Stjernepolyeder og glidegurer

Transkript

1 Stjernepolyeder og glidegurer Gert Monstad Hana, Høgskolen i Bergen 29. september 2010 I denne artikkelen beskrives hvordan å lage romgurer ved å la papirbiter gli inn i hverandre. Ved å klippe hakk i to papirbiter kan vi gli disse inn i hverandre, og det ser ut som om de skjærer hverandre langs en rett linje. Dette baserer seg på at skjæringen mellom to plane ater (som ikke er parallelle) er en rett linje. Dette er en viktig egenskap ved plan, som vi møter ustanselig: sannsynligvis sitter du inne og leser dette, og kan heve blikket og se på de plane atene som utgjør rommet. Da vil du kunne observere at to vegger møtes langs en linje, gulv og vegg møtes langs en linje og vegg og tak møtes langs en linje. 1 I den siste delen av artikkelen drøftes denne egenskapen til plan rent geometrisk. Jeg har benyttet meg av stjernepolyeder og andre glidegurer som juledekorasjoner og også som gaver ved helt andre anledninger. Blandingen av å være estetisk tiltalende samtidig som de inneholder en god del matematikk både i byggefasen og som ferdig produkt gjør at de til en n aktivitet i klasserommet. Maler til gurene som omtales i artikkelen nnes tilgjengelig på nettet (se lenke til slutt i artikkelen). Stjernepolyeder Stellasjon (etter latinsk stella for stjerne) er en metode å lage nye polyeder fra et gitt polyeder. Ved stellasjon starter vi med et polyeder og lager et nytt polyeder fra dette ved å forlenge sidekantene eller sideatene i polyederet til de skjærer hverandre. Så lar vi disse skjæringene danne grunnlaget for et nytt polyeder. Det nye tetraeder kalles et stjernepolyeder. La oss ta et eksempel. Vi starter med dodekaederet som er satt sammen av tolv regulære femkanter. Dersom vi forlenger sidekantene, så får vi en pyramide oppå hver av femkantene. Denne nye guren vi da får kalles et stjernedodekaeder (se gur 1) 2. Vi kan se på stjernedodekaederet som satt sammen av tolv pentagram som skjærer hverandre. 3 Denne måten å se på stjernedodekaederet gir oss også en måte å lage et stjernedodekaeder på. Lag tolv pentagram med snitt som indikert i gur 2 (a). Disse kan vi da sette sammen til et stjernedodekaeder, gur 2 (b), ved å gli pentagrammene inn i hverandre langs snit- 1

2 (a) Dodekaeder (b) Stjernedodekaeder Figur 1: Stellasjon av dodekaeder tene. Dersom vi lager pentagrammene i par med seks forskjellige farger, kan de settes sammen til et stjernedodekaeder slik at ingen pentagram snitter et pentagram med samme farge. Papirkvaliteten har en del å si for sluttproduktet. For et solid sluttprodukt må det brukes papir som er tykkere enn vanlig papir. Papiret må allikevel være så tynt at det er uproblematisk å brette og bøye det. Jeg pleier å benytte meg av fotokartong. Vanlig papir er noe enklere å håndtere, og resultatet blir fortsatt ganske bra selv om det ikke er like holdbart og vanskeligere å frakte (noe som blir viktig dersom elevene skal ta med produktet hjem). Ikke vær redd for å bøye bitene mens en setter guren sammen. Det er umulig å sette samme guren uten å bøye og brette en god del, og det får liten innvirkning på sluttproduktet om en gjør det. Pass også på hele tiden å gli de forskjellige delene så godt inn i hverandre som mulig. Dette hjelper til at guren ikke faller fra hverandre under byggingen. Å gli de forskjellige delene skikkelig inn i hverandre er også viktig for at sluttproduktet skal se bra ut, så det kan være lurt å gå over guren til slutt og påse at alle bitene sitter helt inn i hverandre. Det nnes ere andre stellasjoner av dodekaeder og andre polyeder. Se lenkene i slutten av artikkelen. I lenken med maler nnes det også en mal for å lage en stellasjon av oktaederet. En n øvelse i romgeometrisk tenkning kan være å undersøke hvorfor det ikke nnes noen stellasjoner av tetraederet eller kuben. 2

3 (a) Mal til stjernedodekaeder (b) Stjernedodekaeder Figur 2: Stjernedodekaeder fra pentagram Glidegurer Vi kan også lage andre romgurer ved å la papirbiter gli inn i hverandre. For eksempel kan det lages to kuber som skjærer hverandre eller en kube og et tetraeder som skjærer hverandre. George Hart (2001, 2004) har laget mer kompliserte gurer som er snitt av uniforme polyedre. Den av hans gurer jeg har benyttet oftest er en som består av tretti kvadrater glidd inn i hverandre (gur 3). Dersom en lager denne i fem farger med seks kvadrat av hver farge kan den settes sammen slik at kvadratene av samme farge danner kuber dersom de tenkes utvidet. Dette får en til dersom en passer på at ingen kvadrater av samme farge skjærer hverandre og at de femkantede hullene som dannes har en sidekant av hver farge. Disse betingelsene er nok til å sette sammen guren slik at fargekombinasjonen blir som ønsket. Start med et kvadrat og gli kvadrater av de re andre farger inn i dette, se gur 4 (a). Vi må så bestemme hvilken farge kvadratet som skal glis inn i det fremre venstre hjørnet på det gule kvadratet skal ha. Det svarte, det grå og det gule kvadratet gir sidekanter i et femkantet hull. Derfor må de to siste kantene i dette hullet være blå og røde. Det gule kvadratet skjærer allerede et rødt kvadrat, så i det fremre venstre hjørnet til det gule kvadratet må det glis inn et blått kvadrat. Vi kan så fullføre det femkantede hullet med et blått kvadrat, se gur 4 (b). Ved å fortsette med denne typen argumentasjon kan vi fullføre hele guren. Når en setter sammen denne guren er det mest problematiske å sette sammen kvadratene der hvor tre av dem møtes i et punkt, se gur 5. Her må en ikke være redd for å bøye og brette kvadratene mens guren settes sammen. Det er mye spennende geometri i denne guren. Ved å lete kan en nne både kuber, ikosaeder og dodekaeder gjemt i dens geometri. Den kan også være en spennende innfallsvinkel til kombinatorikk: Hvordan kan en på en 3

4 Figur 3: (a) (b) Figur 4: 4

5 Figur 5: Figur 6: systematisk måte telle opp antall hjørner, kanter eller hulrom på den? Slike glide gurer tar en del tid å klippe ut og sette sammen første gangen. Nå bruker jeg omtrent en time på å klippe ut delene og sette sammen denne guren, men det kan fort ta det dobbelte første gangen. Stjernemangekanter En todimensjonal variant av stjernepolyeder er stjernemangekanter. Disse lager vi ved å starte med hjørnene i en og et gitt tall q. p-kant (en mangekant med p kanter) Så lager vi linjestykkene mellom alle hjørnene som ligger plasser bortenfor hverandre. Figuren vi da får er en stjernemangekant. q La oss ta et eksempel. Figurene blir nest dersom vi starter med en regulær mangekant. Figur 6 viser en regulær syvkant (p nesyvkanter vi da får for forskjellige verdier av = 7) og hvilke stjer- q. Stjernemangekanter kan være en god innfallsvinkel til å arbeide med største felles divisor. Se GeoGebra-arbeidsarket som det er lenket til i slutten av artikkelen. 5

6 Snitt av plan To plan i rommet skjærer hverandre langs en linje. Dette er et av de mest grunnleggende resultat i romgeometrien, og er den tredimensjonale analogien til at to linjer i planet skjærer hverandre i et punkt. Resultatet er ikke helt eksakt, det nnes et par unntak som forkludrer utsagnet. Strengt tatt skulle utsagnet vært To ulike, ikke-parallelle plan i rommet skjærer hverandre langs en linje. Hva er så egentlig en plan ate? Vi kjenner eksempel på det, men som et matematisk objekt er det noe abstrakt og kan (i en viss forstand) bare karakteriseres ved å beskrive egenskapene til objektet. Så hvilke egenskaper har en plan ate? Vel, en plan ate er et todimensjonalt objekt. En annen egenskap er at gitt to vilkårlige punkt i planet, så vil linjen gjennom de to punktene også ligge i planet. La oss se nærmere på den første egenskapen: en plan ate er et todimensjonalt objekt. Hva betyr dette? Dimensjonsbegrepet er ikke enkelt å hanskes med. En intuitiv beskrivelse av dimensjon er at dimensjonen til et geometrisk objekt er antall uavhengige frihetsgrader til et punkt på objektet. Ta en linje. Et punkt på linjen har en frihetsgrad vi kan skyve det langs linjen (enten den ene eller andre veien) så linjen har dimensjon 1. Det samme gjelder for en sirkel. Et punkt på sirkelen har en frihetsgrad det kan yttes langs sirkelen (med eller mot klokken). Et punkt på et plan har to uavhengige frihetsgrader. Det kan yttes opp/ned eller venstre/høyre. Dette svarer til de to koordinatene som brukes til å beskrive plasseringen av punkt i planet. Vi trenger akkurat to koordinater for å beskrive plasseringen siden punkt i planet har to frihetsgrader. Planet har mange andre frihetsgrader enn de to nevnte, faktisk uendelig mange. En mulighet er å ytte punktet oppover mot venstre. Dette er derimot ikke en frihetsgrad som er uavhengig av de forrige. Oppover mot venstre er beskrevet med å bruke de to andre frihetsgradene. Vi sier at denne frihetsgraden er avhengig av de to gitte frihetsgradene. Tilsvarende for overaten til en sfære. Et punkt på overaten har to uavhengige frihetsgrader (nord/sør og øst/vest). Sfæren har altså dimensjon 2. Et punkt i rommet vi benner oss i har derimot tre uavhengige frihetsgrader (opp/ned, fremover/bakover, venstre/høyre). Dette ser vi igjen i at vi trenger tre koordinater for å beskrive plasseringen til et punkt i rommet. Et enkelt punkt har ingen frihtesgrad, så det har dimensjon 0. Så at en plan ate har dimensjon to betyr at et punkt på aten har to frihetsgrader. Samtidig ligger den plane aten i rommet, som har tre frihetsgrader. La oss vende tilbake til snittet av to plane ater. Det første planet har to uavhengige frihetsgrader og det andre planet har også to uavhengige frihetsgrader. Til sammen gir dette re frihetsgrader. Siden rommet har tre uavhengige frihetsgrader, kan ikke de re frihetsgradene til de to planene alle 6

7 (a) Dimensjon 0: Et punkt har null frihetsgrader (b) Dimensjon 1: Et punkt på en linje har en frihetsgrad langs linjen (c) Dimensjon 1: Et punkt på en sirkel har en frihetsgrad langs sirkelen (d) Dimensjon 2: Et punkt i et plan (e) Dimensjon 2: Et punkt på en kan yttes langs to uavhengige frihetsgrader sfære kan yttes langs to uavhengige frihetsgrader 7

8 Figur 7: For et plan i rommet nnes det linjer som står normalt på planet være uavhengige av hverandre. Dette kan brukes til å intuitivt argumentere for at snittet av to plan som oftest har dimensjon 1. Denne argumentasjonen blir noe kludrete, og jeg hopper over den. Det nnes derimot et annen intuitivt argument som ikke er like kludrete. Et plan kan også beskrives via manko på frihetsgrader. Vi starter med rommet som har tre frihetsgrader, og så ekskluderes en av frihetsgradene. Det som er igjen er to frihetsgrader som beskriver en ate (denne er plan dersom frihetsgradene er lineære). Punkt på planet kan da ytte seg etter de to frihetsgradene som er igjen. Det går an å tenke seg visuelt den frihetsgraden som er tatt vekk som retningen som står normalt (vinkelrett) på planet (gur 7). (For de som har kjennskap til vektorer, så samsvarer denne retningen med retningen til normalvektoren til planet.) Et punkt i rommet har frihet til å ytte seg i denne retningen, mens et punkt i planet er fengslet i forhold til denne retningen. Ser vi nå på to plan, så har begge planene fått ekskludert en av frihetsgradene i rommet. Til sammen har de da som oftest fått ekskludert to frihetsgrader. Det er da bare en frihetsgrad igjen, og denne beskriver snittet mellom planene. Snittet har da dimensjon 1. Jeg skrev som oftest ovenfor, da det kunne tenkes at det var samme frihetsgrad som ble ekskludert for de to planene. Dette skjer dersom planene er like eller parallelle. 4 Det intuitive argumentet over kan tyde på at skjæringen mellom to plan har dimensjon 1. Argumentet forteller oss derimot ingenting om at denne skjæringen må være en linje. La oss så se på et par bevis som også viser at skjæringen faktisk blir en linje. Jeg kaller de to planene for F og G. Bevis 1 - Med koordinatgeometri Et plan i rommet er gitt som løsningsmengden til en likning ax + by + cz = d for noen konstanter a, b, c og d hvor a, b og c ikke alle er null. Dette er den tredimensjonale analogien til at en 8

9 Figur 8: linje i rommet er gitt ved likningen ax + by = c for noen konstanter a, b og c hvor a og b ikke begge er null. 5 Ved å ytte og rotere på koordinatsystemet kan vi få det slik at planet F er xy-planet, dvs planet gitt ved likningen z = 0. Planet G er gitt som ax + by + cz = d for noen konstanter a, b, c og d. Skjæringen mellom F og G er de punktene som er med i løsningsmengden til begge ligningene. Setter vi z = 0 inn i ax+by +cz = d, får vi ax+by = d. Dette er likningen til en linje i xy-planet. Snittet blir derfor en linje. 6 Her må jeg ha gjort noe feil. Hvor ble det av unntakstilfellene? Disse dukker opp igjen når vi oppdager at jeg ikke har brukt biten om at minst en av konstantene må være ulik null. Dersom a og b begge er lik null, så får vi likningen 0 = d i xy-planet. Dersom også d = 0, så er F = G og snittet blir et plan. Dersom d 0, så er F og G parallelle og snittet er tomt. Dette beviset kan relateres til det intuitive argumentet ovenfor. Rommet har tre uavhengige frihetsgrader gitt ved koordinatene x, y og z. Likningen z = 0 til planet F gir en betingelse på hvilke punkt i rommet som er tillatte. Denne betingelsen svarer til å ekskludere en frihetsgrad (i dette tilfellet frihetsgraden z). Likningen ax + by + cz = d til planet G tar så og ekskluderer en frihetsgrad til, og vi står igjen med en frihetsgrad. Bevis 2 - Uten koordinatgeometri Plane ater har en retning som står normalt på planet (gur 7). Gitt et plan H, en linje k som er normal til planet og et punkt A som ligger på både planet og linjen. Da består planet H av de punktene som ligger på en eller annen linje som i) inneholder punktet A og ii) står vinkelrett på linjen k (se gur 8). Denne alternative beskrivelsen av et plan vil være utgangspunktet for det andre beviset. 7 La oss se bort i fra tilfellet hvor de to plane atene F og G er parallelle. Da inneholder snittet av de et punkt A. La l være linjen gjennom A som står 9

10 vinkelrett på F, og m linjen gjennom A som står vinkelrett på G. Snittet av F og G består da av de punktene som ligger på en linje p som i) inneholder punktet A, ii) står vinkelrett på linjen l og iii) står vinkelrett på linjen m. Siden rommet har tre frihetsgrader nnes en slik linje p. 8 Det gjenstår å vise at snittet ikke kan være mer enn en linje. Dersom snittet inneholder et punkt Q som ikke ligger på linjen p, må snittet inneholde alle linjer som går gjennom Q og et punkt på linjen p (dersom to punkt ligger i et plan, må linjen gjennom punktene også ligge i planet), og snittet blir et plan. Dersom planene er ulike kan ikke snittet være et plan, så det kan ikke være noe punkt Q i snittet som ikke ligger på linjen p. Dersom l = m blir F og G enten parallelle eller like. Dersom l m blir skjæringen punktene på linjen som står vinkelrett på både l og m. Jeg kunne fortsatt med å se på skjæringen av tre plane ater er et punkt (unntatt hvis...). Det er ingen nye ideer som trengs for å vise dette, bare modikasjon av ideene som ble brukt over ved skjæringen av to plan. Skjæringen av tre plan overlates derfor til den interesserte leser. Lenker og referanser For lenker og annet: For maler til gurer nevnt i artikkelen: For GeoGebra-arbeidsark om stjernemangekanter: Lakatos, I. (1976). Proofs and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press Hart, G. (2001). Slide-togethers. Tilgjengelig på (lest ): Hart, G. (2004). Slide-Together Geometric Paper Constructions. I M. Alagic & R. Sarhangi (red.), Bridges for Teachers, Teachers for Bridges, 2004 Workshop Book (s ). Tilgjengelig på (lest ): Notes 1 I hjørnene til rommet vil tre plane ater møtes. Dette illustrerer det matematiske resultatet tre plane (ikke-parallelle) ater møtes i et punkt. At plane ater skjærer hverandre langs en linje har mange konsekvenser, som for eksempel at bildet av en linje i en perspektivtegning alltid blir en linje. 2 Disse gurene har jeg laget med Vladimir Bulatavs program for stjernepolyeder. Dette er gratis tilgjengelig på og kan brukes til å se nærmere på mange forskjellige stjernepolyeder. 3 Historisk har det vært en heftig diskusjon blant matematikere om en skal se på stjernedodekaederet som satt sammen av tolv femkanter (pentagram) eller seksti trekanter. En 10

11 grunn til at dette har vært diskutert er at det har betydning for gyldigheten til Eulers formel som beskriver en sammenhengen mellom antall sideater, sidekanter og hjørner til et polyeder (se Lakatos, 1976). Her kommer det også inn en diskusjon om hva en mangekant er: er et pentagram en femkant eller en tikant? Forskjellige måter å se på mangekantbegrepet gjør at begge disse alternativene er matematiske fruktbare i forskjellige situasjoner. 4 Argumentet i dette avsnittet bygger på en viktig ide som en ofte nner i matematikken, nemlig komplemenaritet. Et matematisk objekt A er ofte del av et større hele, og for å nne ut noe om objektet A er det ofte lurt (og av og til nødvendig) å gå veien om å nne ut noe om den delen av det hele som ikke inneholder A (den komplementære delen). La oss ta et enkelt eksempel: En korg med inneholdt opprinnelig 12 epler. Noen av disse er blitt spist, hvor mange? For å løse dette er det nødvendig å se på de som ikke er blitt spist. Dersom det er 5 epler igjen, så er 12-5=7 epler spist. Her er det matematiske objektet vi egentlig er interessert i antallet epler som er spist, det hele er det totale antallet epler og den delen av det hele som vi i utgangspunktet ikke er interessert i antallet epler som ikke er spist. Vi ser at for å løse et problem som handler om det vi er interessert i, så går vi veien om å løse et enklere problem som handler om den delen av det hele som vi i utgangspunktet ikke er interessert i. Komplementær argumentasjon er noe en nner igjen i alle deler av matematikken, for eksempel bak et utsagn som dersom en vare er satt ned 15% er den nye prisen 85% av den gamle. Komplementaritet blir viktig ved dimensjonsbegrepet når en beveger seg ut over skolematematikken, for eksempel innen lineær algebra. Begrepet kodimensjon blir brukt til å beskrive manko på frihetsgrader. En ate har da kodimensjon 1 i rommet. 5 De este er vant til å tenke på linjer i planet som gitt ved likninger av typen y = ax+b. Begge disse formene har sine fordeler. I likningen y = ax + b kan konstantene a og b lett knyttes til gjenkjennelige egenskaper ved linjen som stigningstall og skjæring med y-akse. Derimot kan ikke vertikale linjer beskrives med en likning av typen y = ax + b, mens alle linjer kan beskrives med en likning av typen ax + by = c. 6 Argumentasjonen i dette beviset eksempliserer en annen type argumentasjon som er mye brukt i matematikken: det argumenteres ut i fra et spesialtilfelle. I stedet for å se på skjæringen av to plan gitt ved likninger ax + by + cz = d og ex + fy + gz = h, så ser vi på skjæringen i det mye enkelere spesialtilfellet hvor planene er gitt ved likningene ax+by+cz = d og z = 0. Dette kan vi gjøre fordi det er mulig å plassere koordinatsystemet akkurat slik vi nner det hensiktsmessig. 7 Krever kjennskap til vektorer: Faktisk var denne beskrivelsen latent tilstede i det første beviset også. La planet H ha normalvektor n = [a, b, c] og inneholde punktet A = (x 0, y 0, z 0). At et punkt B = (x, y, z) ligger på en linje som inneholder A og står vinkelrett på vektoren n er ekvivalent med at prikkproduktet n ( B A) er null. Dette gir [a, b, c] [x x 0, y y 0, z z 0] = 0, som gir likningen ax + by + cz = d dersom d = ax 0 + by 0 + cz 0. 8 Krever kjennskap til vektorer: La F ha normalvektor f og G har normalvektor g. Da har l retning f og m retning g. Retningen på linjen som står vinkelrett på både l og m er retningen til vektoren f g. Vi ser at dersom l = m, blir f = g og kryssproduktet lik null. 11