Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål
1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke dette verktøyet, trenger vi å vise et koordinatsystem i grafikkfeltet. Som regel er det også praktisk å vise rutenett. Høyreklikk i grafikkfeltet, så vises en meny der du kan slå av og på akser og av og på rutenett. I den samme menyen kan du velge å gå inn i innstillinger for grafikkfelt. Dette valget vises med et lite tannhjul. I første omgang er det viktigst at du lærer deg hvordan du setter navn på aksene. Det finnes en arkfane for hver akse. Her velger du enten en forhåndsinnstilt x (eller y), eller du velger et navn som passer med sammenhengen, for eksempel timer, kroner eller liknende, som du skriver inn selv. Husk alltid å gi aksene navn.
2 av 9 I noen sammenhenger gir det ingen mening å bruke de negative tallene. Da kan vi velge å sette en hake i ruta Bare i positiv retning. Resultatet blir at det bare er førstekvadrant som vises. Det er ikke alltid det passer å bruke de akseinnstillingene (avstandene) GeoGebra har som standard. Derfor må vi kunne endre disse innstillingene. Det kaller vi å skalere aksene. Det enkleste er å bruke verktøyet Flytt grafikkfeltet : Når dette verktøyet er aktivt, og du legger musepekeren over en av aksene, vil denne få form som en dobbeltpil: eller Når en slik pil vises, og det dukker opp en merkelapp på aksen,, kan du klikke og dra i aksen slik at den forlenges eller forkortes. Hvis du tegner en graf uten at den vises, er ofte forklaringen at du har glemt å skalere aksene. Hvis du vil at det skal være et bestemt forhold mellom de to skalaene, kan du skalere ved hjelp av hurtigmenyen (høyreklikk).
3 av 9 Å skrive inn et funksjonsuttrykk Når vi har en funksjon, og skal tegne grafen til denne, må vi skrive funksjonsuttrykket inn i inntastingsfeltet: Når vi skal tegne en rett linje, kan vi bruke likningen, og starte med y = For alle andre funksjoner må vi bruke funksjonsnavn; f (x)=..., g (x) =... osv. Eksemplet viser to funksjoner, skrevet på hver sin måte: Ved innskrivning må du huske på dette: Bruk punktum, ikke komma, som desimalskilletegn. GeoGebra forstår y=0.5x-3, men ikke y=0,5x-3 Å skrive opphøyet i gjøres på samme måte som i regneark, ved hjelp av ^. Inntasting av funksjonsuttrykket ser slik ut: f (x)=x^2-4 Brøker kan skrives inn ved hjelp av parenteser og skråstrek. GeoGebra forstår: y=(1/3)x-2 Øvelse Bruk funksjoner fra oppgavene på side 81 i grunnboka, og øv deg på å tegne grafer.
4 av 9 Å avgrense en graf til et bestemt intervall I mange praktiske sammenhenger er en funksjon gyldig bare innenfor et bestemt område på tallinja (intervall). Da må vi klare å avgrense grafen til dette intervallet. Eksempel Du har 400 meter med gjerde og skal gjerde inn et rektangelformet område. Et funksjonsuttrykk for arealet av området kan skrives slik: A(x) = x(200 x), der x er bredden til rektangelet. Dette gir bare mening hvis x 0 eller x 200. Det kan vi skrive slik: D A = [0, 200] Når vi skal tegne grafen til A vil vi avgrense denne til x-verdier innenfor intervallet [0, 200]. Vi bruker en forhåndsdefinert funksjonalitet som ser slik ut: Denne vises så snart du begynner å skrive Funksjon i inntastingsfeltet, og du kan klikke på uttrykket. Start med å skrive selve funksjonsuttrykket, bruk piltast til å flytte deg til <Start>, skriv inn den minste grenseverdien, piltast deg videre til <Slutt>, og skriv inn den største grenseverdien. Da ser det slik ut: Funksjon[x(200-x),0,200] Bekreft med Enter. I algebrafeltet ser vi at funksjonen blir skrevet slik: For at funksjonen skal få riktig navn, høyreklikker vi på funksjonsuttrykket, velger Gi nytt navn og endrer fra f til A.
5 av 9 Resultat: Versjon 5.0: Fra denne versjonen er kommandoen «Dersom» innført. Intervallet settes inn som vilkår i form av en ulikhet, og funksjonsuttrykket skrives inn i feltet "Så". Fordelen med denne kommandoen er at intervallet vises i algebrafeltet. Kommandoen ser da slik ut: [0<x<200,x(200-x)] Øvelse Tegn grafen til funksjonen innenfor det oppgitte intervallet. a f (x)= 0,5x 3 D f = [-10, 10] b g (x) = 8 x2 D g = [0, 5] 1 c h (x) = 2 x D h = [3, 8] d i (x) = 0,003x3 + 0,3x2 + 100 D i = [-100, 100]
6 av 9 Skjæringspunkter og nullpunkter En skoleelev får ekstrajobb på et pakkeri for julegaveesker, og hun kan velge mellom to lønnsmodeller: Modell A: 30 kr for hver ferdige eske Modell B: 500 kr per dag, og 5 kr for hver ferdige eske Vi skal sammenligne hvor mye en dagslønn kan bli i de to modellene, og finne ut hvor mange esker hun må pakke for at modell A skal lønne seg. Vi kaller antall esker for x, og lager et funksjonsuttrykk for hver modell: A(x) = 30x B(x) = 500 + 5x Vi tegner begge funksjonene som grafer i det samme koordinatsystemet: Det interessante punktet er der hvor de to grafene skjærer hverandre. For å være sikker på at vi leser av nøyaktig, bruker vi verktøyet Skjæring mellom to objekter Dette verktøyet velges under punktverktøy.
7 av 9 Klikk først på den ene grafen, deretter på den andre. Skjæringspunktet vises som punkt C, både i grafikkfeltet og i algebrafeltet. Vi leser av koordinatene til C i algebrafeltet, og ser at det lønner seg å velge modell A hvis hun regner med å kunne pakke mer enn 20 pakker på én dag. Øvelse Bruk GeoGebra til å løse oppgavene på side 77 i grunnboka. Den samme metoden kan brukes til å finne nullpunktene til en funksjon. Vi tegner grafen til funksjonen f (x) = -x2 + 4x Når vi skal finne nøyaktig verdi for nullpunktene, bruker vi Skjæring mellom to objekter og klikker på grafen og på x-aksen. Nullpunktene vises som A og B, og koordinatene vises i Algebravinduet. Øvelse Hva er funksjonens nullpunkter?
8 av 9 Generelle uttrykk og glidere Når vi skal undersøke hvordan de ulike leddene i et funksjonsuttrykk virker på grafens utseende, kan vi bruke glidere og generelle uttrykk. En glider kan brukes til å endre verdier i et uttrykk. Vi skal se på det generelle uttrykket for en lineær funksjon, y = ax + b Først må vi lage en glider for a og en glider for b. Vi velger verktøyet Glider, og klikker det stedet i Algebrafeltet der vi vil plassere glideren. Da vises et dialogvindu. Her velger vi at glideren skal være et tall, hete a og virke for verdier fra -10 til 10. På samme måte lager vi en glider for b.
9 av 9 Nå er vi klare til å skrive inn funksjonsuttrykket. Siden vi har definert a og b med glidere, kan vi skrive det generelle uttrykket inn i inntastingsfeltet. (Vi må bruke en stjerne som gangetegn mellom a og x for at GeoGebra skal forstå: y=a*x+b) I algebrafeltet ser vi uttrykket for den rette linja. Bruk nå pekeverktøyet, og skyv på den svarte prikken på gliderne slik at verdiene til a og b forandrer seg. Følg med på uttrykket i algebravinduet og på grafen. a Hva kan du si om en graf der b = 0? b Hva kan du si om en graf der a = 0? c Hva kan du si om en graf der a er positiv? d Hva kan du si om en graf der a er negativ? e Hva skjer med grafen hvis du lar a være konstant, men endrer b fra positiv til negativ verdi? Øvelse Bruk glidere i oppgavene på side 79 i grunnboka.