Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860
Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot.................................... 5 2.3 Tallet π..................................... 5 2.4 Minne...................................... 6 2.5 Parenteser.................................... 6 2.6 Brøk....................................... 7 2.7 Store og små tall................................ 7 2.8 Potenser og n-terøtter............................. 8 3 Funksjoner 9 3.1 Tegning av grafer for hånd.......................... 9 3.2 Tegning av rett linje på lommeregneren.................. 10 3.3 Tegning av grafer på lommeregneren................... 11 3.4 Utregninger på grafen............................. 12 3.4.1 Finne y når du kjenner x....................... 12 3.4.2 Finne x når du kjenner y....................... 12 3.4.3 Nullpunkter.............................. 13 3.4.4 Topp- og bunnpunkter........................ 13 3.4.5 Skjæringspunkter mellom grafer.................. 14 4 Lineær regresjon 15 4.1 Enkel regresjon uten graf........................... 15 4.2 Regresjon med tegning av graf....................... 15 5 Sannsynlighetsregning 16 5.1 Simulering................................... 16 6 Økonomi 17 2
Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av lommeregneren Casio fx 9860 som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1P», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 1P, 3. utgave, Gyldendal Undervisning, 2013. I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 12 Tallregning og regnerekkefølge 2 23 Kvadratrøtter 2.2 24 Store og små tall 2.7 68 Tegne rett linje 3.2 68 Skjæring av grafer 3.4.5 74 Lage verditabell 3.1 76 Tegne graf 3.3 78 Toppunkt 3.4.4 80 Lineær regresjon 4 81 Lineær regresjon 4 194 Budsjett 6 196 Regnskap 6 208 Serielån, annuitetslån 6 3
1 Innstillinger Lommeregneren som beskrives her er denne: Legg merke til at du trykker på SHIFT for å velge det som står skrevet med gult over kappene, på vestre side. Du trykker ALPHA for å velge det som står skrevet med rødt over knappene på høyre side. Heretter angir vi vanligvis ikke når skal trykke SHIFT og ALPHA. Før du begynner å bruke lommeregneren, stiller du den inn så den passer til det du skal gjøre. Tast MENU, velg RUN og gjør følgende innstillinger: 4
Hvis innstillingene dine ikke stemmer, bruker du piltastene, og foretar riktig valg med F-tastene. Avslutt med EXIT. 2 Regning 2.1 Regnerekkefølge Regnerekkefølgen er lagt inn i lommeregneren. Så vi kan taste rett inn slik det står. Utregningen 4 + 5 2 3 taster vi inn som det står og avslutter med EXE. Legg merke til at lommeregneren har en egen knapp for potens, nemlig. Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med parenteser, som for eksempel i utregningen 7 ( 4 2 5 ( 3)) 2, som tastes inn slik: 2.2 Kvadratrot Kvadratroten av et tall regner vi ut med knappen merket med, som vi finner med SHIFT x 2. Når kvadratrottegnet skal gjelde mer enn bare fram til neste regneoperasjon, må vi slå parenteser om det som skal inni kvadratroten. 2.3 Tallet π Lommeregneren har egen tast for π, som vi bruker i stedet for det unøyaktige 3,14. 5
2.4 Minne Lommeregneren har en minnefunksjon, slik at du enkelt kan bruke tall du har kommet fram til tidligere. Alle svar lagres automatisk i det midlertidige minnet Ans, en forkorting for «answer». La oss si at du har regnet ut (4 + 5) 2 3 og fått 72. Om du så taster π og trykker på enter, vil lommeregneren multiplisere det forrige svaret du fikk, nemlig 72, med π. Om du vil bruke det siste svaret inni en utregning, taster du ANS. I tillegg til ANS, fungerer alle bokstaver på lommeregneren som minne. Du legger tall inn i minnet ved å taste, deretter ALPHA og så bokstaven. Du bruker tallet i minnet ved å taste ALPHA og så bokstaven. Slik ser det ut om vi legger 2 og 71 inn i minnene A og B og så regner ut A B og får 142. 2.5 Parenteser Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er 5 + 7 2 3 = 12 6 = 2 Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning på lommeregneren, må vi hjelpe til med å slå parenteser om telleren og nevneren. 6
Mange av funksjonene på lommeregneren er slik at vi må angi hva funksjonen gjeler for med parenteser. Skal vi for eksempel regne ut 5 + 20 + 3, taster vi (5 + 20) + 3: 2.6 Brøk Lommeregneren har en egen knapp for brøk, knappen merket med «a b/c». Taster du inn 3, ser det slik ut: 5 Pass på å slå parenteser om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Skal vi for eksempel regne ut 2 + 3 3 8 7 3 slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får: Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi regne ut brøken 1 2 1 2 taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken. Når du har fått et svar, kan du veksle mellom uekte brøk og vanlig brøk med knappen som er merket med «a b c d». Dessuten kan du veksle mellom brøk og desimaltall c med knappen merket med «F D». 2.7 Store og små tall Lommeregneren har plass til 10 sifre i vinduet. Når du regner med et tall hvor du trenger flere sifre, brukes standardform. Lommeregneren skriver 2E3 for 2 10 3. 7
Eksempel: Regn ut 24 000 000 5630. Vi taster rett inn på lommeregneren: Dette betyr at svaret er 1,3512 10 11. Eksempel: For å regne ut 6700000000 0,0002 ber du lommeregneren om 6,7 10 9 2 10 4 ved å taste 6.7E9*2E-4. Tegnet «E» får du ved å trykke på tasten «EXP». 2.8 Potenser og n-terøtter Lommeregneren har en egen knapp for potens, nemlig. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 5. Negative eksponenter tastes inn med parenteser rundt eksponenten. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 ( )5. Også brøkeksponenter tastes inn med parenteser om eksponenten. Vi regner ut 2 2 3 ved å taste 2 (2 3). Lommeregneren har dessuten en egen knapp for andre potens, som er merket med x 2. For å regne ut n-terøtter, bruker vi x. Eksempel: For å beregne 5 7,34, taster vi først 5, deretter x og skriver inn 7,34. Når vi trykker EXE, får vi: 8
3 Funksjoner 3.1 Tegning av grafer for hånd Når du tegner grafer for hånd, kan det være greit å bruke lommeregneren til å regne ut en verditabell. Først legger vi inn funksjonsuttrykket. Vi taster MENU og velger TABLE. Der taster vi funksjonsuttrykket inn på en av y-variablene. For å taste x, trykker vi på knappen X, Θ, T. Om vi for eksempel skal arbeide med funksjonen f(x) = x 2 + 150x + 20 000, ser det slik ut på lommeregneren: Nå stiller vi inn hvordan vi vil ha tabellen. Vi velger «set» (F5) og skriver inn start og slutt for x-verdiene i tabellen. «Step» angir hvor store sprang tabellen har. Det varierer fra oppgave til oppgave hvor store sprang det er hensiktsmessig å bruke. Skal vi tegne grafen for x mellom 10 og 10, lar vi «step» være 1. Dersom vi skal tegne grafen for x mellom 0 og 100 000, lar vi sprangene være 10 000. I vårt eksempel, med f(x) = x 2 +150x+20 000, passer det fint å bruke sprang på 100. Da ser det slik ut. Til slutt trykker vi på TABLE og får opp tabellen: Når vi beveger oss i tabellen med oppover- eller nedoverpil, får se hvordan tabellen fortsetter. Ønsker du selv å bestemme hvilke x-verdier som skal inngå i verditabellen, kan du taste verdiene inn i kolonnen for x. Når vi så har laget verditabellen, merker vi av punktene i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom dem. 9
400 000 y 300 000 200 000 100 000 100 200 300 400 500 x 3.2 Tegning av rett linje på lommeregneren Vi skal tegne grafen til en lineær funksjon y = ax + b på lommeregneren. Først legger vi funksjonsuttrykket for linja inn på MENU > GRAPH. Deretter lager vi verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1 på side 9. Det hender oppgaven ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det. Verditabellen bruker vi til å stille vinduet riktig. Eksempel: Vi skal tegne linja K = 2x + 8000. Vi går på MENU og velger GRAPH. Der taster vi inn 2x + 8000. Da ser det slik ut: Så lager vi verditabell for x [0, 3000]: Altså må vi la x gå fra 0 til 3000 og y fra 0 til 15000. Da blir vindusinnstillingene disse: Grafen blir slik: 10
3.3 Tegning av grafer på lommeregneren Vi skal tegne grafen til en funksjon f(x) på lommeregneren. Ut fra funksjonens definisjonsmengde lager vi verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1 på side 9. Det hender oppgaven ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det. Som eksempel, skal vi nå tegne grafen til f(x) = 0,0001x 2 + 0,45x 200. Først legger vi inn funksjonsuttrykket. Vi trykker på MENU og velger TABLE. Der taster vi funksjonsuttrykket inn på en av y-variablene. For å taste x, trykker vi på knappen X, T, Θ, n. Vi trykker på SET og lar tabellen gå fra 0 til 5000 og øke med 1000. Vi trykker EXE to ganger og får opp tabellen. Vi ser av tabellen at om vi lar x gå fra 0 til 5000, må y være mellom 500 og 300. Vi trykker på «V-Window» og taster inn minste og største verdi for x og y. 11
Til slutt trykker vi på MENU, velger GRAPH og trykker på DRAW. Da får vi tegnet grafen. Dersom du vil forstørre eller forminske grafen, kan du trykke på V-Window og endre vindusinstillingene. Det er også mulig å trykke på ZOOM og bruke en av funksjonene der. 3.4 Utregninger på grafen For instruksjonene nedenfor antar vi at vi har tegnet grafen til funksjonen vi undersøker på lommeregneren. 3.4.1 Finne y når du kjenner x Vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi av x. En av måtene å gjøre dette på er å lage verditabellen, jfr. avsnitt 3.1, og taste inn ønsket x-verdi der. Eksempel: Vi har tegnet grafen til funksjonen f(x) = 0,001x 3 + 0,09x 2 + 10 med x mellom 0 og 60. Vi regner ut f(10) ved å trykke på MENU > TABLE > TABL. Der skriver vi inn 10: Tabellen viser at f(10) = 18. 3.4.2 Finne x når du kjenner y Om vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi, bruker vi funksjonen G-Solv. Vi trykker på pila (, F6), velger «X-CAL» og taster inn y-verdien. 12
Eksempel: Vi har tegnet grafen til funksjonen f(x) = 0,0025x 3 + 0,075x 2 + 1. Vi skal finne når f(x) oppnår verdien 4,1. Vi velger G-Solv > X-CAL og taster inn y = 4,1. Lommeregneren oppgir her at funksjonen har verdien 4,1 når x er ca. 7,4. Dersom det er flere punkter på grafen med denne y-verdien, trykker du på høyreog venstrepil til du har funnet alle. 3.4.3 Nullpunkter For å finne nullpunktet til en funksjon vi har tegnet på lommeregneren, trykker vi G-Solv og velger ROOT. Eksempel: La f(x) = 0,5x 3 + 2x 2 + 3x 6. Vi skal finne nullpunktene. Vi har tegnet grafen til f for x [ 4, 7]. Vi trykker G-Solv og velger ROOT. Da viser lommeregneren det venstre nullpunktet. Lommeregneren oppgir her at det venstre nullpunktet er ( 2, 0). Når det er flere nullpunkter, trykker du på høyrepil til neste nullpunkt. 3.4.4 Topp- og bunnpunkter Vi finner toppunkter og minimumspunkter ved å trykke G-Solv og velge MAX for toppunkt eller MIN for bunnpunkt. Eksempel: La O(x) = x 2 + 780x 55 000. Vi har tegnet grafen til O(x) for x [0, 750]. Vi skal finne toppunktet. Vi trykker G-Solv og velger MAX: 13
Her oppgir lommeregneren at toppunktet er (390, 97100). Dersom det er flere toppunkter, går du videre til neste toppunkt med høyrepil. For å finne bunnpunkter, gjør du som for toppunkter, men trykker G-Solv og velgermin i stedet for MAX. 3.4.5 Skjæringspunkter mellom grafer Skjæringspunkter mellom to grafer finner vi ved å trykke G-Solv og velge ISCT. Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom K = 2x + 8000 og I = 6x. Vi legger funksjonsuttrykkene inn i Y1 og Y2. Vi lar x gå fra 0 til 3000 og y fra 0 til 20 000 og tegner grafen: Så trykker vi G-Solv og velger ISCT. Lommeregneren finner skjæringspunktet. Da ser det slik ut: Lommeregneren oppgir her at skjæringspunktet for de to grafene er (2000, 12 000). Dersom det er flere skjæringspunkter, oppgir lommeregneren det venstre. Så trykker du på høyrepil for å se neste skjæringspunkt. 14
4 Lineær regresjon 4.1 Enkel regresjon uten graf For å legge inn en tabell til regresjon, taster du MENU og velger STAT. Legg inn x-verdiene i List 1 og y-verdiene i List 2. Eksempel: Denne verditabellen x 0 5 10 12 13 14 15 16 y 868 735 566 548 512 475 448 421 ser slik ut på lommeregneren: For å slette en enkelt oppføring, setter du markøren over den og trykker på DEL. For å slette hele lista, velger du (F6) og velger DEL-A. Når vi har lagt inn begge listene, velger vi CALC > REG og velger X, som betyr lineær regresjon. Da får vi denne: Dette betyr at regresjonslinja er y = 27,9x + 868,3. Verdien av r og r 2 er et mål på hvor god regresjonen er. Jo nærmere 1 eller 1 verdiene er, jo bedre er regresjonen. 4.2 Regresjon med tegning av graf Lommeregneren kan også legge punktene inn i et koordinatsystem og tegne regresjonslinja i samme koordinatsystem. Først legger du inn verditabellen, jfr. avsnitt 4.1 på side 15. Deretter velger du GRPH og velger graf nummer 1. Da skal det se slik ut: 15
Nå velger vi CALC > X og velger DRAW. Om vi vil lagre funksjonsuttrykket for videre behandling, velger vi COPY i stedet for DRAW. Da kommer vi til lista over funksjonsuttrykk for graftegning. Vi går til for eksempel Y1 og trykker EXE. Vi kommer tilbake til regresjonsvinduet, og funksjonsuttrykket er lagret. 5 Sannsynlighetsregning 5.1 Simulering Vi er i MENU > RUN. For å finne menyen for sannsynlighetsregning trykker vi på OPTN, går til høyre ( ) med F6 og velger PROB. Da kommer denne menylinja opp nederst på skjermen: Her finner du «Ran#». Denne funksjonen gir et tilfeldig tall mellom 0 og 1. Det er mulig å bruke dette til å simulere enkle uniforme modeller. Eksempel: Vi skal simulere terningkast. Da trenger vi «Intg» (MENU > RUN > OPTN > NUM) til å avrunde ned til nærmeste heltall. Tast inn «Intg (Ran# *6) +1». Ved gjentatte trykk på EXE får vi for eksempel dette: Hvert nytt trykk på ENTER gir oss et tilfeldig tall mellom 1 og 6. 16
6 Økonomi En Casio fx-9860 egner seg ikke veldig godt til å arbeide med regneark på. Vi anbefaler at du i stedet bruker et regnearkprogram på en datamaskin. 17