3-1/ )DJ 67( 6W\LQJ DY RPIDW \ / VQLQJVIRVODJ WLO YLQJ,QQOHGQLQJ Der det er angitt referanser, er det underforstått at dette er til sider, figurer, ligninger, tabeller etc., i læreboken, dersom andre referanser ikke er gitt eksplisitt. SSJDYH. Se udelt notat (Kaplan, 1976). Det er to fremgangsmåter for å vise dette meget viktige resultatet. Den første går ut på å dekomponere vektoren i systemet som roterer, slik at (se Figur 1.8 i notatet) % [L + \M + ]N derivasjon relativt det inertielle systemet, gir %, [%L + \%M + N +[L % +\M % +]N % Nå gjenstår det bare å innse at enhetsvektorene L,M,N kun kan ha en endring som følge av rotasjonen g, som er vinkelrett både på enhetsvektoren og rotasjonsvektoren, altså f.eks. L % g ¼ L. Dette innser en lett dersom rotasjonen foregår om en av aksene L, M eller N. Litt verre blir det dersom rotasjonsvektoren ikke er vinkelrett på aksene, men også i dette tilfellet vil en kunne innse at påstanden stemmer, se eventuelt nedenfor. Dermed får en %, G + g ¼ GW % der subskript % indikerer derivasjon relativt det roterende systemet. En må passe på at samme koordinatsystem benyttes ved addisjon av vektorer G på komponentform. Slik beregningene er utført over, vil en altså komme frem til % derivert relativt,, men dersom vektorene, g, og er GW % dekomponert i %, vil den deriverte være uttrykt i %. Denne vektoren kan imidlertid roteres til et hvilket som helst system, og får da komponenter med andre verdier. Den andre fremgangsmåte for å vise dette resultatet er ved å betrakte grenseverdien for endringen i en konstant vektor pga. rotasjon g når AW, dvs.
G Â +AÃ? lim GW AW AW lim AW A AW Har videre A ASÂ sin dã, se Figur 1.9 i notatet. Enhetsvektoren er parallell med A,ogd er vinkelen mellom og g.vedå sette A Â sin dã AW AS AW og beregne grenseverdien når AW, finner en G limâ sin dã AS gâ sin dã g ¼ GW AW AW Dersom ikke er konstant må den deriverte av i %, dvs. bidraget som ikke skyldes rotasjonen, adderes til uttrykket ovenfor, dvs. G GW, % % +g ¼ Denne fremgangsmåten egner seg kanskje best for å utlede den deriverte av konstante enhetsvektorer pga. rotasjon, som over.. La g Ä,g \,Å 7, L Ä[ L,\ L,] LÅ L ¼ Âg ¼ L Ã [ L \ L ¼ ] L g \ ¼ [ L \ L ] L Â\ L + ] L Ã? \ L g \ [ L? ] L [ L g \ Â] L + [ L Ã? ] L \ L? [ L \ L Â[ L + \ L Ã? [ L ] L? \ L g \ ] L Summasjon over L gir nå (4..7).. Se Avsnitt 4.3.. Med hovedtreghetsakser mener man et sett av akser i et ortogonalt referansesystem, som er orientert slik i et stivt legeme at dersom en beregner krysstreghetsmomentene, ]\,, [] og, \[ i dette systemet, så vil disse være lik null, dvs. at treghetsmatrisen er diagonal (kun, [[,, \\ og, ]] er ulik null). Origo i aksesystemet er i massesenteret til legemet. Fra ethvert aksesystem med origo i legemets massesenter kan en ved rotasjon av systemet komme frem til en orientering som medførere at aksene blir hovedtreghetsakser. Ved å benytte hovedtreghetsakser oppnår en at bevegelsesligningene forenkles, siden kryssleddene faller bort.
4?. Beregner egenverdiene og egenvektorene til matrisen Ä,Å :? 6, 4 Egenverdier:, [[ 4,, \\ 5 + 1 5,, ]] 5? 1 5.Transformasjonsmatrise med tilsvarende egenvektorer: Â 1? 1 5 Ã/Â 1 1? 5 Ã Â 1 + 1 5 Ã/Â 1 1 + 5 Ã Ä$Å 1/Â 1 1? 5 Ã 1/Â 1 1 + 5 Ã 1. Sjekker at Ä$Å 7 Ä,ÅÄ$Å er lik matrisen med hovedtreghetsmomenter på diagonalen tilsvarende egenverdiene: 1 1? 1 5 1? 5 1 + 1 5 1+ 5 1? 5 1+ 5 4?? 6 4 Â 1? 1 5 Ã/Â 1 1? 5 Ã Â 1 + 1 5 Ã/Â 1 1 + 5 Ã 1/Â 1 1? 5 Ã 1/Â 1 1 + 5 Ã 1 4 5+ 1 5 5? 1 5. Se s. 94 ligning (4.4.11)-(4.4.1). Anta at spinnet, rotasjonenergien og treghetsmomentene for et roterende legeme er gitt. Ellipsoiden som følger av ligningen for rotasjonsenergi representerer alle mulige vinkelhastigheter som gir en bestemt verdi av rotasjonsenergien. Tilsvarende gir ellipsoiden som følger av uttrykket for spinnet alle mulige vinkelhastigheter som gir en bestemt verdi av spinnet. Det er åpenbart at de to ligningene må tilfredstilles samtidig, hvilket betyr at skjæringskurven mellom ellipsoidene (polhode) definerer alle mulige vinkelhastigheter for en gitt energi og et gitt spinn, se Figur 4.4.3. Dersom en i tillegg definerer treghetselliopsoiden, vil tre ellipsoider definere alle mulige verdier av treghetsmomenter om rotasjonaksen og vinkelhastigheter for legemet.. Har
, [ [ K, \ g \,g, ] g \, \, K %, K % % + g ¼ K ] Får nå [ \ ], [ g% [, \ g% \ +, ] g% ] g \ ¼, [, \ g \, ], [ g% [ + g \ Â, ]?, \ Ã, \ g% \ + Â, [?, ] Ã, ] g% ] + g \ Â, \?, [ Ã. Se Avsnitt 4.5.. Treghetsmomentene må tilfredstille et innbyrdes størrelsesforhold for at rotasjonsbevegelsen skal være stabil om en akse. Spesielt er det i Avsnitt 4.5. vist at dersom rotasjonen om en akse skal være stabil, må denne aksen ha det største eller det minste treghetsmomentet. I Avsnitt 4.5.3 er det så vist at dersom det foregår dissipasjon av energi, må rotasjonen være om den aksen som har størst treghetsmoment for at bevegelsen skal være stabil. Dersom rotasjonen ikke foregår om den aksen som har størst treghetsmoment, vil rotasjonaksen for legemet endre seg, slik at rotasjonen til slutt foregår om aksen med størst treghetsmoment. Dette er av stor betydning f.eks. for spinnstabiliserte satellitter, der slik rotasjonsustabilitet har ført til bortfall av kommunikasjon med bakken, med tap av satellitten som følge.. Se Avsnitt 4.6.1 og Figur 4.6.1. Nutasjon er en rotasjonbevegelse der rotasjonsaksen ikke er sammenfallende med en hovedakse. Merk at hovedaksene til legemet er definert av massedistribusjonen, og har følgelig en konstant orientering i legemet. Orienteringen av aksene til det legemefaste koordinatsystemet kan velges fritt. Nutasjonsvinkelen er definert som vinkelen mellom den fysiske (geometriske) %?aksen i det legemefaste koordinatsystemet og spinnaksen K.Både %?aksen og rotasjonsaksen g roterer om K som har konstant orientering i rommet. Ved dissipasjon av energi vil nutasjonsvinkelen endre seg, slik at rotasjonen til slutt foregår om den aksen som har størst treghetsmoment. Det finnes to andre typer rotasjonbevegelse. Ren rotasjon defineres som en rotasjonbevegelse der en hovedakse, rotasjonaksen og den fysiske aksen i det legemefaste koordinatsystemet har sammen orientering, mens koning er en rotasjonsbevegelse der den fysiske aksen ikke er sammenfallende med en hovedakse. Koning skyldes altså en feilorientering av det valgte legemefaste koordinatsystemet.. Se Avsnitt 4.7. og Figur 4.7.1. Det benyttes et inertielt referansesystem med origo i jordas massesenter. Et annet koordinatsystem følger satellitten i banen rundt jorda, har origo i satellittens massesenter og 5 -aksen pekende mot jordas massesenter, mens ; 5 -aksen peker langs banehastighetsvektoren. Et tredje koordinatsystem er fast i satellitten med origo i massesenteret. De to siste koordinatsystemne har samme origo men ikke nødvendigvis samme orientering. Orienteringen av det legemefaste systemet relativt det banefaste systemet beskrives med Eulervinkler, rotasjonsmatriser eller kvaternioner. Det banefaste systemet endrer orientering som følge av rotasjonen rundt jorda, mens det legemefaste systemet endrer orientering som følge av krefter (forstyrrelser, pådrag) som virker på satellitten.. Rotasjonene S, d,ogf er om rotasjonsaksene <, ; og. Må beregne rotasjonsmatrisen Ä$ Sdf Å gitt av
cosf sin f 1 coss? sin S? sin f cosf cosd sin d 1 1? sin d cosd sin S coss cosfcoss + sin fsin d sin S sin fcosd? cosfsin S + sin fsin d coss? sin fcoss + cosfsin d sin S cosfcosd sin fsin S + cosfsin d coss cosdsin S? sin d cosdcoss. Se s. 13. S cosfcoss + sin fsin d sin S sin fcosd? cosfsin S + sin fsin d coss T? sin fcoss + cosfsin d sin S cosfcosd sin fsin S + cosfsin d coss cosdsin S? sin d cosdcoss S% cosf sin f 1 d% cosf sin f +? sin f cosf cosd sin d +? sin f cosf 1? sin d cosd 1 f% S T Âsin fcosdãs% + ÂcosfÃd% ÂcosfcosdÃS%? Âsin fãd% cosf sin fcosd? sin f cosfcosd d% S%?Âsin dãs% + f%? sin d 1 f%. En kinematisk singularitet er en kombinasjon av vinkler som medfører at transformasjonen mellom deriverte av Eulervinkler og legemefaste vinkelhastigheter ikke har noen invers. d% S% f% cosf? sin f sin f cos d Âsin fã sin d cos d cos f cos d Âcosfà sin d cos d 1 S T Transformasjonen har en singularitet for d 9 R 18 R. En kan altså ikke beregne de deriverte av Eulervinklene utfra vinkelhastigheten S, T,
for denne orienteringen. Ved regulering av satellitter er det ikke holdbart at noen av de variable en benytter i regulatoren, i dette tilfellet vinkelhastighetene, plutselig går mot uendelig og dermed medfører numeriske problemer. Slike singulariteter vanskeliggjør også beregning av vinkler utfra vinkelhastigheter.. En kan unngå problemer med singulariteter i hastighetstransformasjonene ved å benytte en 4 parameterbeskrivelse som f.eks. kvaternioner, eller ved å benytte to sett av Eulervinkler med singulariteter for to forskjellige vinkler, og så bytte mellom beskrivelsene når en vinkel nærmer seg en singularitet. En kan også klare seg med en rotasjonsbeskrivelse som gir en singularitet, dersom en bare passer på at legemet aldri kommer i en orientering tilsvarende en singularitet.dette kan imidlertid være vanskelig for raketter, fly (spesielt jagerfly), satellitter og undervannsbåter.. Se ligning (4.8.) i Avsnitt 4.8., samt ligning (4..8). Ta utgangspunkt i spinnsatsen som vist i (4.8.1). Del opp momentvektoren i to komponenter som representerer henholdsvis forstyrrende momenter og pådrag fra regulatorer. Del også opp spinnvektoren i to deler, som representerer spinnet til det stive legemet og spinnet til eventuelle reaksjonshjul. Merk at en ofte velger å ta med dette bidraget fra reaksjonshjul som en del av spinnet, istdenfor å ta med momentet som genereres av hjulene i pådragsvektoren. Momentet som følge av gravitasjonkreftene er gitt i ligning (4.8.8). Dette er en del av forstyrrelsene som det er naturlig å ta med ved utledning av bevegelsesligningene. Sammenhengen mellom spinnvektoren, vinkelhastighetene og treghetsmomentene er gitt i ligning (4..8). Merk at det er vinkelhastighetene relativt det inertielle systemet som må benyttes (husk at spinnsatsen er utledet av Newtons. lov, som forutsetter at referansesystemet er inertielt). Spinnet til eventuelle reaksjonshjul er lik produktet av treghetsmomentet til hjulet og rotasjonshastigheten. En velger å utvikle bevegelsesligningene i det legemefaste systemet, fordi det i dette systemet er lettest å beskrive kreftene som virker på satellitten. Da må en passe på at kryssleddet i (4.8.1) tas med, og at korrekte vinkelhastigheter benyttes.. Se ligning (4.8.1) -(4.8.13) i Avsnitt 4.8.3. I ligning (4.8.1) er den lineariserte versjonen av rotasjonsmatrisen benyttet, og lineariseringen er basert på at Eulervinklene er små, slik at cosj u 1, sinj u J. En antar også at andreordens ledd er tilnærmet lik null, f.eks. sinjsin K u JK u. Den ulineære versjonen av rotasjonsmatrisen er gitt av (4.7.3), dersom en velger rotasjonsrekkefølgen f S d. Matrisen for andre kombinasjoner finnes i Appendiks A. Merk forøvrig at den lineariserte versjonen av rotasjonsmatrisen er den samme uansett valg av rotasjonrekkefølge, dvs. Ä$ JKL Å 1 f?s?f 1 d S?d 1 Vinkelhastigheten til banereferansesystemet (relativt det inertielle systemet) må først roteres til det legemfaste systemet:
g 5,%[ g 5,%\ g 5,%] cosscosf cosssin f? sin S? cosdsin f + sin d sin S cosf cosdcosf + sin d sin S sin f sin d coss sin d sin f + cosdsin S cosf? sin d cosf + cosdsin S sin f cosdcoss?g?âsin fcossãg?âcosfcosd + sin fsin d sin SÃg?Â? cosfsin d + cosdsin S sin fãg Må dessuten ta med bidraget fra rotasjon av det legemefaste systemet relativt banereferansesystemet: S g 5,%[ g \ T + g 5,%\ g 5,%] Følgende sammenheng gjelder også: S T d%? f% sin S S% cosd + f% cosssin d f% cosscosd? S% sin d Får nå d%? f% sin S?Âsin fcossãg g \ S% cosd + f% cosssin d f% cosscosd? S% sin d +?Âcosfcosd + sin fsin d sin SÃg?Â? cosfsin d + cosdsin S sin fãg d%? f% sin S? Âsin fcossãg S% cosd + f% cosssin d? g cosfcosd? g sin fsin d sin S f% cosscosd? Âsin dãs% + g cosfsin d? g cosdsin S sin f
. Se ligning (4.8.14) i Avsnitt 4.8.3. Først må momentkomponentene som følge av gravitasjonskreftene lineariseres. Resultatet er gitt i ligning (4.8.9). Deretter må de kinematiske differensialligningene lineariseres, se ligning (4.8.1). Merk at produkter av små størrelser antas å være tilnærmet lik null, f.eks. f% sin S u f% S u. Innsetting i (4.8.) med bruk av (4..8) og de kinematisk differensialligningene gir nå (4.8.14).. Orienteringen kan styres ved å manipulere pådragene i vektoren 7 F (dvs. ved å aktivere raketter, magnetspoler, etc. ). En annen mulighet er å endre vinkelhastigheten til reaksjonshjulene, dvs. ved å endre K Z. Dette medfører at moment genereres fra momenthjulene på satellitten. Pådragene beregnes av en eller annen regulator på basis av målte eller estimerte vinkler og vinkelhastigheter. Ved regulatorutvikling er det vanlig å anta at vinkelutslagene er ganske små, slik at bevegelsesligningene kan antas å være lineære. nder denne forutsetningen kan en dekoblet PD-regulator benyttes til stabilisering (dvs. at referansen for vinkelhastighetene er lik null), slik at 7 F[. [ Âd FRP? dã +. [G d% 7 F\. \ ÂS FRP? SÃ +. \G S% 7 F]. ] Âf FRP? fã +. ]G f% Pådraget 7 representerer her en momentvektor som må oversettes til fysiske pådrag for ulike thrustere. Dersom en benytter reaksjonhjul må pådraget f.eks. oversettes til en endring i rotasjonshastigheter for hjulene. Det kan også hende at en kraften/momentet fra thrusterne ikke er parallelle med de tre aksene, og da må en vha. en algortime bestemme hvilke fysiske pådrag en gitt momentvektor skal gi for de ulike thrusterne. Dette kalles pådragsallokasjon. Det kan f.eks. være mange mulige kombinasjoner av fysiske pådrag som gir den samme momentvektoren, og en må da avgjøre hvilke pådrag en skal benytte ut fra et eller annet kriterium, f.eks. energioptimalisering. En kan også benytte andre regulatorer (LQ dvs. optimale multivariable regulatorer). Det er også mulig å utvikle regulatorer basert på de ulineære bevegelsesligningene og ulineær reguleringsteori (linearisering ved tilbakekobling, passivitetstoeri, rekursiv Lyapunov analyse, fuzzy regulering, osv.). Disse regulatorene er forholdsvis lite utprøvd i praksis for satellitter, selv om styring av satellitter er et benchmark problem for utvikling av nye reguleringsteori. De fleste anvente reguleringsstrategier er basert på kjente prinsipper som har vært utprøvd over lang tid, og det er svært vanskelig å få innført nye reguleringstrategier. Dette gjelder forøvrig også i flyindustrien. Det tar lang tid å få godkjent nye reguleringstrategier og det er dyrt. Derfor baserer en seg ofte på bruk av kjente prinsipper, slik at en ikke risikerer tap av kostbart utstyr pga. ukjente fenomener som ikke er forutsatt (jfr. tap av de første gravitasjonsstabiliserte satellitter pga. forhold en ikke hadde forutsett).