Tall og algera Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Tall og algera i Sirkel oppgaveok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a En pakke skinke holder til åtte horn. Sju pakker holder til 56 horn, og åtte pakker holder til 64 horn. Det trengs åtte pakker, og da er det 1 hg igjen i siste pakke. Antall hektogram skinke: 8 hg = 16 hg En pakke ost holder til 0 horn. Tre pakker holder til 60 horn. Antall gram ost: 3 550 g = 1650g Samlet pris for horn og pålegg: 60 3 kr + 8 9,90 kr + 3 6,50 kr = 606,70 kr Innkjøpspris for ett horn med pålegg: 606,70 kr = 10,11 kr 60 d En avanse på 50 % gir vekstfaktor på 1,5 (100 % + 50 % = 150 % = 1,5). Vi regner ikke med merverdiavgift i denne oppgaven. Pris for ett horn med pålegg i kantina: 1,5 10,11 kr = 15,17 kr 15,00 kr Oppgave. Bakerens avanse i kroner: 5 kr 10,11 kr = 14,89 kr Avansen i prosent: 14, 89 = 1, 473 147,3 % 150 % 10, 11 Oppgave.3 50 a Vaffelmiks: poser =,8 poser 3 poser 18 50 Syltetøy: glass = 1,7 glass glass 30 1
Tall og algera Del Regnearket lir slik: Forklaring: Tallene i C og B3 kan yttes ut. Formelen i C3 tar innkjøpsprisen fra C og dividerer med 100 for å finne en prosent. Deretter multipliseres dette med tallet i B3 for å finne for eksempel 50 %. Formelen i C4 legger sammen innkjøpsprisen og avansen. Oppgave.4 5 fruktokser veier: 5 0,3 kg = 7,5 kg Av hver type frukt lir det: 7,5 kg : 3 =,5 kg Oppgave.5 a Taellen lir slik: Naturlige tall Utregning Sum 1 1 1 1 + 3 3 1 + + 3 6 4 1 + + 3 + 4 10 5 1 + + 3 + 4 + 5 15 6 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 1 7 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 8 8 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 36 9 1 + + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 45 10 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 55 Gauss tenkte slik: Summen av første og siste tall = summen av andre og nest siste tall = summen av tredje og tredje siste tall osv.: 100 + 1 = 101, 99 + = 101, 98 + 3 = 101 osv. Summene er en mer enn siste tall. Antallet summer er halvparten av antall tall, for vi adderer to og to tall. Generell formel lir da: n ( n 1)
Tall og algera Del Oppgave.6 a Lager en taell for å se etter mønster: Antall oddetall 1 1 1 + 3 = 4 Sum 3 1 + 3 + 5 = 9 4 1 + 3 + 5 + 7 = 16 5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 Summene i høyre kolonne er kvadrattall. Summen av 3 oddetall er kvadrattall nummer 3 som er 9, og summen av 4 oddetall er kvadrattall nummer 4 som er 16. Summen av n oddetall er kvadrattall nummer n, alts å n. Lager en taell for å se etter mønster: Antall partall Sum Sum skrevet som produkt 1 1 = + 4 = 6 3 = 6 3 + 4 + 6 = 1 3 4 = 1 4 + 4 + 6 + 8 = 0 4 5 = 0 5 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 5 6 = 30 Summen av partall er multiplisert med 3, summen av 3 partall er 3 multiplisert med 4. Summen er antallet multiplisert med tallet som er en større. Summen av n partall lir da n n 1. Oppgave.7 a Gjennomsnittet av de fem første oddetallene lir: 1 3 5 7 9 5 5 Av taellen og utregningen ser vi at gjennomsnittet av antall oddetall fra det første og oppover er lik antallet oddetall. Gjennomsnittet av 3 oddetall er 3, gjennomsnittet av 4 oddetall er 4. Gjennomsnittet av n oddetall er n. 4 6 8 10 Gjennomsnittet av fem partall lir: 6 5 Av taellen og denne utregningen ser vi at gjennomsnittet av antall partall er en mer enn antall partall. Gjennomsnittet av 3 partall er 4, gjennomsnittet av 5 partall er 6. Gjennomsnittet av n partall lir n 1. 3
Tall og algera Del Oppgave.8 a 5xy + (3x xy) = 5xy + 3x xy = 5xy xy + 3x = 3xy 3 y som også kan skrives 3x(y + 1) (a + 3 ) (8 5a) = a 3 8 + 5a = a + 5a 3 8 = 4a 11 Oppgave.9 a 5a ( + 6a) (a )(a + 5) = 5a + 5a 6a (a a + a 5 a 5) = 5a + 30a a 5a + a + 5 = a 30 a 5 a 4 a 5 (3x y)(3x + y) = 3x 3x + 3x y y 3x y y = 9x + 3xy 3xy y = 9x y Her kan vi også ruke den tredje kvadratsetningen og få svaret direkte. (x + y) (x y) = (x + y)(x + y) (x y)(x y) = x x + x y + y x + y y (x x x y y x + y y) = x + xy + xy + 4y x + xy + xy 4y = 8xy Vi kunne også rukt 1. og. kvadratsetning for å regne ut de to annengradsuttrykkene. d a(a )(a + ) ( + a)( a) = a(a a + a a ) ( a + a a a) = a(a + a a ) ( a + a a ) = a(a ) ( a ) = a a a ( a ) = a 3 a a 3 Her kan vi også ruke den tredje kvadratsetningen. Oppgave.10 Tegningen viser et rektangel med lengde (3a + ) og redde (a + ). Arealet til rektangelet er lengde multiplisert med redde. Det største av de fire rektanglene viser 3a a = 6a. Hvert areal svarer til leddene vi får når de to parentesene multipliseres med hverandre. 4
Tall og algera Del Oppgave.11 Vi kaller antall kilo epler som le solgt for x kilo, og antall druer for y kilo. Da kan vi sette opp to likninger med to ukjente. 1: y = 3x Det selges tre ganger så mange kilo druer som epler. : 16x + 30y = 1590 Prisen for all frukten var 1590 kr Vi setter x = 3y inn i likning nummer. : 16x + 30 3x = 1590 16x + 90x = 1590 106x = 1590 x = 1590 : 106 = 15 Det le solgt x kg epler der x er 15 kg. Antall kilo druer er 3x: 3 15 kg = 45kg Oppgave.1 a 3 1 1 18a 3 3 a a a a 5 1 1 4 54a 3 3 3 a 3 4 13xy xz 13 x y y x z z z z yz 39x yz 3 13 x x y z 3 3 3 3 6xyz 3 x y z z z 3 x y z z z z 6xy 6 x y 3 x y 3 x x y y 3 x y (1 xy) 1xy Oppgave.13 3 5 3 5 35 a 3x 15 3 x 3 5 1 5 9x 5 3 3 x x x 4a 3 (4 a ) a (3 ) 4a a 4a 4 4 a 4 a a 3 8a a 3 4a 4a d 1 1 1 5e 15e 5e 4 f 5 e e 3 f f : ef 1 1 1 8f 4f 8f 15e f 3 5 e 5
Tall og algera Del Oppgave.14 a r står for rentene i kroner k er kapitalen, dvs. det eløpet man setter i anken p er rentefoten, dvs. hvor mange prosent rente man får per år d er antall dager pengene står i anken k p d r 100 365 100 r 100 365 k p d 365 100 365 r 100 365 k p d 1 1 r 100 365 k p d 1 1 k d k d r p 100 365 k d Oppgave.15 a πr r 3,14 3,5 3,5 3,5 Volumet av kjegla: V m 3 3 = 89,8 m 3 3 Høyden er r. Radien er r, og da er diameteren r, altså like lang som høyden. Oppgave.16 a Linja faller, og da er stigningstallet negativt. Øker vi x-verdien med 1, minker y-verdien med 1. Da er stigningstallet 1. Linja skjærer y-aksen i 4, og derfor står det + 4 i likningen. Likningen for linja som går gjennom (0, 4) og (4, 0), er da y x 4 Likningen har positivt stigningstall lik. Øker vi x-verdien med 1, øker y-verdien med. Linja skjærer y-aksen i 1, derfor er siste ledd +1. Den andre likningen er y x 1 Løsningen er x 1 og y 3 Likningene er y = x + 4 og y = x + 1. Her er to uttrykk for y som vi setter lik hverandre. x + 1 = x + 4 x + x = 4 1 3x = 3 x = 1 Setter x = 1 inn i en av likningene: y = x + 4 = 1 + 4 = 3 Utregningen viste at det le samme løsning på likningssettet, x 1 og y 3. 6
Tall og algera Del Oppgave.17 a Kaller tallet t. t + 5 (t + 5) = t + 10 t + 10 4 = t + 6 (t + 6) : = t + 3 t + 3 t = 3 Her få r vi alltid 3 til svar. Kaller husnummeret n og alderen a. n + 5 (n + 5) 50 = 100n + 50 100n + 50 + a 100n + 50 + a + 365 = 100n + a + 615 100n + a + 615 615 = 100n + a Her få r vi alltid husnummeret multiplisert med 100 pluss alderen. Med husnummer 14 og alder 16, vil jeg få 14 100 + 16 = 1416. 7