Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0

Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4 Større skrift og tykkere linjer... 4 Fra funksjonsuttrykk til graf... 5 Endre egenskaper... 6 Fra graf til koordinater og tabell... 8 Punkt på grafen... 8 Å finne funksjonsverdier grafisk når vi kjenner x-verdien... 9 Å skrive inn koordinatene til et punkt på grafen... 9 Å tegne en loddrett linje og finne skjæringspunktet... 9 Å finne x-verdier grafisk når vi kjenner funksjonsverdien... 10 Praktisk situasjon som beskrives ved hjelp av en funksjon... 11 Å tegne grafen i et intervall... 11 Enheter og forklarende tekst på aksene... 12 Lineære funksjoner: Stigningstall og konstantledd... 14 Å regne ut verdien av en variabel... 14 Likningen til en rett linje... 15 Konstantledd... 16 Stigningstall... 17 Variable koeffisienter, bruk av glider... 18 Lineære funksjoner: Fra tabell til graf og funksjonsuttrykk... 20 Løse likningssett... Feil! Bokmerke er ikke definert. Arbeid med flere typer funksjoner... 22 Største og minste verdi - ekstremalpunkt... 22 Nullpunkt og skjæringspunkt... 24 Oppgaver, blanding... Feil! Bokmerke er ikke definert. 1

Funksjonstegner GeoGebra er et program som har mange bruksområder innenfor matematikk. Her skal vi først og fremst fokusere på de mulighetene vi har til å jobbe grafisk med funksjoner og likninger. Ordet GeoGebra er sammensatt av to deler: Geo som kommer fra geometri og Gebra som kommer fra algebra. GeoGebra kan også brukes til arbeid med algebra og funksjoner. Nå er det imidlertid funksjoner som er i fokus. I opplæringen leser du beskrivelser av hvordan noe skal gjøres og løser en eller flere oppgaver for å øve selv. For å gjøre oppgavene i GeoGebra, trenger du GeoGebra 4.0 eller nyere. Skjermbildene som vises her er fra GeoGebra 5.0. Du kan laste ned GeoGebra fra www.geogebra.no. Programmet er gratis. Skjermbildet i GeoGebra Når du starter GeoGebra ser skjermbildet vanligvis slik ut: Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Algebrafelt Grafikkfelt Velge oppsett Inntastingsfelt 2

Oppsett av skjermbildet Når vi bruker GeoGebra til arbeid med funksjoner, er det som oftest smart å velge oppsettet Algebra og grafikk. Da har vi de funksjonene vi trenger lett tilgjengelig, nemlig verktøylinja, algebrafeltet, inntastingsfeltet og grafikkfeltet. Vinduet for valg av oppsett vises på nytt om du klikker på den lille pilen i høyre kant av grafikkfeltet. Du kan også om du ønsker, vise rutenettet. Høyreklikk i grafikkfeltet og klikk på Rutenett. Verktøylinja Verktøylinja inneholder verktøyikoner utformet som knapper. Under hver knapp er det flere verktøy. Hvis vi klikker på den lille pilen i nederste høyre hjørne av en knapp, vises en liste med de verktøyene som finnes under knappen. Vi kan da velge hvilket verktøy knappen skal representere. Legg også merke til at når du holder musepekeren over et verktøy, vises en forklaring på hvordan verktøyet brukes. 3

Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene Når vi jobber med funksjoner og likninger har vi ofte behov for å flytte tegneflaten eller å endre på enheten på aksene. Vi kan da bruke verktøyet Flytt grafikkfeltet. Mens dette verktøyet er valgt kan du endre enhet på aksene ved å «dra» i aksene med musepekeren mens du holder venstre museknapp nede. Å holde nede shift-tasten (den tasten du holder nede for å få store bokstaver) har samme virkning som å velge verktøyet Flytt grafikkfeltet. Mens du holder shift-tasten nede kan du både flytte grafikkfeltet og endre enhet på aksene med musepekeren. Oppgave 1 Velg oppsett Algebra og vis rutenett. Plasser origo midt i grafikkfeltet. Vis enheter fra -15 til 15 på førsteaksen, enheter fra -100 til 100 på andreaksen. Flytt inntastingsfeltet øverst Når GeoGebra skal brukes på Smartboard eller prosjektør er det lurt å plassere inntastingsfeltet øverst i skjermbildet. Klikk på ikonet for Egenskaper, velg Utforming, og marker at du vil ha inntastingsfeltet øverst. Større skrift og tykkere linjer Det kan også være en fordel å øke skriftstørrelsen for at elevene skal se bedre. Velg Innstillinger fra menylinja, deretter Skriftstørrelse. Du velger så hva skriftstørrelsen skal være. Linjetykkelse kan du velge i stilmenyen i Grafikkfeltet når ei linje er markert. Du kan også velge tykkelse på linja ved å høyreklikke på den og velge Egenskaper. Det kan være en god ide å lagre disse innstilingene, Klikk på Innstillinger i menylinja og velg Lagre innstillinger. 4

Fra funksjonsuttrykk til graf Vi kan skrive funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet og GeoGebra vil tegne grafen til funksjonen i grafikkfeltet. Funksjonsuttrykket vises i algebrafeltet. Ofte bruker vi x som navn på variabelen i likninger og funksjoner. Det betyr at x vil svare til en verdi på førsteaksen. Verdiene på andreaksen vil svare til den verdien som regnes ut når vi setter inn x i likningen eller funksjonsuttrykket. GeoGebra gir funksjoner navn med små bokstaver og starter med bokstaven f. For å markere at f får verdi ved å regne ut funksjonsuttrykket med en verdi for x skrives navnet til funksjonen slik: f(x). Du kan enten la GeoGebra gi funksjonene dine navn eller du kan selv velge navn ved å kalle funksjonene f(x), g(x), h(x), p(x), osv. Vi skal tegne grafen til f(x) = 2x + 1. Vi skriver i inntastingsfeltet: Du ser nå i algebrafeltet at funksjonen har fått navnet f(x) og i grafikkfeltet at grafen er ei rett linje. Hvis variabelen skal hete noe annet enn x eller vi ønsker å velge hvilken bokstav som skal brukes som navn på funksjonen må vi skrive inn for eksempel slik: s(t)=60t Vær oppmerksom på at i GeoGebra bruker vi punktum som desimalskilletegn. Du må dermed skrive for eksempel k(x) = 0.2x + 4 5

Oppgave 2 Tegn grafen til disse tre funksjonene i samme koordinatsystem f(x) = x + 3 g(x) = 2x + 4 p(x) = 50 + 10x v(t)=0,3t Lagre På filmenyen finner vi valget for å Lagre GeoGebra-filen vi har jobbet med. Den lagres med filtypen ggb, for eksempel oppgave2.ggb Et nyttig verktøy: «Flytt eller velg objekt» Vi bruker dette verktøyet for å velge hvilket objekt som skal være det aktive objektet. Det kan være smart å ha dette verktøyet som det valgte verktøyet når vi ikke er i ferd med å tegne noe. Å trykke på escape-tasten (esc) er det samme som å velge dette verktøyet. Slette og angre Når vi tar i bruk et nytt verktøy med mange muligheter må vi regne med at vi ikke alltid lykkes i første forsøk. Det er derfor viktig å kunne angre og slette når vi har gjort noe feil. I GeoGebra kan du angre med Ctrl + Z. Alternativt kan du bruke knapp for å angre. Den finner du helt til høyre på verktøylinja. For å slette et objekt, velger du objektet med og trykker Delete. Når du sletter et objekt, vil eventuelle andre objekt som er avhengige av det objektet du sletter også forsvinne. Endre egenskaper Det kan være flere grunner til at du vil endre egenskapene til en graf, for eksempel at du har skrevet feil eller at du vil endre navn, farge eller linjestil. Da høyreklikker du på funksjonen, enten i grafikkfeltet eller i algebrafeltet og velger Egenskaper. 6

I feltet Verdi kan du endre funksjonsuttrykket. På fanen Farge kan du velge hvilken farge grafen skal ha og på fanen Stil kan du velge hva slags linje grafen skal tegnes med. Oppgave 3 Tegn de tre funksjonene i samme koordinatsystem. De tre grafene skal ha hver sin farge. Den siste skal være stiplet. k(x) = 0,2x + 4 p(x) = 4x s(x) = 5 7

Tips: Ved å vise stilmenyen øverst i grafikkfeltet kan du raskt skifte farge på grafene. Vis stilmenyen Velg, klikk deretter på den grafen du vil endre på. Da vises relevante valg i stilmenyen. Fra graf til koordinater og tabell Vi skal se på flere muligheter vi kan bruke i ulike situasjoner når vi skal finne koordinater til punkt på grafen. I noen situasjoner bruker vi koordinatene til disse punktene til å sette opp en verditabell. Punkt på grafen Ved å plassere punkt på linja kan vi lese av x-verdien og funksjonsverdien som hører til punktets x- verdi. Tegn grafen til den funksjonen du skal arbeide med. Velg verktøyet Punkt flere punkt på linja. og plasser ett eller I eksemplet har vi tegnet grafen til f(x ) = 2x + 1 og plassert punktene A, B og C på linja. Legg merke til at når punktene er plassert på linja kan de flyttes med slik at de havner der vi vil ha dem. Vi ser punktenes koordinater i algebrafeltet, og disse endres når punktet flyttes. 8

Vil du se koordinatene til et punkt i stedet for punktets navn i grafikkfeltet, høyreklikk på punktet, enten i algebrafeltet eller i grafikkfeltet, velg Egenskaper og velg deretter Verdi eller Navn og Verdi fra nedtrekkslista ved Vis navn. Oppgave 4 Finn koordinatene til 4 punkt som ligger på grafen til denne funksjonen: f(x) = 2,8x 5 Oppgave 5 Finn koordinatene til følgende punkt som ligger på grafen til g(x) = 4 5x a) Punktet der x-koordinaten = 0 b) Punktet der y-koordinaten = 0 c) Punktet der y-koordinaten = 20 d) Punktet der x-koordinaten = 10 Å finne funksjonsverdier grafisk når vi kjenner x-verdien Vi har to metoder å velge mellom. Å skrive inn koordinatene til et punkt på grafen Av og til kan det være vanskelig å plassere punkt på grafen nøyaktig nok. Da kan vi i stedet plassere punktene ved å skrive dem inn i inntastingsfeltet. Denne metoden kan vi bruke dersom vi kjenner x- koordinaten til punktet. Som du har sett gir GeoGebra punkt navn som er store bokstaver. Hvis vi har en funksjon som heter f og skal plassere punktet A på grafen til f slik at x-koordinaten er 8 skriver vi i inntastingsfeltet: A = (8,f(8)). Eksempel Funksjonen f(x) = 2,71x + 1500 beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi tegner grafen til f(x). Vi skal bruke grafen til å finne ut hva det koster å lage 2000 kopper. Skriv i inntastingsfeltet: Den verdien vi skal finne er andrekoordinaten til A. Du kan se den i algebrafeltet, eller du kan vise verdien til punktet A slik at koordinatene vises i grafikkfeltet. Å tegne en loddrett linje og finne skjæringspunktet En alternativ metode til å sette inn et punkt på grafen er å tegne en loddrett linje som illustrerer den x-verdien vi skal ha. Skriv i inntastingsfeltet 9

Marker skjæringspunktet mellom den loddrette linja og x-aksen ved hjelp av koordinatene til punktet i grafikkfeltet ved å velge å vise Verdi i stedet for Navn.. Vis Å finne x-verdier grafisk når vi kjenner funksjonsverdien Funksjonen f(x) = 2,71x + 1500 beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi tegner grafen til f(x). Vi skal finne hvor mange kopper vi kan lage for 12000 kr. Da tegner vi linja g(x) = 12000. Marker deretter skjæringspunktet mellom g(x) og f(x) ved hjelp av. Vis koordinatene til punktet i grafikkfeltet ved å velge å vise Verdi i stedet for Navn. 10

Oppgave 6 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x)= 1100x 10000 der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). Hva blir overskuddet når det produseres 20 enheter? Hvor mange enheter produserer de når overskuddet er 10000 kr? Praktisk situasjon som beskrives ved hjelp av en funksjon Funksjonen f(x) = 2,71x + 1500 beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi skal tegne grafen til funksjonen. Vi kan ikke bruke negative tall for x her da x betyr et antall kopper kaffe. Vi regner med at kaffemaskinen er utslitt etter å ha laget 10000 kopper kaffe. Å tegne grafen i et intervall For å begrense grafen til de gyldige verdiene av x bruker vi kommandoen Dersom. Skriv følgende i inntastingsfeltet: Vi kan alternativt bruke kommandoen Funksjon slik: Etterpå må vi tilpasse aksene i grafikkfeltet slik at vi ser funksjonen. Vi kan vise funksjonsforskriften i grafikkfeltet ved å velge funksjonen i algebrafeltet og dra den over til grafikkfeltet. (Alternativ: høyreklikk på funksjonen, velg Egenskaper og Vis, Navn og verdi) 11

Enheter og forklarende tekst på aksene Høyreklikk et sted du ikke har tegnet noe i grafikkfeltet. Velg Grafikkfelt. På fanen xakse skriver vi x (Antall kopper) i feltet Navn på aksen (se neste side). I noen tilfeller kan det også være smart å angi ved hvilken verdi x-aksen skal krysse y-aksen eller å feste x-aksen til kanten av grafikkvinduet. På fanen yakse skriver vi som Navn på aksen K(x) og som Enhet kr. 12

Som et alternativ kan du sette på navn på aksene ved å legge inn en tekst. Velg verktøyet Tekst, skriv inn den teksten du ønsker og plasser tekstboksen et passende sted ved siden av aksen. Oppgave 7 Månedsprisen for et mobilabonnement er gitt ved funksjonen s(x) = 0,99x+49 der x er antall ringeminutt. Tegn grafen til s(x). Vi snakker ikke mer enn 500 minutt hver måned. Bruk grafen til å finne ut hvor mange minutt en kan ringe for 200 kr. 13

Lineære funksjoner: Stigningstall og konstantledd Oppgave 8 Tegn grafen til funksjonene a) x b) 2x c) 10x d) 3x Hva er felles for alle disse grafene? Å regne ut verdien av en variabel Vi tegner grafen til f(x) = 4,5x og plasserer tre punkt på grafen ved hjelp av. Vi skal nå få beregnet y koordinat for disse tre punktene. Under ser du hvordan du oppgir x- og y- x koordinat koordinaten til punkt A. Svaret lagres i variabelen a. Divisjonstegnet er / og * brukes som multiplikasjonstegn i GeoGebra. 14

Oppgave 9 Tegn grafen til f(x) = 3x Plasser tre punkt på grafen. Fyll ut tabellen: Punkt x f(x) f(x)/x A B C Hvordan er verdien til f(x)/x? Hva skjer med f(x)/x dersom du flytter på ett eller flere av punktene? Hva kaller vi en slik funksjon? Likningen til en rett linje Vi kan tegne en linje som går gjennom to faste punkt ved først å avsette punktene med verktøyet Linje gjennom to punkt. Vi tenger linja gjennom ( 2,1) og (4,4). Nå må du legge merke til to ting. For det første så oppgir GeoGebra formelen som en likning, ikke som en funksjon. Likningen for ei rett linje har formen y = ax + b Legg også merke til at GeoGebra ikke nødvendigvis ordner likningen i algebrafeltet på formen y = ax + b. For å vise likningen på denne formen høyreklikker du på linja i algebrafeltet eller i grafikkfeltet og klikker på Likning y = ax + b. 15

Oppgave 10 Tegn linjene gjennom de to punktene. Kan du ut fra grafen se hvordan likningen blir på formen y = ax + b? Hva bestemmer a? Hva bestemmer b? a) (0,4) og (6, 3) b) (0,0) og (4,12) Konstantledd Likningen for en rett linje kan skrives på formen y = ax + b. Vi kaller b konstantleddet, a kalles stigningstallet. Vi finner konstantleddet ved å finne det punktet der linja skjærer andreaksen (y-asken). til å finne konstantleddet. Konstantleddet er andre- Bruk verktøyet Skjæring mellom to objekt koordinaten til skjæringspunktet. 16

Stigningstall Når grafen er laget som en likning, og ikke som en funksjon, kan vi finne stigningstallet med verktøyet Stigning. Vi kan alltid se stigningstallet som koeffisienten foran x i likningen. Oppgave 11 Tegn grafen til a) en lineær funksjon med stigningstall 2 og konstantledd 4 b) en lineær funksjon som har graf som er parallell med grafen tegnet i a) og som går gjennom (0,2) c) en lineær funksjon som går gjennom origo og som har stigningstall 1,5 Oppgave 12 Merk av to punkter i koordinatsystemet. Bruk verktøyknappen Linje gjennom to punkt til å tegne den rette linjen. Bruk verktøyknappen Skjæring mellom to objekt til finne skjæringspunktet med y-aksen og skjæringspunktet med x-aksen. Finn linjas stigningstall ved hjelp av verktøyet Stigning (Alternativ: Skriv i inntastingsfeltet der a er linjas navn). Sjekk at verdiene stemmer med likningen for linja som du ser i algebravinduet. Oppgave 13 Tegn linja som går gjennom A ( 2,1) og B (4,3). Vis konstantledd og stigningstall på grafen. Bruk og flytt på linja. Følg med på hvordan konstantleddet endrer seg. Plasser linja slik at konstantleddet er 1. Flytt deretter på A eller B og se hvordan stigningstallet endrer seg. a) Beskriv linja når stigningstallet er et positivt tall. b) Beskriv linja når stigningstallet er et negativt tall. c) Hva er forskjellen på linja når stigningstallet er 1 og når det er 5? d) Hva er forskjellen på linja når stigningstallet er 1 og når det er 5? 17

e) Beskriv linja når stigningstallet er 0. Variable koeffisienter, bruk av glider Vi kan gjøre likninger og funksjoner dynamiske ved å bruke variabler som koeffisienter og variere disse ved hjelp av glidere. Eksempel Vi skal undersøke sammenhengen mellom stigningstallet til en rett linje og grafen. 1 Start med å definere en variabel ved å skrive s = 2 i inntastingsfeltet. 2 Skriv deretter inn likningen for linja f(x) = sx + 1 3 Gjør variabelen synlig som en glider ved å klikke på den lille sirkelen foran den i algebrafeltet. 4 Bruk og dra i glideren. Observer hva som skjer med linja og likningen. 5 Du kan endre største og minste verdi ved å høyreklikke på glideren og velge Egenskaper. Oppgave 14 Opprett en variabel, og bruk den til å utforske hva som skjer med en rett linje når du endrer konstantleddet. Oppgave 15 Opprett fire variabler ved å skrive i innskrivingsfeltet: a = 1, b = 2, c = 1 og d = 1. Skriv deretter inn fuksjonen f slik : f(x) = ax+b. Gjør variablene synlige som glidere, enten ved å høyreklikke på dem i algebrafeltet og velge Vis objekt, eller ved å klikke på den lille sirkelen foran variabelen i algebrafeltet slik at den blir farget. 18

Skriv g(x) = cx + d Endre farge på grafene til f og g slik at de får hver sin farge. Hvilket punkt har de to grafene felles? Finn koordinatene til skjæringspunktet. Hva er det som kjennetegner koordinatene til dette punktet? Bruk gliderne og finn ut: Når overlapper grafen til f grafen til g? Forklar. Når har ikke grafen til f og grafen til g noe skjæringspunkt? Forklar 19

Lineære funksjoner: Fra tabell til graf og funksjonsuttrykk I noen tilfeller har vi en tabell som inneholder koordinater til mer enn to punkt som vi regner med at ligger på en rett linje. GeoGebra kan finne den linja som passer best til punktene slik: Start med å vise Regneark slik at vi kan skrive inn tabellen med punktenes koordinater. Skriv inn første-koordinaten i A-kolonnen og andre-koordinaten i B-kolonnen. Merk deretter området med tallene du har skrevet inn, høyreklikk i det merkede området og velg Lag, Liste med punkt. Nå ser du punktene i grafikkfeltet og som Liste1 i algebrafeltet. Klikk i grafikkfeltet slik at de vanlige verktøyene dukker opp igjen, og velg verktøyet Beste tilpasset linje. 20

Klikk på Liste1 i algebrafeltet. Da blir linjen tegnet og likningen vises i algebrafeltet. Oppgave 16 Finn likningen for linja som går gjennom punktene (0, 5), (10,2), (20,9) og (30,16). Oppgave 18 Per, Pål og Espen har samme type mobilabonnement. En måned betaler Per 66 kr for 40 samtaleminutt, Pål 111 kr for 155 samtaleminutt og Espen 84,60 kr for 89 samtaleminutt. Finn en funksjon som beskriver hva dette telefonabonnementet koster. 21

Arbeid med flere typer funksjoner Oppgave 20 Tegn funksjonene i figuren over i samme koordinatsystem. Marker grafene med hver sin farge. Hvis du vil skrive x 2 skriver du enten slik: x^2 eller du holder alt-tasten nede mens du skriver 2-tallet. Brøkstreken skrives med /. Brøkfunksjoner, asymptoter Funksjoner som har x i nevner kalles brøkfunksjoner. Disse har asymptoter, linjer de ikke krysser. Vi finner likningen til asymptotene og får dem tegnet i grafikkfeltet ved å bruke kommandoen Asymptote. Tegn grafen til funksjonen 20 gx ( ) 5. Skriv deretter i inntastingsfeltet: x 22

Oppgave 21 a) Tegn grafen til funksjonen f(x) = 1 x. b) Tegn asymptotene til grafen. c) Plasser et punkt på den greina av grafen som er til høyre for y-aksen. d) Beregn første-koordinat andre-koordinat (husk at * brukes som multiplikasjonstegn). e) Flytt punktet langs grafen. Hva shvordan går det med produktet av koordinatene? f) Prøv å gjøre tilsvarende med g(x) = 3 x. g) Hva kaller vi funksjoner som har denne egenskapen? Oppgave 22 v Bruk variabelen v til å undersøke hvordan grafen til ex ( ) endrer seg når v endres. x Største og minste verdi - ekstremalpunkt Noen funksjoner har en maksimalverdi og/eller en minimalverdi. Slike punkt kaller vi ekstremalpunkt og verdien ekstremalverdi. Vi tegner først grafen til f(x) = 2x 2 2x + 1 23

Vi finner ekstremalpunkt ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt. Skriv i inntastingsfeltet: (funksjonen heter f i dette eksemplet). Vis koordinatene til bunnpunktet ved å vise verdien til bunnpunktet. Oppgave 23 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x) = 10x 2 + 1100x 10000 der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). Tegn grafen til O(x). Vi antar at x ikke kan være mer enn 150. Finn hvor mange enheter en må produsere for å få størst mulig overskudd og hvor stort dette overskuddet er. Nullpunkt og skjæringspunkt Vi er ofte spesielt interessert i å vite for hvilke x-verdier funksjonen skjærer x-aksen. Dette kalles funksjonens nullpunkt. Vi tegner funksjonene f(x) = 0,7x + 2 og g(x) = x 2 4 For å finne nullpunktene bruker vi kommandoen Nullpunkt. Skriv i inntastingsfeltet: og tilsvarende for g. 24

Vis verdiene i stedet for navnet til nullpunktene. Vi kan også få markert skjæringspunktene mellom de to grafene ved å bruke kommandoen Skjæring: Oppgave 24 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x) = 10x 2 + 1100x 10000 der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). Vi går ut fra at vi ikke selger mer enn 150 stk. av denne varen. Tegn grafen til O(x). Hvilke verdier kan x ha? Finn hvor mange varer en må produsere og selge for at overskuddet skal være 0. Oppgave 25 Bruk variabelen k til å undersøke hvordan grafen til f(x)= kx 2 endrer seg når k endres. 25

Oppgave 26 Du har fått deg jobb på en gård og skal lage en rektangulær innhegning ved å bruke 20 meter gjerde. Innhegningen skal ligge inntil en vegg, se figur under. Du lurer på hvordan innhegningen bør være for at arealet skal bli størst mulig. a) La bredden av innhegningen være x og lengden y. Finn y uttrykt ved x, og finn A av innhegningen uttrykt ved x og y. b) Finn arealet av innhegningen som en funksjon A(x) og skisser grafen til A(x). Hva må x være for at innhegningen skal gi størst mulig areal? 26

Oppgave 27 (fra eksamen v13) 27

Eksempel på føring av en oppgave som løses ved bruk av GeoGebra En potetprodusent får 3,09 kr per kg han leverer til Gartnerhallen. a Kall antall kg poteter produsenten selger for x. Sett opp et funksjonsuttrykk, i(x), som viser hva hun får betalt på salg av x kg poteter. b Tegn grafen til i(x). La x variere mellom 0 og 5000 kg. c Hva får produsenten betalt hvis hun leverer 2800 kg? d Hvor mange kilo må produsenten levere for å få betalt 20 000 kr? Løsning: a Vi finner hva bonden får betalt ved å multiplisere kiloprisen med antall kilo hun leverer. Da har vi i(x) = 3,09x b Vi skriver i inntastingsfeltet: i(x)=dersom[0<x<5000,3.05x] Vi tilpasser grafikkfeltet slik at vi ser hele grafen. Vi setter navn på aksene, x på førsteaksen og i(x) på andreaksen. På førsteaksen kan vi sette på enheten kg og på andreaksen enheten kr. Se grafen under. c Vi markerer at hun har levert 2800 kg ved å avsette et punkt på grafen. Det gjør vi ved å skrive i inntastingsfeltet: (2800, i(2800)). Vi ser at punktet har koordinatene (2800,8652). Hun får betalt 8652 kr når hun leverer 2800 kg. d For å finne hvor mye hun må levere for å få betalt 20 000 kr tegner vi en horisontal linje som skjærer andreaksen i 20 000. Vi skriver i inntastingsfeltet: y = 20 000 og finner skjæringspunktet mellom den horisontale linja og grafen ved hjelp av verktøyet Skjæring mellom objekt. Skjæringspunktet har koordinatene (6472,49,20 000). Hun må levere 6472 kg for å få betalt 20 000 kr. 28