Institutt for fysikk Eksmensoppgve i TFY455 ELEKTISITET OG MAGNETISME FY003 ELEKTISITET OG MAGNETISME Fglig kontkt under eksmen: Institutt for fysikk v/arne Mikkelsen, Tlf: 486 05 392 Eksmensdto: Onsdg 25 mi 206 Eksmenstid: 09:00-3:00 Tilltte hjelpemidler (kode C): Bestemt enkel godkjent klkultor ottmnn: Mtemtisk formelsmling (norsk eller tysk utgve) C Angell og B E Lin: Fysiske størrelser og enheter Vedlgt formelrk Annen informsjon: Denne eksmen teller 90 % på endelig krkter, lbortorierpport 0 % For studenter med lbortorium godkjent 202 og før teller denne eksmen 00 % 2 Prosenttllene i prntes etter hver oppgve ngir hvor mye den vektlegges ved bedømmelsen (summerer til 00 %) 3 Noen generelle fglige merknder: - Størrelser ngis i kursiv (feks V for potensil), mens enheter ngis uten kursiv (feks V for volt) - î, ĵ og ˆk er enhetsvektorer i henholdsvis x-, y- og z-retning - Ved tllsvr kreves både tll og enhet 4 I flervlgsspørsmålene er kun ett v svrene rett Du skl ltså svre A, B, C, D eller E (stor bokstv) eller du kn svre blnkt ett svr gir 5 p, glt svr eller flere svr gir 0 p, blnk (ubesvrt) gir p 5 Svr på flervlgsspørsmålene fører du på siste rk i dette oppgvesettet Arket skl innleveres 6 Oppgvene er utrbeidet v Arne Mikkelsen og vurdert v Mgnus B Lilledhl Målform/språk: Bokmål Antll sider (uten denne forsid): 8 Antll sider vedlegg: 3 Kontrollert v: Informsjon om trykking v eksmensoppgve: Originlen er: 2-sidig; sort/hvitt Dto Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb Hr du spørsmål om din sensur må du kontkte instituttet ditt Eksmenskontoret vil ikke kunne svre på slike spørsmål
(blnk side)
TFY455/FY003 mi 206 Side v 8 Oppgve Flervlgsspørsmål (Teller 50 %, hvert spørsmål teller like mye) - Tre punktldninger, en positiv (2q) og to negtive ( q), er plssert i hvert sitt hjørne v en likesidet treknt med sideknter Hv er systemets dipolmoment p? A) q/ 3 B) 3q/2 C) 3q D) 2 3q E) q q +2q q -2 Tre punktldninger, en positiv (2q) og to negtive ( q), er plssert i hvert sitt hjørne v en likesidet treknt med sideknter Hv er den potensielle energien til de tre ldningene? (Dvs i forhold til om de tre ldningene vr uendelig lngt fr hverndre) A) 3q 2 /4πɛ 0 B) 0 C) q 2 /4πɛ 0 D) 3q 2 /4πɛ 0 E) q 2 /4πɛ 0 q +2q q -3 Figuren viser tverrsnittet v en hlvsirkelformet stv med uniform ldning per lengdeenhet, enten negtiv ( λ, merket med ) eller positiv (λ, merket med + ) på ulike deler v stven, slik t stven totlt hr ldning lik null Hvilken pil ngir d riktig retning på den elektriske krft som virker på et elektron som er plssert i sentrumspunktet (dvs det som ville h vært sentrum v en hel sirkel)? 90 45 + + _ 4 + + 2 A) B) 2 C) 3 D) 4 E) Krft er null _ + + + + 45 3-4 Ei nøytrl metllkule hr to kuleformede hulrom i sitt indre Hulrom er tomt I hulrom 2 er det en punktldning Q (Hele systemet hr ltså ldning Q) Hvor mye indusert ldning q j hr vi på de tre overfltene til metllkul, dvs på de indre overfltene (q og q 2 ) som vgrenser hulrommene og på kuls ytre overflte (q 3 )? Q 2 3 A) q = 0 q 2 = Q q 3 = Q B) q = Q q 2 = Q q 3 = 2Q C) q = 0 q 2 = 0 q 3 = 0 D) q = Q q 2 = 0 q 3 = Q E) q = 0 q 2 = Q q 3 = 2Q
Side 2 v 8 TFY455/FY003 mi 206 Tre store prllelle pln hr innbyrdes vstnd som vist i figuren til høyre Plnene hr ldning per flteenhet σ, σ, og 2σ (fr venstre mot høyre, og σ > 0) To to neste spørsmålene refererer 2 3 til denne figuren σ σ 2σ 0 2 4 z -5 I situsjonen i figuren over kn det elektriske feltet skrives på formen E(z) = E(z) ˆk Hvilken figur (nedenfor, til høyre) viser korrekt E(z)? A E(z) B E(z) A) A B) B C) C D) D D) Ingen v figurene C E(z) 2 z D E(z) 2 z 2 z 2 z -6 I figuren over, rnger det elektriske potensilet i de fire punktene merket med, 2, 3 og 4 A) V > V 2 > V 3 > V 4 B) V > V 4 > V 2 = V 3 C) V 4 = V > V 2 = V 3 D) V = V 4 > V 3 > V 2 D) V 4 = V > V 2 > V 3-7 Figuren til høyre viser to store metlliske pln med rel A og ldning per flteenhet henholdsvis σ 0 (øverste plte) og σ 0 (nederste plte) Volumet mellom metllpltene er fylt med to dielektriske skiver Medium i øverste hlvdel hr reltiv permittivitet mens medium 2 i nederste hlvdel hr reltiv permittivitet 2 Hvilken v figurene nedenfor illustrerer best feltlinjer for det elektriske feltet E? +σ 0 2 2 σ 0 A) 2 B) 2 2ɛ r C) D) 2 E) 2-8 Hv er den minste kpsitnsen du kn lge med fem like kondenstorer, hver med kpsitns 5,0 mf? A) 25,0 mf B) 0,0 mf C) 5,0 mf D) 2,5 mf E),0 mf
TFY455/FY003 mi 206 Side 3 v 8-9 Hver v de fem lyspærene kn betrktes som en ideell ohmsk motstnd Økt spenning over ei lyspære (og dermed økt strømstyrke) gir økt lysstyrke i lyspær I kretsen vist i figuren, hvilke(n) lyspære(r) lyser sterkest? A) B) 2 C) 3 og 4 D) 5 E) 2 og 5 V 0 B 2 3 4 A 5-0 I kretsen til høyre hr spenningskilden V 0 vært tilkoblet så lenge t strømmene i kretsen ikke lenger endrer seg med tid Hv er d de 4 ngitte strømstyrkene I j, j =, 2, 3,4? V 0 C I I 2 I 3 I 4 C A) I = V 0 /4 I 2 = V 0 /4 I 3 = V 0 /4 I 4 = V 0 /4 B) I = 3V 0 /4 I 2 = V 0 /4 I 3 = V 0 /4 I 4 = V 0 /4 C) I = V 0 /4 I 2 = 0 I 3 = V 0 /2 I 4 = 0 D) I = V 0 /4 I 2 = 0 I 3 = V 0 /4 I 4 = 0 E) I = V 0 /4 I 2 = 0 I 3 = V 0 /2 I 4 = 0 - I hvilket tilfelle er den totle mgnetiske fluksen ut gjennom ei lukk overflte positiv? A) Hvis nordpolen til en mgnet, men ikke sydpolen, ligger innenfor den lukk overflt B) Hvis sydpolen til en mgnet, men ikke nordpolen, ligger innenfor den lukk overflt C) Hvis både nordpolen og sydpolen til en mgnet ligger innenfor den lukk overflt D) Hvis overflt omslutter et område med forskyvningsstrøm E) Mgnetisk fluks kn ikke være positiv ut fr ei lukk overflte -2 Figuren viser en sylindrisk stvmgnet med kse i ppirplnet Mgnetisk flukstetthet B ved et punkt 0 er vist i digrmmet Koordintretninger er gitt Hv er retningen på B ved punkt (rett til venstre for mgneten) og ved punkt 2 (midt under mgneten)? A) : negtiv x-retning, 2: positiv x-retning B) : negtiv x-retning, 2: negtiv x-retning C) : positiv x-retning, 2: negtiv x-retning D) : positiv x-retning, 2: positiv y-retning E) : negtiv x-retning, 2: negtiv y-retning mgnet 2 0 B y z x
Side 4 v 8 TFY455/FY003 mi 206-3 Prtikler, lle med ldning forskjellig fr null, med ulike msser og hstigheter (men lle med hstighet i positiv x-retning) kommer inn i et område der det elektriske feltet er E = E 0 ĵ (nedover i figuren) mens mgnetfeltet er B = B 0 ˆk (inn i plnet) Hvis E0 = 0, 0 kv/m og B 0 = 50, 0 mt, må de prtiklene som psserer gjennom området med elektrisk felt og mgnetfelt uten å vbøyes A) være elektroner B) være protoner C) h hstighet 500 m/s D) h hstighet 200 m/s E) h hstighet 200 km/s v x x E, B x x x x x x x x y x -4 En tett viklet solenoide er 3,42 cm lng, hr 200 viklinger, et tverrsnitt,00 cm 2 og fører en spolestrøm på 2,0 A Solenoiden hr en jernkjerne med mgnetisk susceptibilitet χ m = 500 Hvis du ser bort fr endeeffekter, vil du finne t verdien til mgnetisk flukstetthet B i sentrum er omtrentlig A) 6 µt B) 6 mt C) 24 mt D) 2,4 T E) 6 T -5 To svært lnge, prllelle ledninger i xy-plnet ligger i vstnd 2 fr hverndre, er prllell med y-ksen og fører en lik strøm I i smme retning Vist i figuren til høyre med origo for koordintsystem midt mellom ledningene Hvilken grf nedenfor viser best z-komponenten til B-feltet i xy-plnet, som funksjon v x? (OBS: grfene viser ikke mgnetiske feltlinjer) A) () B) (2) C) (3) D) (4) E) (5) I 2 y z x I -6 En rektngulær sløyfe er plssert prllelt med en lng rett strømførende leder som vist i figuren Den rette lederen fører en strøm I mot høyre og vstnden c mellom lederen og den nærmeste sideknten v sløyf er fst Strømmen i den rette lederen øker jmt med tid: I(t) = I 0 + kt (der k er en konstnt med enhet A/s) Strømmen indusert i den rektngulære sløyf A) går mot klokk og er proporsjonl med k 2 B) går med klokk og er proporsjonl med k 2 C) går mot klokk og er proporsjonl med k D) går med klokk og er proporsjonl med k E) er lik null I c
TFY455/FY003 mi 206 Side 5 v 8 I kretsen i figuren til høyre hr spenningskilden ingen indre motstnd og spolene (induktorene) hr null motstnd To to neste spørsmålene refererer til denne figuren -7 I figuren over hr bryteren hr vært åpen i veldig lng tid Umiddelbrt etter bryteren slås på er strømmen gjennom 60,0 Ω-motstnden lik A) 0,00 A B),43 A C) 2,50 A D) 3,33 A E) 0,0 A -8 Når bryteren hr vært lukket i svært lng tid i figuren over er potensilforskjellen over 60,0 Ω-motstnden lik A) 0,00 V B) 66,7 V C) 85,7 V D) 90,0 V E) 00,0 V -9 En vekselspenning V (t) = V 0 sinωt med mplitude V 0 = 50 mv og frekvens f = 50 Hz er koblet til en spole med induktns L = 50 µh Hv blir mplituden I 0 til den hrmonisk vrierende strømmen i kretsen? A) I 0 = 2, 8 A B) I 0 = 2, 79 A C) I 0 = 3, 8 A D) I 0 = 3, 79 A E) I 0 = 4, 8 A -20 Hvilket v viserdigrmmene representerer best en LC-krets som drives v en spenningskilde ved kretsens resonnsfrekvens? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5-2 To kondenstorer kobles i serie med tre kondenstorer i prllell som vist i figuren Alle kondenstorene hr kpsitns C Hv er kretsens komplekse impedns? A) 5 iωc B) 7 2 iωc C) 7 3 iωc V (t) = V 0 e iωt C C C C C D) 7 3 iωc E) 7 2 iωc
Side 6 v 8 TFY455/FY003 mi 206-22 En lysstråle går i positiv x-retning Den elektriske feltvektoren A) kn oscillere i hvilken som helst retning i rommet B) må oscillere i z-retningen C) må oscillere i x-retningen D) må oscillere i yz-plnet E) må h en konstnt komponent i x-retningen -23 Hvilken påstnd er snn? A) Både B og E i en elektromgnetisk bølge må tilfredsstille bølgelikningen B) Fsefktoren til en bølge som vndrer i negtiv z-retning er (kz + ωt) C) Frten til en elektromgnetisk bølge i vkuum er gitt v (ɛ 0 µ 0 ) /2 D) Amplitudeverdien for E er større en mplitudeverdien for B med en fktor c E) Alle disse påstndene er snne Oppgve 2 Potensil (teller %) To svært lnge, prllelle stver hr motstt ldning ±λ per lengdeenhet, med λ = 2,5 nc/m Avstnden mellom stvene er d = 50 cm Stvene står normlt på ppirplnet i figuren efernse for elektrisk potensil, V = 0, er vlgt i punktet O midt mellom de to prllelle stvene Det oppgis t elektrisk feltstyrke i vstnd r fr en meget lng stv med ldning λ per λ lengdeenhet er 2πɛ 0 r +λ d =50 cm + λ O d d P ) Finn verdi og retning for det elektriske feltet E i et punkt P som ligger i vstnd d = 50 cm fr begge de to prllelle stvene (se figur) b) Hv er verdien v potensilet V i punktet P? c) Hv er verdien v potensilet V i punktet Q, i vstnd 0 cm fr den positive og 40 cm fr den negtive linjeldningen? 50 cm +λ + λ Q 40 cm
TFY455/FY003 mi 206 Side 7 v 8 Oppgve 3 Elektrosttikk (teller 4 %) Ei dielektrisk kule med rdius og reltiv permittivitet = 2, 00 hr overskuddsldning fordelt inni kul med ldningstetthet r ρ(r) = ρ 0 (r < ) der r er vstnd fr kuls sentrum Utenfor kul er permittiviteten ɛ 0 ɛ 0 ɛ 0 r ρ(r) ) Hv er kuls totlldning Q, uttrykt med bl ρ 0 og? b) Bruk Guss lov til å bestemme det elektriske feltet E(r) som funksjon v vstnden r fr kuls sentrum for lle verdier v r (inni og utenfor kul) Uttrykk svret med bl ρ 0 og, sett inn verdi for Lg også en håndskisse v E(r) mellom r = 0 og r = 2 c) Finn uttrykk for polriseringen P(r) i kul for r Hvilken retning hr P? Oppgve 4 Mgnetfelt (teller 2%) En tilnærmet uendelig lng og rett, sylinderformet leder med rdius fører en konstnt elektrisk strøm Strømtettheten (strøm per flteenhet) i lederen er vhengig v vstnden, r, fr lederens senterkse: ( ) J(r) = J 0 r2 ˆk 2 (r < ) Vi hr vlgt koordintsystem slik t lederens senterkse smmenfller med z-ksen, og slik t strømmen går i positiv z-retning Permebiliteten er overlt µ 0 Oppgitt: Totl strøm i lederen er I 0 = Figuren til høyre er et snitt gjennom lederen i et pln normlt på lederen, slik t J kommer opp v plnet ) Tegn vektorer som representerer mgnetfeltet B i de fire punktene, b, c og d (Ved bedømmelsen legges det vekt på retningen til vektorene, ikke lengden v disse) 0 J(r) 2πrdr = π 2 J 0 2 c z b d b) Bruk Amperes lov til å finne mgnetfeltet B u (r) utenfor den strømførende lederen (dvs for r > ) uttrykt med bl J 0 c) Mgnetfeltet inni den strømførende lederen (r < ) kn uttrykkes B i (r) = C r + C 3 r 3 Bruk Amperes lov til å bestemme konstntene C og C 3 uttrykt med bl J 0
Side 8 v 8 TFY455/FY003 mi 206 Oppgve 5 Kondenstor og forskyvningsstrøm (teller 3 %) En stor prllellpltekondenstor hr plterel A = 50, 0 dm 2 og plter i en vstnd d = 2, 00 mm Området mellom pltene er fylt v et dielektrikum med = 8, 00 Se bort fr rndeffekter Kondenstoren ldes med en konstnt strøm I 0 = 0, 0 µa i nøyktig,00 s Vi definerer positiv retning fr venstre mot høyre Oppgitt: Kondenstorens kpsitns: Q/V = C = ɛ 0 A/d = 7, 7 nf d I 0 I 0 ) Hv er forskyvningsstrømmen I d mellom kondenstorpltene (i dielektrikumet) under oppldningen v kondenstoren? Presiser retningen på I d Etter kondenstoren er ldd i,00 s som beskrevet og hr fått ldning Q 0 = 0, 0 µc og en viss spenning V 0, koples tilførselsledninger ifr og kondenstoren overltes til seg sjølv Vi definerer dette tidspunktet som t = 0 Dielektrikumet i kondenstoren er ikke en perfekt isoltor men hr endelig resistivitet ρ = 2, 00 0 2 Ω m Kondenstorens ldning tppes derfor grdvis ut gjennom dielektrikumet med en liten strøm I(t) b) Hv er denne strømmen I ved tid t =,00 min? Presiser retningen på I Tips: Finn en difflikning for I(t) fr bl I(t) = dq og Ohms lov V (t) = I(t) dt c) Hv er forskyvningsstrømmen I d mellom kondenstorpltene (i dielektrikumet) ved tid t =, 00 min? Presiser retningen på I d
TFY455/FY003 mi 206 Vedleggsside v 3 Vedlegg: FOMELLISTE Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning nts å være kjent Symbolbruk som i forelesningene Q, ρ og σ uten indeks viser til frie ldninger Q i, ρ i og σ i er indusert ldning I og J uten indeks er ledningsstrøm (conducting current), I d og J d er forskyvningsstrøm (displcement current) Coulombs lov: F 2 = q q 2 4π ˆr 2 2 E = q 4π ˆr 2 Guss lov integrlform: D da = Q E da = Q/ɛ P d A = Q i B d A = 0 Guss lov differensilform: div D = ρ div E = ρ/ɛ div P = ρ i div B = 0 Fluks: Φ E = Ampères lov: Frdys lov: E = Φ B E d A Φ = ( B d s = µ I + ɛ Φ ) E = L di dt D d A = ɛ Φ E Φ B = H d s = I + Φ E d s = Φ B Mxwells likninger: div D = ρ div B = 0 curl E = B Forskyvningsstrøm: I d = Φ, Jd = D B d A curl H = J + D curl E = B Elektrisk dipolmoment: p = qd (fr til +) Polrisering: P p = volum µ Mgnetisk (dipol)moment: µ = m = I A Mgnetisering: M = volum Krftmoment: τ = p E τ = µ B D = ɛ 0 E + P = ɛ E = ɛ 0 E P = χ e ɛ 0 E = + χ e curl H = J + D B = µ 0H + µ0m = µ H = µr µ 0H M = χmh µr = + χ m dq Elektrisk potensil: V V b = E d s, E = V, eltivt : V (r) = b 4πɛr Energi og energitetthet: U = V dq Elektrisk: u = D 2 2 E Mgnetisk: u = B 2 H Kondenstorer: C = Q V Kulekondenstor: C = 4πɛ 0 Energi: U = 2 QV = 2 CV 2 Pltekondenstor: C = ɛ A Prllellkopling: C = C i Seriekopling: d i Krft på strømførende leder: df = Id s B ( ) Lorentzkrft: F = q E + v B C = i C i Biot-Svrts lov: B = µ 0 q v ˆr 4π r 2 d B = µ 0 Id s ˆr 4π r 2 H-felt rundt lng leder: H θ = I 2πr Ohms lov: V = I, = ρ l A = σ l A ; H-felt i lng, tynn solenoide: H = I n = I N l P = V I σ E = J, der strømtetthet = J = nq vd og v d = µ E = driftsfrt
Vedleggsside 2 v 3 TFY455/FY003 mi 206 Induktns: E = L di dt di E 2 = M 2 dt, M 2 = M 2 Spoler: L = N Φ B I U = 2 LI2 Lenz lov: En indusert strøm er lltid slik t den forsøker å motvirke forndringen i den mgnetiske fluks som er årsk til strømmen Kompleks AC-signl: V (t) = V 0 e iωt = V 0 e iα e iωt I(t) = I 0 e iωt = I 0 e iβ e iωt Z = V (t) I(t) = V 0 I 0 = Z e iφ Z = Z L = iωl Z C = iωc Elektromgnetiske bølger: Bølgelikningen for E: 2 E = c 2 2 E 2 der 2 E = 2 E x x 2 î + 2 E y y 2 ĵ + 2 E z z 2 ˆk og c 2 = µɛ Bølge i ±x-retning med E plnpolrisert i y-retning: E(x, t) = E 0 ĵ cos(ωt kx), B(x, t) = B 0 ˆk cos(ωt kx) ω = 2πf k = 2π λ c = ω k = µɛ E 0 = c B 0 Bølge(vndre)retning som E B Nblopertoren: Krtesiske koordinter (x, y, z), med enhetsvektorer henholdsvis î, ĵ og ˆk: grdv = V = î V x + ĵ V y + ˆk V z divd = D = D x x + D y + D z y z curl D = D î ĵ ˆk = x y z D x D y D z Sylinderkoordinter (r, φ, z), med enhetsvektorer henholdsvis ˆr, ˆφ og ˆk : V = ˆr V r + ˆφ V r φ r (rd r) + r D = r + ˆk V z D φ φ + D z z Kulekoordinter (r, θ, φ), med enhetsvektorer henholdsvis ˆr, ˆθ, ˆφ : V = ˆr V r + ˆθ V r θ + ˆφ r sin θ D = ( r 2 ) D r 2 r + r r sin θ V φ θ (D θ sin θ) + D φ r sin θ φ Divergensteoremet og Stokes teorem for et tilfeldig vektorfelt F: F d A = F dτ F d s = ( F) d A Infinitesimle volumelement: dτ = dx dy dz dτ = r 2 dr sin θ dθ dφ kulesymmetri 4πr 2 dr dτ = r dr dφ dz sylsymmetri 2πr dr l
TFY455/FY003 mi 206 Vedleggsside 3 v 3 INNLEVEES Studieprogrm: Kndidt nr Dto: Side ) : Antll rk: Svrtbell for flervlgsspørsmål i oppgve Denne siden fylles ut, rives v og leveres inn, *) fortrinnsvis som side Husk informsjonen øverst til høyre Oppgve Mitt svr - -2-3 -4-5 -6-7 -8-9 -0 - -2-3 -4-5 -6-7 -8-9 -20-2 -22-23