Thermodynamic Methods TKP 4175

Transkript

1 Thermodynamic Methods TKP 4175 This document is the β-edition of the solutions to my final exams in thermodynamics for the period The contents of the course has gradually matured during this period, from my very first lectures in HIT2395, via the interim TMT4140, to the contemporary TKP4175. At the same time the syllabus has undergone a few changes from originally being somewhat closer to physical chemistry whilst the focus has now been shifted a little more towards numerics and programming. The physico-mathematical notation has also matured, but the changes have been systematic and the notation is (still) uniform throughout the entire document! Please report to the author any calculation errors, grammatical errors, and unclear problem formulations you might find. Send with subject: TKP4175 to haugwarb@nt.ntnu.no and explain the case briefly. Thanks for the help! PS. Please do not ask questions by . My ability to respond adequately to long and detailed questions without pen and pencil is limited. c Tore Haug -Warberg IKP/NTNU (2017)

2

3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 6 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål FORKUNNSKAPER I MATEMATIKKK (TKP4175) d [1, 31] m [1, 12] y [2012, Tidspunkt: 08:15 16:00 Hjelpemidler: Ingen Sensur: Senest n [0, dager etter eksamen Denne prøven er en uformell test på dine ferdigheter i anvendt matematikk. Du burde, ideelt sett, kunne klare å løse de fleste av oppgavene i løpet av et par, tre dager. Dette kravet fremstår som viktig fordi oppgavene reflekterer den delen av matematikkpensumet som også inngår i termodynamikkstudiet. Meningen er ikke å stille urealistiske eller overveldende krav til studentene, men snarere peke på hvilke forutsetninger som faktisk gjelder. Dessuten er kravet til forkunnskaper omtrent det samme for alle ingeniør- og fysikkstudenter. Oppgaver som er vektet med er de enkleste. En manglende forståelse av disse grunnleggende problemstillingene vil ha en negativ virkning på dine ferdigheter innen termodynamikk. De av oppgavene som er vektet med ++ er fortsatt innenfor matematikkpensumet, men de er mer (arbeids)krevende. Vektingen ble drøftet med en gruppe av våre 5. årskurs studenter i 2012 og bør kunne sies å reflektere den virkelige studiesituasjonen i sivilingeniørutdanningen ved NTNU. Ha en god fornøyelse! Oppgave 1 Kalkulus: p a) Finn differensialet av f med hensyn på x: 2 f (x; a, b, c, c n )=a ln x+be cx + c n x n n= 2

4 Side 2 av 6 p b) Finn den deriverte av c 0 med hensyn på c 1 under antagelse av konstant x, c n {0,1} og f : 2 f (x; c n )= c n x n n= 2 p c) Bestem den antideriverte f gitt ved: f (x; a, b, c, c n )= 2 (a ln x+be cx + c n x n ) dx n= 2 p d) Finn den deriverte av f med hensyn på a, b og c: f (a, b, c)= b a (ln x+ce x ) dx } {{ } g(x) p e) Regn ut den deriverte av y med hensyn på x for de to (uavhengige) likningene: x y ln y=0 (1) y x ln x=0 (2) Vi forutsetter at x og y er relle størrelser og at (x, y) er et konvergert punkt på løsningsmanifoldet til (en vilkårlig av) likningene. Det samme gjelder for den deriverte. Bestem definsjonsområdet til x slik at y R i hvert tilfelle. Oppgave 2 Multivariabel kalkulus: p a) Identifiser (alle elementene i) vektorene c og x: 2 c T x= c n x n n= 2 p b) Finn den deriverte (det vil si gradientvektoren) av f med hensyn på x: f (x)= x

5 Side 3 av 6 + p c) Bestem den andrederiverte av f med hensyn på x og c. Denne matrisen er også kjent som Jacobi-matrisen til ( f/ x). Finn de kryssderiverte ( 2 f/ x i c j ) først: f (x; c)=c T Jx Oppgave 3 Lineær algebra: p a) Regn ut: A= p b) Løs med hensyn på x: x= p c) Regn ut nullrommet av matrisen A: A= ( ) p d) Løs med hensyn på x: x= p e) Regn ut egenverdiene til matrisen A gitt: A= p f) Regn ut diagonaliseringen av A=SΛS -1 gitt: ( ) 0 1 A= c 0

6 Side 4 av 6 Oppgave 4 Numeriske metoder: p a) Løsπ(τ,ν)=π med hensyn påνderπ=8τ/(3ν 1) 3/ν 2. Anta for eksempel π = 0.1 ogτ=0.8. Bruk direktesubstitusjon:ν (k+1) = f (π,ν (k) ). Velg f slik at iterasjonen er stabil forν (0). p b) Gitt de to funksjonene: π= 8τρ 3 ρ 3ρ2 ( ) 8τρ µ=c(τ)+τ ln 3 ρ + τρ 3 ρ 9ρ 4 Løs likningeneπ(ρ 1 ) = π(ρ 2 ) ogµ(ρ 1 ) = µ(ρ 2 ) for to forskjellige verdier avρhvor ρ 1 0, 1 ogρ 2 1, 3. La parameterenτ 0, 1. Anta for eksempel verdienτ=0.7. Bruk Newton Raphson iterasjon. ++ p c) Gitt de samme to funksjonene som i oppgave b. Løs likningeneπ(ρ 1,τ)=π(ρ 2,τ) ogµ(ρ 1,τ)=µ(ρ 2,τ) som parametriserte funksjoner avτ. Du skal med andre ord finne løsningen av ( ) π(τ) f ˆ= = 0 µ(τ) hvorτinngår som parameter. Laτ [0.3, ]. Start integrasjonen iτ (0) = 0.7. Gå først i retning avτ= snu integrasjonsretningen og gå deretter tilbake i retning avτ=0.3. Bruk Newton Raphson iterasjon som indre løkke i et korrektor prediktor-skjema. Du må selv finne en passende steglengde forτ. + p d) Løs likningen 1/x=ǫved iterasjon av x forǫ 1. Bruk formelen for direktesubstitusjon: x (k+1) = x (k) + 1/x (k) ǫ. Anta at startpunktet for iterasjonen er x=1. Vis at metoden er absolutt konvergent. Regn deretter ut hvor mange iterasjoner som trengs for å oppnå n siffers presisjon i løsningen. Sagt med andre ord: bestem N slik at 1 x (N) ǫ= 10 n hvor N er det antallet iterasjoner som trengs. Oppgave 5 Ordinære differensiallikninger: p a) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsen x ˆ= x t=0 : ( ) dx = c(x a) dt

7 Side 5 av 6 ++ p b) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsen x ˆ= x t=0 : ( ) 0 1 ẋ= x ; c>0 c 0 ++ p c) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsene x ˆ= x t=0 og ẋ ˆ= (dx/dt) t=0 : ( ) d 2 x = cx dt 2 Oppgave 6 Analyse: p a) Regn ut minimumsverdien av f med hensyn på x, y og z: f (x, y, z)= x 2 + y 2 + z 2 + 1x+2y+3z p b) Regn ut minimumsverdien av f med hensyn på x, y og z: f (x, y, z)= x 2 + y 2 + z 2 gitt beskrankningene: x+y+z=0 y z=1 + p c) Gitt observasjonene: x y Regn ut minste-kvadratsums-estimatoren ĉ i henhold til: min ŷ(x; c) y med utgangspunkt i den lineære modellen ŷ=c 1 + c 2 x.

8 Side 6 av 6 + p d) Gitt følgende variabeltransformasjon for omregning av polar-koordinater (R, θ) til kartesiske koordinater (x, y): x=rcosθ y=r sinθ Vis at de partiellderiverte av (R,θ) med hensyn på (x, y) tilfredsstiller betingelsen ( ) ( R/ x)y ( R/ y) x J -1 ( θ/ x) y ( θ/ y) x hvor J er Jacobianen til den angitte variabeltransformasjonen. ++ p e) Gitt de parametriske funksjonene: x=r cosθ y=r sinθ R=cθ Regn ut de deriverte dx/ds og dy/ds hvor s er buelengden langs y(x)-manifoldet (kall det en funksjonsgraf om du vil).

9 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 23. mai 2017 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 6p a) Funksjonen U(S, V, N) blir i litteraturen omtalt som et termodynamisk energipotensial. Hvordan fortolker du dette begrepet? Vær mest mulig presis i formuleringen. 6p b) Gi eksempler på andre termodynamiske energipotensialer som du måtte kjenne til. Gode forklaringer og utledninger verdsettes høyt. 6p c) Fins det termodynamiske potensialer som har en annen benevning enn energi? 6p d) I praksis trenger vi gjerne U på formen U(T, V, N) eller U(T, p, N). Ofte som implisitte relasjoner. Er det da slik å forstå at U(S, V, N), U(T, V, N) og U(T, p, N) er tre termodynamiske potensialer? Hvis svaret er negativt må du begrunne hvorfor.

10 Side 2 av 4 Oppgave 2 Et termodynamisk kontrollvolum har indre energi U(S, V, N), konstant masse men ikke nødvendigvis konstant moltall, og et gitt men ikke nødvendigvis konstant volum. 8p a) Kontrollvolumet gjennomgår en tilstandsendring ved konstant moltall N og konstant indre energi U. Utled tre (generelle) differensiallikninger som beskriver tilstandsutviklingen i systemet som funksjoner av henholdsvis: 1. S og V 2. T og V 3. T og p 6p b) Ved kjemisk analyse får du vite at N= N A + N B hvor A og B er to kjemiske komponenter som inngår i likevekts-reaksjonen: A B I hvilken grad påvirker denne opplysningen dine svar i deloppgave a)? Kontrollvolumet er knyttet til et reservoar med temperatur T. Varmeovergangen til reservoaret er gitt ved: Q= UA(T T ) Varmeovergangstallet UA er konstant i dette tilfellet. Utover varmeovergangen skjer det ingen andre tilstandsendringer av betydning. Det betyr at moltallet er konstant uavhengig av diskusjonen i deloppgave b). 6p c) Bruk termodynamikkens 1. lov til å beskrive energibalansen for kontrollvolumet. Start med en generell energibalanse som du forenkler så langt råd er. 6p d) Utled et uttrykk for tidskonstanten forbundet med oppvarming og nedkjøling av kontrollvolumet. Gjør de antagelsene som er nødvendige for å komme frem til et analytisk resultat. 6p e) Anta at det er mulig å gjøre en endring i kontrollvolumets fysiske volum uten at dette påvirker varmeovergangstallet. Vil en slik endring kunne påvirke tidskonstanten dersom temperaturen ved oppstart er den samme som før?

11 Side 3 av 4 Oppgave 3 Du skal løse den kjemiske likevekten gitt i oppgave 2b. Anta at A og B utgjør en ideell gassblanding med totalt 1 mol av de to komponentene. Standard kjemisk potensial av B er slik at: µ B=µ A+ RT Tilleggsopplysninger: T= 1000 K og V= 1 m 3 (ved behov). 6p a) Utled det termodynamiske likevektskriteriet for kontrollvolumet. Finn en analytisk løsning av problemet i henhold til oppgaveteksten. 8p b) Løs likevektsproblemet på nytt ved hjelp av Newton Raphson iterasjon. Alle likningene skal løses simultant. Bruk startverdiene N A = N B = 0.5. Hvis du ikke har svart på deloppgave a) eller du mener at svaret er feil kan du alternativt løse følgende matematiske problem (med redusert uttelling under sensuren): 1=ln ( NA RT p V 1=N A + N B ) ln ( NB RT p V ) 6p c) Temperaturen i blandingen endres 1 K. Hvordan påvirker dette likevekten? Forklar årsak virkning. Oppgave 4 I en TV2-reklame høsten 2016 ble det fremholdt at energiinnholdet i én halvliters aluminiumsboks er nok til å drive én snøkanon i 2 minutter. Du skal vurdere om denne reklamen er sann eller usann. Balanselikningen for entropiproduksjon som er gitt nedenfor gjelder for hele oppgaven, men spørsmålene er utformet slik at det kun trengs elementær prosessteknikk for å regne ut de riktige tallsvarene. For å få full poengsum må du imidlertid bruke likningen i henhold til oppgaveksten. Termodynamiske data: Bruk SI Chemical Data. Anta T = 0 C og p = 1 bar. Entropiproduksjon: dũ dt = H ınn H ut + Ω(1 T T -1 )δ Q W s T S ırr. Tekniske data: En Al-boks veier 15 g. En snøkanon forbruker 24 kw el-kraft 1. Luft: x O2 = 0.2 og x N2 = p a) De beste aluminiumverkene i verden elektrolyserer aluminium metall med en energikostnad tilsvarende 12.5 kwh kg -1,2. Regn dette tallet om til de enhetene som er brukt i oppgaveteksten. Kommenter svaret med henblikk på reklamen. 1 Emelie Eriksson, Resursanvändning vid snötillverkning: En jämförelse av energi- och vattenförbrukningen vid snötillverkning med olika snökanoner, Mittuniversitetet (Sverige), s (tabell 2), IEA ETSAP, Technology Brief 10, mars 2012.

12 Side 4 av 4 6p b) Anta at det er mulig å omsette aluminiumet i boksen med luft til ren aluminiumoksid (alumina) i en satsvis, kjemisk reaktor. Reaktoren har fri tilgang til luft. Dette eliminerer endringer i kjemisk energi forbundet med endringer i luftens sammensetning før og etter at reaksjonen har funnet sted. Vis at rx G(T, p ) for oksidasjonprosessen representerer en øvre grense for det arbeidet som kan utføres. Regn ut W max = W s. Hint: det er 2 uavhengige kjemiske elementer som tar del i reaksjonen (Al og O) slik at du trenger 2 referansepotensialer ett for hvert av elementene. 6p c) Omsetningen kan alternativt skje i en stasjonær stempelstrømsreaktor. Aluminium og luft fødes inn som reaktanter og aluminiumoksid (alumina) og ren nitrogen tas ut som produkter. Vis at H(T, p ) representerer den øvre grensen for det arbeidet som kan utføres. Regn ut W max = W s. 6p d) En tredje mulighet er å forbrenne boksen i et termisk kraftverk og produsere mekanisk arbeid i en dampturbinsyklus. Anta at turbinen er en Carnot-maskin som opererer ved 1000 K. Bruk samme prosessmodell som i deloppgave c) med unntak av et produktene nå forlater prosessen i varm tilstand. Regn ut W s = W Carnot. Oppgave 5 Helt til slutt en ekstraordinær oppgave for dem som føler at de brenner inne med relevant kunnskap. Merk at besvarelsen vil bli sensurert strengere enn resten av oppgavesettet p a) I oppgave 3 er det spurt etter kjemisk likevekt for en ideell gassblanding. Hva trengs av modeller og teori for å kunne generalisere likevektsproblemet slik at det også gjelder for en ikke-ideell gassblanding?

13 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 09. august 2016 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Utdrag fra JANAF-tabellene fins som vedlegg. Oppgave 1 5p a) For et termodynamisk system med én kjemisk komponent gjelder: ( ) ( ) p S = T V V,N T,N Forklar hva som ligger til grunn for denne relasjonen. 6p b) Vis at det fins en tilsvarende relasjon som gjør uttrykket nedenfor gyldig: ( ) ( ) V x = µ y Bestem x og y. S,p S,µ

14 Side 2 av 4 6p c) Gitt funksjonen: derαogβer parametre. Vis at: f (x, y)=y exp f= i ( ) αx ( βy ) + x ln y x ( ) f x i x i 6p d) La f x ˆ= ( f/ x) og f y ˆ= ( f/ y). Kan du på bakgrunn av den (samlede) informasjonen som du nå har avgjøre om likningen er oppfylt eller ikke? x d f x + y d f y = 0 6p e) I termodynamikken støter man ofte på begrepet minimum Gibbs energi. Gi en matematisk fortolkning av dette begrepet anvendt på de to spesialtilfellene: Faselikevekt for 2 komponenter A og B som er fordelt mellom 2 faser. Kjemisk likevekt mellom 3 komponenter A, B og AB hvor reaksjonen foregår i homogen fase (en ekte blanding med andre ord). 6p f) Anta at forutsetningene i den siste deloppgaven blir endret slik at A, B og AB nå befinner seg i 3 forskjellige rene termodynamiske faser. Hvilken betydning vil dette ha for svaret på den siste deloppgaven? Oppgave 2 Forbrenning av kull og hydrokarboner danner ryggraden i dagens teknologiske samfunn. For produksjon av elektrisk energi er fullstendig forbrenning å foretrekke mens ved produksjon av kjemikalier (spesielt ammoniakk) er partiell oksidasjon nødvendig. På denne måten blir CO fremstilt i industriell målestokk som et verdifullt mellomprodukt for produksjon av hydrogengass, som igjen brukes i ammoniakkproduksjonen. Vi skal i denne oppgaven gjøre noen enkle betraktninger av partiell oksidasjon av C til CO og videre til CO 2 : Luft 25 C Luft 25 C Kull 25 C C+ 1 2 O 2 CO 1451 K CO+ 1 2 O 2 CO K Q 1 Q 2

15 Side 3 av 4 6p a) Regn ut Q 1 og Q 2 i henhold til figuren i oppgaveteksten. Anta perfekt reaksjonsstøkiometri i hvert trinn. Luftens sammensetning er tilnærmet 20 mol-% O 2 og 80 mol-% N 2. Termodynamiske data er gitt i vedlegget. Bruk 1 mol C som basis for beregningene. 6p b) Det første trinnet i prosessen er i virkeligheten et likevektstrinn styrt av Boudouardreaksjonen: CO 2 + C 2 CO Bruk denne likevekten til å utlede et 3 3 sett av likninger som tilsammen beskriver likevektssammensetningen av utløpsgassen fra det første trinnet underforstått at det er overskudd av fast C i reaktoren. Skriv likningene som funksjoner av de ekstensive variablene N CO, N CO2 og N (totalt antall mol gass). La 1 mol O være basis for massebalansene. Du kan anta ideell gassblanding. Temperatur og trykk i gassen er foreløpig ubestemt. 4p c) Regn ut likvektskonstanten for reaksjonen. For å spare tid i tabelloppslagene kan du bruke T = 1500 K istedenfor 1451 K slik figuren angir. 6p d) Skriv ned en formel for Newton Raphson-iterasjon av likningssettet slik det er definert i delspørsmål b eller for et fritt valgt 3 3 likningssystem dersom du ikke har svart på dette delspørsmålet. Anta at p er lik standardtrykket p i henhold til JANAF-tabellene (vedlagt). Bonus: bruk startverdiene N CO = 1, N CO2 = 0 og N= 3 til å løse likningssettet, men kun hvis du er ferdig med de andre oppgavene! Oppgave 3 En kombinert masse-, energi- og entropibalanse for et termodynamisk kontrollvolum med én innløpsstrøm og én utløpsstrøm er gitt ved likningen: dũ dt = H ınn H ut + Ω(1 T T -1 )δ Q W s T S ırr Eksergiraten er definert ved: De andre størrelsene må du definere selv. H ˆ= (T T ) S+ (µ µ ) N 6p a) I tillegg til de fysikalske størrelsene som er nevnt i oppgaveteksten fins det et begrep kalt tapt arbeid. Kan du gi en beskrivelse av hva dette begrepet innebærer og forklare hvilken kobling det har til eksergilikningen ovenfor? 6p b) Bruk den oppgitte likningen til å beskrive entropiproduksjonen for en dampkjel som produserer damp ved 100 C. Kjelen får levert 2000 W elektrisk effekt hvorav 20% går bort som diffust varmetap. En stadig tilførsel av friskt matevann gjør at kjelen er i stasjonær tilstand. Tegn et prosessflytskjema som knytter de ulike størrelsene i likningen opp mot informasjonen gitt i oppgaveteksten.

16 Side 4 av 4 6p c) Regn ut entropiproduksjonen til dampkjelen når trykket i dampstrømmen er 1 atm og matevannet holder 10 C. Laµ = 0 i den sistnevnte tilstanden (som altså definerer omgivelsene for prosessen). 6p d) Matevannstilførselen blir stengt slik at dampkjelen plutselig inntar en dynamisk (tidsavhengig) tilstand. Hvilken betydning har denne prosessendringen for entropiproduksjonen til dampkjelen? Kvantifiser svaret. Oppgave 4 Se oppgave 3, NTNU-eksamen 04. august 2008 og oppgave 1, NTNUeksamen 20. august 2011.

17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 09. juni 2016 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Tre av oppgavene er merket med ++ i venstre marg. Disse er noe vanskeligere enn gjennomsnittet. Men, hele eksamenssettet summerer til 114 poeng slik at du ikke trenger å løse alle oppgavene for å oppnå toppkarakter. Oppgave 1 6p a) Gjør rede for din forståelse av begrepet kanoniske variable. 6p b) I hvilke(n) sammenheng(er) kan man si at H, A, U, G, etc. er likeverdige størrelser? 6p c) Hva er en Maxwell-relasjon? Gi et par relevante eksempler. ++6p d) Vis at ( C P / p) T,n = T ( 2 V/ T T) p,n er en (utvidet) Maxwell-relasjon.

18 Side 2 av 3 6p e) Begrepet inkompressibilitet innebærer at volumet av et stoff ikke endrer seg med trykket. En annen ytterlighet er at volumet ikke endrer seg med temperaturen. I det sistnevnte tilfellet vil entropien fremstå som uavhengig av trykket. Bruk differensialregning til å underbygge denne påstanden. Merk: dette punktet er ikke bare av prinsipiell art. Det gir i tillegg informasjon som er viktig for andre deler av oppgavesettet. Du skal henvise til denne oppgaven hvis du senere velger å bruke informasjonen slik den er gitt i oppgaveteksten. Oppgave 2 I en prosjekteringsoppgave utført ved IKP våren 2016 skulle studentene vurdere to ulike prosessalternativer for konservering av vannholdige næringsmidler: 1. Oppvarming fra 20 C til 100 C ved normalt trykk 1 bar 2. Kompresjon fra 1 bar til 6000 bar ved normal temperatur 20 C Vi skal her utvide studiet med en termodynamisk analyse av problemstillingen. Det forutsettes at prosessene er i stasjonær tilstand og at de følger den samme, grunnleggende energilikningen: h+ e k + e p = q w s Det strømmende mediet har samme fysikalske egenskaper som rent vann bortsett fra at det spesifikke volumet kan antas å være uavhengig av både trykk og temperatur. Oppvarming og kompresjon foregår uten varmetap til omgivelsene. 6p a) Regn ut tilført varme [J g -1 ] for prosessalternativ 1. 6p b) Regn ut tilført arbeid [J g -1 ] for prosessalternativ 2. 6p c) Bestem endringen i indre energi [J g -1 ] for prosesstrømmene målt som forskjellen mellom inn- til utløp. 6p d) Den naive forestillingen om konstant spesifikt volum, slik den ble fremsatt i oppgaveteksten, er feil. La oss utvide problemstillingen ved å anta at vannet følger Taits tilstandslikning 1 : 1 ( ) v = v p T,n C p+ B(T) Parametrene v, B og C er materialkonstanter. B er i tillegg avhengig av temperaturen. Bruk dette til å bestemme v(t, p). La p=0være nedre integrasjonsgrense. 1 P. G. Tait, Physics and Chemistry of the Voyage of H.M.S. Challenger, Vol. 11, Part IV, 1888 S.P. LXI.

19 ++6p e) Herav følger det at s(t, p) vil være på formen ( p+b ) s(t, p)= f (T)+g(T)p v CB ln B Side 3 av 3 hvor B ˆ= ( B/ T). Vis at dette uttrykket er konsistent med tilstandslikningen til Tait. Det vil si at den ene likningen kan avledes fra den andre. Du kan betrakte f (T) og g(t) som generelle temperaturfunksjoner (som lar seg bestemme) men som er uviktige i denne sammenhengen. Oppgave 3 En kombinert masse-, energi- og entropibalanse av prosessalternativene i oppgave 2 gir følgende uttrykk for den tilgjengelige energien til kontrollvolumet: dũ dt = H ınn H ut + Ω(1 T T -1 )δ Q W s T S ırr Eksergiraten er definert ved: H ˆ= (T T ) S+ (µ µ ) N I vårt tilfelle kan T ogµ settes til henholdsvis temperaturen og det kjemiske potensialet i innløpsstrømmen. De andre symbolene må du definere selv. Likningene forutsetter at det er kun én kjemisk komponent tilstede i systemet. 6p a) Eksergien kan alternativt oppfattes som en spesifikk størrelse: h ˆ= (T T )s+(µ µ ) Gjø rede for overgangen fra rate til spesifikk form. 6p b) Under forutsetning av konstante egenskaper c p og v for det strømmende mediet, fås: ( )] T h=c p [(T T ) T ln + v(p p ) T Vis dette. 6p c) Regn ut h [J g -1 ] for utløpsstrømmen i prosessalternativ 1 fra oppgave 2. 6p d) Gjenta beregningen for prosessalternativ 2. 6p e) Regn deretter ut entropiproduksjonen for hvert av prosessalternativene. Bruk T ut for temperaturen på varm side i varmeveksleren. Oppgave 4 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 24. mai 2011.

20 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 07. august 2015 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, HIT-eksamen 06. juni Oppgave 2 Se oppgave 2, HIT-eksamen 07. juni Oppgave 3 Se oppgave 3, HIT-eksamen 07. juni Oppgave 4 Se oppgave 3, NTNU-eksamen 24. mai 2011.

21 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 28. mai 2015 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgavesettet inneholder også enkelte oppgaver som gir bonuspoeng (angitt som for eksempel ++5p). For å løse disse må du ha løst de andre oppgavene først. Bruk ikke tiden din her med mindre du er trygg på at du får utelling for innsatsen. Du trenger ikke løse disse ekstraoppgavene for å oppnå 100 poeng til eksamen. Oppgave 1 5p a) Utled totalt differensial av G(T, p, n). Ta utgangspunkt i et generelt, matematisk uttrykk og innfør de definisjoner/symboler som normalt brukes i termodynamikken. Vær nøye med symbolbruken. 6p b) I hvilken grad endres dg dersom temperaturen og volumet holdes konstant? Forklar med dette overgangen fra totalt differensial dg til det partielle differensialet (dg) T,V. 5p c) Det partielle differensialet (da) T,V er nært beslektet med det ovenstående. Gi en fysikalsk forklaring på forskjeller og likheter mellom (dg) T,V og (da) T,V.

22 Side 2 av 5 Oppgave 2 En brusflaske med volum V tot = 1.5 dm 3 er fylt med V lıq = 1 dm 3 vann og resten luft. Væsken (vannet) har konstant tetthetρ=1 kg dm -3. Luften er tilnærmet ideell gass med initiell tilstand T= 10 C og p=11 bar. Trykket i omgivelsene er p = 1 atm. En prinsippskisse av oppsettet er vist nedenfor. De stiplede rektanglene viser to forskjellige valg av kontrollvolum for flasken. p, V gas V lıq p υ max Oppgaven er å bestemme tilstanden til systemet ved varierende mengde av væske i flasken. Det vil ikke bli stilt spørsmål om hva som skjer når flasken er tom for væske og gassen begynner å strømme ut. 5p a) Forskjellen i trykk fra innsiden av flasken til atmosfæren på utsiden skyver væsken ut i friluft. Bruk det innerste kontrollvolumet til å sette opp en energibalanse for denne prosessen. Anta at trykket og temperaturen i gassen ikke er påvirket av (ut)strømningen. Vis at det totale arbeidet som gassen utøver på væsken er W 1100 J. I figuren er litt av væsken på utsiden av kontrollvolumet. Ignorer dette og anta at alt er på innsiden ved t=0. 5p b) Bernoullis likning gir en god tilstandsbeskrivelse av væsken som strømmer ut av flasken. Regn utυ max i det trangeste tverrsnittet for strømningen, som ifølge figuren er ved utløpet av flasken. 6p c) Sett opp en energibalanse for det ytterste kontrollvolumet og vis at resultatet for W blir det samme som i punkt a). 6p d) Arbeidet som blir tilført væsken må tas fra den indre energien til gassen og den opprinnelige antagelsen om konstant temperatur og trykk kan umulig være helt korrekt. Tiden er inne for å avgjøre hvor god eller dårlig denne antagelsen er. Bruk én av energibalansene ovenfor til å regne ut et estimat for temperaturfallet i gassen. Kommenter svaret.

23 Side 3 av 5 6p e) I et virkelig forsøk vil gassen ekspandere så hurtig at entropien ikke rekker å endre seg nevneverdig før flasken er gått tom for væske. Regn ut W basert på denne (nye) antagelsen. Følgende to formler er gitt: W ıg S = NRT [ 1 1 γ 1 ( ) V 1 γ ] [ 2 V 1, W ıg S = γ NRT ınn 1 γ 1 ( ] )γ 1 p ut γ p ınn ++5p f) En fullstendig utledning av den (korrekte) isentropiske formelen i punkt e) gir bonuspoeng. Ikke svar på denne oppgaven dersom du er usikker på fremgangsmåten. Oppgave 3 Residual Helmholtz energi til en ren gass, uttrykt som funksjon av temperatur, volum og antall mol av gassen, er for anledningen gitt ved A r,v (T, V, N)=NRT(bρ+ 1 2 cρ2 ) der ρ ˆ= N/V. I oppgavene nedenfor skal du bruke denne funksjonen til å bestemme andre tilstandsfunksjoner som for eksempel trykk og indre energi for gassen. 6p a) Hvilket residualtrykk p r,v (T, V, N) gir opphav til Helmholtz-residualet ovenfor? 6p b) Vis hvordan du kan bestemme U r,v fra A r,v. Bruk samme notasjon og samme fri variable som i oppgaveteksten. 8p c) Vi skal nå fokusere på beskrivelsen av den virkelige tilstanden til gassen. Regn ut p og U for gassen ved T= 128 K, V= m 3 og N= 7 mol. Koeffisientene b og c har verdiene: b [cm 3 mol -1 ] = ( ) T -1 [K] ( T ( ) T -3 [K] ( T c [cm 6 mol -2 ] = 0 ) -2 [K] ) -4 Varmekapasiteten til gassen er konstant c v = 30 J mol -1 K -1. Referansepunktet for den indre energien til gassen (i ideell tilstand) settes til U ıg = 0 ved T= 0 K. Hvis du ikke har svart på de to foregående oppgavene skal du bruke funksjonene p r,v = brtρ 2 U r,v = b NRT 2 ρ som utgangspunkt for beregningene. Det er underforstått at b ˆ= ( b/ T). [K]

24 Side 4 av 5 8p d) For å kunne løse det motsatte problemet, det vil si bestemme T og V som funksjoner av p og U ved konstant N, må vi ty til iterasjon. Sett opp likningene for Newton Raphsoniterasjon gitt at problemet er skrevet på formen p(t, V, N)= p U(T, V, N)=U hvor p og U er (konstante) spesifikasjoner. Merk: siden N er konstant kan vi velge å iterere med hensyn på ρ istedenfor V. Dette valget forenkler beregningen av de partiellderiverte, men det er også mulig å bruke V som fri variabel. Det viktigste er at likningssettet er klappet og klart for numerisk løsning hvilket innebærer at det må være komplett, løsbart og skrevet på matriseform. ++5p e) Iterasjon av Newton Raphson-likningene gir bonuspoeng. Det er tilstrekkelig med 3 iterasjoner. Rapporter svaret med minst 5 gjeldende siffer. Bruk startverdiene T (0) = K ogρ (0) = 1 mol m -3. Ikke svar på denne oppgaven dersom du er usikker på gjennomføringen. Oppgave 4 Et termodynamisk likevektssystem består av følgende kjemiske forbindelser: N 2, NH 3, H 2 O, N 2 O, NO, NO 2, N 2 O 4. 4p a) Sett opp forekomstmatrisen A (også kalt atommatrisen) for denne blandingen. Vis at A R C N der C er antallet atomer i systemet og N er antallet forbindelser. 6p b) Bruk Gauss-eliminasjon av radene i A til å bestemme nullrommet N slik at AN= 0. Av dette skal du utlede et sett av uavhengige kjemiske reaksjoner for blandingen. Skriv det endelige svaret klart og tydelig ved hjelp av kjemiske formler. Unngå unødig omregning av koeffisientene (det gjør sensuren tidkrevende). Merk: Utfallet av Gausseliminasjonen avhenger av rekkefølgen til forbindelsene. Bruk den rekkefølgen som er angitt i oppgaveteksten. 4p c) Skriv ned de likevektslikningene som du mener gjelder for blandingen. Det trengs ingen utledning her. Det skjer i neste oppgave. Anta at temperaturen, volumet og den totale sammensetningen av systemet er kjent. 6p d) Gjør et forsøk på å utlede de likningene som du skrev ned i den forrige oppgaven. Jo flere detaljer i utledningen desto bedre inntil et visst punkt selvfølgelig.

25 Side 5 av 5 8p e) Du får til sist vite at blandingen er en ideell gassblanding og at likevektstilstanden er blitt beregnet til: T [1000 K] = 3, V [cm 3 ] = 2.212, n [mol] = Legg nøye merke til enhetene! Du skal avgjøre om dette er en mulig likevektstilstand. Nødvendige termodynamiske data finner du i vedlegget. For å løse denne oppgaven må du verifisere at likevektskriteriene er innfridd. Dette krever et argument av typen 0 0, men avrundingseffekter gjør at du ikke kan teste et slikt uttrykk helt ukritisk. Et visst skjønn er påkrevd. Gjør kort rede for argumentene dine. Bruk R= J mol -1 K -1.

26 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 4 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 05. august 2014 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 04. juni Oppgave 2 5p a) Sett opp en generell energibalanse for et fysisk objekt (ikke et fluidelement) som tar hensyn til systemets hastighet og posisjon i tyngdefeltet. Den indre energien til systemet er konstant under forflytningen. 5p b) Bruk energibalansen i forrige oppgave til å regne ut tapet i den potensielle energien til en bil som triller av egen tyngde i en jevn utforbakke med 4% helning. Bilens masse er 1500 kg og den triller med en stasjonær hastighet lik 90 km h -1. Angi svaret som P [kw]. Merk: 4% helning innebærer at høydeendringen utgjør 4 m per 100 m tilbakelagt vei (slik den er registrert av fartsmåleren). Tyngdens akselerasjon g= m s -2.

27 Side 2 av 4 5p c) Tapet av den potensielle energien går i sin helhet med til å overvinne luft- og rullemotstanden til bilen. I sum utgjør disse friksjonsleddene P [kw]=cυ 2 hvor C er friksjonskoeffisienten (antatt konstant) og υ er hastigheten til bilen. Hva blir effektbehovet ved kjøring på flat vei (0% helning) i 80 km h -1? 7p d) Bensinforbruket ved kjøring på flat vei i 80 km h -1 er målt til 6 liter h -1. Den mekaniske effekten som trengs for å holde jevn fart er den samme som i oppgave c). Bruk verdien P=12 kw dersom du ikke har svart på dette spørsmålet. Regn ut den totale (effektive) virkningsgraden til motor og drivverk ved disse kjørebetingelsene. Bruk nedre brennverdi (vann i dampform) som referanse for energiforbruket. Bensin kan regnes som ren n-c 8 H 18. Fysikalske verdier fra SI Chemical Data er gjengitt i tabellen nedenfor. Egenskap Verdi Kommentar v H 43 kj mol -1 Fordampning av H 2 O c H 5464 kj mol -1 Forbrenning av n-c 8 H 18 (vann i væskeform) ρ g cm -3 Væske M w g mol -1 5p e) Den termodynamiske virkningsgraden til bilmotoren, som ideelt sett er en rektangulær syklus i S, V-koordinater det vil si en Otto-syklus, kan skrives somη ıg Otto = (T h T c )/T h. Gi en fysikalsk forklaring på symbolene i denne likningen. Forklar med utgangspunkt i arbeids- og varmeintegralene til syklusen. 6p f) Den termodynamiske virkningsgraden kan også skrives somη ıg Otto = 1 (V 2/V 1 ) (1 γ). For den aktuelle motoren er kompresjonsforholdet 10 : 1. Dette er et annet enn i figuren. Regn ut den termodynamiske virkningsgraden til motoren basert på antagelsen om ideell gass. Bruk fysikalske data for luft. Oppgave 3 Vi skal i denne oppgaven gjøre noen enkle likevektsbetraktninger av etanol og luft i blanding. Utgangspunktet er flytende etanol som blir oppbevart i en lukket beholder med luft tilstede. Likevektskonsentrasjonen av etanol i luften (og ditto for luft i etanolen) blir da (kun) en funksjon av temperaturen. Det samme gjelder likevektstrykket i beholderen. 7p a) Gi en termodynamisk utledning av kriteriene for damp væskelikevekten i beholderen. Luften kan oppfattes som én kjemisk komponent i dette tilfellet, det vil si at vi ser bort fra en mulig separasjon av nitrogen og oksygen. Du kan gå ut ifra at total Helmholtz energi for systemet er minimert ved likevekt.

28 Side 3 av 4 5p b) Ved å innføre et par fysikalske forenklinger kan likevektslikningene i oppgave a) skrives på formen: N vap C p 2 H 5 OH N vap C 2 H 5 OH + = p sat Nvap C 2 H 5 OH (T) luft hvor: p= (Nvap C 2 H 5 OH + Nvap)RT luft V v lıq C 2 H 5 OH Nlıq C 2 H 5 OH Hvilken tilleggsinformasjon i form av spesifikasjoner og ekstra likninger må være kjent for at du skal kunne løse likevektsproblemet på den oppgitte formen? 6p c) Utled et Newton Raphson iterasjonsskjema som gjør det mulig å finne en numerisk løsning på likevektsproblemet i oppgave b). Temperaturen T forutsettes kjent. 7p d) Nedre og øvre flammepunkt for etanol i luft er henholdsvis 3.3 og 19 volumprosent ved 1 bar totaltrykk. Med 19 volumprosent etanol er det et kraftig oksygenunderskudd i systemet og det vil dannes en lang rekke av reaksjonsprodukter ikke bare H 2 O og CO 2. Men, la oss anta at forbrenningen foregår slik at den favoriserer dannelsen av CO, H 2 O, H 2 og CO 2 i nevnte rekkefølge. Bruk denne regelen til å sette opp en balansert reaksjonslikning for forbrenningen. Anta at luften består av 21 volumprosent O 2 og 79 volumprosent N 2. Beregn deretter den adiabatiske temperaturstigningen på basis av den foreslåtte reaksjonslikningen. Reaksjonsproduktene har en effektiv varmekapasitet lik 1 kj kg -1 K -1. Entalpiverdier finner du i SI Chemical Data. Oppgave 4 I et forskningsarbeide fra er det foreslått å bruke Tumlirz tilstandslikning for å beskrive p, v, T-egenskapene til vann og sjøvann: v [cm 3 g -1 ] = V K 1 S+ λ P + K 2 S+ p [bar] I den foreslåtte likningen er V ogλtemperaturavhengige parametre, mens K 1 og K 2 er parametre med konstante verdier. Vi trenger ikke å kjenne noen av parameterverdiene for å løse oppgavene som er gitt nedenfor. S [g kg -1 ] er saltinnholdet i [g] salt per [kg] løsning. Vi skal anta at saltet er ren NaCl. Det betyr at væsken er en binær blanding av H 2 O og NaCl. Med andre ord: hvis S har en gitt verdi så er konsentrasjonene (molbrøkene) av H 2 O og NaCl også bestemt. Et matematisk uttrykk for saltinnholdet er: S 1000 ˆ= M NaCl M H2 O+M NaCl = M w,2 N 2 M w,1 N 1 + M w,2 N 2 = M w,2 x 2 M w,1 x 1 + M w,2 x 2 For å rydde all tvil til side: konstant S innebærer konstant x ˆ= ( x 1 x 2 ). 1 F. H. Fisher and O. E. Dial, Jr., Equation of State of Pure Water and Sea Water, Marine Phys. Lab. Scripps Inst. Oceanography, Univ. of California, San Diego, Report No. SIO Reference (1975).

29 Side 4 av 4 6p a) Bruk Tumlirz likning til å finne et analytisk uttrykk for spesifikk Gibbs energi definert som g ˆ= g(t, p, S ) g(t, 0, S ). Hint: ( g/ p) T,S = v. 5p b) Bruk resultatet ovenfor til å bestemme G ˆ= G(T, p, S, N) G(T, 0, S, N) hvor N er totalt antall mol for blandingen. Hvis du ikke har gjort den siste oppgaven skal du forklare hvordan man i prinsippet kan bestemme G fra et kjent uttrykk for g. 6p c) Finn et uttrykk for det kjemiske potensialet µ H2 O ˆ=µ H2 O(T, p, S ) µ H2 O(T, 0, S ). 5p d) Størrelsen ( µ H2 O/ p) T,p,S kan uttrykkes på en alternativ måte ved hjelp av en Maxwellrelasjon. Hvilken? Finn et matematisk uttrykk for denne størrelsen innsatt for Tumlirz likning.

30 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 07. juni 2014 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser. Oppgavesettet inneholder også enkelte oppgaver som gir bonuspoeng (angitt med et dobbelt pluss-tegn i margen; for eksempel + + 5p). Jeg anbefaler at du løser disse oppgavene sist. Merk: du trenger ikke å ha løst noen av dem for å oppnå 100 poeng til eksamen. Oppgave 1 5p a) Finn minst 3 feil i differensialene: (dh) n = T ds+ p dv ds = C V T dt ( V T ) p,n (dv) n = p -1 du+p -1 T -1 ds dp i ( ) µi dn i T p,n 7p b) For systemer med kun én kjemisk komponent gjelder du = T ds p dv. Vis at denne formelen er korrekt. Bruk funksjonen U(S, V, N) som utgangspunkt. Merk definisjonene u ˆ= U/N, s ˆ= S/N og v ˆ= V/N.

31 Side 2 av 5 5p c) Du har i forelesningene lært at Gibbs energi er en Euler-homogen funksjon av grad én i sammensetningsvariablene N i for systemet. Vis at dette gir opphav til ( 2 G/ N N) T,p = 0. Forsøk deg ikke på et generelt argument, men bruk ideell gass med kun én kjemisk komponent som eksempel. Hint:µ ıg i =µ i+ RT ln[n i RT/(p V)]. ++5p d) Det tilsvarende kriteriet for en multikomponent blanding er ( 2 G/ N i N j ) T,p =0. Det vil si at determinanten til Hesse-matrisen av Gibbs energi er null. Vis at formelen i det minste gjelder for ideell gass. Du kan komme til å trenge argumenter hentet fra lineær algebra. Oppgave 2 Du skal i denne oppgaven beregne utløpstilstanden til en ikke-ideell turbin ved iterasjon basert på direkte substitusjon. Du vil også bli bedt om å utlede likningene for Newton Raphson iterasjon. Utløpsbetingelsene er: p ut = p = 1 bar og s ut = 1.15s ınn hvor s ınn er den molare entropien til innløpsstrømmen: Q=0 p ınn, S ınn p ut, S ut W s Den termodynamiske tilstanden i innløpet til turbinen er spesifisert ved temperaturen T= 700 K og det molare volumet v=5b. Parameteren b refererer til hardkulevolumet i Van der Waals tilstandslikning. Følgende er oppgitt: p= NRT V Nb N2 a ( V, S r,v V ) = NR ln 2 V Nb, H r,v = NRT Nb (V Nb) 2aN2 V. Andre likninger som du trenger for å løse oppgaven må du utlede selv. Parametrene i tilstandslikningen har verdiene: a=0.55 J m 3 mol -2 og b= m 3 mol -1. Verdien til gasskonstanten er: R= J mol -1 K -1. 7p a) For å tydeliggjøre problemets art er det i oppgaveteksten angitt tre relasjoner for beregning av henholdsvis: p, S r,v og H r,v. I hvilken grad er disse størrelsene matematisk uavhengige, eller sagt på en annen måte: er formlene uavhengige, eller er de relatert slik at det ene uttrykket fører til de andre to (eventuelt motsatt)? 10p b) Regn ut den molare entropien til gassen i innløpet til turbinen. Som tilleggsinformasjon blir du fortalt at: s ıg = J mol -1 K -1 og c ıg p = 29.1 J mol-1 K -1, målt i referansetilstanden T = K og p = 1 bar.

32 Side 3 av 5 10p c) Vi skal nå løse likningene for trykk og entropi som bestemmer tilstanden i utløpet av turbinen. For å løse dette problemet må du egentlig invertere p VdW (v) til v VdW (p), men dette kompliserer beregningen i betydelig grad. Du skal derfor bruke ideell gass tilnærming av v -2 -leddet i Van der Waals likning. Dette impliserer ikke at gassen i utløpet er en ideell gass det er kun leddet a/v 2 ap 2 /(RT) 2 som du kan approksimere på denne måten. Approksimasjonen resulterer i én likning med én ukjent. Hvilken likning? Løs likningen ved hjelp av direkte substitusjon. Benytt startverdien T (0) = 700 K. 5p d) For å kunne linearisere utløpstilstanden til turbinen må du ha kjennskap til alle de partiellderiverte av s, p med hensyn på T, v, nemlig: ( ) s s s p J ˆ= ( T v )= T v p p T v Innsatt for Van der Waals likning (gitt i oppgaveteksten) blir denne matrisen symmetrisk. Er dette en generell egenskap for problemer av denne typen, eller avhenger resultatet av tilstandslikningen? Kan du isåfall forklare hvorfor? 7p ++5p e) Still deretter opp et iterasjonsskjema som gjør det mulig å bestemme den hele og fulle utløpstilstanden ved hjelp av Newton Raphson-iterasjon. Skjemaet skal være komplett og det skal ha alle beregningsdetaljer på plass. f) Beregn utløpstilstanden i oppgave c) én gang til. Anvend Newton Raphson-algoritmen som du utledet i oppgave e). Bruk startverdiene T (0) = K og v (0) = RT (0) /p. Utfør 2 3 iterasjoner. Det er tilstrekkelig. Oppgave 3 5p a) Hva kan du si om begrepene entropibalanse og entropiproduksjon, sammenliknet med de nærliggende begrepene energibalanse og energiproduksjon? 10p b) Sett opp en energibalanse for turbinen i oppgave 2. Regn deretter ut akselarbeidet [J mol -1 ] som turbinen leverer forutsatt adiabatiske forhold, null hastighetsendring for gassen og uendret høydepotensial. Dersom du ikke har svart på oppgave 2c) skal du anta at utløpstemperaturen er K og at gassen på utløpssiden er en ideell gass.

33 Side 4 av 5 5p c) Vi kan uttrykke entropibalansen til turbinen ved å gjøre rede for varme- og arbeidsleddene og deretter kombinere disse med de tilhørende masse- og energibalansene. Bruk denne balanselikningen, slik den er gjengitt nedenfor, til å beregne termodynamisk tapt arbeid [J mol -1 ] (eng. lost work) for turbinen. T S ırr = ( H T S µ N) ınn ( H T S µ N) ut ( + 1 T ) Q T W s Oppgave 4 7p a) Den generelle formuleringen av termodynamisk likevekt mellom to vilkårlige faserα ogβer: T α = T β p α = p β µ α i =µ β i Anvendt på damp væskelikevekter (spesielt vanlig i kjemiteknisk litteratur) blir kriteriet omskrevet til y i = K i x i hvor y i og x i er molbrøkene til komponent i målt i henholdsvis damp- og væskefase. Forklar sammenhengen mellom de to ulike kriteriene under forutsetning av at formuleringene er likeverdige. Anta at både damp- og væskefase lar seg beskrive ved hjelp av én og samme tilstandslikning. 5p b) En praktisk forenkling av faselikevektskriteriet y i = K i x i følger som et resultat av Raoults lov: y i = psat i p x i Gjør rede for de fysikalske forutsetningene som ligger til grunn for denne enkle lovmessigheten. Bruk utgangspunktet: y i ϕ i (T, p, y)p= x i γ i (T, p, x)ϕ sat i (T)p sat i (T) exp p p sat i v i (T,π) dπ RT Bestem til slutt et analytisk uttrykk for p forutsatt at væskesammensetningen er kjent.

34 Side 5 av 5 5p c) Ved interpolasjon av tabulerte damptrykk får man et mer presist resultat ved å anta ln(p)= f 1 (1/T) enn ved å anta ln(p)= f 2 (T) eller p= f 3 (T). Gi en teoretisk forklaring på denne observasjonen. 7p d) Nedre og øvre flammepunkt for etanol i luft er henholdsvis 3.3 og 19 volum prosent ved 1 bar totaltrykk. Innenfor disse grensene er etanol luft brannfarlig. I områdene utenfor vil ikke blandingen kunne antennes. Bruk Clausius Clapeyrons likning til å finne det brannfarlige temperaturområdet for etanol som er i kontakt med luft. Du kan anta likevekt mellom etanol i flytende fase og dampfase. Løseligheten av luft i flytende etanol er neglisjerbar. Gjør rede for alle andre antagelser som er nødvendige for å løse oppgaven. Clausius Clapeyrons likning: ( ) dln p = vh R Fysikalske data for etanol er gitt i tabellen nedenfor: d 1 T eq Egenskap Verdi Tilstand T sat K Pa v h kj mol K, Pa

35 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 08. august 2013 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, NTNU-eksamen 20. august I tillegg kommer ett ekstra punkt gitt nedenfor: 5p c) Vis at: G r,p = A r,v NRT ln(z)+nrt(z 1) hvor z= pv/(nrt). Regn ut G r,p gitt de samme betingelsene som i oppgave 1 ovenfor. Oppgave 2 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 20. august Oppgave 3 Se oppgave 3, NTNU-eksamen 25. mai Oppgave 4 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 16. august I tillegg kommer ett ekstra punkt gitt nedenfor:

36 Side 2 av 2 4p d) Hvordan endres problemstillingen dersom antagelsene om: ideell gass, fullstendig forbrenning og konstant c p,i for hver av komponentene ikke holder? Spesifiser et (fritt valgt) sett av fri variable og et tilhørende sett av likninger som må løses, eller foreligge eksplisitt, i det generelle tilfellet.

37 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 08. juni 2013 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Du får oppgitt 3 funksjoner: f= (x+y) ln ( ) x g=ln y ( ) x y + x+y x h= 1 y + 1 x 4p a) Hvilke(n) av disse funksjonene kan sies å være Euler-homogene funksjoner? Gi en matematisk begrunnelse. 2p b) Vær nøye med å angi homogenitetsgraden k Z for hver av funksjonene du fant i punkt a). 4p c) Én av funksjonene f, g, h kan uttrykkes som F= i ( F/ X i ) X i. Hvilken? Gi minst to eksempler fra termodynamikken hvor denne formelen kommer til anvendelse.

38 Side 2 av 3 ++5p d) Euler-homogene funksjoner av grad én er også kjent som ekstensive størrelser i termodynamikken. Skriv ned minst 10 eksempler! Riktig svar gir+ 1 2 poeng, galt svar gir 1 2 poeng. 3p e) Gi et eksempel på en termodynamisk funksjon som er homogen av -1. orden. Bruk ideell gasslov til å verifisere at svaret er rett. Oppgave 2 Se oppgave 3, HiT-eksamen 14. juni Oppgave 3 Det mekaniske arbeidet forbundet med isentropisk kompresjon av en ideell gass kan skrives på to forskjellige måter avhengig av om vi betrakter et lukket eller et åpent system: Lukket system: W ıg S = NRT [ 1 γ 1 ( ) V γ 1 ] 1 V 2 Åpent system: W ıg S = NRT ınn γ γ 1 [ 1 ( ) ] p γ 1 ut γ p ınn 5p a) Vis først og fremst at den isentropiske tilstandsendringen til en ideell gass er beskrevet av (V 1 /V 2 ) S = (p 2 /p 1 ) 1/γ. Merk: du kan komme til å trenge denne informasjonen senere i oppgaven. ++5p b) Uttrykkene for W ıg S og W ıg S gir forskjellige tallsvar selv om de tar utgangspunkt i den samme start- og sluttilstanden. Argumenter hvorfor dette er tilfelle. Du får bonuspoeng hvis du klarer å sette opp et regnestykke som forklarer forskjellen. 5p c) M 4 M 1 M 5 α M2 M3 W ınn I et virkelig kompressoranlegg blir litt av utløpsstrømmen fra kompressoren resirkulert slik tegningen viser. La oss anta at en konstant fraksjon α av gasstrømmen blir resirkulert. Massebalansen til kompressoren tar da formen: Eliminerer M 4 og M 5 : M 4 =α M 2 M 1 + M 4 = M 5 M 2 = M 5 M 1 +α M 2 = M 2 M 2 = M 1 1 α Sett opp en tilhørende energibalanse for kompressorenheten. Vis at den leder frem til resultatet: h 2 = h 1 + w ınn /(1 α).

39 Side 3 av 3 ++5p d) I praksis må ikke resirkulasjonen bli for stor. Kompressoren vil åpenbart kunne akkumulere mekanisk energi helt til den brenner opp dersom α 1. Finn største α som gir en endelig utløpstemperatur når p ut /p ınn = 10. Anta ideell gass med konstant varmekapasitet c ıg p = 7 R. Du vil også kunne få bruk for T 2 5=αT 4 + (1 α)t 1. Du får bonuspoeng hvis du velger å utlede denne formelen selv. Oppgave 4 Se oppgave 3, HiT-eksamen 14. januar 1998.

40 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 1 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 09. august 2012 Tidspunkt: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, HiT-eksamen 5. juni Oppgave 2 Se oppgave 2, HiT-eksamen 5. juni Oppgave 3 Se oppgave 3, HiT-eksamen 5. juni Oppgave 4 Se oppgave 4, HiT-eksamen 5. juni 1998.

41 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for kjemisk prosessteknologi Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Tore Haug-Warberg ( ) Bokmål EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175) 21. mai 2012 Tidspunkt: 15:00 19:00 Hjelpemidler: Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside Sensur: Senest 3 uker etter eksamen I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgave 1 Se oppgave 1, HiT-eksamen 5. juni Oppgave 2 5p a) Lufttrykket i atmosfæren synker med tiltagende høyde i henhold til den hydrostatiske trykkgradienten dp/dz= ρg hvorρ [kg m -3 ] er massetettheten til luften og g= m s -2 er tyngdens akselerasjon. I klarvær og ved rolige vindforhold vil temperaturen i troposfæren (de første 50 km av atmosfæren) også synke med tiltagende høyde som følge av at luften undergår en adiabatisk (og isentropisk) ekspansjon idet den stiger fra lavere til høyere luftlag. Regn ut temperaturfallet dt/ dz [K m -1 ] i troposfæren gitt: c p,luft=29 J mol -1 K -1, samt den adiabatiske relasjonen: ( ) ıg ln T = γ 1 ln p s γ Hint: som du kanskje vet fra før så er svaret i nærheten av 0.01 K m -1.

42 Side 2 av 3 z 5p b) Figuren ovenfor viser et fotografi av Kilimanjaro, også kjent som Afrikas tak, i nordøstre Tanzania. Det laveste punktet i landskapet er z 1300 m. o. h. Lufttemperaturen på dette punktet er 30 C. Anslå høyden z [m. o. h.] til toppen av fjellet når du får vite at trykk temperaturprofilen til atmosfæren følger den isentropiske tilstandsbeskrivelsen i punkt a). Hint: beregn snøgrensen først. Merk: de neste to spørsmålene er uavhengige av både punkt a) og punkt b). I de to foregående deloppgavene er det gjort noen betraktninger som forutsetter at luft er en tørr gass. I virkeligheten er atmosfæren mer kompleks enn som så, spesielt med tanke på vanndamp som kan kondensere til regn. Du skal i denne oppgaven redegjøre for den ikke-ideelle blandingen av luft (forenklet til nitrogen) og vanndamp. Den nevnte luftblandingen er godt beskrevet av 2. virialkoeffisientene B i, j [cm 3 mol -1 ] målt ved K: V 2.vır = NRT + B p NB= N i N j B i, j B H2 O,H 2 O= 1299 B H2 O,N 2 = 47.2 B N2,H 2 O= 47.2 B N2,N 2 = 10.3 i j 8p c) Finn et uttrykk forµ r,p,2.vır 1 = ( G r,p,2.vır / N 1 ) T,p,N2 basert på informasjonen gitt ovenfor. Skriv uttrykket som en funksjon av p, x 1 og x 2 (molbrøker). Hint: det er enklere å gjøre utledningene i moltall og så konvertere til molbrøk enn motsatt.