Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no
Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har for dårlig grunnlag innen matematikk, og spesielt innen algebra. Eksempler: Lærerutdanning, ingeniørutdanning. Internasjonale komparative studier av elevers matematikkunnskaper viser at norske elever har lavere kompetanse innen algebra enn innen andre områder av matematikken, sammenliknet med andre land som har en ressurssituasjon noenlunde på høyde med den norske. Eksempler: TIMSS 8. trinn, TIMSS Advanced 13. trinn (populasjon R2 i Norge), PISA.
Fra norsk rapport TIMSS 2011 og TIMSS Advanced 2008 (neste)
Hvorfor styrker man algebra i skolen? (forts.) Norske undersøkelser bekrefter inntrykket fra de internasjonale studiene. Eksempel: Norsk matematikkråds test av begynnerstudenters kompetanse i matematikk (NMR-testen) Algebraen på ungdomstrinnet oppleves som lite meningsfull av mange elever. Lærere har lenge rapportert at dette feltet er den delen av matematikken som det er vanskeligst å motivere elevene for.
Hvorfor styrker man algebra i skolen? (forts.) Konklusjon: «Tradisjonen» for undervisning av algebra på norsk ungdomstrinn fungerer dårlig. Dette gjelder både i forhold til land vi kan sammenlikne oss med ressursmessig, og i forhold til undervisning av andre emner innenfor matematikken. «Skylden» for dette ligger antakelig ikke hos den enkelte lærer. Det er her snakk om en tradisjon nedfelt gjennom læreplaner, lærebøker osv. Mangler ved matematikkundervisningen på tidligere trinn kan også spille en vesentlig rolle. Samtidig er algebra grunnleggende for videre utdanninger som krever matematikk. Det er innenfor dette området mye av potensialet for progresjon innen abstraksjonsevne og matematisk tenkning ligger. Algebraisk tenkning som generalisering av tallregning er viktig for alle elever.
Hva er problemet? Algebra blir for mange norske elever et ganske meningsløst spill med symboler. Målet er å få riktig svar, altså å respondere med de riktige symbolkombinasjonene. Eksempel: Konkret tolkning av variable som objekter. Det kan være fristende å forklare forenklingsoppgaver som 4a b 5b 2a 2a 6b ved å si at a står for appelsin og b for banan. Senere kommer imidlertid elevene bort i forenklingsoppgaver av typen ab b b( a 1) a 1 b b Her fungerer tolkningen med appelsiner og bananer svært dårlig.
Algebra i Nummer Vi legger stor vekt på forskjellen mellom det som er funnet på og det som er funnet ut i matematikken. Det som er funnet på, er definisjoner, terminologi, skrivemåter (notasjon) og så videre. Eksempler: 3a a a a 3 a a a a Det som er funnet ut, er matematiske setninger («teoremer») som krever en begrunnelse (et bevis). Eksempler: Pytagoras setning, faktorenes orden er likegyldig, formelen for arealet av en trekant, at vinkelsummen i en trekant er 180 grader.
Algebra i Nummer (forts.) I innlæringsfasen legger vi stor vekt på arbeid med regneuttrykk der det inngår mer enn èn regneoperasjon, men der det ikke inngår bokstaver. Eksempel: 12 barn er i et rom. Så kommer 5 barn til inn. Deretter får alle barna i rommet 3 plommer hver. Hvor mange plommer fikk alle barna til sammen? «Mellomtrinnsføring»: 12 5 17 3 17 51 Føring med ett sammensatt regneuttrykk: 3 (12 5) 3 17 51 Arbeidet med sammensatte regneuttrykk der det kun inngår tall, gir en mellomstasjon på veien fra regneuttrykk med kun en regneoperasjon og kun tall, til uttrykk med både variable og flere operasjoner.
Algebra i Nummer (forts.) Eksempel på regneuttrykk med to regneoperasjoner og variable: a ( x 5)
Algebra i Nummer (forts.) Mest vanlig i Norge: En operasjon, ingen bokstaver Flere operasjoner, bokstaver Nummer: En operasjon, ingen bokstaver Flere operasjoner, men kun konkrete tall Flere operasjoner, bokstaver
Struktur i Nummer 9 kap 1 (Algebra) 1A handler om «funnet på»-siden av algebra. Det gjennomgås systematisk hva ulike algebraiske uttrykk betyr slik de er skrevet. Herunder: Regler for bruk av parenteser, «usynlige» parenteser og regnerekkefølge. 1B handler om 10 grunnleggende algebraiske lover. Disse representerer «funnet ut»-siden av algebra. Fremstillingen kulminerer med en oversikt over alle de 10 reglene og opplegg for hvordan klassen kan lage en plakat med oversikt over dem alle. 1C tar for seg bruk av de 10 grunnleggende reglene fra 1B, inkludert teknikken med å sette inn regneuttrykk for hver av variablene i reglene. 1D, 1E og 1F tar for seg henholdsvis arbeid med å lage formler, arbeid med likninger og arbeid med ulikheter.
De 10 lovene i seksjon 1B (side 42) 1 2 a b b a a ( b c) ( a b) ( a c) 7 a b a b c c c 3 a ( b c) ( a b) ( a c) 8 a b a b c c c 4 5 6 a ( b c) ( a b) c a ( b c) a b c a ( b c) a b c 9 10 a a c b b c a c a c b d b d
Arbeidssekvens i kapittel 1B Alle de 10 lovene behandles på samme måte. Målet med dette er at elevene skal forstå hva en algebraisk lov er gjennom å se likhetene. Sekvensen er slik (se side 22 utdelt særtrykk): En utforskende oppgave der målet er å oppdage loven En oppsummering av mønsteret loven beskriver, og selve loven satt opp i en viktigboks En «generisk» regnefortelling som forklarer hvorfor loven er riktig. Konstruksjonsmetode: Finn en tolkning av venstre side i hver lov. Tolkningen vi da kunne overføres til høyre side, og elevene vil kunne se at de to sidene representerer to ulike måter å regne ut det samme på. En oppgave som fokuserer på det «generiske» aspektet ved regnefortellingen, ved at elevene får i oppdrag å endre tallene etc.
Eksempel: Lov 7 (addisjon av brøker) a b a b c c c For å begrunne denne ved en regnefortelling, tar vi utgangspunkt i venstre side av loven. Der utføres to divisjoner, og resultatene adderes. Vi trenger altså en kontekst der resultatene av to divisjoner legges sammen. Med andre ord: Vi må lage en uoppstilt oppgave som kan besvares ved å utføre to divisjoner og deretter addere resultatene.
1C: Bruk av lovene Sentralt poeng: Hver bokstav (variabel) i de algebraiske lovene kan erstattes med et uttrykk. Se eksempel 16 side 49. Oppgave: 1.49 (se løsningsforslag i lærerens bok)