. Vi utytter t i + ( i ) d og får s5 + + 3 + 4 + 5 + ( + d)+ ( + d)+ ( + 3d)+ + 4d ( ) Vi k også uttrykke lle leddee med det siste leddet. d 4 5 d 3 5 3d 5 4d 5 Hvis vi begyer med det siste leddet, får vi dette uttrykket for summe: s5 5 + 4 + 3 + + + ( d)+ ( d)+ ( 3d)+ 4d 5 5 5 5 5 Vi summerer de to uttrykkee for s 5 : ( ) s5 + s5 + ( + d)+ ( + d)+ ( + 3d)+ ( + 4d) + + ( d)+ ( d )+ ( 3d)+ 4d 5 5 5 5 5 Nå løser vi opp pretesee og trekker smme leddee. s + s 5 + 5 s 5 + s 5 5 5 5 ( ) 5 5 5 5 ( + ) Hvis rekk hr ledd, får vi på tilsvrede måte t s ( + ) ( ) 8 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 8 05-04-0 5:3:5
.5 Serielå De fleste v oss må før eller seiere t opp lå til for eksempel bolig eller bil. D må vi betle reter og vdrg. Når vi betler et beløp i vdrg, blir lået redusert med det beløpet. Retee betler vi til bke ute t lået miker. Ret reger vi lltid i proset v restlået. Når vi vtler lået med bke, vtler vi også hvor mge termier vi skl h i året. Det er hvor mge gger vi skl betle rete og vdrg per år. Det vlige er t vi hr termier per år. D betler vi rete og vdrg hver måed. Me vi k også vtle fire termier eller é termi per år. De pegesumme vi betler hver termi, kller vi termibeløpet. Det er smmestt v rete og vdrg og kskje også et gebyr. Gebyret skl dekke de utgiftee som bke hr ved pegeoverførige. Vi ser bort fr gebyree her. Dermed er termibeløpet vdrg + rete Vi k også vtle med bke hvord vdrgee skl reges ut. Hvis vi velger et serielå, er lle vdrgee like store. Avdrget fier vi d ved å dividere låesumme med tllet termier i hele låeperiode. For et serielå er vdrget låesumme tllet på termier Avdrgee er dermed like store i hele låeperiode. Me retee reger vi lltid i proset v restlået. Retee miker dermed utover i låeperiode etter hvert som lået miker. Termibeløpet er d størst i begyelse og miker etter hvert som vi betler ed på lået. E fmilie låer 000 000 kr til bolig. Lået er et serielå over 0 år med é termi per år og 4 % rete. Hvert vdrg er d på 000 000 kr 00 000 kr 0 Det første året betler fmilie Avdrg 00 000 kr + Rete 000 000 kr 0,04 80 000 kr Termibeløp 80 000 kr Når de hr betlt 00 000 kr i vdrg, er restlået 000 000 kr 00 000 kr 900 000 kr 9 0 Sius S kp teoridel.idd 9 05-04-0 5:3:5
Det dre året betler de Avdrg 00 000 kr + Rete 900 000 kr 0,04 76 000 kr Termibeløp 76 000 kr Nå skl vi fie e formel for termibeløp r.. Lået blir redusert med 00 000 kr hvor hver termi. Restlået for hver termi er dermed e ritmetisk følge med differse d 00 000. Restlået i kroer like før de betler termibeløp r. er R + ( ) d 000 000 + ( ) ( 00 000) R 000 000 00 000 + 00 000 R 00 000 00 000 Ret er 4 % v restlået. Ret i termi r. er dermed 0, 04 R 0, 04 ( 00 000 00 000 ) 84 000 4000 Termibeløpet er summe v vdrg og rete. I kroer blir det T 00 000 + 84 000 4000 T 84 000 4000 Legg merke til t termibeløpee er e ritmetisk tllfølge med differse d 4000. Det siste termibeløpet blir T 0 84 000 4000 0 04 000 Det siste termibeløpet er 04 000 kr. Ettersom termibeløpee der e ritmetisk rekke, er summe v de 0 beløpee 0 ( T+ T0 ) 0 ( 80 000 + 04 000) s0 840 000 Fmilie låer 000 000 kr og betler tilbke 840 000 kr. EKSEMPEL E fmilie låer 500 000 kr med 5 % rete. Lået er et serielå med é termi per år og 5 års edbetligstid. ) Hvor store er de årlige vdrgee? b) Fi e formel for termibeløp r.. c) Fi ved regig hvor mye fmilie betler til smme i løpet v 5 år. d) Bruk CAS og fi hvor mye fmilie betler til smme i løpet v 5 år. e) Hvor mye betler de til smme i reter? 30 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 30 05-04-0 5:3:53
Løsig: ) De årlige vdrgee er 500 000 kr 00 000 kr 5 b) Restlået miker med 00 000 kr per termi. Like før termi r. er restlået i kroer R + ( ) d 500 000 + ( ) ( 00 000) R 500 000 00 000 + 00 000 R 600 000 00 000 Ret er 5 % v dette. Det er 0, 05 R 0, 05 ( 600 000 00 000 ) 30 000 5000 Termibeløpet i kroer blir T 00 000 + 30 000 5000 30 000 5000 c) Det første termibeløpet er T 30 000 5000 5 000 Det siste er T 5 30 000 5000 5 05 000 Termibeløpee er e ritmetisk rekke. Summe er 5 ( T+ T0 ) 5 ( 05 000 + 5 000) s5 45 000 Fmilie betler i lt 4 5 000 kr. d) Fr oppgve b vet vi t termibeløp r. er gitt ved 30 000 5000. Summe v de 5 termibeløpee k vi dermed fie i GeoGebr CAS på dee måte: Fmilie betler i lt 4 5 000 kr. e) Summe v lle vdrgee er lltid lik låesumme, som her er 500 000 kr. Reste v det de betler, er reter. Det er 4 5 000 kr 500 000 kr 65 000 kr 3 0 Sius S kp teoridel.idd 3 05-04-0 5:3:54
? OPPGAVE.50 Frid Ford låer 00 000 kr til bil. Lået er et serielå med 6 % rete per år og med é termi per år. Nedbetligstid er på 5 år. ) Fi termibeløpee for hvert v de 5 år. b) Hvor mye betler Frid til smme i reter på de 5 år? OPPGAVE.5 Kut hr et serielå over 0 år der vdrgee er 0 000 kr per år. H betler 3,4 % rete per år. ) Hvor stort er lået? b) Fi termibeløpee for de to første år. c) Fi e formel for termibeløp r.. d) Fi ved regig hvor mye Kut betler til smme i løpet v 0 år. e) Hvor mye betler h til smme i reter? OPPGAVE.5 E fmilie låer 00 000 kr med 3,7 % rete. Lået er et serielå med é termi per år og 30 års edbetligstid. ) Fi termibeløpee for de to første år. b) Fi e formel for termibeløp r.. c) Hvor mye betler fmilie til smme i løpet v de 30 år? d) Hvor mye betler de til smme i reter? På ettsidee fier vi regerket «Serielå», som vi k bruke til å berege serielå. EKSEMPEL Mri Mkeløs skl kjøpe e leilighet og låer 00 000 kr. Det er et serielå med 3,8 % rete med e edbetligstid på 0 år og med måedlige termier. Hvor mye må hu betle til smme i løpet v de 0 år, og hvor mye betler hu i reter? 3 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 3 05-04-0 5:3:55
Løsig: Vi legger i tllee i regerket «Serielå» og får dette resulttet: Hu betler i lt 49 900 kr. Av det er 9 900 kr rete.? OPPGAVE.53 Frid Fruktbr treger et større hus og må låe 400 000 kr. Det er et serielå med 4, % rete per år. Nedbetligstid er 5 år, og det er termier per år. ) Hvor mye må hu betle til smme på de 0 år, og hvor mye rete betler hu? b) Frid sys t dette lået blir for dyrt. Hu får et ytt tilbud fr bke med lvere rete. Nå skl hu betle til smme 083 600 kr i rete. Fi de ye retefote..6 Geometriske rekker Når vi skl summere leddee i e geometrisk følge, får vi e geometrisk rekke. I e geometrisk rekke er dermed hvert ledd lik det foregåede leddet multiplisert med e kvotiet k. Rekk 3 + 6 + + 4 + 48 + er geometrisk med kvotiet k. 33 0 Sius S kp teoridel.idd 33 05-04-0 5:3:55
Fr kpittel.3 vet vi t ledd r. i e geometrisk følge er gitt ved formele k På slutte v dette delkpittelet beviser vi dee formele for summe v de første leddee i e geometrisk rekke: L s være summe v de første leddee i e geometrisk rekke med kvotiet k. Hvis k, er s k k Hvis k, er s EKSEMPEL Fi summe v de geometriske rekk 3 + 6 + + 4 + 48 + 96 ved å bruke formele for summe. Løsig: Dette er e geometrisk rekke med seks ledd der kvotiete k. Summe er s k 6 6 6 3 3 64 363 89 k Når rekk hr så få ledd, er det eklere å summere leddee direkte. EKSEMPEL I eksempelet på side 5 fikk Heidi 00 kr i ukepeger. Beløpet skulle så økes med kr for hver uke. Me hu vr ikke forøyd med dee ordige og foreslo t hu i stedet skulle få e økig på % hver uke. Foreldree reget på hv dee ordige ville koste i de første ukee, og kom til t det vr lite forskjell på de to ordigee. De godtok derfor forslget fr Heidi. 34 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 34 05-04-0 5:3:56
) Hvor mye får Heidi i ukepeger i hver v de fire første ukee? b) Hvor mye får Heidi i ukepeger i uke r. 04 (om to år)? c) Hvor mye får hu smlet de to første år? Løsig: ) De fire første ukee får hu disse kroebeløpee: 3 00 kr 00 kr,0 0 kr 0 kr,0 04,04 kr 4 04, 04 kr,0 06, kr Smmelik med beløpee på side 5. Sys du det er rrt t foreldree gikk med på dee ordige? b) Ettersom 0,, er beløpee ledd i e geometrisk følge. Beløpet i uke r. 04 er bestemt ved k 04 04 00 kr,0 03 768,8 kr Om to år får Heidi 769 kr per uke i lommepeger. Med de gmle ordige ville hu h fått 306 kr. c) Summe v lle de 04 beløpee blir s k 04 04 0, 04 00 kr 34 09 kr k 0, Heidi får til smme 34 09 kr i lommepeger disse to år. Med de gmle ordige ville hu h fått kr (jf. side 5). 35 0 Sius S kp teoridel.idd 35 05-04-0 5:3:56
EKSEMPEL E gmmel legede forteller t sjhe v Persi ble svært begeistret d h fikk lære å spille sjkk. Læremestere kue derfor øske seg hv h ville som tkk for istse. Til sjhes forudrig øsket læremestere seg bre litt ris. H ville h ett riskor i de første rut på sjkkbrettet, to riskor i de dre, fire i de tredje, osv. Sjhe godtok dette ekle øsket. ) Hvor mge riskor blir det i de siste rut år sjkkbrettet hr 64 ruter? b) Hvor mge riskor skulle læremestere h til smme? c) Hvor mye veier lle riskoree til smme hvis ett riskor veier 0,0 g? Løsig: ) Tllet på riskor blir + + 4 + 8 + Dette er e geometrisk rekke med og k. Tllet på riskor i rute r. blir k Tllet på riskor i rute r. 64 blir 64 63 9, 0 8 b) For å fie ut hvor mge riskor det blir på brettet, må vi summere e geometrisk rekke med 64 ledd: s k 64 64 64 840, k c) Smlet veier riskoree 64 9,84 0 9 0,0 g,84 0 9 0-5 kg 3,7 0 4 kg Riskoree veier c. 370 000 000 000 to. Dette blir omtret 60 to ris til hver perso som bor på jord i dg. Sjhe v Persi fikk ssyligvis visse problemer med å oppfylle dette øsket. 36 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 36 05-04-0 5:3:57
? OPPGAVE.60 Fi summe v e geometrisk rekke med ledd år ), k og 0 b) 3, k og 0 c) 0, og 5 OPPGAVE.6 Fi summe v de geometriske rekkee ved hjelp v sumformele. ) + 3 + 9 + 7 + 8 + 43 b) 384 9 + 96 48 + 4 c) 00 + 0 + 44 + 7,8 + 07,36 d) 5 + 0 + 0 +... + 640 e) 50 + 50,05 +... + 50,05 9 OPPGAVE.6 E bedrift hr e omsetig på 00 millioer kr på ett år og hr som mål å øke omsetige med 7 % per år. ) Hvor stor blir d omsetige om ti år? b) Fi de smlede omsetige i dee tiårsperiode ved å summere e rekke. OPPGAVE.63 E bedrift slipper ut 36 to CO per år. Bedrifte får pålegg om å redusere utslippet med 5 % per år. ) Hvor stort blir d det årlige utslippet om 0 år? b) Fi det smlede utslippet i periode ved å summere e rekke. EKSEMPEL Mri setter 0 000 kr i bke hvert år. Hu får 3 % rete per år. ) Fi ved regig hvor mye Mri hr i bke like etter det tolvte iskuddet. Hvor mye rete hr Mri fått? b) Fi digitlt hvor mye Mri hr i bke like etter det tolvte iskuddet. c) Hvor mye hr Mri i bke like før hu setter i det 4. beløpet? d) Hvor mge år går det før Mri hr 00 000 kr i bke? 37 0 Sius S kp teoridel.idd 37 05-04-0 5:3:57
Løsig: ) Like etter t det tolvte beløpet er betlt i, hr Mri ikke fått oe rete på det beløpet, så det er fortstt 0 000 kr. Det est siste beløpet hr stått i bke i ett år og hr vokst til 0 000 kr,03. Det tredje siste beløpet hr stått i bke i to år og er blitt til 0 000 kr,03. Slik k vi fortsette. Det første beløpet hr stått i bke i år og hr vokst til 0 000 kr,03. Til smme blir dette 0 000 kr + 0 000 kr,03 + 0 000 kr,03 + + 0 000 kr,03 Dette er e geometrisk rekke med tolv ledd og kvotiet k 03,. Det første leddet er 0 000 kr. Summe er s k 03, 0 000 kr 4 90 kr k 03, Mri hr betlt 0 000 kr i tolv år. Til smme er det 0 000 kr 0 000 kr Reste v beløpet er rete. Retee er 4 90 kr 0 000 kr 90 kr b) I GeoGebr CAS k vi løse oppgve slik: Mri hr 4 90 kr i bke etter år. c) Vi reger først ut hvor mye hu hr i bke like etter det 3. iskuddet. Det k vi ete gjøre ved regig slik vi gjorde det i oppgve, eller så k vi fie beløpet digitlt som vist her: Hu hr 56 77,90 kr i bke like etter hu stte i det 3. beløpet. Like før hu setter i det 4. beløpet, hr dette beløpet stått ett år i bke og hr vokst til 56 77,90 kr,03 60 863 kr d) L x være tllet år til beløpet er 00 000 kr. Vi løser dee likige i GeoGebr CAS: Beløpet psserer 00 000 kr etter 6 år. 38 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 38 05-04-0 5:3:58
? OPPGAVE.64 Otto setter i 30 000 kr på e sprekoto i begyelse v hvert år. Ret er 3 % per år. ) Fi ved regig hvor mye peger Otto hr på kotoe like etter t h stte i det 6. beløpet. b) Fi digitlt hvor mye peger Otto hr på kotoe like etter t h stte i det 0. beløpet. c) Når hr Otto 500 000 kr på kotoe? OPPGAVE.65 Kri begyte å spre. jur 05. Hu setter 500 kr i bke de første dge i hver måed. Hu får 0, % rete per måed. ) Fi ved regig hvor mye hu hdde i bke like etter iskuddet de. jur 06. b) Fi digitlt hvor mye hu hr i bke på yttårsfte 09. c) Fi digitlt og ved regig hvor lg tid det går før hu hr 00 000 kr i bke. På ettsidee til Sius fier du regerket «Sprig», som du k bruke til å løse oppgvee i eksempelet på side 37. Vi fyller ut regerket på dee måte:? OPPGAVE.66 Løs oppgve.64 ved hjelp v regerket «Sprig». 39 0 Sius S kp teoridel.idd 39 05-04-0 5:3:58
BEVIS FOR FORMELEN FOR SUMMEN AV EN GEOMETRISK REKKE Nå skl vi utlede e formel for summe s v de første leddee i e geometrisk rekke. Vi viser utledige for 5. For e vilkårlig k vi gå frm på de smme måte. Vi utytter t i e geometrisk rekke i er k, og får i s + + + + 5 3 4 5 3 4 + k + k + k + k 3 + k + k + k + k 4 L oss å fie summe ( ) t + k + k + k + k 5 3 4 Vi multipliserer t 5 med k og får Det gir 3 4 ( ) k t k + k + k + k + k 5 k t k + k + k + k + k 5 3 4 5 k t t k + k + k + k + k + k + k + k + k 5 5 3 4 5 ( k ) t5 k + k + k + k + k k k k k 5 ( k ) t k Dersom k, blir t 5 5 5 k k ( ) 3 4 5 3 4 Ettersom s5 t5, får vi dee formele: s k 5 5 k Hvis k, blir lle leddee lik. Det gir s + + + + 5 5 Vi får tilsvrede formler hvis rekk hr ledd. 3 4 Hvis rekk hr ledd, går vi frm på tilsvrede måte og viser t s k k år k, og s, år k. 40 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 40 05-04-0 5:3:00
.7 Nåverdi og vbetlig Du skylder e perso 5000 kr. Beløpet skl betles tilbke om 3 år. For å være helt sikker på t du klrer å betle dette, setter du et beløp x i bke i dg slik t beløpet om 3 år er blitt til 5000 kr. Du får 5 % rete per år. Beløpet x fier du d ved hjelp v dee likige: x,05 3 5000 kr 5000 kr x 439 kr 3,05 Hvis du setter 439 kr i bke i dg, hr beløpet vokst til 5000 kr om 3 år hvis ret er 5 % per år. Beløpet 439 kr kller vi åverdie til 5000 kr om 3 år år klkulsjosret er 5 % per år. Nåverdie N til et beløp B som du skl betle om perioder, er N B f der f er vekstfktore til klkulsjosret per periode. EKSEMPEL E ve skylder deg 50 000 kr. H skl betle deg tilbke disse pegee om 5 år. Hv er åverdie v beløpet år klkulsjosret er 6 % per år? Løsig: Nåverdie er 50 000 kr 37 363 kr 5 06,? OPPGAVE.70 Reg med 5 % klkulsjosrete og fi åverdie v 8000 kr år du får utbetlt beløpet om ) 5 år b) 0 år c) 5 år Når vi hdler på vbetlig, betler vi et fst beløp hver måed i stedet for å betle vre kott. Når vi skl vurdere hvor dyrt det er å hdle på vbetlig, må vi rege ut hvilket beløp vi må sette i bke i dg for t beløpet skl dekke lle ibetligee. Vi reger d ut åverdie for hvert beløp og summerer. 4 0 Sius S kp teoridel.idd 4 05-04-0 5:3:0
EKSEMPEL Helee skl kjøpe e dtmski. Hu k velge mellom å betle 3 000 kr kott eller 400 kr per måed i 3 år. Det første beløpet skl betles om måed. ) Fi ved regig summe v åverdiee for lle vbetligsbeløpee år hu reger med 0,5 % rete per måed. b) Fi summe v åverdiee digitlt. c) Bør Helee velge vbetlig eller kott betlig? Løsig: ) Når Helee skl betle et beløp hver måed i 3 år, blir det i lt 3 36 beløp. Når de måedlige ret er 0,5 %, er vekstfktore,005. Det første beløpet skl hu betle om måed. Nåverdie er 400 kr,005 Det dre beløpet skl hu betle om måeder. Nåverdie er 400 kr,005 Slik k vi fortsette. Det siste beløpet skl hu betle om 36 måeder. Nåverdie er 400 kr,005 36 Summe v lle åverdiee er 400 kr,005 400 kr 400 kr 400 kr + + +... +,005,005 3,005 36 Dette er e geometrisk rekke med 36 ledd og kvotiet k,005. 400 kr Det første leddet er. Summe er,005 s k 36 400 kr 36 k, 005 36 005, 3 48 kr, 005 b) I GeoGebr CAS k vi summere lle åverdiee slik: Summe v åverdiee er 3 48 kr. 4 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 4 05-04-0 5:3:0
c) Nåverdie v lle vbetligsbeløpee er 3 48 kr. Helee må sette 3 48 kr i bke hvis hu skl betle lle vbetligsbeløpee ved hjelp v disse pegee. Det er mer e 3 000 kr. Helee bør velge kott betlig. Hvis Helee hdde reget med høyere rete, ville koklusjoe h blitt e e. Hvis ikke Helee hr 3 000 kr til disposisjo i dg, vil hu ok velge vbetlig selv om det ikke løer seg.? OPPGAVE.7 Odd skl kjøpe seg ytt hus. H får vlget mellom å betle,0 millioer kroer kott eller å betle 40 000 kr per år i år. Det første beløpet skl betles om ett år. Odd reger med 5 % rete per år. ) Hv er åverdie v det første beløpet? b) Fi summe v lle åverdiee ved regig. c) Fi summe digitlt. d) Hvilket ltertiv bør Odd velge? OPPGAVE.7 Ae skl kjøpe seg ytt fjersy. Hu får vlget mellom å betle 8000 kr kott eller å betle 350 kr per måed i 4 måeder. Det første vdrget skl betles om måed. Hu reger med 6 % rete per år. ) Fi åverdie v det første beløpet. b) Fi summe v lle åverdiee ved regig. c) Fi summe digitlt. d) Bør Ae velge vbetlig eller kott betlig?.8 Auitetslå I kpittel.5 lærte vi om serielå. D vr lle vdrgee like store. Termibeløpee vr store i begyelse og miket etter hvert som restlået ble midre. Når vi tr opp et uitetslå, blir vdrgee bestemt slik t lle termibeløpee blir like store. Ettersom er vdrget + retee termibeløpet vdrget termibeløpet retee De første år er restlået stort, og d betler vi mye reter. Avdrgee blir dermed små i begyelse og vokser etter hvert. Mge velger uitetslå i stedet for serielå for å ugå de store termibeløpee de første år. 43 0 Sius S kp teoridel.idd 43 05-04-0 5:3:0
EKSEMPEL E fmilie skl kjøpe bil og tr opp et uitetslå på 50 000 kr med 5 % rete per år. Lået skl betles ed over 5 år med é termi per år. Termibeløpet er på 57 744 kr. Hvor mye betler fmilie i reter og vdrg i hvert v de fem år? Løsig: Det første året: Reter: 50 000 kr 0,05 500 kr Avdrg: 57 744 kr 500 kr 45 44 kr Restlå: 50 000 kr 45 44 kr 04 756 kr Det dre året: Reter: 04 756 kr 0,05 0 38 kr Avdrg: 57 744 kr 0 38 kr 47 506 kr Restlå: 04 756 kr 47 506 kr 57 50 kr Det tredje året: Reter: 57 50 kr 0,05 7863 kr Avdrg: 57 744 kr 7863 kr 49 88 kr Restlå: 57 50 kr 49 88 kr 07 369 kr Det fjerde året: Reter: 07 369 kr 0,05 5368 kr Avdrg: 57 744 kr 5368 kr 5 376 kr Restlå: 07 369 kr 5 376 kr 54 993 kr I de siste termie betler vi lltid restlået. På gru v vrudig termibeløpet bli et et i siste termi. Avdrg: 54 993 kr? OPPGAVE.80 Hege låer 80 000 kr for å kjøpe bil. Hu får et uitetslå med tre årlige ibetliger og 6 % rete per år. Termibeløpet er 67 340 kr. ) Hvor mye betler hu i reter og i vdrg i hvert v disse tre år? b) Hvor mye betler hu til smme? 44 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 44 05-04-0 5:3:03
Når bke skl fie termibeløpet for et uitetslå, gjør de det på e slik måte t summe v åverdie til lle termibeløpee blir lik låebeløpet. For et uitetslå er summe v åverdie til termibeløpee lik låebeløpet. Vi tr opp et uitetslå i bke. Ret er 4 % per år, og termibeløpet er 47 949 kr per år i 0 år. Vi skl fie hvor stort lået er. Det første beløpet betler vi om ett år. Nåverdie i kroer er 47 949 04, Det dre beløpet betler vi om to år. Nåverdie er 47 949 04, Det tredje beløpet betler vi om tre år. Nåverdie er 47 949 04, 3 Slik k vi fortsette. Det siste beløpet betler vi om ti år. Nåverdie er 47 949 04, 0 Summe v åverdiee blir 47 949 47 949 47 949 47 949 + + +... + 3 0 04, 04, 04, 04, Dette er e geometrisk rekke der det første leddet er 47 949 04, og kvotiete er k 04, Summe v de ti leddee er s k 0 04 47 949 0, 99 999 k 04, 04, 0 45 0 Sius S kp teoridel.idd 45 05-04-0 5:3:03
Ettersom summe v åverdiee er lik låebeløpet, skullet låebeløpet være på 99 999 kr. Vi k d t t lået vr på, millioer kroer. I GeoGebr CAS fier vi låebeløpet slik: Ovefor det åverdiee v termibeløpee e geometrisk rekke. Det gjelder for lle uitetslå. Ved et uitetslå der åverdiee v termibeløpee e geometrisk rekke der det første leddet er T f og kvotiete er k f der T er termibeløpet og f er vekstfktore til ret per termi. EKSEMPEL For et uitetslå med 4,5 % rete per år betler Mrti 39 67 kr per år i 5 år. ) Fi ved regig hvor stort lået vr. b) Fi digitlt hvor stort lået vr. Løsig: ) Nåverdiee er ledd i e geometrisk rekke der det første leddet er 39 67 kr, 045 Kvotiete er k, 045 46 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 46 05-04-0 5:3:03
Summe v de 5 åverdiee er s k 5 045 39 67 kr 5, k 045,, 045 5 500 003 kr Dette er låebeløpet ettersom det er lik summe v åverdiee. På gru v vrudig i termibeløpet er ok summe 3 kr for høy. Lået vr på 500 000 kr. b) I GeoGebr CAS fier vi summe slik: Lået vr på 500 000 kr. EKSEMPEL E fmilie låer 500 000 kr med 5 % rete per år. Lået er et uitetslå med é termi per år og 5 års edbetligstid. Jmfør eksempelet med serielå på side 30 3. ) Fi termibeløpee ved regig. b) Fi termibeløpee digitlt. c) Hvor mye betler fmilie til smme i løpet v 5 år? Løsig: ) L T være termibeløpet. Nåverdiee der d e geometrisk rekke med T 05, og kvotiet k. Summe v åverdiee blir 05, s k 5 T 05 5, k 05, 05, T 5 05, T 5 05, 05, 005, 5 Dee summe skl være lik låebeløpet, som er 500 000 kr. Det gir likige på este side. 47 0 Sius S kp teoridel.idd 47 05-04-0 5:3:04
T 5 05, 500 000 kr 005, T 0, 05 500 000 kr 77 38 kr 5 0, 5 b) I GeoGebr CAS fier vi termibeløpet slik: Termibeløpet er 77 38 kr. c) Fmilie betler 5 slike termibeløp. Det blir 77 38 kr 5 4 434 55 kr Hvis de hdde vlgt et serielå, ville de h betlt 4 5 000 kr til smme. Me vi k ikke smmelike disse tllee direkte. Når vi skl fie ut hvilket lå som er billigst, må vi smmelike summe v åverdie til lle termibeløpee.? OPPGAVE.8 Kut hr et uitetslå der h skl betle 99 040 kr per år i 0 år. H betler 4,4 % rete per år. Hvor stort er lået? OPPGAVE.8 E fmilie låer 00 000 kr med 3,7 % rete per år. Lået er et uitetslå med é termi per år og 30 års edbetligstid. ) Fi termibeløpee ved regig. b) Fi termibeløpee digitlt. c) Hvor mye betler fmilie til smme i løpet v de 30 år? OPPGAVE.83 Frid Ford låer 00 000 kr til bil. Lået er et uitetslå med 6 % rete per år og med é termi per år. Nedbetligstid er på 5 år. ) Fi termibeløpee. b) Hvor mye betler Frid til smme i løpet v de 5 år? 48 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 48 05-04-0 5:3:05
På ettsidee fier vi regerket «Auitetslå» som vi k bruke til å berege uitetslå. EKSEMPEL Mri Mkeløs skl kjøpe e leilighet og låer 00 000 kr. Det er et uitetslå med 3,8 % rete per år med e edbetligstid på 0 år og med måedlige termier. Fi termibeløpet og hvor mye hu betler til smme i rete. Løsig: Vi skriver i tllee i regerket «Auitetslå». Utklippee edefor viser de første og de siste termiee. Termibeløpet er 999 kr. Hu betler i lt 39 889 kr i reter.? OPPGAVE.84 Frid Fruktbr treger større hus og må låe 400 000 kr. Det er et uitetslå med 4, % rete per år. Nedbetligstid er 5 år, og lået hr termier per år. ) Fi termibeløpee og hvor mye hu betler i reter til smme. b) Frid sys t dette lået er for dyrt. Hu får et ytt tilbud fr bke med lvere rete. Hu må betle 3 573 900 kr for det ye lået. Fi de ye retefote. 49 0 Sius S kp teoridel.idd 49 05-04-0 5:3:05
.9 Uedelige rekker? OPPGAVE.90 Vi hr gitt de uedelige rekk + 4 + 8 + 6 +... Fi digitlt summe v de 0 første, de 0 første og de 00 første leddee. Hv ser du? I oppgve.90 ft du sikkert ut t de uedelige rekk + 4 + 8 + 6 +... ser ut til å h e edelig sum. Det k vi også vise ved regig. Vi ser på summe v de første leddee: s 3 s 4 4 4 + 7 s3 4 8 8 + + 3 8 5 4 8 6 6 6 s4 + + + 4 Det ser ut som summe s v de første leddee k være gitt ved formele s Stemmer det for lle? Rekk er geometrisk med kvotiete k og med det første leddet. Summe v de første leddee blir 50 Sius S > Følger og rekker s k k Dermed hr vi vist t s for lle. Hvis vi lr tllet på ledd gå mot uedelig, går mot ull. D går summe s mot. 0 Sius S kp teoridel.idd 50 05-04-0 5:3:06
Dette skriver vi med symboler på dee måte: s år Symbolet leser vi uedelig. Det er ikke oe tll. Vi skriver år vi meer t vokser over lle greser. Vi hr å vist t summe v de første leddee i rekk + 4 + 8 + 6 +... ærmer seg år. Vi sier t rekk kovergerer og hr summe s. E uedelig rekke kovergerer og hr summe s hvis summe s v de første leddee ærmer seg tllet s år. Hvis summe s v de første leddee ikke ærmer seg oe bestemt tll år, sier vi t rekk divergerer.? OPPGAVE.9 Fi et uttrykk for summe s v de første leddee i hver rekke. Avgjør om rekkee kovergerer, og fi evetuelt summe v de uedelige rekkee. ) 65 + 5 + 5 + 5 + b) + 5 + 8 + + c) 00 + 00, + 00, + d) 00 + 00 0,9 + 00 0,9 + Nå skl vi studere de uedelige geometriske rekk 3 + k + k + k +... Vi øsker å fie ut år rekk kovergerer. Hvis 0, er lle leddee i rekk lik ull. Rekk kovergerer og hr summe 0. Vi forutsetter heretter t 0. Hvis k, er summe v ledd gitt ved s k k Hvis k > eller k < vil bsoluttverdie v k vokse over lle greser år. Dermed vil bsoluttverdie v s vokse over lle greser. Rekk divergerer. 5 0 Sius S kp teoridel.idd 5 05-04-0 5:3:07
Hvis k, er lle de leddee lik. Summe blir s, og d vil bsoluttverdie v s vokse over lle greser år. Rekk divergerer. Hvis k, blir rekk + +... Summe s veksler mellom tllee 0 og lt etter om er et prtll eller et oddetll. Summe ærmer seg ikke oe fst tll, og rekk divergerer. Dersom < k <, vil k 0 år. Rekk kovergerer fordi s k k 0 k k k k Summe er s. k E uedelig geometrisk rekke med første ledd 0 er koverget hvis og bre hvis kvotiete k,. Rekk hr d summe s k EKSEMPEL ) Udersøk om de uedelige geometriske rekkee kovergerer, og fi evetuelt summe. ) 54 8 + 6 +... ) 7 9 64 + 3 6 + 4 + +... b) Bruk et digitlt hjelpemiddel til å løse oppgve. Løsig: ) ) Vi vet t rekk er geometrisk. Kvotiete k er k 8 54 3 Rekk kovergerer fordi k,. Summe v rekk er 54 54 54 3 6 s k 4 4 3 3 3 3 4 8 5 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 5 05-04-0 5:3:09
) Kvotiete k er 9 k 6 7 64 4 9 6 64 9 4 7 64 64 7 Rekk divergerer (kovergerer ikke) fordi k ikke er et tll mellom og. b) ) Ledd r. i rekk er k 54 3 I GeoGebr CAS fier vi summe v de uedelige rekk slik: 4 3 Symbolet fier vi ved å klikke på α til høyre i CAS-feltet. Summe er 8. ) I de dre rekk er ledd r. gitt ved 7 k 4 64 3 Vi prøver å fie summe v de uedelige rekk i GeoGebr CAS. Rekk divergerer. EKSEMPEL De greske filosofe Zeo, som levde rudt 500 f.kr., l frm et problem som seiere er blitt kjet som Zeos prdoks. Zeo fortlte om Akilles, de rskeste me i Hells på de tid, som skulle løpe om kpp med ei skilpdde. Akilles kue løpe 00 m like fort som skilpdd løp 0 m. Skilpdd fikk derfor et forsprg på 00 m. 53 0 Sius S kp teoridel.idd 53 05-04-0 5:3:0
D Akilles kom til det puktet skilpdd hdde strtet fr, vr skilpdd 0 m for hm. D Akilles kom dit, vr skilpdd på et pukt m for hm. Akilles løp videre, me skilpdd vr ed 0, m for hm d h ådde dette puktet. Slik kue Zeo fortsette resoemetet i det uedelige, og Zeo kokluderte med t Akilles ldri ville t igje skilpdd. For grekere vr dette et stort problem. Erfrige viste jo t Akilles tok igje skilpdd. Me tke kom til motstt koklusjo. Skulle e tro på tke eller på erfrige? På de tid mete emlig grekere t det vr tke som formidlet shete. Erfrige bestod v illusjoer. Hv er glt med Zeos resoemet? Løsig: Hvis vi summerer de vstdee som Akilles løp, får vi 00 m + 0 m + m + 0, m + Dette er e uedelig geometrisk rekke med 00 m og kvotiet k 0,. Summe v rekk blir s k 00 m 00 0, 09, m 000 9 m 9 m Akilles tr igje skilpdd etter m. Summe v uedelig mge 9 legder blir e edelig legde. Det vr utekelig for grekere. De trodde t det eksisterte e miste og udelelig legde (tomteorie). Med e slik miste legde k ikke summe v uedelig mge legder bli edelig.? OPPGAVE.9 Avgjør ved regig om de geometriske rekkee kovergerer, og fi evetuelt summe v rekkee. ) 00 + 50 + 5 + b) +,5 +,5 + c) 0 9 + 8, 7,9 + d) 0 +, 3,3 + 54 OPPGAVE.93 D Heidi ble født, ble det vtlt t hu skulle få et fst pegebeløp hver måed hele livet. De første måede skulle hu få 000 kr. Deretter skulle beløpet mike med % per måed. ) Hvor stort er det. beløpet? b) Hvor mye peger får Heidi det første året? c) Hvor mye peger får Heidi til smme? d) Hv ville du h svrt på oppgve c hvis beløpet hdde økt med % per måed i stedet? Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 54 05-04-0 5:3:
? OPPGAVE.94 ) Fi summe v de uedelige geometriske rekk digitlt og ved regig + 4 + 8 + 6 +... b) I kvdrtet edefor hr sidekte legde. 4 64 6 3 8 Vi deler kvdrtet i to like store deler som vist ovefor. Hver del får relet. De ee v de to delee deler vi i to like deler. Hver v de to delee får d relet. Slik fortsetter vi. 4 Bruk figure til å fie summe v de uedelige rekk i oppgve. OPPGAVE.95 ) Fi summe v rekk digitlt og ved regig. 4 + 6 + 64 + 56 +... b) Hvord k du fie summe ut fr dee figure? 55 0 Sius S kp teoridel.idd 55 05-04-0 5:3:
SAMMENDRAG Tllfølge (følge) E tllfølge er e serie v tll i e bestemt rekkefølge.,,,... 3 Hvert tll i følge blir klt et ledd. Rekke Vi får e rekke år vi summerer leddee i e tllfølge. E rekke er dermed et uttrykk v type + + 3 +... Tllee i rekk kller vi ledd. I e uedelig rekke er det uedelig mge ledd. Summe v e edelig rekke Det tllet vi får år vi summerer leddee i e edelig rekke, kller vi summe v rekk. s + + + + 3... Aritmetisk følge I e ritmetisk følge er det e fst differse d mellom et ledd og leddet for. Ledd r. fier vi med formele + ( ) d Aritmetisk rekke I e ritmetisk rekke der leddee e ritmetisk følge. Summe s v de første leddee er gitt ved formele s ( + ) Geometrisk følge I e geometrisk følge fis det et tll k slik t hvert ledd er lik det foregåede leddet multiplisert med tllet k. Ledd r. fier vi med formele k 56 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 56 05-04-0 5:3:
Geometrisk rekke I e geometrisk rekke der leddee e geometrisk følge. Dersom kvotiete k, er summe s v de første leddee gitt ved formele s k k Dersom k, er summe s. Koverget rekke E uedelig rekke kovergerer og hr summe s dersom summe s v de første leddee ærmer seg tllet s år går mot uedelig. Diverget rekke E uedelig rekke divergerer hvis de ikke kovergerer. Uedelig geometrisk rekke E uedelig geometrisk rekke kovergerer dersom kvotiete k,. Summe s v rekk blir d s k Nåverdi Nåverdie v et beløp B som skl betles om perioder, er B, der f er f vekstfktore til klkulsjosret per periode. Serielå For et serielå er lle vdrgee like store. Dermed er vdrget låesumme tllet på termier Auitetslå For et uitetslå er lle termibeløpee like store. Nåverdie v termibeløpee der e geometrisk rekke der det første leddet er T og f kvotiete er k. Her er T termibeløpet og f vekstfktore til ret f per termi. Summe v åverdiee er lik låebeløpet. 57 0 Sius S kp teoridel.idd 57 05-04-0 5:3:3