HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 16.mai 1 Varighet/eksamenstid: Emnekode: Emnenavn: 5 timer EDT4T Signalbehandling Klasse(r): EI EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e): (navn og telefonnr på eksamensdagen) Håkon Grønning tlf. 979548 Ingrid Kvakland tlf. 73559596 Kontaktperson(adm.) (fylles ut ved behov kun ved kursemner) Hjelpemidler: Oppgavesettet består av: (antall oppgaver og antall sider inkl. forside) Vedlegg består av: (antall sider) Kalkulator HP3S, Citizen SR7 eller Citizen SR7X 4 oppgaver over 7 sider inkl. forside 4 sider Merknad: Oppgaveteksten kan beholdes av studenter som sitter eksamenstiden ut. NB! Les gjennom hele oppgavesettet før du begynner arbeidet, og disponer tiden. Dersom noe virker uklart i oppgavsettet, skal du gjøre dine egne antagelser og forklare dette i besvarelsen. Lykke til!
Oppgave 1 (16%) π Gitt et kontinuerlig signal x( t) = 4cos(π 1 t + ) a) Uttrykk signalet x( t ) som en sum av to komplekse eksponentialfunksjoner. b) Tegn opp spektrumsrepresentasjonen til signalet x( t ). Ta med både amplitudespekter og fasespekter. Husk å sette navn og verdier på aksene. Gitt et diskret signal x[ n] 4cos( π π = 3 n + ) c) Tegn opp spektrumsrepresentasjonen til signalet x[ n ]. Ta med både amplitudespekter og fasespekter. Husk å sette navn og verdier på aksene. d) Anta at x[ n ] er framkommet ved å sample (punktprøve) x( t ). Hvilken samplingsfrekvens f s er benyttet?
Oppgave (38%) x[n] h[n] y[n] Figur.1 LTI-system. LTI-systemet vist over er beskrevet ved differensligningen 1 1 1 y[ n] = x[ n] + x[ n 1] + x[ n ] 3 3 3 a) Hva er enhetspulsresponsen h[ n ] til dette systemet? Svaret skal gis både som et uttrykk og som en skisse. Tegn blokkdiagram for systemet. b) Anta at inngangssignalet til systemet er x[ n] = δ [ n] + δ[ n 1] + δ [ n ] + δ [ n 3] Hva blir da utgangssignalet y[ n ]? c) Finn enklest mulig uttrykk for frekvensresponsen, Finn også et enklest mulig uttrykk for amplituderesponsen, faseresponsen, { H (e ω )}, til systemet. H (e ω ), til dette systemet. H (e ω ), og d) Skisser amplituderesponsen og faseresponsen til systemet. Navngi aksene og skriv karakteristiske verdier på skissen. e) Anta at inngangssignalet er: x[ n] 3 cos( π = + n) + cos( n) 3 3 for < n < Finn et uttrykk for utgangssignalet. f) Hva kan et system som vist i figur.1 kalles? g) Systemet i figur.1 har en egenskap som i en del sammenhenger er svært verdsatt. Hvilken egenskap er dette. 3
h) Anta nå at systemet i figur.1 kaskadekobles med et annet system som er 3 3 beskrevet av differensligningen y[ n] = x[ n] x[ n 1]. Finn enhetspulsresponsen til det kaskadekoblede systemet. 3 3 i) Systemet beskrevet med differenseligningen y[ n] = x[ n] x[ n 1] har amplituderespons som vist i figur.. Skisser amplituderesponsen til det kaskadekoplede systemet. 3 Amplituderespons til systemet med differenseligning y[n]=3/x[n]-3/x[n-1].5 Amplituderespons 1.5 1.5.5 1 1.5.5 3 3.5 Diskret vinkelfrekvens Figur. Amplituderespons som funksjon av diskret vinkelfrekvens mellom og π. 4
Oppgave 3 (3%) a) Gitt signalet x( t) = u( t + ) u( t ). Finn den fouriertransformerte til x(t). Skisser x(t) og den fouriertransformerte til x(t), X ( jω ). b) Gitt signalet p( t) = cos( πt). Finn den fouriertransformerte til p(t). Skisser p(t) og den fouriertransformerte til p(t), P( jω ). Figur 3.1 c) Gitt at x(t) og p(t) multipliseres som vist i figur 3.1. Skisser y(t). Finn et uttrykk for Y ( jω ) og skisser Y ( jω ). x(t) h(t) y(t) Figur 3. LTI-system d) Gitt et lineært, tidsinvariant system som vist i figur 3.. Systemets t impulsrespons er gitt av h( t) = e u( t). Finn et uttrykk for systemets frekvensrespons H ( jω ) og systemets amplituderespons H ( jω ). Skisser amplituderesponsen. Hva kan et system med en slik amplituderespons kalles? e) Systemet påtrykkes signalet x( t) = δ ( t). Finn et uttrykk for og skisser utgangssignalet. 5
f) Systemet påtrykkes signalet x( t) = u( t). Finn et uttrykk for og skisser utgangssignalet. g) Systemet påtrykkes signalet x( t) = sin( t). Finn et uttrykk for og skisser utgangssignalet. 6
Oppgave 4 (16%) Gitt det diskrete signalet x1[ n] 4cos( π π = 3 n + ) a) Bestem hvor mange sampler N det er i en periode av signalet x [ ] 1 n og beregn deretter en N-punkt Diskret Fouriertransform (DFT), X [ ] 1 k, til signalet. b) Bestem hvilke diskrete frekvenser ˆk ω hver verdi av k = til k = N-1 tilsvarer og tegn resultatet i a) som et spekter. 9 DFT til periodisk signal x[n] 8 7 6 amplitude 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 k Figur 4.1. DFT til diskret periodisk signal x [ n ] Gitt et periodisk diskret signal x [ n ] med periode N=8. DFT signalet x [ n ], X [ k ], er vist i Figur 4.1 over. Vi antar at fasespekteret er lik for alle verdier av k. c) Bruk informasjonen fra Figur 4.1 og finn et uttrykk for det periodiske diskrete signalet x [ ] n. (Det er mulig å besvare dette uten å gjøre fulstendige beregninger.) d) Anta nå at signalet er det samme som i c), men at DFT lengden økes til N=16. Skisser hvordan DFT-plottet vil se ut da. 7
Vedlegg 1 8
Vedlegg Komplekse Fourierrekker: Analyse: T 1 jπ fkt ak = x( t) e dt T = k= jπ Syntese: x( t) ak e f kt Diskret tid Fouriertransformasjon (frekvensresponsen til FIR-filter): M M ω ωk ωk = k = k= k= H (e ) b e h[ k]e Diskret Fouriertransformasjon: N 1 n= π k n -j N X[k] = x[n] e for k N 1 Invers diskret Fouriertransformasjon: N 1 π k n 1 j N x[n] = X[k] e for n N 1 N k= 9
Vedlegg 3 1
Vedlegg 4 FOURIERTRANSFORMASJONEN FOR ANALOGE OG DISKRETE SYSTEMER: For analoge LTI-system gjelder: t= H( j ω) = h(t) e dt = H( j ω) e t= jωt j H( j ω) hvor H(jω) er systemets frekvensrespons og h(t) er systemets impulsrespons. S( j ω) = R( j ω) H( j ω) s(t) = r(t) h(t) = r( τ )h(t τ )dτ τ = r(t) R(jω) h(t) H(jω) s(t) S(jω) For sinusformede signal gjelder: r(t) = sin( ω t) s(t) = H( j ω ) sin( ω t + H( j ω )) For diskrete LTI-system gjelder: ( ω j H e ) H e = h(n) e = H e e (DiskretTidFourierTransform) n= ( ω ˆ ˆ ) j ω n ( j ω ) n= hvor H( e ω ) er systemets frekvensrespons og h(n) er systemets enhetspulsrespons. ω ω ω S(e ) = R(e ) H(e ) s(n) = r(n) h(n) = r(k)h(n k) k= r(n) R e ω ( ) h(n) H e ω ( ) s(n) S e ω ( ) For sinusformede sekvenser gjelder: r(n) = sin( ˆ ω n) s(n) = H(e ) sin( ˆ ω n + H(e )) ω ω 11