Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke. La a være lengden av dette linjestykket. (Alternativt: Tegn ditt eget linjestykke, og la a være lengden av det.) I oppgaven nedenfor skal alle lengder uttrykkes som eksakte uttrykk i a. Du skal altså ikke bruke tilnærminger med desimaltall. Vinkler kan du derimot beregne ved hjelp av kalkulatoren. Trekk en (vannrett) linje, og merk av tre punkter A, B og C slik at B ligger mellom A og C og AB=a, BC=a. Eksamen i MA-1 Geometri 4.1.008 Side 1 av 8
a. Bruk Thales setning til å avgjøre hvor et punkt D kan ligge hvis ADB skal være 0? Etter Thales setning må D ligge på en sirkel der AB er en korde som spenner over en vinkel på det dobbelte av 0. Vi konstruerer midtnormalen på AB og en vinkel på 60 fra AB. Skjæringspunktet mellom disse er da sentrum i en sirkel der AB dekker en sentralvinkel på 60. (Alternativt kunne vi ha konstruert sentrum som det tredje hjørnet i en likesidet trekant med AB som side ved å slå sirkler med radius AB fra A og B.) D må da ligge på denne sirkelen. b. Hvor kan D ligge, hvis også BDC skal være 0? På samme måte må D ligge på en sirkel der BC er korde som dekker en vinkel på 60. D må derfor ligge i skjæringspunktet mellom disse to sirklene. c. Konstruer trekanten ACD som er slik at AC=a, ADC = 60 og AD : DC = :. Se figuren på forrige side. d. Finn lengdene av AD og DC. Siden AD : DC = :, må det finnes en b slik at AD = b og DC = b. Cosinussetningen på ACD gir da: AD + DC AD DC cos ADC = AC eller ( b) ( b) b b cos ( 60 ) ( a) + = eller 1 10 Da må AD = b = a, CD = b = a 9b + 4b 6b = b = a, så b = a. e. Finn CAD og ACD sin sin 60 Sinussetningen på trekanten ACD gir A =, herav CD AC 10 sin 60 a 1 sin A = CD = =. Kalkulatoren gir da A = 40,89, og vi får videre AC a ACD = 180 CAD ADC = 180 40.89 60 = 9.11 f. Finn lengden av BD. Sinussetningen på AB BD ABD gir =, sin 0 sin A AB sin A a 1 BD = = = sin 0 g. Finn avstanden h fra D til linja AC og arealet av trekanten ACD. 1 1 1 Vi har h = AD sin A = a = a og arealet av ACD er 1 1 1 Areal = AC h = a a = a 14 1 6 1 h. Konstruer innsirkelen til trekanten ACD, og regn ut radien r i den. 1 a Eksamen i MA-1 Geometri 4.1.008 Side av 8
Vi beregner arealet på to måter: 1 1 10 1 ( ) 14 ( ) 14 a 1 a 1 ( + ) a ( + )( ) 18 4 Areal = r AC + CD + DA = r a + a + a = r + a. Herav r = = = = a 1.8a 14 i. Regn ut radien R i omsirkelen til ACD. AC a a Sinussetningen i trekanten ACD gir sin D = sin 60 = = R Oppgave a. På figuren til høyre ser du et stykke av en bjelke med et H- formet i horisontal- og vertikalprojeksjon. Tegn perspektivbildet av bjelken på svararket basert på følgende: - De loddrette delene av H-tverrsnittet er ¼ så breie som den totale bredden av H-en. - Den vannrette delen av H-tverrsnittet er halvt så brei som den totale høyden av H-en og vertikalt sentrert. - Horisonten er tegnet inn. - Billedplanet er vertikalt. - Perspektivprojeksjonene av punktene A,B,C og D er oppgitt., R = a Eksamen i MA-1 Geometri 4.1.008 Side av 8
Oppgave I rommet R er det gitt punktene P:(,-,4) og Q:(-1,,1), samt vektorene a = [,-1,-1] og b = [,1,-1] a. Regn ut skalarproduktet a b, kryssproduktet a b, og vinkelen mellom a og b. a b = [, 1, 1] [,1, 1] = + 1 1+ 1 1 = 4, i j k ( ) ( ) a b = 1 1 = i 1 1 1 1 + j 1 1 + k 1 1 = [, 0, 4] Vi har 1 1 a b 4 4 cos( a,b) = = = =. a b + 1 + 1 + 1 + 1 6 = a = = Kalkulatoren gir da ( a,b ) cos( / ) 0.841068606 48. b. Skriv opp ligningene for en rett linje L 1 gjennom P med retningsvektor a og en rett linje L gjennom Q med retningsvektor b. (Bruk t som parameter på L 1 og u som parameter på L.) x x 1 L1 : y = + t 1, L : y = + u 1 z 4 1 z 1 1 c. Vis at L 1 og L ikke har noen felles punkter. Er de parallelle? Koordinatene (x,y,z) til et punkt på som ligger på begge linjene måtte tilfredsstille følgende ligninger: x + t 1+ u u + t = y = t = + u. De to siste ligningene gir. Vi legger sammen og z 4 t 1 u u + t = dividerer med og får t =-1. Så trekker vi den siste fra den første og dividerer med og får 1 1 x = 1+ 4 = 9 på L, Det betyr at ikke noe u=-4. Dette gir x = + ( ) = på L 1 og punkt kan ligge på begge linjene. Linjene er ikke parallelle, siden retningsvektorene ikke er parallelle. d. Skriv opp ligningen for et plan π gjennom P som er parallelt med både L 1 og L. Vi har funnet en normal a b = [,0,4] [1,0, ], så ligningen for planet π er [ ] [ ] 1, 0, x, y +, z 4 = 0 x + z 4 = 0 x + z 11 = 0 e. Finn volumet av et parallellepiped der P er et hjørne, og der de tre kantene som starter i P, er PQ, a og b. Eksamen i MA-1 Geometri 4.1.008 Side 4 av 8
Vi har a b =, 0, 4 1,,1,, 4 =, 0, 4 4,, = 4 + 0 + 4 = 0 PQ [ ] ([ ] [ ]) [ ] [ ] Volumet må da være 0. f. Finn avstanden fra punktet Q til planet π. Løsningsforslag. Arealet av parallellogrammet utspent av a og b er [ ] [ ] a b =,0,4 = 1,0, = 1 + =. Høyden i parallellepipedet fra forrige oppgave blir avstanden fra Q til planet π, og blir volumet dividert med arealet av grunnflata, 0 altså = g. (Ta eventuelt denne til slutt.) Avstanden mellom L 1 og L måles langs en rett linje N som skjærer både L 1 og L og står normalt på dem begge. Prøv om du kan finne et punkt R på L 1 og et punkt S på L slik at vektoren SR står normalt på både L 1 og L. Skriv opp en parameterfremstilling for linja N. Kontroller at avstanden mellom R og S er den samme som avstanden funnet i punkt f. Løsningsforslag. En vektor c som starter i et punkt på L og slutter i et punkt på L 1 har komponenter ( + t) ( 1+ u) t u + 4 c = ( t) ( + u) = t u. ( 4 t) ( 1 u) t + u + Skal denne være parallell med normalen a b, må (a b) c = 0 : `1 t u + 4 i j k a b c = 0 t u = 1 0 = t u + + t u + 4 t u t + u + t + u + t + u + t + u + 0 t u + 4 1 t + u + = t u + = t u + 1 = 0 1 t u ( t + u + ) t + u + 0 t + u + = 0 t + 6 = 0 t = Da må. t u + 1 = 0 u + 4 = 0 u = Punktet R på L 1 er derfor R = ( + ( ), ( ), 4 ( )) = (,1,) og punktet S på L er ( 1 ( ), ( ),1 ( ) ) (,1, ) S = + + =. Da er SR = = = a b, så a b [ ( ),1 1, ] [,0, 4] Ligningen fro en felles normalen blir da [ x, y, z] = [,1, ] + v [,0,4] = 1 + =, som før. Oppgave 4 Du har gitt en rekke kongruente trekanter T, T 1,T,,T, jfr. figuren ovenfor. Videre er det gitt vektoren a = [4,1] og translasjonen T a, translasjon vektor a. Dessuten har du gitt følgende isometrier: Eksamen i MA-1 Geometri 4.1.008 Side av 8
S x, speiling om x-aksen. S y, speiling om y-aksen. S speiling om linja y=x. R 1, rotasjon 90 om origo. R, rotasjon 180 om origo. Hver av trekantene T 1, T,,T er bildet av trekanten T ved hver sin av 6 isometrier I, I,..., I. 1 6 a. Klassifiser hver av isometriene I1, I,..., I. For speilinger skal du oppgi speilaksen. For rotasjoner skal du oppgi rotasjonssenter og rotasjonsvinkel. For translasjoner skal du oppgi translasjonsvektor. For gliderefleksjoner skal du oppgi speilakse og translasjonsvektor. Forsøk i hvert tilfelle om du kan uttrykke isometrien ved hjelp av de isometriene som er gitt ovenfor. I 1 er speiling om linja y = x, I 1 =S. I er rotasjon 90 om origo, I =R 1. I er translasjon vektor [4,1], I =T a. I 4 er gliderefleksjon om linja y = -1/ med translasjonsvektor [4,0], I4 = Sx Ta I er speiling om linja y = -x, I = R S = Sx R1 b. Sett opp matrisene til hver av isometriene I1, I,..., I. Bruk homogene koordinater der dette er nødvendig. Eksamen i MA-1 Geometri 4.1.008 Side 6 av 8
1 0 4 0 1 cos 90 sin 90 0 1 I1 =, I = =, I = 0 1 1 1 0 sin 90 cos 90 1 0, 0 0 1 1 0 0 1 0 4 1 0 4 I4 = Sx Ta = 0 1 0 0 1 1 = 0 1 1, 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 I = R S = 0 1 0 1 0 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 c. Klassifiser isometrien I = I I ved hjelp av matriseregning. 4 4 4 1 0 4 1 0 4 1 0 8 I I = 0 1 1 0 1 1 = 0 1 0 = T 0 0 1 0 0 1 0 0 1 4 4 [8,0], translasjon vektor[8,0]. d. Tegn tre figurer på et ruteark, alle generert av trekanten T ved å bruke isometriene i den gitte symmetrigruppen. Isometriene skal ha origo som fikspunkt. i. Den første skal ha symmetrigruppe isomorf med Z (kan det være flere løsninger?). ii. Den andre skal ha symmetri gruppe Z 4. iii. Den tredje skal ha symmetrigruppe D 4, den fjerde dihedrale gruppen. Når symmetrigruppen skal være isomorf med Z, kan vi enten bruke en rotasjon 180 om origo eller en speiling om en vilkårlig linje gjennom origo, for eksempel y-aksen. Eksamen i MA-1 Geometri 4.1.008 Side av 8
Symmetrigruppe Z 4 Symmetrigruppe D 4. Byrge Birkeland Eksamen i MA-1 Geometri 4.1.008 Side 8 av 8