Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm
|
|
- Asbjørn Kristoffersen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v v x i+v y j er virvlingen gitt ved i j k v x v x v y ( vy x v ) x k. Uttrykketforφkanfinnesfralikningenv φ.hvisdetogsåskaleksistereenstrømfunksjon ψ må feltet være divergensfritt ( v ). a) v xi+yj: ( v x x ) k φ eksisterer. v + ingen ψ. Hastighetpotensialet kan nå finnes: φ x v x x φ(x,y) x +f (y) φ v y y φ(x,y) y +f (x). Vi ønsker en entydig φ slik at vi må velge f (y) y +C og f (x) x +C. Potensialet blir derfor φ(x,y) ( x +y ) +C. b) v x yi xy j: v ( y x )k ingen φ. v xy xy ψ eksisterer. 3
2 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Vi løser to likninger for å finne strømfunksjonen: x v y xy ψ(x,y) x y +f (y) v x x y ψ(x,y) x y +f (x). For å få en entydig løsning må vi velge f (y) f (x) C slik at strømfunksjonen blir ψ(x,y) x y +C. c) v ( x +y )i+xyj: v (y y)k φ eksisterer. v x+x x ingen ψ. Vi finner uttrykket for φ: φ x v x x +y φ(x,y) 3 x3 +y x+f (y) φ v y xy φ(x,y) xy +f (x). For å få en entydig φ må vi velge f (y) C og f (x) 3 x3 +C slik at φ(x,y) 3 x3 +xy +C. Oppgave a) φ xy. Vi finner først vektorfeltet, v v x i+v y j, til hastighetspotensialet: Er vektorfeltet divergensfritt? v x φ x y, v y φ x v yi+xj. Vi kan nå innføre strømfunksjonen ψ: Vi velger f og f slik at v v x x + v y. x v y x ψ(x,y) x +f (y) v x y ψ(x,y) y +f (x). f (y) y +C, f (x) x +C
3 Figur 9.: Ekviskalarlinjer for hastighetspotensialet (blå, heltrukken linje) og strømlinjene (rød, stiplet linje). og strømfunksjonen blir ψ(x,y) ( x y ) +C. b) φ xy x y. Vektorfeltet v v x i+v y j til hastighetspotensialet blir: Er vektorfeltet divergensfritt? v x φ x y xy, v y φ xy x v ( y xy ) i+ ( xy x ) j. v v x x + v y y +x. φ er ikke et hastighetspotensiale for en divergensfri strøm. Det eksisterer ingen strømfunksjon. Strømlinjene kan nå finnes ved å løse differensiallikningen v dr. Denne differensiallikningen er imidlertid vanskelig å løse. c) φ x y. Vi finner først vektorfeltet, v v x i+v y j til hastighetspotensialet: Er vektorfeltet divergensfritt? v x φ x x, v y φ y v xi yj. v v x x + v y.
4 6 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Vi kan nå finne strømfunksjonen ψ: x v y y ψ(x,y) xy +f (y) v x x ψ(x,y) xy +f (x). Vi må sette f f C og strømfunksjonen blir ψ(x,y) xy +C Figur 9.: Ekviskalarlinjer for hastighetspotensialet (blå, heltrukken linje) og strømlinjene (rød, stiplet linje). Oppgave 3 a) Strømlinjene finnes ved å sette strømfunksjonen lik konstant (ψ ψ ): ψ ( x +y ) Ay x +y Ay ψ. Vi ønsker å få leddet y Ay ψ over på formen (y c), der c er en konstant. y Ay ψ ( x + y A ) ψ ( y A ) ( ) A ψ ψ ( ) A. ψ
5 7 b) En kilde/sluk plassert i origo har potensial φ Clnr der C er styrken til kilden/sluket og fortegnet bestemmer om det er en kilde eller et sluk. I kartesiske koordinater har vi φ Cln ( x +y ) /. For et sluk i punktet (a,) med styrke A/a blir potensialet φ A [ a ln (x a) +y ] / og potensialet til en kilde i ( a,) med samme styrke blir φ A a ln [(x+a) +y ] /. Dipolfeltet fåes ved å addere feltene over: φ φ +φ A a ln [ (x a) +y ] / + A a ln [ (x+a) +y ] /. c) Regel: lnx a alnx: φ A a ln [ (x a) +y ] + A a ln [(x+a) +y ]. d) Regel: lnx lny ln x y : φ A a ln (x+a) +y (x a) +y (x+a) +y (x a) +y x +ax+a +y x ax+a +y Siden x +y a kan vi gjøre tilnærmingen e) Vi innfører funksjonen x +y +ax+a x +y ax+a ax + + a x +y x +y ax. + a x +y x +y ax + x +y ax + ǫ x +y ǫ. f(ǫ) + ǫ ǫ a x og brøken blir +y og lager en rekkeutvikling til første orden av f om punktet ǫ : T f f(ǫ )+f (ǫ )(ǫ ǫ ) f (ǫ) ( ǫ)+ (+ ǫ) ( ǫ) ( ǫ) Tf + ǫ ǫ + ǫ ǫ ( ǫ ).
6 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Siden ǫ er en liten størrelse: ǫ ax x +y, x +y a så vil T f være en god tilnærming til f(ǫ) i omegn av ǫ. Vi velger derfor ǫ. Dette gir T f +ǫ og + ǫ ǫ +ǫ. f) Vi innfører funksjonen f(ǫ) ln( + ǫ). Taylorutviklingen til første orden av f om punktet ǫ blir T f f(ǫ )+f (ǫ )(ǫ ǫ ) ln(+ǫ )+ ǫ ǫ +ǫ. Vi velger ǫ med samme begrunnelse som i oppgave e) og får T f ǫ som gir ln(+ǫ) ǫ. Vi kan nå finne det ønskede uttrykket for hastighetspotensialet: φ A a ln (x+a) +y (x a) +y oppg.d) oppg.e) oppg.f) A a ln + ǫ ǫ A a ln(+ǫ) A a ǫ Ax x +y. Oppgave Vi har gitt to potensialfelt ψ Uy (translasjonsfelt/rettlinjet strøm) og ψ Aθ (kilde). For at vi skal kunnesuperponerefeltene må både ψ og ψ være beskrevet i samme koordinatsystem. Vi skriver ψ i polarkoordinater: ψ Ursinθ. Det sammensatte feltet kan skrives som ψ ψ +ψ Ursinθ Aθ. Strømlinjene finnes ved å sette strømfunksjonen konstant (ψ ): ψ Ursinθ Aθ r ψ U sinθ + Aθ U sinθ. Se figur 9.3: Legg spesielt merke til at det er et stagnasjonspunkt like til høyre for origo, og at en strømlinje som går igjennom stagnasjonspunktet krummer seg som en skål mot venstre.
7 Figur 9.3: Strømlinjene ψ, 3,,,.5,,.5,,,3,. Konstantene er satt til å være U A. Oppgave 5 En kilde i origo er gitt i polarkoordinater som φ Alnr ψ Aθ. Fra x rcosθ og y rsinθ får vi r x +y, θ atan(y,x), se kommentar på side 9 for en beskrivelse av funksjonen atan. Dette gir hastighetspotensialet og strømfunksjonen i kartesiske koordinater: φ Aln x +y ψ Aatan(y,x). Strømvektoren v v x i+v y j kan finnes fra likningene () v x, v y x () v x φ x, v y φ (3) ().
8 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Her er det valgfritt om vi bruker () eller (), og (3) eller (). () gir v x A x x + y A x+ y x x Ax x +y Ax r. (3) gir v y x A + y x Ay x +y Ay r. ( yx ) Oppgave 6 Fra oppgave 5 har vi φ og ψ for en kilde med styrke A i origo i kartesiske koordinater. For å finne uttrykket for en kilde utenfor origo trenger vi bare å justere koordinatene. En kilde i punktet (,a): φ Aln ( x +(y a) ) / ψ Aatan(y a,x). En kilde i punktet (, a): φ Aln ( x +(y +a) ) / ψ Aatan(y +a,x). Se figur 9., og legg spesielt merke til at det er problematisk å tegne konturplott for ψ med Matlab sin contour-funksjon fordi atan-funksjonen har et diskontinuerlig hopp mellom π og π rett til venstre for det singulære punktet. Se kommentar på side 9 for en beskrivelse av funksjonen atan.
9 Figur 9.: Strømlinjene til kilden i punktet (, a) med A a. Oppgave 7 En punktvirvel i origo er i polarkoordinater gitt ved φ Aθ ψ Alnr. For å skrive φ og ψ i kartesiske koordinater kan vi bruke likningene r x +y, θ atan(y,x), se kommentar på side 9 for en beskrivelse av funksjonen atan. Hastighetspotensialet og strømfunksjonen blir dermed φ Aatan(y,x) ψ Aln x +y. Komponentene til strømvektoren kan vi finne på samme måte som i oppgave 5: Oppgave v x φ x Ay r v y φ Ax r. Vi har gitt strømfunksjonen til to potensialfelt: ψ Uy, ψ Ay x +y.
10 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Det superponerte feltet har strømfunksjon ψ Uy + Ay x +y. a) Vi innfører polarkoordinater ved x rcosθ og y rsinθ: ψ Ursinθ+ a Ursinθ U b) Strømkomponentene kan finnes fra likningene v r r r ] [ a r rsinθ. θ, v θ r. v r [ ] r ( U) a rcosθ r r ] U [ a cosθ v θ U sinθ Ua r sinθ ] U [+ a r sinθ. På sirkellinjen r a blir strømkomponentene v r (ra) og v θ (ra) U sinθ. Oppgave 9 Den elektriske feltstyrken utenfor en elektrisk ladet partikkel er gitt ved E Q r i r. Potensialet, V, er gitt ved E V. I denne oppgaven må vi bruke kulekoordinater, og vi har at V V r i r + V r θ i θ + V rsinθ ϕ i ϕ. Potensialet blir derfor Q r V r r V θ V rsinθ ϕ hvor C er en vilkårlig konstant. V V(r) Q r +C V Q r +f (θ,ϕ) V f (r,ϕ) V f 3 (r,θ)
11 Figur 9.5: Strøm rundt en sylinder (r > a) Figur 9.6: Feltet for r < a blir et dipolfelt.
12 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Kommentar om funksjonen atan(y, x) Et punkt i xy-planet har posisjonsvektor r xi + yj. Vinkelen mellom posisjonsvektor og positiv x-akse er gitt ved atan(y, x). Dersom puktet ligger i første eller fjerde kvadrant har vi atan(y, x) arctan(y/x). Dersom punktet ligger i andre kvadrant har vi atan(y, x) arctan(y/x) + π. Dersom punktet ligger i tredje kvadrant har vi atan(y,x) arctan(y/x) π.
Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm
Kapittel 9 Divergens- og virvelfrie felter. Potensialstrøm Oppgave Det eksisterer et hastighetspotensiale φ hvis feltet er virvelfritt. For et to-dimensjonalt felt v = v x i+v y j er virvlingen gitt ved
DetaljerFasit til eksamen i MEK1100 høst 2006
Fasit til eksamen i MEK11 høst 26 Det er tilsammen 1 delspørsmål. Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til 1 (1 for fullstendig svar, for blank). Maksimal oppnåelig poengsum er 1. Kontroller at
DetaljerFasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).
Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy
DetaljerTillegg om strømfunksjon og potensialstrøm
Kapittel 9 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.1 Divergensfri strøm 9.1.1 Strømfunksjonen I kompendiet, kap. 4.6 og kap. 9, er det påstått at dersom et todimensjonalt strømfelt v(x y) = v x (x
DetaljerVirvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen
Virvelfrihet, potensialer, Laplacelikningen Kap 10 og 9 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Forelesninger NYTT TEMA Hvorfor snakker vi om virvelfri bevegelse? Forelesninger Todimensjonal
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt Divergensen til v er definert som v = ui+vj +wk. v = u x + v y + w og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerFeltlikninger for fluider
Kapittel 10 Feltlikninger for fluider Oppgave 1 Gitt et to-dimensjonalt strømfelt v = ωyi+ωxj. a) Den konvektive akselerasjonen for et to-dimensjonalt felt er gitt ved b) Bevegelseslikninga (Euler-likninga):
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui+vj +wk. Divergensen til v er definert som v = u x + v y + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerObligatorisk oppgave 2
MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 Oppgave a) Vi kan beregne vektorfluksen Q = F ndσ gjennom en kuleflate σ gitt vektorfeltet σ F = xi + 2y + z j + z + x 2 k. Ved
DetaljerVektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
DetaljerFelt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
DetaljerFelt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
Detaljerβ = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ
Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r,θ) og kartesiske koordinater (x,y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y =
Detaljerβ = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1)
Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r, θ) og kartesiske koordinater (x, y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 11 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 1 desember 29. Tid for eksamen: 14:3 17:3. Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Fredag 29 mai 2009. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på 6 sider.
DetaljerMEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2.
9. februar 2017 Innleveringsfrist MEK1100, vår 2017 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 2. mars 2017, klokken 14:30 i obligkassen, som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. etasje i Niels Henrik Abels
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerMEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no).
28. februar 2019 Innleveringsfrist MEK1100, vår 2019 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen
DetaljerOblig 2 MEK1100, vår 2016
Oblig 2 MEK1100, vår 2016 Krav til innlevering og godkjenning Hvert punkt gir makismalt 10 poeng. I alt kan du oppnå 100 poeng. Vi krever minimum 70 prosent, eller 70 poeng for å få godkjent. Dersom dette
DetaljerØving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen
DetaljerForeta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen:
. 2 65 Løsning E.1 Foreta omskrivninger av den stedsderiverte av et produkt som forekommer i den vanlige formen: Dette er den søkte formen. " Løsning E.2 %'& Legg en -akse i # s retning, dvs. # () -,&
DetaljerObligatorisk oppgave 1
Obligatorisk oppgave Oppgave a) Vi kan finne divergens og virvling av det todimensjonale hastighetsfeltet ved å finne v og v. Gitt at v = ui + vj, hvor u = cos x sin y og v = sin x cos y, får vi følgende:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 11 desember 2008. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse II Øving 9
Ma23 - Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Øistein Søvik 2.3.22 Oppgaver 4.5 Evaluate the triple integrals over the indicated region. Be alert for simplifications and auspicious orders of integration 3.
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
DetaljerPartieltderiverte og gradient
Partieltderiverte og gradient Kap 2 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Struktur Mye er repitisjon fra MAT1100, litt
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal analyse våren 2012 Maple/Matlab-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerElektrisk potensial/potensiell energi
Elektrisk potensial/potensiell energi. Figuren viser et uniformt elektrisk felt E heltrukne linjer. Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke? A. B. C. 3 D. 4 E. Det endrer seg langs alle
DetaljerForelesning 23 den 18/4 2017
Forelesning 3 den 18/4 017 Eksperiment Toricelli hvor fort renner vann ut av et kar? Vi navngir eksperimentet til ære for Evangelista Torricelli (1608 1647) som oppdaget Toricellis lov i 1643. Toricelli
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)
DetaljerAlternativ II: Dersom vi ikke liker å stirre kan vi gå forsiktigere til verks. Først ser vi på komponentlikninga i x-retning
Forelesning / 8 Finne skalarfunksjon når gradienten er kjent. Se GF kap..3.4. Ta som eksempel β = yi + xj + k. Vi vet at β = x i + j + z k og følgelig ser vi at vi må løse et system av tre likninger som
DetaljerLøsning, funksjoner av flere variable.
Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 1 Løsning, funksjoner av flere variable Oppgave 1 a) = +=, b) =, =y3 d ) e ) = 3+= 3 Selv om ikke x er med kan det betraktes som funksjon av
DetaljerTillegg om flateintegraler
Kapittel 6 Tillegg om flateintegraler 6.1 Litt ekstra om flateintegraler I kompendiet har vi definert flateintegraler som grenseoverganger for diskretiseringer. Har vi en flate kan vi representere den
DetaljerMEK1100 Løsningsforslag til oppgavene i Feltteori og vektoranalyse
MEK11 Løsningsforslag til oppgavene i Feltteori og vektoranalyse av Gjevik & Fagerland Opprinnelig laget av Morten Wang Fagerland våren 5 Rettinger og oppdateringer ved Karsten Trulsen Takk til studenter,
DetaljerOppgavehefte for Mek 1100
Oppgavehefte for Mek 1100 Geir Pedersen Høst 2009 Oppg. 1 Normal til bane i planet. Vi har gitt en posisjonsvektor som funksjon av t på dimensjonsløs form r(t) = (5 + t)i + t 2 j. a) Finn hastigheten,
Detaljer(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ
Oppgave 1 Variasjoner over hydrogen Løsningen av den tidsuavhengige Schrødingerligningen for potensialet til hydrogenatomet Vr) = k ee r, 1) er som kjent ψ nlm r,θ,φ) = R nl r)yl m θ,φ), ) hvor R nl r)
DetaljerGradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer
Kapittel 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Oppgave Gitt funksjonen f(x,y,z) = x 2 y+z 2 x. Vi regner først ut de partielt deriverte med hensyn på x, y og z: f x = 2xy f +z2, = f x2,
DetaljerVår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise
TMA405 Matematikk 2 Vår 205 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
DetaljerF = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk.
TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 12 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: Eksamensdag: Fredag 1. april 2011 Tid for eksamen: 15.00 17.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerPlan. I dag. Neste uke
Plan I dag Referansegruppe... Ta opp igjen kurvelengde Areal bestemt av en kurve En annen måte å beskrive punkt i planet Kurver med denne beskrivelsen Tangenter, kurvelengde og areal Neste uke Kjeglesnitt
Detaljerx t + f y y t + f z , og t = k. + k , partiellderiverer vi begge sider av ligningen x = r cos θ med hensyn på x. Da får vi = 1 sin 2 θ r sin(θ)θ x
TMA4105 Matematikk 2 Vår 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus:
DetaljerGradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer
Kapittel 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Oppgave Gitt funksjonen f(x,y,z) = x 2 y + z 2 x. Vi regner først ut de partielt deriverte med hensyn på x, y og z: De dobbeltderiverte
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x
DetaljerLøsning, Trippelintegraler
Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerOppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For
DetaljerIntegralsatser: Green, Stokes og Gauss
Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v = ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v = ω 2 y 2 +ω 2 x 2 = ωr, r = x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 = x 2 +y
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FY112 Elektromagnetisme Løsningsforslag til ukesoppgave 1 Oppgave 1 a i Her er alternativ 1 riktig. Hvis massetettheten er F, vil et linjestykke
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) February 19, 2010 Oppgave 3.6.1 Vi ser på ligningen Vi fullfører kvadratene: 4x 2 + 9y 2 + 32x 18y + 37 = 0. 4(x 2 + 8x
DetaljerVelkommen til MA1103 Flerdimensjonal analyse
Velkommen til MA1103 Flerdimensjonal analyse Foreleser: 14. januar 2013 Kursinformasjon Nettside: wiki.math.ntnu.no/ma1103/2013v/start Foreleser: (mariusi@math.ntnu.no) Start emne i epost med MA1103 Treffetid:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2
DetaljerFeltteori og vektoranalyse. Forelesninger og oppgaver i MEK1100
Feltteori og vektoranalyse Forelesninger og oppgaver i MEK11 av Bjørn Gjevik og Morten Wang Fagerland Avdeling for mekanikk Matematisk institutt Universitetet i Oslo 27 Forord Dette kompendiet er utarbeidet
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerEksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk Vår 2013
NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Eksamen TFY45/FY006 Innføring i kvantemekanikk Vår 03 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: 735933 Onsdag.
DetaljerEksamen i V139A Matematikk 30
Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 4. juni 22 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærere: Hans Petter Hornæs. Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, Formelsamling. Oppgavesettet
Detaljer4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall
4_Komplekse_tall.odt 04.09.015 tg Kap.4 Komplekse tall e i π +1=0 Innledning... Egenskaper...4 Geometrisk form...5 Regneregler...6 Lengde og argument...8 Polar form...9 Eksponentform - Eulers formel...1
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
Detaljer1. En tynn stav med lengde L har uniform ladning λ per lengdeenhet. Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde dx av staven?
Ladet stav 1 En tynn stav med lengde L har uniform ladning per lengdeenhet Hvor mye ladning d er det på en liten lengde d av staven? A /d B d C 2 d D d/ E L d Løsning: Med linjeladning (dvs ladning per
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 vår 2013
TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.7-3.10 Oppgaver til seksjon 3.7 I oppgave 1 til 7 skal du avgjøre om feltet er konservativt og i så fall finne en potensialfunksjon. 1. F(x, ) = (x + x) i + x j. F(x,
DetaljerTMA4105 Matematikk2 Vår 2008
TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 11.4.1 Vi ser på kurven i xy-planet gitt ved r(t) ti + (ln(cos t))j π/2
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: 11.12.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter
DetaljerEksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag
Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):
DetaljerOppgaver og fasit til kapittel 6
1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-000 Kvantemekanikk Dato: Mandag 6. september 016 Tid: Kl 09:00 1:00 Sted: Auditorium Maximum, Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 9. E dl = 0. q i q j 4πε 0 r ij. U = i<j
TFY404 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 207. Løsningsforslag til øving 9. Oppgave. a) C V = E dl = 0 dersom dl E b) B U = e2 4πε 0 r = e e 4πε 0 r = e.6 0 9 9 0 9 0 0 = 4.4 ev c) D Total potensiell
DetaljerArne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
Detaljer5 z ds = x 2 +4y 2 4
TMA45 Matematikk 2 Vår 25 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
DetaljerKapittel 10: Funksjoner av flere variable
0.. Introduksjon til funksjoner av flere variable 95 Kapittel 0: Funksjoner av flere variable 0.. Introduksjon til funksjoner av flere variable. Oppgave 0..: a) Den naturlige definisjonsmengden for f(x,
DetaljerLøsningsforslag til øving 3
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003 Elektromagnetisme Vår 2009 Løsningsforslag til øving 3 Oppgave a) C V = E dl = 0 dersom dl E b) B På samme måte som et legeme med null starthastighet faller i gravitasjonsfeltet
Detaljer=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11
3.3 Oppgaver 3.3.1 1 2 3 1 2 3 2 0 1.La A,,,,, 3 4 B 2 1 C 0 1 a -1 b 1 c 2 Regn ut (a) A a, (b) B b, (c) C c, (d) A B, (e) A B C ( a) ( c) ( e) ( f ) 1-2 2 1 2 + ( 2) ( 1) 4 A a 3 4 1 3 2 + 4 ( 1 ( b)
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1
FYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1 22. august 2016 I FYS1120-undervisningen legg vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerFasit eksamen Fys1000 vår 2009
Fasit eksamen Fys1000 vår 2009 Oppgave 1 a) Klossen A er påvirka av tre krefter: 1) Tyngda m A g som peker loddrett nedover. Denne er det lurt å dekomponere i en komponent m A g sinθ langs skråplanet nedover
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Trond Digernes 75957 Berner Larsen 7 59 5 5 Lisa Lorenten 7 59 5 8 Vigdis Petersen 75965 ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk ide av Oppgave Et plant
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerOversigt [S] 12.4, 12.5, 12.7
Oversigt [S] 12.4, 12.5, 12.7 Nøgleord og begreber Repetition: Polære koordinater Lagkagestykker Koordinatskift Type II varianten August 22, opgave 1 Populære anvendelser Flyv højere... Koordinatskift
DetaljerHØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL
DetaljerFORKUNNSKAPER I MATEMATIKKK (TKP4175) d [1, 31] m [1, 12] y [2012, Tidspunkt: 08:15 16:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (913-63-586) Bokmål FORKUNNSKAPER I MATEMATIKKK (TKP4175)
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerLøsningsforslag til øving 4
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003 Elektrisitet og magnetisme Vår 2007 Veiledning uke 5 Løsningsforslag til øving 4 Oppgave a) Vi benytter oss av tipsene gitt i oppgaveteksten og tar utgangspunkt
Detaljer