Sinus 2P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1
Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra 4.2... 4 wxmaxima... 4 Microsoft Mathematics... 4 WordMat... 4 TI-Nspire CAS... 5 Kurvediagram. Side 46 i læreboka... 5 GeoGebra 4.0 og 4.2... 5 WordMat... 7 TI-Nspire... 8 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 9 GeoGebra 4.0 og 4.2... 9 TI-Nspire... 10 Histogram. Side 81 i læreboka... 13 GeoGebra 4.0 og 4.2... 13 Lineær regresjon. Side 115 i læreboka... 14 GeoGebra 4.0 og 4.2... 14 GeoGebra 4.0 og 4.2... 16 wxmaxima... 17 Microsoft Mathematics... 17 WordMat... 17 TI-Nspire... 18 Polynomregresjon. Side 123 i læreboka... 19 GeoGebra 4.0 og 4.2... 20 wxmaxima... 21 Microsoft Mathematics... 22 WordMat... 22 TI-Nspire... 22 Potensregresjon. Side 131 i læreboka... 24 GeoGebra 4.0 og 4.2... 24 wxmaxima... 25 Microsoft Mathematics... 26 WordMat... 26 2
TI-Nspire... 27 Eksponentialregresjon. Side 154 i læreboka... 28 GeoGebra 4.0 og 4.2... 28 wxmaxima... 29 Microsoft Mathematics... 30 WordMat... 30 TI-Nspire... 32 3
Litt om programmene Bak i læreboka står det forklart hvordan vi kan finne Iøsninger på noen oppgaver og eksempler med grafiske kalkulatorer. I dag har de fleste 2P-elevene egne datamaskiner som de kan bruke på del 2 av prøver og eksamener. Noen matematikkprogram er også godt egnet til utforskning og til å se og forstå matematiske sammenhenger. Vi presenterer her først kort de ulike programmene vi har valgt. GeoGebra 4.2 Gjeldene offisielle versjon av GeoGebra heter i skrivende stund (juli 2012) GeoGebra 4.0. Denne versjonen inneholder ikke en fullstendig CAS-del, slik versjon 4.2 og andre kommende versjoner gjør. GeoGebra 4.2 er bare tilgjengelig som en uferdig betaversjon. Den er likevel så god at vi velger å vise løsninger i utvalgte oppgaver også med denne versjonen, som kan lastes ned fra www.geogebra.org/webstart/4.2. Klikk der på fila geogebra-42.jnlp. wxmaxima Den norske versjonen av wxmaxima er et gratisprogram som er bearbeidet og tilpasset den norske læreplanen av Bjørn Ove Thue ved Møglestu videregående skole i Lillesand. Programmet er menybasert og svært lett å bruke. Du kan laste ned wxmaxima fra denne adressen: http://www.moglestu.com/maxima/ Microsoft Mathematics Microsoft Mathematics inneholder to deler: - en frittstående del som m.a. kan brukes til å finne trinnvise løsninger av andregradslikninger og likningssett med flere ukjente. - en del som kan installeres som et tillegg i Word, og som gjør det svært enkelt å gjøre matematiske beregninger direkte i skriveprogrammet. Du kan lære mer om den generelle bruken av Microsoft Mathematics i heftet "Lær å bruke Microsoft Mathematics, matematikk-tillegget i Word og WordMat". WordMat WordMat er et avansert, gratis og brukervennlig dansk program, som kan installeres som et tillegg til Word. Det inneholder mange flere muligheter enn Microsoft Mathematics-tillegget, og er samtidig svært enkelt å bruke. Programmet vil etter hvert bli oversatt til norsk. Det kan lastes ned fra http://www.eduap.com/wordmat/ Du kan lære mer om den generelle bruken av WordMat i heftet "Lær å bruke Microsoft Mathematics, matematikk-tillegget i Word og WordMat". 4
TI-Nspire CAS TI-Nspire er en integrert pakke av matematikkverktøy, med svært mange muligheter. Programmet er ikke gratis. Prisen er avhengig av antallet lisenser som blir bestilt. TI-Nspire kan bestilles fra Alfasoft AS. http://www.alfasoft.no/produkt/ti-nspire/tinspire.html Texas Instruments har gode og informative opplæringshefter i bruken av TI-Nspire CAS. Du finner heftet "Kom i gang med TI-Nspire CAS" av Kjetil Idås på denne adressen: http://www.alfasoft.no/produkt/ti-nspire/filer/komigang.pdf Kurvediagram. Side 46 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi kan løse oppgave 2.40 i Sinus 2P med GeoGebra, WordMat og TI-Nspire. Denne oppgaven er gjerne aller enklest å løse med Excel (eller et annet standard regneark), slik det er forklart i læreboka på side 54-55, men vi velger likevel å vise framgangsmåten med noen andre digitale verktøy. GeoGebra 4.0 og 4.2 Skriv inn årstallene i kolonne A og antall millioner med HIV/AIDS i kolonne B. For å få fram minimenyen for regnearket, klikker du på den lille trekanten som er ringet inn på figuren nedenfor. Fra denne menyen kan du lett formatere utseendet på regnearket. Merk tallene, høyreklikk og velg Lag liste med punkt. Lista får navnet Liste1 i algebrafeltet. For å fjerne navnene på punktene på grafikkfeltet, høyreklikker du på et av punktene og velger Egenskaper. Så velger du alle punktene ved å klikke på overskriften Punkt. Nå kan du fjerne haken for Vis navn for alle punktene samtidig. 5
Skriv Polylinje[Liste1] i inntastingsfeltet. Trykk Enter. Høyreklikk på grafikkfeltet og velg Grafikkfelt 1. Velg innstillingene som vist i de neste tre figurene. Legg merke til at det står Årstall som navn på x-aksen, og Millioner med HIV/AIDS som navn på y-aksen. Det er også haket av for Fest til kanten for y-aksen. 6
WordMat Klikk på WordMat på verktøylinja. Klikk på Show Graph. Skriv inn koordinatene med semikolon mellom x- og y-verdiene. Trykk Enter for hvert koordinatpar. Bruk de samme avkrysningene og innstillingene som i figuren nedenfor. Hust å merke av for Forbind punkter. Klikk Update for å få oppdatert grafen, og OK for å overføre grafen til Word. 7
TI-Nspire Sett inn et felt for lister og regneark. Skriv inn årstallene i kolonne A og antall millioner personer med HIV/AIDS i kolonne B. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Merk de to kolonnene og høyreklikk. Velg Hurtiggraf. Still inn y-aksen ved å dra i et av "tverrstrekene" der slik at aksene skjærer hverandre i origo. Hold deretter nede Shift, og dra i et tverrstrek slik at alle datapunktene vises. Klikk på Plottype og velg XY-linjeplott. (Som et alternativ, kan du klikke på et av punktene, høyreklikke og så velge Forbinde datapunkter.) Du kan ev. velge Handlinger og Sett inn tekst. Deretter kan du skrive inn tilsvarende tekster som vist på figuren ovenfor til høyre. 8
Søylediagram. Side 57 i Læreboka Her vil vi vise hvordan vi løser oppgave 2.72 i Sinus 2P med GeoGebra, WordMat og TI-Nspire. På samme måte som med kurvediagram, er nok også denne oppgaven enklest å løse med Excel (eller et annet standard regneark), slik det er forklart i læreboka på side 56. Vi velger her å vise framgangsmåten med GeoGebra og TI-Nspire. GeoGebra 4.0 og 4.2 Skriv inn tallene fra oppgaven til regnearket i GeoGebra, slik figuren nedenfor viser. Merk tallene i cellene A2 til A5 og lag en liste for disse. Gjenta det samme for cellene B2 til B5 og C2 til C5. Listen heter nå Liste1, Liste2 og Liste3. Skriv i inntastingsfeltet: Søyledigram[Liste1, Liste2-0.15, 0.3]. Poenget med å skrive Liste2 0.15 er å flytte midten av hver søyle 0,15 til venstre. Dette gjør vi for at søylene for de ulike årstallene skal få plass ved siden av hverandre. Søylebredden er satt til 0,3. Skriv i inntastingsfeltet: Søyledigram[Liste1, Liste3 + 0.15, 0.3]. Vi skriver Liste3 + 0.15 for å flytte midten av hver søyle 0,15 til høyre. Still inn aksene slik figuren nedenfor viser. La det stå Kvartal langs x-aksen og kwh langs y-aksen. Høyreklikk på søylene som har fått navnene a og b i algebrafeltet. Juster fyllgraden til 100 % i Stil-menyen og la det ene settet av søyler være rødt og det andre blått. 9
TI-Nspire Sett inn et felt med regneark og lister. Skriv inn opplysningene slik figuren nedenfor viser. Kall kolonne A for x, kolonne B for y1 og kolonne C for y2. Velg Data og Oppsummeringsplott. 10
Fyll inn opplysningene, slik figuren nedenfor viser. Klikk OK. Høyreklikk på tallene under x-aksen og velg Krev kategorisk x. Velg Handlinger, Sett inn tekst, og plasser flere tekstfelt, omtrent slik figuren nederst på siden viser. Høyreklikk på en stolpe og velg Farge og Fyllfarge. La stolpene som representerer 2009 være røde og stolpene som representerer 2010 være blå. 11
12
Histogram. Side 81 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi tegner histogrammet i eksempelet på side 81-83 med GeoGebra. På Sinussidene finner du en opplæringsvideo, som viser hvordan vi lager dette histogrammet med dette programmet. GeoGebra 4.0 og 4.2 Skriv inn grenseverdiene i kolonne A, slik den neste figuren viser. Skriv deretter A2 A1 i celle B2 og kopier denne nedover til og med celle B10. Skriv inn frekvensene fra celle C2 til C10. Skriv C2/B2 i celle D2. Kopier denne nedover til og med celle D10. Lag ei liste av klassegrensene (Liste1) og lag ei ny liste av histogramhøydene i kolonne D (Liste2). Skriv Histogram[ Liste1, Liste2 ] og trykk Enter. For å få et best mulig bilde av histogrammet, kan vi høyreklikke på grafikkfeltet, velge Grafikfelt1 og stille inn verdiene slik figurene nedenfor viser. 13
Slik ser da det ferdige histogrammet ut: Lineær regresjon. Side 115 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi kan finne likningen for den rette linja som passer best til punktene som står i tabellen på side 115 i læreboka. Det er flere måter vi kan gjøre dette på, i tillegg til den som er beskrevet i læreboka. Dette gjelder både for GeoGebra 4.0 og senere versjoner. Det lar seg ikke gjøre å få til regresjon i Microsoft Mathematics på en enkel måte. GeoGebra 4.0 og 4.2 Alternativ metode 1: Åpne regnearket og skriv inn tallene, slik de står i læreboka. Merk tallene, høyreklikk og velg Lag og Lag liste med punkt. 14
Still inn aksene ved å dra i dem med dette verktøyet til alle punktene vises. Dersom vi ikke ønsker at navnene på punktene skal vises, kan vi høyreklikke på et punkt på grafikkfeltet, velge Egenskaper, klikke på overskriften Punkt, og så fjerne haken foran Vis navn. Vi kan også velge å bare vise første kvadrant i koordinatsystemet. Det gjør vi ved å merke av for Bare i positiv retning for x- og y-aksen. Vi velger så verktøyet Beste tilpasset linje fra menyen, og drar et rektangel over punktene. Vi får da likningen -6512x +275y = 616975. Vi kan høyreklikke på denne i algebrafeltet, og omforme den til y = 23,7x + 2243,5 Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 15
GeoGebra 4.0 og 4.2 Alternativ metode 2: Skriv inn tallene i regnearket, slik det er beskrevet i læreboka, og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. Velg Lineær fra nedtrekksmenyen for ulike regresjonsmodeller. OBS! Legg merke til at y-aksen er kuttet, slik at aksene ikke krysser hverandre i origo. Med avrunding til 1 desimal, blir likningen y = 23,7x + 2243,5. Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 16
wxmaxima Velg Funksjonsanalyse og Regresjon. Fyll inn x- og y-verdiene med komma mellom. Velg Tilpass til y = ax + b, og klikk OK. Vi får nå tegnet punktene og den rette linja som passer best til disse. Lukk grafikkvinduet. Likningen er også skrevet i hovedvinduet til wxmaxima. Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 Microsoft Mathematics Det er ingen direkte og enkel måte å få til regresjon i Microsoft Mathematics. WordMat Klikk på WordMat, velg Settings, og still inn Signifigant numbers (gjeldende siffer) til 4. Fyll ut tabellen, slik det er vist nedenfor, og merk tallene der. Klikk på WordMat igjen, velg Regression og Linear 17
0 2304 10 2486 20 2738 30 2882 40 3075 50 3411 60 3709 70 3998 80 4146 90 4348 100 4606 y = 23,68x + 2244 Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 TI-Nspire Du finner en mer detaljert beskrivelse av regresjonsverktøyene i TI-Nspire på side 30 i heftet "Kom i gang med TI-Nspire" http://www.alfasoft.no/produkt/tinspire/filer/komigang.pdf Sett inn Lister og regneark. Skriv inn dataene. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Merk kolonne A og kolonne B. Velg Data og Hurtig-graf. 18
Klikk på Analyser, Regresjon og Vis lineær (mx + b) Vi får nå resultatet i vinduet til høyre nedenfor. Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 Polynomregresjon. Side 123 i læreboka Framgangsmåten for regresjon med GeoGebra 4.0 er grundig beskrevet i læreboka. Her viser vi framgangsmåten for det menybaserte hurtigregresjonsverktøyet som finnes i GeoGebra 4.0 og i senere versjoner. Vi viser også polynomregresjon for de andre verktøyene vi har valgt i dette heftet. Microsoft Mathematics har ikke et eget verktøy for kurvetilpasning, og WordMat kan bare utføre polynomregresjon for andregradsfunksjoner. 19
GeoGebra 4.0 og 4.2 Alternativ metode til den som er beskrevet i læreboka Skriv inn tallene i regnearket og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. Velg Polynom og grad 3. I figuren ovenfor har vi valgt 3 gjeldene siffer. Det kan vi gjøre ved å klikke på Innstillinger, velge Avrunding og så velge antall desimaler eller antall gjeldende siffer. Den beste tredjegradsfunksjonen er gitt ved 3 2 f( x) = 0,000088x 0,0146x + 0,223x + 39,6 Vi ser at grafen stiger mot høyre når x er større enn ca. 103. Det betyr at andelen som arbeider i primærnæringene skulle øke igjen fra ca. år 2003. Det er ikke riktig, så vi må være forsiktige med å trekke modellen for langt i forhold til det vi har grunnlag for. For å regne ut hvor stor andel av befolkningen som arbeidet i primærnæringene i 1930, skriver vi inn 30 i ruta bak x = og trykker Enter. Vi kan selvsagt gjøre det samme for 1960, ved å skrive inn 60 i ruta, og trykke Enter. Ut fra modellen arbeidet 35,5 % i primærnæringene i 1930 og 19,3 % i 1960. Dette stemmer godt med de faktiske opplysningene. 20
wxmaxima Klikk på Funksjonsanalyse og velg Regresjon. Skriv inn tallene for x- og y-verdiene med komma mellom, slik figuren nedenfor viser. Velg y = ax^3 + bx^2 +cx + d og klikk OK. Lukker vi dette grafvinduet, får vi også opp likningen for tredjegradsfunksjonen i hovedvinduet i wxmaxima. Den beste tredjegradsfunksjonen er gitt ved 3 2 f( x) = 0,000088x 0,0146x + 0,223x + 39,6 Vi kan nå finne ut hvor stor andel som arbeidet i primærnæringene i 1930 og i 1960, ut fra modellen, ved å skrive inn f(30) og deretter f(60), og trykke Til desimaltall etter hver av disse inntastingene. 21
OBS! Det er veldig viktig å lukke grafvinduet før du skriver inn f(30) og f(60) i inntastingsfeltet. Ut fra modellen arbeidet 35,5 % i primærnæringene i 1930 og 19,3 % i 1960. Microsoft Mathematics Det er ingen direkte og enkel måte å få til regresjon i Microsoft Mathematics. WordMat WordMat kan bare utføre polynomregresjon for andregradsfunksjoner. TI-Nspire Vi kan her bruke samme fremgangsmåte som beskrevet under Lineær regresjon, men når vi skal bruke funksjonsuttrykket til videre utregninger kan det lønne seg å velge en annen framgangsmåte: Sett inn Lister og regneark. Lag en tredelt side, slik at du får et grafvindu og et kalkulatorvindu til høyre for Lister og regneark. Skriv inn dataene i regnearket. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Merk kolonne A og kolonne B. 22
Velg Statistikk, Stat beregning og Kubisk regresjon. Vi ser at regresjonslikningen blir lagret som f1. Klikk OK. Markøren hopper nå til grafvinduet. Trykk Enter og still inn aksene til et passe utsnitt av grafen viser. Vi kan også lese av tredjegradslikningen fra kolonne C og D i regnearket. Den beste tredjegradsfunksjonen er gitt ved 3 2 f( x) = 0,000088x 0,0146x + 0,223x+ 39,6 23
Gå til kalkulatorvinduet og skriv f1(30). Trykk Enter. Skriv f1(60) og trykk Enter. Ut fra modellen arbeidet 35,5 % i primærnæringene i 1930 og 19,3 % i 1960. Potensregresjon. Side 131 i læreboka GeoGebra 4.0 og 4.2 Alternativ metode til den som er beskrevet i læreboka: Skriv inn tallene i regnearket og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. Velg Potensregresjon 24
3.226 Den beste potensfunksjonen er T( x) = 0.000877 x. Ut fra modellen skulle tallet på fasttelefonabonnenter 1. januar 2001 være 1 309 000 og 1. januar 2006 skulle det være 2 997 000. Se kommentarer i læreboka om hvordan modellen stemmer med de faktiske tallene. wxmaxima Klikk på Funksjonsanalyse og velg Regresjon. Skriv inn tallene for x- og y-verdiene med komma mellom, slik figuren nedenfor viser. Velg y = ax^b og klikk OK. 25
Lukk grafvinduet. 3.226 Den beste potensfunksjonen er T( x) = 0.000877 x. Vi skriver nå inn f(82) og trykker Til desimaltall. Til slutt skriver vi f(106) og trykker Til desimaltall. Vi får da tallet på fasttelefonabonnement i tusen, ut fra modellen. Ut fra modellen skulle tallet på fasttelefonabonnenter 1. januar 2001 være 1 309 000 og 1. januar 2006 skulle det være 2 997 000. Microsoft Mathematics Det er ingen direkte og enkel måte å få til regresjon i Microsoft Mathematics. WordMat Klikk på WordMat, velg Settings, og still inn Signifigant numbers (gjeldende siffer) til 4. Fyll ut tabellen, slik det er vist nedenfor, og merk tallene der. Klikk på WordMat igjen, velg Regression og Power. 26
Likningen blir nå skrevet på formen y = 50 291 60 455 70 708 80 1114 90 2070 100 2448 y = 0,0008747 x 3,227 3.226 Den beste potensfunksjonen er T( x) = 0.000877 x. Vi kan nå definere denne funksjonen ved å trykke Alt og D, og skrive inn likningen. Definer: T(x) = 0,000877 x 3,226 Vi trykker Alt og M for å lage et matematisk felt. Deretter skriver vi Inn T(82) og trykker Alt og B for å beregne denne verdien. Vi gjentar det samme for T(106). T(82) = 1309 T(106) = 2997 Ut fra modellen skulle tallet på fasttelefonabonnenter 1. januar 2001 være 1 309 000 og 1. januar 2006 skulle det være 2 997 000. TI-Nspire Lag et tredelt vindu som forklart tidligere. Skriv inn dataene i regnearket. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Merk kolonne A og kolonne B. Velg Statistikk, Stat beregning og Potensregresjon. Klikk OK for å lagre funksjonen som f1(x). 27
Trykk Enter etter f1(x) for å få plottet grafen. Vi skriver nå inn f1(82) og f1(106) i kalkulatorvinduet for å få regnet ut antallet fasttelefonabonnement i tusen 2001 og i 2006. Eksponentialregresjon. Side 154 i læreboka Vi viser her framgangsmåtene på tilsvarende måte som for polynomregresjon. GeoGebra 4.0 og 4.2 Alternativ metode til den som er beskrevet i læreboka: Skriv inn tallene i regnearket og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. Velg Eksponentiell. Den eksponentialfunksjonen som passer best er: ( ) = A x 158,0 1,315 x 28
For å finne antallet mobilabonnenter 1. januar 2001 og 1. januar 2006, skriver vi først inn 11 (2001 er 11 år etter 1990) i ruta for x, og trykker Enter. Deretter skriver vi inn 16 og trykker Enter igjen. Vi kan da lese av antallet mobilabonnement i tusen for de to aktuelle årene, ut fra modellen. Se kommentar om gyldigheten av modellen i læreboka. wxmaxima Klikk på Funksjonsanalyse og velg Regresjon. Skriv inn tallene for x- og y-verdiene med komma mellom, slik figuren nedenfor viser. Velg y = ab^x og klikk OK. 29
Den eksponentialfunksjonen som passer best er: ( ) = A x 158,0 1,315 x Lukk grafvinduet, og skriv inn f(11) i inntastingsfeltet. Trykk Enter. Gjenta dette for f(16). Microsoft Mathematics Det er ingen direkte og enkel måte å få til regresjon i Microsoft Mathematics. WordMat 0 180,6 2 234,4 4 368,5 6 981,3 8 1676,7 10 2663,5 12 3593,2 Vi får en feilmelding dersom vi forsøker med eksponentiell regresjon med WordMat på datasettet i tabellen ovenfor. Dette skjer selv om vi har valg komma som desimaltegn i Settings. (Se figuren til høyre nedenfor.) 30
Vi kan omgå problemet ved å velge WordMat, Show Graph og GnuPlot. Vi skriver inn punktene og stiller inn aksene, slik figuren til høyre nedenfor viser. Den eksponentialfunksjonen som passer best er: ( ) = A x 158,0 1,315 x Vi kan nå definere denne funksjonen i WordMat ved å trykke Alt og D. Så skriver vi inn likningen for funksjonen. (Vi trykker Alt og G for gangetegn.) Definer: A(x) = 158 1,315 x Deretter er det lett å regne ut A(11) og A(16). Det gjør vi ved å trykke Alt og M, skrive A(11) og trykke Alt og B for å beregne verdien. Vi gjentar deretter dette for A(16). 31
A(11) = 3212 A(16) = 1,263 10 4 TI-Nspire Lag et tredelt vindu som forklart under polynomregresjon. Skriv inn dataene i regnearket. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Merk kolonne A og kolonne B. Velg Statistikk, Stat beregning og Eksponentiell regresjon. Trykk Enter etter f1(x). Den eksponentialfunksjonen som passer best er: ( ) = A x 158,0 1,315 x Vi skriver nå inn f1(11) og f1(16) i kalkulatorvinduet for å få regnet ut antallet mobiltelefonabonnement i tusen 1. januar 2001 og 1. januar 2006. 32