Sinus 1T. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy



Like dokumenter
Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

Sinus Påbyggingsboka T

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Del 1. Generelle tips

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Sigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

Lær å bruke GeoGebra 4.0

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2PY

Løsning eksamen S1 våren 2008

GeoGebra for Sinus 2T

Lineære funksjoner. Skjermbildet

GeoGebra 4.2 og 5.0. for Sinus R2 2008

GEOGEBRA (Versjon september 2015)

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

Mer om likninger og ulikheter

GeoGebra 6 for Sinus 1P

GeoGebra 6 for Sinus 1T

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a a 6a + 1

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals

Forord. Molde, august Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra:

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Funksjoner og andregradsuttrykk

S1 Eksamen våren 2009 Løsning

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0

Regresjon med GeoGebra 4.0

SINUS R1, kapittel 5-8

GEOGEBRA (Versjon mai 2016)

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Lær å bruke wxmaxima

Lær å bruke wxmaxima

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen Bokmål

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

Nyttige tilleggsverktøy i GeoGebra

Hjelpehefte til eksamen

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8].

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger.

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS

Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

5.8 Gjennomsnittlig vekstfart

GeoGebra i R2. Grafer. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt polynomfunksjon f.

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra

Modul nr Funksjoner med GeoGebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma S1. TI-Nspire CAS

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

Funksjoner med GeoGebra

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

S1 eksamen våren 2017 løsningsforslag

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Lokal læreplan. Lærebok: Gruntall. Læringsstrategi

Manual for wxmaxima tilpasset R1

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]

2 Likningssett og ulikheter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

1.8 Digital tegning av vinkler

S1 eksamen høsten 2016 løsningsforslag

Transkript:

Sinus 1T Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS

Innhold Litt om programmene... 5 GeoGebra 4.2... 5 wxmaxima... 5 Microsoft Mathematics... 5 WordMat... 5 TI-Nspire CAS... 6 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 6 GeoGebra 4.2... 6 wxmaxima... 7 Microsoft Mathematics... 7 WordMat... 8 TI-Nspire... 8 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 9 GeoGebra 4.0 og 4.2... 9 wxmaxima... 10 Microsoft Mathematics... 11 WordMat... 12 TI-Nspire... 13 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka... 13 GeoGebra 4.0 og 4.2... 14 wxmaxima... 15 Microsoft Mathematics... 16 WordMat... 17 TI-Nspire... 19 Digital løsning av likningssett. Side 78 i læreboka... 20 GeoGebra 4.0 og 4.2... 20 wxmaxima... 22 Microsoft Mathematics... 22 WordMat... 22 TI-Nspire... 23 Nullpunkt. Side 94 i læreboka... 23 GeoGebra 4.2... 23 wxmaxima... 24 2

Microsoft Mathematics... 24 WordMat... 24 TI-Nspire... 25 Andregradslikninger. Side 102 i læreboka... 25 GeoGebra 4.2... 26 wxmaxima... 26 Microsoft Mathematics... 26 WordMat... 27 TI-Nspire... 27 Løsning av ikke-lineære likningssett. Side 107 i læreboka... 27 GeoGebra 4.2... 27 wxmaxima... 28 Microsoft Mathematics... 29 WordMat... 29 TI-Nspire... 29 Lineær regresjon. Side 192 i læreboka... 30 GeoGebra 4.0 og 4.2... 30 wxmaxima... 33 Microsoft Mathematics... 34 WordMat... 34 TI-Nspire... 35 Momentan vekstfart. Side 200 i læreboka... 37 GeoGebra 4.0 og 4.2... 38 wxmaxima... 39 Microsoft Mathematics... 39 WordMat... 39 TI-Nspire... 40 Forsøk og simuleringer. Side 240 i læreboka... 40 GeoGebra 4.0 og 4.2... 40 Binomialkoeffisienter. Side 269 i læreboka... 41 GeoGebra 4.0 og 4.2... 41 wxmaxima... 42 Microsoft Mathematics... 42 3

WordMat... 42 Binomiske forsøk. Side 270 i læreboka... 43 GeoGebra 4.0 og 4.2... 43 wxmaxima... 45 TI-Nspire... 46 4

Litt om programmene Bak i læreboka står det forklart hvordan vi kan finne Iøsninger på noen oppgaver og eksempler med grafiske kalkulatorer. I dag har de fleste 1T-elevene egne datamaskiner som de kan bruke på del 2 av prøver og eksamener. Noen matematikkprogram er også godt egnet til utforskning og til å se og forstå matematiske sammenhenger. Vi presenterer her først kort de ulike programmene vi har valgt. GeoGebra 4.2 Gjeldene offisielle versjon av GeoGebra heter i skrivende stund (juli 2012) GeoGebra 4.0. Denne versjonen inneholder ikke en fullstendig CAS-del, slik versjon 4.2 og andre kommende versjoner gjør. GeoGebra 4.2 er bare tilgjengelig som en uferdig betaversjon. Den er likevel så god at vi velger å vise løsninger i utvalgte oppgaver også med denne versjonen, som kan lastes ned fra www.geogebra.org/webstart/4.2. Klikk der på fila geogebra-42.jnlp. wxmaxima Den norske versjonen av wxmaxima er et gratisprogram som er bearbeidet og tilpasset den norske læreplanen av Bjørn Ove Thue ved Møglestu videregående skole i Lillesand. Programmet er menybasert og svært lett å bruke. Du kan laste ned wxmaxima fra denne adressen: http://www.moglestu.com/maxima/ Microsoft Mathematics Microsoft Mathematics inneholder to deler: - en frittstående del som m.a. kan brukes til å finne trinnvise løsninger av andregradslikninger og likningssett med flere ukjente. - en del som kan installeres som et tillegg i Word, og som gjør det svært enkelt å gjøre matematiske beregninger direkte i skriveprogrammet. Du kan lære mer om den generelle bruken av Microsoft Mathematics i heftet "Lær å bruke Microsoft Mathematics, matematikk-tillegget i Word og WordMat". WordMat WordMat er et avansert, gratis og brukervennlig dansk program, som kan installeres som et tillegg til Word. Det inneholder mange flere muligheter enn Microsoft Mathematics-tillegget, og er samtidig svært enkelt å bruke. Programmet vil etter hvert bli oversatt til norsk. Det kan lastes ned fra http://www.eduap.com/wordmat/ Du kan lære mer om den generelle bruken av WordMat i heftet "Lær å bruke Microsoft Mathematics, matematikk-tillegget i Word og WordMat". 5

TI-Nspire CAS TI-Nspire er en integrert pakke av matematikkverktøy, med svært mange muligheter. Programmet er ikke gratis. Prisen er avhengig av antallet lisenser som blir bestilt. TI-Nspire kan bestilles fra Alfasoft AS. http://www.alfasoft.no/produkt/ti-nspire/tinspire.html Texas Instruments har gode og informative opplæringshefter i bruken av TI-Nspire CAS. Du finner heftet "Kom i gang med TI-Nspire CAS" av Kjetil Idås på denne adressen: http://www.alfasoft.no/produkt/ti-nspire/filer/komigang.pdf Faktorisering. Side 55 i læreboka Her viser vi hvordan vi kan løse oppgave 2.92 i Sinus 1T. a) Faktoriser uttrykket x 2 4x + 3 b) Trekk sammen x 2 4x + 3 2 6 x 1 Slike oppgaver bør en kunne løse uten hjelp av digitale hjelpemidler. Vi viser her hvordan dette kan gjøres med ulike dataverktøy, fordi det kan være aktuelt å kunne dette for å spare tid ved sammensatte oppgaver og mellomregninger på del 2, der alle hjelpemidler er tillatte. GeoGebra 4.2 2 Skriv inn x 4x + 3 i CAS-vinduet i GeoGebra. Klikk på denne verktøyknappen for å faktorisere uttrykket. Skriv inn (x 2-4x+3)/6*2/(x-1) og klikk på faktoriseringsknappen. 6

wxmaxima Skriv inn x^2-4x+3 i inntastingsfeltet i wxmaxima. Klikk på Faktoriser. Skriv inn (x^2-4x+3)/6*2/(x-1) og klikk på Faktoriser. Microsoft Mathematics Trykk Alt, Shift og "0" (som er det samme som Alt og "=") for å lage et "matematisk felt". Skriv inn x^2-4x+3. Dette blir automatisk skrevet som x 2 4x + 3. Klikk Beregn, Algebra og Faktor. x 2 4x + 3 (x 3) (x 1) Trykk Alt, Shift og "0" for å lage et nytt matematisk felt. Skriv inn (x^2-4x+3)/6*2/(x-1). Dette blir automatisk skrevet som x 2 4x+3 6 2 x 1. 7

Trykk Beregn, Algebra og Faktor. x 2 4x + 3 6 x 3 3 2 x 1 WordMat Trykk Alt og M for å åpne et "matematisk felt". Skriv inn x^2-4x+3. Dette blir skrevet som x 2 4x + 3. Klikk WordMat, Reduce og Factor. x 2 4x + 3 (x 3) (x 1) Trykk Alt og M for å åpne et nytt matematisk felt. Skriv inn (x^2-4x+3)/6*2/(x-1). Dette blir skrevet som x2 4x+3 (Vi kan ev. bruke mellomromstasten for å få skrevet brøkene.) Vi får gangetegnet ved å trykke Alt og G. Klikk WordMat, Reduce og Factor. x 2 4x + 3 6 x 3 3 2 x 1 6 2 x 1. TI-Nspire Sett inn et kalkulatorfelt i TI-Nspire. Skriv factor(x^2-4x+3) og trykk Enter. OBS! Pass på å flytte markøren en plass til høyre når du har skrevet 2-tallet. Da kommer du ut av eksponentinnskrivningen og ned på hovedlinja. Klikk på ikonet for Hjelpefunksjoner. Bruk den matematiske sjablongen for brøk, som du ser i figuren til høyre nedenfor: 8

Skriv inn uttrykket slik figuren nedenfor viser, og trykk Enter. Vi kan skrive inn uttrykket uten å bruke brøksjablongene også. Da skriver vi: Factor((x^2-4x+3)/6 *2/(x-1)) og trykker Enter. Svaret blir det samme, men skrivemåten for uttrykket blir litt annerledes. Rette linjer. Side 73 i læreboka Her viser vi hvordan vi tegner linja som er beskrevet i oppgave 3.42 i læreboka. For en familie er strømutgiftene i kroner per år gitt ved y = 0,42x + 1200 der x er tallet på kilowattimer. Tegn linja digitalt når x er mellom 0 og 30 000. GeoGebra 4.0 og 4.2 Skriv Funksjon[0.42x + 1200, 0, 30000] i inntastingsfeltet i GeoGebra, og trykk Enter. Husk å bruke punktum som desimaltegn. Bruk dette verktøyet til å dra i aksene, slik at hele grafen viser. 9

Noen tips: o For å vise x og y langs aksene, høyreklikker vi et sted på grafikkfeltet, velger Grafikkfelt 1, velger fanen x-akse, og skriver x bak Navn på aksen. Deretter gjør vi tilsvarende for y-aksen. o Dersom vi ønsker å vise f(x) = 0.42x + 1200 på grafikkfeltet, høyreklikker vi på grafen og velger Navn og verdi bak Vis. wxmaxima Klikk på Grafer og velg Graf 2d Skriv inn opplysningene slik figuren nedenfor viser. (Dersom vi lar y gå fra 0 til 0, innstilles y-aksen automatisk til passende verdier.) Klikk OK. 10

Microsoft Mathematics Trykk Alt, Shift og "0" for å lage et matematisk felt. Skriv y = 0.42x+1200. Velg Diagram og Plott i 2D. Klikk på ikonet som er ringet inn nedenfor for å få fjernet den ytre rammen. Klikk på ikonet som er ringet inn nedenfor, og skriv inn plotteområdet, slik denne figuren viser. y = 0.42x + 1200 Som vi ser, er ikke inndelingen langs aksene særlig fornuftig her. 11

WordMat Klikk på WordMat og velg Show Graph. Velg GnuPlot og fyll inn opplysningene slik figuren nedenfor viser. Klikk Update for å vise grafen, og OK for å få overført grafen til Word. 12

TI-Nspire Sett inn et graf-felt. Skriv inn 0.42x + 1200 0 < x < 30000 etter f1(x)= (Vi får fram " " ved å klikke på tasten til venstre for 1 på tastaturet.) Dra i aksene for å få vist hele grafen. Dersom vi holder nede Shift-tasten, kan vi stille inn en av aksene om gangen. Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi kan løse likninger grafisk og ved hjelp av et CAS-verktøy. CAS står for Computer Algebra System, og er et verktøy som kan regne med både tall og bokstavuttrykk. Et CAS-verktøy er godt egnet til å løse likninger raskt og effektivt. Vi velger oppgave 3.54 d som eksempel. Løs likningen digitalt. 3 x 1 = 7 4 6 2 13

GeoGebra 4.0 og 4.2 Grafisk løsning: Skriv y = 3/4x - 1/6 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv y = 7/2 i inntastingsfeltet. Bruk dette verktøyet til å stille inn aksene, slik at vi tydelig ser skjæringspunktet for grafene. Velg verktøyet Skjæring mellom to objekt, og klikk en gang på hver av de to grafene. 8 4,8888... = 4 = CAS-løsning: 9 44 9 44. Løsning av likningen: x = 9 Vi kan kontrollere dette i CAS-delen til GeoGebra 4.2. Skriv inn 3/4x - 1/6 = 7/2 og klikk på dette verktøyet for å løse likningen. Løsning av likningen: x = 44 9 14

wxmaxima Grafisk løsning: I wxmaxima er det mye bedre å bruke CAS-løsningen. Klikk på Grafer og Grad 2d Skriv inn opplysningene slik det står i figuren nedenfor. Klikk OK. Som vi ser, er det ikke enkelt å lese av skjæringspunktet her nøyaktig. CAS-løsning: Skriv 3/4x - 1/6 = 7/2 i inntastingsfeltet, og klikk Regn ut. Løsning av likningen: x = 44 9 15

Microsoft Mathematics Grafisk løsning: CAS-løsningen er mye enklere og bedre enn den grafiske løsningen i MicrosoftMathematics. Vi viser likevel også den grafiske løsningen. Trykk Alt, Shift og "0" for å åpne et matematisk felt. Skriv inn y = 3/4x - 1/6. Gå til neste linje og lag et nytt matematisk felt. Skriv inn y = 7/2. Merk begge likningene, velg Diagram og Plott i 2D. y = 3 4 x 1 6 y = 7 2 Klikk på ikonet som er ringet inn på figuren til venstre nedenfor. Da får vi fjernet den ytre rammen, og får mer "vanlige" merkinger av aksene. Klikk på ikonet helt til høyre på den samme linja, og still inn aksene slik figuren til høyre nedenfor viser. Klikk OK. Som vi ser, er det ikke lett å lese av skjæringspunktet nøyaktig. 16

CAS-løsning: Trykk Alt, Shift og "0" for å åpne et matematisk felt. Skriv inn 3/4x - 1/6 = 7/2. Merk likningen og velg Beregn og Løs for x. 3 4 x 1 6 = 7 2 x = 44 9 WordMat Løsning av likningen: x = 44 9 Grafisk løsning: Klikk på WordMat på verktøylinja. Velg Show Graph, Equations og skriv inn likningene, slik figuren nedenfor viser. Klikk Update for å vise grafene, og klikk OK for å overføre grafen til Word. 17

Det er ikke lett å lese av skjæringspunktet nøyaktig her. CAS-løsning: Trykk Alt og M for å åpne et matematisk felt. Skriv inn 3/4x - 1/6 = 7/2. Trykk Alt og L for å løse likningen. Klikk OK i vinduet som dukker opp. (Der kan vi velge variabel, dersom det skulle være flere). 3 4 x 1 6 = 7 2 Løsning av likningen: x = 44 9 x = 44 9 18

TI-Nspire Sett inn et grafikkfelt og et kalkulatorfelt ved siden av hverandre. Skriv inn 3/4 x -1/6 bak f1(x) = i grafikkfeltet. Skriv inn 7/2 bak f2(x) = Still inn aksene ved å dra i dem. Velg Analyser graf og Skjæringspunkt. Velg nedre grense og øvre grense for området der TI-Nspire skal lete etter skjæringspunkt. 8 4,8888... = 4 = 9 44 9 44. Løsning av likningen: x = 9 19

CAS-løsning: Skriv inn Solve(3/4 x - 1/6 = 7/2, x) i kalkulatorfeltet, og trykk Enter. Løsning av likningen: x = 44 9 Digital løsning av likningssett. Side 78 i læreboka Vi vil her vise hvordan vi løser et likningssett med ulike CAS-verktøy. Dette kan også løses grafisk, på samme måte som forklart under "Digitale løsninger av likninger". y = 0,89x + 150 y = 1.39x + 50 Likningssett av typen som står på side 82 i læreboka kan løses på nøyaktig tilsvarende måte. Vi tar her også med en grafisk løsning med GeoGebra, fordi GeoGebra er det mest brukte digitale matematikkverktøyet til tegning av grafer i den videregående skolen. GeoGebra 4.0 og 4.2 Grafisk løsning: Skriv inn y = 0.89x + 150 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Husk punktum som desimaltegn. Skriv inn y = 1.39x + 50 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Still inn aksene med dette verktøyet. Velg Skjæring mellom to objekt og klikk først på den ene og så på den andre grafen. 20

De to abonnementene koster like mye dersom Mari ringer i 200 minutter hver måned. Begge abonnementene koster da 328 kr. CAS-løsning: Klikk på dette ikonet for å kontrollere og beholde inntastinger. Skriv inn y = 0.89x + 150 i linje 1 i CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2. Skriv inn y = 1.39x + 50 i linje 2 i CAS-verktøyet. Merk begge de grå feltene 1 og 2 til venstre for inntastingene. Klikk på dette ikonet for å løse likningssettet. De to abonnementene koster like mye dersom Mari ringer i 200 minutter hver måned. Begge abonnementene koster da 328 kr. 21

wxmaxima Klikk på Likninger og på Løs likningssett. Skriv inn 2 for antallet likninger. Skriv inn likningene slik figuren nedenfor viser. Klikk OK. De to abonnementene koster like mye dersom Mari ringer i 200 minutter hver måned. Begge abonnementene koster da 328 kr. Microsoft Mathematics Lag et matematisk felt og skriv inn y = 0.89x + 150 Gå til ny linje og lag et nytt matematisk felt. Skriv inn y = 1.39x + 50. Merk begge linjene, velg Beregn og Løs for x, y. y = 0.89x + 150 y = 1.39x + 50 (x = 200, y = 328) De to abonnementene koster like mye dersom Mari ringer i 200 minutter hver måned. Begge abonnementene koster da 328 kr. WordMat Lag et matematisk felt og skriv inn y = 0,89x + 150 Gå til ny linje og lag et nytt matematisk felt. Skriv inn y = 1,39x + 50. Merk begge linjene og trykk Alt og L for å løse likningssettet. Klikk OK i vinduet som dukker opp. 22

y = 0,89x + 150 y = 1,39x + 50 y = 328 x = 200 De to abonnementene koster like mye dersom Mari ringer i 200 minutter hver måned. Begge abonnementene koster da 328 kr. TI-Nspire Sett inn et kalkulatorfelt. Skriv inn Solve(y = 0.89x + 150 AND y = 1.39x + 50, x, y) og trykk Enter. De to abonnementene koster like mye dersom Mari ringer i 200 minutter hver måned. Begge abonnementene koster da 328 kr. Nullpunkt. Side 94 i læreboka Her skal vi vise hvordan vi kan finne nullpunktene til funksjonen f gitt ved f(x) = x 2-4x + 3. GeoGebra 4.2 Skriv inn Nullpunkt[x 2-4x + 3] i CAS-delen, og trykk Enter. Tips: Du får eksponenten 2 ved å holde nede Alt-tasten og trykke 2. Nullpunkt: x = 1 og x = 3 23

wxmaxima Skriv inn x^2-4x+3 i inntastingsfeltet. Klikk på Nullpunkt. Nullpunkt: x = 1 og x = 3 Microsoft Mathematics Lag et matematisk felt i Word. Skriv inn x^2-4x+3=0. Dette blir automatisk omformet til x 2 4x + 3 = 0. Klikk på Beregn og velg Løs for x. Vi får da løsningen rett under likningen. x 2 4x + 3 = 0 x = 1 eller x = 3 OBS! For nullpunkt skriver vi: x = 1 og x = 3, selv om vi bruker eller i løsningen av likningen. Nullpunkt: x = 1 og x = 3 WordMat Trykk Alt og M for å lage et matematisk felt. Skriv inn x^2-4x+3=0. Dette blir automatisk omformet til x 2 4x + 3 = 0. Trykk Alt og L for å løse likningen. Klikk OK i menyen som kommer opp. 24

Løsningen kommen nå rett under likningen. x 2 4x + 3 = 0 x = 1 x = 3 OBS! For nullpunkt skriver vi: x = 1 og x = 3, selv om vi bruker eller i løsningen av likningen. Nullpunkt: x = 1 og x = 3 TI-Nspire Sett inn et kalkulatorfelt i programmet. Velg Algebra og Nullpunkt. Skriv inn x^2-4x+3,x i parentesen. Dette blir automatisk ordnet til slik det står i figuren nedenfor. Vi kan også skrive inn zeros(x^2-4x+3,x) direkte. Trykk Enter. Svaret kommer nå på listeform, helt til høyre på samme linje. Nullpunkt: x = 1 og x = 3. Andregradslikninger. Side 102 i læreboka Her skal vi vise hvordan vi kan finne løsningen av andregradslikningen 2 3x 5x + 2= 0med ulike matematikkprogram. 25

GeoGebra 4.2 Skriv inn likningen i CAS-feltet. Klikk på ikonet som er ringet inn nedenfor. Løsning: x = 2 eller x = 1. 3 wxmaxima Skriv inn 3x^2-5x + 2 = 0 i inntastingsfeltet og klikk på Regn ut. Løsning: x = 2 eller x = 1. 3 Microsoft Mathematics Trykk Alt, Shift og 0 for å lage et matematisk felt. Skriv inn likningen, velg Beregn og Løs for x. 3x 2 5x + 2 = 0 x = 2 3 eller x = 1 Løsning: x = 2 eller x = 1. 3 26

WordMat Trykk Alt og M for å lage et matematisk felt. Skriv inn likningen og trykk Alt og L. Klikk OK i menyen som dukker opp. 3x 2 5x + 2 = 0 x = 2 3 x = 1 Løsning: x = 2 eller x = 1. 3 TI-Nspire Skriv Solve(3x 2-5x+2=0,x) i et kalkulatorfelt. Trykk Enter. Svaret kommer helt til høyre på den same linja. Løsning: x = 2 eller x = 1. 3 Løsning av ikke-lineære likningssett. Side 107 i læreboka Vi vil her vise hvordan vi kan løse oppgave 4.62 ved hjelp av ulike CAS-verktøy. Vi kunne også løst dette likningssettet grafisk, eller for hånd med innsettings- eller addisjonsmetoden. Her begrenser vi oss til digitale løsninger med CAS. GeoGebra 4.2 Klikk på dette ikonet for å kontrollere og beholde inntastinger. Skriv inn -2x 2-3x + y = 2 i linje 1 i CAS-verktøyet. Trykk Enter. Skriv inn x 2 + 4x - y = -4 i linje 2 i CAS-verktøyet. Trykk Enter. 27

Merk begge de grå feltene 1 og 2 til venstre for inntastingene. Klikk på dette ikonet for å løse likningssettet. Likningssettet har løsningen (x = -1 og y = 1) eller (x = 2 og y = 16) wxmaxima Klikk på Likninger og på Løs likningssett. Skriv inn 2 for antallet likninger. Skriv inn likningene slik figuren nedenfor viser. Klikk OK. Likningssettet har løsningen (x = -1 og y = 1) eller (x = 2 og y = 16) 28

Microsoft Mathematics Lag et matematisk felt, og skriv inn likningen -2x^2-3x + y = 2 Gå til ny linje og lag et nytt matematisk felt. Skriv inn likningen x^2 + 4x - y = -4. Merk begge likningene, klikk Beregn og velg Løs for x, y. 2x 2 3x + y = 2 x 2 + 4x y = 4 (x = 1, y = 1) eller (x = 2, y = 16) Likningssettet har løsningen (x = -1 og y = 1) eller (x = 2 og y = 16) WordMat WordMat bruker urimelig lang tid på å finne løsningen på dette likningssettet. Programmer finner også, som vi ser, bare en av to løsninger. Vi anbefaler ikke å bruke WordMat på slike ikke-lineære likningssett, men forklarer likevel framgangsmåten. Lag et matematisk felt og skriv inn likningen -2x^2-3x + y = 2. Gå til ny linje og lag et nytt matematisk felt. Skriv inn Skriv inn likningen x^2 + 4x - y = -4. Merk begge linjene og trykk Alt og L for å løse likningssettet. Klikk OK i vinduet som dukker opp. 2x 2 3x + y = 2 x 2 + 4x y = 4 y = 1 x = 1 TI-Nspire Sett inn et kalkulatorfelt. Skriv inn: Solve(-2x^2-3x + y = 2 AND x^2 + 4x - y = -4, x, y) og trykk Enter. Likningssettet har løsningen (x = -1 og y = 1) eller (x = 2 og y = 16) 29

Lineær regresjon. Side 192 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi kan finne likningen for den rette linja som passer best til punktene i tabellen i eksempelet på side 192 i læreboka. Tabellen er gjengitt nedenfor, og viser forbruket av alkoholfrie drikkevarer per person fra 1980 til 1998. Forbruket y er oppgitt i liter, og x er antallet år etter 1980. År 1980 1986 1992 1998 x 0 6 12 18 y 29,4 43,9 61,0 79,0 Det lar seg ikke gjøre å få til regresjon i Microsoft Mathematics på en enkel måte. GeoGebra 4.0 og 4.2 Metode 1: Åpne regnearket og skriv inn tallene, slik en av figurene nedenfor viser. Vi kan velge fritt hvilken vei vi skriver inn tabellen. Pass alltid på å bruke punktum som desimaltegn i GeoGebra. Fordelen med innskrivningsmåten til høyre ovenfor, er at vi da kan kopiere direkte fra tabellen i innledningen. GeoGebra passer på å omgjøre desimaltegn fra komma til punktum automatisk. Merk tallene, høyreklikk og velg Lag og Lag liste med punkt. Still inn aksene ved å dra i dem med dette verktøyet til alle punktene vises. Et lite triks er å plassere et punkt i origo, og så høyreklikke et sted på grafikkfeltet og velge Vis alle objekt. Da vises både alle punktene og koordinataksene. Vi kan så slette punktet i origo, som nå har gjort jobben sin. Dersom vi ikke ønsker at navnene på punktene skal vises, kan vi høyreklikke på et punkt på grafikkfeltet, velge Egenskaper, klikke på overskriften Punkt, og så fjerne haken foran Vis navn. Vi kan også velge å bare vise første kvadrant i koordinatsystemet. Det gjør vi ved å merke av for Bare i positiv 30

retning for x- og y-aksen. Vi velger så verktøyet Beste tilpasset linje fra menyen, og drar et rektangel over punktene. Vi får da likningen -7963.2x + 2880y = 82907,2. Vi kan høyreklikke på denne i algebrafeltet, og omforme den til y = 23,7x + 2243,5 Likningen for den linja som passer best med forbruket av alkoholfrie drikkevarer i perioden 1980-1998 er y = 2,76x+ 29,4 Metode 2: Skriv inn tallene i regnearket, slik det er beskrevet for Metode 1, og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. 31

Velg Lineær fra nedtrekksmenyen for ulike regresjonsmodeller. OBS! Legg merke til at y-aksen er kuttet, slik at aksene ikke krysser hverandre i origo. Med avrunding til tre gjeldende siffer, blir likningen y = 2,76x + 29,4. Likningen for den linja som passer best med forbruket av alkoholfrie drikkevarer i perioden 1980-1998 er y = 2,76x+ 29,4 Metode 3: Dersom vi skal bruke likningen til utregninger senere, kan det være en fordel å ha likningen på formen f(x) = ax + b. Da går vi fram slik: Skriv inn tallene i regnearket, slik det er beskrevet for Metode 1. Merk tallene, høyreklikk og velg Lag og Lag liste med punkt. Still inn aksene ved å dra i dem med dette verktøyet til alle punktene vises. Skriv RegPoly[Liste1, 1] og trykk Enter. RegPoly er kommandoen for polynomregresjon, Liste1 er navnet på lista med punkt og det siste 1-tallet betyr at polynomet skal være av første grad. Da blir likningen av typen f(x) = ax + b. 32

Likningen for den linja som passer best med forbruket av alkoholfrie drikkevarer i perioden 1980-1998 er f( x) = 2,76x + 29,4 wxmaxima Velg Funksjonsanalyse og Regresjon. Fyll inn x- og y-verdiene med komma mellom. Pass på å bruke punktum som desimaltegn. Velg Tilpass til y = ax + b, og klikk OK. Vi får nå tegnet punktene og den rette linja som passer best til disse. 33

Lukk grafikkvinduet. Likningen er også skrevet i hovedvinduet til wxmaxima. Likningen for den linja som passer best med forbruket av alkoholfrie drikkevarer i perioden 1980-1998 er y = 2,76x+ 29,4 Microsoft Mathematics Det er ingen direkte og enkel måte å få til regresjon i Microsoft Mathematics. WordMat WordMat finner ikke riktig likning for dette datasettet, om vi skriver de aktuelle tallene inn i en tabell, merker tallene og bruker Regression og Linear. 0 29,4 6 43,9 12 61 18 79 Da får vi likningen y = 3x + 25, som er feil. Vi kan likevel få riktig resultat i WordMat, ved å velge en annen framgangsmåte: Klikk på WordMat og velg Show Graph. Velg Points, og skriv inn x- og y-verdiene med semikolon (;) mellom. Skriv også inn de andre opplysningene, slik figuren til venstre nedenfor viser. Klikk Update for å få vist grafen. Klikk OK for å overføre grafen til Word. 34

Likningen for den linja som passer best med forbruket av alkoholfrie drikkevarer i perioden 1980-1998 er y = 2,76x+ 29,4 TI-Nspire Du finner en mer detaljert beskrivelse av regresjonsverktøyene i TI-Nspire på side 30 i heftet "Kom i gang med TI-Nspire" http://www.alfasoft.no/produkt/tinspire/filer/komigang.pdf Metode 1: Velg et todelt vindu. Sett inn Lister og regneark til venstre og Grafer til høyre. Skriv inn dataene. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Bruk punktum som desimaltall. Merk kolonne A og kolonne B. Velg Statistikk, Stat beregning og Lineær regresjon (mx + b). Klikk OK i vinduet for å lagre funksjonsuttrykket som f1(x). Trykk Enter etter f1(x) = 35

Still inn aksene ved å dra i dem, slik at vi ser et passe utsnitt av grafen. Vi kan nå lese av likningen både ut fra kolonne C og D i regnearket og direkte på grafen. Likningen for den linja som passer best med forbruket av alkoholfrie drikkevarer i perioden 1980-1998 er y = 2,76x+ 29,4 Metode 2: Sett inn Lister og regneark. Skriv inn dataene. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Merk kolonne A og kolonne B. Velg Data og Hurtig-graf. 36

Klikk på Analyser, Regresjon og Vis lineær (mx + b) Vi får nå resultatet i vinduet til høyre nedenfor. Likningen for den linja som passer best med forbruket av alkoholfrie drikkevarer i perioden 1980-1998 er y = 2,76x+ 29,4 Momentan vekstfart. Side 200 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi finner den momentane vekstfarten når x = 2 for funksjonen f, gitt ved f(x) = x 2-2x + 4. Den momentane vekstfarten er det samme som stigningstallet til tangenten i et punkt. Dette er også det samme som den deriverte til funksjonen i dette punktet. Vi skal lære mer om den deriverte i kapittel 8. For GeoGebra viser vi både hvordan vi finner stigningstallet til tangenten i et punkt, og en mer direkte måte for å finne den deriverte i det aktuelle punktet. For de andre 37

verktøyene viser vi bare hvordan vi finner den momentane vekstfarten ved å regne ut den deriverte i punktet. GeoGebra 4.0 og 4.2 Stigningstallet til tangenten: Skriv inn f(x) = x 2-2x + 4 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Still inn aksene slik at et passende utsnitt av grafen viser. Skriv deretter Tangent[2, f] og trykk Enter. Stigningstallet til tangenten er 2 når x = 2. Vekstfarten er 2 når x = 2 Den deriverte i punktet: Skriv inn f(x) = x 2-2x + 4 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv f '(2) og trykk Enter. Vi får svaret i algebrafeltet som a = 2. (GeoGebra starter fremst i alfabetet når programmet gir navn til resultat i form av tallverdier.) Vekstfarten er 2 når x = 2 38

wxmaxima Definer funksjonen f ved å skrive f(x):= x^2-2x + 4, og trykk deretter Enter. Skriv f '(2) og trykk Enter. Vekstfarten er 2 når x = 2 Microsoft Mathematics Trykk Alt, Shift og 0 for å lage et matematisk felt. Skriv inn uttrykket x 2-2x +4. Velg Beregn og Differensier på x. x 2 2x + 4 2 x 2 Vi ser nå lett at den deriverte er 2 når x = 2. Vi trenger ikke matematikkprogram til å finne den deriverte av x 2-2x + 4, men her er det viktig å vise fremgangsmåten. Den kan også brukes på mer utfordrende funksjonsuttrykk. Vekstfarten er 2 når x = 2 WordMat Trykk Alt og M for å definere et matematisk felt. Trykk Alt og D. Da kommer ordet Definer: fram. Skriv inn f(x) = x 2-2x + 4. Trykk Shift og Enter for å lage et nytt matematisk felt rett under det første. Skriv f '(2). Trykk Alt og B for å beregne verdien av dette. Vekstfarten er 2 når x = 2 Definer: f(x) = x 2 2x + 4 f (2) = 2 39

TI-Nspire Sett inn et kalkultarorfelt. Velg Kalkulus og Derivert i et punkt. Fyll inn opplysningene slik figuren nedenfor viser. Klikk OK. Vekstfarten er 2 når x = 2 Forsøk og simuleringer. Side 240 i læreboka Vi vil her vise hvordan vi kan simulere et selvvalgt antall kast med en terning, og oppsummere resultatene for dette. Vi vil også vise hvordan vi kan simulere to kast med to terninger, og vise en fordeling av summen av disse kastene. Vi forklarer her bare hvordan vi utfører disse simuleringene ved hjelp av to ferdige GeoGebra-filer. På Sinussidene finnes også flere interaktive simuleringer i Flash. GeoGebra 4.0 og 4.2 Last ned GeoGebra-fila Kast med en terning.ggb. Denne finner du på Sinussidene. Still inn antall kast ved å dra i glideren for n, eller ved å skrive for eksempel n = 200 i inntastingsfeltet. Trykk F9 for å oppdatere resultatene. 40

Last ned GeoGebra-fila Sum av to terninger.ggb fra Sinussidene. Still inn antall kast, og trykk F9 for å oppdatere resultatene. Binomialkoeffisienter. Side 269 i læreboka Vi vil her vise hvordan vi finner binomialkoeffisienten med ulike verktøy. Oppgaven: I et idrettslag er det elleve gode skiløpere. Laget skal ta ut fem løpere til et skirenn. Hvor mange måter kan de ta ut laget på? GeoGebra 4.0 og 4.2 Skriv inn Binomialkoeffisient[11, 5] og trykk Enter. Vi får svaret i algebrafeltet som a = 462. Det kan velges ut fem av elleve skiløpere på 462 ulike måter. 41

wxmaxima Klikk på Sannsynlighet og på Binomialkoeffisient Fyll inn opplysningene slik figuren nedenfor viser. Klikk OK. Vi kan også skrive binom(11, 5) i inntastingsfeltet og klikke på Regn ut. OBS! Liten b i binom. Det kan velges ut fem av elleve skiløpere på 462 ulike måter. Microsoft Mathematics Det er ingen enkel og direkte måte å finne binomialkoeffisienter i Microsoft Mathematics. WordMat Det er ingen enkel og direkte måte å finne binomialkoeffisienter i WordMat. TI-Nspire Sett inn et kalkulatorfelt. Skriv ncr(11, 5) og trykk Enter. Det kan velges ut fem av elleve skiløpere på 462 ulike måter. 42

Binomiske forsøk. Side 270 i læreboka Vi vil her vise hvordan vi kan finne svarene på oppgaven nedenfor med programmene GeoGebra, wxmaxima og TI-Nspire. Det finnes muligheter for beregning av binomiske modeller i Microsoft Mathematics og WordMat, men dette er ikke like intuitivt og enkelt som i de tre førstnevnte programmene. Oppgaven: Vi regner med at sannsynligheten for at en ungdom får kyssesyke, er 0,15. Vi velger tilfeldig 30 ungdommer og lar X være antallet blant dem som får kyssesyke. a) Finn P(X = 5). b) Finn P(2 X 5). c) Finn P(X 6). d) Finn P(X 4). Vi viser her etter tur innstillingene for de ulike deloppgavene løst med GeoGebra, wxmaxima og TI-Nspire. GeoGebra 4.0 og 4.2 Åpne sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Denne har symbolet, og vi finner den på verktøylinja for grafikkfeltet eller på verktøylinja for regnearket. Velg Binomisk fordeling, og bruk de samme valgene som figurene for de ulike deloppgavene viser. 43

PX= ( 5) = 0,1861 P(2 X 5) = 0, 6625 PX ( 6) = 0,8474 44

PX ( 4) = 0, 6783 wxmaxima Vi finner binomisk fordeling ved å klikke på Sannsynlighet og deretter velge Binomisk fordeling PX= ( 5) = 0,1861 P(2 X 5) = 0, 6625 45

PX ( 6) = 0,8474 PX ( 4) = 0, 6783 TI-Nspire Sett inn et kalkulatorfelt. Klikk på Sannsynlighet, Fordelinger og Binomisk Pdf. Fyll inn opplysningene slik figuren nedenfor til venstre viser. PX= ( 5) = 0,1861 46

I resten av oppgaven velger vi Sannsynlighet, Fordeling og Binomisk Cdf. P(2 X 5) = 0, 6625 OBS! Det er viktig å skrive inn øvre grense først, ellers kan en få problemer med å skrive inn nedre grense. PX ( 6) = 0,8474 PX ( 4) = 0, 6783 47