Thermodynamic Methods TKP 4175

Transkript

1 Thermodynamic Methods TKP 4175 This document is the β-edition of the solutions to my final exams in thermodynamics for the period The contents of the course has gradually matured during this period, from my very first lectures in HIT2395, via the interim TMT4140, to the contemporary TKP4175. At the same time the syllabus has undergone a few changes from originally being somewhat closer to physical chemistry whilst the focus has now been shifted a little more towards numerics and programming. The physico-mathematical notation has also matured, but the changes have been systematic and the notation is (still) uniform throughout the entire document! Please report to the author any calculation errors, grammatical errors, and unclear problem formulations you might find. Send with subject: TKP4175 to [email protected] and explain the case briefly. Thanks for the help! PS. Please do not ask questions by . My ability to respond adequately to long and detailed questions without pen and pencil is limited. c Tore Haug -Warberg IKP/NTNU (2017)

2

3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 6 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål FORKUNNSKAPER I MATEMATIKKK (TKP4175) d [1, 31] m [1, 12] y [2012, Tidspunkt: 08:15 16:00 Hjelpemidler: Ingen Sensur: Senest n [0, dager etter eksamen Denne prøven er en uformell test på dine ferdigheter i anvendt matematikk. Du burde, ideelt sett, kunne klare å løse de fleste av oppgavene i løpet av et par, tre dager. Dette kravet fremstår som viktig fordi oppgavene reflekterer den delen av matematikkpensumet som også inngår i termodynamikkstudiet. Meningen er ikke å stille urealistiske eller overveldende krav til studentene, men snarere peke på hvilke forutsetninger som faktisk gjelder. Dessuten er kravet til forkunnskaper omtrent det samme for alle ingeniør- og fysikkstudenter. Oppgaver som er vektet med er de enkleste. En manglende forståelse av disse grunnleggende problemstillingene vil ha en negativ virkning på dine ferdigheter innen termodynamikk. De av oppgavene som er vektet med ++ er fortsatt innenfor matematikkpensumet, men de er mer (arbeids)krevende. Vektingen ble drøftet med en gruppe av våre 5. årskurs studenter i 2012 og bør kunne sies å reflektere den virkelige studiesituasjonen i sivilingeniørutdanningen ved NTNU. Ha en god fornøyelse! Oppgave 1 Kalkulus: p a) Finn differensialet av f med hensyn på x: 2 f (x; a, b, c, c n )=a ln x+be cx + c n x n n= 2

4 Side 2 av 6 p b) Finn den deriverte av c 0 med hensyn på c 1 under antagelse av konstant x, c n {0,1} og f : 2 f (x; c n )= c n x n n= 2 p c) Bestem den antideriverte f gitt ved: f (x; a, b, c, c n )= 2 (a ln x+be cx + c n x n ) dx n= 2 p d) Finn den deriverte av f med hensyn på a, b og c: f (a, b, c)= b a (ln x+ce x ) dx } {{ } g(x) p e) Regn ut den deriverte av y med hensyn på x for de to (uavhengige) likningene: x y ln y=0 (1) y x ln x=0 (2) Vi forutsetter at x og y er relle størrelser og at (x, y) er et konvergert punkt på løsningsmanifoldet til (en vilkårlig av) likningene. Det samme gjelder for den deriverte. Bestem definsjonsområdet til x slik at y R i hvert tilfelle. Oppgave 2 Multivariabel kalkulus: p a) Identifiser (alle elementene i) vektorene c og x: 2 c T x= c n x n n= 2 p b) Finn den deriverte (det vil si gradientvektoren) av f med hensyn på x: f (x)= x

5 Side 3 av 6 + p c) Bestem den andrederiverte av f med hensyn på x og c. Denne matrisen er også kjent som Jacobi-matrisen til ( f/ x). Finn de kryssderiverte ( 2 f/ x i c j ) først: f (x; c)=c T Jx Oppgave 3 Lineær algebra: p a) Regn ut: A= p b) Løs med hensyn på x: x= p c) Regn ut nullrommet av matrisen A: A= ( ) p d) Løs med hensyn på x: x= p e) Regn ut egenverdiene til matrisen A gitt: A= p f) Regn ut diagonaliseringen av A=SΛS -1 gitt: ( ) 0 1 A= c 0

6 Side 4 av 6 Oppgave 4 Numeriske metoder: p a) Løsπ(τ,ν)=π med hensyn påνderπ=8τ/(3ν 1) 3/ν 2. Anta for eksempel π = 0.1 ogτ=0.8. Bruk direktesubstitusjon:ν (k+1) = f (π,ν (k) ). Velg f slik at iterasjonen er stabil forν (0). p b) Gitt de to funksjonene: π= 8τρ 3 ρ 3ρ2 ( ) 8τρ µ=c(τ)+τ ln 3 ρ + τρ 3 ρ 9ρ 4 Løs likningeneπ(ρ 1 ) = π(ρ 2 ) ogµ(ρ 1 ) = µ(ρ 2 ) for to forskjellige verdier avρhvor ρ 1 0, 1 ogρ 2 1, 3. La parameterenτ 0, 1. Anta for eksempel verdienτ=0.7. Bruk Newton Raphson iterasjon. ++ p c) Gitt de samme to funksjonene som i oppgave b. Løs likningeneπ(ρ 1,τ)=π(ρ 2,τ) ogµ(ρ 1,τ)=µ(ρ 2,τ) som parametriserte funksjoner avτ. Du skal med andre ord finne løsningen av ( ) π(τ) f ˆ= = 0 µ(τ) hvorτinngår som parameter. Laτ [0.3, ]. Start integrasjonen iτ (0) = 0.7. Gå først i retning avτ= snu integrasjonsretningen og gå deretter tilbake i retning avτ=0.3. Bruk Newton Raphson iterasjon som indre løkke i et korrektor prediktor-skjema. Du må selv finne en passende steglengde forτ. + p d) Løs likningen 1/x=ǫved iterasjon av x forǫ 1. Bruk formelen for direktesubstitusjon: x (k+1) = x (k) + 1/x (k) ǫ. Anta at startpunktet for iterasjonen er x=1. Vis at metoden er absolutt konvergent. Regn deretter ut hvor mange iterasjoner som trengs for å oppnå n siffers presisjon i løsningen. Sagt med andre ord: bestem N slik at 1 x (N) ǫ= 10 n hvor N er det antallet iterasjoner som trengs. Oppgave 5 Ordinære differensiallikninger: p a) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsen x ˆ= x t=0 : ( ) dx = c(x a) dt

7 Side 5 av 6 ++ p b) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsen x ˆ= x t=0 : ( ) 0 1 ẋ= x ; c>0 c 0 ++ p c) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsene x ˆ= x t=0 og ẋ ˆ= (dx/dt) t=0 : ( ) d 2 x = cx dt 2 Oppgave 6 Analyse: p a) Regn ut minimumsverdien av f med hensyn på x, y og z: f (x, y, z)= x 2 + y 2 + z 2 + 1x+2y+3z p b) Regn ut minimumsverdien av f med hensyn på x, y og z: f (x, y, z)= x 2 + y 2 + z 2 gitt beskrankningene: x+y+z=0 y z=1 + p c) Gitt observasjonene: x y Regn ut minste-kvadratsums-estimatoren ĉ i henhold til: min ŷ(x; c) y med utgangspunkt i den lineære modellen ŷ=c 1 + c 2 x.

8 Side 6 av 6 + p d) Gitt følgende variabeltransformasjon for omregning av polar-koordinater (R, θ) til kartesiske koordinater (x, y): x=rcosθ y=r sinθ Vis at de partiellderiverte av (R,θ) med hensyn på (x, y) tilfredsstiller betingelsen ( ) ( R/ x)y ( R/ y) x J -1 ( θ/ x) y ( θ/ y) x hvor J er Jacobianen til den angitte variabeltransformasjonen. ++ p e) Gitt de parametriske funksjonene: x=r cosθ y=r sinθ R=cθ Regn ut de deriverte dx/ds og dy/ds hvor s er buelengden langs y(x)-manifoldet (kall det en funksjonsgraf om du vil).

9 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 09. august 2016 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Utdrag fra JANAF-tabellene fins som vedlegg. Oppgave 1 5p a) For et termodynamisk system med én kjemisk komponent gjelder: ( ) ( ) p S = T V V,N T,N Forklar hva som ligger til grunn for denne relasjonen. 6p b) Vis at det fins en tilsvarende relasjon som gjør uttrykket nedenfor gyldig: ( ) ( ) V x = µ y Bestem x og y. S,p S,µ

10 Side 2 av 4 6p c) Gitt funksjonen: derαogβer parametre. Vis at: f (x, y)=y exp f= i ( ) αx ( βy ) + x ln y x ( ) f x i x i 6p d) La f x ˆ= ( f/ x) og f y ˆ= ( f/ y). Kan du på bakgrunn av den (samlede) informasjonen som du nå har avgjøre om likningen er oppfylt eller ikke? x d f x + y d f y = 0 6p e) I termodynamikken støter man ofte på begrepet minimum Gibbs energi. Gi en matematisk fortolkning av dette begrepet anvendt på de to spesialtilfellene: Faselikevekt for 2 komponenter A og B som er fordelt mellom 2 faser. Kjemisk likevekt mellom 3 komponenter A, B og AB hvor reaksjonen foregår i homogen fase (en ekte blanding med andre ord). 6p f) Anta at forutsetningene i den siste deloppgaven blir endret slik at A, B og AB nå befinner seg i 3 forskjellige rene termodynamiske faser. Hvilken betydning vil dette ha for svaret på den siste deloppgaven? Oppgave 2 Forbrenning av kull og hydrokarboner danner ryggraden i dagens teknologiske samfunn. For produksjon av elektrisk energi er fullstendig forbrenning å foretrekke mens ved produksjon av kjemikalier (spesielt ammoniakk) er partiell oksidasjon nødvendig. På denne måten blir CO fremstilt i industriell målestokk som et verdifullt mellomprodukt for produksjon av hydrogengass, som igjen brukes i ammoniakkproduksjonen. Vi skal i denne oppgaven gjøre noen enkle betraktninger av partialloksidasjon av C til CO og videre til CO 2 : Luft 25 C Luft 25 C Kull 25 C C+ 1 2 O 2 CO 1451 K CO+ 1 2 O 2 CO K Q 1 Q 2

11 Side 3 av 4 6p a) Regn ut Q 1 og Q 2 i henhold til figuren i oppgaveteksten. Anta perfekt reaksjonsstøkiometri i hvert trinn. Luftens sammensetning er tilnærmet 20 mol-% O 2 og 80 mol-% N 2. Termodynamiske data er gitt i vedlegget. Bruk 1 mol C som basis for beregningene. 6p b) Det første trinnet i prosessen er i virkeligheten et likevektstrinn styrt av Boudouardreaksjonen: CO 2 + C 2 CO Bruk denne likevekten til å utlede et 3 3 sett av likninger som tilsammen beskriver likevektssammensetningen av utløpsgassen fra det første trinnet underforstått at det er overskudd av fast C i reaktoren. Skriv likningene som funksjoner av de ekstensive variablene N CO, N CO2 og N (totalt antall mol gass). La 1 mol O være basis for massebalansene. Du kan anta ideell gassblanding. Temperatur og trykk i gassen er foreløpig ubestemt. 4p c) Regn ut likvektskonstanten for reaksjonen. For å spare tid i tabelloppslagene kan du bruke T = 1500 K istedenfor 1451 K slik figuren angir. 6p d) Skriv ned en formel for Newton Raphson-iterasjon av likningssettet slik det er definert i delspørsmål b eller for et fritt valgt 3 3 likningssystem dersom du ikke har svart på dette delspørsmålet. Anta at p er lik standardtrykket p i henhold til JANAF-tabellene (vedlagt). Bonus: bruk startverdiene N CO = 1, N CO2 = 0 og N= 3 til å løse likningssettet, men kun hvis du er ferdig med de andre oppgavene! Oppgave 3 En kombinert masse-, energi- og entropibalanse for et termodynamisk kontrollvolum med én innløpsstrøm og én utløpsstrøm er gitt ved likningen: dũ dt = H ınn H ut + Ω(1 T T -1 )δ Q W s T S ırr Eksergiraten er definert ved: De andre størrelsene må du definere selv. H ˆ= (T T ) S+ (µ µ ) N 6p a) I tillegg til de fysikalske størrelsene som er nevnt i oppgaveteksten fins det et begrep kalt tapt arbeid. Kan du gi en beskrivelse av hva dette begrepet innebærer og forklare hvilken kobling det har til eksergilikningen ovenfor? 6p b) Bruk den oppgitte likningen til å beskrive entropiproduksjonen for en dampkjel som produserer damp ved 100 C. Kjelen får levert 2000 W elektrisk effekt hvorav 20% går bort som diffust varmetap. En stadig tilførsel av friskt matevann gjør at kjelen er i stasjonær tilstand. Tegn et prosessflytskjema som knytter de ulike størrelsene i likningen opp mot informasjonen gitt i oppgaveteksten.

12 Side 4 av 4 6p c) Regn ut entropiproduksjonen til dampkjelen når trykket i dampstrømmen er 1 atm og matevannet holder 10 C. Laµ = 0 i den sistnevnte tilstanden (som altså definerer omgivelsene for prosessen). 6p d) Matevannstilførselen blir stengt slik at dampkjelen plutselig inntar en dynamisk (tidsavhengig) tilstand. Hvilken betydning har denne prosessendringen for entropiproduksjonen til dampkjelen? Kvantifiser svaret. Oppgave 4 Se oppgave 3, NTNU-eksamen 04. august 2008 og oppgave 1, NTNUeksamen 20. august 2011.

13 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 09. juni 2016 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Tre av oppgavene er merket med ++ i venstre marg. Disse er noe vanskeligere enn gjennomsnittet. Men, hele eksamenssettet summerer til 114 poeng slik at du ikke trenger å løse alle oppgavene for å oppnå toppkarakter. Oppgave 1 6p a) Gjør rede for din forståelse av begrepet kanoniske variable. 6p b) I hvilke(n) sammenheng(er) kan man si at H, A, U, G, etc. er likeverdige størrelser? 6p c) Hva er en Maxwell-relasjon? Gi et par relevante eksempler. ++6p d) Vis at ( C P / p) T,n = T ( 2 V/ T T) p,n er en (utvidet) Maxwell-relasjon.

14 Side 2 av 3 6p e) Begrepet inkompressibilitet innebærer at volumet av et stoff ikke endrer seg med trykket. En annen ytterlighet er at volumet ikke endrer seg med temperaturen. I det sistnevnte tilfellet vil entropien fremstå som uavhengig av trykket. Bruk differensialregning til å underbygge denne påstanden. Merk: dette punktet er ikke bare av prinsipiell art. Det gir i tillegg informasjon som er viktig for andre deler av oppgavesettet. Du skal henvise til denne oppgaven hvis du senere velger å bruke informasjonen slik den er gitt i oppgaveteksten. Oppgave 2 I en prosjekteringsoppgave utført ved IKP våren 2016 skulle studentene vurdere to ulike prosessalternativer for konservering av vannholdige næringsmidler: 1. Oppvarming fra 20 C til 100 C ved normalt trykk 1 bar 2. Kompresjon fra 1 bar til 6000 bar ved normal temperatur 20 C Vi skal her utvide studiet med en termodynamisk analyse av problemstillingen. Det forutsettes at prosessene er i stasjonær tilstand og at de følger den samme, grunnleggende energilikningen: h+ e k + e p = q w s Det strømmende mediet har samme fysikalske egenskaper som rent vann bortsett fra at det spesifikke volumet kan antas å være uavhengig av både trykk og temperatur. Oppvarming og kompresjon foregår uten varmetap til omgivelsene. 6p a) Regn ut tilført varme [J g -1 ] for prosessalternativ 1. 6p b) Regn ut tilført arbeid [J g -1 ] for prosessalternativ 2. 6p c) Bestem endringen i indre energi [J g -1 ] for prosesstrømmene målt som forskjellen mellom inn- til utløp. 6p d) Den naive forestillingen om konstant spesifikt volum, slik den ble fremsatt i oppgaveteksten, er feil. La oss utvide problemstillingen ved å anta at vannet følger Taits tilstandslikning 1 : 1 ( ) v = v p T,n C p+ B(T) Parametrene v, B og C er materialkonstanter. B er i tillegg avhengig av temperaturen. Bruk dette til å bestemme v(t, p). La p=0være nedre integrasjonsgrense. 1 P. G. Tait, Physics and Chemistry of the Voyage of H.M.S. Challenger, Vol. 11, Part IV, 1888 S.P. LXI.

15 ++6p e) Herav følger det at s(t, p) vil være på formen ( p+b ) s(t, p)= f (T)+g(T)p v CB ln B Side 3 av 3 hvor B ˆ= ( B/ T). Vis at dette uttrykket er konsistent med tilstandslikningen til Tait. Det vil si at den ene likningen kan avledes fra den andre. Du kan betrakte f (T) og g(t) som generelle temperaturfunksjoner (som lar seg bestemme) men som er uviktige i denne sammenhengen. Oppgave 3 En kombinert masse-, energi- og entropibalanse av prosessalternativene i oppgave 2 gir følgende uttrykk for den tilgjengelige energien til kontrollvolumet: dũ dt = H ınn H ut + Ω(1 T T -1 )δ Q W s T S ırr Eksergiraten er definert ved: H ˆ= (T T ) S+ (µ µ ) N I vårt tilfelle kan T ogµ settes til henholdsvis temperaturen og det kjemiske potensialet i innløpsstrømmen. De andre symbolene må du definere selv. Likningene forutsetter at det er kun én kjemisk komponent tilstede i systemet. 6p a) Eksergien kan alternativt oppfattes som en spesifikk størrelse: h ˆ= (T T )s+(µ µ ) Gjø rede for overgangen fra rate til spesifikk form. 6p b) Under forutsetning av konstante egenskaper c p og v for det strømmende mediet, fås: ( )] T h=c p [(T T ) T ln + v(p p ) T Vis dette. 6p c) Regn ut h [J g -1 ] for utløpsstrømmen i prosessalternativ 1 fra oppgave 2. 6p d) Gjenta beregningen for prosessalternativ 2. 6p e) Regn deretter ut entropiproduksjonen for hvert av prosessalternativene. Bruk T ut for temperaturen på varm side i varmeveksleren. Oppgave 4 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 24. mai 2011.

16 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 07. august 2015 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, HIT-eksamen 06. juni Oppgave 2 Se oppgave 2, HIT-eksamen 07. juni Oppgave 3 Se oppgave 3, HIT-eksamen 07. juni Oppgave 4 Se oppgave 3, NTNU-eksamen 24. mai 2011.

17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 28. mai 2015 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgavesettet inneholder også enkelte oppgaver som gir bonuspoeng (angitt som for eksempel ++5p). For å løse disse må du ha løst de andre oppgavene først. Bruk ikke tiden din her med mindre du er trygg på at du får utelling for innsatsen. Du trenger ikke løse disse ekstraoppgavene for å oppnå 100 poeng til eksamen. Oppgave 1 5p a) Utled totalt differensial av G(T, p, n). Ta utgangspunkt i et generelt, matematisk uttrykk og innfør de definisjoner/symboler som normalt brukes i termodynamikken. Vær nøye med symbolbruken. 6p b) I hvilken grad endres dg dersom temperaturen og volumet holdes konstant? Forklar med dette overgangen fra totalt differensial dg til det partielle differensialet (dg) T,V. 5p c) Det partielle differensialet (da) T,V er nært beslektet med det ovenstående. Gi en fysikalsk forklaring på forskjeller og likheter mellom (dg) T,V og (da) T,V.

18 Side 2 av 5 Oppgave 2 En brusflaske med volum V tot = 1.5 dm 3 er fylt med V lıq = 1 dm 3 vann og resten luft. Væsken (vannet) har konstant tetthetρ=1 kg dm -3. Luften er tilnærmet ideell gass med initiell tilstand T= 10 C og p=11 bar. Trykket i omgivelsene er p = 1 atm. En prinsippskisse av oppsettet er vist nedenfor. De stiplede rektanglene viser to forskjellige valg av kontrollvolum for flasken. p, V gas V lıq p υ max Oppgaven er å bestemme tilstanden til systemet ved varierende mengde av væske i flasken. Det vil ikke bli stilt spørsmål om hva som skjer når flasken er tom for væske og gassen begynner å strømme ut. 5p a) Forskjellen i trykk fra innsiden av flasken til atmosfæren på utsiden skyver væsken ut i friluft. Bruk det innerste kontrollvolumet til å sette opp en energibalanse for denne prosessen. Anta at trykket og temperaturen i gassen ikke er påvirket av (ut)strømningen. Vis at det totale arbeidet som gassen utøver på væsken er W 1100 J. I figuren er litt av væsken på utsiden av kontrollvolumet. Ignorer dette og anta at alt er på innsiden ved t=0. 5p b) Bernoullis likning gir en god tilstandsbeskrivelse av væsken som strømmer ut av flasken. Regn utυ max i det trangeste tverrsnittet for strømningen, som ifølge figuren er ved utløpet av flasken. 6p c) Sett opp en energibalanse for det ytterste kontrollvolumet og vis at resultatet for W blir det samme som i punkt a). 6p d) Arbeidet som blir tilført væsken må tas fra den indre energien til gassen og den opprinnelige antagelsen om konstant temperatur og trykk kan umulig være helt korrekt. Tiden er inne for å avgjøre hvor god eller dårlig denne antagelsen er. Bruk én av energibalansene ovenfor til å regne ut et estimat for temperaturfallet i gassen. Kommenter svaret.

19 Side 3 av 5 6p e) I et virkelig forsøk vil gassen ekspandere så hurtig at entropien ikke rekker å endre seg nevneverdig før flasken er gått tom for væske. Regn ut W basert på denne (nye) antagelsen. Følgende to formler er gitt: W ıg S = NRT [ 1 1 γ 1 ( ) V 1 γ ] [ 2 V 1, W ıg S = γ NRT ınn 1 γ 1 ( ] )γ 1 p ut γ p ınn ++5p f) En fullstendig utledning av den (korrekte) isentropiske formelen i punkt e) gir bonuspoeng. Ikke svar på denne oppgaven dersom du er usikker på fremgangsmåten. Oppgave 3 Residual Helmholtz energi til en ren gass, uttrykt som funksjon av temperatur, volum og antall mol av gassen, er for anledningen gitt ved A r,v (T, V, N)=NRT(bρ+ 1 2 cρ2 ) der ρ ˆ= N/V. I oppgavene nedenfor skal du bruke denne funksjonen til å bestemme andre tilstandsfunksjoner som for eksempel trykk og indre energi for gassen. 6p a) Hvilket residualtrykk p r,v (T, V, N) gir opphav til Helmholtz-residualet ovenfor? 6p b) Vis hvordan du kan bestemme U r,v fra A r,v. Bruk samme notasjon og samme fri variable som i oppgaveteksten. 8p c) Vi skal nå fokusere på beskrivelsen av den virkelige tilstanden til gassen. Regn ut p og U for gassen ved T= 128 K, V= m 3 og N= 7 mol. Koeffisientene b og c har verdiene: b [cm 3 mol -1 ] = ( ) T -1 [K] ( T ( ) T -3 [K] ( T c [cm 6 mol -2 ] = 0 ) -2 [K] ) -4 Varmekapasiteten til gassen er konstant c v = 30 J mol -1 K -1. Referansepunktet for den indre energien til gassen (i ideell tilstand) settes til U ıg = 0 ved T= 0 K. Hvis du ikke har svart på de to foregående oppgavene skal du bruke funksjonene p r,v = brtρ 2 U r,v = b NRT 2 ρ som utgangspunkt for beregningene. Det er underforstått at b ˆ= ( b/ T). [K]

20 Side 4 av 5 8p d) For å kunne løse det motsatte problemet, det vil si bestemme T og V som funksjoner av p og U ved konstant N, må vi ty til iterasjon. Sett opp likningene for Newton Raphsoniterasjon gitt at problemet er skrevet på formen p(t, V, N)= p U(T, V, N)=U hvor p og U er (konstante) spesifikasjoner. Merk: siden N er konstant kan vi velge å iterere med hensyn på ρ istedenfor V. Dette valget forenkler beregningen av de partiellderiverte, men det er også mulig å bruke V som fri variabel. Det viktigste er at likningssettet er klappet og klart for numerisk løsning hvilket innebærer at det må være komplett, løsbart og skrevet på matriseform. ++5p e) Iterasjon av Newton Raphson-likningene gir bonuspoeng. Det er tilstrekkelig med 3 iterasjoner. Rapporter svaret med minst 5 gjeldende siffer. Bruk startverdiene T (0) = K ogρ (0) = 1 mol m -3. Ikke svar på denne oppgaven dersom du er usikker på gjennomføringen. Oppgave 4 Et termodynamisk likevektssystem består av følgende kjemiske forbindelser: N 2, NH 3, H 2 O, N 2 O, NO, NO 2, N 2 O 4. 4p a) Sett opp forekomstmatrisen A (også kalt atommatrisen) for denne blandingen. Vis at A R C N der C er antallet atomer i systemet og N er antallet forbindelser. 6p b) Bruk Gauss-eliminasjon av radene i A til å bestemme nullrommet N slik at AN= 0. Av dette skal du utlede et sett av uavhengige kjemiske reaksjoner for blandingen. Skriv det endelige svaret klart og tydelig ved hjelp av kjemiske formler. Unngå unødig omregning om koeffisientene (det gjør sensuren tidkrevende). Merk: Utfallet av Gausseliminasjonen avhenger av rekkefølgen til forbindelsene. Bruk den rekkefølgen som er angitt i oppgaveteksten. 4p c) Skriv ned de likevektslikningene som du mener gjelder for blandingen. Det trengs ingen utledning her. Det skjer i neste oppgave. Anta at temperaturen, volumet og den totale sammensetningen av systemet er kjent. 6p d) Gjør et forsøk på å utlede de likningene som du skrev ned i den forrige oppgaven. Jo flere detaljer i utledningen desto bedre inntil et visst punkt selvfølgelig.

21 Side 5 av 5 8p e) Du får til sist vite at blandingen er en ideell gassblanding og at likevektstilstanden er blitt beregnet til: T [1000 K] = 3, V [cm 3 ] = 2.212, n [mol] = Legg nøye merke til enhetene! Du skal avgjøre om dette er en mulig likevektstilstand. Nødvendige termodynamiske data finner du i vedlegget. For å løse denne oppgaven må du verifisere at likevektskriteriene er innfridd. Dette krever et argument av typen 0 0, men avrundingseffekter gjør at du ikke kan teste et slikt uttrykk helt ukritisk. Et visst skjønn er påkrevd. Gjør kort rede for argumentene dine. Bruk R= J mol -1 K -1.

22 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 05. august 2014 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 04. juni Oppgave 2 5p a) Sett opp en generell energibalanse for et fysisk objekt (ikke et fluidelement) som tar hensyn til systemets hastighet og posisjon i tyngdefeltet. Den indre energien til systemet er konstant under forflytningen. 5p b) Bruk energibalansen i forrige oppgave til å regne ut tapet i den potensielle energien til en bil som triller av egen tyngde i en jevn utforbakke med 4% helning. Bilens masse er 1500 kg og den triller med en stasjonær hastighet lik 90 km h -1. Angi svaret som P [kw]. Merk: 4% helning innebærer at høydeendringen utgjør 4 m per 100 m tilbakelagt vei (slik den er registrert av fartsmåleren). Tyngdens akselerasjon g= m s -2.

23 Side 2 av 4 5p c) Tapet av den potensielle energien går i sin helhet med til å overvinne luft- og rullemotstanden til bilen. I sum utgjør disse friksjonsleddene P [kw]=cυ 2 hvor C er friksjonskoeffisienten (antatt konstant) og υ er hastigheten til bilen. Hva blir effektbehovet ved kjøring på flat vei (0% helning) i 80 km h -1? 7p d) Bensinforbruket ved kjøring på flat vei i 80 km h -1 er målt til 6 liter h -1. Den mekaniske effekten som trengs for å holde jevn fart er den samme som i oppgave c). Bruk verdien P=12 kw dersom du ikke har svart på dette spørsmålet. Regn ut den totale (effektive) virkningsgraden til motor og drivverk ved disse kjørebetingelsene. Bruk nedre brennverdi (vann i dampform) som referanse for energiforbruket. Bensin kan regnes som ren n-c 8 H 18. Fysikalske verdier fra SI Chemical Data er gjengitt i tabellen nedenfor. Egenskap Verdi Kommentar v H 43 kj mol -1 Fordampning av H 2 O c H 5464 kj mol -1 Forbrenning av n-c 8 H 18 (vann i væskeform) ρ g cm -3 Væske M w g mol -1 5p e) Den termodynamiske virkningsgraden til bilmotoren, som ideelt sett er en rektangulær syklus i S, V-koordinater det vil si en Otto-syklus, kan skrives somη ıg Otto = (T h T c )/T h. Gi en fysikalsk forklaring på symbolene i denne likningen. Forklar med utgangspunkt i arbeids- og varmeintegralene til syklusen. 6p f) Den termodynamiske virkningsgraden kan også skrives somη ıg Otto = 1 (V 2/V 1 ) (1 γ). For den aktuelle motoren er kompresjonsforholdet 10 : 1. Dette er et annet enn i figuren. Regn ut den termodynamiske virkningsgraden til motoren basert på antagelsen om ideell gass. Bruk fysikalske data for luft. Oppgave 3 Vi skal i denne oppgaven gjøre noen enkle likevektsbetraktninger av etanol og luft i blanding. Utgangspunktet er flytende etanol som blir oppbevart i en lukket beholder med luft tilstede. Likevektskonsentrasjonen av etanol i luften (og ditto for luft i etanolen) blir da (kun) en funksjon av temperaturen. Det samme gjelder likevektstrykket i beholderen. 7p a) Gi en termodynamisk utledning av kriteriene for damp væskelikevekten i beholderen. Luften kan oppfattes som én kjemisk komponent i dette tilfellet, det vil si at vi ser bort fra en mulig separasjon av nitrogen og oksygen. Du kan gå ut ifra at total Helmholtz energi for systemet er minimert ved likevekt.

24 Side 3 av 4 5p b) Ved å innføre et par fysikalske forenklinger kan likevektslikningene i oppgave a) skrives på formen: N vap C p 2 H 5 OH N vap C 2 H 5 OH + = p sat Nvap C 2 H 5 OH (T) luft hvor: p= (Nvap C 2 H 5 OH + Nvap)RT luft V v lıq C 2 H 5 OH Nlıq C 2 H 5 OH Hvilken tilleggsinformasjon i form av spesifikasjoner og ekstra likninger må være kjent for at du skal kunne løse likevektsproblemet på den oppgitte formen? 6p c) Utled et Newton Raphson iterasjonsskjema som gjør det mulig å finne en numerisk løsning på likevektsproblemet i oppgave b). Temperaturen T forutsettes kjent. 7p d) Nedre og øvre flammepunkt for etanol i luft er henholdsvis 3.3 og 19 volumprosent ved 1 bar totaltrykk. Med 19 volumprosent etanol er det et kraftig oksygenunderskudd i systemet og det vil dannes en lang rekke av reaksjonsprodukter ikke bare H 2 O og CO 2. Men, la oss anta at forbrenningen foregår slik at den favoriserer dannelsen av CO, H 2 O, H 2 og CO 2 i nevnte rekkefølge. Bruk denne regelen til å sette opp en balansert reaksjonslikning for forbrenningen. Anta at luften består av 21 volumprosent O 2 og 79 volumprosent N 2. Beregn deretter den adiabatiske temperaturstigningen på basis av den foreslåtte reaksjonslikningen. Reaksjonsproduktene har en effektiv varmekapasitet lik 1 kj kg -1 K -1. Entalpiverdier finner du i SI Chemical Data. Oppgave 4 I et forskningsarbeide fra er det foreslått å bruke Tumlirz tilstandslikning for å beskrive p, v, T-egenskapene til vann og sjøvann: v [cm 3 g -1 ] = V K 1 S+ λ P + K 2 S+ p [bar] I den foreslåtte likningen er V ogλtemperaturavhengige parametre, mens K 1 og K 2 er parametre med konstante verdier. Vi trenger ikke å kjenne noen av parameterverdiene for å løse oppgavene som er gitt nedenfor. S [g kg -1 ] er saltinnholdet i [g] salt per [kg] løsning. Vi skal anta at saltet er ren NaCl. Det betyr at væsken er en binær blanding av H 2 O og NaCl. Med andre ord: hvis S har en gitt verdi så er konsentrasjonene (molbrøkene) av H 2 O og NaCl også bestemt. Et matematisk uttrykk for saltinnholdet er: S 1000 ˆ= M NaCl M H2 O+M NaCl = M w,2 N 2 M w,1 N 1 + M w,2 N 2 = M w,2 x 2 M w,1 x 1 + M w,2 x 2 For å rydde all tvil til side: konstant S innebærer konstant x ˆ= ( x 1 x 2 ). 1 F. H. Fisher and O. E. Dial, Jr., Equation of State of Pure Water and Sea Water, Marine Phys. Lab. Scripps Inst. Oceanography, Univ. of California, San Diego, Report No. SIO Reference (1975).

25 Side 4 av 4 6p a) Bruk Tumlirz likning til å finne et analytisk uttrykk for spesifikk Gibbs energi definert som g ˆ= g(t, p, S ) g(t, 0, S ). Hint: ( g/ p) T,S = v. 5p b) Bruk resultatet ovenfor til å bestemme G ˆ= G(T, p, S, N) G(T, 0, S, N) hvor N er totalt antall mol for blandingen. Hvis du ikke har gjort den siste oppgaven skal du forklare hvordan man i prinsippet kan bestemme G fra et kjent uttrykk for g. 6p c) Finn et uttrykk for det kjemiske potensialet µ H2 O ˆ=µ H2 O(T, p, S ) µ H2 O(T, 0, S ). 5p d) Størrelsen ( µ H2 O/ p) T,p,S kan uttrykkes på en alternativ måte ved hjelp av en Maxwellrelasjon. Hvilken? Finn et matematisk uttrykk for denne størrelsen innsatt for Tumlirz likning.

26 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 07. juni 2014 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser. Oppgavesettet inneholder også enkelte oppgaver som gir bonuspoeng (angitt med et dobbelt pluss-tegn i margen; for eksempel + + 5p). Jeg anbefaler at du løser disse oppgavene sist. Merk: du trenger ikke å ha løst noen av dem for å oppnå 100 poeng til eksamen. Oppgave 1 5p a) Finn minst 3 feil i differensialene: (dh) n = T ds+ p dv ds = C V T dt ( V T ) p,n (dv) n = p -1 du+p -1 T -1 ds dp i ( ) µi dn i T p,n 7p b) For systemer med kun én kjemisk komponent gjelder du = T ds p dv. Vis at denne formelen er korrekt. Bruk funksjonen U(S, V, N) som utgangspunkt. Merk definisjonene u ˆ= U/N, s ˆ= S/N og v ˆ= V/N.

27 Side 2 av 5 5p c) Du har i forelesningene lært at Gibbs energi er en Euler-homogen funksjon av grad én i sammensetningsvariablene N i for systemet. Vis at dette gir opphav til ( 2 G/ N N) T,p = 0. Forsøk deg ikke på et generelt argument, men bruk ideell gass med kun én kjemisk komponent som eksempel. Hint:µ ıg i =µ i+ RT ln[n i RT/(p V)]. ++5p d) Det tilsvarende kriteriet for en multikomponent blanding er ( 2 G/ N i N j ) T,p =0. Det vil si at determinanten til Hesse-matrisen av Gibbs energi er null. Vis at formelen i det minste gjelder for ideell gass. Du kan komme til å trenge argumenter hentet fra lineær algebra. Oppgave 2 Du skal i denne oppgaven beregne utløpstilstanden til en ikke-ideell turbin ved iterasjon basert på direkte substitusjon. Du vil også bli bedt om å utlede likningene for Newton Raphson iterasjon. Utløpsbetingelsene er: p ut = p = 1 bar og s ut = 1.15s ınn hvor s ınn er den molare entropien til innløpsstrømmen: Q=0 p ınn, S ınn p ut, S ut W s Den termodynamiske tilstanden i innløpet til turbinen er spesifisert ved temperaturen T= 700 K og det molare volumet v=5b. Parameteren b refererer til hardkulevolumet i Van der Waals tilstandslikning. Følgende er oppgitt: p= NRT V Nb N2 a ( V, S r,v V ) = NR ln 2 V Nb, H r,v = NRT Nb (V Nb) 2aN2 V. Andre likninger som du trenger for å løse oppgaven må du utlede selv. Parametrene i tilstandslikningen har verdiene: a=0.55 J m 3 mol -2 og b= m 3 mol -1. Verdien til gasskonstanten er: R= J mol -1 K -1. 7p a) For å tydeliggjøre problemets art er det i oppgaveteksten angitt tre relasjoner for beregning av henholdsvis: p, S r,v og H r,v. I hvilken grad er disse størrelsene matematisk uavhengige, eller sagt på en annen måte: er formlene uavhengige, eller er de relatert slik at det ene uttrykket fører til de andre to (eventuelt motsatt)? 10p b) Regn ut den molare entropien til gassen i innløpet til turbinen. Som tilleggsinformasjon blir du fortalt at: s ıg = J mol -1 K -1 og c ıg p = 29.1 J mol-1 K -1, målt i referansetilstanden T = K og p = 1 bar.

28 Side 3 av 5 10p c) Vi skal nå løse likningene for trykk og entropi som bestemmer tilstanden i utløpet av turbinen. For å løse dette problemet må du egentlig invertere p VdW (v) til v VdW (p), men dette kompliserer beregningen i betydelig grad. Du skal derfor bruke ideell gass tilnærming av v -2 -leddet i Van der Waals likning. Dette impliserer ikke at gassen i utløpet er en ideell gass det er kun leddet a/v 2 ap 2 /(RT) 2 som du kan approksimere på denne måten. Approksimasjonen resulterer i én likning med én ukjent. Hvilken likning? Løs likningen ved hjelp av direkte substitusjon. Benytt startverdien T (0) = 700 K. 5p d) For å kunne linearisere utløpstilstanden til turbinen må du ha kjennskap til alle de partiellderiverte av s, p med hensyn på T, v, nemlig: ( ) s s s p J ˆ= ( T v )= T v p p T v Innsatt for Van der Waals likning (gitt i oppgaveteksten) blir denne matrisen symmetrisk. Er dette en generell egenskap for problemer av denne typen, eller avhenger resultatet av tilstandslikningen? Kan du isåfall forklare hvorfor? 7p ++5p e) Still deretter opp et iterasjonsskjema som gjør det mulig å bestemme den hele og fulle utløpstilstanden ved hjelp av Newton Raphson-iterasjon. Skjemaet skal være komplett og det skal ha alle beregningsdetaljer på plass. f) Beregn utløpstilstanden i oppgave c) én gang til. Anvend Newton Raphson-algoritmen som du utledet i oppgave e). Bruk startverdiene T (0) = K og v (0) = RT (0) /p. Utfør 2 3 iterasjoner. Det er tilstrekkelig. Oppgave 3 5p a) Hva kan du si om begrepene entropibalanse og entropiproduksjon, sammenliknet med de nærliggende begrepene energibalanse og energiproduksjon? 10p b) Sett opp en energibalanse for turbinen i oppgave 2. Regn deretter ut akselarbeidet [J mol -1 ] som turbinen leverer forutsatt adiabatiske forhold, null hastighetsendring for gassen og uendret høydepotensial. Dersom du ikke har svart på oppgave 2c) skal du anta at utløpstemperaturen er K og at gassen på utløpssiden er en ideell gass.

29 Side 4 av 5 5p c) Vi kan uttrykke entropibalansen til turbinen ved å gjøre rede for varme- og arbeidsleddene og deretter kombinere disse med de tilhørende masse- og energibalansene. Bruk denne balanselikningen, slik den er gjengitt nedenfor, til å beregne termodynamisk tapt arbeid [J mol -1 ] (eng. lost work) for turbinen. T S ırr = ( H T S µ N) ınn ( H T S µ N) ut ( + 1 T ) Q T W s Oppgave 4 7p a) Den generelle formuleringen av termodynamisk likevekt mellom to vilkårlige faserα ogβer: T α = T β p α = p β µ α i =µ β i Anvendt på damp væskelikevekter (spesielt vanlig i kjemiteknisk litteratur) blir kriteriet omskrevet til y i = K i x i hvor y i og x i er molbrøkene til komponent i målt i henholdsvis damp- og væskefase. Forklar sammenhengen mellom de to ulike kriteriene under forutsetning av at formuleringene er likeverdige. Anta at både damp- og væskefase lar seg beskrive ved hjelp av én og samme tilstandslikning. 5p b) En praktisk forenkling av faselikevektskriteriet y i = K i x i følger som et resultat av Raoults lov: y i = psat i p x i Gjør rede for de fysikalske forutsetningene som ligger til grunn for denne enkle lovmessigheten. Bruk utgangspunktet: y i ϕ i (T, p, y)p= x i γ i (T, p, x)ϕ sat i (T)p sat i (T) exp p p sat i v i (T,π) dπ RT Bestem til slutt et analytisk uttrykk for p forutsatt at væskesammensetningen er kjent.

30 Side 5 av 5 5p c) Ved interpolasjon av tabulerte damptrykk får man et mer presist resultat ved å anta ln(p)= f 1 (1/T) enn ved å anta ln(p)= f 2 (T) eller p= f 3 (T). Gi en teoretisk forklaring på denne observasjonen. 7p d) Nedre og øvre flammepunkt for etanol i luft er henholdsvis 3.3 og 19 volum prosent ved 1 bar totaltrykk. Innenfor disse grensene er etanol luft brannfarlig. I områdene utenfor vil ikke blandingen kunne antennes. Bruk Clausius Clapeyrons likning til å finne det brannfarlige temperaturområdet for etanol som er i kontakt med luft. Du kan anta likevekt mellom etanol i flytende fase og dampfase. Løseligheten av luft i flytende etanol er neglisjerbar. Gjør rede for alle andre antagelser som er nødvendige for å løse oppgaven. Clausius Clapeyrons likning: ( ) dln p = vh R Fysikalske data for etanol er gitt i tabellen nedenfor: d 1 T eq Egenskap Verdi Tilstand T sat K Pa v h kj mol K, Pa

31 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 08. august 2013 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, NTNU-eksamen 20. august I tillegg kommer ett ekstra punkt gitt nedenfor: 5p c) Vis at: G r,p = A r,v NRT ln(z)+nrt(z 1) hvor z= pv/(nrt). Regn ut G r,p gitt de samme betingelsene som i oppgave 1 ovenfor. Oppgave 2 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 20. august Oppgave 3 Se oppgave 3, NTNU-eksamen 25. mai Oppgave 4 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 16. august I tillegg kommer ett ekstra punkt gitt nedenfor:

32 Side 2 av 2 4p d) Hvordan endres problemstillingen dersom antagelsene om: ideell gass, fullstendig forbrenning og konstant c p,i for hver av komponentene ikke holder? Spesifiser et (fritt valgt) sett av fri variable og et tilhørende sett av likninger som må løses, eller foreligge eksplisitt, i det generelle tilfellet.

33 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 08. juni 2013 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Du får oppgitt 3 funksjoner: f= (x+y) ln ( ) x g=ln y ( ) x y + x+y x h= 1 y + 1 x 4p a) Hvilke(n) av disse funksjonene kan sies å være Euler-homogene funksjoner? Gi en matematisk begrunnelse. 2p b) Vær nøye med å angi homogenitetsgraden k Z for hver av funksjonene du fant i punkt a). 4p c) Én av funksjonene f, g, h kan uttrykkes som F= i ( F/ X i ) X i. Hvilken? Gi minst to eksempler fra termodynamikken hvor denne formelen kommer til anvendelse.

34 Side 2 av 3 ++5p d) Euler-homogene funksjoner av grad én er også kjent som ekstensive størrelser i termodynamikken. Skriv ned minst 10 eksempler! Riktig svar gir+ 1 2 poeng, galt svar gir 1 2 poeng. 3p e) Gi et eksempel på en termodynamisk funksjon som er homogen av -1. orden. Bruk ideell gasslov til å verifisere at svaret er rett. Oppgave 2 Se oppgave 3, HiT-eksamen 14. juni Oppgave 3 Det mekaniske arbeidet forbundet med isentropisk kompresjon av en ideell gass kan skrives på to forskjellige måter avhengig av om vi betrakter et lukket eller et åpent system: Lukket system: W ıg S = NRT [ 1 γ 1 ( ) V γ 1 ] 1 V 2 Åpent system: W ıg S = NRT ınn γ γ 1 [ 1 ( ) ] p γ 1 ut γ p ınn 5p a) Vis først og fremst at den isentropiske tilstandsendringen til en ideell gass er beskrevet av (V 1 /V 2 ) S = (p 2 /p 1 ) 1/γ. Merk: du kan komme til å trenge denne informasjonen senere i oppgaven. ++5p b) Uttrykkene for W ıg S og W ıg S gir forskjellige tallsvar selv om de tar utgangspunkt i den samme start- og sluttilstanden. Argumenter hvorfor dette er tilfelle. Du får bonuspoeng hvis du klarer å sette opp et regnestykke som forklarer forskjellen. 5p c) M 4 M 1 M 5 α M2 M3 W ınn I et virkelig kompressoranlegg blir litt av utløpsstrømmen fra kompressoren resirkulert slik tegningen viser. La oss anta at en konstant fraksjon α av gasstrømmen blir resirkulert. Massebalansen til kompressoren tar da formen: Eliminerer M 4 og M 5 : M 4 =α M 2 M 1 + M 4 = M 5 M 2 = M 5 M 1 +α M 2 = M 2 M 2 = M 1 1 α Sett opp en tilhørende energibalanse for kompressorenheten. Vis at den leder frem til resultatet: h 2 = h 1 + w ınn /(1 α).

35 Side 3 av 3 ++5p d) I praksis må ikke resirkulasjonen bli for stor. Kompressoren vil åpenbart kunne akkumulere mekanisk energi helt til den brenner opp dersom α 1. Finn største α som gir en endelig utløpstemperatur når p ut /p ınn = 10. Anta ideell gass med konstant varmekapasitet c ıg p = 7 R. Du vil også kunne få bruk for T 2 5=αT 4 + (1 α)t 1. Du får bonuspoeng hvis du velger å utlede denne formelen selv. Oppgave 4 Se oppgave 3, HiT-eksamen 14. januar 1998.

36 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 09. august 2012 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, HiT-eksamen 5. juni Oppgave 2 Se oppgave 2, HiT-eksamen 5. juni Oppgave 3 Se oppgave 3, HiT-eksamen 5. juni Oppgave 4 Se oppgave 4, HiT-eksamen 5. juni 1998.

37 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 21. mai 2012 Tidspunkt: 15:00 19:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, HiT-eksamen 5. juni Oppgave 2 5p a) Lufttrykket i atmosfæren synker med tiltagende høyde i henhold til den hydrostatiske trykkgradienten dp/dz= ρg hvorρ [kg m -3 ] er massetettheten til luften og g= m s -2 er tyngdens akselerasjon. I klarvær og ved rolige vindforhold vil temperaturen i troposfæren (de første 50 km av atmosfæren) også synke med tiltagende høyde som følge av at luften undergår en adiabatisk (og isentropisk) ekspansjon idet den stiger fra lavere til høyere luftlag. Regn ut temperaturfallet dt/ dz [K m -1 ] i troposfæren gitt: c p,luft=29 J mol -1 K -1, samt den adiabatiske relasjonen: ( ) ıg ln T = γ 1 ln p s γ Hint: som du kanskje vet fra før så er svaret i nærheten av 0.01 K m -1.

38 Side 2 av 3 z 5p b) Figuren ovenfor viser et fotografi av Kilimanjaro, også kjent som Afrikas tak, i nordøstre Tanzania. Det laveste punktet i landskapet er z 1300 m. o. h. Lufttemperaturen på dette punktet er 30 C. Anslå høyden z [m. o. h.] til toppen av fjellet når du får vite at trykk temperaturprofilen til atmosfæren følger den isentropiske tilstandsbeskrivelsen i punkt a). Hint: beregn snøgrensen først. Merk: de neste to spørsmålene er uavhengige av både punkt a) og punkt b). I de to foregående deloppgavene er det gjort noen betraktninger som forutsetter at luft er en tørr gass. I virkeligheten er atmosfæren mer kompleks enn som så, spesielt med tanke på vanndamp som kan kondensere til regn. Du skal i denne oppgaven redegjøre for den ikke-ideelle blandingen av luft (forenklet til nitrogen) og vanndamp. Den nevnte luftblandingen er godt beskrevet av 2. virialkoeffisientene B i, j [cm 3 mol -1 ] målt ved K: V 2.vır = NRT + B p NB= N i N j B i, j B H2 O,H 2 O= 1299 B H2 O,N 2 = 47.2 B N2,H 2 O= 47.2 B N2,N 2 = 10.3 i j 8p c) Finn et uttrykk forµ r,p,2.vır 1 = ( G r,p,2.vır / N 1 ) T,p,N2 basert på informasjonen gitt ovenfor. Skriv uttrykket som en funksjon av p, x 1 og x 2 (molbrøker). Hint: det er enklere å gjøre utledningene i moltall og så konvertere til molbrøk enn motsatt.

39 Side 3 av 3 7p d) Beregn fugasitetskoeffisienten til vanndamp ved T= K, p=1 bar og x H2 O= (duggpunktsbetingelse). Hva kan du si om ikke-idealiteten til vanndamp blandet med luft? Oppgave 3 Se oppgave 3, HiT-eksamen 5. juni Oppgave 4 Se oppgave 4, HiT-eksamen 6. juni 2000.

40 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 20. august 2011 Tidspunkt: 09:00 10:00 Hjelpemidler: Kalkulator Sensur: Senest 1 dag etter eksamen Oppgave 1 Berthelots tilstandslikning (1899) på molar form kan skrives: ( RT= p+ a ) (v b) Tv 2 Ved det kritiske punktet gjelder: p v = 0 ; T=Tc 2 p v 2 = 0, T=Tc som gir: a=3t c p c v 2 c ; b= v c 3 ; p c v c RT c = p a) Regn ut totalt Helmholtz-residual for 8 mol gass ved T= T c og V= V c gitt definisjonen: V ( A r,v ˆ= p NRT ) dν ν Skriv resultatet som en enkel funksjon av T c. Merk: den greske bokstaven ny er brukt som integrator.

41 Side 2 av 2 5p b) Finn grensen: lim V A r,v. Hva betyr denne grensen i praksis? Oppgave 2 Bernoullis likning for tapsfri strømning (friksjonsfri og uten temperaturgradienter) kan skrives: 1 2 ρ υ2 +ρg z+ p=0 5p a) Forklar alle størrelsene som inngår i denne likningen. Bruk et konsistent sett av enheter. Angi spesielt hvilken enhet(er) som gjelder for tallet 0 på høyresiden av likningen. 25p b) Utled Bernoullis likning fra en termodynamisk betrakning av masse- og energibalansene til et åpent kontrollvolum. Forklar hvert trinn i utledningen som leder frem til likningen slik den er gitt ovenfor. 6p c) p p Et vannbasseng tømmes gjennom en rørledning slik figuren ovenfor viser. Atmosfæretrykket p er det samme ved inn- og utløp av røret. Høyden av rørbendet over vannflaten kan neglisjeres. Hva er den maksimale strømningshastigheten i røret? 3p d) Hva er den minste fallhøyden som trengs for å oppnå den hastigheten du regnet ut i forrige punkt? 3p e) Hva skjer hvis fallhøyden økes ytterligere? Oppgave 3 Se oppgave 4e, NTNU-eksamen 26. mai 2008.

42 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 24. may 2011 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, en (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere disse verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Pensum er litt utvidet i år og det er to nye problemstillinger (1d og 2e) med tanke på dem som tar faget på nytt, men det er ikke nødvendig å gjøre noen av disse oppgavene for å oppnå 100 poeng. Oppgave 1 Van der Waals tilstandslikning kan skrives på formen: p VdW = RT v b a v 2 hvor a og b er parametre relatert til stoffegenskapene hos systemet og sammensetningen av blandingen. 5p a) Finn først et uttrykk for residualvolumet v r,p ˆ= v VdW v ıg. Beregn deretter grenseverdien B ˆ= lim p 0 v r,p. 5p b) B et mål for det effektive volumet til molekylene i gassen. Hva kalles denne størrelsen? Eller for å si det med andre ord: hvilken fysikalsk størrelse snakker vi om og hvilke egenskaper har denne som funksjon av temperatur, volum og sammensetning? Tegn en graf som illustrerer temperaturavhengigheten.

43 Side 2 av 3 5p c) Finn et uttrykk for residual Gibbs energi G r,p som er gyldig ved lave trykk. Bruk B=lim p 0 v r,p fra oppgavene a og b). Hvis du ikke har svart på disse oppgavene skal du anta at B=b. ++5p d) Bestem residual Helmholtz energi A r,p med utgangspunkt i punkt c). Hint: Sett inn for G ˆ= A+ pv. Oppgave 2 5p a) Bruk massebalanseprinsippet til å utlede et sett av uavhengige reaksjonslikninger som beskriver likevekt i systemet CH 4, C 2 H 6, C 3 H 8, H 2. Prøving og feiling godtas ikke som fullverdig svar. Bruk matriseregning. 5p b) Hvor mange ulike valg av reaksjonslikninger er det i punkt a)? Forsøk å gi en matematisk forklaring. 5p c) Skriv ned de likevektslikningene som må løses hvis reaksjonen(e) foregår i et lukket rom ved bestemt temperatur og trykk. Gi en kort men presis forklaring. 10p d) Til slutt kommer det store spørsmålet om hvordan man best kan løse disse likningene. Et konkret forslag er linearisering av likevektsuttrykkene med etterfølgende Newton Raphson-iterasjon. Skriv ned de likningene som trengs for å gjøre én slik iterasjon fra k k+1. Det er ikke meningen at alle likningene skal skrives i hver minste detalj (det gjør sensureringen vanskelig), men det skal være enkelt for sensor å se at prinsippet om løsbarhet er innfridd. Påse derfor at likningssystemet er kvadratisk det vil si løsbart. Dersom du føler at Newton Raphson skjemaet er utenfor rekkevidde skal du alternativt fortelle hvilke, og hvor mange uavhengige, iterasjonsvariable som trengs for å løse problemet. ++5p e) Gjenta prosedyren i punkt a) for systemet C 2 H 4 D 2, C 3 H 6 D 2, C 4 H 8 D 2 og D 2. Forklar hvilken (ny) utfordring du møter her. Oppgave 3 En luftstrøm med strømningsrate 13 kmol h -1 ekspanderer adiabatisk gjennom en ventil (eller en annen strømningsrestriksjon). Friksjonen mot rørveggen kan neglisjeres og gasshastigheten inn på ventilen er liten i forhold til utløpshastigheten. Anta at luften er tilnærmet ideell gass. 5p a) Sett opp en energibalanse for tilstanden i det trangeste tverrsnittet til strømningen. Anta at strømningen er reversibel. Vis at svaret kan skrives på en form som er uavhengig av strømningsraten. 10p b) Beregn temperaturen i det trangeste tverrsnittet gitt at luften holder 400 K og 30 bar ved innløpet. Trykket i det trangeste tverrsnittet er det samme som trykket ved utløpet, lik 20 bar. Bruk SI Chemical Data.

44 Side 3 av 3 5p c) Beregn strømningshastigheten i det trangeste tverrsnittet. 5p d) Gjør en forenkling av energibalansen slik at den gjelder for en (nedstrøms) tilstand langt vekk fra det trangeste tverrsnittet av strømningen. Anta fullstendig irreversibel strømning og at utstrømningshastigheten er neglisjerbar. Hva blir utløpstemperaturen i dette tilfellet? 5p e) Beregn det tapte arbeidet (eng. lost work) for den adiabatiske strømningen i punkt d). Angi svaret i kw for totalstrømmen. Temperaturen til omgivelsene er 280 K. Eksergilikningen for et stasjonært kontrollvolum er for anledningen gitt som: 0=( H T S µ N) ınn ( H T S µ N) ut + (1 T T -1 )δ Q W s T S ırr Ω 5p f) Forklar hvordan det tapte arbeidet i punkt e) kunne vært realisert uten å endre utløpstilstanden. Hint: anta reversibel varmeoverføring fra omgivelsene. Oppgave 4 10p a) Den isoterme kompressibiliteten til et fluid som holder konstant sammensetning er definert ved: β ˆ= v -1 ( v/ p) T,n Den er enkel å måle eksperimentelt og er mye brukt for å avgjøre hvorvidt et fluid har typiske væskeegenskaper eller ikke. Bruk implisitt derivasjon av Van der Waals likning i oppgave 1 til å finne et uttrykk forβ VdW. 5p b) Tegn p, V-diagrammet for en forbindelse som følger Van der Waals likning. Diagrammet skal klart vise asymptotene ved v=bog v=, plasseringen av det kritiske punktet, samt utstrekningen av to-faseområdet inklusivt Maxwells arealregel (for en av isotermene). Hva er de termodynamiske likevektsbetingelsene i dette tilfellet? 10p c) I beskrivelsen av multikomponente faselikevekter er det vanlig å ta i bruk såkalte K-verdier: y i = K i x i Gi en termodynamisk forklaring på dette konseptet. Har du et forslag til hvordan K i kan beregnes? Merk: det fins flere alternativer.

45 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 16. august 2010 Tidspunkt: 10:00 11:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, en (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 1 dag etter eksamen Oppgave 1 25p a) Gi en termodynamisk fortolkning av integralet: F= p 0 ( V NRT ) dπ π Vet du om andre, nært beslektede, funksjoner? Forklar bruken av disse funksjonene i termodynamikken. Gi noen eksempler. Oppgave 2 25p a) En lukket beholder med konstant (gitt) volum inneholder en støkiometrisk blanding av butan og luft. Regn ut energitettheten [J cm -3 ] relativt til de antatte forbrenningsproduktene CO 2 og H 2 O ved 25 C. Det initielle trykket i beholderen er 1 atm. Anta ideell gass. Bruk følgende data gitt i enhetene [kj mol -1 ]: f h C 4 H 10 = , f h CO 2 = og f h H 2 O =

46 Side 2 av 2 25p b) Butan : luft-forholdet i punkt a) endres slik at blandingen får et luftoverskudd. Hvilken betydning har dette for (hoved)reaksjonene i systemet? Sagt på en annen måte: skjer det nye reaksjoner (av betydning) i systemet? Blir svaret et annet dersom blandingen brenner med luftunderskudd? Utled alle relevante reaksjonslikninger i hvert av tilfellene. 25p c) Blandingen i punkt a) antennes. Finn et estimat for eksplosjonstemperaturen. Følgende varmekapasiteter med enheter [J mol -1 K -1 ] er oppgitt: c p,o 2 = 32, c p,n 2 = 32, c p,c 4 H 10 = 180, c p,co 2 = 40 og c p,h 2 O = 50.

47 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 25. mai 2010 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, en (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Noen av oppgavene krever tallbehandling. Bruk fysikalske data fra SI Chemical Data eller anslå fornuftige verdier hvis ingenting annet er oppgitt. Det forventes i denne sammenhengen at studentene har grunnleggende kunnskaper om for eksempel tettheten av vann, molekylmassen til hydrogen, oksygen, nitrogen og karbon, den universelle gasskonstanten og omregning fra Kelvin til Celsius. Alle tallsvar skal angis med to (2) streker under svaret. Alt annet blir betraktet som mellomregninger. Oppgave 1 9p a) 1 mol flytende vann blir varmet opp T = 1 K og trykksatt p = bar fra utgangstilstanden T = K og p = 1 bar. Beregn den tilhørende endringen i det kjemiske potensialet. Anta konstante fysikalske egenskaper i hele prosessforløpet. 7p b) Prosessen i oppgave 1a) blir gjentatt for 1 kg H 2 O. Hva blir endringen i kjemisk potensial denne gangen?

48 Side 2 av 3 9p c) En (ikke nærmere angitt) fysikalsk problemstilling gir differensialet: V T (dp) n+ 1 T (du) n Vis at dette differensialet er et eksakt differensial for en ideell gass, det vil si at differensialet i dette tilfellet leder frem til en Maxwell-relasjon. Spørsmålet er hvilken? Hint: regn ut ( (V/T) U ) ıg og( (1/T) p,n p ) ıg. U,n ++10p d) Er differensialet eksakt også i det generelle tilfellet? Gi en matematisk forklaring. Ikke svar på denne oppgaven med mindre du har tid til overs. Oppgave 2 Clausius Clapeyrons damptrykkslikning kan skrives på formen: ( ) p sat ln = a b T p 5p a) Utled Clausius Clapeyrons likning med utgangspunkt i likevektsbetingelsen:µ vap µ lıq i. i = 5p b) Angi på en klar måte hva som er forutsetningene for utledningen i oppgave 2a). Dersom du ikke har svart på dette delspørsmålet skal du gi en forklaring på likningen slik den er gitt i oppgaveteksten. 5p c) Parameteren b i Clausius Clapeyrons likning har en klar fysikalsk betydning. Hvilken? For å stille spørsmålet litt annerledes: hvordan kan du bruke et oppslagsverk som for eksempel SI Chemical Data til å bestemme en verdi for b? 10p d) Kokepunktet til vann er målt på 3 forskjellige steder i den nære omegn av Trondheim. Målingene er utført på en og samme dag slik at lufttemperaturen er den samme (0 C) i alle tilfellene. Den eneste uavhengige variabelen i forsøket er målepunktenes plassering (det vil si høyde) over havet: z [m] p tot [mmhg] θ sat [ C] Anta at Clausius Clapeyrons likning gjelder for målingene og at totaltrykket i atmosfæren følger formelen: ( ) p tot ln = zm wg 760 mmhg RT Her er M w [kg mol -1 ] gjennomsnittlig molekylmasse for luft (78% N 2, 21% O 2 og 1% Ar), g=9.8 m s -2 er tyngdens akselerasjon, z [m] er høyden over havet og T er temperaturen i luften. Bruk alle opplysningene i denne oppgaven til å finne et best mulig estimat av kokepunktet (θ sat ) til vann på Mount Everest (8848 m. o. h.). Millimeterpapir er vedlagt.

49 Side 3 av 3 Oppgave 3 En tradisjonell 4-takts bensinmotor har flere arbeidsoperasjoner: innsuging (drivstoff), kompresjon, antenning, eksplosjon, ekspansjon og utlufting (eksos). En termodynamisk beskrivelse av en slik motor krever en ganske omfattende matematisk modell, men ved å neglisjere betydningen av drivstoff og eksos på egenskapene til arbeidsmediet (luft) kan motoren betraktes som en Otto-syklus med S, V som naturlige variable. Vi skal i resten av oppgaven anta at arbeidsmediet er en ideell gass med sammensetning 80% N 2 og 20% O 2. Varmekapasiteten til gassen er konstant. 5p a) Beskriv de ulike delprosessene til Otto-syklusen. Tegn gjerne en skisse som illustrerer arbeidsprinsippet. Forklar i hvilke(t) henseende Otto-syklusen avviker fra bensinmotoren. 5p b) Otto-syklusen er én representant for det som med en fellesnevner kalles varmekraftmaskiner. Hva ligger i begrepet varmekraft? Forklar med utgangspunkt i varme- og arbeidsintegralene til syklusen. Husk å angi hva som er positiv og negativ integrasjonsretning (for eksempel med eller mot urviseren). 7p c) Finn et analytisk uttrykk for virkningsgraden til Otto-syklusen. Svaret skal være på likningsform slik at det i prinsippet kan regnes ut ved innsetting av de temperaturer og trykk (eller volum) som beskriver syklusen. Et generelt uttrykk basert på integralene i punkt b) godkjennes ikke som endelig svar. 8p d) Beregn virkningsgraden til Otto-syklusen når kompresjonsforholdet er 12 : 1 og den laveste temperaturen i syklusen er T c = 283 K. Bruk resultatet fra punkt c) som utgangspunkt eller bruk formelenη=(t h T c )/T h hvor T h er temperaturen etter endt kompresjon. Oppgave 4 8p a) Et reagerende system (lukket system i gassfase) består av forbindelsene A, B, AB, AB 2 og A 2 B. Utled en generell massebalanse for systemet. Bruk matrise/vektornotasjon hvis du føler deg trygg på dette. Hvis ikke bruker du summasjonsform. 8p b) Vis at reaksjonene A+B AB AB+A A 2 B AB+B AB 2 er uavhengige og at de utgjør en basis for alle reaksjonene i systemet (som betyr at det ikke er flere uavhengige reaksjoner enn disse 3). Bruk matematiske argumenter. 9p c) Likevektene skal løses ved gitt T, p og deretter ved gitt T, V. Du skal ikke utføre beregningene, men gjøre klar for en numerisk løsning. Sett opp et tilstrekkelig antall likninger i hvert tilfelle og angi tydelig hvilke variable som er iterasjonsvariable. Forklar også hva som er (hoved)forskjellen på de to tilfellene i løsningssammenheng.

50 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 03. august 2009 Tidspunkt: 09:00 10:00 Hjelpemidler: Kalkulator Sensur: Senest 1 dag etter eksamen Oppgave 1 15p a) Vis sammenhengen mellom U og H. Utled de totale differensialene av funksjonene. 15p b) Skriv termodynamikkens 1. lov på likningsform. Forklar symbolene som er brukt. Hvis systemet ikke utfører arbeid eller utveksler varme, hvilken fysisk realisering kan du da tenke deg? 30p c) Utled energibalansen for et åpent, stasjonært og adiabatisk system. Hva blir effektbehovet for en isentropisk pumpe som har en reell gass som arbeidsmedium? Anta at gassen er karakterisert ved viriallikningen: pv = RT + bp. 10p d) Hvilke (termodynamiske) koordinater er de naturlige variablene for henholdsvis en Otto- og en gassturbin-prosess? Forklar forskjellene. 30p e) Utled betingelsen for kjemisk likevekt med reaksjonen N 2 + O 2 = 2 NO som eksempel. Ta som utgangspunkt at Gibbs energi for systemet skal være minimert ved gitt T og p. Hvilken innvirkning har p på likevekten? Hvilken innvirkning har T på likevekten når reaksjonen oppgis å være endoterm? Hvorfor er dannelsen av NO favorisert i en Otto-prosess relativt til en gassturbinprosess? Forklar.

51 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Bjørn Tore Løvfall ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 15. mai 2009 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: En håndskrevet side med godkjent forside, kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest tre uker etter eksamen Oppgave 1 4p a) Still opp kravene til termodynamisk faselikevekt for et 2-fase system med kun én (1) kjemisk forbindelse tilstede. 5p b) Utled Clausius Clapeyrons likning (den deriverte av likevektstrykket med hensyn på temperaturen) fra kravene til termodynamisk faselikevekt i punkt a. 4p c) Hva innebærer det at Joule Thomson-koeffisienten er negativ for en gass som blir strupet i en ventil (irreversibel trykkreduksjon)? 4p d) Hva er den typiske verdien til Joule Thomson-koeffisienten dersom gassen følger likningen pv= NRT? 6p e) En dypvanns gassbrønn blir brukt som føde til et landbasert gasskraftanlegg. Lag en energibalanse for systemet med 3 kontrollvolum for henholdsvis gassbrønn, transportledning og gasskraftverk. Anta at gasstransporten er stasjonær. Vær nøye med å notere eventuelle andre antagelser.

52 Side 2 av 2 Oppgave 2 I denne oppgaven trenger du å utlede uttrykk for indre energi og entropi. Hint: utled først et uttrykk for ideell gassbidraget og deretter for residualbidraget. Følgende opplysninger er gitt: p VdW = NRT V Nb an2 V 2 C ıg P = A+ BT+ CT 2 + DT 3 ( ) 2 ( ) -1 p p C P C V = T T V a= 27(RT c) 2 64p c b= RT c 8p c V,N T,N 3p a) Hvilke variable finner du naturlig å velge som fri variable i denne oppgaven? Begrunn svaret. 6p b) Utled ideell-gass bidraget til indre energi. 6p c) Bestem residualbidraget til indre energi. Hint: U r,v = an2 V. 6p d) Beregn indre energi for 1 mol N 2 (gas) for tilstanden T= 300 K, V= 200Nb. Kritiske data for nitrogen: T c = K og p c = MPa. Andre stoffdata gitt i SIenheter: A = 31 J mol -1 K -1, B = J mol -1 K -2, C = J mol -1 K -3, D= J mol -1 K -4 og R= J mol -1 K -1. 6p e) Utled ideell-gass bidraget til entropi. Oppgave 3 Se oppgave 3, HiT-eksamen 14. juni 1994.

53 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 04. august 2008 Tidspunkt: 09:00 10:00 Hjelpemidler: Ingen Sensur: Senest én dag etter eksamen Oppgave 1 10p a) Gammeldagse bensinmotorer (fra før ca. 1990) arbeider etter det såkalte Otto-prinsippet. Ideelt sett kan denne syklusen beskrives på følgende vis: A) adiabatisk kompresjon, B) temperaturøkning ved konstant volum, C) adiabatisk ekspansjon og D) nedkjøling ved konstant volum. Tegn varme- og arbeidsdiagrammene for syklusen. Forklar hvor i diagrammene de fire tilstandsendringene finner sted. 10p b) Forklar hvordan virkningsgraden til motoren kan beregnes på bakgrunn av diagrammene. Bruk tekst, figurer og likninger. 10p 10p c) For adiabatisk kompresjon gjelder (T 2 /T 1 ) ıg s det andre begrensninger enn ideell gass? = (v 2 /v 1 ) 1 γ s. Utled denne likningen. Fins d) Kompresjonsforholdet til motoren er 10 : 1 på volumbasis. Regn ut temperaturen etter endt kompresjon når luften holder 20 C ved oppstart. Bruk c ıg p = 3.5R. Oppgave 2 For alminnelig faselikevekt i et tofase-system gjelderµ α i =µ β i. I tillegg må temperatur og trykk være like i de to fasene.

54 Side 2 av 2 10p a) Det er i oppgaveteksten ikke sagt noe om hva i,αogβstår for. Gi en kort forklaring. Hvilke begrensninger gjelder for likevektsuttrykket? 20p b) Forklar hvordan likevektslikningene kan løses i praksis. Hint: beskriv for eksempel K-verdi metoden eller Newton Raphsons metode. Det kreves heller ikke en fullstendig algoritme, men du skal kunne forklare prinsippet i likningsløsningen. Oppgave 3 10p a) Bruk relasjonen p=( A/ V) T,n til å definere residual Helmholtz energi A r,v for en gass(blanding). La A r,v være definert som avviket mellom Helmholtz energi til fluidet, og ideell gass ved samme temperatur, volum og sammensetning. 20p b) Regn ut A r,v for et fluid som følger Redlich Kwongs tilstandslikning: p= NRT V B A V(V+ B) T

55 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 26. mai 2008 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, en (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 5p a) Regn ut forskjellen i indre energi ( U) mellom de to tilstandene T = 300 K, V = 0.01 m 3 og T = 900 K, V = 0.05 m 3 for 7 mol ideell gass. Du får oppgitt at c ıg p = /T 2 J mol -1 K -1. 5p b) Regn ut forskjellen i entropi mellom de samme to tilstandene som i punkt a). 10p c) Du får opplyst at gassen i punkt a) består av 7 mol NO 2 som dimeriserer i henhold til reaksjonen 2 NO 2 N 2 O 4. I hvilken grad vil denne opplysningen påvirke resultatet av beregningen? Det kreves ikke et eksakt tallsvar, men argumentasjonen du fører må være riktig og kunne fortelle om energiforskjellen blir større eller mindre enn i punkt a). NB! Hvis du gjennomfører en eksakt beregning vil dette bli belønnet med inntil 10 bonuspoeng. Følgende informasjon er gitt ved T = K og p = 1 bar: f h NO 2 = J mol -1, f h N 2 O 4 = 9079 J mol -1, s NO 2 = 239 J mol -1 K -1, s N 2 O 4 = 304 J mol -1 K -1, c p,n 2 O 4 = 2c p,no 2.

56 Side 2 av 4 Oppgave 2 Van der Waals likning kan skrives: p VdW = NRT V Nb N2 a V 2. Residual entalpi for et fluid som følger denne likningen er gitt ved: H r,v = NRT Nb (V Nb) 2aN2 V. 10p a) Vis hvordan H r,v kan utledes fra residual Helmholtz energi A r,v = V( NRT p(ν) ) dν. ν Sett inn for Van der Waals likning og sjekk at uttrykket stemmer med det som er gitt i oppgaveteksten. 10p b) For metan gjelder følgende fysikalske data: T c = K, p c = bar og c p = 36 J mol -1 K -1. Sett inn for R= J mol -1 K -1, a=27(rt c ) 2 /(64p c ) og b=rt c /(8p c ) i Van der Waals likning, og bestem temperaturfallet ved adiabatisk trykkreduksjon (i en ventil) av metan(gassen) fra innløpstilstanden T = 250 K og V = 2Nb til utløpstrykket p=1 bar. Hvilken tilnærmelse kan du med rimelighet gjøre slik at beregningen blir enklest mulig, men fortsatt realistisk? 5p c) Fra statistisk mekanisk teori kan viriallikningen til en gass skrives som en Taylorrekke av z ˆ= pv/rt i molar tetthetρ ˆ= N/V det vil si pv NRT = 1+ Bρ+Cρ2 +, der B er 2. virialkoeffisient, C er 3. virialkoeffisient, o.s.v. Vis at en rekkeutvikling av Van der Waals likning i tilstandenρ 0 gir opphav til B VdW = b a/rt. Diskuter temperaturforløpet til B VdW sammenliknet med det mer generelle uttrykket B = c 1 + c 2 T -1 + c 3 T -3 + c 4 T -8 + c 5 T -9 som er brukt i den annerkjente DIPPR-databasen. Koeffisientene til metan har verdiene c 1 = m 3 kmol -1, c 2 = m 3 kmol -1 K, c 3 = m 3 kmol -1 K 3, c 4 = m 3 kmol -1 K 8 and c 5 = m 3 kmol -1 K 9. Oppgave 3 Et varmekraftverk består av én kompressor, én turbin og to varmevekslere slik figuren nedenfor viser. Det antas at begge maskinene arbeider isentropisk og at varmeoverføringen fra omgivelsene er reversibel. Det er ingen høydeforskjell i anlegget og den kinetiske energien til gassen kan neglisjeres.

57 Q c Side 3 av 4 C D S= 0 W ut W ınn S= 0 B A Q h 5p a) Vis forløpet av den termodynamiske syklusen i et dertil egnet (x, y)-koordinatsystem. Velg de aksevariablene som er mest hensiktsmessige, men husk å angi tilstandene A, B, C og D i figuren. Bruk tilstandslikning for ideell gass og en fritt valgt referanse for entropi dersom du finner dette nødvendig. 5p b) Vis forløpet av syklusen i tilhørende T, s og p, v diagrammer. Forklar hvordan du kan definere tilført varme og avgitt arbeid ved hjelp av disse diagrammene. 5p c) Fins det noen termodynamisk sammenheng mellom T, s- og p, v-diagrammene i punkt c? Forklar. 15p d) Den termodynamiske virkningsgraden til syklusen er definert somηˆ= W/Q h = (Q h Q c )/Q h. Regn utηgitt at T h = 900 K, T c = 300 K, p 2 = 10 bar og p 1 = 3 bar. Tilstandene T h, p 2 og T c, p 1 er henholdsvis høyeste og laveste temperatur og trykk i syklusen. Anta at arbeidsmediet er en ideell gass med varmekapasitet c p = 3.5R der R= J mol -1 K -1. Hvis du ikke har gjort oppgavene 3a 3c) skal du regne ut temperatur og trykk i tilstandene A, B, C og D, se figur i oppgaveteksten. Oppgave 4 Svar på 3 av følgende 6 spørsmål. Forsøk å gi korte, men allikevel presise forklaringer. Korrekt besvarelse av flere enn 3 spørsmål gir bonuspoeng, men feil besvarelse gir en tilsvarende trekk i poengsummen. Svar derfor på maksimalt 3 spørsmål dersom du føler deg usikker. Merk at punkt e) har størst arbeidsbyrde og er derfor tillagt ekstra vekt (bonuspoeng). 8.33p a) Hvilke fysikalske forutsetninger ligger til grunn for Bernoullis likning? 8.33p b) Forklar sammenhengen mellom Bernoullis likning og termodynamikkens 1. lov. 8.33p c) Hva er sammenhengen mellom fugasitetskoeffisientenϕ i og G r,p og i hvilken tilstand vil, generelt sett,ϕ i = 1.0? 8.33p d) Hvor mange energifunksjoner kan avledes fra U(S, V, N) ved Legendre-transformasjon? Forklar hvilket variabelsett som er naturlig (kanonisk) for hver enkelt av funksjonene.

58 Side 4 av p e) Utled likevektslikningen y i ϕ i p= x i γ i ϕ sat i p sat i exp ( v sat i (p p sat RT Gjør rede for eventuelle antagelser som ligger til grunn for denne likningen. Bruk utgangspunktetµ α i =µ β i, i [1, n]. 8.33p f) Utled likevektskriteriet for et lukket system med følgende kjemiske reaksjoner: N 2 + O 2 = 2 NO 2 NO+O 2 = 2 NO 2 2 H 2 + O 2 = 2 H 2 O Anta at systemet har en bestemt temperatur og et bestemt trykk (forhåndsbestemte verdier med andre ord). i ) ).

59 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2,3) Terje Østvold (4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 24. mai 2007 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 30p a) For Gibbs energi er det vanlig å bruke funksjonsbeskrivelsen G = G(T, p, n). Bestem det totale differensialet til G når du får oppgitt at du= T ds p dv+ i=1µ i dn i. Du må selv utlede funksjonssammenhengen mellom G og U. 40p b) For systemer som har kun en (1) kjemisk komponent kan beskrivelsen forenkles til G= G(T, p, N). Funksjonen har da til sammen 9 andrederiverte som vist nedenfor: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 G 2 G 2 G C P 2 T T T p G ( ) ( ) ( T N) u v T = 2 G 2 G 2 G p T p p p N = w ( ) V x (T, p, N) (T, p, N) ( ) ( ) ( ) p 2 G 2 G 2 G ) y z N T N p Sett på plass manglende derivasjonsindekser for diagonalelementene i den høyre matrisen og bestem størrelsene u, v, w, x, y, z som partiellderiverte funksjoner av T, p,µ, S, V og N. Hvor mange av disse størrelsene vil du si er uavhengige? N N ( µ N

60 Side 2 av 2 30p c) En av de andrederiverte i punkt b) viser seg å være null (0) uavhengig av hvilken tilstandsmodell som brukes til å beskrive systemet. Hvilken av de deriverte er dette? Gi en fyldestgjørende forklaring. Oppgave 2 30p a) En gassblanding består av komponentene NO, NO 2, N 2 O, N 2 O 4 og N 2 O 3. Gi en kort forklaring på hva det innebærer at reaksjonene NO 2 + NO=N 2 O 3 NO 2 + N 2 O=3 NO er uavhengige. Finn deretter ut om det forekommer flere uavhengige reaksjoner i systemet. Bruk fullverdige matematiske argumenter basert på massebevaringsprinsippet (prøving og feiling godtas ikke). 30p b) Under bestemte forhold opptrer komponentene NO, N 2 O og N 2 O 3 som inerte forbindelser. Skriv ned de termodynamiske likevektskriteriene som nå gjelder for blandingen i punkt a). Du må gjerne utlede likevektskriteriene fra prinsippet om energiminimalisering (bonuspoeng). Anta i så fall at temperatur og trykk holdes konstant i blandingen. 40p c) Finn likevektsammensetningen i blandingen b) gitt at temperaturen er 400 K, trykket er 3 bar, og startmengden av alle komponentene er 1 mol. Termodynamiske data er gitt i vedlegg. Oppgave 3 40p a) En konstant produksjonsrate av NO tilsvarende 30, 000 kmol= mol per døgn skal komprimeres fra 1 bar til 10 bar. Innløpstemperaturen er 300 K. Beregn kompressoreffekten [MW] ved antatt isentropisk kompresjonen av ideell gass: w ıg s Termodynamiske data er gitt i vedlegg. = γ ( )γ 1 p γ 1 RT 1 γ p 60p b) Finn et uttrykk for den isentropiske temperaturstigningen i punkt a) som funksjon av trykkøkningen. Regn ut utløpstemperaturen fra kompressoren basert på dette uttrykket. Bruk en energibalanse over kompressoren til å verifisere at du har regnet riktig.

61 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1) Terje Østvold (2,3) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 03. juni 2006 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 16p a) Et termodynamisk system har 6 frihetsgrader gitt i form av 3 ekstensive variable X, Y og Z (for eksempel S, V og N 1 ) og 3 intensive variable a, b og c (for eksempelµ 2,µ 3 og µ 4 ). Til sammen utgjør disse variablene et kanonisk variabelsett for den ekstensive funksjonen F. Sett opp et uttrykk for den integrale funksjonsverdien av F med utgangspunkt i den informasjonen du nå har. Beskriv med ord hvilke forutsetninger som gjelder. 17p b) For Van der Waals tilstandslikning gjelder p VdW = RT/(v b) a/v 2 hvor a og b er uavhengige av temperaturen. Finn et uttrykk for H r,v når A r,v ˆ= V (NRT/ν p(ν)) dν. Hva kalles H r,v og hvilken (termodynamisk) betydning har denne størrelsen? Hvilken verdi tar lim p 0 H r,v? 17p c) Et viktig mellomtrinn ved fremstilling av salpetersyre er forbrenning av ammoniakk over en platinakatalysator. Finn et sett av uavhengige reaksjonslikninger når gassblandingen består av komponentene NO, NO 2, N 2 O, N 2, O 2, NH 3 og H 2 O. Gi et (matematisk) argument for at reaksjonslikningene er uavhengige.

62 Side 2 av 2 17p d) Skriv ned likevektskriteriene som gjelder for systemet i punkt c). Hva blir endringen i Gibbs energi for systemet hvis mengden av NH 3 fluktuerer med en liten størrelse dn NH3 omkring likevektspunktet? Det skjer ingen ekstern tilsats av masse til systemet. Hint: du trenger ikke å løse likevektslikningene for å klare denne oppgaven. 17p e) Anta at NH 3 reagerer (forbrenner selektivt) med en støkiometrisk mengde O 2 (i luft) til produktene NO og H 2 O. Finn et uttrykk for den adiabatiske forbrenningstemperaturen som funksjon av innløpsbetingelsene til reaktoren. Anta ideell gass. Finn et tallsvar når innløpstemperaturen er 25 C. Termodynamiske data er gitt i vedlegg. 16p f) For en antatt irreversibel strømningsprosess (uten varig akselerasjon av fluidet) gjelder: ( ) ( ) p p ( ) T + V T T V,n V T,n = ( ) p 2 ( ) H,n p p T C V T V Hva kalles denne størrelsen? Gi eksempler på enhetsoperasjoner som følger denne beskrivelsen. Hvordan blir funksjonsuttrykket hvis prosesstrømmen er en ideell gass? Hvilket fortegn tror du den (funksjonen) har for ren CO 2 ved 100 bar og 400 K? V,n T,n

63 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2) Terje Østvold (3,4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 17. august 2005 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 Se oppgave 2, HiT-eksamen 14. juni Oppgave 2 Se oppgave 4, HiT-eksamen 14. juni 1994.

64 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2) Terje Østvold (3,4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 11. juni 2005 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 Enkelte kuldeanlegg bruker propan som arbeidsmedium. Til et slikt anlegg trengs en kompressor, en Joule Thomson ekspansjonsventil og to varmevekslere. Målet med denne oppgaven er å betrakte kompressoren som et enkelt termodynamisk kontrollvolum. Det antas at innløpsbetingelsene (T 1, etc.) er kjent og at utløpsbetingelsene (T 2, etc.) skal beregnes. Følgende data gjelder for propan: a=27(rt c ) 2 /(64p c ), b=rt c /(8p c ), T c = K, p c = bar og R= J mol -1 K -1. I ett av spørsmålene nedenfor trengs residualet av Helmholtz energi som er definert ved A r,v ˆ= V ( p ıg p ) dν der V er det totale volumet av systemet og dν er den tilhørende integrasjonsvariabelen. 10p a) For å beregne utløpstilstanden T 2, p 2, N 2 og effektbehovet W trengs det 4 uavhengige likninger. Anta at utløpstrykket p 2 er spesifisert og skriv ned de øvrige balanselikningene som gjelder for en tapsfri (isentropisk og adiabatisk) kompressor. Begrunn svaret. Anta at kontrollvolumet er stasjonært, men la muligheten for kjemiske likevektsreaksjoner stå åpen (se bort fra det faktum at propan er valgt som arbeidsmedium).

65 Side 2 av 2 20p b) Med propan som arbeidsmedium skjer det ingen kjemiske reaksjoner i kontrollvolumet i punkt a) og det er derfor tilstrekkelig å løse likningen s 2 (T 2, p 2 )= s 1 (T 1, p 1 ) for å finne utløpstemperaturen fra kompressoren (hvor s 2 og s 1 er molare entropier). Argumenter for dette. Bruk svaret i punkt a) som utgangspunkt, eventuelt et frittstående argument basert på antall uavhengige intensive tilstander. Det kan forutsettes at T 1, p 1 og p 2 er kjente størrelser. 10p c) I neste oppgave vil du trenge en (hyppig forekommende) Maxwell-relasjon. Forklar hva en slik relasjon innenbærer i termodynamisk forstand. Gi 3 praktiske eksempler. 20p d) Finn temperaturen ved utløpet av kompressoren (med propan som arbeidsmedium) når T 1 = K, V 1 = 11Nb og V 2 = 6Nb og entropien til gassen følger likningen S (T, V) = S ıg + S r,v der S r,v = NR ln(v/(v Nb)). Du må selv utlede et egnet uttrykk for S ıg. Varmekapasiteten for det ideelle gassbidraget er konstant og valgt slik at γ ˆ= c ıg p /cıg v = p e) Vis at S r,v i punkt d) er forenlig med Van der Waals likning p VdW = RT/ (v b) a/v 2. 10p f) Regn ut trykket ved innløpet av kompressoren i punkt d). Bruk den samme tilstandslikningen som i punkt e). Oppgave 2 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 4. juni 2004.

66 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2) Terje Østvold (3,4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 02. august 2004 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 10p a) For Van der Waals tilstandslikning gjelder: c VdW p c VdW v R = 1 1 (3v r 1) 2 4T r v 3 r hvor T r ˆ= T/T c og v r ˆ= v/v c. Tegn en skisse som viser funksjonens oppførsel for T r = 1.2 og T r = 5. Bruk v r 0.333, 10 som fri variabel. Gi en fysikalsk forklaring på forskjellen mellom de to isotermene. Hint: den kaldeste isotermen har et tydelig maksimum mens den varmeste isotermen er tilnærmet flat.

67 Side 2 av 2 20p b) Forsøk om du kan utlede varmekapasitetsuttrykket i punkt a). Det holder at du finner et uttrykk som den gir samme funksjonsverdien, ikke bruk for mye tid på å vise at de er matematisk identiske. Oppgitt: c p c v = T ( ) 2 p T v,n ( ) -1 p v T,n hvor p VdW r = 8T r /(3v r 1) 3/v 2 r og p cv c /(RT c )=3/8. 20p c) Anta at du har en beskrivelse av Helmholtz energi for et fluid. Angi de termodynamiske kriteriene som gjelder for damp væskelikevekt ved gitt temperatur T, volum V og moltall N 1, N 2, Ta utgangspunkt i min V,n (A) T. Hva blir kriteriene dersom blandingen av en eller annen utenforliggende årsak skulle komme til å bestå av to faste eller to flytende faser? Svaret skal gis på kanonisk form (kompliserte uttrykk med aktivitet- eller fugasitetskoeffisienter er uønsket). 40p d) En 50:50 blanding av H 2 O og H 2 med temperatur T ınn og trykk p ınn ekspanderer adiabatisk i en ventil til p ut. Utled en likning for temperaturendringen over ventilen når h r,p /p= 100 J mol -1 bar -1. Merk deg hvilke enheter som er brukt for residual entalpi. Gjør rede for alle antagelser. Regn til slutt ut et tallsvar for prosessbetingelsene T ınn = 420 K, p ınn = 10 bar og p ut = 1 bar. Bruk C P -data fra SI Chemical Data eller estimer fornuftige verdier på annet vis. Oppgave 2 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 4. juni 2004.

68 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2) Terje Østvold (3,4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 04. juni 2004 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 Deloppgavene a d) er obligatoriske. Velg deretter én av deloppgavene e) eller f). Dersom du har nok tid løser du begge (bonus). For residual Gibbs energi gjelder: G r,p = p (V NRT/π) dπ. 0 10p a) Hvilken referansetilstand gjelder for G r,p (det vil si i hvilken tilstand er G r,p = 0)? 20p b) Vis at G r,p,2.vır = Bp hvor pv 2.vır = NRT+ Bp. 10p c) Generelt gjelder H = G+TS hvor S = ( G/ T). Hvilke variable skal holdes konstant for at denne derivasjonen skal være gyldig? Skriv den deriverte med standard notasjon. 20p d) Finn et analytisk uttrykk for H r,p,2.vır. Gjør rede for hvert steg i utledningen.

69 Side 2 av 3 17p e) Regn ut H r,p,2.vır for en blanding av 300 mol H 2 O og 700 mol H 2 ved 420 K og 10 bar. Hvis du ikke klarer dette skal du istedet regne ut B 2.vır og T ( B 2.vır / T). Bruk følgende likninger: B 2.vır N B H2,H 2 [m 3 kmol] B H2 O,H 2 O [m 3 kmol] B H2,H 2 O [m 3 kmol] = B i j x i x j ; B i j = B ji i j ( ) -1 T = [K] ( ) -1 ( ) -3 ( ) -8 T T T = [K] [K] [K] ( ) T = [K] 20p f) Blandingen fra punkt e) ekspanderes adiabatisk i en ventil til utløpstrykket p ut 1 bar. Estimer temperaturendringen over ventilen (du må først sette opp en energibalanse). Bruk C P-data fra SI Chemical Data eller estimer en fornuftig verdi på annet vis. Dersom du ikke har svart på spørsmålet i punkt e) skal du bruke h r,p,2.vır ınn = 122 J mol -1 som en representativ verdi for residualet av entalpi. Gjør nøye rede for alle andre antagelser. Er temperaturendringen større eller mindre enn forventet? Oppgave 2 Det er i denne oppgaven gitt 8 likninger & ulikheter som beskriver forskjellige termodynamiske tilstander, tilstandsendringer eller prosessbetingelser. Uttrykkene har varierende grad av gyldighet og du skal i hvert enkelt tilfelle avgjøre om likningen, eller ulikheten, har følgende egenskaper: Er termodynamisk konsistent Inneholder en fortegnsfeil Krever ideell gass Gjelder kun ved konstant T og p Har andre fysiske begrensninger Beskriv også i hvilken fysisk sammenheng likningen/ulikheten er gyldig. For eksempel ved stasjonær tilstand, adiabatisk tilstandsendring, likevekt, o.s.v. Gi kortfattede og entydige svar. Tre (3) av svarene skal gis med støtte i en mer detaljert utledning. 12.5p a) Tilstandsendring: dg = S dt + V dp 12.5p b) Tilstand: C P = C V + NR

70 Side 3 av p c) Tilstand: ( V/ p) T = p d) Tilstand: ( p/ V) T = 0 ( 2 p/ V 2 ) T = p e) Tilstand: ( S/ p) T,N1,N 2,...= ( V/ T) p,n1,n 2, p f) Tilstandsendering: S dt V dp+ i N i dµ i = p g) Prosessbetingelse: H ınn = H ut med enheter [J s -1 ] 12.5p h) Prosessbetingelse: h ınn = h ut med enheter [J mol -1 ]

71 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1,2) Terje Østvold (3,4) Bokmål EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140) 09. mai 2003 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Klasse C (spesielle) Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Oppgave 1 Se oppgave 2, HiT-eksamen 5. juni Oppgave 2 Se oppgave 4, HiT-eksamen 5. juni 2001.

72 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 05. juni 2001 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 6p a) Vis at totalt differensial av S kan skrives ds= C V T dt+ ( ) p dv+ T V,n n ( ) S i=1 N i T,V,N j i dn i Angi alle definisjoner, identiteter og forutsetninger som trengs i utledningen. 6p b) Differensialet i punkt a) skal integreres for å finne S for en lukket syklus i T, V- planet. Syklusen har form av et rektangel med følgende hjørnekoordinater: (400 K, 1 m 3 ), (600 K, 1 m 3 ), (600 K, 5 m 3 ) og (400 K, 5 m 3 ). Det er totalt 4 mol med kjemiske forbindelser i blandingen. Integrer over koordinatene i den rekkefølgen de er angitt. La start- og sluttilstanden for integrasjonen være gitt ved punktet (400 K, 1 m 3 ). Anta ideell gassoppførsel med konstant varmekapasitet c ıg v = 30 J mol -1 K -1.

73 Side 2 av 3 6p c) Bruk svaret i punkt b) til å argumentere for eller mot at S er en mulig tilstandsfunksjon. Dersom du ikke har besvart oppgaven ovenfor kan du benytte S= 0 J K -1 som underlag for vurderingen. 7p d) Regn ut S [J K -1 ] for hver av hjørnekoordinatene (T, V) i punkt b). Bruk tabellverdien 192 J mol -1 K -1, målt ved T= K og p=1 bar, som referanse. Oppgave 2 6p a) Van der Waals likning kan skrives p VdW = NRT V Nb N2 a V 2 Tegn noen utvalgte isotermer i et p, V diagram og angi de områdene der du finner: Én-fase gass eller væske. To-fase damp og væske i likevekt. Tilnærmet ideell gassoppførsel. Kritisk punkt. Bruk tydelige aksepåskrifter og vær nøye med å angi eventuelle assymptoter. Angi spesielt hva som kjennetegner den termodynamiske tilstanden i det kritiske punktet. 6p b) Du får oppgitt at 8v c p c = 3RT c, 3b=v c og a=3p c v 2 c. Eksperimentelle verdier for nitrogen er p c = bar og T c = K. Bruk disse verdiene til å beregne p VdW i en 40 l nitrogenbeholder som inneholder 500 mol gass ved 300 K. Sammenlikn med p ıg beregnet for den samme tilstanden. Kommenter avviket. 6p c) For Helmholtz energi gjelder (da) T,n = p dv. Vis at dette differensialet kan integreres til ( ) A r,v A VdW (T, V, n) A ıg V (T, V, n)=nrt ln N2 a V Nb V hvor A r,v uttrykker forskjellen i Helmholtz energi mellom Van der Waals fluidet og ideell gass ved temperaturen T og volumet V. Hint: gå veien om V=. Hva kan du si om A VdW og A ıg i denne tilstanden? 7p d) Regn ut A r,v (300 K, 1 bar) for 1 mol nitrogen. Bruk a og b fra punkt b). Kommenter svaret. Hint: du må løse den implisitte likningen p f (T, V)=0 numerisk i denne oppgaven. 10p e) Finn et uttrykk for kjemisk potensial av Van der Waals fluidet som inkluderer både et residual- og et ideell gassbidrag. Bruk dette resultatet til å stadfeste et nødvendig antall kriterier for damp væeskelikevekt i systemet.

74 Side 3 av 3 Oppgave 3 En (antatt) ideell gass skal komprimeres fra 1 bar til 250 bar. For å spare elektrisk effekt er det valgt å utføre kompresjonen i flere trinn (et kompressortog), med mulighet for kjøling mellom trinnene. Effektbehovet ved reversibel og adiabatisk kompresjon er oppgitt til: W ıg i,i+1 = γ ( ) γ 1 NRT γ 1 i 1 pi+1 γ p i ; i {0, 1, 2,...} Varmekapasiteten til gassen er c p = 35 J mol-1 K -1 og innløpstemperaturen er 280 K. Strømningsraten er kmol h -1 (tretten tusen kilomol per time). 6p a) Regn først ut effektbehovet ved ett-trinns kompresjon, det vil si når kompresjonen skjer uten mellomkjøling. Angi svaret i MW. 7p b) Regn deretter ut det teoretisk minste effektbehovet ved to-trinns kompresjon forutsatt at gassen mellomkjøles til 280 K. Angi svaret i MW. Hint: bestem det optimale mellomtrykket p 1 ved å minimalisere W tot = W 0,1 + W 1,2. 6p c) Sett opp en kombinert energi- og massebalanse for kompressortoget (inkludert mellomkjøling) under forutsetning av at strømningen er stasjonær. Skriv balansen på intensiv form h ut =... 6p d) Bruk energibalansen i punkt c) til å bestemme utløpstemperaturen fra to-trinnskompressoren i punkt b). Hvis du ikke har svart på noen av de tidligere deloppgavene kan du anta at kompressorarbeidet (for hver av kompressorene) utgjør 10 kj mol -1. Oppgave 4 Sølvacetylid (Ag 2 C 2 ) er et hvitt, krystallinsk pulver som lages ved å boble acetylengass (C 2 H 2 ) gjennom en vandig løsning av et sølvsalt. Gitt de rette betingelsene eksploderer (detonerer) sølvacetylid kraftig i henhold til reaksjonslikningen: Ag 2 C 2 (sol)=2 Ag(sol)+2 C(sol) 20p a) Sett opp en energibalanse for eksplosjonen. Anta at volumet holdes konstant. Gjør eventuelt andre antagelser du finner nødvendig. 20p b) Beregn adiabatisk eksplosjonstemperatur (ved konstant volum). Gjør rede for de antagelsene du finner nødvendig. Gitt: f h Ag 2 C 2 (sol) = 364 kj mol-1 ; c p,ag(sol) = 3R; pluss data i vedlegget. 10p c) Den beregnede eksplosjonstemperaturen til sølvacetylid er mye høyere enn den tilsvarende flammetemperaturen til acetylen (forutsatt forbrenning i luft ved konstant trykk), dette til tross for at de to forbindelsene har isomorfe kjemiske strukturer. Du behøver ikke å etterprøve dette resultatet, men du skal allikevel kunne gi en teoretisk forklaring på hvorfor vi ser denne forskjellen. Tror du at forskjellen er synlig også i praksis? Hint: Det er 3 fysialske forhold som du må ta hensyn til i dette spørsmålet. Følgende informasjon er gitt: f h C 2 H 2 (gas) = 227 kj mol-1, i tillegg til data gitt i vedlegget.

75 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 12. januar 2001 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 6p a) Utled totalt differensial av G(T, p, n). Ta utgangspunkt i et generelt, matematisk uttrykk og innfør de definisjoner/symboler som normalt brukes i termodynamikken. Vær nøye med symbolbruken. 6p b) I hvilken grad endres dg dersom temperaturen og volumet holdes konstant? Forklar med dette overgangen fra totalt differensial dg til det partielle differensialet (dg) T,V. 8p c) Se oppgave 1c, HiT-eksamen 7. juni 1999.

76 Side 2 av 3 Oppgave 2 En dampmaskin helt uten bevegelige mekaniske deler ble i sin tid patentert som fremdriftsmaskineri for båter og selges fortsatt under tilnavnet toc-toc boats i mange leketøysbutikker. I korte trekk kan oppfinnelsen beskrives som en svingende vannsøyle drevet av trykkvariasjonene i en dampkjel. Enheten består av en liten dampkjel koblet til 2 parallelle rør som er fylt med vann, og som munner ut like under vannlinjen bakerst i båten. Varmetilførselen fra brennkammeret gjør at vannet i kjelen fordamper. Dette skaper et overtrykk som støter ut mye av det vannet som fins i rørene. Rørene er nå fylt med damp som kondenserer idet dampen treffer det omgivende vannet. Dette skaper et undertrykk i systemet som suger friskt vann tilbake til dampkjelen, og som gir starten på en ny syklus. Luft/avgasser ( dm dt ) ±υ Varmetap Som drivstoff for dampkjelen holder det med et vanlig stearinlys. En full beskrivelse av det termodynamiske systemet er utenfor vår rekkevidde, men noen målte og/eller estimerte data for fremdriftsenheten er gitt nedenfor: Dampkjelens volum Syklusens frekvens Indre rørdiameter Rørlengde Brennstofforbruk lite i forhold til rørvolumet 4 Hz 3 mm 100 mm 5 g h -1 stearin Termodynamiske data for stearin med antatt bruttoformel CH 3 (CH 2 ) 16 COOH er gitt nedenfor. Andre termodynamiske data er gitt i vedlegget. f h ıg = 808 kj mol -1 s ıg = 1061 J mol -1 K -1 f h sol = 850 kj mol -1 s sol = 170 J mol -1 K -1 v sol = dm 3 mol -1

77 Side 3 av 3 8p a) Sett opp en energibalanse for det stiplete kontrollvolumet integrert over en hel periode av syklusen. Balansen skal inkludere symboler for kinetisk, termisk og kjemisk energi. Det antas at periodene for inn- og utstrømning er like, og at det ikke er noen dødtid forbundet ved overgangen fra inn- til utstrømning, og tilsvarende fra ut- til innstrømning. Strømningen i rørene er konstant (men motsatt rettet) i hver halvperiode. Båten kan antas å ha neglisjerbar hastighet. 7p b) Stearinet forbrenner fullstendig med en støkiometrisk mengde luft til karbondioksid og vanndamp. Sett opp en balansert reaksjonslikning for forbrenningsreaksjonen når luftens sammensetning er 80 mol% N 2 og 20 mol% O 2. Hint: inkluder N 2 på begge sider av reaksjonslikningen da blir sjansen før å gjøre en regnefeil i neste oppgave mindre. 10p c) Beregn eksergivirkningsgraden til enheten når denne er definert som: η= τ (dm dt τ 0 E K (t) dt ) ( h T s) Her erτperioden for syklusen og E K er (raten av) den kinetiske energien til vannstrømmen som til enhver tid krysser systemgrensen. Du kan anta at alt vannet i rørene blir skiftet ut i løpet av én syklus. h og s er endringer i henholdsvis spesifikk entalpi og spesifikk entropi for reaksjonen i punkt b). Omgivelsestemperaturen er 25 C. Termodynamiske data fins i oppgaveteksten og i vedlegget. Oppgave 3 10p a) Sett opp en energibalanse for stearinbrenneren beskrevet i oppgave 2. Anta adiabatiske forhold, det vil si at du skal utelate dampkjelen fra balansen. Nevn deretter de forenklingene du må gjøre for at balanselikningen skal ta formen: ( ) du = H dt 10p b) Bruk energibalansen ovenfor til å finne et estimat på temperaturen til forbrenningsgassen før den kommer i kontakt med dampkjelen. Anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet i retning av reaksjonsproduktene. Termodynamiske data er delvis gitt i oppgaveteksten og i vedlegget. 10p c) Er antagelsen om fullstendig forbrenning riktig? For å svare tilfredsstillende på dette spørsmålet må du beregne likevektskonsentrasjonen av stearin i forbrenningsgassen. Anta ideell gassblanding. Bruk verdien R= J mol -1 K -1 for gasskonstanten. Oppgave 4 Se oppgave 4, HiT-eksamen 7. juni 1999.

78 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 6. juni 2000 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 Denne oppgaven omhandler P, V, T-egenskaper hos alminnelige gasser og fluider. En alminnelig kjent tilstandsbeskrivelse er Van der Waals likning som kan skrives p= RT a, hvor a og b er stoffavhengige parametre. v b v 2 5p a) Tegn funksjonen p= p(v, T) for tre isotermer som oppfyller betingelsene: T 1 < T c, T 2 = T c og T 3 > T c. Angi alle asymptoter med fysikalsk tolkning. Vis også plasseringen av det kritiske punktet og angi hvilke betingelser som råder der. Bruk presise matematiske formuleringer i den grad det er mulig. 5p b) Beregn endringen i indre energi U= T 2 ( (p/t)/ T) V,n dv for 3 mol nitrogengass som komprimeres fra V 1 = til V 2 = m 3 ved T = 250 K. Bruk følgende stoffegenskaper: a=0.14 Pa m 6 mol -2 og b= m 3 mol -1.

79 Side 2 av 4 Oppgave 2 Ved distribusjon av naturgass er det viktig at duggpunktet (av vann) i den ferdig behandlete gassen ligger betryggende under den laveste temperaturen som kan oppstå i distribusjonsnettet. En måte å oppnå dette på er å kjøle gassen til en lav temperatur og skille ut det kondenserte vannet før gassen slippes inn på rørledningen. I en mulig tørkeprosess utviklet av nederlandske Shell blir gassen først ekspandert (det vil si aksellerert) i en dyse, og eventuelle vanndråper fjernet, før gassen går til trykkgjenvinning i en diffusor. Rørdiameteren ved innløpet er den samme som ved utløpet: gass inn gass ut vann 6p a) Energibalansen for enheten, slik denne er blitt beskrevet i en salgsbrosjyre som omtaler patentet, er antatt å være: E K = H Forklar den fysikalsk matematiske opprinnelsen til de tre symbolene E K, og H, slik de forekommer i denne likningen. 6p b) Forklar hvilke forutsetninger som må være innfridd for at energibalansen skal ta den (enkle) formen i punkt a). Forutsetningene skal angis i form av likninger med støttetekst. 6p c) Finn et uttrykk for den laveste temperaturen T mın som teoretisk sett kan oppstå i enheten, angitt ved trykkforholdet p/p ınn hvor p er trykket i et vilkårlig punkt langs strømningsretningen. Anta null varmetap og ideell gassoppførsel. 6p d) Anta at T ınn = 80 C og p ınn = 120 bar. Hva blir T mın dersom gassen består av tilnærmet ren metan og arealet i det trangeste tverrsnittet er valgt slik at trykket her er 60 bar? Termodynamiske data er gitt i vedlegget. Gjør rede for eventuelle forenklinger du måtte foreta underveis. Gjør bruk av likningen ln(t/t )= γ 1 ln(p/p γ ) dersom du ikke har klart punkt c). 6p e) Skisser temperatur-, trykk- og hastighetsprofilene til gassen mellom inn- og utløpet. Fins det en nedre eller øvre grense for den hastigheten som gassen kan innta i et punkt langs strømningsretningen? Forklar. 6p f) Beregn lydhastigheten til metan ved innløpsbetingelsene i punkt d). Hint: ta utgangspunkt i likningenυ 2= ( v2 p ) M w v s,n. Oppgave 3 En enkel iskrem-maskin er laget av en isolert boks med en innvendig beholder for fløte og godsaker samt et røreverk, omgitt av en kuldeblanding bestående av natriumklorid og is for å fryse fløten:

80 Side 3 av 4 Fløte NaCl(sol)+H 2 O(sol) 6p a) Sett opp et generelt uttrykk for entropiproduksjonen per tidsenhet i systemet, det vil si for kuldeblandingen og iskremen sett under ett. Anta at fløten og kuldeblandingen hver for seg har uniforme temperaturer, og at massen av den indre beholderen er neglisjerbar. Hint: ds=δq rev /T. 6p b) Regn ut entropiproduksjonen når 1 kg fløte fryser til is under stasjonære forhold. Anta at fløten er forhåndskjølt til frysepunktet. Fløten består av 65 vektprosent vann og har det samme frysepunktet som rent vann. Fettet i fløten forblir flytende i prosessen. Kuldeblandingen holder konstant 18 C og smeltevarmen til vannet er 6000 J mol -1. 6p c) Eksergibalansen til et stasjonært kontrollvolum som har kun ett inn- og ett utløp, og som er omgitt av en varmevekslerflate med en konstant temperatur T på innsiden og T på utsiden, kan skrives på formen: T S ırr = ( H T S µ N) ınn ( H T S µ N) ut ( + 1 T ) Q T W s Hvilke tre balanselikninger ligger til grunn for denne likningen? Gi en kort forklaring på hvordan eksergilikningen fremkommer. 6p d) Gi en kort forklaring på symbolene i punkt c). Vær spesielt nøye med å angi korrekte enheter. 6p e) Saltbaserte kuldeblandinger er forbeholdt småskaladrift og husholdninger. I industriell målestokk blir dette for dyrt og man tyr istedet til mekaniske kjølemaskiner. Regn ut det teoretisk minste arbeidet som trengs for å fryse fløten i punkt b) gitt at maskinen opererer reversibelt mot omgivelsestemperaturen til ismaskinen som er 290 K. Oppgave 4 Et lukket termodynamisk likevektssystem består av komponentene: O 2, N 2, NO, NO 2, N 2 O 3 og N 2 O 4. Du skal i denne oppgaven uttale deg om reaksjonslikninger, likevektsrelasjoner og støkiometriske omsetninger i systemet.

81 Side 4 av 4 6p a) Finn et sett av uavhengige reaksjonslikninger for systemet. Bruk matrisealgebra i utledningen. 5p b) Ved t=0 er det kun NO 2 og N 2 som er tilstede i gassblandingen. Mengden av de to forbindelsene er henholdsvis N NO 2 = 3 mol og N N 2 = 1 mol. Sett opp et uttrykk som beskriver alle mulige sammensetninger av systemet for t > 0. Bruk uavhengige reaksjonsomfang (eng. extent of reaction) som fri variable i uttrykket. Dette er kun et spørsmaål om støkiometri ikke likevektssammensetning. 3p c) Reaksjonskinetikken er en begrensende faktor i punkt b) slik at N 2 O 4 er det eneste reaksjonsproduktet som kan dannes. Hvilke uavhengige reaksjonslikninger har du nå? 5p d) Termodynamisk reaksjonslikevekt ved gitt T og p er beskrevet ved 2µ NO2 =µ N2 O 4. Vis gyldigheten av denne likningen med utgangspunkt i minimum Gibbs energi for likevektssystemet. 6p e) Beregn likevektsfordelingen av NO 2 og N 2 O 4 ved T= 400 K og p=2 bar. Benytt de samme initialbetingelsene som i punkt b). Termodynamiske data er gitt i vedlegget.

82 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 14. januar 2000 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 Se oppgave 1, HiT-eksamen 17. august Oppgave 2 Se oppgave 2, HiT-eksamen 17. august Oppgave 3 Se oppgave 2, HiT-eksamen 14. januar Oppgave 4 Se oppgave 4, HiT-eksamen 17. august 1994.

83 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 07. juni 1999 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 6p a) Sett opp det totale differensialet av A(T, V, n). Ta utgangspunkt i et generelt uttrykk og innfør deretter de definisjoner/symboler som normalt brukes i termodynamikken. Vær nøye med symbolbruken. 7p b) Hva blir differensialet i punkt a) dersom temperatur og trykk er konstante størrelser? 7p c) For en ideell gass med konstant varmekapasitetsforholdγ ˆ= c p /c v gjelder: ( T2 Vis gyldigheten av denne relasjonen. T 1 ) S,n = ( ) (γ 1)/γ p2 p 1 Oppgave 2

84 Side 2 av 3 10p a) Brayton-prosessen beskriver en lukket, rektangulær termodynamisk syklus i S, p- planet. Vi skal her benytte ideell gass med konstant varmekapasitet som arbeidsmedium. Vis at den termodynamiske virkningsgraden til syklusen kan skrives som η ˆ= W s Q h = 1 T 4 T 1 T 3 T 2 hvor temperaturene T 1, T 2, T 3 og T 4 har klare fysikalske tolkninger. Illustrer syklusen i henholdsvis et T, S -diagram og et p, V-diagram. Benytt indeksene 1, 2, 3 og 4 for å angi de fire hjørnene i syklusen. 10p b) For en ideell gass med konstant varmekapasitetsforhold gjelder (jevnfør oppgave 1c): ( T2 ) T 1 S,n = ( ) (γ 1)/γ p2 p 1 S,n Bruk denne relasjonen til å regne ut virkningsgraden η gitt at den laveste temperaturen i syklusen er 250 C og at trykkforholdet p 2 : p 1 er 20 : 1. Bruk termodynamiske data for luft bestående av 79% N 2 og 21% O 2 med en antatt gjennomsnittstemperatur T= 900 K i utregningen. Hint: Beregningen forenkles betraktelig ved først å skrive virkningsgraden på formenη=η(t 1, T 2 ). Oppgave 3 6p a) Diesel, som vi skal anta har bruttoformelen C 10 H 22, forbrennes med luft i et brennkammer som holder konstant trykk. Luft : diesel forholdet er 2 ganger det som kreves for støkiometrisk forbrenning til karbondioksid og vanndamp (luft er med andre ord i overskudd). Sett opp en balansert reaksjonslikning som beskriver forbrenningen. Luftens sammensetning kan for enkelthets skyld settes til 20% O 2 og 80% N 2. 6p b) Utled deretter en generell energibalanse for brenneren. Hvilke forenklinger gjelder i denne sammenhengen? Skriv til slutt balansen på enklest mulig form. 6p c) Bruk energibalansen ovenfor til å finne et estimat av temperaturen til forbrenningsgassen. Anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet mot høyre, det vil si at dieselen blir fullstendig omsatt i forbrenningsprosessen. Temperaturen til dieselen er 25 C. Forbrenningsluften som pumpes inn i brennkammeret er forvarmet til 800 K. Trykket er regulert til 50 bar. Gassblandingen antas å være ideell. 6p d) Luft : diesel-forholdet blir ved en feiltagelse endret til 0.8 som betyr at luften er i underskudd. Dieselen blir fortsatt brukt opp, men forbrenningsproduktene er nå C(sol), CO(gas), CO 2 (gas) og H 2 O(gas). Dette systemet har én uavhengig reaksjonslikning. Hvilken? Bruk denne reaksjonen til å utlede en termodynamisk beskrivelse av den (nye) likevektstilstanden til forbrenningsgassen. Det kjemiske potensialet til C(sol) kan antas å være uavhengig av trykket og av sammensetningen til gassfasen.

85 Side 3 av 3 6p e) Løs likevektslikningen(e) i punkt d) gitt at trykket i brennkammeret er 40 bar og temperaturen er 1000 K. Oppgave 4 5p a) Van der Waals tilstandslikning skrives gjerne på formen: p VdW (T, v, x)= RT v b(x) a(x) v 2 Angi konsistente enheter (for eksempel SI-enheter) for de ulike symbolene som inngår i denne likningen. Har parametrene a og b noen fysikalsk tolkning? 5p b) Skisser funksjonsforløpet til Van der Waals-likningen i et p, V-diagram. Sørg for at det kritiske punktet er inkludert i illustrasjonen. Angi asymptotene til grafen på en presis måte. 8p c) Du får vite differensialet (du) n = C V dt+ [ T ( p/ T) V,n p ] dv. Sett inn for Van der Waals tilstandslikning og bruk deretter differensialet til å beregne endringen i indre energi for 3 mol H 2 O(gas) når tilstanden endres fra 25 C og 0 bar til 100 C og 2 bar. Gjør rede for eventuelle antagelser som inngår i beregningen. Egenskapene til H 2 O(gas) er: a= 5.47 atm dm 6 mol -2, b=0.03 dm 3 mol -1, c ıg p (300 K)ıg = J mol -1 K -1 og c ıg p (400 K)ıg = J mol -1 K -1. Generelt gjelder: R= J mol -1 K -1 og 1 atm= Pa. 7p d) Van der Waals tilstandslikning kan skrives på dimensjonsløs form ved å dra nytte av relasjonene p c v c /RT c = 3/8, v c = 3b og 3p c v 2 c= a. Hvilken form er dette? Kritiske verdier for metan er T c = K og p c = 46 bar. Anta at 100 mol metangass oppbevares i en beholder som rommer 10 dm 3. Regn ut trykket i beholderen når temperaturen er 25 C.

86 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 13. januar 1999 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 4p a) Sett opp det totale differensialet av U(T, V, n). Merk deg det angitte variabelsettet og vær nøye med symbolbruken. 4p b) Se oppgave 1c, HiT-eksamen 21. mai p c) Se oppgave 1d, HiT-eksamen 14. januar p d) Se oppgave 1f, HiT-eksamen 14. januar p e) Et enkelt, åpent kontrollvolum har ett innløp og ett utløp som tillater masseutveksling med omgivelsene, slik denne figuren antyder: Den kjemiske sammensetningen av inn-strømmen er konstant (tidsuavhengig). Sett opp en likning som beskriver temperaturutviklingen i volumet. Du kan se bort fra kinetiske og potensielle energibidrag.

87 Side 2 av 3 Oppgave 2 Se oppgave 2, HiT-eksamen 14. januar Oppgave 3 4p a) Ammoniakk omsettes selektivt med luft til produktene vann og nitrogenmonoksid i nærvær av en platina-katalysator (Ostwald-prosessen) etter følgende skjema: a NH 3 +b O 2 = c H 2 O+d NO Balanser reaksjonslikningen det vil si bestem koeffisientene a, b, c og d. 4p b) Anta at reaksjonen i punkt a) forløper i gassfase på en slik måte at både temperatur og trykk holdes konstant. Sett opp et tilstrekkelig antall likninger som beskriver den termodynamiske likevekten for reaksjonen. Ta utgangspunkt i størrelsen kjemisk potensial og argumenter kort for hvordan likningen(e) fremkommer. 5p c) Gassblandingen i punkt b) betraktes som ideell. Vis at likevektsuttrykket kan omformes til: y 4 ( ) ( ) NO y6 H 2 O p rx G = exp ˆ= K; R= J mol -1 K -1 y 4 NH 3 y 5 O 2 p RT 5p d) Trykket i prosessen endres. Vil denne endringen påvirke størrelsen K i punkt c)? Hva skjer med likevektskonsentrasjonene? Gi en kort forklaring. 6p e) I en virkelig ammoniakk-prosess foregår ammoniakkoksidasjonen ved 1200 K og 5 bar. Ammoniakk : luft-forholdet inn på brenneren er 4 : 30. Luftens sammensetning er ca. 80% N 2 og 20% O 2. Alle mengdeangivelser er på volumbasis. Beregn likevektskonsentrasjonene. Nødvendige termodynamiske data er gitt i vedlegg. 6p f) Beregn den adiabatiske flammetemperaturen til Ostwald-prosessen. Innløpsbetingelsene settes til K og 5 bar. Det kreves ikke en eksakt løsning av problemet, men en øvre og en nedre temperaturskranke skal angis (±100 K). Dersom du ikke har funnet noe svar på punkt e) skal du anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet mot høyre. Oppgave 4 6p a) Se oppgave 4b, HiT-eksamen 5. juni p b) Utnyttelse av industriell spillvarme er et aktuelt energisparetiltak i bynære samfunn. I en patentert prosess kjøles industrielt spillvann fra 100 C til 30 C ved et konstant trykk lik 1 bar. All varmeveksling skjer fra en prosessflate som holder 30 C til en kjølevannsstrøm som holder 10 C. Beregn entropiproduksjonen for prosessen uttrykt i enheten kj tonn -1 H 2 O K-1.

88 Side 3 av 3 7p c) Oppfinneren påstår at prosessen kan levere elektrisk effekt tilsvarende 30 MJ tonn -1 H 2 O uten å endre på noen av betingelsene i punkt b). Avgjør om den patenterte prosessen er mulig. 6p d) Blir svaret i punkt c) et annet dersom spillvannet erstattes med 100 C spilldamp? De øvrige betingelsene forblir uendret.

89 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 05. juni 1998 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 4p a) Nevn de fire mest brukte energifunksjonene i termodynamikken. Gi en anvisning på klassiske bruksområder for disse funksjonene. Forklar hvilke fri variable som er naturlige (kanoniske) i hvert enkelt tilfelle. 6p b) Vis sammenhengen mellom U og H på både differensiell form og integral form. 5p c) Avgjør hvorvidt følgende sammenhenger er gyldige eller ikke: ( ) ( ) S V = p T,n T p,n ( ) ( ) S p = V T T,n V,n 10p d) Regn ut h(t, p) og s(t, p) for ett mol mettet vanndamp ved K og bar. Ta utgangspunkt i følgende termodynamiske størrelser:

90 Størrelse T [K] p [bar] Fase Verdi Enhet f h lıq J mol -1 s lıq 70 J mol -1 K -1 c p lıq 75 J mol -1 K -1 c p ıg 34 J mol -1 K -1 v h lıq, vap J mol -1 v h lıq, vap J mol -1 Side 2 av 5 Hint: Svaret kan regnes ut på iallfall to forskjellige måter og du står fritt i å velge den termodynamiske ruten du finner mest hensiktsmessig. Anta at fordampning av væske skjer til en mettet dampfase med tilnærmet ideell gassoppførsel. Oppgave 2 8p a) Otto-prosessen er en lukket (rektangulær) termodynamisk syklus i S, V-planet. Vis at virkningsgraden til denne syklusen kan skrives: η Otto ˆ= W Q h = 1 T 4 T 1 T 3 T 2 Hvilke antagelser ligger til grunn for denne likningen og hvilken betydning kan man tillegge de fysikalske temperaturene T 1, T 2, T 3 og T 4? Forklar med støtte i p, v- og T, s- diagrammet til syklusen. 9p b) For en ideell gass med konstant varmekapasitetsforhold gjelder følgende relasjon: ( T2 T 1 ) S,n = ( ) 1 γ V2 Bruk denne relasjonen til å regne utη Otto i punkt a) gitt at den laveste temperaturen i syklusen er 25 C og at kompresjonsforholdet V 1 : V 2 = 8. Du kan bruke (gjennomsnittlige) termodynamiske egenskaper for luft (79% N 2 og 21% O 2 ) beregnet ved T = 500 K (se vedlegg) i utregningen. Merk: virkningsgraden er uavhengig(!) av maksimaltemperaturen i syklusen. V 1 S,n 8p c) Virkningsgraden til Otto-syklusen kan i prinsippet forbedres ved å utnytte spillvarmen på den kalde siden i syklusen til å drive en Carnot-maskin. Hva blir det optimale bidraget fra en slik maskin uttrykt ved hjelp av temperaturene T 1,...,T 4? Gi svaret på formen η tot = (W Otto + W Carnot )/Q h. Anta at det fins tilgjengelig et eksternt varmereservoar som holder den samme temperaturen som den laveste temperaturen i syklusen. Beskjed: hvis du ikke har svart på punkt a) skal du bruke temperaturene T 1 og T 4 = 2 T 1 for henholdsvis den laveste og den høyeste temperaturen i Carnot-syklusen.

91 Side 3 av 5 Oppgave 3 Forbrenning av svartkrutt skjer etter følgende omtrentlige brutto omsetningsreaksjon: 12 KNO 3 (sol)+20 C(sol)+5 S(sol) = a C(sol)+b K 2 S(lıq) + c KO(gas)+d SO 2 (gas)+e N 2 (gas)+ f CO(gas)+g CO 2 (gas) 8p a) Bestem et fullstendig sett av uavhengige reaksjonslikninger for produktene. Reaktantene skal ikke inngå i disse likningene. Kaliumnitrat og svovel forbrennes med andre ord fullstendig. 5p b) Utled et fullstendig sett av reaksjonslikevekter for produktblandingen som i prinsippet kan løses (numerisk) for å bestemme verdiene av koeffisientene a, b, c,..., g. Still likningene opp på kjemisk potensialform. Du skal ikke forsøke å løse likningene, men du må kunne forklare fremgangsmåten i likevektsberegningene. 7p c) Vi skal nå se bort fra de omfattende reaksjonslikevektene i punkt b). Istedet antar vi at reaksjonen følger nettolikningen: 12 KNO 3 (sol)+20 C(sol)+5 S(sol) = 5 K 2 S(lıq)+2 KO(gas)+6 CO(gas)+14 CO 2 (gas)+6 N 2 (gas) Bestem en øvre og en nedre skranke for eksplosjonstemperaturen, og det tilhørende eksplosjonstrykket, forutsatt at forbrenningen er adiabatisk og foregår i et lukket rom med konstant volum (isokor prosess). Volumet til produktblandingen er slik at det akkurat gir plass til reaktantene, som alle er i fast fase. Bruk ideell gasslov for produktene (unntatt K 2 S som er i væskeform). Gjør nøye rede for alle andre antagelser. Termodynamiske data er gitt nedenfor, og som vedlegg. Forbindelse Fase ρ [kg m -3 ] f h ( K,1 bar) [kj mol -1 ] S sol KNO 3 sol C sol K 2 S lıq Atommasser: M w,k = 39.10, M w,n = 14.01, M w,o = 16.00, M w,c = og M w,s =

92 Side 4 av 5 5p d) Under normale forhold brenner kruttet med en betydelig karbonrest. Med fritt karbon tilstede vil likevektsfordelingen av karbonmonoksid og karbondioksid følge likningen: y 2 CO y CO2 g(p)=k(t) Bestem funksjonsverdiene av g(1000 bar) og K(1600 K). Benytt termodynamiske data fra vedlegget. Oppgave 4 5p a) Hva innebærer begrepet tilgjengelig energi (eng. available energy), til forskjell fra eksergi (eng. exergy)? 5p b) Gjør rede for de størrelsene som inngår i uttrykket nedenfor. Merk at det kjemiske potensialet i referansetilstanden er formelt sett lik null, det vil siµ = 0. Du kan fatte deg i korthet, men husk å angi korrekte enheter. T S ırr = ( H T S )ınn ( H ( T S )ut + 1 T ) Q W s T 5p c) En oppfinner ønsker å patentere en ny type dampturbin. På oppfordring blir følgende flytskjema overlevert patentingeniøren: S ınn = J K -1 s -1 Q= 1200 W H ınn = J s -1 S ut= J K -1 s -1 H ut = J s -1 W s = W Referansetilstandene for entalpi og entropi (gitt som molare verdier i figuren) er flytende vann ved trippelpunktet ( K, bar). Det er benyttet vanlig fortegnskonvensjon for varme og arbeid, det vil si at tilført varme og utført arbeid er positive størrelser (målt som overført energi per mol strømmende fluid). Det er med andre ord snakk om et positivt varmetap i denne prosessen. Spørsmål: er oppfinnelsen mulig med utgangspunkt i en analyse basert på termodynamikkens 1. lov?

93 Side 5 av 5 5p d) Som en tilleggsopplysning får du vite at spillvarmen fra maskinen blir hentet ut fra en overflate med temperatur T= 560 K. Omgivelsestemperaturen T var under uttestingen lik 280 K. Hva vil du nå si om realiserbarheten av oppfinnelsen? Bruk termodynamikkens 2. lov. 5p e) Anta at T endres fra 280 K til 350 K. Endrer dette svaret i punkt d) på noe vis? Oppfinneren sier at varmevekslingen med omgivelsene er proporsjonal med temperaturdifferansen T T. Eventuelle forandringer i det produserte arbeidet er ikke spesifisert.

94 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1, 2, 3) Are Mjaavatten (4) Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 14. januar 1998 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 4p a) Utled sammenhengen mellom energifunksjonene U(S, V, n), A(T, V, n) og G(T, p, n). Gi svarene på integral form (du blir spurt om differensialene i punkt b). 4p b) Utled de totale differensialene av funksjonene i punkt a). 4p c) Vis at ( T/ V) S,n = ( p/ S ) V,n. Bruk U(S, V, n) som utgangspunkt. 4p 4p d) Du får oppgitt følgende differensial: d f= S dt V dp+ i N i dµ i. Bestem funksjonen f. e) Et kontrollvolum har én inn- og én utgang for masseutveksling med omgivelsene, som antydet i denne figuren:

95 Side 2 av 3 Sett opp en dynamisk energibalanse for systemet som inkluderer kinetisk energi i tillegg til indre energi. 4p f) Regn ut høyresiden av d f i punkt d) for en ideell binær blanding ved antatt konstant trykk og temperatur. De to komponentene utgjør tilsammen 1 mol. Oppgave 2 6p a) Vis at følgende uttrykk gjelder for ideell gass: ( p V ( p V ) ıg T,n ) ıg S,n = NRT V 2 = NRT V 2 CP C V 6p b) Forklar hvorfor ( ) p > V T,n ( ) p i punkt a). V S,n 6p c) Carnot-syklusen er en lukket termodynamisk syklus i T, S -planet. Skisser forløpet av syklusen i T, S -diagrammet og et tilhørende p, V-diagram. Anta ideell gass som arbeidsmedium. Det forlanges ikke at diagrammene tegnes i skala, men stigningen på kurvene skal være kvalitativt korrekt. Kommenter figurene på en slik måte at dette budskapet kommer klart frem. Nummerer også kurvegrenene slik at de to diagrammene kan sammenholdes. 6p d) Den termodynamiske virkningsgraden til en varmekraftmaskin er definert som η = W/Q h. Bestemηfor Carnot-syklusen slik den er beskrevet i punkt c). 6p e) I punkt d) er det forutsatt at ideell gass benyttes som arbeidsmedium. Blir svaret et annet dersom den ideelle gassen byttes ut med et annet arbeidsmedium, for eksempel en komprimert gass eller en væske? Gi en kort forklaring. Oppgave 3 4p a) Urea kan omsettes med oksygen og danne vann, karbondioksid og nitrogen etter følgende reaksjonsskjema: a (NH 2 ) 2 CO+b O 2 = c H 2 O+d CO 2 +e N 2 Omvendt kan det tenkes at urea dannes ved den motsatte reaksjonen. Balanser reaksjonslikningen, det vil si bestem koeffisientene a, b, c, d og e. Vis at svaret tilfredsstiller atombalansene til systemet.

96 Side 3 av 3 5p b) Vi antar at reaksjonen i punkt a) forløper i gassfase, med unntak av urea som foreligger i fast form. Sett opp et fullstendig sett av likninger som bestemmer den termodynamiske likevekten i systemet. Forklar i korte trekk hvordan likningene fremkommer. Merk: dette er et heterogent likevektssystem. 5p c) Gassblandingen i punkt b) betraktes som ideell. Dersom temperaturen og trykket til systemet er kjent kan den kjemiske likevekten skrives som: y 4 H 2 O y2 CO 2 y 2 ( ) 3 ( ) N 2 p rx G = exp ˆ= K y 2 (NH 2 ) 2 CO y3 O 2 p RT R= J mol -1 K -1 Vis hvordan likningen fremkommer. Merk at (NH 2 ) 2 CO nå inngår som en ny (hypotetisk) komponent i gassfasen. Men, denne utgjør kun en mikroskopisk andel av den urea som fins fordi mesteparten vil foreligge i fast fase. Situasjonen slik den er beskrevet før er derfor i store trekk uendret. 4p d) Anta at temperaturen, eller trykket, eller eventuelt sammensetningen av systemet endres. I hvilken grad vil disse endringene påvirke K i punkt c)? Gi en kort men presis forklaring. 6p e) Sammensetningen av tørr luft i volum% er ca. 79% N 2, 20% O 2, 1% Ar og 0.03% CO 2. Vanninnholdet i luften varierer kraftig, men kan for vårt formål settes til 1% H 2 O. Regn ut konsentrasjonen av urea (i luft) ved T= 25 C og p=1 atm= bar. Gi en vurdering av muligheten for at urea dannes ved gassfasereaksjon i atmosfæren. f h (NH 2 ) 2 CO = J mol-1 s h (NH2 ) 2 CO= J mol -1 (sublimasjon) s (NH 2 ) 2 CO = 249 J mol-1 K -1 Andre termodynamiske data er gitt i vedlegget. 6p f) Hva blir den adiabatiske flammetemperaturen ved forbrenning av fast urea i luft når reaksjonsproduktene er som beskrevet i punkt a)? Det kreves ikke en eksakt løsning av problemet, men en øvre og nedre temperaturskranke skal angis (±100 K). Dersom du ikke har funnet noe svar på punkt e) kan du anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet mot høyre.

97 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg (1, 2, 3) Are Mjaavatten (4) Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 21. mai 1997 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 4p a) Utled sammenhengen mellom energifunksjonene U(S, V, n), H(S, p, n) og G(T, p, n). Gi svarene på integral form (du blir spurt om differensialene i punkt b). 4p b) Utled de totale differensialene av funksjonene i punkt a). 4p c) Vis at ( S/ p) T,n = ( V/ T) p,n. Bruk G(T, p, n) som utgangspunkt. 4p d) Hva er en termodynamisk Maxwell-relasjon? Gi minst 3 eksempler. 4p e) Et kontrollvolum har én inn- og én utgang for masseutveksling med omgivelsene, som antydet i denne figuren:

98 Side 2 av 3 Sett opp en dynamisk energibalanse for systemet som inkluderer potensiell energi og indre energi, men ikke kinetisk energi. 4p f) Se oppgave 3b, HiT-eksamen 16. august Oppgave 2 Lenoir-syklusen beskriver virkemåten til en såkalt ram-jet flymotor. Ideelt sett kan den betraktes som en lukket termodynamisk syklus. Syklusen ser omtrent slik ut i p, v-koordinater: p 1 Konstant entropi p 0, p 2 v 0, v 1 v 2 4p 4p a) Skisser T, s-diagrammet til Lenoir-syklusen på bakgrunn av det oppgitte p, v-diagrammet. Vær spesielt nøye med å få en kvalitativt korrekt helning av kurvene. b) Fins det noen eksakt sammenheng mellom arealene i p, v-diagrammet og T, s-diagrammet for en lukket termodynamisk syklus? Forklar. 4p c) Den termodynamiske virkningsgraden til en varmekraftmaskin er definert som η ˆ= W s /Q h. Gi en grafisk tolkning avηved hjelp av diagrammene i punkt b). 8p d) Finn et analytisk uttrykk for virkningsgraden til Lenoir-syklusen. Anta at arbeidsmediet er en ideell gass med temperaturuavhengig varmekapasitet. 4p e) Regn ut virkningsgraden til Lenoir-syklusen gitt at v 2 /v 1 = 3 og c v = 30 J mol -1 K -1. Hvis du ikke har ferdigstilt punkt d) kan du gjøre bruk avη=1 γ(r 1)/(r γ 1), hvor r ˆ= v 2 /v 1.

99 Side 3 av 3 Oppgave 3 Lystgass (N 2 O) er et kraftig oksidasjonsmiddel som benyttes istedenfor luft for blant annet å oppnå økt motoreffekt under konkurransekjøring. I denne oppgaven skal du svare på endel spørsmål vedrørende forbrenning av nitrometan (CH 3 NO 2 ) i lystgass. Termodynamiske data for CH 3 NO 2 (lıq) ved T = K og p = 1 bar er gitt nedenfor: f h = 115 kj mol -1 s = 173 J mol -1 K -1 c p = 100 J mol-1 K -1 Andre relevante termodynamiske data er gitt i bilag. 4p a) Balanser forbrenningsreaksjonen: a CH 3 NO 2 +b N 2 O=c CO 2 +d H 2 O+e N 2 8p b) Hva blir den adiabatiske flammetemperaturen ved støkiometrisk forbrenning av nitrometan i lystgass når reaksjonsproduktene er som beskrevet i punkt a)? Det kreves ikke en eksakt løsning av problemet, men øvre og nedre temperaturskranker skal angis (±100 K). 4p c) En mer realistisk beregning av flammetemperaturen krever at det tas hensyn til minoritetskomponenter og fri radikaler som for eksempel CO, H og OH. Forklar hvordan tilstedeværelsen av disse forbindelsene påvirker beregningsresultatet. 6p d) Sett opp et nødvendig og tilstrekkelig antall likninger som beskriver den termodynamiske likevekten i forbrenningsgassene. Anta at reaksjonsproduktene er CO 2, H 2 O, N 2, CO, H og OH. Likningene skal ikke løses.

100 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 17. august 1994 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 10p a) I tabellen nedenfor er det gitt 7 utsagn som alle har 4 alternative svar: 1. Alltid oppfylt 2. Kun for ideell gass 3. Krever konstant T og p 4. Ikke sant eller fysikalsk umulig Angi rett svar i tabellen (kun ett svar for hvert utsagn). Feil svar gir minuspoeng, rett svar gir plusspoeng og intet svar gir null poeng.

101 Side 2 av 3 Utsagn C V < 0 C P C V = R Betingelse C P > C ( ) V V < 0 p T,n dh= C P dt+ h i i dn ( ) ( ) i S V = p T,n T p,n i N i dµ i = 0 Oppgave 2 Utgangspunktet for denne oppgaven er to identiske lagertanker som avspennes på to ulike måter slik figuren nedenfor antyder. Det forutsettes fullstendig varmeveksling mellom det avspente fluidet og fluidet som fortsatt er i tanken. Varmetapet fra fluid til tank/omgivelser skal neglisjeres. Q S= 0 H= 0 a) b) Q W 5p a) Hvilket avspenningsalternativ gir lavest sluttemperatur? Begrunn svaret. Hint: Ta i bruk størrelsene ( T/ p) s,n = (T/c p ) ( s/ p) T,n og ( T/ p) h,n = [T ( s/ p) T,n + v]/c p om nødvendig. 5p b) Sett opp energibalansen(e) for lagertankene i figur a) og b). Vis at du kan bruke den prinsipielt samme energibalansen i de to tilfellene. Kinetisk og potensiell energi skal utelates.

102 Side 3 av 3 10p c) Finn et uttrykk for sluttemperaturen i tank b) når det forutsettes at fluidet er en ideell gass med konstant varmekapasitetsforholdγ ˆ= c p /c v. Svaret skal gis på formen T 2 /T 1 = f (γ, p 2, p 1 ). Hint: Bestem først temperaturfallet over ventilen når fluidet er en ideell gass. 10p d) Regn ut temperaturfallet over ventilen i tank b) forutsatt at fluidet er en naturgass som oppfyller viriallikningen gitt nedenfor: pv = 1+ B(T)p NRT B ( T ) = B T ( T ) 3 For likningen ovenfor gjelder: c p = 5R, B = 1 bar -1 og T = 1 K. Gassen forutsettes å ha et innløpstrykk på 100 bar og en innløpstemperatur på 350 K. Utløpstrykket kan settes til 20 bar. Følgende tilleggsinformasjon er gitt: ( ) T = 1 T p H,n C P ( ) V T p,n T V Oppgave 3 Se oppgave 2, HiT-eksamen 21. mai Oppgave 4 6p a) Utled en generell betingelse for kjemisk likevekt med reaksjonen N 2 + O 2 2 NO som eksempel. Ta som utgangspunkt at Gibbs energi for systemet skal være minimert ved gitt T og p. 6p b) Vis at svaret i punkt a) kan skrives på formen f (y NO, y N2, y O2 )= rx G /RT. Anta ideell gass. 6p c) Hvilken innvirkning har p på likevekten i punkt a)? 6p d) Hvilken innvirkning har T på likevekten i punkt a) når reaksjonen oppgis å være endoterm? 6p e) Regn ut likevektskonsentrasjonen av NO i luft ved 1500 K. Anta at luft er en ideell gass med sammensetning y N 2 = 0.79 og y O 2 = Bruk vedlagte data fra JANAFtabellene.

103 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 01. august 1994 Tidspunkt: 09:00 10:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 1 dag etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 15p a) Vis sammenhengen mellom energifunksjonene U og H. Hva blir de totale differensialene av disse to funksjonene? Er differensialene entydige eller fins det flere likeverdige former? 15p b) Skriv ned en definisjon på termodynamikkens 1. lov. I det tilfellet at systemet ikke utfører arbeid eller utveksler varme, hvilke fysiske realiseringer kan du da tenke deg? 30p c) Utled energibalansen for et åpent, stasjonært og adiabatisk system. Finn effektbehovet for en isentropisk pumpe som har en reell gass som arbeidsmedium. Gassen er karakterisert ved viriallikningen: pv = RT + bp. 10p d) Hvilke termodynamiske koordinater er best egnet for å beskrive: a) en bensinmotor (Otto-syklus) og b) en gassturbin (Brayton-syklus)?

104 Side 2 av 2 30p e) Utled betingelsen for kjemisk likevekt med reaksjonen N 2 + O 2 = 2 NO som eksempel. Ta som utgangspunkt at Gibbs energi for systemet skal være minimert ved gitt T og p. Hvilken innvirkning har p på likevekten? Hvilken innvirkning har T på likevekten når reaksjonen oppgis å være endoterm? Vil dannelsen av NO favoriseres i en Otto-prosess, mer enn i en gassturbinprosess?

105 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 14. juni 1994 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 Du skal svare på 1 ut av følgende 4 spørsmål. Forsøk å gi en kort, men allikevel presis forklaring. 10p a) Utled alle Maxwell-relasjoner som har Gibbs energi som basisfunksjon? 10p b) Utled Gibbs faselov for et ikke-reagerende system. 10p c) Hvilke energifunksjoner kan avledes fra U ved hjelp av Legendre-transformasjon? Angi det naturlige variabelsettet i hvert tilfelle. 10p d) Finn et uttrykk for ( A/ N i ) T,p,N j i basert på kjemisk potensialµ i ˆ= ( A/ N i ) T,V,N j i og partielt molart volum v i ˆ= ( V/ N i ) T,p,N j i. Oppgave 2 20p a) Utled et likevektsuttrykk for reaksjonen 3 H 2 + N 2 = 2 NH 3 basert på kjemisk potensial av de enkelte komponentene. Bruk minimum Gibbs energi for reaksjonen som utgangspunkt for utledningen.

106 Side 2 av 4 40p b) Anta at H 2, N 2 og NH 3 utgjør en ideell blanding ved 500 K og 300 bar, det vil si atµ i =µ i+ RT ln(y i ) hvorµ i er det kjemiske (referanse)potensialet for en kjemisk ren komponent i ved aktuell T og p. Referansepotensialetµ i til hver av komponentene er gitt av integralet og av I i ˆ= p 0 J i ˆ= ( v i RT p 300 p p v i dp ) dp der R= J mol -1 K -1 og p = 1 bar. De komponentspesifikke verdiene til I i og J i er som følger: I i [J mol -1 ] J i [J mol -1 ] H N NH Hint: for å unngå enhver misforståelse bør du ta utgangspunkt i likningen: 0 µ i (T, p)=µıg i (T, p )+ v ıg i p dp+ p 0 v i dp Øvrig informasjon av termodynamisk opprinnelse er gitt i bilag. Bruk elementene i deres stabile form ved T = K og p = 1 bar som standardtilstand. 30p c) Beregn likevektsfordelingen mellom H 2, N 2 og NH 3 ved 500 K og 300 bar. Anta støkiometrisk fordeling mellom H 2 og N 2. Bruk enten referansepotensialene fra punkt b) eller du kan eventuelt brukeµ i= 3000 J mol -1 dersom du ikke har gjort denne oppgaven ennå. 10p d) Vil likevekten i punkt c) forskyves mot høyre eller venstre ved økende trykk? Gi en kort begrunnelse. Oppgave 3 5p a) Du får oppgitt likevektslikningen: ( vi (p p sat y i ϕ i p x i γ i ϕ sat i p sat i exp RT i ) ) Hvilke forenklinger ligger til grunn for denne likningen? Gi en detaljert forklaring. En full utledning av likevektslikningen er ikke påkrevd.

107 Side 3 av 4 8p b) Anta at NH 3 følger viriallikningen pv= NRT+ NBp, hvor B= B(T) er 2. virialkoeffisient. Bruk denne likningen til å beregne bådeϕ NH3 ved 10 C og 300 bar ogϕ sat NH 3 ved 10 C. Gitt: B= 0.25 dm 3 mol -1 og damptrykket til NH 3 er 6.1 bar. Hint: p µ r,p i = 0 ( v i RT π ) dπ 5p c) Hvilke forenklinger kan innføres i likevektslikningen i punkt a) dersom systemet består av kun én kjemisk komponent? Hva blir likevektsbetingelsen i dette tilfellet? 7p d) Ved industriell fremstilling av ammoniakk må den produserte ammoniakken separeres fra syntesegassen i en høytrykks væskeutskiller. Beregn duggpunktskonsentrasjonen av NH 3 i en blanding av H 2, N 2 og NH 3 ved 10 C og 300 bar. Anta at løseligheten av H 2 og N 2 i flytende NH 3 er ubetydelig. Anta videre at fugasitetskoeffisienten for NH 3 er kun en funksjon av temperatur og trykk, det vil si atϕ NH3 (T, p, y)=ϕ NH 3 (T, p) ved y NH3 = 1. Bruk resultatene som du oppnådde i punkt b) eller bruk eventueltϕ NH3 =ϕ sat NH 3 = 0.7 dersom du ikke har svart på denne oppgaven. Tettheten av flytende NH 3 er 610 kg m -3. Nødvendige molekylmasser finner du i SI Chemical Data. 5p e) Det forenklede likningsoppsettet i forrige oppgave fungerer som en overslagsberegning, men i det generelle tilfellet må vi kunne løse likevektsproblemet uten ekstra antagelser. Beskriv en algoritme som løser likevektsproblemet iterativt ved gitt temperatur og trykk og for et gitt antall mol av hver av komponentene, med utgangspunkt i to matematiske modeller for Gibbs energi av henholdsvis damp- og væskefasen. Illustrer fremgangsmåten du ville ha valgt ved bruk av Newton Raphson-iterasjon. Hint: du trenger ikke iterere på likevektslikningen i punkt a). Det er enklere å ta utgangspunkt i et uttrykk basert på kjemisk potensial. Oppgave 4 6p a) Vis at energibalansen til et fluid som strømmer gjennom en ventil er tilnærmet beskrevet ved h = 0. Anta at strømningen er én-dimensjonal og stasjonær. Angi hvilke andre forutsetninger som må være oppfylt for at energilikningen skal ta denne enkle formen. 5p b) Utled et uttrykk for ( T/ p) H,n. Forsøk om du kan skrive svaret ved hjelp av enkle fysikalske størrelser som: temperatur, trykk, volum, varmekapasitet, ekspansivitet og kompressibilitet. Du skal med andre ord unngå vilkårlige termodynamiske partiellderiverte i størst mulig grad. 3p c) Hvilken verdi tar Joule Thomson-koeffisienten ved struping av ideell gass? 5p d) Utled et uttrykk for ( T/ p) S,n. Bruk samme skrivemåte som i punkt b).

108 Side 4 av 4 3p e) Har størrelsen i forrige oppgave noen praktisk interesse? Nevn noen eksempler. 8p f) Flytende NH 3 skal overføres fra utskilleren i punkt 3d), som opererer ved 300 bar, til en lagertank ved 10 bar. Man vurderer i denne sammenhengen å innstallere en turbin for elektrisk kraftproduksjon. Hva blir effekten av en denne maskinen dersom døgnproduksjonen er 1000 tonn NH 3 og turbinen arbeider isentropisk? Tettheten av ammoniakk er 610 kg m -3. Gjør rede for alle (andre) antagelser i beregningen.

109 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 16. august 1993 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 Du skal svare på 2 ut av følgende 4 spørsmål. Forsøk å gi korte, men allikevel presise forklaringer. 10p a) Se oppgave 2a, HiT-eksamen 21. mai p b) Skriv ned den gjeldende definisjonen for fugasitetskoeffisientenϕ i. Forklar med ord i tillegg. 10p c) Gi en detaljert forklaring på den funksjonelle sammenhengen mellom A og G. 10p d) Finn et uttrykk for ( A/ N i ) T,p,N j i basert på kjemisk potensialµ i ˆ= ( A/ N i ) T,V,N j i og partielt molart volum v i ˆ= ( V/ N i ) T,p,N j i. Oppgave 2 I denne oppgaven inngår det endel tallbehandling som enten krever numerisk innsats eller grafisk løsning av én bestemt ikke-lineær likning. Bruk vedlagte millimeterpapir dersom du ønsker å løse problemene grafisk. Svaret blir mindre nøyaktig enn den numeriske løsningen, men det er allikevel fullt tilstrekkelig i denne sammenhengen.

110 Side 2 av 4 7.5p a) Utled Clausius Clapeyrons likning for et én-komponent system, hvilket vil si å finne et uttrykk for (dt/ dp) eq = f (s α, s β, v α, v β ). Bruk likevektslikningenµ α =µ β som et utgangspunkt for utledningen.αogβrepresenterer to vilkårlige likevektsfaser. 7.5p b) Vis at Clausius Clapeyrons likning kan integreres til ln(p/p )=a+bt -1 såfremt den ene fasen er en ideell gass. Forklar hvilke andre forutsetninger som også må være oppfylt. 7.5p c) Ved produksjon av flytende nitrogen (samproduksjon ved ammoniakksyntese) kan det fryse ut fast metan i anlegget hvis denne får lov til å akkumulere i prosesstrømmen. Du har oppgitt følgende damptrykksdata for CH 4 fra Gas Encyclopedie L Air Liquid. Vær oppmerksom på at målepunktene ikke er helt konsistente: Faser T [K] p [mbar] sol, vap " " " sol, lıq, vap lıq, vap " " Du skal estimere sammensetningsområdet for utfrysing av CH 4 fra en N 2 CH 4 gassblanding når temperaturen er T= 90 K og trykket er p=1.5 bar. Fugasitetskoeffisienten er ϕ CH4 = Anse denne som uavhengig av temperaturen, trykket og sammensetningen av gassen. Hvilke andre antagelser må du (strengt tatt) gjøre for å kunne svare tilfredsstillende på oppgaven? 7.5p d) Estimer smeltevarmen til CH 4 med utgangspunkt i damptrykktabellen fra forrige punkt c). Oppgave 3 En detaljert termodynamisk prosessimulering av ammoniakkfabrikken på Herøya ga følgende resultat for et av blandepunktene. Alle komponentene er i gassfase og det molare blandingsforholdet av H 2 O : H 2 = 1 : 1. Beregningene er verifisert av målinger gjort i fabrikken: H 2 O (260 C, 40 bar) H 2 O/H 2 (230 C, 40 bar) H 2 (240 C, 40 bar)

111 Side 3 av 4 7p a) Utled termodynamikkens 1. lov (det vil si energibalansen) for blandeprosessen. 7p b) Forklar hvorfor den påståtte temperaturendringen er uforenlig med en antatt blanding av ideelle gasser. 8p c) Vis at den påståtte temperaturendringen er mulig for en gassblanding som følger viriallikningen pv = NRT + Bp. Utled de nødvendige temperaturegenskapene til B. Hint: følgende relasjoner kan være nyttige: p ( G r,p ˆ= V NRT ) dπ π 0 ( ) G S r,p r,p = T p,n H r,p = G r,p + TS r,p 8p d) Estimer utløpstemperaturen når trykket endres til p = 10 bar. Bruk resultatet fra punkt c). Suppler om nødvendig med tilleggsdata fra SI Chemical Data. Oppgave 4 Thomas Newcomens atmosfæriske dampmaskin kan i termodynamisk forstand oppfattes som en rektangulær syklus i T, V-planet, slik det er vist i figuren nedenfor: T h A B T c D C v 1 v 2 A: Vann på kokepunktet. B: Mettet damp. C: Delvis kondensert vann/damp. D: Kondensert vann med litt damp.

112 Side 4 av 4 For resten av oppgaven gjelder: T h = K og T c = K. Dampen har tilnærmelsesvis de samme egenskapene som en ideell gass og det molare volumet til vannet v H2 O= m 3 mol -1 er omtrent uavhengig av både trykk og temperatur. Mengden av vann+damp i sylinderen settes til 1 mol. 6p a) Skisser p, V- og T, S -diagrammene for syklusen. Angi konkrete akseverdier for alle hjørnepunktene. Nødvendig tilleggsinformasjon fins i SI Chemical Data. Anta konstant varmekapasitet for damp og væske. 6p b) Er det noen sammenheng mellom arealene (av den lukkede syklusen) i p, V- og T, S - diagrammene? Gi en kort forklaring. 6p c) Hva er den termodynamiske virkningsgradenη ˆ= W s /Q h for Newcomen s dampmaskin? 6p d) Hva er den tilsvarende virkningsgraden for en ideell Carnot-maskin? 6p e) Vi skal nå forlate den sykliske dampmaskinen og istedet betrakte en mettet dampstrøm ved T h = K som totalkondenseres og kjøles ned til T c = K i en kontinuerlig, stasjonær prosess. Du har til rådighet én eneste Carnot-maskin som arbeider optimalt innenfor det angitte temperaturområdet. Sett opp et uttrykk for den maksimalt oppnåelige termodynamiske virkningsgraden av denne prosessen. Anta konstant varmekapasitet for damp og væske. Trykket er konstant p= Pa i hele prosessen.

113 Høgskolen i Telemark Institutt for miljøteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg Bokmål EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395) 21. mai 1993 Tidspunkt: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data Sensur: Senest 3 uker etter eksamen Merknad: ingen Oppgave 1 5p a) Diskuter den eksakte sammenhengen mellom de fire energifunksjonene U, H, A og G. 5p b) Angi det naturlige variabelsettet for hver enkelt av funksjonene i punkt a. 5p c) Utled de 1. deriverte av funksjonene i punkt a med hensyn på de respektives naturlige variabelsett. 5p d) Hva er en Maxwell-relasjon? Gi en kort forklaring. 5p e) Finn alle Maxwell-relasjonene knyttet til funksjonene i punkt a. Anta for enkelthets skyld at systemet har konstant sammensetning. 5p f) Vis at ( U/ p) S,n =βv pc V C -1 P hvorβ ˆ= V-1 ( V/ p) T,n og C V ˆ= ( U/ T) V,n og C P ˆ= T ( S/ T) p,n. Hint: finn enklest mulige uttrykk for (du) S,n og (dp) S,n og regn deretter ut brøken (du/ dp) S,n.

114 Side 2 av 4 Oppgave 2 Damp væske likevekter ved moderate trykk kan enkelt beskrives ved følgende likning: y i ϕ i p= x i γ i ϕ sat i p sat i exp 1 p v i dπ RT 3p a) Identifiser alle symbolene som inngår i likningen ovenfor. Angi hvilke av størrelsene som kan tilskrives henholdsvis dampfasen, væskefasen og standardtilstanden til komponent i. 9p b) Avvik fra idealitet i flytende N 2 O 2 lar seg beskrive ved følgende blandingsfunksjon; p sat i G ex ( NRT = x 1x T ) T hvor x i er molbrøk av komponent i, T er temperaturen i Kelvin og N er det totale antallet mol av komponentene i blandingen. Finn først et uttrykk forγ i og beregn deretter p, x, y fasediagrammet ved 100 K. Det holder med 4 5 punkter og det er tilstrekkelig med én iterasjon for å bestemme p. Alternativt kan du foreta en rekkeutvikling av likevektslikningen og beholde kun ledd av 1. orden. Anta atϕ i ϕ sat i. Annen nødvendig informasjon er gitt nedenfor (p = 1 bar,ρ = 1 kg m -3 og T = 1 K): ln(p sat N 2 /p )= (T/T ) (T/T ) ln(t/t ) ln(p sat O 2 /p )= (T/T ) (T/T ) ln(t/t ) ρ sat N 2 /ρ = (T/T ) (T/T ) 2 ρ sat O 2 /ρ = (T/T ) (T/T ) 2 9p c) Bestem H ex og S ex for blandingen i punkt b. 9p d) Regn ut temperaturendringen som inntrer når N 2 og O 2 blandes i forholdet 1 : 1 ved 100 K. Anta at p> p sat slik at blandeprosessen i sin helhet foregår i væskeform. Se bort fra eventuell trykkavhengighet i H ex. Varmekapasiteten til blandingen kan settes til c p = 60 J mol -1 K -1. Oppgave 3 Sentralvarmeanlegget som er vist i figuren nedenfor består av en fyrkjel og en radiator plassert med en innbyrdes høydeforskjell på 10 m. En sirkulasjonspumpe sørger for at hastigheten til vannet er konstant lik 1 m s -1 i hele anlegget. Trykkfallet over kretsen, som er lik trykkøkningen over pumpen, er uten betydning i denne sammenhengen. Strømningen kan antas å følge Bernoullis likning: 1 ρ 2 dυ2 +ρg dz+dp=0.

115 Q ut Side 3 av 4 p 0 z=10 m Q ınn 5p a) Hvordan vil trykket variere langs rørstrekket? Ta utgangspunkt i Bernoullis likning og kombiner den med de opplysningene som er gitt i oppgaveteksten. La g= m s -2. 5p b) Anta at det sirkulerer rent vann i kretsen. Hvor høyt må trykket i fyrkjelen være for å hindre koking i radiatoren hvis vanntemperaturen er 80 C? Bruk tilleggsdata fra SI Chemical Data. 5p c) Hvor høyt må trykket i fyrkjelen være dersom vannet tilsettes så mye frostvæske (etylenglykol) at aktiviteten synker til a H2 O= 0.1? Damptrykket til etylenglykol er neglisjerbart i denne sammenhengen. 5p d) Hvordan lyder termodynamikkens 1. lov for et lukket system med konstant sammensetning (uten kjemiske reaksjoner), når du tar med kinetiske og potensielle bidrag i tillegg til indre energi? Skriv likningen på differensiell form og kommenter de enkelte leddene. 5p e) Ved plutselig avstengning av anlegget (ventilen er ikke inntegnet) vil det oppstå et trykkstøt på grunn av retardasjonen av det sirkulerende vannet. Hvordan lyder energibalansen (1. lov) for et slikt trykkstøt når det forutsettes isentropiske forhold? 5p f) Finn et uttrykk for den maksimale trykkøkningen (gitt av trykkstøtet) i punkt e. Bruk opplysningene som er gitt i oppgaveteksten og suppler med annen informasjon fra SI Chemical Data. Nødvendig tilleggsinformasjon er: V -1 ( V/ T) p,n K -1 og V -1 ( V/ p) T,n Pa -1. Hint: svaret på denne oppgaven henger sammen med et delresultat fra en av de tidligere oppgavene. Oppgave 4 Svar på ett ut av følgende 6 spørsmål. Forsøk å gi korte, men allikevel presise forklaringer. Korrekt besvarelse av flere enn ett spørsmål gir bonuspoeng, men feil besvarelse av mer enn ett spørsmål gir en tilsvarende trekk i poengsummen. Svar derfor på kun ett spørsmål dersom du føler deg usikker. 10p a) Hvilke forutsetninger ligger til grunn for Bernoullis likning?

116 Side 4 av 4 10p b) Forklar sammenhengen mellom Bernoullis likning og termodynamikkens 1. lov. 10p c) Hva er definisjonen på aktivitetskoeffisientenγ i og i hvilken tilstand vil, normalt sett, γ i = 1.0? 10p d) Hvor mange energifunksjoner kan avledes fra U i tillegg til dem som er omtalt i oppgave 1a? Angi også det naturlige variabelsettet for hver enkelt av funksjonene. 10p e) Utled likevektslikningen gitt i oppgave 2. 10p f) Utled Gibbs faselov for et vilkårlig ikke-reagerende kjemisk system.

117 JANAF Thermochemical Tables J. Phys. Chem. Ref. Data Vol 14, Suppl.1 (1995)

118 C [s] GRAPHITE (SOLID) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

119 CH 4 [g] METHANE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

120 C 2 H 2 [g] ETHYNE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

121 C 2 H 4 [g] ETHENE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

122 CO [g] CARBONMONOXIDE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

123 CO 2 [g] CARBONDIOXIDE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

124 H 2 [g] HYDROGEN (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

125 H 2 O [g] WATER (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

126 NH 3 [g] AMMONIA (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

127 KO [g] POTASSIUMMONOXIDE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

128 K 2 S [liq] POTASSIUMSULPHIDE (LIQUID) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

129 N 2 [g] NITROGEN (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

130 N 2 O [g] DINITROGEN OXIDE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

131 N 2 O 3 [g] DINITROGEN TRIOXIDE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

132 N 2 O 4 [g] DINITROGEN TETRAOXIDE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

133 NO [g] NITROGEN OXIDE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

134 NO 2 [g] NITROGEN DIOXIDE (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

135 O 2 [g] OXYGEN (GAS) T C P S (G H 298 )/T H H H 298 G f H f G ln K K J K -1 mol -1 kj mol -1 [-]

136 Thermodynamic Methods TKP 4175 H 1 H i ˆ= U i ( U i V i ) Vi = U i + p i V i H 2 U 1 U 2 U 3 U 4 H 3 H 4 V 1 V 2 V 3 V 4 Exam aids: 1) Calculator 2) SI Chemical Data 3) Handwritten notes on the back of this sheet