Forelesningsplan. Filtrering i bildedomenet. Filtrering. INF2310 Digital bildebehandling FORELESNING 6 FILTRERING I BILDEDOMENET I.

Transkript

1 Forelesningspln INF30 Digitl bildebehndling FORELESNING 6 FILTRERING I BILDEDOMENET I Andres Kleppe Nboskps-opersjoner Konvolusjon og korrelsjon Lvpssfiltrering og knt-bevring G&W:.6., 3., , deler v 5.3 og «Mtching by correltion» i. F INF Jnur Introduksjon Fritz/Andres Smpling og kvntisering Fritz Februr Geometriske opersjoner Fritz Gråtonempping Fritz Histogrmbserte opersjoner Fritz Nboskps-opersjoner I Andres Mrs Nboskps-opersjoner II Andres Midtveis-repetisjon Fritz/Andres Midtveis-eksmen, Påske, ingen forelesning April Påske, ingen forelesning Fourier I Andres Fourier II Andres Kompresjon og koding I Andres Mi Kompresjon og koding II Andres Segmentering Fritz Morfologi Andres Frgerom og frgebilder Fritz Repetisjon Fritz/Andres Juni Eksmen, (4 timer) F INF30 Filtrering Vi skl se på filtrering i bildedomenet (eng.: sptil domin). Etter påske tr vi filtrering i (det diskrete) Fourier-domenet. Bildedomenet: Domenet der et digitl bilde er representert som en mtrise v piksler. Eksempel: Filtrering i bildedomenet Anvendelsen v en opertor som beregner ut-bildets verdi i hvert piksel ( ved bruk v inn-bildets piksler i et nboskp rundt (. Ut-bilde g( T ( f ( ) Opertor Inn-bilde g( ngir ut-bildets verdi i ( og f( ngir inn-bildets piksler i et nboskp rundt ( 3 3,7,9,7, Filtrering 3,,9,4, F INF Et inn-bilde f (3x3-middelverdifilter, speilende indeksering og bevrt bildestørrelse) 3,3 3,0 3,0 3,3,6,,9 3,7 Ut-bildet g F INF30 4

2 Bruksområder Generelt verktøy for behndling v digitle bilder. Av de mest brukte opersjonene i bildebehndling. Nboskp: Definisjon Filterets nboskp (eng.: neighbourhood) ngir pikslene rundt ( i inn-bildet som opertoren (potensiel benytter. Også klt omegn og omgivelse. Brukes ofte som et ledd i bl..: Bildeforbedring Bildenlyse (spesielt i pre-prosesseringen) Deteksjon v linjer og ndre spesielle strukturer til bl.. å: Fjerne/redusere støy «Forbedre» skrpheten Detektere knter Eksempel: Et sentrert 3x3-nboskp rundt ( og (x+,y+4): ( (x+, y+4) F INF30 5 F INF30 6 Nboskp: I prksis Kvdrter/rektngler er mest vnlig. Av symmetrihensyn er bredden/høyden oftest odde. D er nboskpets senterpunkt i et piksel. Når nnet ikke er spesifisert så er senterpunktet nboskpets origo. Spesiltilfelle: Nboskpet er : T er d en gråtonetrnsform; ny pikselverdi vhenger bre v den gmle pikselverdien i smme pikselposisjon (. Hvis T er lik over hele bildet, hr vi en globl opertor. Hvis nboskpet er større enn, hr vi en lokl opertor (selv om T er posisjons-invrin. Filtreringen klles d en nboskps-opersjon (eng. neighbourhood processing technique). F INF30 7 Nboskp + Opertor = Filter Nboskp: Angir de pikslene rundt ( i inn-bildet som T opererer på. Opertor: Også klt trnsform og lgoritme. Opererer på pikslene i et nboskp. Romlig filter: Nboskp + Opertor Også klt mske, kjerne og bre filter. og vindu, men vi vil bre bruker det om et (muligens ikke-rektngulær delbilde. Mnge filtre kn representeres som en mtrise v vekter eller koeffisienter. 3x3-nboskp /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 3x3-middelverdifilter: Gltter/utsmører/«blurrer» inn-bildet F INF30 8

3 Filter-egenskp: Additivt? Filter-egenskp: Homogent? T ( f( f( ) T ( f( ) T ( f ( ) T ( f ( ) T ( f ( ) T er opertoren f og f er vilkårlige bilder ( er et vilkårlig piksel Hv betyr dette: Hvis vi skl ddere to filtrerte bilder? f ( + f ( ngir bildet f + f sine piksler i et nboskp rundt ( og burde derfor strengt ttt vært skrevet (f + f )( T er opertoren er en vilkårlig konstnt f er et vilkårlig bilde ( er et vilkårlig piksel Hv betyr dette: Hvis vi sklerer et bilde før filtrering? F INF30 9 F INF30 0 Filter-egenskp: Lineært? Filter-egenskp: Posisjons-invrins? T ( f( bf( ) T ( f( ) bt ( f ( ) T er opertoren og b er vilkårlige konstnter f og f er vilkårlige bilder ( er et vilkårlig piksel Additiv + Homogen = Lineær F INF30 T ( f ( x l, y m)) g( x l, y m) T er opertoren f er et vilkårlig bilde ( er et vilkårlig piksel g( = T(f() for lle ( (l,m) er et vilkårlig posisjons-skift Opertoren bruker ikke pikselposisjonene. Ut-bildets verdi i ( vhenger kun v inn-bildets verdier i nboskpet rundt (, ikke v posisjonene. F INF30

4 D-konvolusjon Konvolusjon v et D-filter h og et D-bilde f: ( h f )( x) h( s) f ( x s) s evluert for lle x slik t hver verdi v h overlpper hver verdi v f. Konvolusjon er ltså en lineær filtrering. g( x) T ( f ( x)) ( h f )( x) Også posisjons-invrint og uten konstntledd. h kn spesifiseres som en tbell! En slik tbell kller vi et konvolusjonsfilter. For å forenkle notsjonen, ntr denne formelen t: h hr odde lengde, m = +. Senterpunktet er nboskpets origo. Konvolusjon krever ikke disse ntgelsene. /3 /3 /3 3-middelverdifilter F INF30 3 D-konvolusjons-eksempel Oppgve: Beregn konvolusjonen v følgende D-filter h og D-bilde f: h = [ 3] Indeks for h: - 0. Speile bildet f. f = [ 6 4 5]. Føre det speilvendte D-bildet f over h. Indeks for f: 0 3. For hver posisjon x med overlpp i minst ett piksel, beregn g(x) som summen v produktene v de overlppende pikslene. Løsning: D-konvolusjon: g ( x) h( s) f ( x s) uttrykt med ord s ngir multipliksjon. g(-) = h(-)f(--(-)) + h(0)f(--0) + h()f(--) = h(-)f(0) + h(0)f(-) + h()f(-) = 6 + f(-) + f(-) = 6 g(0) = h(-)f() + h(0)f(0) + h()f(-) = f(-) = 6 g() = h(-)f() + h(0)f() + h()f(0) = = 3 g() = h(-)f(3) + h(0)f() + h()f() = f(3) = g(3) = h(-)f(4) + h(0)f(3) + h()f() = 3 f(4) + f(3) = 5 Altså er ut-bildet g = [ ] Indeks for g: f(-), f(-), f(3) og f(4) er ikke definert, vi ntr her t de er 0. F INF30 4 Beregningsformel for D-konvolusjon Merk t: ( h f )( x) s h( ) f ( x ( )) h( ) f ( x ( ) h( ) f ( x ) h( ) f ( x ) x sx h( s) f ( x s) h( x s) f ( s) Den siste formen brukes normlt for utregning. Tilsvrer å speile filteret i stedet for D-bildet og føre filteret over bildet (i stedet for føre D-bildet over filtere. F INF30 5 Utregning v D-konvolusjon s x For å regne ut resulttet v en konvolusjon for posisjon x (klt responsen i x):. Speilvend konvolusjonsfilteret og legg den over D-bildet slik t konvolusjonsfilteret origo overlpper posisjon x i D-bildet.. Multipliser hver vekt i det speilede konvolusjonsfilteret med underliggende pikselverdi. 3. Summen v produktene gir verdien for g(x) i posisjon x. For å regne ut responsen i lle posisjoner: Flytt konvolusjonsfilteret over D-bildet og beregn responsen for hver posisjon med overlpp. Merk: Vi trenger ikke speilvende symmetriske konvolusjonsfiltre. F INF30 6 g ( x) h( s) f ( x s) h( x s) f ( s) sx

5 D-konvolusjon Konvolusjon v et filter h og et bilde f: ( h f )( stb x yb sx t yb h( s, f ( x s, y h( x s, y f ( s, evluert for lle ( slik t hver verdi v h overlpper hver verdi v f. Responsen i ( er en veiet sum v inn-bildets verdier. Konvolusjonsfilteret spesifiserer vektene. h kn spesifiseres som en mtrise! b For å forenkle notsjonen, ntr disse formlene t: h hr odde lengder, m = + og n = b+. Senterpikselet er nboskpets origo. Konvolusjon krever ikke disse ntgelsene. /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 3x3-middelverdifilter F INF30 7 D-konvolusjon F INF30 8 D-konvolusjons-eksempel Oppgve: Konvolver følgende filter og bilde: D-konvolusjons-eksempel Steg : Roter filteret 80 grder. Ikke nødvendig her ettersom filteret er symmetrisk. /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 3x3-middelverdifilter Inn-bilde f /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 3x3-middelverdifilteret er symmetrisk F INF30 9 F INF30 0

6 D-konvolusjons-eksempel Steg : Legg det roterte filteret over først posisjon der filteret og bildet overlpper. D-konvolusjons-eksempel Steg 3: Multipliser filterets vekter med verdiene v de overlppende pikslene i bildet. Responsen er summen v produktene. /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 = /9 0, 0, /9 /9 /9 3 /9 /9 / Inn-bilde f F INF Inn-bilde f Foreløpig ut-bildet g F INF30 D-konvolusjons-eksempel Steg 4: Gjent 3 for neste overlpp. Ikke flere: ferdig! Steg 3: Multipliser filterets vekter med verdiene v de overlppende pikslene i bildet og summer. /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 3 /9 /9+3 /9 = 4/9 0,4 0, 0,4 D-konvolusjons-eksempel tretten steg 3 senere: Steg 3: Multipliser filterets vekter med verdiene v de overlppende pikslene i bildet og summer. 3 /9 /9 /9 3 /9+ /9+ /9+ 4 /9+5 /9+3 /9+ /9+ /9+ /9 = /9,4 0, 0,4 0,7 0,7 0,3 0, 0,7,4,,0, 0,4,,0,9, /9 5 /9 3 /9 /9 /9 /9 3 6 Inn-bilde f Foreløpig ut-bildet g F INF Inn-bilde f Foreløpig ut-bildet g F INF30 4

7 D-konvolusjons-eksempel og etter tjue steg 3 til: Steg 4: Gjent 3 for neste overlpp. Ikke flere: ferdig! Løsningen er: /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 3x3-middelverdifilter Inn-bilde f F INF30 5 = 0, 0,4 0,7 0,7 0,3 0, 0,7,4,,0, 0,4,,0,9,4,6 0,7,, 3,0 3,0,, 0,7,,4,7, 0,9 0, 0,6 0,8, 0,9 0,7 Ut-bildet g Utregning v D-konvolusjon x yb g ( h( x s, y f ( s, sx t yb For å regne ut responsen i posisjon (:. Roter konvolusjonsfilteret 80 grder og legg den over bildet slik t origo overlpper posisjon ( i bildet.. Multipliser hver vekt i det roterte konvolusjonsfilteret med underliggende pikselverdi. 3. Summen v produktene gir verdien for g( i posisjon (. For å regne ut responsen i lle posisjoner: Flytt konvolusjonsfilteret over bildet og beregn responsen for hver posisjon med overlpp. Merk: Vi trenger ikke speilvende symmetriske konvolusjonsfiltre. F INF30 6 Filtrering: Prktiske problemer Får ut-bildet smme kvntifisering som inn-bildet? Kn vi direkte endre inn-bildet eller må vi mellomlgre resulttbildet? Hv gjør vi lngs bildernden? Ant t bildet er M x N piksler. Ant t filteret er m x n. (og t m og n er odde) Uberørt v bilderndproblemet: (M-m+)x(N-n+) 3x3-filter: (M-)x(N-) 5x5-filter: (M-4)x(N-4) F INF30 7 Hv gjør vi lngs bildernden? Utvid inn-bildet: VANLIG: Med 0-ere (nullutvidelse, eng.: zero pdding). Med en nnen fst verdi. Med nærmeste pikselverdi (eng.: replicte). Ved bruk v speilende indeksering (eng.: mirror-reflected indexing). Ved bruk v sirkulær indeksering (eng.: circulr indexing). Sett ut-bildet til en fst verdi: F.eks. g( = 0 eller g( = f(. Ignorer posisjonene uten overlpp. Identisk resultt som nullutvidelse for konvolusjonsfiltre. F INF30 8

8 Utvide inn-bildet? Konvolusjons-definisjonen sier t ut-bildet får verdi når filteret og inn-bildet overlpper i minst ett piksel. Dette tilsvrer å utvide inn-bildets størrelse. I prksis: Kun vnlig når mn konvolverer to filtre. Antr d t begge konvolusjonsfiltrene er 0 utenfor rnden. Når mn bruker et konvolusjonsfilteret «ntr» mn indirekte lltid t det er 0 utenfor rnden. Når to filtre konvolveres bør begge bruke denne «ntgelsen». Hvor stort skl ut-bildet være? Trunkér ut-bildet Bre behold piksler der hele filteret er innenfor inn-bildet. Behold inn-bildets størrelse Bre behold piksler der filterorigo er innenfor inn-bildet. Vnlig når mn filtrerer et bilde. Lngs rnden må vi gjøre en ntgelse, se foilen to før. Utvid inn-bildets størrelse Behold lle piksler der filteret og «inn-bildet» hr overlpp. Svært uvnlig utenom for konvolusjon v to filtre. Lngs rnden må vi gjøre en ntgelse, se foilen to før. Merk: Dette gjelder ll filtrering, ikke bre konvolusjon! F INF30 9 F INF30 30 D-korrelsjon b g ( h( s, f ( x s, y stb Forskjell fr konvolusjon: Pluss i stedet for minus. Det betyr t vi verken trenger å rotere filteret eller bildet! Legger konvolusjonsfilterets origo over ( og multipliserer hver vekt med underliggende pikselverdi. Responsen i ( er summen v disse produktene. Vi kn utføre korrelsjon som en konvolusjon ved å først roterer filteret 80 grder, og vis vers. F INF30 3 Mønstergjenkjenning Korrelsjon kn brukes til å gjenkjenne mønster (eng. templte mtching). Filteret er mønsteret/templtet. Mønsteret/templtet kn være en del v bildet. Normliser med summen v pikselverdiene innenfor filterets nboskp: g( g'( b f ( x s, y stb Unngår høyere vekting v lyse piksler. F INF30 3

9 Mønstergjenkjennings-eksempel Oppgve: Finn et bestemt objekt i et bilde. Templten må h smme størrelse og orientering som objektet i bildet (og omtrent smme gråtoner). Korrelsjonskoeffisient Mønstergjenkjenning kn bedre gjøres ved bruk v korrelsjonskoeffisient: ( stb stb b b ( h( s, h )( f ( x s, y f ( x s, y ) ( h( s, h ) b stb ( f ( x s, y f ( x s, y ) Telleren er en middelverdi-normlisert korrelsjon Templtets er normlisert med sin (globle) middelverdi. Bildet er normlisert med middelverdien v pikslene der templtet og bildet overlpper (lokl middelverdi). Nevneren normliserer vrinsen Templtets stndrdvvik gnger bildets lokle stndrdvvik. F INF30 33 F INF30 34 Korrelsjonskoeffisient-eksempel Egenskper ved konvolusjon Kommuttiv f*g = g*f Assositiv (f*g)*h = f*(g*h) Distributiv f*(g+h) = (f*g) + (f*h) Assositiv ved sklr multipliksjon (f*g) = (f)*g = f*(g) Egenskpene: Gjelder generelt bre når mn ntr nullutvidelse. Gjelder generelt ikke korrelsjon. Q: Hv hvis templtets størrelse og rotsjon er ukjent? Må det gjøres regnekrevende? Kn utnyttes i smmenstte konvolusjoner! F INF30 35 F INF30 36

10 F INF30 37 Lvpssfiltre Slipper gjennom lve frekvenser og demper eller fjerner høye frekvenser. Lv frekvenser = trege vrisjoner, store trender. Høye frekvenser = skrpe knter, støy, detljer. mye mer om frekvens i Fourier-forelesningene. Effekt: Gltting/utsmøring/«blurring» v bildet. Typiske mål: Fjerne støy, finne større objekter. Utfordring: Bevre knter. Middelverdifilter (lvpss) Beregner middelverdien i nboskpet. Alle vektene er like. Vektene summerer seg til. Gjør t den lokle gjennomsnittsverdien bevres. Størrelsen på filteret vgjør grden v gltting. Stort filter: mye gltting (utsmørt bilde). Lite filter: lite gltting, men knter bevres bedre. F INF F INF30 39 Middelverdifilter-eksempel Originl Filtrert med 3x3-middelverdifilter F INF30 40 Middelverdifilter-eksempel Filtrert med 9x9-middelverdifilter Filtrert med 5x5-middelverdifilter

11 Middelverdifilter-eksempel Oppgve: Finne store objekter. I denne oppgven er objektpikslene lyse. Løsning: 5x5-middelverdifiltrering + terskling. Filterstørrelsen relterer seg til hv mn legger i «store». Seprble filtre Et filter klles seprbelt hvis filtreringen kn utføres som to sekvensielle D-filtreringer. Fordel: Rskere filtrering. Geometrisk form: Rektngel (inkludert kvdr. Middelverdifiltre er seprble: For 5x5-nboskp: h( i, j) 5 Beregne én respons for n n-konvolusjonsfiltre: D-konvolusjon: n multipliksjoner og n - ddisjoner. To D-konvolusjoner: n multipliksjoner og (n-) ddisjoner. 5 F INF30 4 F INF30 4 Tidsbesprelse ved seprsjon Vnlig D-konvolusjon: n multipliksjoner og n - ddisjoner. To D-konvolusjoner: n multipliksjoner og (n-) ddisjoner. Andel sprt tid ved seprsjon v n n-konvolusjonsfilter: n (n ( n )) 4n n n n stor n 3 0,4 0,33 5 0,63 0,60 7 0,73 0,7 9 0,79 0,78 0,83 0,8 3 0,85 0,85 5 0,87 0,87 ' n F INF30 43 Konvolusjon ved oppdtering Konvolusjonsfiltre med identisk kolonner elle rder kn effektivt implementeres ved oppdtering:. Beregn responsen R for første piksel, (.. Beregn responsen i neste piksel R ny med utgngspunkt i R: For identisk kolonner: Neste piksel er én til høyre, (y+), og ny respons er gitt ved: R ny = R C + C n der C er «responsen» for først kolonne når plssert i (, og C n er «responsen» for siste kolonne når plssert i (y+). For identiske rder: Neste piksel er én ned, (x+,, og ny respons er gitt ved: R ny = R R + R n der R er «responsen» for først rd når plssert i (, og R n er «responsen» for siste rd når plssert i (x+,. 3. L neste piksel være ( og R ny være R. Gjent steg. F INF30 44

12 Konvolusjon ved oppdtering C, C n, R eller R n beregnes ved n multipliksjoner og n- ddisjoner. Tr totlt n multipliksjoner og (n-) ddisjoner å finne R ny. Like rskt som seprbilitet. Sett bort fr initieringen; finne R for hver ny rd eller kolonne. Alle «oppdterbre» konvolusjonsfiltre er seprble, men seprble konvolusjonsfiltre må ikke være oppdterbre. Kn kombineres med seprbilitet når et D-filter er uniformt. Uniforme filtre kn implementeres end rskere. Sett bort fr initiering (finne en kumultiv mtrise) så kn hver respons beregnes ved subtrksjoner og ddisjon! Kun skleringer v middelverdifiltre er uniforme filtre. F INF30 45 Guss-filter (lvpss) For heltllsverdier v x og y, l: x y h( Aexp A settes slik t summen v vektene blir. N(0,σ I ) med lterntiv sklering A. Ikke-uniformt lvpssfilter. Prmeteren σ er stndrdvviket og vgjør grden v gltting. Lite σ: lite gltting. Stort σ: mye gltting. = Filterstørrelsen n n må tilpsses. Et D-Guss-filter gltter mindre enn et middelverdifilter v smme størrelse. = F INF30 46 Approksimsjon v 3x3-Guss-filter Knt-bevrende støyfiltrering G3 3 4 Tilsvrer en geometrisk vekting: Vekten til et piksel er en funksjon v vstnden til (. Nære piksler er mer relevnte og gis derfor større vekt. Ofte lvpssfiltrerer vi for å fjerne støy, men ønsker smtidig å bevre knter. Det finnes et utll v «kntbevrende» filtre. Men det er et system: Tenker t vi hr flere piksel-populsjoner i nboskpet rundt (, f.eks. to: Sub-optimlt å bruke ll pikslene. Vi kn sortere pikslene: Rdiometrisk (etter pikselverdi) Både geometrisk (etter pikselposisjon) og rdiometrisk F INF30 47 F INF30 48

13 Rng-filtrering Vi lger en én-dimensjonl liste v lle pikselverdiene i nboskpet rundt (. Listen sorteres i stigende rekkefølge. Responsen i ( er pikselverdien i en bestemt posisjon i den sorterte listen. Ikke-lineært filter. F INF30 49 Medin-filter (lvpss) g( = medin pikselverdi i nboskpet rundt (. Medin = den midterste verdien i den sorterte listen. Så et medinfilter er et rngfilter der vi velger midterste posisjon i den sorterte D-listen. Et v de mest brukte knt-bevrende støyfiltrene. Spesielt god mot impuls-støy («slt-og-pepper-støy»). Ikke-rektngulære nboskp, f.eks. pluss, ikke uvnlig. Problemer: Tynne knter kn forsvinne. Hjørner kn rundes v. Objekter kn bli litt mindre. Vlg v størrelse og form på nboskpet er viktig! F INF30 50 Middelverdi eller medin? Middelverdi eller medin? Middelverdifilter: Middelverdien innenfor nboskpet. Gltter lokle vrisjoner og støy, men også knter. Spesielt god på lokle vrisjoner, som kn være mild støy i mnge pikselverdier. Medinfilter: Medinen innenfor nboskpet. Bedre på visse typer støy og til å bevre knter, men dårligere på lokl vrisjon og nnen type støy. Fungerer spesielt godt på slt-og-pepper-støy. Inn-bildet med tydelig slt-og-pepper-støy Etter middelverdifiltrering Etter medinfiltrering F INF30 5 F INF30 5

14 Medinfiltrering og hjørner Rskere medinfiltrering (kursorisk) Med kvdrtisk nboskp vrundes hjørnene Med pluss-formet nboskp bevres hjørnene Å sortere pikselverdiene innenfor nboskpet er tungt. Med bit-logikk kn medinen v N verdier finnes i O(N). Avhenger også v ntll biter i representsjonen v en verdi. For nxn-nboskp er N = n. Dnielsson: Getting the medin fster, CVGIP 7, 7-78, 98. Oppdter histogrmmet v pikselverdiene i nboskpet for hver ny inn-piksel-posisjon ( gir O(n) for nxn-nboskp. Avhenger også v ntll mulige pikselverdier eller middelverdien v bsoluttdiffernsen mellom horisontle (eller vertikle) nbopiksler i det filtrerte bildet. Hung, Yng, nd Tng: A fst two-dimensionl medin filtering lgorithm, IEEE TASSP 7(), 3-8, 979. Oppdter histogrmmet ved bruk v oppdtert kolonnehistogrm (gjenbruker lik informsjon fr forrige rd) gir O(). Må vhenge v ntll mulige pikselverdier. Finnes i OpenCV progrmbibliotek (se Perreult nd Hébert: Medin filtering in constnt time, IEEE TIP 6(9), , 007. F INF30 53 F INF30 54 Alph-trimmet middelverdifilter (lvpss) g( = middelverdien v de mn-d midterste verdiene (etter sortering) i mxn-nboskpet rundt (: g( mn d der S y ngir pikselposisjonene til de mn-d midterste pikselverdiene etter sortering. God egnet ved flere typer støy, f.eks. slt-og-pepper-støy og lokle vrisjoner. F INF30 55 f s, t S x, y s, t K Nerest Neighbour-filter (lvpss) g( = middelverdien v de K pikslene i nboskpet rundt ( som ligner mest på ( i pikselverdi. «Ligner mest» = Lvest bsoluttdiffernse. Er et trimmet middelverdifilter: Middelverdien v de K mest like nbopikslene. Problem: K er konstnt for hele bildet. Hvis vi velger for liten K, fjerner vi lite støy. Hvis vi velger for stor K fjernes linjer og hjørner. For n n-nboskp der n=+: K=: ingen effekt K n: bevrer tynne linjer K (+) : bevrer hjørner K (+)n: bevrer rette knter F INF30 56

15 K Nerest Connected Neighbour-filtrering (lvpss) Nboskpet er uendelig stort! Responsen i ( beregnes slik: Vlgt piksel = ( Liste = <tom> While # vlgte piksler < K Tilføy (4 eller 8)-nboene til sist vlgt piksel i listen. Sorter listen på pikselverdi. Velg pikselen i listen som er mest lik ( og fjern den fr listen. Beregn middelverdien v de K vlgte pikslene. Tynne linjer, hjørner og knter blir bevrt dersom K er mindre eller lik ntll piksler i objektet. MinimlMenSqureError (MMSE) (lvpss) Merk: For et nboskp rundt ( kn vi beregne lokl vrins ( og lokl middelverdi μ(. Ant t vi hr et estimt på støy-vrinsen, η Responsen i ( er d: g( f ( ( I homogene områder blir responsen nær μ(. Nær en knt vil ( være større enn η og resulttet blir nær f(. f ( ( F INF30 57 F INF30 58 Sigm-filter (lvpss) (kursorisk) g( = middelverdien v de pikslene i nboskpet rundt ( som hr pikselverdi i intervllet f( t t er en prmeter og er estimert i homogene områder i bildet, f.eks. som en lv persentil v lle lokle stndrdvvik (beregnet rundt hvert piksel ved bruk v det ktuelle nboskpe. g( b h y stb ( s, f ( x s, y, b h ( s, stb y hvis ( s, Alterntivt: Ersttte med lokl medin bsolute devition (MAD): h x, y MAD x, y medin f, s[, ], t[ b, b] u[, ], v[ b, b] x s, y t medin f x u y v f ( f ( x s, y t 0 ellers Dette filteret klles MAD trimmed men (MADTM). Problem: Ingen v disse filtrene fjerner isolerte støy-piksler. F INF30 59 Mx-homogenitet (lvpss) Ønsker kntbevrende filter. Et enkelt triks: Del opp nboskpet i flere, overlppende sub-nboskp. Alle inneholder senterpikselet. Flere mulige oppdelinger. Det mest homogene sub-nboskpet inneholder minst knter. Beregn μ og σ i hvert sub-nboskp. L ( være μ fr det sub-nboskpet som gir lvest σ. Alterntiv: mx-min istedetfor σ. Merk: Sub-nboskpets origo er F INF30 ikke sub-nboskpets senterpiksel. 60

16 Symmetrisk nærmeste nbo (SNN) (lvpss) For hvert symmetrisk piksel-pr i nboskpet rundt (: Velg det pikselet som ligner mest på ( i pikselverdi. Mode-filter (lvpss) (kursorisk) g( = hyppigst forekommende pikselverdi i nboskpet rundt (. Hvordn er dette forskjellig fr medin? g( = middelverdien v ( og de vlgte pikslene. Antll verdier som midles v.b.. mxn-nboskp: +(mn-)/ Antll pikselverdier bør være lite i forhold til ntll piksler i nboskpet. Brukes derfor sjelden på gråtonebilder. Anvendes mest på segmenterte eller klssifiserte bilder for å fjerne isolerte piksler. Kn implementeres v.h.. histogrm-oppdtering. F INF30 6 F INF30 6 Oppsummering Romlig filter = Nboskp + Opertor Opertoren definerer hvordn inn-bildet endres. Konvolusjon er lineær romlig filtrering. Konvolusjonsfilteret er en mtrise v vekter. Å kunne utføre konvolusjon for hånd på et lite eksempel er sentrlt i pensum! Å progrmmere D-konvolusjon er sentrlt i Oblig. Lvpssfiltrering kn fjerne støy. Medin bevrer knter bedre enn middelverdi. Vi hr sett flere ikke-lineære, kntbevrende filtre. F INF30 63