FORKUNNSKAPER I MATEMATIKKK (TKP4175) d [1, 31] m [1, 12] y [2012, Tidspunkt: 08:15 16:00

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål FORKUNNSKAPER I MATEMATIKKK (TKP4175) d [1, 31] m [1, 12] y [2012, Tidspunkt: 08:15 16:00 Hjelpemidler: Ingen Sensur: Senest n [0, dager etter eksamen Denne prøven er en uformell test på dine ferdigheter i anvendt matematikk. Du burde, ideelt sett, kunne klare å løse de fleste av oppgavene i løpet av et par, tre dager. Dette kravet fremstår som viktig fordi oppgavene reflekterer den delen av matematikkpensumet som også inngår i termodynamikkstudiet. Meningen er ikke å stille urealistiske eller overveldende krav til studentene, men snarere peke på hvilke forutsetninger som faktisk gjelder. Dessuten er kravet til forkunnskaper omtrent det samme for alle ingeniør- og fysikkstudenter. Oppgaver som er vektet med er de enkleste. En manglende forståelse av disse grunnleggende problemstillingene vil ha en negativ virkning på dine ferdigheter innen termodynamikk. De av oppgavene som er vektet med ++ er fortsatt innenfor matematikkpensumet, men de er mer (arbeids)krevende. Vektingen ble drøftet med en gruppe av våre 5. årskurs studenter i 2012 og bør kunne sies å reflektere den virkelige studiesituasjonen i sivilingeniørutdanningen ved NTNU. Ha en god fornøyelse! Oppgave 1 Funksjoner og avbildninger: en funksjon er synonymt med en punkt-tilpunkt regel. Våre funksjoner er alltid én-til-én. I den grad det trengs én-til-mange relasjoner så skal de omtales som nettopp det og ikke som funksjoner det skaper forvirring 1. 1 Funksjoner som bevarer en eller annen form for matemetisk struktur er spesielle. Vi kaller dem for transformasjoner. Eksempler på (geometriske) transformasjoner er: forskyvning, refleksjon, rotasjon og fortegning.

2 Side 2 av 7 Selve den prosessen der en funksjon blir brukt til å regne et punkt i en mengdeaom til et tilhørende punkt i en annen mengde B kalles for en avbildning. En avbildning løfter funksjonsbegrepet opp på et høyere abstraksjonsnivå ved at begrepet punkt blir erstattet med begrepet mengde. MengdeneAogBkan referere til to forskjellige mengder eller til én og samme mengde. p a) Gitt en liste av eksplisitte funksjonsuttrykk f (x): cos 2 (x)+sin 2 (x) a+bx ln(x) x x x x T Ax og en kortere liste av implisitte relasjoner g(x, y)=0: sin(xy)=0 Ay x=0 XQ Qy=0 Hvor y=y(x) definerer løsningen av likningene med hensyn på x 2. Til sist en liste av vanlig forekommende avbildninger: {0} {0} R + R + R {1} R n R R C im R R R n R n R n n C n Bruk informasjonen ovenfor til å uttrykke avbildningene på mengdeform f (x) :A B hvor x er en reell størrelse, det vil si en skalar, vektor eller matrise med kun reelle verdier. Gjør det samme for y(x). Merk at avbildningen av sin(xy) krever en mer omfattende notasjon enn de øvrige avbildningene. Oppgave 2 Kalkulus: p a) Finn differensialet av f med hensyn på x: f (x; a, b, c, c n )=a ln x+be cx + c n x n 2 Den siste likningen uttrykker et egenverdiproblem på matriseform

3 Side 3 av 7 p b) Finn den deriverte av c 0 med hensyn på c 1 under antagelse av konstant x, c n {0,1} og f : f (x; c n )= c n x n p c) Bestem den antideriverte f gitt ved: f (x; a, b, c, c n )= (a ln x+be cx + c n x n ) dx p d) Finn den deriverte av f med hensyn på a, b og c: f (a, b, c)= b a (ln x+ce x ) dx } {{ } g(x) p e) Regn ut den deriverte av y med hensyn på x for de to (uavhengige) likningene: x y ln y=0 (1) y x ln x=0 (2) Vi forutsetter at x og y er relle størrelser og at (x, y) er et konvergert punkt på løsningsmanifoldet til (en vilkårlig av) likningene. Det samme gjelder for den deriverte. Bestem definsjonsområdet til x slik at y R i hvert tilfelle. Oppgave 3 Multivariabel kalkulus: p a) Identifiser (alle elementene i) vektorene c og x: c T x= c n x n p b) Finn den deriverte (det vil si gradientvektoren) av f med hensyn på x: f (x)= x

4 Side 4 av 7 + p c) Bestem den andrederiverte av f med hensyn på x og c. Denne matrisen er også kjent som Jacobi-matrisen til ( f/ x). Finn de kryssderiverte ( 2 f/ x i c j ) først: f (x; c)=c T Jx Oppgave 4 Lineær algebra: p a) Regn ut: A= p b) Løs med hensyn på x: x= p c) Regn ut nullrommet av matrisen A: A= ( ) p d) Løs med hensyn på x: x= p e) Regn ut egenverdiene til matrisen A gitt: A= p f) Regn ut diagonaliseringen av A=SΛS -1 gitt: ( ) 0 1 A= c 0

5 Side 5 av 7 Oppgave 5 Numeriske metoder: p a) Løsπ(τ,ν)=π med hensyn påνderπ=8τ/(3ν 1) 3/ν 2. Anta for eksempel π = 0.1 ogτ=0.8. Bruk direktesubstitusjon:ν (k+1) = f (π,ν (k) ). Velg f slik at iterasjonen er stabil forν (0). p b) Gitt de to funksjonene: π= 8τρ 3 ρ 3ρ2 ( ) 8τρ µ=c(τ)+τ ln 3 ρ + τρ 3 ρ 9ρ 4 Løs likningeneπ(ρ 1 ) = π(ρ 2 ) ogµ(ρ 1 ) = µ(ρ 2 ) for to forskjellige verdier avρhvor ρ 1 0, 1 ogρ 2 1, 3. La parameterenτ 0, 1. Anta for eksempel verdienτ=0.7. Bruk Newton Raphson iterasjon. ++ p c) Gitt de samme to funksjonene som i oppgave b. Løs likningeneπ(ρ 1,τ)=π(ρ 2,τ) ogµ(ρ 1,τ)=µ(ρ 2,τ) som parametriserte funksjoner avτ. Du skal med andre ord finne løsningen av ( ) π(τ) f ˆ= = 0 µ(τ) hvorτinngår som parameter. Laτ [0.3, ]. Start integrasjonen iτ (0) = 0.7. Gå først i retning avτ= snu integrasjonsretningen og gå deretter tilbake i retning avτ=0.3. Bruk Newton Raphson iterasjon som indre løkke i et korrektor prediktor-skjema. Du må selv finne en passende steglengde forτ. + p d) Løs likningen 1/x=ǫved iterasjon av x forǫ 1. Bruk formelen for direktesubstitusjon: x (k+1) = x (k) + 1/x (k) ǫ. Anta at startpunktet for iterasjonen er x=1. Vis at metoden er absolutt konvergent. Regn deretter ut hvor mange iterasjoner som trengs for å oppnå n siffers presisjon i løsningen. Sagt med andre ord: bestem N slik at 1 x (N) ǫ= 10 n hvor N er det antallet iterasjoner som trengs. Oppgave 6 Ordinære differensiallikninger: p a) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsen x ˆ= x t=0 : ( ) dx = c(x a) dt

6 Side 6 av 7 ++ p b) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsen x ˆ= x t=0 : ( ) 0 1 ẋ= x ; c>0 c 0 ++ p c) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsene x ˆ= x t=0 og ẋ ˆ= (dx/dt) t=0 : ( ) d 2 x = cx dt 2 Oppgave 7 Analyse: p a) Regn ut minimumsverdien av f med hensyn på x, y og z: f (x, y, z)= x 2 + y 2 + z 2 + 1x+2y+3z p b) Regn ut minimumsverdien av f med hensyn på x, y og z: f (x, y, z)= x 2 + y 2 + z 2 gitt beskrankningene: x+y+z=0 y z=1 + p c) Gitt observasjonene: x y Regn ut minste-kvadratsums-estimatoren ĉ i henhold til: min ŷ(x; c) y med utgangspunkt i den lineære modellen ŷ=c 1 + c 2 x.

7 Side 7 av 7 + p d) Gitt følgende variabeltransformasjon for omregning av polar-koordinater (R, θ) til kartesiske koordinater (x, y): x=rcosθ y=r sinθ Vis at de partiellderiverte av (R,θ) med hensyn på (x, y) tilfredsstiller betingelsen ( ) ( R/ x)y ( R/ y) x J -1 ( θ/ x) y ( θ/ y) x hvor J er Jacobianen til den angitte variabeltransformasjonen. ++ p e) Gitt de parametriske funksjonene: x=r cosθ y=r sinθ R=cθ Regn ut de deriverte dx/ds og dy/ds hvor s er buelengden langs y(x)-manifoldet (kall det en funksjonsgraf om du vil).