Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning med GeoGebra... 10 Oppgave 5... 10 Litt algebra... 12 Oppgave 6... 12 Noen beviser for Pytagoras læresetning... 14 Oppgave 7... 14 Oppgave 8... 14 1
Alle oppgavene i dette heftet er hentet fra lærebøker i Sinus-serien fra Cappelen Damm. Plotting av grafer og funksjonsanalyse Oppgave 1 a) Tegn grafen til f(x) = -x 2 + 4x 3 digitalt. b) Løs likningene digitalt. 1) -x 2 + 4x 3 = 0 2) -x 2 + 4x 3 = x 7 c) Finn arealet som er avgrenset av de to grafene til funksjonene 2 f( x) x 4x 3 og g( x) x 7. Løsning a) Åpne GeoGebra og skriv f(x) = -x 2 + 4x 3. Du får fram 2 ved å holde nede Alttasten og trykke 2. Trykk Enter. For å få et passe stort utsnitt av grafen, kan du holde nede høyre musetast og dra et rektangel over det området av grafen som du vil vise. GeoGebra zoomer da inn slik at dette rektangelet fyller hele grafikkfeltet. b) 2
Skriv Nullpunkt[f] og trykk Enter. Når du har skrevet 2-3 bokstaver kommer forslaget Nullpunkt[ ]. Trykk da Enter for å komme mellom klammeparentesene og trykk Enter igjen. Vi får nå avmerket nullpunktene på grafen og får koordinatene til disse i algebrafeltet. Se figuren øverst på neste side. Likningen -x 2 + 4x 3 = 0 har løsningen x = 1 eller x = 3. Skriv i inntastingsfeltet g(x) = x 7 og trykk Enter., til begge grafene og skjærings- Dra i aksene med dette verktøyet punktene vises. Skriv i inntastingsfeltet Skjæring[f,g] og trykk Enter. Vi ser da koordinatene til skjæringspunktet i algebrafeltet. 3
-x 2 + 4x 3 = x 7 har løsningen x = -1 eller x = 4. c) Vi ser av figuren at f(x) > g(x) når 1 x 4. Skriv i inntastingsfeltet:. Trykk Enter. Vi ser at arealet er 20,83. Oppgave 2 a) Tegn grafen til f(x) = x 4-4x 2 digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn topp- og bunnpunktene til f. 2 d) Finn topp og bunnpunktene til g( x) sin( x) x, x 0,6 e) Fyll inn verditabellen for g(x). x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 g(x) Løsning a) Åpne GeoGebra og skriv f(x) = x 4-4x 2. Du får fram 4 ved å holde nede Alttasten og trykke 4. Trykk Enter. 4
Still inn aksene slik at et passe utsnitt av grafen vises. b) Skriv i inntastingsfeltet Nullpunkt[f] og trykk Enter. Koordinatene til nullpunktene vises nå i algebrafeltet. c) f(x) har nullpunktene x = -2, x = 0 og x = 2. Skriv i inntastingsfeltet Ekstremalpunkt[f] og trykk Enter. Koordinatene til toppunktet og bunnpunktene vises nå i algebrafeltet. f(x) har toppunktet (0,0) og bunnpunktene (-1.41,4) og (1.41,4). 5
d) Åpne ei ny GeoGebra-fil. For å avgrense grafen til definisjonsmengden 2 0,6, skriver du: g(x)= Funksjon sin( x) x,0,6. Trykk Enter. Når du har skrevet de første to-tre bokstavene av ordet Funksjon, foreslår GeoGebra resten av den kommandoen du ønsker. Dette er merket med blått.. Trykk Enter for å komme mellom hakeparentesene. Når du ikke har en ren polynomfunksjon, kan du ikke bruke kommandoen Ekstremalpunkt for å finne topp- og bunnpunkter. Gå til nettsiden www.inter-ped.no/geogebra og last ned og installer verktøyet Ekstremalpunkt2.ggt som ligger der. For å lære hvordan du bruker dette verktøyet, kan du se de to opplæringsvideoene Last ned nyttige tilleggsverktøyer og Nullpunkter og ekstremalpunkter. Opplæringsvideoene er av typen flv (flashvideo), og krever gjerne at du laster ned flv-spilleren fra lenka øverst på den samme nettsiden. Ekstremalpunktene er merket med rødt på figuren nedenfor. 6
e) Se ev. opplæringsvideoen Verditabell på www.inter-ped,no/geogebra. Klikk på Vis på verktøylinja og merk av for Regneark. Skriv 0.5 (husk punktum som desimaltegn) i celle A1. Skriv 1 i celle A2. Merk de to cellene og klikk på den lille firkanten nede i høyre hjørne på celle A2. Dra nedover med venstre musetast nede til og med til celle A13. Skriv =g(a1) i celle B1, og trykk Enter. Kopier nedover til og med celle B13. Du har nå en verditabell for g(x), og kan kopiere disse verdiene inn i tabellen i oppgaven. Du kunne også ha laget denne tabellen horisontal. Da er det lettere å kopiere direkte til en digital tabell. 7
Oppgave 3 a) Tegn grafen til f(x) = x 5 5x 3 + 4x. Hvor mange nullpunkter har grafen? b) Hvor mange topp og bunnpunkter har grafen? c) Hvor mange nullpunktert tror du en funksjon av grad n kan ha maksimalt? d) Hvor mange topp- og bunnpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha maksimalt? Løsning Åpne GeoGebra og skriv i inntastingsfeltet f(x) = x 5 5x 3 + 4x. Trykk Enter. Still inn aksene slik at et passe utsnitt av grafen vises. a) Grafen har fem nullpunkter. b) Grafen har til samen fire toppunkter/bunnpunkter. c) En funksjon av grad n kan ha maksimalt n nullpunkter. d) En funksjon av grad n kan ha maksimalt n - 1 topp- og bunnpunkter. Å plassere et bilde i GeoGebra Oppgave 4 Gå til www.inter-ped.no/kurs og last ned bildet Nattverden av Leonardo da Vinci. Åpne GeoGebra. Skjul regneark, algebrafelt, akser og rutenett ved å klikke på Vis på verktøylinja og velge bort disse. 8
Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne på dette verktøyet verktøyet Sett inn bilde. og velg Klikk på grafikkfeltet der du vil ha nedre venstre hjørne av bildet. Nå dukker det opp en meny der du skal finne fram til bildet som du lagret, merke dette og klikke OK. Velg verktøyet Stråle gjennom to punkter og trekk perspektivlinjene for å finne forsvinningspunktet på bildet. For at strålene skal vise bedre, kan du høyreklikke på en av dem og velge Egenskskaper. Deretter kan du klikke på overskriften Stråler, slik at alle strålene er merket og velge en gul farge fra arkfanen Farge. Velg verktøyet Skjæring mellom to objekter og klikk deretter på to av perspektivlinjene. 9
Hvorfor tror du Leonardo da Vinci har plassert forsvinningspunktet akkurat der? Vektorregning med GeoGebra Oppgave 5 a) Vi har vektorene v [6,4] og u [ 2,3]. Tegn vektorene som piler i koordinatsystemet. (Mål VG2T-G-1, R1-G-5) b) Finn ut om vektorene står på hverandre. (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) c) Hva blir summen av vektorene? (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) d) Regn ut 1 w v 2 u (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) 2 e) Du starter i punktet A, som har koordinatene (10,1) Hva er koordinatene til B om w AB? (Mål VG2T-G-2, R1-G-6). Løsning på oppgave 5 Først litt om vektorer i GeoGebra: Dersom du skriver A=(2,5) får du punktet A. Dersom du skriver a=(7,3) får du vektoren a avtegnet som ei pil med start i origo og som ender i punktet (7,3) Dersom du skriver A + a, får du avtegnet et punkt B, som har koordinatene til endepunktet for en vektor a med start i A. Skriver du v = A + a, får du tegnet en vektor med start i origo og som ender i punktet B. 10
a) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Vis akser og rutenett. Skriv v = (6,4) og trykk Enter. Skriv u = (-2,3) og trykk Enter. b) Skriv inn: Skalarproduktet = u*v og trykk Enter. Vi ser at Skalarproduktet blir 0. Det betyr at u v. c) Skriv: sum = u + v og trykk Enter. Vi ser at summen av vektorene blir [4,7], men GeoGebra skriver verktorkoordinater slik: (4,7) Skriver vi Sum i stedet for sum, får vi et punkt fordi vi startet med stor bokstav. Vi trenger ikke skrive Skalarproduktet = eller sum =, men det gjør det lettere å se hva vi har regnet ut. Vi kunne ha skrevet bare u*v og u+v. Da hadde GeoGebra valgt navn på resultatene ved å starte på første ubrukte bokstav i alfabetet.. d) Skriv w = 1/2*v+2*u og trykk Enter. Vi får tegnet svaret som en vektor med start i origo og som ender i (-1,8). I algebrafeltet står det w = (-1,8) Vi kan se at dette stemmer med utregningene: 1 [6,4] 2 [ 2,3] [3,2] [ 4,6] [3 4,2 6] [ 1,8] 2 11
e) Skriv A = (10,1). Skriv B = A + w og trykk Enter. Vi ser at koordinatene til B blir (9,9). Dersom vi skriver vektor[a,b] og trykker Enter, finner vi at denne vektoren (som GeoGebra kaller z) har koordinatene [-1,8]. Dette skriver GeoGebra slik: (-1,8). Vi ser at z w Litt algebra Oppgave 6 Hittil har det vært mye funksjoner og geometri og lite av algebra. Algebra-delen til GeoGebra avgrenser seg stort sett til å finne uttrykk for den deriverte, ubestemte integral og utregning av parenteser som inneholder x. GeoGebra kan altså utføre litt algebra med x 12
a) Finn en tredjegradsfunksjon som har ekstremalpunkt for x 1 = -3 og x 2 = 7. Konstantleddet i tredjegradsfunksjonen er 0. b) Finn den femtederiverte av x 2 sin( x). c) Multipliser ut 4 ( x 2). Løsning på oppgave 6 a) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Merk av for Algebrafelt. Klikk og dra i kanten mellom algebrafeltet og grafikkfeltet slik at algebrafeltet blir litt bredere. Skriv: f(x)=(x+3)(x-7) og trykk Enter. Skriv: Integral[f] og trykk Enter. Du får at den søkte funksjonen g(x) = 1 3 x3-2x 2 21x Høyreklikk på f(x) i algebrafeltet og fjern merkinga av Vis objekt. Høyreklikk på grafikkfeltet, klikk på x-akse:y-akse og la forholdet være 1:10 Bruk verktøyet for å flytte grafikkfeltet og flytt på grafen slik at du får med både toppunktet og bunnpunktet. b) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Skriv f(x) = x 2 sin(x) og trykk Enter. Du får fram eksponenten 2 ved å holde nede Alt-tasten på tastaturet og deretter trykke 2. Vi finner den deriverte ved å skrive f (x), den dobbelderiverte ved å skrive f (x) og den femtederiverte ved å skrive f (x) For å få en ferdig forkortet versjon av den femtederiverte skriver vi i inntastingsfeltet:..trykk Enter. Svaret blir da: g x x x x x x 2 ( ) cos( ) 20cos( ) 10 sin( ) c) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Skriv RegnUt[(x 2) 4 ] eller Polynom[(x - 2) 4 ] og trykk Enter. Da får du at: 4 4 3 2 ( x 2) x 8x 24x 32x 16 13
Her er en interessant variant, der vi utnytter glidere og kan bruke dette til å finne binomialkoeffisienter: Skriv inn n=1 og trykk Enter. Skriv a=1 og trykk Enter. Skriv f(x) = Polynom[(x-a)^n] og trykk Enter. Høyreklikk etter tur på n og a og lag glidere for disse ved å merke av for Vis objekt. Høyreklikk på gliderne, velg Egenskaper og la dem gå frå 1 til 5. La animasjonstrinnene være 1. Klikk på verktøyet for å flytte objekter, og flytt på glideren for n. Vi finner binomialkoeffisientene når a = 1. Flytt på glideren for a og se hvordan utregningen forandrer seg. Noen beviser for Pytagoras læresetning Oppgave 7 Gå til nettsiden: http://home.hia.no/~cornelib/animasjon/matematikk/katetsetning.html Forklar de ulike overgangene og hvorfor dette er et bevis for Pytagoras læresetning. Oppgave 8 Gå til nettsiden www.inter-ped.no/kurs og last ned GeoGebra-fila Bevis for Pytagoras.ggb Forklar at opplysningene stemmer før du går videre i beviset ved å flytte på gliderne. Dette var noen smakebiter på hvordan en kan bruke GeoGebra i forhold til de nye læreplanmålene i LK-06. Lykke til med bruken av programmet i 14
klasserommet. Her er det nesten bare fantasien som setter grenser for hva en kan få til. Send gjerne spørsmål, innspill og kommentarer til: sigbjorn.hals@sfj.no Mobilnr. 90519333 15