Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen

Transkript

1 Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui+vj +wk. Divergensen til v er definert som v = u x + v y + w z og virvlingen er gitt ved determinanten v = i x j k y z u v w. a) v = xy z i+xy z j +xy z k. Divergens: v = y z +xyz +xy z. Virvling: v = = i j k x y z xy z xy z xy z ( xyz xy z ) ( i y z xy z ) ( j + y z xyz ) k. 9

2 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen b) v = e yz i+e xz j +e xy k. Divergens: v =. Virvling: v = = i j k x y z e yz e xz e xy ( xe xy xe xz) ( i ye xy ye yz) ( j + ze xz ze yz) k. c) v = e x i+sin(xy)j cos(z )k. Divergens: v = xe x +xcos(xy)+zsin(z ). Virvling: v = i j k x y z e x sin(xy) cos(z ) = ycos(xy)k. d) v = (x+y +z) i+ xy z k. Divergens: v = (x+y +z) xy z. Virvling: v = i x j k y (x+y +z) z xy z = x z i ( y z (x+y +z) )j (x+y +z)k. Oppgave a) Løsningsforslaget for denne deloppgaven gjelder for forrige versjon av kompendiet, men beholdes her foreløpig av historiske grunner. Det mangler løsningsforslag for denne deloppgaven for nåværende versjon av kompendiet.

3 4 z h snitt n x Figur 4.: Vindprofilet til v = U z h i. v = u(z)i, u(z) = U z h, z h, U = konstant, h = konstant. Vi antar at problemet er to-dimensjonalt i xz-planet. Divergens: v = u x + w z =. Virvling: v = i x j k z u(z) = u z j = U z h j. Strømfunksjonen ψ(x, z) finner vi ved å løse likningssystemet ψ z ψ x = u (4.) = w. (4.) Fra (4.) får vi Vi setter inn for u i (4.) og integrerer: ψ x = ψ = ψ(z). ψ z = U z h ψ(z) = U h z +C.

4 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Siden ψ her er en funksjon av bare z får vi en integrasjonskonstant C i stedet for en funksjon f(x). Strømlinjene finner vi ved å sette ψ = ψ = konstant: z = h (ψ C) U z = C. = C (Brøken er konstant) Dette gir rette horisontale linjer (se figur 4.). Volumstrømmen er gitt ved Figur 4.: Strømlinjene til v = u(z)i er rette horisontale linjer. Q = σ v ndσ der n = i er en normalvektor til snittet (se figur 4.). v i = u(z) slik at vi får Q = h = U h u(z) dz h = U h. z dz Vi skal til slutt vise at volumstrømmen er lik differansen i strømfunksjonens verdi

5 4 mellom bakken og z = h: Q = ψ(z=) ψ(z=h) = C + U h h C = U h. ( ) z +h b) v = u(z)i, u(z) = U ln, z h, U = konstant, h = konstant. h Vi antar at problemet er to-dimensjonalt i xz-planet. z h snitt n ( ) z +h Figur 4.: Vindprofilet til v = U ln i. h x Divergens: v = u x + w z =. Virvling: v = i x j k z u(z) = u z j = U z +h j. Strømfunksjonen ψ(x, z) finner vi ved å løse likningssystemet ψ z ψ x = u (4.) = w. (4.4)

6 44 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Fra (4.4) får vi ψ x = ψ = ψ(z). Vi setter inn for u i (4.) og integrerer: ( ) ψ z +h = U ln z h ψ(z) = U lnudz der u = z +h h, Videre blir strømfunksjonen ψ(z) = U h du dz = h, lnudu [ u = U h ulnu dz = hdu. ] u du +C [ = U h u ( lnu )] +C ( ) [ ( ) z +h = U z +h ln h ] +C. Vi har her brukt substitusjon og delvis integrasjon til å løse integralet. Siden ψ her er en funksjon av bare z får vi en integrasjonskonstant C i stedet for en funksjonf(x).strømlinjenefinnervi vedåsette ψ = ψ =konstant. Sidenψ = ψ inneholder kun en variabel, z, og resten konstanter, får vi at z = konstant som gir rette horisontale linjer som i oppgave a (se figur 4.). Volumstrømmen er gitt ved Q = σ v ndσ der n = i er en normalvektor til snittet (se figur 4.). v i = u(z) slik at vi får Q = h u(z) dz h ( ) z +h = U ln dz h [ ( ) [ ( ) ] ] h z +h = U z +h ln h = U h ( ln ) U h ( ln ) = U h ( ln ).

7 4 Vi skal til slutt vise at volumstrømmen er lik differansen i strømfunksjonens verdi mellom bakken og z = h: Q = ψ(z=) ψ(z=h) [ ( ) ] h = U h ln h = U h+u h ( ln ) = U h ( ln ). [ +C +U h ln ( ) ] h C h Oppgave Skal feltet være divergensfritt må v = ax i+v(x,y)j v = u x + v y = ax+ v y. ax+ v y v y = = ax. Vi integrerer med hensyn på y: v(x,y) = axy +f(x). Feltet er nå divergensfritt for et hvert valg av f(x). Videre i oppgaven skal vi begrense oss til tilfellet v(,) =, da må vi velge f(x) =, slik at v = ax i axyj. Strømfunksjonen ψ(x, y) kan vi finne fra likningene Dette gir ψ y ψ x = u (4.) = v. (4.6) (4.) : (4.6) : ψ y = ax ψ(x,y) = ax y +f (x) ψ x = axy ψ(x,y) = ax y +f (y).

8 46 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen For å få en mulig ψ må vi velge f (x) = f (y) = C, og strømfunksjonen blir Strømlinjene finner vi ved å sette ψ = ψ : ψ(x,y) = ax y +C. y = C ψ ax = C x Figur 4.4: Vektorfeltet v = ax i axyj med strømlinjer for a =. Strømlinjen som går gjennom origo og langs y-aksen er markert med litt tykkere linje for å understreke at her er hastighetsfeltet lik null v(,y) =. Oppgave 4 Vi skal finne volumstrømmen til vektorfeltet v = xi+yj gjennom et rektangel med sentum i origo og sidekanter x og y (se figur 4.). Volumstrømmen er definert som Q = v ndσ σ der σ er den samlede overflaten til sidekantene og dσ er et lite flateelement med normalvektor n. Vi deler opp rektangelet i fire deler: Q = v ndσ + v ndσ + v ndσ + v ndσ. DA AB BC CD

9 47 y C j dx B i dy i x D j A Figur 4.: Et rektangel med sidekanter x og y. Vi antar at tykkelsen er lik en. AB: n = i, x = x/, dσ = dy : AB v ndσ = y/ y/ xdy = x y/ y/ dy = x y. BC: n = j, y = y/, dσ = dx : BC v ndσ = x/ x/ ydx = y x/ x/ dx = x y. CD: n = i, x = x/, dσ = dy : CD v ndσ = y/ y/ xdy = x y/ y/ dy = x y. DA: n = j, y = y/, dσ = dx : DA v ndσ = x/ x/ ydx = y x/ x/ dx = x y.

10 48 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Legger vi sammen disse leddene får vi Volumstrømmen per arealenhet blir Vi kontrollerer ved å beregne divergensen: Q = 4 x y. Q = Q x y = 4. v = u x + v y = + = 4. For at en strømfunksjon skal kunne eksistere må vi ha et to-dimensjonalt divergensfritt felt. Divergensen er her 4, altså eksisterer det ikke noen strømfunksjon for dette feltet, men vi kan alltid finne strømlinjene ved udy = vdx xdy = ydx dy y dy y = dx x dx = x ln y = ln x +A e ln y = e ln x +A e ln y = e ln x e A y = Cx. Oppgave Vi har gitt det to-dimensjonale vektorfeltet v = axi, der a er en konstant. a) Divergens: v = v x x + v y y = a. b) Vi skal beregne volumstrømmen, Q = σv ndσ, gjennom det samme rektangelet som i oppgave 4 (se figur 4.). Vi deler også her opp integralet i fire deler:

11 Figur 4.6: Strømlinjene til feltet v = xi+yj. AB: n = i, x = x/, dσ = dy : AB v ndσ = y/ y/ axdy = a x y/ y/ dy = a x y. BC: n = j, y = y/, dσ = dx : BC v ndσ = x/ x/ v jdx =. CD: n = i, x = x/, dσ = dy : CD v ndσ = y/ y/ axdy = a x y/ y/ dy = a x y. DA: n = j, y = y/, dσ = dx : DA v ndσ = x/ x/ v ( j)dx =.

12 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Volumstrømmen blir Q = a x y. c) Sammenlikner vi resultatene fra oppgave a og b får vi v = Q x y. Divergensen er altså lik volumstrømmen per arealenhet. Oppgave 6 Et to-dimensjonalt strømfelt i xy-planet er gitt ved v = ayi + axj, der a er en konstant. a) Virvlingen: v = i x j k y ay ax = i( ) j( )+k(a+a) = ak. b) Sirkulasjonen til v langs den lukkede kurven λ er definert ved C = v dr der dr er et lite buelement. Vi deler linjeintegralet inn i fire deler (se figur 4.7): C = v dr + v dr + v dr + v dr. AB AB: dr = jdy, x = x/: BC λ CD DA AB v dr = y/ y/ ( ayi+axj) jdy = a y/ x y/ dy = a x y. BC: dr = idx, y = y/: BC v dr = x/ x/ ( ayi+axj) ( i)dx = a x/ y x/ dx = a x y. CD: dr = jdy, x = x/: CD v dr = y/ y/ ( ayi+axj) ( j)dy = a y/ x y/ dy = a x y.

13 DA: dr = idx, y = y/: DA v dr = x/ x/ ( ayi+axj) idx = a x/ y x/ dx = a x y. Sammen gir disse leddene sirkulasjonen: C = a x y. y C i B j j x D i A Figur 4.7: Et rektangel med sidekanter x og y. c) Sammenhengen mellom sirkulasjonen og virvlingen: v = C x y. Virvlingens størrelse er altså lik sirkulasjonen per arealenhet. Oppgave 7 Vi har gitt et to-dimensjonalt strømfelt i xy-planet: v = xyi+v y (x,y)j.

14 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen a) For at feltet skal være divergensfritt må vi kreve v = : v = y + v y y = v y y = y v y (x,y) = y +f (x). Hvis feltet skal være virvelfritt må v = : i j k v = x y xy v y (x,y) = ( ) vy x x k v y x = x v y (x,y) = x +f (y). For å få en mulig v y (x,y) må vi velge f (x) = x +C og f (y) = y +C hvor C er en vilkårlig konstant, slik at v y (x,y) = ( x y ) +C v = xyi+ ( x b) Strømfunksjonen ψ(x, y) er gitt ved likningene ψ y = xy y +C) j. ψ x = v y = ( x y ) +C. Integrasjon av likningene med hensyn på henholdsvis y og x gir ψ(x,y) = xy +f (x) ψ(x,y) = 6 x xy +Cx+f (y). En mulig løsning krever at vi velger f (x) = 6 x +Cx+D og f (y) = D hvor D er en vilkårlig konstant. Strømfunksjonen blir da ψ(x,y) = xy + 6 x +Cx+D.

15 Strømlinjene finner vi ved å sette ψ = ψ = konstant. For eksempel, for ψ = D og C = får vi de tre rette linjene x =, y = ± x. Det er interessant å finne stagnasjonspunktene til vektorfeltet, der hvor v =. Vi må skille mellom tre kvalitativt forskjellige tilfeller: C < gir to stagnasjonspunkt langs x-aksen, C = gir ett stagnasjonspunkt i origo, og C > gir to stagnasjonspunkt langs y-aksen Figur 4.8: Strømlinjene til feltet v = xyi+ ( x y ) j. Stagnasjonspunktet er vist med et kulepunkt. Oppgave 8 For et vilkårlig skalarfelt β = β(x,y,z) har vi β = β β i+ x y j + β z k

16 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Figur 4.9: Strømlinjene til feltet v = xyi+ ( x vist med to kulepunkt. y ) j. Stagnasjonspunktene er Figur 4.: Strømlinjene til feltet v = xyi+ ( x vist med to kulepunkt. y +) j. Stagnasjonspunktene er

17 og β = i j k x β x ( = i y y β y z β z β z z ( β = i zy β yz β y ) ) ( j x β z z ( β j zx β xz ) ( +k x β x ) +k β y ) β y x ). ( β yx β xy For partielt deriverte gjelder det generelt at β xy = β yx, β xz = β zx, β yz = β zy slik at β =. Oppgave 9 a) Stagnasjonsstrøm: [x,y] = meshgrid(-:.:); psi = x.*y; [C,h] = contour(x, y, psi); clabel(c, h) axis square b) Punktvirvelfelt: [x,y] = meshgrid(-:.:); psi = *log(sqrt(x.^ + y.^)); [C,h] = contour(x, y, psi); clabel(c, h) axis square c) Dipolfelt: [x,y] = meshgrid(-6:.:6); psi = y./(x.^ + y.^); [C,h] = contour(x, y, psi, [ ]); clabel(c, h) axis square

18 6 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Figur 4.: Stagnasjonsstrøm ψ(x, y) = xy Figur 4.: Punktvirvelfeltet ψ(x,y) = ln x +y.

19 Figur 4.: Dipolfeltet ψ(x, y) = y x +y.

20 8 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen