Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Læreplanmål Matematikk S1 lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi tegne grafen til polynomfunksjoner, (både) med (og uten) digitale hjelpemidler finne tilnærmingsverdier for momentan vekst i praktiske anvendelser regne ut den deriverte til funksjoner og bruke den til å drøfte polynomfunksjoner. Konkretisering av målene NYTT å finne grensekostnaden ved å derivere kostnadsfunksjonen at grensekostnaden forteller hva det koster å øke produksjonstallet med én enhet å finne grensekostnaden ved å derivere inntektsfunksjonen at grenseinntekten forteller hvor mye inntekten øker dersom vi øker salgstallet med én enhet at overskuddet er størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden REPETISJON Kostnads- og inntektsfunksjoner Overskuddet O(x)=I(x)-K(x) Enhetskostnader og marginalkostnader Momentan vekst og derivasjon Bruk av GeoGebra GeoGebra er godt egnet fordi fokuset her ikke er på regning eller tegning av grafer uten digitale hjelpemidler. Dermed blir det mer tid til å forstå grensekostnader og grenseinntekter som de deriverte til de respektive funksjonene. Så fokuset ligger mer i retning å forstå, tolke og analysere. Grafene blir store, klare og tydelige med bruk av projektor framfor krittavle/whiteboard Ved å zoome inn ser vi at stigningen i punktet {x,(f(x)} er lik den deriverte til funksjonen i punktet {x,(f(x)}. Vi ser også at tangenten i punktet {x,(f(x)} er en god tilnærming til funksjonen i nærheten av tangentpunktet. Ved å bruke en glider går det an å vise hvordan grenseinntektene og grensekostnadene endrer seg når antall produserte databord endrer seg. Ved å vise begge tangentene samtidig kan man se at overskuddet er størst når tangentene har samme stigning. Bruk av animasjon gjør det enda bedre. 10.10.13 Ola Lie Side 1 av 6
2. Beskrivelse av undervisningsopplegget Case En databedrift produserer databord i tre. Kostnadsfunksjonen er gitt ved K(x) = 0,2x 2 + 200x + 25000. Inntektsfunksjonen er gitt ved I(x) = 0,3x 2 + 500x. Hvor mange databord skal bedriften produsere for å få størst overskudd? Modellen Vi har tidligere vært gjennom bakgrunnen for å bruke kostnad- og inntektsfunksjoner av annen grad: For kostnadsfunksjonen o Konstantleddet utgjør faste kostnader o Førstegradsleddet er typisk direkte lønn og materialforbruk per enhet o Annengradsleddet er først viktig når produksjonen er stor, eksempelvis overtid For inntekstfunksjonen o Førstegradsleddet er salgsprisen per enhet o Annengradsleddet er først viktig når salget er stort, eksempelvis kvantumsrabatt Positivt resultat (overskudd) Vi har tidligere brukt formelen O(x) = I(x) K(x) for overskuddet og løst ulikheten O(x) > 0 ved regning. Her ville det blitt: O(x) = I(x) K(x) = [ 0,3x 2 + 500x] [0,2x 2 + 200x + 25000] > 0 0,3x 2 + 500x 0,2x 2 200x 25000 = 0,5x 2 + 300x 25000 > 0 x = 300 ± 3002 4 ( 0.5) ( 25000) 2 ( 0.5) gir x = 100 eller x = 500 ( 0.5)(x 100)(x 500) > 0 gir fortegnslinjene som vist på neste side Vi ser at resultatet er positivt (overskudd) når produksjon er mellom 100 og 500 databord. Her får elevene en elektronisk kopi av teksten ovenfor, men jeg beskriver kun framgangsmåten og gjennomfører ikke utregningen. I GeoGebra legger vi inn funksjonene med kommandoene K(x)=Funksjon[0.2x²+200x+25000,0,600] I(x)=Funksjon[-0.3x²+500x,0,600] 10.10.13 Ola Lie Side 2 av 6
og stiller inn aksene til vi ser grafene som vist til høyre. Så velger vi Skjæring mellom to objekt, klikker på skjæringspunktetene til inntekts- og kostnadsfunksjonene og leser av x-verdiene i de to punktene. Vi har overskudd når inntekstfunksjonen ligger over kostnadsfunksjonen. Igjen ser vi at det blir et positivt resultat når produksjonen ligger mellom 100 og 500 databord. Marginalkostnad Vi har tidligere lært at kostnaden for én ekstra enhet kalles marginalkostnaden. Vi finner marginalkostnaden ved å regne ut kostnadsøkningen dersom x øker med 1 ut fra det nivået vi har. Eksempelvis kan vi finne marginalkostnaden til bord nr 201 ved å skrive inn mk201=k(201)-k(200). mk201=280.2 vises da i Algebrafeltet. Grensekostnad og grenseinntekt Hvis vi regner ut den deriverte til kostnadsfunksjonen når x=200, får vi en god tilnærming til marginalkostnaden: K (x) = 0.4x + 200 så K (200) = 0.4 200 + 200 = 280. Alternativt kunne vi latt GeoGebra gjøre jobben: dk200=k'(200) som gir samme resultat i Algebrafeltet: dk200=280. Vi kan nå se på stigningen til kostnadsfunksjonen når x=200. Vi lager et punkt med kommandoen P=Punkt[{200,K(200)}]. Deretter velger Tangenter fra verktøylinja, så Stigning og avslutter med å zoome inn. Den momentane vekstfarten akkurat når x=200, er stigningstallet til tangenten i P. Den kalles den deriverte av x=200, og vi skriver K (200). Vi kan legge merke til to ting: Stigningen til tangenten er lik den deriverte i punktet P Tangenten er en god tilnærming til kostnadsfunksjonen i nærheten av punktet P 10.10.13 Ola Lie Side 3 av 6
Når kostnaden er K(x), er grensekostnaden K'(x). Den viser hvor mye det koster å øke produksjonen med én enhet. Tilsvarende, når inntekten er I(x), er grenseinntekten I'(x). Den viser hvor mye inntekten øker når salget øker med én enhet. gi=i'(200) gir grenseinntekten kr 380/bord når produksjonen er 200 bord. Bord 201 koster altså kr 280 å produsere samtidig som det selges for kr 380. Bedriften vil tjene kr 100 mer på å øke produksjonen fra 200 til 2001. Størst overskudd Se på animasjonen! Hva kan du si om grensekostnaden og grenseinntekten når det er størst overskudd? Når grenseinntekten er større (tangenten er brattere) enn grensekostnaden, lønner det seg å øke produksjonen. En ekstra enhet gir et positivt bidrag til overskuddet. Når grensekostnaden har blitt større enn grenseinntekten medfører en ekstra enhet et negativt bidrag til overskuddet. Når det er størst overskudd, er grensekostnaden lik grenseinntekten. I (x) = K (x) 0,6x + 500 = 0,4x + 200 x = 300 Vi ser at når produksjonen x=300, er tangentene parallelle. Overskuddsfunksjonen Alternativt kan vi definere overskuddsfunksjonen O(x)=Funksjon[I(x)-K(x),0,600]. Deretter skriver vi inn kommandoen Nullpunkt[O(x)]. 10.10.13 Ola Lie Side 4 av 6
Enda en gang ser vi at det blir et positivt resultat når produksjonen ligger mellom 100 og 500 databord. Størst overskudd har vi i toppunktet: Ekstremalpunkt[O(x)]. Da er O'(x)=0 og tangenten ligger vannrett: I toppunktet er O'(x)=0, Siden O(x)=I(x)-K(x) er O'(x)=I'(x)-K'(x). Dersom O'(x)=0, må I'(x)-K'(x)=0 som er det samme som I'(x)=K'(x), altså grenseinntekt lik grensekostnad. Enhetskostnader Vi har tidligere lært om enhetskostnader. UTFORDRINGER: Kostnadene for x enheter er K(x). Da er enhetskostnaden E(x) = K(x) x. E(x) = 0.2x2 + 200x + 25000 x Lavest enhetskostnader har vi når E (x) = 0. = 0.2x + 200 + 25000 x E (x) = 0.2 25000 x 2 og 0.2 25000 x 2 = 0 gir x 353.55 Ved er produksjon på 354 enheter er E(354) 341 den laveste enhetskostnaden, salgsinntekten er I(354) = 139 405 og resultatet er O(354) = 18 542. 10.10.13 Ola Lie Side 5 av 6
Ved en produksjon på 300 enheter har vi E(300) 343, som er en høyere enhetskostnad, samtidig som salgsinntekten I(300) = 123 00 er lavere. Likevel er resultatet bedre ved en produksjon på 300 framfor 354 databord: O(300) = 20 000 > O(354) = 18 542 FORKLAR HVORFOR! (PS Det gjelder også dersom salgsinntekten hadde vært lineær.) Grafen til grensekostnaden, K', skjærer grafen til enhetskostnaden, E, i bunnpunktet til enhetskostnaden. Se figuren nedenfor. FORKLAR HVORFOR! Oppsummering Grensekostnaden er det samme som den momentane veksten eller den deriverte til kostnadsfunksjonen. Grenseinntekten er det samme som den momentane veksten eller den deriverte til inntektsfunksjonen. Vi får størst overskudd når grensekostnaden er lik grenseinntekten. 10.10.13 Ola Lie Side 6 av 6