Regulære polytoper. Masteroppgave, Vår Benedicte Mogan Olsen. Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Regulære polytoper. Masteroppgave, Vår Benedicte Mogan Olsen. Matematisk institutt Universitetet i Oslo"

Transkript

1 Regulære polytoper Benedicte Mogan Olsen Masteroppgave, Vår 2016 Matematisk institutt Universitetet i Oslo

2 2 Masteroppgave for Lektorprogrammet MAT5930L

3 Innhold Introduksjon 5 1 Innledende terminologi Schlegeldiagram Schläfli-symbol Polyedere Konvekse, regulære polyedere Eulers formel De platonske legemene Regulære stjernepolyedere Kepler-Poinsot stjernepolyederene Uniforme polyedere Prismer og antiprismer De arkimediske legemene Millers legeme Uniforme stjernepolyedere Polyedere i kunst og natur Polyedere i kunst og arkitektur Polyedere i natur Polytoper i høyere dimensjoner Polytoper - en generalisering Regulære polytoper Konvekse regulære polytoper Den fantastiske fjerde dimensjon Antall n-dimensjonale regulære, konvekse polytoper Regulære stjernepolytoper Uniforme polytoper Regulære romfyllinger Antall regulære romfyllinger Den unike romfyllingen δ Regulære tesseleringer

4 4 INNHOLD 4.4 Regulære 4-romfyllinger Men hva med...? Abstrakte polytoper 77 6 Historisk epistel Polyedere i oldtidens Hellas og middelalderen Polytoper i nyere tid Bibliography 84

5 Introduksjon Denne avhandlingen er en studie av polytoper - geometriske legemer med visse egenskaper. Vi skal begrense oss til å betrakte polytoper som har en grad av regularitet. Dette er et område innen matematikken som er studert mye før, så vi skal her se på polytopene med litt nye øyne. Vi skal se på hvordan ulike begrensinger vi legger på polytopene bestemmer hvilket utvalg polytoper vi får. Begrenser vi oss for eksempel til å se på konvekse, regulære, tre-dimensjonale polytoper får vi et utvalg på fem ulike polytoper. Studiet av tre-dimensjonale polytoper, eller polyedere, går flere tusen år tilbake i tid, imens studiet av polytoper i høyere dimensjoner bare er noen få århundrer gammelt. Vi skal derfor først gi leseren en innføring i det klassiske studiet av de tre-dimensjonale polyederene, før vi senere beveger oss inn i studiet av polytoper i flere dimensjoner. Vi kan røpe at høydepunktet i avhandlingen for mange vil være beviset for hvor mange konvekse, regulære polytoper det finnes i alle ulike dimensjoner, der alle sammen detter ut av ett enkelt kriterium - Schläflis kriterium. Vi kommer også til å se på romfyllinger, som er en type aperiotoper - uendelige legemer som fyller det euklidske rom. Selvom hovedtyngden i avhandlingen ligger på legemer i det euklidske rom, er jo også dette en begrensning vi legger på. Siden fokuset i avhandlingen er på ulike begrensinger vi legger på polytopene, skal vi også se på hva slags polytoper vi får dersom vi fjerner begrensningen om at polytopene skal kunne realiseres i det eukliske rom. Til slutt skal vi se på den historiske bakgrunnen til polytopene vi har studert. 5

6 6 INNHOLD

7 Kapittel 1 Innledende terminologi Innledningsvis skal vi gjøre rede for en del av terminologien vi kommer til å benytte i denne avhandlingen. Problemstillingen i avhandlingen vil være å klassifisere polytopene vi får i ulike dimensjoner når vi varierer graden av regulualritet. Polytoper i tre dimensjoner er de vi skal betrakte først, og disse kalles polyedere. Definisjon Et polyeder er en samling plane mangekanter, der nøyaktig to av dem møtes i hver kant og som er uten singulære hjørner. Et hjørne er singulært dersom en liten omegn om hjørnet deles i to eller flere deler hvis vi fjerner dette hjørnet. Et polyeder består av sideflater, kanter og hjørner (se Figur 1.1). Videre kan polyederet være transitivt på sine hjørner, kanter og/eller sideflater. La oss se hva vi mener med dette. Definisjon La P være et polyeder. P er hjørne-transitivt dersom det for alle par av hjørner v og w i P, finnes en symmetri av P som avbilder v på w. P er kant-transitivt hvis det samme gjelder for alle par av kanter i P, og sideflate-transitivt dersom det samme gjelder for alle par av sideflater i P. Snittfiguren vi får dersom vi kutter et Figur 1.1 hjørne av et polyeder, og legger snittet ved midtpunktene til kantene som er forbundet med dette hjørnet, kalles for en hjørnefigur. Dersom det for eksempel er fire kanter som er forbundet med et gitt hjørne, er hjørnefiguren til dette hjørnet en firkant. Mangekantene som utgjør sideflatene består av sider og hjørner. Vi kaller 7

8 8 KAPITTEL 1. INNLEDENDE TERMINOLOGI den måten ulike mangekanter er plassert rundt et hjørne i et polyeder for hjørnekonfigurasjonen i det hjørnet. Når vi betrakter mangekanter er det bare én type vinkel vi har å forholde oss til. Når vi ser på polyedere derimot, er det flere typer vinkler. Vi kaller vinklen mellom to sider som er knyttet til hverandre med et hjørne i en mangekant for en plan vinkel. Regionen rundt et polyederhjørne kaller vi en romvinkel, den er avgrenset av tre eller flere plane vinkler. To sideflater som deler en kant kaller vi tilstøtende sideflater og vinkelen mellom to tilstøtende sideflater kaller vi en dihedral vinkel. Generaliseringen av et polyeder i flere dimensjoner, kalles for en polytop. Vi skal studere høyere-dimensjonale polytoper i kapittel 3. Et polyeder er også inkludert i definisjonen av en polytop, polyederet er en tre-dimensjonal polytop. En generell polytop består også av hjørner, kanter og sideflater. Videre er polytopene bygget opp av celler. For eksempel er fire-dimensjonale polytoper bygget opp av hjørner, kanter, sideflater og polyeder-celler. En polytop i n dimensjoner består av (n 1)-dimensjonale celler, som altså er (n 1)-dimensjonale polytoper. Disse cellene består igjen av (n 2)- dimensjonale celler, osv. Vi kaller alle data om utformingen til et hjørne i en polytop for de lokale hjørnedataene. Vi kaller hvordan en polytop ser ut som en helhet for de globale egenskapene til polytopen. I studiet av polytoper behøver man noen redskaper for å visualisere polytopene bedre. Da kan man for eksempel benytte schlegeldiagram. Dette skal vi benytte oss av i vår studie. 1.1 Schlegeldiagram Et schlegeldiagram er en måte å visualisere en n-dimensjonal polytop i n 1 dimensjoner. Dette er spesielt nyttig i tre og fire dimensjoner. Vi skal i denne avhandlingen se på polytoper i det euklidske rom, dvs n-dimensjonale polytoper som befinner seg i R n. Et schegeldiagram er da en bestemt projeksjon av en n-dimensjonal polytop fra R n til R n 1. Det er mest vanlig å bruke schlegeldiagram for polyedere og fire-dimensjonale polytoper. For polyedere får vi et to-dimensjonalt schlegeldiagram, og for de fire-dimensjonale blir schlegeldiagrammene tre-dimensjonale. Vi representerer polytopene som et nettverk av hjørner og kanter, der sideflatene og polyeder-cellene kan finnes avgrenset av kanter og hjørner. Utsiden av schlegeldiagrammet vil også representerere en sideflate eller en celle. På Figur 1.2 ser vi schlegeldiagrammene til tetraederet og til en fire-dimensjonal polytop som kalles 5-cellen. 1.2 Schläfli-symbol Noe annet som kommer til å være nyttig i studiet av polytoper er schläflisymbol. Dette klassifiserer regulære polytoper, og er en notasjon på formen

9 1.2. SCHLÄFLI-SYMBOL 9 Figur 1.2: Schlegeldiagram for tetraederet (venstre) og 5-cellen (høyre). Kilde:[Web07] {p, q, r, }. Vi skal se på definisjonen av en regulær polytop snart, men vi skal først se hva en regulær mangekant er - en regulær polytop i to dimensjoner. Definisjon En regulær mangekant er en mangekant der alle sidene er like lange og alle vinklene er like store. Definisjonen av en regulær polytop bygger egentlig videre på dette - et av kriteriene er at den skal bestå av regulære mangekanter som sideflater. En annen ting det kan være verdt å merke seg er at alle hjørnene til en regulær mangekant ligger på en sirkel. Schläfli-symbolet for en polytop i n dimensjoner har n 1 ledd. Det k-te (unntatt det første) leddet i schläfli-symbolet betegner hvor mange k- dimensjonale celler som ligger rundt hver (k 1)-dimensjonale celle. Det første betegner hvor mange sider sideflatene til polytopen har. De regulære mangekantene har schläfli-symbol {3}, {4}, {5},... for den regulære trekanten, kvadratet, den regulære femkanten, osv. Kuben er en regulær polytop i tre dimensjoner. Den har schläfli-symbol {4, 3}, siden den består av regulære firkanter (kvadrater), og hvor tre av dem møtes i hvert hjørne. Så det at alle sideflatene er regulære og at like mange k-dimensjonale celler ligger rundt hver (k 1)-dimensjonale celle definerer en regulær polytop. Det er ganske elegant at en så enkel notasjon kan definere en regulær polytop - schläflisymbolene er nemlig entydige, hvert av dem bestemmer bare én polytop. Vi skal gå mer i detalj på definisjonen av en regulær polytop senere. Først skal vi studere regulære polyedere.

10 10 KAPITTEL 1. INNLEDENDE TERMINOLOGI

11 Kapittel 2 Polyedere I arbeidet med dette kapittelet har jeg sett på bevis fra [Cro97], [Ell01] og [CR15]. Selvom jeg på mange måter har gjort bevisene til mine egne, er idéene tatt herfra. Et sentralt aspekt av studiet av polyedere er det å begrense. Med dette mener vi at vi kommer med krav et polyeder skal oppfylle, og deretter ser på hvilke ulike legemer dette gir oss. Grunnen til at det er hensiktsmessig å gjøre begrensninger, er at det i utgangspunktet er uendelig mange måter å sette sammen et polyeder på. Et polyeder er satt sammen av plane mangekanter. Hvordan disse ser ut er en av de tingene vi kan begrense i vår studie av polyedere. I denne avhandlingen vil vi bare se på polyedere som er satt sammen av regulære mangekanter. På mange måter er det disse som er mest interessante - det er disse det gir mest mening å klassifisere. Det er i hovedsak to grunner til det. Først og fremst gjør det at sideflatene er regulære det lettere for oss å fokusere på de kombinatoriske egenskapene til polyederene - vi trenger ikke tenke på hvor store vinkelene eller hvor lange sidene til sideflatene er. Når et polyeder (eller en polytop) har regulære sideflater er det nemlig rigid, vinkelene er gitt, og alle sidene i mangekantene er like lange - så hvor lange disse sidenene er har lite å si. De lokale hjørnedataene blir også rent numeriske verdier det er lettere å forholde seg til. Den andre grunnen er at polyedere med regulære sideflater for oss mennesker er pene å se på, da vi liker å se på ting som er symmetriske. Vi kan også se på hvor mange mangekanter som møtes i et hjørne, eller om polyederet er konvekst eller ikke. Det er mange muligheter for begrensinger. Vi befinner oss også i tre dimensjoner når vi snakker om polyedere, men vi kan også betrakte generaliseringen polytoper i flere dimensjoner. Antall dimensjoner vi er i begrenser også antall legemer vi får. Dette skal vi komme nærmere inn på senere. Vi skal først gjøre følgende begreninger: vi skal befinne oss i tre dimensjoner og se på polyederene med høyest grad av symmetri, de regulære polyederene. 11

12 12 KAPITTEL 2. POLYEDERE Definisjon Et polyeder er regulært dersom sideflatene er identiske regulære mangekanter og hvor samme antall av dem møtes i hvert hjørne. Når vi legger på begrensningen regularitet, rigidifiserer vi hjørnene umiddelbart. Vi bestemmer at sideflatene som møtes der skal være regulære og det må også være den samme dihedrale vinkelen mellom alle par sideflater. Hvis vi ser på et hjørne, vil det av denne grunn være rigid, det er altså bestemt av regulariteten. Innenfor den regulære verden kan vi ikke klemme på hjørnene eller gjøre noe som helst med dem. Hva betyr dette for de globale egenskapene? Når vi befinner oss i den regulære verden, bestemmer de lokale hjørnedataene de globale egenskapene. Vi kan nemlig bare fortsette å lage polyederet på én eneste måte når vi setter på nye sideflater etter de som danner det første hjørnet. Starter vi med tre kvadrater, og lager et slikt regulært hjørne, bestemmer dette kuben (som vi skal se er et regulært polyeder), for eksempel. Vi kan jo bare sette de i en viss vinkel i forhold til hverandre osv, så denne prosedyren er entydig bestemt. Det er til sammen ni stykker av disse polyederene, fem konvekse og fire ikke-konvekse, også kalt stjernepolyedere. De regulære polyederene har lik hjørnefigur i alle hjørner, og vi kan finne alle hjørnene deres på en kule. Videre i kapittelet skal i se på uniforme polyedere. En ting de uniforme polyederene har til felles med de regulære er at deres globale egenskaper bestemmes av de lokale hjørnedataene. Det som skiller dem fra de regulære er at de kan ha forskjellige typer mangekanter som sideflater. Vi skal se på den formelle definisjonen av disse litt senere i kapittelet. 2.1 Konvekse, regulære polyedere La oss se på definisjonene på konveksitet og på et konvekst polyeder. Definisjon En delmengde A R n er konveks dersom, gitt to punker x, y A, så er linjestykket mellom dem inneholdt i A. Definisjon Gitt en delmengde B R n. Den konvekse innhyllingen til B den minste konvekse delmengden av R n som inneholder B. Et konvekst polyeder er en konveks innhylling av et endelig antall punkter i R 3. Legger vi begrensingene konveksitet og regularitet på et polyeder står det bare fem stykker igjen av de veldig mange polyederene som finnes. Disse fem kalles de platonske legemene, som vi snart se nærmere på. Før vi gjør det, skal vi se på et veldig sentralt og vakkert resultat som vi kommer til å få mye bruk for Eulers formel Teorien om polyedere er på mange måter veldig vakker, og det dukker opp sammenhenger som det absolutt ikke er opplagt at skulle være der. Mange

13 2.1. KONVEKSE, REGULÆRE POLYEDERE 13 av sammenhengene viser seg også å være til stor hjelp i videre studium av polyedere. En slik sammenheng er Eulers formel. Formelen er oppkalt etter Leonhard Euler, en meget smart og allsidig matematiker og fysiker som levde på 1700-tallet. Mange vil si han er grafteoriens far, og han har også bidratt til matematisk analyse, tallteori, logikk, astronomi og fysikk - for å nevne noe. Formelen vi skal se på her knytter antall hjørner, kanter og sideflater på et polyeder til hverandre. I denne seksjonen skal vi se på den orginale utgaven av formelen hans som bare stemmer for visse polyedere. Den stemmer for enkeltsammenhengende polyedere. Enkeltsammenhengende vil si at enhver lukket kurve på polyederets overflate deler polyederet i to deler. Konvekse polyedere er enkeltsammenhengende. Senere skal vi se på en generalisert form som gjelder for alle polyedere. Teorem La P være et enkeltsammenhengende polyeder, og v, e og f være henholdsvis antall hjørner, kanter og sideflater. Da gjelder følgende sammenheng: v e + f = 2 Bevis. Anta at P er enkeltsammenhengende. Vi skal vise at da stemmer formelen. Dette skal vi gjøre ved å fargelegge P. Vi skal bruke to farger, la oss si blå og rosa. Vi starter med å fargelegge en vilkårlig kant blå. Hjørnene i hver ende av denne kanten er nå også blå. Videre skal vi fargelegge kanter på følgende måte: Vi finner en kant som har et blått hjørne og et hjørne som ikke er fargelagt, og fargelegger denne. Vi har ikke lov til å fargelegge kanter der begge hjørnene er fargelagt eller der ingen hjørner er fargelagt. Vi fortsetter å fargelegge kantene blå på denne måten helt til det ikke lenger er noen kanter igjen vi kan fargelegge. Da er nødvendigvis alle hjørnene fargelagt. Hvor mange blå kanter har vi i forhold til antall hjørner? Da vi fargela den første kanten, fargela vi to hjørner. Etter det fargela vi ét hjørne hver gang vi fargela én kant. Dvs. at det må være v 1 blå kanter. La oss nå se på den ufargede delen av P. Den består av sideflatene til P og dens ufargede kanter. Anta for motsigelse at denne delen ikke er sammenhengende. Da må det finnes en løkke med blå kanter som deler den i minst to deler. Men for å fullføre en slik løkke med blå kanter måtte den siste kanten vi fargela ha hatt to blå hjørner. Dette var ikke lov, så dette er en selvmotsigelse. Den ufargede delen er altså sammenhengende. For å undersøke denne delen videre skal vi fargelegge sideflater rosa. Sideflatene har noen blå og noen ufargede kanter tilknyttet seg. Vi skal fargelegge på følgende måte: Når vi fargelegger en gitt sideflate rosa, lar vi de blå kantene rundt fortsette å være blå, imens vi farger de ufargede kantene rosa. Vi velger en vilkårlig sideflate å fargelegge først. Deretter skal vi velge en sideflate med nøyaktig en rosa kant og fargelegge denne. Vi har altså bare lov å fargelegge sideflater med nøyaktig en rosa kant. Vi fortsetter slik til dette ikke lenger er mulig. Påstanden er nå at vi har fargelagt alle sideflatene. Anta for motsigelse at det finnes en ufarget sideflate som har to eller flere

14 14 KAPITTEL 2. POLYEDERE rosa kanter. Da finnes det minst to distinkte stier fra denne sideflaten til sideflaten vi startet med som bare beveger seg på rosa fargelagte sideflater og kanter (disse stiene går da på måten: sideflate-kant-sideflate-kant osv.). Sammen vil disse stiene danne en lukket kurve. Det må finnes hjørner både innenfor og utenfor denne lukkede kurven. Av antagelsen om at P er enkeltsammenhengende, må denne lukkede kurven dele P i to deler. Men dette er umulig: vi viste at begge disse delene innholder hjørner, men alle hjørnene er med i den blå fargelagte delen som er sammenhengende og den lukkede kurven var uten blå kanter. Så alle sideflatene må være fargelagte. La oss finne ut hvor mange sideflater det er, i forhold til antall rosa kanter. Bortsett fra den første, fargela vi bare sideflater som hadde nøyaktig en rosa kant, og på den måten får vi telt alle de rosa kantene. Det er altså f 1 rosa kanter. Nå er alle kantene fargelagt - noen blå, andre rosa. Vi har da følgende: e = antall blå kanter + antall rosa kanter = v 1 + f 1 som var det vi skulle vise. e = v + f 2 v e + f = 2 Dette er jo unektelig et vakkert resultat! Eulers formel legger visse begrensinger på hvilke verdier vi kan tillate for v, e og f. Vi kan for eksempel ikke ha 10 hjørner, 14 kanter og 20 sideflater, da = På den annen side må vi også ha f 4, v 4 og e 6, da et konvekst polyeder bestående av fire trekantede sideflater er det konvekse polyederet vi kan lage som har minst antall sideflater, kanter og hjørner. Dette er fordi trekanten er den type sideflate med minst antall kanter og hjørner, og fordi vi må ha minst tre sideflater tilstøtende med den første trekantede sideflaten. Bortsett fra dette, finnes det verdier for v, e og f som tilfredstiller Eulers formel, men som allikevel ikke kan realiseres som konvekse polyedere? Svaret er: ja, det gjør det. Ganske mange faktisk. Vi skal se på et korollar som gir oss flere kriterier et konvekst polyeder må oppfylle. Men før vi ser på dette, la oss gjøre oss noen observasjoner. La oss se på antall sideflater, f. Til hver sideflate hører det minst tre kanter. Hver av disse kantene hører til nøyaktig to sideflater. Dette gir oss at: 2e 3f (2.1) Ser vi nå på antall hjørner, v, kan vi tenke på en liknende måte. Graden til hvert av hjørnene er minst 3, og hver kant tilhører nøyaktig 2 hjørner. Da får vi at: 2e 3v (2.2)

15 2.1. KONVEKSE, REGULÆRE POLYEDERE 15 Disse observasjonene, sammen med Eulers formel, gir oss begrensinger for hvilke verdier for v, e og f som kan realiseres. Vi skal se på to av konsekvensene av dette. Korollar Det finnes ingen konvekse polyedere slik at alle sideflatene har seks eller flere kanter. Bevis. Vi skal i dette beviset benytte oss av Eulers formel og likning 2.2. La oss først gjøre om litt på Eulers formel: v e + f = 2 v + f = e + 2 3v + 3f = 3e + 6 Kombinerer vi dette med likning 2.2, får vi: 2e + 3f 3e + 6 3f e 6 (2.3) La nå P være et konvekst polyeder, og la f n betegne antallet sideflater i P som har n kanter. Det totale antallet kanter blir da: f = f 3 + f 4 + f 5 + f f n + Vi vet også at det finnes n kanter som tilhører hver n-kantede sideflate, og at hver av disse kantene tilhører nøyaktig to sideflatene, så derav får vi: 2e = 3f 3 + 4f 4 + 5f 5 + 6f nf n + La oss doble likning 2.3, og sette inn: 3f e 6 6f 2e 12 6(f 3 +f 4 +f 5 +f 6 + +f n + ) (3f 3 +4f 4 +5f 5 +6f 6 + +nf n + ) 12 3f 3 + 2f 4 + f 5 f 7 (n 6)f n 12 For at dette skal stemme, må minst en av f 3, f 4 eller f 5 være større enn null, hvis ikke blir det på venstre side mindre enn null, men det skal jo være større eller lik 12. Det vil altså si at vi må ha minst én sideflate som er en trekant, firkant eller femkant, og beviset er ferdig. Korollar Et hvert konvekst polyeder må ha minst ét hjørne som har grad mindre enn 6. Bevis. Dette vises på nøyaktig samme måte som Korollar 2.1.1, bare ved å bruke likning 2.1 isteden, dvs. å bytte ut alle f-ene i beviset med v-er.

16 16 KAPITTEL 2. POLYEDERE De platonske legemene De platonske legemene er kanskje de peneste å se på blant polyederene. De har fascinert mennesker i lange tider, sannsynligvis av nettopp denne grunn. Mange har til og med tillagt dem mystiske egenskaper, blant annet at fire av dem representerer de fire elementene; ild, vann, jord og luft. De platonske legemene er de regulære, konvekse polyederene, og det er nøyaktig fem av dem. Navnene sine har de fått av Platon, selvom det trolig ikke var Platon som studerte dem først. Det er funnet menneskeskapte gjenstander med formen til platonske legemer som daterer helt tilbake til 2000 år før Kristus. Grekerne var nok allikevel de som studerte dem først, Euklid skriver at det var Pytagoreerne og Theaetetus som studerte de først ([Ell01]). Vi skal se på to bevis på hvorfor det bare finnes fem platonske legemer, et geometrisk og et kombinatorisk argument. Begge bevisene går ut på at det ikke finnes flere enn fem regulære polyedere. Vi trenger strengt tatt også å vise at disse fem eksisterer. Dette kan man gjøre ved å konstruere dem. Vi skal gjøre det for et av dem, den interesserte leser kan ta en kikk på [Cro97], s , for konstruksjon av alle de fem platonske legemene. Konstruksjon av de Platonske legemene De platonske legemene har navn som følger: tetraederet, kuben, oktaederet, ikosaedret og dodekaederet. Tetraederet, oktaederet og ikosaedret består av trekantede sideflater, kuben har som kjent kvadratiske sideflater og dodekaederet har femkantede sideflater. Hvordan de ser ut vises på Figur 2.1, og for en oversikt over hvor mange hjørner, kanter og sideflater de har, se tabellen under. De har schläfli-symbolene {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {3, 5} og {5, 3}. Selvom det kan føles lett å overbevise seg selv om at disse legemene finnes ved å se på bildene, må man konstruere dem for å realisere dem som konvekse innhyllinger i rommet. Vi skal gjøre dette for ikosaedret. Figur 2.1: De platonske legemene. Fra venstre: tetraederet, kuben, oktaederet, ikosaedret og dodekaederet.

17 2.1. KONVEKSE, REGULÆRE POLYEDERE 17 Navn Antall hjørner Antall kanter Antall sideflater Tetraeder Kube Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder Konstruksjon av ikosaedret Anta at vi har konstruert en kube. Alle hjørnene i ikosaedret finnes da på kubeoverflaten. La oss se hvordan vi finner dem. Se på en av de kvadratiske sideflatene på kuben. Kall hjørnene for A, B, C og D som på figuren til høyre. Finn midtpunktene på AB og CD. Kall dem E og F. Trekk linjen EF. Kall midtpunktet på EF for G. Del EG i det gylde snitt slik at den korteste biten er nærmest E. Kall delepunktet H. Del så GF i det gylne snitt slik at den korteste biten er nærmest F. Kall delepunktet J. H og J er nå to av hjørnene i ikosaedret. Gjør dette på alle sideflatene av kuben på følgende måte: Del slik at midtlinjene på topp og bunn av kuben er parallelle. La så midtlinjene på de gjenstående sideflatene være annenhver vertikal og horisontal, og unngå at det dannes et kvadrat av midtlinjer med midtlinjen på toppen, bunnen og to av sidene. Trekk så linjene fra de ønskede punktene til alle ønskede punkter på nabo-sideflater som er i kortest avstand fra hverandre. Da har du ikosaedret. De tolv punktene bestemmer også hjørnene i tre gylne rektangler som alle står vinkelrett på hverandre, se Figur 2.2. Figur 2.2: Gylne rektangler innskribert i ikosaederet. Liknende beskrivelser kan gjøres for konstruksjon av de andre fire platonske legemene. Selvom vi ikke skal konstruere de andre her, er det en ting som kan være verdt å merke seg. Tar du en kikk på tabellen over, eller på schläfli-symbolene til de platonske legemene, vil du legge merke til en symmetri. Du vil se at ikosaedret har like mange sideflater som dodekaederet har

18 18 KAPITTEL 2. POLYEDERE hjørner og omvendt. Det samme gjelder kuben og oktaederet. Vi sier at de er duale. Tetraederet er sin egen dual. Man kan av denne grunn konstruere kuben fra oktaederet og omvendt, og også konstruere ikosaedret fra dodekaederet og omvendt. Dette gjøres ved å finne midtpunktene på alle sideflatene til respektive polyeder og disse vil da danne hjørnene til dens dual. Hvis du gjør dette på et tetraeder vil du bare få et nytt tetraeder med motsatt orientering. Når man har konstruert de fem platonske legemene, vet man at de eksisterer. For å vise at det er nøyaktig fem regulære, konvekse polyedere gjenstår det å vise at det ikke finnes flere enn disse fem vi har sett på. Dette skal vi gjøre nå - på to forskjellige måter. To bevis for at det bare finnes fem regulære, konvekse polyedere I begge bevisene vi skal se på antar vi at vi har konstruert alle de fem platonske legmene, så vi vet at de eksisterer. Det første beviset vi skal se på likner hvordan Euklid gjorde det i Elementer. Det er et geometrisk bevis, der vi kun benytter elementær matematikk. La oss først formulere det vi ønsker å vise i et teorem. Teorem Det finnes nøyaktig fem regulære, konvekse polyedere. Disse kalles de platonske legemene. Figur 2.3: Hjørnekonfigurasjoner til de platonske legemene Bevis. (Geometrisk) I dette beviset skal vi se på hjørnene i regulære, konvekse polyedere. Det vi vet om et slikt hjørne er at det må bestå av minst tre regulære mangekanter (to mangekanter kan ikke danne et polyederhjørne). Vi vet også at vinkelsummen av hjørnene til mangekantene som ligger rundt polyederhjørnet må være mindre enn 2π. Det er lett å overbevise seg selv om dette (Se Figur 2.3). Er vinkelsummen 2π, vil mangekantene ligge plant, og vi vil ikke kunne danne et tre-dimensjonalt hjørne. Er den mer enn 2π, vil vi ikke kunne lage et konvekst hjørne. Den eneste måten å lage et tre-dimensjonalt hjørne med en vinkelsum større enn 2π er å lage en slags trekkspillformasjon med mangekantene, noe som ikke er konvekst. Når vi har fått denne begrensningen på plass, er det ikke så mange alternativer igjen. Vi må jo bruke regulære mangekanter av samme type. Vi kan bruke tre, fire eller fem trekanter, seks gir 2π, så det er plant. Vi kan bruke tre firkanter, fire blir 2π. Vi kan bruke tre femkanter, fire blir mer enn 2π. Vi kan ikke bruke mangekanter med seks eller flere kanter, da allerede tre sekskanter gir 2π, som er plant. Så vi har altså

19 2.1. KONVEKSE, REGULÆRE POLYEDERE 19 maksimalt fem muligheter for å lage regulære, konvekse polyedere, tre med hjørner dannet av trekanter, et med hjørner dannet av firkanter og et med hjørner dannet av femkanter. Disse realiseres som tetraederet, oktaederet, ikosaedret, kuben og dodekaederet. Før vi kan gå videre på det andre beviset, trenger vi et lite resultat som kan hjelpe oss på vei. Dette resultatet involverer begrepet graden til et hjørne i en graf. Vi minner om at en graf er en mengde hjørner, der noen av dem er forbundet til hverandre med kanter. Definisjon Graden til et hjørne v i en graf er hvor mange kanter som går utifra dette hjørnet. Vi betegner denne med deg(v). Vi er nå klare til å se på et lite lemma. Lemma La v 1, v 2,..., v n være hjørnene i en graf G og la G ha e kanter. Da er n i=1 deg(v i) = 2e Bevis. Hver kant e ij har akkurat to ender, hjørnene v i og v j. Når du summerer opp gradene til alle hjørnene i en graf vil du derfor summere alle kantene akkurat to ganger. Graden til et hjørne er jo hvor mange kanter som går ut ifra det, og kanten e ij vil da telles en gang i deg(v i ) og en andre gang i deg(v j ). Av dette har vi at n i=1 deg(v i) = 2e La oss nå se på det andre beviset for at det er fem regulære, konvekse polyedere. Bevis. (Kombinatorisk) La {p, q} være schläfli-symbolet til et polyeder P, og v, e og f være henholdsvis antallet hjørner, kanter og sideflater til P. Vi skal bruke Lemma til å utrykke e og f ved hjelp av v, p og q. Hver sideflate har p kanter. Teller vi opp disse på alle sideflatene vil vi få 2e, da alle kanter er på to sideflater. Så 2e = pf. Det er q kanter som møtes i hvert hjørne, så deg(v) = qv der vi har summert over alle hjørnene til P. Fra Lemma 2.1.1, får vi da at 2e = qv. Dette gir oss følgende: e = qv 2, f = 2e p = qv p Dette kan vi sette inn i Eulers formel. Da får vi: 2 = v e + f = v qv 2 + qv ( p = v 1 q 2 + q ) p

20 20 KAPITTEL 2. POLYEDERE Som videre gir oss: v = 2 1 q 2 + q p = 4p 2p pq + 2q > 0 (2.4) At det er større enn null kommer av at antall hjørner må være større enn null. Da p er et positivt tall betyr dette igjen at (2p pq + 2q) = 4 (p 2)(q 2) > 0. Vi vet også at p, q 3, og da kan vi se på hvilke muligheter vi får. La først p = 3. La så også q = 3. Da får vi 4 1 = 3 som er større enn null, så dette er i orden. Dette gir oss schläfli-symbol {3, 3}. La så q = 4. Det gir oss 4 2 = 2, som er større enn null, så også dette er i orden. Dette gir oss schläfli-symbol {3, 4}. Også q = 5, schläfli-symbol {3, 5}, fungerer, da 4 3 = 1 er større enn null. Prøver vi derimot med q = 6 får vi 4 4 = 0 som ikke er større enn null. Så dette er ikke en mulighet. Prøver vi med høyere verdier for q vil vi få noe som er mindre enn null, så dette er alle mulighetene for p = 3. La oss så prøve med p = 4. Setter vi så q = 3 får vi 4 2 = 2, så dette er en mulighet som gir oss schläfli-symbol {4, 3}. Prøver vi med q = 4 får vi 4 4 = 0, så dette er ingen mulighet. Schläfli-symbol {4, 3} er dermed den eneste muligheten for p = 4. La oss nå prøve med p = 5. Vi vil nå få én mulighet: schläfli-symbol {5, 3}. Setter vi q høyere enn 3, vil vi får noe som er mindre eller lik null. La oss prøve med p = 6 og q = 3. Dette gir 4 4 = 0, så p = 6 er ikke mulig i det hele tatt. Prøver vi høyere verdier for p vil det åpenbart heller ikke gå. Vi har dermed funnet alle mulig verdier vi kan ha for p og q, som gav oss schläfli-symbolene: {3, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 3} og {5, 3} Dette er akkurat schläfli-symbolene til de fem platonske legemene. Vi ser at de lokale hjørnedataene bestemmer de globale egenskapene til de regulære, konvekse polyederene. Når vi ser på regulære, konvekse polyedere begrenser vi utvalget polyedere så mye det er mulig - vi ser til og med at bare en gitt hjørnekonfigurasjon bestemmer de globale egenskapene i den regulære verden. Hvordan stiller dette seg dersom vi fjerner konveksitetbegrensningen? 2.2 Regulære stjernepolyedere I denne seksjonen skal vi bevege oss mot en litt annen type polyedere. Vi skal se at det å fjerne betingelsen om at polyederene våre skal være konvekse, gir oss fire nye regulære polyedere. Disse ble mye senere studert som regulære polyedere enn de platonske. Polyedere som ikke er konvekse kalles ofte for konkave eller for stjernepolyedere. Det som gjør disse annerledes enn de konvekse er i hovedsak to ting: sideflatene er generaliserte mangekanter, og sideflatene kan krysse hverandre. La oss se hva dette betyr. Generaliserte mangekanter omfatter de mangekantene vi er vant med, men de

21 2.2. REGULÆRE STJERNEPOLYEDERE 21 omfatter også mangekanter der sidene krysser hverandre. Et eksempel på dette er et pentagram. Vi kaller slike mangekanter for stjerne-mangekanter. Regulære slike har liknende egenskaper som vanlige regulære mangekanter: alle sidene er like lange, alle vinklene er like store og alle hjørnene ligger på en sirkel. Den største forskjellen er kanskje at dersom vi tegner opp en slik mangekant vil vi hoppe over noen hjørner når vi tegner en side og når vi er ferdig vil vi ha bevegd oss rundt sirkelens sentrum mer enn en gang. Når vi, for eksempel, tegner et pentagram, hopper vi over et hjørne hver gang vi tegner en side, og har til sammen bevegd oss rundt sirkelens sentrum to ganger når vi har tegnet hele, Figur 2.4: Pentragrammet er en generalisert dette kan man overbevise seg om ved å se på Figur 2.4. Merk at selvom sidene krysser hverandre er mangekant det fortsatt bare to sider som møtes i hvert hjørne. Selvom det kan se ut som det er noen steder der fire eller flere sider møtes, er ikke dette et hjørne men bare et krysningspunkt mellom flere sider. Som nevnt vil også sideflatene i et stjernepolyeder krysse hverandre. Mer formelt kan vi si at en linje fra sentrum i et stjernepolyeder vil gå gjennom mer enn én sideflate før den når utsiden av polyederet. En linje fra sentrum av et konvekst polyeder vil bare gå gjennom én sideflate på vei ut (vi ser her bort ifra at linjen krysser polyederet i en kant eller et hjørne). Apriori, når man ser på et stjernepolyeder, kan det være lett å tenke at det består av trekantede sideflater, og at disse ikke krysser hverandre, men med denne tankegangen blir ingen av stjernepolyederene regulære. Det som gir oss flere regulære polyedere er å la regulære mangekanter krysse hverandre for å danne et polyeder Kepler-Poinsot stjernepolyederene De regulære stjernepolyederene kalles for Kepler-Poinsot stjernepolyederene, fordi de ble først studert av Johannes Kepler og Louis Poinsot. Sideflatene deres krysser hverandre, noe som kan visauliseres ved å ta en titt på Figur 2.5. Figuren viser Kepler-Poinsot stjernepolyederene, og en av sideflatene til hvert av dem er farget med gult. Vi ser at ikke hele sideflaten synes, da andre sideflater krysser denne. Navnene deres er som følger: lille stjernedodekaeder, store stjernedodekaeder, store ikosaeder og store dodekaeder. Disse navnene ble gitt til dem av Arthur Cayley i Grunnen til at han gav dem disse navnene vil bli klarere etterhvert. Vi ser at to av dem har pentagramformet sideflate, ett har trekantet sideflate og ett har femkantet sideflate. De to første ble studert av Kepler, da han så på polyedere som er satt sammen av stjerne-mangekanter. Poinsot oppdaget de to siste, da han også tillot at

22 22 KAPITTEL 2. POLYEDERE Figur 2.5: Kepler-Poinsot stjernepolyederene. Fra venstre: lille stjernedodekaeder, store stjernedodekaeder, store ikosaeder og store dodekaeder [Wika]. hjørnefigurene kunne være stjerne-mangekanter - hjørnefigurene på de to siste er nemlig pentagrammer. Hjørnefigurer er alltid regulære for regulære polyedere. Dersom man går rundt sentum på en slik hjørnefigur n ganger når man tegner den, vil sideflatene som møtes i hjørnet omkranse hjørnet n ganger [Cro97]. Når vi ser på stjernepolyedere bruker vi en generalisert form av schläflisymbolet (vi kommer også til å se på hvordan dette tar seg ut for stjernepolytoper, generaliseringen av stjernepolyedere i flere dimensjoner, senere). Vi tillater nå at leddene er brøker, dvs at vi får et schläfli-symbol på formen { p n, q m }. n er antall ganger mangekantene som utgjør sideflatene omkranser sitt sentrum, og m er antall ganger mangekantene som utgjør hjørnefigurene omkranser sitt sentrum. Schläfli-symbolet til pentagrammet er for eksempel { 5 2 }, da pentagrammet har fem sider og vi beveger oss rundt sentrum to ganger når vi tegner pentragrammet, så pentagrammet omkranser sitt sentrum to ganger. Schläfli-symbolene til Kepler-Poinsot stjernepolyederene er da som følger: { 5 2, 5} (lille stjernedodekaeder), { 5 2, 3} (store stjernedodekaeder), { 3, 5 { 2} (store ikosaeder) og 5, 5 2} (store dodekaeder). Vi kan se, ved å igjen ta en titt på Figur 2.5, at hjørnefigurene til lille stjernedodekaeder og store stjernedodekaeder er henholdsvis en femkant og en trekant. Resten av leddene har vi gjort rede for. Vi ser også at de regulære stjernepolyederene kommer i duale par. For å vise at disse, sammen med de platonske legemene, er de eneste regulære polyederene, skal vi bruke det at vi allerede har vist at de platonske er regulære. Tenk deg at du står på innsiden av et stjernepolyeder. Hvordan vil veggene rundt deg se ut? Du vil stå inne i en konveks kjerne, hvis sideflater ligger i planene gjennom stjernepolyederets sideflater. Vi skal vise at kjernene til regulære stjernepolyedere må være platonske legemer, og bruke dette til å vise at Kepler-Poinsot stjernepolyederene er de eneste regulære stjernepolyederene. For å gjøre dette trenger vi en ny definisjon av regularitet (som er ekvivalent med vår tidligere definsjon på regularitet). Dette er en definisjon Augustin Louis Cauchy kom opp med på 1800-tallet. Definisjon Et polyeder er regulært dersom det er hjørne-transitivt, kant-transitivt og sideflate-transitivt. Tenk deg for eksempel at du har en dodekaeder-formet gjenstand som

23 2.2. REGULÆRE STJERNEPOLYEDERE 23 du oppbevarer i et dodekaeder-formet etui av tilsvarende størrelse. Da kan du bestemme hvilken som helst av sideflatene på dodekaederet som du vil skal vende mot bunnen av etuiet. Du kan også velge en kant eller et hjørne på bunnen av etuiet, og en kant eller et hjørne på gjenstanden, og rotere gjenstanden slik at også disse møtes. Det er dette definisjonen går ut på, den gjelder for både de konvekse regulære polyederene, og de regulære stjernepolyederene. La oss nå bruke dette til å vise at kjernene til regulære stjernepolyedere er platonske legemer. Lemma Planene gjennom sideflatene til et regulært stjernepolyeder sammenfaller med planene gjennom sideflatene til et platonsk legeme. Bevis. La oss betrakte et regulært stjernepolyeder, og la oss ha i bakhodet at dersom vi har to utgaver av dette polyederet kan vi få hvilken som helst sideflate fra det første til å sammenfalle med hvilken som helst sideflate fra det andre. Dette er nettopp fordi polyederene er regulære, og alle sideflatene er da like. La oss igjen plassere oss i midten av dette regulære stjernepolyederet. Dersom sideflatene ikke er gjennomsiktige, vil vi rundt oss se en konveks kjerne, dannet av planene gjennom sideflatene til stjernepolyederet. Dersom vi så lar en sideflate i det første stjernepolyederet sammenfalle med en gitt sideflate i et identisk et, vil polyederene sammenfalle. Vi vet nå at planene gjennom sideflatene til det første polyederet vil sammenfalle med planene gjennom sideflatene til det andre polyederet, derfor vil også kjernene til disse polyederene sammenfalle. Siden stjernepolyedet er sideflate-transitivt vil også derfor kjernen være side-transitiv. Alle sideflatene til kjernen må derfor være kongruente. Av Korollar 2.1.1, vet vi da at sideflatene må være trekanter, firkanter eller femkanter. Enhver sideflate i stjernepolyedet kan roteres på seg selv på flere måter. La sideflatene ha n sider, da kan en sideflate roteres på seg selv på n måter. Men da kan sideflatene til kjernen roteres på seg selv på minst n måter. La sideflatene i kjernen ha p sider, da må p være et multippel av n. Men n er minst tre (siden n er antall sider i sideflatene til stjernepolyederet), og p kan bare være 3, 4 eller 5. Så derfor må p = n. Dette betyr at kjernen er både kant-transitiv og hjørne-transitiv. Kjernen er derfor et regulært, konvekst polyeder - et platonsk legeme. Planene gjennom sideflatene til kjernen sammenfaller med planene gjennom sideflatene til stjernepolyederet, så vi har vist det vi skulle vise. Det vi nå skal gjøre er å finne alle regulære stjernepolyedere ved å betrakte deres kjerner, som vi nå vet er platonske legemer. Vi skal se på de platonske legemene, et for et, og se hvilke stjernepolyedere vi kan danne med dem som kjerner. Teorem De fire Kepler-Poinsot stjernepolyederene er de eneste regulære stjernepolyederene.

24 24 KAPITTEL 2. POLYEDERE Bevis. Gjennom dette beviset kan det kan være lurt å ha modeller av de platonske legemene foran seg for å lettere se for seg hva som foregår. Vi vet fra Lemma at kjernen til et regulært stjernepolyeder er et platonsk legeme. Vi skal derfor ta for oss alle de platonske legemene og se hvilke stjernepolyedere de kan være kjerne til. Vi vet at planene gjennom sideflatene til kjernen til en regulært stjernepolyeder sammenfaller med planene gjennom dets sideflater. Dvs. at når vi ser på de platonske legemene, må planene gjennom sideflatene til disse kunne møtes igjen slik at de danner et stjernepolyeder. La oss se på kuben først. Planene gjennom sideflatene til kuben møtes aldri igjen - de står jo vinkelrett på hverandre. Så kuben kan ikke være en kjerne til noe stjernepolyeder. Det samme gjelder tetraederet. La oss nå se på oktaederet. Sideflatene til oktaederet, i likhet med hos ikosaedret og dodekaederet, kommer i parallelle par. La oss nå tenke oss at vi plasserer oktaederet på et bord. Da får vi en bunn-sideflate, som ligger mot bordet, og en topp-sideflate. Vi skal videre se på hvordan grupper av sideflater kan forlenges til å avgrense nye sideflater i planet gjennom toppsideflaten. Slike grupper må være plassert symmetrisk rundt aksen som går gjennom sentrum av topp- og bunn-sideflaten. Sideflatene til oktaederet kan vi på denne måten dele inn i fire grupper: toppen, bunnen, de sideflatene som er tilstøtende med toppen (tre stykker) og de som er tilstøtende med bunnen (tre stykker). Hverken toppen eller bunnen avgrenser noen nye sideflater hvis plan går gjennom topp-sideflaten. Gruppen av sideflater som ligger tilstøtende med toppen avgrenser bare toppsideflaten. Gruppen av sideflater som ligger tilstøtende med bunnen vil avgrense en ny sideflate som ligger i planet gjennom topp-sideflaten. Dette vil være en trekantet sideflate med dobbelt så lange sider som sidene til oktaederets sideflater. Lager vi, på tilsvarende måte, åtte slike sideflater står vi igjen med et legeme som kalles stella octangula (Se Figur 2.6a). Dette er et legeme som er sammensatt av to tetraedere, og er ikke et regulært stjernepolyeder slik vi er på jakt etter (sammensatte polyedere er nemlig ikke polyedere). Dette var den eneste måten sideflate-gruppene kunne avgrense nye sideflater, så ingen regulære stjernepolyedere har oktaederet som kjerne. (a) Stella octangula (b) Ikosaedrets grupper av sideflater Figur 2.6 La oss nå se på ikosaedret. Vi kan også legge ikosaederet på et bord og få en topp og en bunn. I tillegg til topp og bunn har ikosaederet seks sideflate-

25 2.2. REGULÆRE STJERNEPOLYEDERE 25 grupper, jeg kaller fem av dem A, B, C, D og E, se Figur 2.6b. Den siste gruppen består av de sideflatene som er tilstøtende med toppen. Hverken toppen, bunnen eller gruppen som er tilstøtende med toppen danner noen nye sideflater i planet gjennom topp-sideflaten. Både gruppe C og D avgrenser trekantede sideflater i planet gjennom toppsideflaten. Lager vi 20 slike trekanter, en på hver av ikosaederets sideflater, får vi et legeme som er sammensatt av fem oktaedere. Dette er ikke det vi er på utkikk etter. Både gruppe B og E avgrenser litt større trekantede sideflater i planet gjennom topp-sideflaten. Lager vi 20 av disse får vi et sammensatt polyeder av fem tetraedere, som heller ikke er det vi er på utkikk etter. Gruppe A (som er de sideflatene tilstøtende med bunnen) danner enda større trekantede sideflater i planet gjennom topp-sideflaten. Lager vi 20 av disse får vi endelig et regulært stjernepolyeder - store ikosaeder, { 3, 5 2}. Da har vi sett på alle muligheter for ikosaederet, og vi kunne danne et stjernepolyeder med ikosaederet som kjerne. Til slutt tar vi for oss dodekaederet. Vi kan igjen plassere dodekaederet på bordet og få en topp og en bunn. Vi får to andre sideflate-grupper: de fem som er tilstøtende med toppen, og de fem som er tilstøtende med bunnen. Hverken toppen eller bunnen avgrenser nye sideflater i planet gjennom topp-sideflaten. De tilstøtende med toppen avgrenser topp-sideflaten, men også et pentagram i samme plan. Dette pentagrammet kan formes ved å forlenge sidene til topp-sideflaten. Lager vi et slikt pentagram på hver av de 12 sideflatene til dodekaederet får vi et regulært stjernepolyeder - lille stjernedodekaeder, { 5 2, 5}. De fem sideflatene tilstøtende med bunnen avgrenser to nye sideflater i planet gjennom topp-sideflaten: en femkantet og et pentagram. Femkanten har samme hjørner som pentagrammet som dannet lille dodekaeder og pentagrammet disse sideflatene avgrenser kan dannes ved å forlenge den nye femkantens sider. Lager vi en femkant på hver av de 12 sideflatene til dodekaederet, lik den avgrenset av sideflatene tilstøtende med bunnen, får vi store dodekaeder, { 5, 5 2} - et regulært stjernepolyeder. Gjør vi det samme med pentagrammet avgrenset av sideflatene tilstøtende med bunnen; lager en på hver av dodekaederets sideflater; får vi store stjernedodekaeder, { 5 2, 3}. Dette er alle mulige regulære stjernepolyedere vi kan danne med dodekaederet som kjerne - i alt tre stykker. Vi har nå sett på alle mulige regulære stjernepolyedere det er mulig å danne - og de var bare fire, nemlig Kepler-Poinsot stjernepolyederene. Dette beviset gir oss også en måte å konstruere de fire regulære stjernepolyederene på, så vi har også vist deres eksistens. Det finnes altså ni regulære polyedere. Legg merke til at det å tillate stjernepolyedere som polyedere er litt det samme som å tillate stjerne-mangekanter som mangekanter. Slik som vi kan konstruere stjerne-mangekanter ved å forlenge sidene til konvekse mangekanter, kan vi konstruere stjernepolyedere ved å forlenge sideflatene til

26 26 KAPITTEL 2. POLYEDERE konvekse polyedere. Det gir oss flere frihetsgrader å ikke nødvendigvis måtte ha noe som er konvekst. Det tok lang tid før matematikere innså dette, det var lenge bare de fem platonske som ble ansett som regulære polyedere. Det var en slags underliggende forståelse av at ting skulle være konvekse. La oss nå ta et steg tilbake. Hva har skjedd siden vi fjernet konveksistetbegrensingen? Vi ser at de lokale hjørnedataene fortsatt bestemmer de globale egenskapene. Vi ser til og med at en gitt hjørnekonfigurasjon fortsatt bestemmer de globale egenskapene. Dette kan vi for eksempel se ved å observere at de har unike Schläfli-symbol. Så begrensingen konveksitet endrer ikke hvor mye de lokale hjørnedataene bestemmer. Alle de regulære polyederene stiller på denne måten likt. Etter å ha sett det siste beviset, er det kanskje klarere hvorfor de regulære stjernepolyederene har de navnene de har. Vi så at de som heter noe med dodekaeder; lille stjernedodekaeder, store stjernedodekaeder og store dodekaeder; har dodekaederet som kjerne. Det som heter noe med ikosaeder, store ikosaeder, har ikosaederet som kjerne. De som heter noe med stjerne har stjerne - eller pentagramformede sideflater, mens de som bare heter store ikosaeder og store dodekaeder har samme type sideflate som sin kjerne - bare større. Forskjellen på lille stjernedodekaeder og store stjernedodekaeder er at, dersom dodekaederkjernene deres er like store, har store stjernedodekaeder større sideflate enn lille stjernedodekaeder. Det finnes også en annen måte å vise at det bare finnes fire regulære stjernepolyedere på. Det viser seg nemlig at den konvekse innhyllingen av et regulært stjernepolyeder er et platonsk legeme. Vi skal ikke ta beviset for det her, men det likner på beviset for Lemma Vet man dette kan man se på ulike mangekanter man kan finne inni et platonsk legeme. Med at en mangekant er inni et polyeder mener vi her at vi finner en mangekant som er på innsiden av polyederet og som har sine hjørner i polyederets hjørner, men som ikke er polyederets sideflater. Man kan for eksempel finne kvadrater, regulære trekanter, regulære femkanter og regulære pentagrammer inne i dodekaederet. Ser man på mulige sammensetninger av disse, finner man et av de regulære stjernepolyederene inni dodekaederet og tre inni ikosaederet. De andre kombinasjoene inni de forskjellige platonske legemene gir ikke regulære stjernepolyedere. Dette viser igjen at det bare er fire regulære stjernepolyedere (selvom vi her bare har skissert hvordan dette beviset kan føres). Dette viser også, på en interessant måte, at dodekaederet og ikosaederet er duale - de stjernepolyederene som har dodekaederet som kjerne har ikosaederet som konveks innhylling og omvendt. I betraktingen av generaliserte mangekanter og polyedere, kan tanken om generaliserte polytoper lett komme. Vi skal senere se at stjernepolyedere finnes i fire dimensjoner, men ikke i høyere dimensjoner enn fire. Dette er jo litt rart. Men vi skal ikke bevege oss opp i dimensjoner helt enda, nå skal vi ta en titt på de uniforme polyederene.

27 2.3. UNIFORME POLYEDERE Uniforme polyedere Nå skal vi løsne tøylene våre litt og tillate sideflatene å være av ulike typer. La oss se på definsjonen av et uniformt polyeder. Definisjon Et uniformt polyeder er et polyeder der alle sideflatene er regulære mangekanter og som er hjørne-transitivt. Hvis vi ser nøye på definisjonene av et regulært og et uniformt polyeder, ser vi at det som først og fremst skiller dem er at vi tillater ulike typer sideflater for de uniforme polyederene. De er fortsatt på mange måter regulære - sideflatene er regulære mangekanter og alle hjørnene har lik konfigurasjon - men bare ikke like regulære som de ni vi har sett på til nå. De har derfor fått et annet navn, og det er også mange fler av dem enn bare de ni regulære. De ni regulære polyederene er også uniforme, men et uniformt polyeder er ikke nødvendigvis regulært. Vi ser også at de er hjørnetransitive. De er derimot ikke kant-transitive og sideflate-transitive, slik som de regulære. Nå har vi fjernet begrensingen om at alle sideflatene skal være like. Hvordan stiller nå de lokale hjørnedataene? Siden uniforme polyedere skal være hjørne-transitive må alle hjørner være identiske. Når vi er gitt disse polyederenes lokale hjørnedata, vil de da, også i dette tilfellet, bestemme de globale egenskapene. Det finnes følgende kategorier av uniforme polyedere: de platonske legemene, Kepler-Poinsot stjernepolyederene, prismer, antiprismer, de arkimediske legemene og uniforme stjernepolyederene. Prismene og antiprismene finnes det uendelig mange av, men hvis vi se bort i fra disse kan man vise at det finnes totalt 75 uniforme polyedere. Vi skal ikke ta beviset for dette i denne avhandlingen (dette må gjøres ved hjelp av en datamaskin), men vi skal beskrive de ulike kategoriene. De to første kategoriene har vi allerede tatt for oss, vi skal i denne seksjonen se på de andre kategoriene Prismer og antiprismer Figur 2.7: Et prisme på en sekskant. Det finnes uendelig mange prismer og antiprismer, både konvekse og i ulike stjerneformer. Et prisme dannes ved å la to identiske, regulære mangekanter ligge i to parallelle plan slik at alle sidene også ligger parallelt med hverandre. Avstanden mellom disse planene må være like lang som lengden av sidene til de regulære mangekantene. Man trekker så linjer mellom hjørner som ligger i den nederste mangekanten til hjørner som ligger rett over disse i mangekanten over. Merk: det finnes også prismer og antiprismer som ikke er uniforme; som for eksempel ikke består av regulære mangekanter; men når vi her sier prismer og antiprismer mener vi de uniforme. Merk også at vi kan lage både konvekse

28 28 KAPITTEL 2. POLYEDERE og ikke-konvekse prismer. Mangekanten vi bruker som bunn og topp kan for eksempel være et pentagram eller en annen stjerne-mangekant. Da vil sideflatene krysse hverandre. Når vi skal konstruere et antiprisme starter vi med samme utgangspunkt som for et prisme: To mangekanter som ligger i to parallelle plan, slik at sidene i de to er parallelle. La oss si at mangekantene har n sider hver. Vi roterer da den ene mangekanten π n radianer i forhold til den andre. Vi trekker så linjer fra et hjørne i den nederste mangekanten til begge hjørnene til kanten som er nærmest dette hjørnet i mangekanten over.vi får da to n- kanter som er separert av en ring med 2n trekanter. Avstanden mellom de to parallelle planene som mangekantene befinner seg i, bestemmes slik at disse trekantene blir likesidede. Et prisme er to n-kanter separert av n kvadrater. Også antiprismene finnes det både konvekse og ikke-konvekse utgaver av. Det finnes uendelig mange prismer og antiprismer siden det finnes uendelig mange regulære mangekanter. Figur 2.8: To antiprismer med fjorten hjørner: et konvekst og et ikkekonvekst. Kilde: [Wikb] De arkimediske legemene De arkimediske legemene er kanskje de mest studerte uniforme polyederene, etter de platonske legemene. Det er de eneste konvekse uniforme polyederene, ved siden av de platonske legemene, prismene og antiprismene. Grunnen til at disse har blitt mye mer studert enn prismene og antiprismene er kanskje at de er mer interessante i den forstand at prismene og antiprismene er lette å beskrive, sammenliknet med de arkimediske. Det finnes også bare 13 arkimediske legemer, sammenliknet med prismene og antiprismene som det finnes uendelig mange av. Kepler, et av de menneskene som har studert disse legemene i detalj, mente også at de er mer perfekte enn prismene og antiprismene siden de er mer like kulen - den perfekte form. Det er altså noen spennende kombinatoriske egenskaper ved disse legemene som gjør at vi bare kan få 13 stykker. Figur 2.9 på neste side viser alle de 13 legemene, delt inn

29 2.3. UNIFORME POLYEDERE 29 i tre kategorier: de avkortede, de rombiske og de snubbede. Legemene er delt inn i disse kategoriene etter hvordan de kan konstrueres. Alle legemene konstrueres ved å bruke et av de platonske legemene som utgangspunkt. Vi skal kort demonstrere konstruksjonen av ét legeme innen hver kategori, og den interesserte leser kan ta en titt på [Ell01], s , for konstruksjon av alle 13. De avkortede legemene De avkortede legemene fremkommer ved å kutte av, eller avkorte, hjørner på de platonske legemene. Det finnes syv slike, som det fremgår av Figur 2.9. To av dem får vi ved å skjære av hjørnene på et platonsk legeme slik at sidekantene deles på midten. Vi merker altså av midtpunktene på alle kantene og kutter av alle hjørnene på disse markeringene. Gjør vi dette på et tetraeder får vi et nytt tetraeder. Gjør vi det på kuben eller oktaederet får vi kubusoktaederet. Gjør vi det på ikosaederet eller dodekaederet får vi ikosidodekaederet. Navnene er derav ganske beskrivende. Resten av de syv avkortede legemene får vi ved å avkorte hjørner på en spesiell måte på hvert av de fem platonske legemene. Vi skal se hvordan vi kan avkorte hjørner på dodekaederet og få det avkortede dodekaederet. Konstruksjon av det avkortede dodekaederet Når vi nå skal avkorte hjørner, skal vi gjøre det på en slik måte at de opprinnelige sideflatene blir til sideflater med dobbelt så mange hjørner. Figur 2.10 Det oppstår også sideflater der de opprinnelige hjørnene var, disse har like mange sider som graden til hjørnene i gitte polyeder. Dodekaederet har femkantede sideflater og har grad tre i alle hjørner. Det avkortede dodekaederet må altså bestå av tikanter og trekanter. Antallet tikanter må være likt med antall sideflater i dodekaederet, så 12. Antallet trekanter må være likt antallet hjørner i dodekaederet, altså 20. Det avkortede dodekaederet har altså totalt 32 sideflater. For at vi skal få et arkimedisk legeme, må sideflatene være regulære mangekanter. Vi må altså kutte av hjørnene på en slik måte at vi får regulære tikanter (da vil også trekantene bli regulære). La oss se på en av de femkantede sideflatene til ikosaederet. La a være sidelengden til femkanten. Anta nå at vi merker av x lengdeenheter inn på sidene,

30 30 KAPITTEL 2. POLYEDERE Figur 2.9: De arkimediske legemene.

31 2.3. UNIFORME POLYEDERE 31 slik som på Figur Vi gjør dette på alle sidene. Vi lager så en tikant ved å trekke linjene mellom alle avmerkingene slik som på figuren. Vi skal nå bestemme x slik at alle sidene i tikanten blir like, altså alle sidene i tikanten må være a 2x. For å finne hva x må være, se på et av hjørnene i femkanten. Den er en del av en likebeint trekant som avgrenses av femkanten og tikanten. Trekker vi normalen fra hjørnet ned på tikantens side, vil tikantens side halveres. Vi ser så på en av de to trekantene som nå oppstår. Den ene vinkelen vil være 54, da vinklene i en femkant er 108. Vi kan nå sette opp følgende, der vi bruker at sin 54 = : a 2x = 2x sin 54 = x ( 1 + ) 5 a = + 2 x 2 a x = = 2a = 2a ( ) 5 5 = 1 ( 5 ) 5 a Vi ser altså at, dersom kantene til dodekaederet er a lengdeenheter, må vi kutte av hjørnene 1 ( ) a lengdeenheter inn på kantene for at det avkortede dodekaederet vi får skal få regulære sideflater. På tilsvarende måter kan man konstruere de andre avkortede legemene som gjenstår. Det avkortede ikosaederet et kanskje kjent for mange - mange fotballer er satt sammen på samme måte av skinnstykker eller liknende. La oss nå se på de andre to grupperingene. De rombiske legmene De avkortede legemene fikk vi ved å skjære vekk hjørner av de platonske legemene. De romiske legemene fremkommer også ved å skjære i de platonske legemene, vi skal bare skjære vekk andre deler enn bare hjørnene. Vi kan få fire arkimediske legemer på denne måten, to ved å skjære i enten oktaederet eller kuben og to ved å skjære i enten ikosaederet eller dodekaederet. Vi får ikke noe nytt ved å skjære i tetraederet. Vi skal se hvordan vi kan konstruere det rombiske kubusoktaederet. Konstruksjon av det rombiske kubusoktaederet Dette legemet kan konstrueres både ved å skjære i en kube og i et oktaeder. Vi skal bruke en kube. La oss se på en av de kvadratiske sideflatene til en kube. Vi skal tegne et nytt, mindre, kvadrat på denne sideflaten, x lengdeenheter inn fra alle kantene til kuben. La sidene til dette kvadratet være parallelle med sidene til kubens sideflate. Lag slike kvadrater på alle kubens sideflater. Vi kutter så vekk terningskantene ved å legge kniven på en av sidene til de nye kvadratene og lag snitt mellom to og to parallelle slike. Skjær så vekk det som er igjen av hjørnene til kuben ved å legge et snitt gjennom de tre

32 32 KAPITTEL 2. POLYEDERE kvadrathjørnene som er nærmest kube-hjørnet. Sideflatene som oppstår her er trekantede. For at alle sideflatene til det rombiske kubusoktaederet skal bli regulære, må vi bestemme x. Kvadratene vi tegnet er allerede regulære, men de rektanglene som oppstår når vi kutter av en terningskant, må bestemmes slik at de også blir kvadrater. Da vil også de trekantede sideflatene bli regulære. La a være sidekanten til den opprinnelige kuben. Den ene sidekanten i rektanglene (den som tilhører de inntegnede kvadratene) er da a 2x. Den andre er a 2 (Dette fremkommer ved å bruke pytagoras på trekanten som fremkommer dersom vi ser på en snittflate gjennom kuben og der vi legger snittet). Setter vi da a 2x = a 2 får vi at x = a. De snubbede legemene La oss nå se på den siste kategorien - de snubbede legemene. Det finnes bare to slike. Vi skal ikke gå inn på det tekniske i konstruksjonen av disse, men forklare hva som foregår. Det som i hovedsak er det som skjer, er at vi legger trekanter mellom sideflatene på henholdsvis kuben og dodekaederet. Grunnen til at det bare er to, er at de tre andre platonske legemene allerede bare består av trekanter, så vi får ikke noe nytt ved å legge til flere trekanter. Den snubbede kuben konstrueres ved å tegne inn mindre kvadrater på kubens sideflater, og rotere dem med en viss vinkel om sideflates sentrum. Dette gjøres på alle kubens sideflater. Disse er nå sideflater i den snubbede kuben, og mellom dem skal det fylles inn trekantede sideflater. Det er ikke nødvendigvis opplagt at dette går, men det gjør det altså. Vi skal ikke gå videre inn på kontruksjonen her, men vi måtte nødvendigvis ha bestemt sidelengden i de nye kvadratene, og vinkelen de roteres med, for at den snubbede kuben skulle få regulære sideflater. Vi kan gjøre tilsvarende på dodekaeder, og få det snubbede dodekaederet. De snubbede legemene er litt spesielle. De er de eneste arkimediske legemene som ikke har noen symmertriplan, og kommer derfor i speilvendte utgaver av hverandre. Finnes det bare 13? I konstruksjon av de arkimediske legemene kan man skaffe seg en oversikt over antall hjørner, kanter og sideflater; v, e og f; til de arkimediske legeme. Vi så for eksempel at det avkortede dodekaederet hadde 32 sideflater. Vi kan også se at hvert hjørne ligger på nøyaktig en trekantet sideflate, og det finnes 20 trekantede sideflater. Da er det totalt 60 hjørner. Eulers formel gir oss videre at det har 90 kanter. Vi kan også se at hjørnekonfigurasjonen, dvs hvilke typer sideflater som omkranser et hjørne, til det avkortede dodekaederet er (3, 10, 10) (denne notasjonen vil si at en trekant og to tikanter møtes i hvert hjørne, og tall som står ved siden av hverandre tilsvarer tilstøtende sideflater. Det første tallet og det siste tallet svarer også til tilstøtende sideflater). Vi

33 2.3. UNIFORME POLYEDERE 33 kan på tilsvarende måte finne denne informasjonen til alle de arkimediske legemene. Se oversikt over alle i tabellen under. Navn v e f Hjørnekonfig. Avkortet kube/terning (3, 8, 8) Avkortet tetraeder (3, 6, 6) Avkortet oktaeder (4, 6, 6) Avkortet dodekaeder (3, 10, 10) Avkortet ikosaeder (5, 6, 6) Kubusoktaederet (3, 4, 3, 4) Ikosidodekaederet (5, 3, 5, 3) Det rombiske kubusoktaederet (4, 4, 4, 3) Det store rombiske kubusoktaederet (4, 6, 8) Det rombiske ikosidodekaederet (5, 4, 3, 4) Det store rombiske ikosidodekaederet (4, 6, 10) Den snubbede terningen/kuben (4, 3, 3, 3, 3) Det snubbede dodekaederet (5, 3, 3, 3, 3) Vi har nå sett på følgende typer uniforme polyedere: prismer, antiprismer og arkimediske legemer. Disse er alle konvekse. Det viser seg at disse (i tilegg til de platonske, prismene og antiprismene) er de eneste konvekse uniforme polyederene. Er dette opplagt? Egentlig ikke. Det er greit at det finnes uendelig mange prismer og antiprismer. Men er det opplagt at det finnes bare 13 arkimediske legemer? Det kunne jo hende at det fantes andre måter å få frem arkimediske legemer på enn de vi har sett på. Videre skal vi se at det finnes bare disse 13, og at de typene uniforme polyederene vi har sett på til nå, er de eneste som finnes. For å kunne bevise dette må vi først bevise et par lemmaer. Måten vi går frem på her likner på slik Kepler gjorde det i sin tid. Lemma Hvis alle sideflatene til et konvekst polyeder er regulære mangekanter, da kan det møtes maksimalt tre ulike typer sideflater i hvert hjørne. Bevis. For at et polyeder skal bli konvekst vet vi at vinkelsummen rundt et hjørne må være mindre enn 2π. La oss se på de fire regulære mangekantene med minst vinkler i hjørnene, altså den regulære trekanten, kvadratet, den regulære femkanten og den regulære sekskanten. De har vinkler henholdsvis π 3, π 2, 3π 5 og 2π 3. Summen av disse fire vinklene blir større enn 2π, så de kan ikke danne et polyederhjørne. Siden disse mangekantene er de med minst vinkler, kan vi ikke finne fire eller flere ulike typer mangekanter som sammen kan danne et polyederhjørne. Lemma Et polyeder som har samme hjørnekonfigurasjon i alle hjørner, kan ikke ha følgende typer hjørnekonfigurasjoner:

34 34 KAPITTEL 2. POLYEDERE (i) (a, b, c) der a er odde og b c (ii) (a, b, c, 3) der a c. Bevis. (i): Hvis alle hjørnekonfigurasjonene skal være like i alle hjørner på polyederet, må b-kanter og c-kanter opptre annenhver gang rundt hver a-kant (hvis ikke vil vi enten få et (a, b, b) eller et (a, c, c) hjørne). Hvis a er odde er dette umulig, det vil enten komme to b-kanter eller to c-kanter etter hverandre. (ii): La oss se på plasseringer av sideflater rundt den trekantede sideflaten. Vi vet at motstående til hver trekant finner vi en b-kant, men da må de sideflatene som er tilstøtende med den trekantede være like. Se Figur Figur 2.11 Vi er nå klare for hovedresultatet tilknyttet konvekse, uniforme polyedere. Vi antar her at vi har konstruert alle de arkimediske legemene. Vi har jo konstruert noen av dem, og konstruksjon av resten kan som sagt leses om i [Ell01]. Teorem Anta at P er et konvekst, uniformt polyeder. Da er P enten et platonsk legeme, et prisme, et antiprisme eller et arkimedisk legeme. Bevis. I dette beviset skal vi se på konvekse, uniforme polyedere. Disse har samme hjørnekonfigurasjon i alle hjørner. Beviset gjøres ved å se på alle mulige hjørnekonfigurasjoner et slikt polyeder kan ha. Vi har allerede vist at det ikke kan være flere enn 3 typer mangekanter i hvert hjørne, så dette begrenser utvalget. I tillegg har vi allerede sett i beviset av Teorem at det finnes nøyaktig fem konvekse, uniforme polyedre der vi har bare én type mangekant i hvert hjørne, nemlig de platonske legemene. Vi skal altså se på ulike hjørnekonfigurasjoner der det er to eller tre typer mangekanter rundt hvert hjørne. Vi skal gjøre dette ved å betrakte på ulike grupperinger. (I) Hjørnekonfigurasjoner med bare trekanter og firkanter. Anta først at det bare er én firkant i hvert hjørne. Det kan da maksimalt være fire trekanter i tillegg til denne firkanten, da vinkelsummen blir større enn 2π dersom vi har fem trekanter og en firkant rundt et hjørne. Så vi har følgende muligheter: (3, 3, 3, 3, 4) som vi gjenkjenner som hjørnekonfigurasjonen til den snubbede kuben, (3, 3, 3, 4) som realiseres som et firkantet antiprisme og (3, 3, 4) som ikke finnes som en følge av Lemma 2.3.2(i). Husk gjennom dette beviset at vi må ha minst tre mangekanter rundt et hjørne for å danne en romvinkel. Anta så at det er to firkanter i hvert hjørne. To firkanter og tre trekanter rundt et hjørne gir nøyaktig 2π, så dette er ikke mulig. Det er altså bare

35 2.3. UNIFORME POLYEDERE 35 mulig med en eller to trekanter. To trekanter gir to muligheter (4, 4, 3, 3) og (4, 3, 4, 3). (4, 4, 3, 3) er umulig som en følge av Lemma 2.3.2(ii), og (4, 3, 4, 3) kjenner vi igjen som kubusoktaederet. (3, 4, 4) er hjørnekonfigurasjonen til et trekantet prisme. Anta så at det er tre firkanter rundt et hjørne. Det kan da bare være en trekant i tillegg for at vinkelsummen ikke skal bli større enn 2π. (4, 4, 4, 3) kjenner vi igjen som det rombiske kubusoktaederet. Fire firkanter gir en vinkelsum på 2π, så vi har nå funnet alle muligheter med bare trekanter og firkanter. (II) Hjørnekonfigurasjoner med bare trekanter og femkanter. Anta først at det bare er én femkant rundt hvert hjørne. Det kan i tillegg maksimalt være fire trekanter. (5, 3, 3, 3, 3) gjenkjenner vi som det snubbede dodekaederet. (5, 3, 3, 3) er et femkantet antiprisme. (3, 3, 5) er umulig. Anta så at vi har to femkanter i hvert hjørne. Vi kan da ha maksimalt to trekanter. For to trekanter har vi to muligheter: (5, 5, 3, 3) og (5, 3, 5, 3). (5, 5, 3, 3) er umulig som en følge av Lemma 2.3.2(ii), og (5, 3, 5, 3) realiseres som ikosidodekaederet. (5, 5, 3) er umulig som en følge av Lemma 2.3.2(i). Dette er alle muligheter med bare trekanter og femkanter, da allerede tre femkanter og en trekant gir en vinkelsum større enn 2π. (III) Hjørnekonfigurasjoner med bare trekanter og sekskanter Anta at det er en sekskant rundt hvert hjørne. Da kan det maksimalt være tre trekanter. (3, 3, 3, 6) gir et sekskantet antiprisme, (3, 3, 6) er umulig som en følge av lemmaet. Med to sekskanter kan vi bare ha en trekant. Det gir (3, 6, 6) som gir et avkortet tetraeder. Tre eller fler sekskanter kan ikke gi en konveks romvinkel. (IV) Hjørnekonfigurasjoner med bare trekanter og n-kanter, der n 7 La oss anta at vi har en n-kant. Vi kan maksimalt ha tre trekanter, da n 7. (3, 3, 3, n) er et antiprisme på en n-kant. (3, 3, n) er umulig grunnet Lemma 2.3.2(i). Dersom vi har mer enn en n-kant er den eneste muligheten (n, n, 3). La oss se på de ulike mulighetene for valg av n. n odde ekskluderes som en følge av Lemma 2.3.2(i). To tolvkanter og en trekant gir tilsammen en vinkelsum på 2π, så vi står igjen med mulighetene (8, 8, 3) og (10, 10, 3), da n skal være større en 7. (8,8,3) realiseres som den avkortede kuben og (10, 10, 3) realiseres som det avkortede dodekaederet. Vi har nå sett på alle mulighetene for trekanter og n-kanter. Vi har faktisk sett på alle mulighetene med trekanter og én annen type mangekant. Vi skal nå videre se på andre muligheter med bare to typer mangekanter, og deretter muligheter for tre typer mangekanter. (V) Hjørnekonfigurasjoner med bare firkanter og n-kanter, der

36 36 KAPITTEL 2. POLYEDERE n 5 Hvis vi har en n-kant, så er den eneste muligheten (4, 4, n) som realiseres som et n-kantet prisme. Anta at vi har to n-kanter. Da kan vi bare ha en firkant. Så vi får (4, n, n). Dersom n 8 blir vinkelsummen for stor, og dersom n er odde får vi en umulighet som følge av lemmaet vårt. Den eneste muligheten er da (4, 6, 6) som gir oss det avkortede oktaederet. Tre eller flere n-kanter går ikke, da allerede tre femkanter og en firkant gir en for stor vinkelsum. (VI) Hjørnekonfigurasjoner med bare femkanter og n-kanter, n 6. La oss anta at vi har én n-kant. Det kan da bare være to femkanter. Men dette er umulig: (5, 5, n) utelukkes av lemmaet. La oss så anta at vi har to n-kanter. Da må vi ha hjørnekonfigurasjonen (5, n, n). (5, 6, 6) gir oss det avkortede ikosaederet. Høyere verdier av n gir en for stor vinkelsum, så dette er alle muligheter i denne grupperingen, da mer enn to n-kanter også gir en for stor vinkelsum. Ser vi på andre muligheter for hjørnekonfigurasjoner med bare to typer mangekanter, er den (6, 6, 7) den kombinasjonen med lavest vinkelsum. Men denne vinkelsummen er større enn 2π, så vi har funnet alle muligheter for hjørnekonfigurasjoner med bare to typer mangekanter. Det gjenstår å se på hjørnekonfigurasjoner med tre typer mangekanter. (VII) Hjørnekonfigurasjoner med tre typer sideflater, der minst en av dem er trekanter. La m 5, n 4 og n m. Anta først at vi har én m-kant. Hvis vi i tillegg har én n-kant, kan det maksimalt være to trekanter. (n, m, 3, 3) utelukkes av Lemma 2.3.2(ii), og (3, n, m) utelukkes av Lemma 2.3.2(i). Hvis det var to n-kanter i tillegg til m-kanten, kan vi bare ha en trekant. Vi får hjørnekonfigurasjonen (m, n, n, 3) eller (n, m, n, 3). Anta først at n = 4. For at vinkelsummen ikke skal bli for stor er da den eneste muligheten av m = 5. Det gir oss to mulige hjørnekonfigurasjoner: (5, 4, 4, 3) og (4, 5, 4, 3). (5, 4, 4, 3) utelukkes av del (ii) av lemmaet, og (4, 5, 4, 3) realiseres som det rombiske ikosidodekaederet. Anta så n = 5. Da må m være større eller lik 6. Dette er en umulighet, da vinkelsummen blir for stor. Har vi fler enn to n-kanter eller fler enn en m-kant, får vi også for stor vinkelsum. Så vi har altså funnet alle mulige hjørnekombinasjoner der vi har tre typer sideflater og minst en av dem er trekanter. (VIII) Hjørnekonfigurasjoner med tre typer sideflater, der ingen av dem er trekanter. Anta at vi har fire sideflater i en hjørnekonfigurasjon i denne grupperingen.

37 2.3. UNIFORME POLYEDERE 37 Kombinasjonen som gir lavest vinkelsum er da to firkanter, en femkant og en sekskant. Vinkelsummen av disse blir større enn 2π, så i denne kategorien kan vi bare ha tre sideflater. Siden alle disse sideflatene skal være ulike, kan ingen av dem ha et odde antall kanter, som en følge av Lemma 2.3.2(i). Vi ser videre på tre ulike mangekanter med et partall antall kanter. Den laveste kombinasjonen (her mener vi den som gir lavest vinkelsum) er (4, 6, 8) som gir oss det store rombiske kubusoktaederet. Den nest-laveste kombinasjonen er (4, 6, 10) som korresponderer til det store rombiske ikosidodekaederet. De neste kombinasjonene gir for stor vinkelsum. (4, 6, 12) har en vinkelsum på nøyaktig 2π og (4, 8, 10) har en vinkelsum større enn 2π. Vi har nå funnet alle mulige hjørnekonfigurasjoner som kan realiseres som konvekse polyedere med samme hjørnekonfigurasjon i alle hjørner. Vi så at de gav oss de uendelige familiene prismene og antiprismene, de platonske legemene (som vi hadde funnet fra før), og i tillegg 13 stykker - de arkimediske legemene. Vi har dermed vist at de arkimediske legemene er de eneste konvekse, uniforme polyederene, i tillegg til de platonske legemene, prismene og antiprismene. Legg merke til at bevismetoden vi bruker her er i all hovedsak lik bevismetoden vi brukte i det geometriske beviset for at det bare finnes fem platonske legemer. Legg også merke til at, gitt en hjørnekonfigurasjon, er et konvekst, uniformt legeme entydig bestemt. Vi ser altså at lokale hjørnedata bestemmer de globale egenskapene også for de uniforme polyederene. Vi ser til og med at ethvert hjørne er rigid, og en gitt hjørnekonfigurasjon bestemmer de globale egenskapene, altså hele polyederet, i den uniforme verden. Men da kan man spørre seg selv. Finnes det en verden der vi bare tillater regulære mangekanter som sideflater, og like hjørnekonfigurasjoner i alle hjørner, der de lokale hjørnedataene ikke bestemmer de globale egenskapene? Ja det gjør det faktisk. Denne verdenen er den semiregulære. Vi vet at uniforme polyedere har samme hjørnekonfigurasjon i alle hjørner. Vi vet også at et uniformt polyeder er definert som et polyeder der alle sideflatene er regulære mangekanter og som er hjørne-transitivt. Kan det være at en alternativ definisjon på et uniformt polyeder er et polyeder som har samme hjørnekonfigurasjon i alle hjørner, og som har regulære mangekanter som sideflater? Altså: er hjørne-transitivitet det samme som at hjørnekonfigurasjonen er lik i alle hjørner? Man skulle kanskje tro det, når alle uniforme polyedere har samme hjørnekonfigurasjon i alle hjørner, men det er faktisk ikke slik. Dette definerer det vi kaller semiregulære polyedere. Definisjon Et polyeder kalles semiregulært dersom alle sideflatene er regulære mangekanter og alle hjørnekonfigurasjonene er like. Man skulle kanskje tro at et uniformt og et semiregulært legeme var det samme, altså at hjørne-transitivitet og lik hjørnekonfigurasjon i alle hjørner

38 38 KAPITTEL 2. POLYEDERE er det samme, og det er de nesten: det er bare ét eneste legeme som skiller dem. Dette legemet kalles for Millers legeme Millers legeme Vi får Millers legeme ved å ta utgangspunkt i det rombiske kubusoktaederet (se Figur 2.9). Vi setter det på et bord slik at en av de kvadratiske sideflatene vender ned mot bordet. Vi ser nå at det er finnes tre belter av kvadrater: et som går parallelt med bordet og to som går gjennom sideflaten som vender ned mot bordet. Vi kutter nå av toppen, dvs. delen av polyederet som ligger over kvadratbeltet parallelt med bordet. Vi vrir det så med en vinkel på π 4, og setter det på plass. Snittflaten der vi kuttet er en regulær åttekant så toppen vil fortsatt passe perfekt. Dette er Millers legeme, se Figur Det Figur 2.12: Millers legeme har fortsatt lik hjørnekonfigurasjon i alle hjørner, men er ikke hjørnetransitivt. Legemet ser nå annerledes ut i forhold til hvilken kvadratisk sideflate du vender ned mot bordet. Det er nemlig bare et av kvadratbeltene som er inntakt: de andre ødela vi når vi vred på toppen. Vi ser altså at de lokale hjørnedataene til Millers legeme ikke bestemmer de globale egenskapene. Men hvorfor er det egentlig det er slik? Hva er det som ligger bak det som skjer her? Det magiske ordet er hjørnetransitivitet. Det de regulære og de uniforme har til felles er at de alle er hjørnetransitive. Skal de lokale hjørnedataene kunne bestemme de globale egenskapene, må legemet være hjørnetransitivt, ser vi. Vi ser at, stiller vi bare de begrensiningene at alle sideflatene skal være regulære mangekanter og like mange skal møtes i hvert hjørne, bestemmer ikke de lokale hjørnedataene de globale egenskapene lenger. Vi får én hjørnekonfigurasjon som ikke er entydig; (4,4,4,3). Dette er jo ganske fiffig. La oss nå se på hvordan det går om vi fjerner konveksistet-begrensingen fra de uniforme polyederene Uniforme stjernepolyedere På liknende måte som at vi kan finne regulære stjernepolyedere ved å ta utgangspunkt i de regulære konvekse polyederene, kan vi finne uniforme stjernepolyedere med utgangspunkt i de konvekse, uniforme polyederene.

39 2.3. UNIFORME POLYEDERE 39 I tillegg til stjerne-former av prismer og antiprismer finnes det totalt 57 uniforme stjernepolyedere, der de regulære stjernepolyederene er inkludert. Dette vil si at det finnes totalt 75 uniforme polyedere utenom prismene og antiprismene. Det tok lang tid før alle de 53 ikke-regulære, uniforme stjernepolyederene var oppdaget. Poinsot, Badoureau, Pitsch, Coxeter og Miller har hver for seg funnet noen av dem. Det var ikke før i 1954 at listen ble komplett, da Jean Lesavre og Raymond Mercier fant de siste. Beviset for at det bare finnes 75 uniforme polyedere kom ikke før datamaskinen kom, og J. Skilling viste at listen var komplett. Det er nemlig ikke like enkelt å finne disse stjernepolyederene som de regulære stjernepolyederene. Det gjelder nemlig ikke for de uniforme stjernepolyederene at kjernen deres er uniform, slik det gjelder at kjernen til et regulært stjernepolyeder er regulær. Så konstruksjonen må nødvendigvis forgå på en annen måte, og dette har altså vist seg å være mye mer komplisert. Noen eksempler på uniforme stjernepolyedere ser du på Figur Figur 2.13: Øverst fra venstre: Store rombiske heksaeder, store avkortede ikosidodekaeder. Nederst fra venstre: store snubbede dodekikosidodekaeder, Ikosiavkortet dodekadodekaeder. Kilde: [Web07] For de uniforme stjernepolyederene så bestemmer fortsatt de lokale hjørne-

40 40 KAPITTEL 2. POLYEDERE dataene de globale egenskapene, grunnet hjørnetransitiviteten. Men hvorfor får vi så mange flere uniforme stjernepolyedere enn regulære stjernepolyedere? Vi har 5 konvekse regulære polyedere og 4 regulære stjernepolyedere, 13 uniforme konvekse polyedere og hele 53 uniforme stjernepolyedere! Det er noen begrensinger vi har fjernet som gjør at spillerommet vårt har blitt mye større. Det er nemlig det at kjernen til et uniformt stjernepolyeder ikke trenger å være uniform som gjør det. De regulære stjernepolyederene måtte ha en regulær kjerne, men uniforme polyedere trenger ikke ha en uniform kjerne for å oppfylle kravene. Dette gir oss mye større spillerom og et mye større utvalg polyedere. Hva er det som gjør at denne kjerne-egenskapen forsvinner når vi lar polyederet være uniformt og ikke strengt regulært? Det kan vi finne ved å se på forskjellen på disse to typene legemer. Forskjellen er at de regulære skal være hjørne-transitive, kant-transitive og sideflate-transitive, mens de uniforme bare skal være hjørne-transitive. Hvis vi ser tilbake på beviset for at kjernen til et regulært polyeder er regulær, ser vi at sideflateog kant-transitviteten var sentral. La oss få en oversikt over alle de ulike typene polyederene vi har sett på i en tabell. Navn Konvekse Regulære Uniforme Semi-regulære De platonske legemene Ja Ja Ja Ja Kepler-Poinsot Nei Ja Ja Ja stjernepolyederene Prismer og antiprismer Ja Nei Ja Ja De arkimediske legemene Ja Nei Ja Ja Millers legeme Ja Nei Nei Ja Uniforme stjernepolyedere Nei Nei Ja Ja 2.4 Polyedere i kunst og natur Vi finner polyedere rundt oss i både kunst, arkitektur og natur. La oss se på noen eksempler på dette Polyedere i kunst og arkitektur Det finnes mange eksempler på polyedere i arkitekturen, pyramidene i Egypt er et godt eksempel. Mange kontorbygninger bygges også som prisme-liknende strukturer. Det finnes også mer uvanlige eksempler, som leiligheter med dodekaeder-form som vi kan finne i Israel. Polyedere har også vært populære motiver i kunst, først etter perspektivtegningen ble introdusert på tallet. Et lite stjernedodekaeder finnes på marmorgulvet i St. Marks Basilica i Venezia, Italia, som sannsynligvis er et verk av Paulo Ucello. Maleriet Nattverden av Salvador Dalí inneholder rammeverket til et dodekaeder med sky-

41 2.4. POLYEDERE I KUNST OG NATUR 41 Figur 2.14: Fredsstjernen av Vebjørn Sand er og himmel inni, samt en stor overkropp som det virker som skal forestille Jesus som på vei opp til himmelen. Dodekaederet har jo, slik var har sett, blitt sett på som et symbol på universet. Det er også en norsk kunstner som har interessert seg for polyedere - Vebjørn Sand. På vei fra Oslo til Oslo S ser vi Fredsstjernen eller Keplerstjernen som er en stor opplyst skulptur av store stjernedodekaeder, av Vebjørn Sand Polyedere i natur Polyedere finner vi også mange steder i naturen. Krystaller er gode eksempler, de består av flate sider og tydelig definerte hjørner. Pyritten, også kalt narregull, er et veldig godt eksempel. Se hvor tydelig man ser tre kubeliknende formasjoner på Figur 2.15a. Vi finner også polyedere i såkalte kvasikrystaller, som er strukturer ordnet slik som krystallene, men ikke på den periodiske måten som krystallene er ordnet etter. Blant kvasikrystallene finner vi blant annet Holmium Magnesium Sink - et kvasikrystall som danner dodekaederformasjoner. Se Figur 2.15b. Kantene i disse dodekaederene er ca. 2mm lange. (a) (b) Figur 2.15 Beveger vi oss litt ned i størrelse, til encellede organismer, finner vi flere polyeder-formasjoner. En type encellet organisme som kalles radiolaria,

42 42 KAPITTEL 2. POLYEDERE som har et sfærisk skjellett, har polyederformer. Ernst Haeckel navnga, på 1880-tallet, tre av dem circoporus octahedrus, circorrhegma dodecahedra og circogonia icosahedra, pga de liknet henholdsvis oktaederet, dodekaederet og ikosaederet. Hans tegning av circogonia icosahedra ser vi på Figur Grunnen til at encellede organismer som radiolaria og virus danner slike formasjoner er at de er veldig energieffektive former - generelt er kuler en energieffektiv form, og regulære polyedere kan jo tegnes på en sfære. Nylig har også en type Karbonmolkyler, som kalles fullerener, blitt oppdaget. De har en polyeder-aktig struktur. C 60, som består av 60 karbonatomer, ser for eksempel ut som et avkortet ikosaeder der karbonatomene er plassert i hjørnene. Figur 2.16

43 Kapittel 3 Polytoper i høyere dimensjoner I dette kapittelet skal vi fjerne begrensningen om at vi skal kunne realisere polytopene vi ser på i vår verden. Vi skal se på polytoper i flere enn 3 dimensjoner. Disse kan være vanskelige å se for seg, men vi skal visualisere dem ved å blant annet benytte schlegeldiagram. Vi skal se hva som skjer når vi fjerner denne begrensingen. Vil det ha noen nytte for seg? Vil vi få flere polytoper enn før, eller færre? Vi skal fokusere på fire dimensjoner, men skal også se på hva som foregår i høyere dimensjoner enn fire. Den fjerde dimensjonen er ganske spesiell. Både filmskapere og forfattere har latt seg fascinere og inspirere av den fjerde dimensjon. Det finnes for eksempel seks konvekse, regulære, fire-dimensjonale polytoper, mens fra den femte dimensjonen og oppover finner vi bare tre regulære polytoper. Hva er det som er så spesielt med fire dimensjoner? Dette skal vi se på i dette kapittelet. La oss først få en ordentlig forståelse av begrepet polytop. 3.1 Polytoper - en generalisering Punkt, linjesegment, mangekant, polyeder,... Hadde det ikke vært slitsomt å komme opp med et nytt navn hver gang vi skal bevege oss opp en dimensjon? Det har av mange grunner vært naturlig å gi disse tingene forskjellige navn i opptil tre dimensjoner. Høyere dimensjoner enn tre har for eksempel ikke blitt studert før meget nylig. Man har kanskje aldri tenkt i de baner en gang før i den siste tiden. Grunnen til dette er mest sannsynlig at vi lever i tre dimensjoner og har ikke forutsetninger til å forestille oss flere enn tre dimensjoner. Men studiet av dem viser seg å være meget interessant, og moderne vitenskap forutsier faktisk at flere dimensjoner eksisterer, selv om vi ikke kan se eller oppleve dem. I vårt studie innen flere dimensjoner er det generaliserte begrepet polytop meget sentralt. Punkter, linjesegmenter, mangekanter og polyedere er alle polytoper, og vi kaller også generaliseringen av dem i flere dimensjoner for polytoper. For at vi skal kunne se på en mer formell definisjon, må vi først få på plass et annet begrep. Vi vet at et plan 43

44 44 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER er mengden av punkter (x, y, z) R 3 slik at ax + by + cx = d, der a, b, c, d er konstanter, og ikke alle er 0. Vi skal nå se på en generalisering av plan som gjelder i alle dimensjoner. Definisjon La a 1, a 2,, a n være konstanter der ikke alle er 0. Mengden H av punkter (x 1, x 2,, x n ) R n som tilfredstiller a 1 x 1 + a 2 x a n x n = C, der C er en konstant, er en delmengde av R n som kalles et hyperplan. Et hyperplan er altså en delmengde av det rommet vi er i, med kodimensjon 1. Er vi i R n, er hyperplan av dimensjon n 1. Er vi i R 3, for eksempel, er jo hyperplanene av dimensjon 2. Vi vet at polyedere er avgrenset av et endelig antall plan. La oss ta med oss denne tanken videre. Definisjon En polytop er en endelig region av et n-dimensjonalt rom avgrenset av et endelig antall hyperplan. Skal vi spesifisere at en polytop er i n dimensjoner, kaller vi den en n-polytop. Men hvordan er det egentlig dette foregår? En polytop i null dimensjoner er et punkt. En polytop i én dimensjon er satt sammen av et endelig antall punkter. En polytop i to dimensjoner er satt sammen av et endelig antall linjesegmenter. En polytop i tre dimensjoner er satt sammen av et endelig antall mangekanter. Vi ser et tydelig mønster her. Generelt er en n-polytop satt sammen av et endelig antall (n 1)-dimensjonale polytoper. Disse (n 1)- dimensjonale polytopene, som n-polytopen er satt sammen av, kalles celler. Hver celle ligger i nøyaktig ett hyperplan. Ser vi også tilbake på definisjonen av et polyeder, ser vi en tydelig sammenheng. Denne nye definisjonen gjelder også for polyederene, polyederene er bare spesialtilfeller av polytopene. Vi har nå åpnet opp for alle mulige euklidske polytoper - ikke bare i tre dimensjoner, men i alle dimensjoner. For å videre kunne undersøke de fler-dimensjonale polytopene, og sammenlikne dem med polyederene, skal vi legge på begrensningen regularitet. For å undersøke om et polyeder er regulært, undersøker vi om alle sideflatene er identiske og regulære mangekanter, og om alle hjørnefigurene er identiske og regulære mangekanter. Når vi undersøker om en polytop er regulær, gjør vi egentlig det samme. La oss se på dette nærmere Regulære polytoper Hjørnefigurene var viktige for å undersøke om et polyeder var regulært. For å definere hva en regulær polytop er trenger vi derfor en forståelse av hvordan hjørnefigurene til en polytop defineres.

45 3.2. KONVEKSE REGULÆRE POLYTOPER 45 Definisjon La oss betrakte et hjørne v i en gitt n-polytop P n. Dersom alle midtpunktene til kantene som går ut ifra dette hjørnet ligger i et hyperplan, danner disse midtpunktene hjørnene i en (n 1)-polytop som kalles hjørnefiguren til P n i v. La oss nå se hvordan vi definerer en regulær polytop. Definisjon En polytop er regulær dersom alle cellene dens er regulære og alle hjørnefigurene er regulære. Det er et par ting vi må merke oss med denne definisjonen. Hvordan kan definisjonen av en regulær n-polytop bygge på at cellene og hjørnefigurene skal være regulære? Disse er jo (n 1)- polytoper. Hvordan vet vi om disse er regulære? Det er et induksjonsargument som ligger bak. Hver celle/hjørnefigur er som sagt en (n 1)-polytop, som da er bygget opp av celler som er (n 2)-polytoper. Disse igjen er bygget opp av celler som er (n 3)-polytoper. Før eller siden vil vi komme til en polytop som er bygget opp av 3-polytoper, altså polyedere. Vi vet allerede definisjonen på et regulært polyeder. Definisjonen på en regulær polytop forteller oss da at en regulær 4-polytop er en 4-polytop som har regulære polyedere som celler og hjørnefigurer. Da vil vi også vite hva en regulær 5-polytop er, osv. En annen ting det kan være verdt å merke seg, er at alle cellene må være like, og alle hjørnefigurene må være like. La oss for eksempel se på 3-polytoper - polyederene. Dersom både hjørnefigurene og sideflatene skal være regulære mangekanter, må alle sideflatene være like og alle hjørnefigurene være like. Dersom hjørnefigurene skal være regulære, må alle vinklene i sideflatene tilknyttet det hjørnet være like store, og alle kantene ut ifra det hjørnet må være like lange. Et tilsvarende argument gjelder for høyere dimensjoner, og en regulær polytop består av identiske regulære celler med identiske regulære hjørnefigurer. I det tre-dimensjonale rom har vi fem konvekse og fire konkave regulære polytoper. Hvor mange finnes det i de andre dimensjonene? Er det en generell regel? Vi har hintet litt om dette fra før, men nå skal vi gå dypere inn i dette. Vi skal først begrense ytteligere, og se på de konvekse polytopene. 3.2 Konvekse regulære polytoper La oss se på definisjonen av en konveks polytop. Den er egentlig helt lik definisjonen av et regulært polyeder, bare at vi nå befinner oss i R n. Definisjon En konveks polytop er en konveks innhylling av et endelig antall punkter i R n. Det viser seg at det er tre familier av regulære, konvekse polytoper vi finner i alle dimensjoner. Det er de regulære simpleksene, krysspolytopene og

46 46 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER hyperkubene. Vi skal kalle dem henholdsvis α n, β n og γ n, der n betegner hvor mange dimensjoner vi befinner oss i. α n er en generalisering av tetraederet, β n er en generalisering av oktaederet og γ n er en generalisering av kuben. Vi skal nå undersøke disse litt nærmere. Simpleksene Vi skal her se hvordan simpleksene konstrueres. Hvis alle kantene i en simpleks er like lange, så er simpleksen regulær. Simpleksene er på mange måter den enkleste formen for polytop, noe navnet gir oss et hint om. Vi skal nå se på fremgangsmåten vi bruker når vi konstruerer dem. Begynn med den eneste polytopen som finnes i et null-dimensjonalt rom - et punkt. Vi beveger oss så inn i et en-dimensjonalt rom, og legger til et nytt punkt, forskjellig fra det første, og knytter dem til hverandre med en linje. Vi har nå en polytop i én dimensjon - et linjesegment. Vi beveger oss så inn i et to-dimensjonalt rom. Vi knytter linjesegmentet til et tredje punkt, som ikke ligger på den forlengede linja gjennom linjesegmentet. Vi har nå en trekant - den enkelste typen to-dimensjonal polytop. Videre, i tre dimensjoner knytter vi trekanten vår til et fjerde punkt, som ligger utenfor planet gjennom trekanten, og får en pyramide med trekantet bunn. Er nå alle kantene like lange, har vi et tetraeder. Når vi beveger oss inn i det fire-dimensjonale rom, legger vi til enda et punkt som er utenfor hyperplanet gjennom pyramiden/tetraederet. Vi knytter så pyramiden/tetraederet til dette punktet. En visualisering av prosessen kan ses på Figur 3.1. Figur 3.1: Simpleksene i 0-4 dimensjoner som grafer. Vi ser nå et generelt mønster - vi kan fortsette slik inn i så mange dimensjoner vi vil. Vi ser at en n-dimensjonal simpleks består av n+1 hjørner, der ikke alle ligger i samme hyperplan. Faktisk er det slik at enhver mengde med n+1 hjørner, som ikke ligger i samme hyperplan, danner en simpleks. For at simpleksen skal være regulær, holder det at alle kantene er like lange. Dette er fordi at dersom en trekant er likesidet, er også alle vinkelene like. Tilknytter vi en likesidet trekant med et nytt hjørne, slik at alle de nye kantene er like lange som sidene til trekanten, vil vi få et tetraeder, som er regulært. Fortsetter vi slik ved å bruke samme lengde på nye kanter, vil vi bare få regulære simplekser. De regulære simpleksene har schläfli-symbol {3, 3, 3,, 3, 3}.

47 3.2. KONVEKSE REGULÆRE POLYTOPER 47 Figur 3.2: Schlegeldiagram for de regulære simpleksene i tre og fire dimensjoner. Kilde: [Web07] Simpleksen i 4 dimensjoner har også fått sitt eget navn, 5-cellen - den har 5 celler. Den er også kjent som pentatopen. Figur 3.2 viser schlegeldiagram for tetraederet og 5-cellen. Ser vi på schlegeldiagrammet til 5-cellen kan vi finne 4 tetraedere. Dette er fire av cellene til 5-cellen. Utsiden av schlegeldiagrammet representerer den siste tetraedercellen, slik som utsiden av schlegeldiagrammet til tetraederet representerer en av de trekantede sideflatene til tetraederet. Krysspolytopene Krysspolytopene er regulære etter hvordan de konstrueres. Vi benytter følgende faktum i konstruksjonen av krysspolytopene: Man kan alltid finne n parvis ortogonale linjer gjennom ethvert punkt i et n-dimensjonalt rom. Dette er egentlig den mest fundamentale egenskapen til en euklidsk n-dimensjonalt rom. Når vi konstruerer en krysspolytop i n dimensjoner, starter vi med et punkt P som ikke skal være et av hjørnene til polytopen. Vi konstruerer så n parvis ortogonale linjer gjennom dette punktet. Disse skal ikke være kanter i polytopen. Vi kan nå finne 2n punkter som er like langt fra P, langs disse linjene. Disse danner hjørnene i krysspolytopen. Vi kan for eksempel sette hjørnene inn i et kartesisk koordinatsystem, med koordinater (±1, 0) og (0, ±1) i to dimensjoner, (±1, 0, 0), (0, ±1, 0) og (0, 0, ±1) i tre dimensjoner, (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0) og (0, 0, 0, ±1) i fire dimensjoner, osv. Alle hjørner er tilknyttet hverandre med en kant, bortsett fra hjørner som ligger på samme linje gjennom P. Den to-dimensjonale krysspolytopen er et kvadrat, den tredimensjonale krysspolytopen er et oktaeder, og den fire-dimensjonale har også fått et eget navn: 16-cellen. Schlegeldiagram til oktaederet og 16-cellen finner du på Figur 3.3. Cellene til en n-dimensjonal krysspolytop er (n 1)-dimensjonale simplekser. Krysspolytopene har schläfli-symbol {3, 3, 3,, 3, 4}. Figur 3.3: Schlegeldiagram for krysspolytopene i tre og fire dimensjoner. Kilde: [Web07]

48 48 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER Hyperkubene Hyperkubene får vi ved følgende prosedyre: Vi starter med en null-dimensjonal polytop, et punkt. Vi beveger så dette punktet langs en en-dimensjonal linje, og får et linjesegment. Dette linjesegmentet translaterer vi nå, i det todimensjonale rom, med en vektor som står vinkelrett på linjesegmentet, og har lik lengde som linjesegmentet. Dette avgrenser et kvadrat. Vi translatererer så kvadratet langs en vektor som står vinkelrett på kvadratet i det tredimensjonale rom, og som er like lang som linjesegmentet. Dette avgrenser en kube. Vi kan så translatere kuben langs en vektor som står vinkelrett på alle de tre foregånde vektorene i det fire-dimensjonale rom. Vi får da en slags firedimensjonal kube. En felles betegnelse på alle disse figurene er hyperkuber. Fortsetter vi slik i n dimensjoner får n-dimensjonale hyperkuber. n translasjoner vil definere n vektorer som står vinkelrett på hverandre, og et hvert hjørne vil ha grad n. Hyperkubene har schläfli-symbol {4, 3, 3,, 3, 3}. Hyperkuben kalles også for målingspolytoper, da de gir enheter for innhold i alle dimensjoner. Hvis vektorene ikke er enten ortogonale eller like lange, kaller vi en slik polytop for en parallellotop. Figur 3.4: Schlegeldiagram for kuben og tesserakten. Kilde: [Web07] Den fire-dimensjonale hyperkuben kalles også for en tesserakt, og kan visualiseres ved å se på Figur 3.4, som viser schlegeldiagram for både kuben og tesserakten. Tesserakten har vært populær for andre enn bare matematikere, siden dens oppdagelse. Den har for eksempel vært populær i kunst - blant annet finner vi den i maleriet Crucifixion (Corpus Hypercubus), der hyperkuben er brettet ut som et kors. Flere forfattere har også sett for seg verdener som ikke er tre-dimensjonale - Robert Heinlein skrev for eksempel boka "And He Built a Crooked House"i 1940, der et hus bygges som en hyperkube [Wikb]. Vi finner også referanser til tesserakten i flere science fiction filmer, som the Avengers og Interstellar. I Avengers er tesserakten en gjenstand som inneholder store krefter, som blant annet brukes til å lage masseutryddelses våpen. I Interstellar er tesserakten en kommunikasjonsgjenstand, som gjør at man kan kommunisere på tvers av tid. I denne filmen blir da tiden tolket som en fjerde, romlig dimensjon. Det å tolke tiden som den fjerde dimensjon, er grunnlaget for teorien om romtid. Det å se på tiden som en fjerde dimensjon, er ikke relevant for vår diskusjon, da dette ikke blir et euklidsk rom. Coxeter skriver også i [Cox49] at dette konseptet også har skapt mange misforståelser rundt relativitetsteorien. Disse tre typene polytoper finnes i alle dimensjoner, vi så at konstruksjo-

49 3.2. KONVEKSE REGULÆRE POLYTOPER 49 nene av dem lett kan generaliseres til å gjelde n dimensjoner. Så det finnes altså minst tre polytoper i alle dimensjoner. Disse var generaliseringer av tetraederet, oktaederet og kuben; hva med ikosaederet og dodekaederet? Finnes det en generalisering av dem? Finnes det kanskje til og med andre regulære, konvekse polytoper i flere dimensjoner som ikke har noen tilknytning til de fem regulære, konvekse 3-polytopene? Vil et høyt antall dimensjoner begrense eller frigjøre antall valgmuligheter vi får? Vi så at i null dimensjoner har vi bare én polytop, α 0, som vi jo kan si er både regulær og konveks. I én dimensjon har vi også bare én regulær polytop, α 1. I to dimensjoner har vi uendelig mange regulære, konvekse polytoper, {3}, {4}, {5},..., vi kan jo ha så mange kanter vi vil i en konveks, regulær mangekant. Merk: de null-, enog to-dimensjonale regulære polytopene dekkes ikke av definisjonen vår av en regulær polytop. Vi må da utvide definisjonen ved å legge til spesielle kriterier for disse dimensjonene. I null og en dimensjon er det bare en polytop, så det er naturlig å definere disse som regulære. Hva en regulær mangekant er definerte vi i kapittel 1. I tre dimensjoner har vi, slik vi har sett, fem regulære, konvekse polytoper. Hva med i fire dimensjoner? Den fantastiske fjerde dimensjon Det er noe spesielt som skjer i det fire-dimensjonale rom. Vi får faktisk seks konvekse, regulære polytoper og ti regulære stjernepolytoper! Vi skal først se på de seks konvekse. Det som gjør dette spesielt, er at trenden ikke fortsetter i høyere dimensjoner enn fire. Vi får ikke flere og flere regulære polytoper. I alle dimensjoner etter fire er faktisk α n, β n og γ n de eneste regulære polytopene, det finnes ingen stjernepolytoper i høyere enn fire dimensjoner! La oss prøve å finne ut av hva som er spesielt med fire dimensjoner. Fem av de seks konvekse, regulære 4-polytopene er fire-dimensjonale versjoner av de platonske legemene. Vi har 5-cellen, 16-cellen og tesserakten, som vi har sett på, og vi har også 120-cellen, som vi kan se på som en fire-dimensjonal versjon av dodekaederet, og 600-cellen som vi kan se på som en fire-dimensjonal versjon av ikosaederet. Vi har i tillegg en sjette polytop - 24-cellen. Den er seg selv dual, og har ingen tre-dimensjonal analog. La oss se litt nærmere på hver av disse 4-polytopene. 5-cellen 5-cellen er den regulære simpleksen i 4 dimensjoner, α 4. Den har derfor 5 hjørner. Slik vi ser på Figur 3.1 har den 10 kanter. Ved å stirre på den samme figuren lenge nok kan vi også se at den har 10 trekantede sideflater. Disse 10 trekantede sideflatene avgrenser 5 tetraeder-celler. Rundt hver kant ligger det tre tetraedere, så schläfli-symbolet til 5-cellen er {3, 3, 3}. Den er altså seg selv dual. Den består av {3, 3} som celler og {3, 3} som hjørnefigurer. Det er flere grunner til at vi ser på den som den fire-dimensjonale versjonen av

50 50 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER tetraederet. Både tetraederet og 5-cellen er simplekser og de er begge seg selv duale. De består begge av trekantede sideflater, og slik som tre trekantede sideflater møtes i hvert hjørne i tetraederet, møtes tre tetraeder-celler i hver kant hos 5-cellen. Man kan prøve å få en forståelse av utseende til 5-cellen ved å ta en titt på Figur 3.2, eller ved å se på en animasjon av projeksjonen av en 5-celle som roterer (man kan blant annet se en slik animasjon på den engelske wikipedia-siden om 5-cellen). Men en fullstendig forståelse vil man aldri kunne få av en fire-dimensjonal figur, da vi lever i tre dimensjoner. 16-cellen 16-cellen er den fire-dimensjonale versjonen av oktaederet. I likhet med at det i oktaederet møtes fire trekantede sideflater i hvert hjørne, ligger det fire tetraeder-celler rundt hver kant i 16-cellen. Den har derav schläfli-symbol {3, 3, 4}. Den består av {3, 3} som celler og {3, 4} som hjørnefigurer. Slik navnet avslører er det 16 tetraeder-celler i 16-cellen. 16-cellen er krysspolytopen β 4, og ser vi på konstruksjonen av krysspolytopene, ser vi at de har 2n hjørner, så 16-cellen har 8 hjørner. Den har også 24 kanter og 32 sideflater. 16-cellen sin dual må ha schläfli-symbol {4, 3, 3}, som er tesserakten. Tesserakten I tesserakten ligger tre kuber rundt hver kant, og den har da schläfli-symbol {4, 3, 3}. Den består av {4, 3} som celler og {3, 3} som hjørnefigurer. Den er den fire-dimensjonale versjonen av nettopp denne grunn: i kuben møtes tre kvadrater i hvert hjørne, imens hos tesserakten ligger tre kuber rundt hver kant. Den er også dual med 16-cellen, slik kuben er dual med oktaederet. Tesserakten er γ 4, og ser vi på konstruksjonen av hyperkubene ser vi at vi dobler antall hjørner hver gang vi går opp en dimensjon, de har altså 2 n hjørner. Tesserakten har derav 16 hjørner. Den er 16-cellens dual, så den må ha 8 celler, 30 kanter og 24 sideflater. 120-cellen 120-cellen er en fire-dimensjonal generalisering av dodekaederet, da tre dodekaedere ligger rundt hver kant, og hos dodekaederet ligger det tre regulære femkanter rundt hvert hjørne. Schläfli- symbolet er da {5, 3, 3}. Den består av {5, 3} som celler og {3, 3} som hjørnefigurer. Den kan visualiseres ved å se på Figur 3.5a, som viser dens schlegeldiagram. Vi ser at den har ganske mange celler stykker. Den har 600 hjørner, 1200 kanter og 720 femkantede sideflater. Den kan også visualiseres ved å se på animasjoner av projeksjon av rotasjon. Det er også slik at dodekaeder-cellene ligger med sideflatene parallelt med hverandre, og man kan dele opp 120-cellen i tolv ringer som består av ti dodekaedere. Grunnen til at vi kan lage slike ringer er at ting som ikke møtes i tre dimensjoner, kan gjøre det i fire. Vi kan legge dodekaedere ved

51 3.2. KONVEKSE REGULÆRE POLYTOPER (a) Schlegeldiagram for 120-cellen. Kilde: [Web07] 51 (b) En visualisering av to av ringene i 120-cellen som består av ti dodekaedere hver. Kilde: [Web07] Figur 3.5 siden av hverandre langs en rett linje i 3D, og bøye den til å bli en sirkel i 4D. Figur 3.5b viser to av de tolv ringene i 120-cellen. Den som er farget rød er forbundet med cellen som utsiden representerer, og blir derfor en fullendt ring også. 600-cellen Da 600-cellen er den fire-dimensjonale versjonen av ikosaederet, er det kanskje forventet at den er den duale til 120-cellen. Det betyr at 600-cellen har, 600 celler, 1200 sideflater, 720 kanter og 120 hjørner, samt schläfli-symbol {3, 3, 5}. Den består av {3, 3} som celler og {3, 5} som hjørnefigurer. Det møtes altså fem tetraedere i hver kant, slik fem regulære trekanter møtes i hvert hjørne i ikosaederet. Et schlegeldiagram som visualisering finner vi på Figur 3.6a. 4-polytopene med litt færre celler er lettere å visualisere ved hjelp av et slikt diagram, men for 120-cellen og 600-cellen kan det være vanskelig å få oversikten. Vi finner ringer i 600-cellen også, men tetraederene ligger ikke med sideflatene parallelle slik som dodekaederene gjør hos 120-cellen. Her finnes det tjue ringer med tretti tetraedere i hver ring. Ringene ser ut som på Figur 3.6b. (a) Schlegeldiagram for 600-cellen. Kilde: [Web07] (b) En av de tjue ringene av 30 tetraedere vi kan finne i 600-cellen. Kilde: [Web07] Figur 3.6

52 52 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER 24-cellen Figur 3.7: Kilde: [Web07] 24-cellen har ingen tre-dimensjonal partner - denne polytopen lever utelukkende i fire dimensjoner. Den består av 24 oktaeder-celler, tre møtes i hver kant. Den har schläfli-symbol {3, 4, 3}. Den består av {3, 4} som celler og {4, 3} som hjørnefigurer. Den er altså seg selv dual, og har 24 hjørner, 96 kanter og 96 trekantede sideflater. Oktaederene ligger parallelt med hverandre slik dodekaederene gjør i 120-cellen (og for øvrig kubene gjør i tesserakten). Legger vi seks av disse langs en rett linje i 3D, og bøyer den til en sirkel i 4D, får vi en av fire oktaeder-ringer som 24-cellen består av. Schlegeldiagrammet til 24-cellen ser vi på Figur 3.7. Vi har nå sett på seks regulære, konvekse 4-polytopene. Vi skal nå vise at det ikke finnes flere konvekse 4-polytoper, og at det bare finnes tre regulære, konvekse polytoper i fem dimensjoner og oppover Antall n-dimensjonale regulære, konvekse polytoper Før vi gå løs på det vakre beviset vi nå har i vente, er det litt notasjon som må på plass. Vi lar S n betegne sentrum i en regulær n-polytop, og lar S k, k < n, betegne sentrum i n-polytopens k-dimensjonale celle. For en regulær 4-polytop, for eksempel, vil S 4 være sentrum av polytopen, S 3 sentrum av en polyeder-celle, S 2 være sentrum av en sideflate, S 1 vil være sentrum, eller midtpunktet, på en kant, og S 0 vil være et hjørne (et hjørne er jo i sentrum av seg selv). La R betegne avstanden fra S n til S 0. Det er det samme hvilket hjørne vi velger, da vi betrakter regulære polytoper. R er radien til den omskrevne hyperkulen til polytopen. Hyperkulen er en generalisering av en sirkel i to dimensjoner og en kule i tre dimensjoner - en hyperkule er en mengde punkter i R n med konstant avstand til en punkt S som kalles hyperkulens sentrum. Alle regulære polytoper har det til felles at du kan finne hjørnene dens på en hyperkule - og du kan da finne den omskrevne hyperkulen, som er en kule som tangerer alle polytopens hjørner. Denne notasjonen kommer til å komme godt med i beviset av det som kanskje er det viktigste resultatet i denne avhandlingen. Det er på en måte

53 3.2. KONVEKSE REGULÆRE POLYTOPER 53 en slags videreføring av det kombinatoriske beviset for Teorem Det er som sagt ganske vakkert. La oss først formulere resultatet i et teorem. Teorem Det finnes uendelig mange regulære, konvekse 2-polytoper; nøyaktig fem regulære, konvekse 3-polytoper; α 3, β 3, γ 3, ikosaederet og dodekaederet; nøyaktig seks regulære, konvekse 4-polytoper; α 4, β 4, γ 4, 24-cellen, 120-cellen og 600-cellen; og nøyaktig 3 regulære, konvekse n-polytoper; α n, β n, γ n for n 5. Merk: Beviset for dette teoremet finner vi i [Cox49], men denne boken ble skrevet i 1949, og er meget kortfattet og komplisert skrevet. I det følgende beviset har vi brukt beviset til Coxeter som grunnlag, men går mer inn på detaljene enn det han gjør. Bevis. Vi ønsker i dette beviset å finne liknende kriterier for eksistens av n-polytoper som likning 2.4, fra det kombinatoriske beviset av Teorem 2.1.2, som begrenser utvalget av schläfli-symbol. For å komme dit hen må det en del regning og trigonometri til, men det baner vei for meget pene resultater. La oss definere vinklene ρ, θ og φ på følgende måte: ρ = S 0 S n S 1, θ = S 0 S n S n 1 og φ = S n 2 S n S n 1. Befinner vi oss i sentrum, S n, av en n-polytop, vil altså ρ være den plane vinkelen mellom linja fra S n til et hjørne og linja fra S n til midten av en kant. θ vil være den plane vinkelen mellom linja fra S n til et hjørne og linja fra S n til sentrum av en (n 1)- dimensjonal celle, og φ vil være den plane vinkelen mellom linja fra S n til sentrum av en (n 2)-dimensjonal celle og linja fra S n til sentrum av en (n 1)-dimensjonal celle. Vi kan også visualisere vinklene slik: 2ρ er vinkelen med toppunkt i S n som utspenner en kant, θ er vinkelen med toppunkt i S n som utspenner radiusen til den omskrevne hyperkula til en (n 1)- dimensjonal celle, og π 2φ er den dihedrale vinkelen, som for en n-polytop er vinklen mellom hyperplanene gjennom to tilstøtende (n 1)-dimensjonale celler. Ser vi på trekanten S 0 S n S 1, får vi at R sin ρ = S 0 S 1 = l (3.1) Figur 3.8 den siste likheten har vi tatt med bare fordi vi ønsker å kalle lengden for l. Det anbefales å se dette beviset for seg på for eksempel en kube, da de ulike vinklene og lengdene kan bli lettere å forstå på denne måten. Vi vil innimellom i dette beviset illustrere hva som skjer på en kube ved hjelp av figurer, se Figur 3.8 for å visualisere likning 3.1. Selv om vi illustrerer deler av beviset på en kube for enklere visualisering, gjelder beviset generelt for alle n-polytoper.

54 54 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER Vi skal nå finne en generell formel for ρ til en n-dimensjonal polytop med schläfli-symbol {p, q, r,, v, w}, og bruke denne til å finne kriteriet vårt. La S 0, R, l og ρ være verdiene for S 0, R, l og ρ til hjørnefiguren {q, r,, v, w}. La S n 1 være sentrum til hjørnefiguren (merk at S n 1 S n 1). Vi får: R = l sin ρ = l = l cos π p Hvordan dette forgår på en kube kan visualiseres på Figur 3.9. Videre har vi følgende: Figur 3.9 R = l cos ρ Dette kan visualiseres ved å ta en titt på Figur 3.10, og finne cosinus til ρ i Figur 3.10 trekanten S 0 S n S n 1. Dette gir oss til sammen følgende: cos ρ = R l = l cos π p l sin ρ = cos π p sin ρ (3.2) Bruker vi så den trigonometriske identiteten sin 2 ρ + cos 2 ρ = 1, får vi: sin 2 ρ = 1 cos2 π p sin 2 ρ (3.3) La ρ betegne ρ for hjørnefiguren til hjørnefiguren, eller: den andre hjørnefiguren. La videre ρ (k) være ρ til den k-te hjørnefiguren. Da vil vi, tilsvarende som i likning 3.3, få: sin 2 ρ = 1 cos2 π q sin 2 ρ,, sin2 ρ (n 3) = 1 cos2 π v sin 2 ρ (n 2)

55 3.2. KONVEKSE REGULÆRE POLYTOPER 55 Men ρ (n 2) = π w. Vi kan sette opp følgende kjedebrøk: Hvis vi ganger opp får vi: sin 2 ρ = 1 cos 2 π p 1 cos2 π q 1 cos2 π r 1 sin 2 ρ = 1 cos 2 π p 1 cos2 π q 1 cos2 π r 1 cos 2 π q 1 cos2 π r 1 cos 2 π v 1 cos 2 π w = Ω p,q,r,,v,w Ω q,r,,v,w (3.4) Der funksjonen Ω er bestemt av følgende rekursive formel: Ω p,q,r,,v,w = Ω q,r,,v,w Ω r,,v,w cos 2 π p (3.5) og følgende initialbetingelser: Ω = 1, Ω p = sin 2 π p, Ω p,q = sin 2 π p cos2 π q Ω p,q,r = sin 2 π p sin2 π r cos2 π q Ω p,q,r,s = sin 2 π p sin2 π s sin2 π p cos2 π r cos2 π q sin2 π s Ved induksjon får vi at: 1 c c 1 1 c Ω p,q,r,,v,w = c n 2 1 c n c n 1 1 (3.6) der c 1 = cos π p, c 2 = cos π q,, c n 2 = cos π v, c n 1 = cos π w. Det følger da at Ω p,q,r,,v,w = Ω w,v,r,q,p (3.7) Ved utregning av determinanten, får følgende sammenheng: Ω p,q,r,,v,w = 1 λ 1 + λ 2 λ 3 + (3.8) der: λ 1 = Σc 2 i λ 2 = Σc 2 i c 2 j, i < j 1

56 56 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER λ 3 = Σc 2 i c 2 jc 2 k, i < j 1, j < k 1 osv. Vi ser i det følgende på Ω-funksjonen til en n-polytop, altså til schläflisymbolet med n 1 elementer. Da cos π 3 = 1 2, får vi at : Ω 3,3,3,,3,3 = (n 1) + 1 ( ) n ( ) n = n n (3.9) Vi kan nå bruke likning 3.7 og likning 3.5 og få: Ω 3,3,3,,3,4 = Ω 4,3,3,,3,3 = n 2 n 1 1 n n 2 = 1 2 n 1 (3.10) og Ω 4,3,3,,3,4 = 1 2 n = 0 (3.11) 2 2n 3 Ved bruk av likning 3.4 gjentatte ganger får vi: så: sin 2 ρ sin 2 ρ sin 2 ρ n 2 = Ω p,q,r,,v,w Ω p,q,r,,v,w 0 (3.12) Ved likhet får vi noe som kalles en romfylling. Disse skal vi ikke se på her, men vi kommer tilbake til dem i neste kapittel. Likning 3.12 kalles for Schläflis kriterium for eksistens av en polytop eller romfylling som korresponderer til schläfli-symbolet {p, q, r,, v, w}. Vi er nå endelig ferdige med regningen, og kan nå bruke Schläflis kriterium til å finne alle tillatte n-polytoper. Siden vi skal se på romfyllinger senere, skal vi nå bruke denne versjonen av Schläflis kriterium: Ω p,q,r,,v,w > 0 (3.13) Altså med streng ulikhet. La oss se hvordan dette kriteriet arter seg i de ulike dimensjonene. La oss se på n = 2, dvs. polytoper med schläfli-symboler på formen {p}. Da er Ω p > 0. Det gir: sin 2 π p > 0 (3.14) som stemmer for alle verdier av p. Dette stemmer jo med det vi apriori trodde - at det finnes uendelig mange 2-polytoper. La oss se på n = 3, schläfli-symboler på formen {p, q}. Da må Ω p,q > 0 Dette gir: sin 2 π p cos2 π q > 0 sin2 π p > cos2 π q sin π p > cos π q Som videre gir at: π p + π q > π 2 1 p + 1 q > 1 2 (3.15)

57 3.2. KONVEKSE REGULÆRE POLYTOPER 57 Vi har drøftet 3-polytopene før, og bevist at det bare finnes fem, og dette kriteriet gir akkurat de samme fem alternativene som likning 2.4. La oss se på n = 4, altså schläfli-symboler på formen {p, q, r}. Schläflis kriterium gir oss at Ω p,q,r > 0, altså får vi: sin π p sin π r > cos π q (3.16) Vi har her fjernet annenpotensen i alle ledd, da vi kan ta roten på begge sider. La oss nå se hvilke schläfli-symbol dette kriteriet tillater. Vi vet også fra definisjonen av regulære polytoper at cellene, {p, q}, og hjørnefigurene, {q, r}, må være regulære - altså må de begge være blant de platonske legemene {3, 3}, {3, 4}, {4, 3}, {3, 5} og {5, 3}. La oss sette opp en tabell for sinus og cosinus for de mulige verdiene: v sin(v) cos(v) π 3 π 4 π ( ) Vi kan nå sjekke ulike kombinasjoner for å finne alle 4-polytoper. Vi bruker det at {p, q} og {q, r} må være platonske legemer, og likning p, q og r i schläfli-symbolet {p, q, r} kan anta verdiene 3, 4 og 5. La oss begynne å sjekke alle muligheter for p = 3. p = 3: La nå i tillegg q = 3 og r = 3. Setter vi da inn i likning 3.16 får vi: sin π 3 sin π 3 > cos π = 3 4 > 1 2 Dette stemmer jo, så {3, 3, 3} er en tillatt polytop. La oss videre se på q = 3 og r = 4. Setter vi da inn i likning 3.16 får vi: sin π 3 sin π 4 > cos π = 6 4 > 1 2 Dette stemmer også, da 4 0, 61. Dette gir oss polytopen {3, 3, 4}. La oss nå se på q = 3 og r = 5. Da får vi: sin π 3 sin π 5 > cos π > Da , 509, så stemmer også dette, og polytopen {3, 3, 5} tillates. Dette er alle muligheter for {p, q} = {3, 3}. La nå q = 4 og r = 3: sin π 3 sin π 3 > cos π = 3 4 = 0, 75 > 2 2 Denne polytopen, {3, 4, 3}, er også tillatt, da 2 0, 71. Hverken {q, r} = {4, 4} eller {q, r} = {4, 5} er tillatte valg, da {4, 4} og {4, 5} ikke er platonske 2

58 58 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER legemer. Så vi har nå sett på alle muligheter for {p, q} = {3, 4}. La videre q = 5 og r = 3: sin π 3 sin π 3 > cos π = 3 4 = 0, 75 > 1 ( 1 + ) 5 4 Dette stemmer ikke, for 1 ( ) , 81. Så Schläflis kriterium utelukker denne polytopen, selvom både cellene og hjørnefigurene til denne polytopen (som ikke finnes) hadde vært regulære. Videre kan hverken {q, r} = {5, 4} eller {q, r} = {5, 5} gi regulære polytoper, da {5, 4} og {5, 5} ikke er platonske legemer. Vi har nå sett på alle muligheter for p = 3. La oss nå se på muligheter for p = 4. p = 4: Den eneste muligheten for q vi har her, er q = 3, da {p, q} = {4, 4} og {p, q} = {4, 5} ikke er platonske legemer. La oss først se på q = 3 og r = 3: sin π 4 sin π 3 > cos π = 4 > 1 2 Dette stemmer, og {4, 3, 3} er dermed en tillatt polytop. La oss se på q = 3 og r = 4: sin π 4 sin π 4 > cos π = 2 4 = 1 2 > 1 2 Dette stemmer ikke i vårt tilfelle, da vi ikke se på likhet. Vi skal derimot komme tilbake til {4, 3, 4}, som er en romfylling, senere. La oss videre se på q = 3 og r = 5. Det gir: sin π 4 sin π 5 > cos π > Dette stemmer ikke, da , 42. Vi har nå sett på alle muligheter for p = 4. La oss til slutt se på mulighetene for p = 5: p = 5: Igjen kan q bare være 3. La oss først se på q = 3 og r = 3: sin π 5 sin π 3 > cos π > 1 2 Dette stemmer da , 509. Så {5, 3, 3} er en tillatt polytop. La oss sjekke q = 3 og r = 4: sin π 5 sin π 4 > cos π > 1 2 Dette er en umulighet, vi så tidligere at , 42. Til slutt sjekker vi muligheten q = 3 og r = 5: sin π 5 sin π 5 > cos π ( 10 2 ) 5 > 1 2

59 3.2. KONVEKSE REGULÆRE POLYTOPER 59 Dette er også en umulighet, da 1 ( ) , 35. Nå har vi sjekket alle mulige konvekse, regulære 4-polytoper utifra Schläflis kriterium, og funnet at det er seks mulige konvekse, regulære 4-polytoper: {3, 3, 3}, {3, 3, 4}, {3, 3, 5}, {3, 4, 3}, {4, 3, 3} og {5, 3, 3}, som vi gjenkjenner som henholdsvis 5-cellen, 16-cellen, 600-cellen, 24-cellen, tesserakten og 120-cellen. La oss nå se på n = 5, schläfli-symbol på formen {p, q, r, s}. Schläflis kriterium gir oss at Ω p,q,r > 0, altså får vi: sin 2 π p sin2 π s sin2 π p cos2 π r cos2 π q sin2 π s > 0 Deler vi alle ledd på sin 2 π p sin2 π s så får vi: 1 cos2 π r sin 2 π s cos2 π q sin 2 π p > 0 og dermed at: cos 2 π r sin 2 π s + cos2 π q sin 2 π p < 1 (3.17) Vi husker igjen definisjonen på en regulær polytop, og får dermed at både cellene, {p, q, r}, og hjørnefigurene, {q, r, s}, til regulære, konvekse 5-polytoper må være regulære, konvekse 4-polytoper, altså blant de seks vi akkurat fant. På tilsvarende måte som vi fant dem, finner vi de regulære 5-polytopene ved å bruke likning 3.17, samtidig som vi sjekker at både celler og hjørnefigurer er regulære. Vi vil da finne at de eneste tillatte er {3, 3, 3, 3}, {3, 3, 3, 4} og {4, 3, 3, 3}, altså α 5, β 5 og γ 5. Vi får likhet for {3, 3, 4, 3}, {3, 4, 3, 3} og {4, 3, 3, 4}, som er romfyllinger vi skal se på senere. Likning 3.17 utelukker tilfellene {3, 3, 3, 5}, {5, 3, 3, 3}, {4, 3, 3, 5}, {5, 3, 3, 4} og {5, 3, 3, 5}, imens de andre mulige kombinasjonene med 3-ere, 4-ere og 5-ere utelukkes av det faktum at cellene og hjørnefigurene skal være regulære 4-polytoper. Vi ser at det bare er tre regulære, konvekse 5-polytoper. Legg merke til en ting med disse: de består bare av 3-ere, bortsett fra at de kan ha en 4-er enten først eller sist i schläfli-symbolet. Hvis vi videre skal sette sammen en regulær, konveks 6-polytop, må vi benytte α 5, β 5 og γ 5 som celler og hjørnefigurer. Da må også resultatet vårt, altså 6-polytopen, også bestå av bare 3-ere bortsett fra kanskje en 4-er først eller sist i schläfli-symbolet. Vi kan evnt. også få en 4-er både først og sist i schläfli-symbolet, men dette er alltid en romfylling, uansett hvilken dimensjon vi er i. Dette så vi i likning 3.11, at Ω-funksjonen alltid er null for schläfli-symbolet {4, 3, 3,, 3, 4}. Fortsetter vi slik i n dimensjoner, vil det samme skje, og vi vil bare få de tre polytopene α n = {3, 3, 3,, 3, 3}, β n = {3, 3, 3,, 3, 4} og γ n = {4, 3, 3,, 3, 3}. Vi ser også at disse tre alltid tilfredstiller at Ω-funksjonen er større enn null, de tilfredstiller altså Schläflis kriterium, ved å ta en titt på likning 3.9 og 3.10.

60 60 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER Vi har nå bevist teoremet; det finnes uendelig mange konvekse, regulære 2-polytoper, fem konvekse, regulære 3-polytoper, seks konvekse, regulære 4- polytoper, og tre konvekse, regulære n-polytoper: α n, β n og γ n. Eller har vi det? Det gjenstår å vise at de tre 4-polytopene {3, 4, 3}, {3, 3, 5} og {5, 3, 3} faktisk eksisterer ved å konstruere dem (vi har jo allerede beskrevet hvordan man konstruerer α n, β n og γ n ). Dette gjøres ved å bygge dem opp celle for celle, som er spesielt komplisert for 120-cellen og 600-cellen. Vi skal ikke gjøre disse konstruksjonene her, men henviser til [Cox49], sider og Dette er et vakkert resultat! Vi trenger ikke ta for oss en og en dimensjon og finne ut hvor mange regulære polytoper vi har, det viser altså at fra fem dimensjoner og oppover så finner vi de samme typene polytoper. Vi ser at det at vi har fjernet begrensingen om å skulle befinne seg i tre dimensjoner gir oss mange flere muligheter. Selvom noen er generaliseringer av laveredimensjonale polytoper, er de fortsatt nye polytoper. Selvom tetraederet er den tre-dimensjonale generaliseringen av en to-dimensjonal, likebeint trekant, sier vi ikke at disse er to en den samme polytopen. Samtidig får vi 24-cellen som er en helt unik polytop som ikke har noen analog i lavere eller høyere dimensjoner enn fire. Vi ser at det fire-dimensjonale rom er det rommet som gir oss flest regulære, konvekse polytoper. De lokale hjørnedataene bestemmer fortsatt de globale egenskapene, som for de regulære polyederene. Vi så at når vi fjernet konveksitets-betingelsen i forrige kapittel, fikk vi fire nye regulære polytoper. Vil vi kunne gjøre dette nå også? Hvor mange får vi? Dette skal vi nå svare på. 3.3 Regulære stjernepolytoper Vi fikk de fire regulære stjernepolyederene når vi fjernet konveksitets-betingelsen i tre dimensjoner. Det gav oss 3-polytopene { 5 2, 3}, { 5 2, 5}, { 3, 5 } { 2 og 5, 5 2}. Vi så tidligere at 4-polytoper består av celler og hjørnefigurer som er 3- polytoper. Kan det tenkes at en ikke-konveks 4-polytop kan bestå av en av de fire regulære stjernepolyederene som celler eller hjørnefigurer? Det viser seg at ja, det går an. Vi får på denne måten ti fire-dimensjonale, regulære stjernepolytoper. De er: { 5 2, 5, 3}, { 5 2, 3, 5}, { 5 2, 3, 3}, { 5 2, 5, 5 } { 2, 3, 5, 5 { 2}, 5, 5 2, 5}, { 5, 3, 5 } { 2, 5, 5 2, 3}, { 3, 5 2, 5} og { 3, 3, 5 2}. Ortogonale projeksjoner av tre av dem ned i tre dimensjoner ser vi på Figur Slik som sideflatene i et stjernepolyeder krysser hverandre, vil her polyeder-cellene krysse hverandre. Kan disse stjernepolytopene i fire dimensjoner igjen brukes som celler eller hjørnefigurer i en 5-polytop? Nei, det går faktisk ikke. Det finnes ingen stjernepolytoper i høyere enn fire dimensjoner. La oss formulere det hele i et teorem.

61 3.3. REGULÆRE STJERNEPOLYTOPER 61 { Figur 3.11: Fra venstre: 5, 5 2, 5} { (Veldig store 120-celle), 5 2, 5, 3} (Lille stjerne-120-celle) og { 5 2, 3, 3} (Veldig store stjerne-120-celle). Kilde: [Web07] Teorem Det finnes uendelig mange regulære stjernepolytoper i to dimensjoner, nøyaktig fire stjernepolytoper i tre dimensjoner, nøyaktig ti regulære stjernepolytoper i fire dimensjoner, og ingen stjernepolytoper i høyere enn fire dimensjoner. Bevis. Schläflis kriterium gjelder fortsatt, selvom vi har fjernet betingelsen om konveksitet. Det var ingen antakelse om konveksitet i utledningen av kriteriet. Vi får derfor at det også er uendelig mange regulære stjernepolytoper i to dimensjoner, da likning 3.14 fortsatt stemmer dersom p er rasjonal. Man kan også se for seg at man kan lage uendelig mange regulære stjernemangekanter. Vi har tidligere, i kapittel 2, sett at de fire Kepler-Poinsot stjernepolyederene er de eneste tre-dimensjonale regulære stjernepolytopene. La oss nå se på fire-dimensjonale stjernepolytoper. Dersom vi tillater Kepler-Poinsot stjernepolyederene å være celler og hjørnefigurer til en regulær 4-polytop, og fortsatt tillater de platonske legemene, får vi følgende muligheter: { } { } { } { , 5, 3, 2, 3, 5, 2, 3, 3, 2, 5, 5 } {, 3, 5, 5 }, (3.18) 2 2 {5, 52 } {, 5, 5, 3, 5 }, {5, 52 } 2, 3, {3, 52 } {, 5, 3, 3, 5 }, 2 {3, 52 } {, 3, 4, 3, 5 } { } { 5 5, 2 2, 3, 4, 2, 3, 5 } 2 (3.19) Der vi har brukt samme metode som i beviset for Teorem 3.2.1, da vi fant de seks regulære, konvekse polytopene.vi kommer til å vise at de ti regulære stjernepolytopene i likning 3.18 eksisterer, men at de fire i likning 3.19, ikke kan realiseres. Vi trenger altså flere begrensninger enn Schläflis kriterium for stjernepolytopene. Hvis vi videre bruker likning 3.17, polytopene i

62 62 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER likning 3.18 og de seks regulære, konvekse 4-polytopene til å sette sammen 5-polytoper, får vi følgende muligheter: { 3, 3, 3, 5 } { } { 5,, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 5 } { } { 5 5,, 3, 3, 4, , 3, 3, 5 }, (3.20) 2 {3, 3, 52 }, 5, {5, 52 } {, 3, 3, 3, 5 2, 5, 5 } { 5, 2 2, 5, 5 } 2, 3, Vi skal se at ingen av disse kan realiseres. Så stegene i beviset er følgende: 1. Eksistens av (3.18), 2. Utelukking av (3.19) og 3. Utelukking av (3.20). Når vi har utelukket schläfli-symbolene i likning 3.20, vil det heller ikke være mulig å lage stjernepolytoper i høyere dimensjoner, da vi ikke har noen stjernepolytoper å bruke som celler og hjørnefigurer. Gjennom beviset vil vi bruke notasjon som vi brukte i beviset på Teorem 3.2.1, så vi ber leseren se tilbake på dette for referanse. 1. Eksistens av (3.18): Vi skal nå ta utgangspunkt i {5, 3, 3} cellen - og forklare kort hvordan de ti stjernepolytopene i likning 3.18 kan konstrueres med utgangspunkt i denne. Vi husker at i beviset på Teorem 2.2.1, konstruerte vi { 5 2, 5}, { 5, 2} 5 { og 5 2, 3} med utgangspunkt i {5, 3}. Vi skal først gjøre alle de 120 dodekaederene, {5, 3}, til små stjernedodekaedere, { 5 2, 5} (som i beviset på Teorem 2.2.1). Da får vi { 5 2, 5, 3}. Det er fortsatt 3 celler som møtes i hver kant, så r er fortsatt 3. Vi skal videre gjøre hver { 5 2, 5} til { 5, 5 2}. Dette gjorde vi også i beviset av Teorem Da vil hjørnefigurene gjøres om fra {5, 3} til { 5 2, 5}, så vi får { 5, 5 2, 5}. Vi gjør igjen slik som i beviset av Teorem 2.2.1, og konstruerer { 5, 5 { 2} til 5 2, 3}. Da får vi { 5 2, 3, 5}. Disse tre vi har nå konstruert er ordentlige polytoper, ikke sammensatte polytoper, da tilstøtende celler i {5, 3, 3} blir til tilstøtende celler i { 5 2, 5, 3} som igjen blir til tilstøtende celler i { 5, 5 2, 5} og { 5 2, 3, 5}. Den enkleste måten å gå videre, for å sikre at vi ikke får noen sammensatte polytoper, er å konstruere { 5, 3, 5 2} ved å observere at den er den duale til { 5 2, 3, 5}. Hjørnene til { 5, 3, 5 { 2} blir da i sentrum til cellene til 5 2, 3, 5}. Vi gjør igjen om hvert dodekaeder, nå i { 5, 3, 5 { 2}, til 5 2, 5}, og får { 5 2, 5, 5 2}. Vi konstruerer så { 5, 5 { 2} fra alle 5 2, 5}, og hjørnefigurene blir da { 5 2, 3}, og vi har funnet { 5, 5 2, 3}. Igjen gjør vi { 5, 2} 5 { -cellene til 5 { 2, 3} -celler, og får 5 2, 3, 3}. Vi kan konstruere { 3, 3, 5 } { 2 ved å finne den duale til 5 2, 3, 3}. Det neste steget hadde vært å gjøre { 5 2, 3} -cellene i { 5 2, 3, 3} til dodekaedere, men det er bare fire celler i hvert hjørne i { 5 2, 3, 3}, og gjør vi cellene om til dodekaedere, vil de ikke passe sammen til å danne en polytop. Så vi må bruke en annen metode enn vi har brukt så langt for å finne de to siste. La oss se på { 5, 5 2, 5}. Hvis vi erstatter hver { 5, 5 2} -celle med et ikosaeder med samme kanter, vil hjørnefigurens sideflater bli vanlige femkanter, og den vil derfor bli { 5, 2} 5 { {. Vi får derfor 3, 5, 5 2}. La oss nå se på 5 2, 5, 5 2}. Erstatter vi nå hver { 5 2, 5} -celle med { 3, 5 2} som har samme kanter, vil hjørnefigurene bli { 5 2, 5}, og vi får { 3, 5 2, 5}.

63 3.3. REGULÆRE STJERNEPOLYTOPER 63 Vi har nå beskrevet kort hvordan man konstruerer de ti stjernepolytopene i likning 3.18, med utgangspunkt i 120-cellen - en polytop vi har vist eksistensen av. Dermed har vi vist at disse ti eksisterer, så i fire dimensjoner gjenstår det altså å vise at de er de eneste fire-dimensjonale stjernepolytopene. Det eneste vi trenger da er å utelukke de fire schlafli-symbolene i likning Utelukking av (3.19): Når vi nå har bevist at polytopene i likning 3.18 eksisterer, gjenstår det å vise at de i likning 3.19 ikke gjør det. Da Schläflis kriterium ikke er nok, skal vi se på et nytt kriterium som kommer til å utelukke de fire schläfli-symbolene i likning Dette kriteriet ble oppdaget av matematikeren Van Oss (husk definisjonen av ρ, θ og φ fra beviset av Teorem 3.2.1): ρ er kommensurabel med π dersom hjørnefiguren i polytopen har sentralsymmetri. La oss se hvorfor dette stemmer. Se for deg en regulær polytop der hjørnefiguren har sentral symmetri. Den eneste regulære 3-polytopen som har hjørnefigur med sentral symmetri er oktaederet, som har kvadratet som hjørnefigur, så se gjerne for deg oktaederet. Planet som går gjennom en av kantene og sentrum, S n, vil inneholde flere andre kanter, og disse kantene vil danne en regulær mangekant. På oktaederet vil dette bli et kvadrat. Vi vil ikke få en mangekant dersom vi gjør dette på en regulær polytop som ikke har hjørnefigurer med sentral symmetri. Et slikt plan på kuben, for eksempel, vil bare gå gjennom to av kubens kanter, og de kantene vil da ikke kunne danne en mangekant. Tilbake til mangekanten som dannes i en polytop med sentralsymmetriske hjørnefigurer: to forbundede kanter i denne mangekanten, la oss si AB og BC, inneholder motstående hjørner i hjørnefiguren til hjørnet B. La oss si at den regulære mangekanten er en {k}. Da har vi 2ρ = AS n B = 2 π k, så ρ = π (3.21) k Dette kriteriet ville ikke hjulpet så mye i tre dimensjoner, da oktaederet er den eneste regulære polytopen med sentralsymmetriske hjørnefigurer. Men i fire dimensjoner viser Van Oss kriterium seg å være meget nyttig. Det er nemlig slik at åtte av ni mulige hjørnefigurer, {q, r}, har sentralsymmetri. Den eneste som ikke har det er {3, 3}. Men vi har jo allerede etablert at alle de fire mulighetene {3, 3, 3}, {4, 3, 3}, {5, 3, 3} og { 5 2, 3, 3} eksisterer, og trenger bare å sjekke om { 3, 5 2, 3}, { 4, 3, 5 { 2}, 5 2, 3, 4} og { 5 2, 3, 2} 5 eksisterer eller ikke. Hjørnefigurene til alle disse fire har sentralsymmetri, og vi kan derfor bruke kriteriet. Vi skal se om vi kan finne en likning sentralsymmetriske 4- polytoper oppfyller, ved bruk av dette kriteriet. Da må vi først introdusere et nytt begrep. For å gå videre skal vi se på noe som heter Petrie-mangekanten, {h}, til et regulær polyeder. Den er en mangekant som inneholder nøyaktig to forbundede kanter i hver sideflate av det regulære polyederet. Denne mangekanten

64 64 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER vil ikke være plan, men ligge i 3-rommet. Du kan lage den ved å begynne å fargelegge to forbundede kanter på et gitt regulært polyeder, for eksempel kuben. Deretter farger du en kant forbundet med en av disse på en annen sideflate, og fortsetter slik ved å bare la to av kantene på en sideflate være fargelagt. Gjør du det på riktig måte vil da den siste kanten du fargelegger være forbundet med den siste du fargelegger. Det kan dog hende at du må prøve flere ganger for at dette skal gå. Den mangekanten som dannes av de kantene du nå har fargelagt er Petrie-mangekanten. Denne mangekanten vil ha like lange sider, da kantene i enhver regulær polytop er like lange. For tetraederet vil Petrie-mangekant være {4}, for kuben, oktaederet, lille stjernedodekaeder og store dodekaeder vil den være {6}, for ikosaederet og dodekaederet vil den være {10} og for store stjernedodekaeder og store ikosaeder vil den være { 10 3 }. Vi kan også se på Petrie-mangekantene til cellene og hjørnefigurene til en regulær 4-polytop, som vi da betegner h p,q og h q,r, henholdsvis. Ved å se på hjørnefiguren til en regulær 4-polytop, der hjørnefigurene har sentralsymmetri, og ved å sette inn i likning 3.2, vil vi få følgende sammenheng: cos ρ = cos π p sin π r sin π h q,r Setter vi så inn verdien for ρ fra likning 3.21, og rydder litt, får vi: sin π h q,r cos π k = cos π p sin π r (3.22) Dette er en slik likning vi var på jakt etter, og snart kan vi sjekke om de fire schläfli-symbolene i likning 3.19 oppfyller denne. Vi kommer da til å får bruk to former for en trigonometrisk sammenheng som kalles Gordon s likning: cos xπ + cos yπ + cos zπ = 0 (0 x, y, z 1) (3.23) der de eneste rasjonale løsningene er permutasjoner av ( 1 2, 2 3, 2 ( 3) og 2 5, 2 3, 4 5). Den andre formen for Gordon s likning vi kommer til å få bruk for er: ( 2 sin aπ cos bπ = sin cπ 0 a, b, c 1 ) (3.24) 2 med rasjonale løsninger: ( u, 1 2, 0), (0, v, 0), (u, u, 2u), (u, u, 1 2u), ( u, 1 3, u), ( 1 6, v, 1 2 v), ( 1 10, 1 5, 1 ) ( 6, 3 10, 2 5, 1 ) ( 6, 1 15, 7 30, 1 ) ( 10, 4 15, 13 30, 1 ) ( 10, 2 15, 1 30, 10) 3, ( 7 15, 11 30, 10) 3. Vi skal nå se på tre av de fire schläfli-symbolene vi undersøker: { 3, 5 2, 3}, { 5 2, 3, 4} og { 5 2, 3, 5 2}. La oss ta se om vi kan forenkle likning 3.24 litt, slik

65 3.3. REGULÆRE STJERNEPOLYTOPER 65 at { den bare gjelder for disse. Vi har følgende verdier for disse polytopene : 3, 5 2, 3} har hjørnefigur: { 5 { 2, 3}, h q,r = 10 3 og p = 3 5 { 2, 3, 4} har hjørnefigur: {3, 4} og h q,r = 6 5 2, 3, 5 } { 2 har hjørnefigur: 3, 5 2}, hq,r = 10 3 og p = r Da kan likning 3.22 forenkles til: 2 sin π h q,r cos π k = sin π r (p = 3) 2 sin π r cos π p = cos π k (h q,r = 6) 2 sin π h q,r cos π k = sin 2π r (p = r) Disse likningene er på formen til likning 3.24, og vi kan se om likning 3.24 har noen rasjonale løsninger på noen av formene ( 3 10, b, 1 ( 3), 1 ( 4, 2 5, c) eller 3 { 10, b, 4 5). Det har den ikke, og derfor kan ingen av de tre schläfli-symbolene 3, 5 2, 3}, { 5 2, 3, 4} eller { 5 2, 3, 2} 5 realiseres som polytoper. Vi fant jo nemlig et kriterium for eksistens av en polytop med sentralsymmetriske hjørnefigurer, noe som alle disse tre har, og fant ut at ingen av disse tre oppfyller det kriteriet - og kan derav ikke eksistere som regulære polytoper. Hva med den siste i likning 3.19, { { 4, 3, 2} 5? Eksistens av denne ville implisere eksistens av 5 2, 3, 4}, da de er duale. Dette er en selvmotsigelse, så denne eksisterer heller ikke. Dermed har vi at det er nøyaktig ti regulære stjernepolytoper i fire dimensjoner, altså de vi fant av Schläflis kriterium i likning Det som gjenstår å vise nå er at det ikke finnes noen flere stjernepolytoper i høyere dimensjoner. 3. Utelukking av (3.20): For å vise at det ikke finnes noen flere stjernepolytoper i høyere dimensjoner enn fire, holder det å vise at polytopene i likning 3.20 ikke eksisterer. Da vil det være umulig å lage stjernepolytoper i seks og høyere dimensjoner, da det ikke vil være lavere dimensjons-stjernepolytoper å bruke som celler og hjørnefigurer. Van Oss kriterium viser seg å være meget nyttig i fem dimensjoner også, da alle de hypotetiske polytopene i likning 3.20 har hjørnefigurer med sentralsymmetri. Vi ser at polytopene i likning 3.20 kommer i duale par, bortsett fra { 5 2, 3, 3, 5 2} som er seg selv dual. Da eksistens av én i et dualt par impliserer eksistens av den andre i et dualt par, holder det å bare se på én polytop fra hvert dualt par. Så det holder derfor å sjekke om følgende polytoper oppfyller kriteriet: { 3, 3, 3, 5 { 2}, 3, 3, 5 { 2, 5}, 3, 5 2, 5, 5 } { 2, 5 2, 3, 3, 4} og { 5 2, 3, 3, 5 2}. Vi skal bruke følgende form av likning 3.3: sin ρ cos ρ = cos π p For de tre første hypotetiske 5-polytopene er p = 3 og ρ = 3π 10. Da får vi: 2 sin 3π 10 cos ρ = 1 = sin π 2

66 66 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER Vi ser at også dette er på formen til likning 3.24, men likning 3.24 har ingen rasjonal løsning på formen ( 3 10, b, 1 2). Så dermed er ρ inkomensurabel med π og { 3, 3, 3, 2} 5 {, 3, 3, 5 2, 5} og { 3, 5 2, 5, 5 2} er ikke polytoper. For { 5 2, 3, 3, 4} har vi p = 5 2 og ρ = π 4. Vi får: altså: cos ρ = cos 2π 5 sin π 4 = cos 2π = cos 2π 5 = 2 sin π 4 cos 2π 5 2 sin π 4 cos 2π 5 = sin ( π 2 ρ ) Som også er på formen til likning 3.24, men likning 3.24 har ingen løsning på formen ( 1 4, 2 5, c), så { 5 2, 3, 3, 4} er dermed heller ingen polytop. Til slutt, for { 5 2, 3, 3, 5 } 2 har vi p = 5 2 og ρ = 3π 10, så: cos ρ = cos 2π 5 sin 3π 10 Videre skal vi bruke følgende: sin ( ) 3π 10 = sin 54 = = ϕ 2 (denne sammenhengen brukte vi også i konstruksjon av dodekaederet i kapittel 2) og cos 2π 5 = cos 72 = = 2(1+ = 1 5) 2ϕ, der ϕ er det gyldne snitt. Vi får: cos ρ = cos 2π 5 sin 3π 10 = 2 1 ϕ 2ϕ = 1 ϕ 2 = 1 1 ϕ = 1 2 cos 2π 5 = cos 3π 5 (3.25) der likheten 1 ϕ 2 = 1 1 ϕ kommer av følgende utregning: 1 ϕ 2 = 4 ( 5 + 1) = 4(1 5) 2 2 (1 5)(1 5) = (1 5) 2 4 = = = = ( 5 + 1) = = 1 1 ϕ Vi ser at likning 3.25 er på formen til likning 3.23, som ikke har noen rasjonale løsninger der x = y = 3 5, og { 5 2, 3, 3, 5 2} kan derfor heller ikke realiseres som en polytop. Så vi har dermed at ingen av de ni 5-polytopene { 3, 3, 3, 5 { 2}, 5 { } { 2, 3, 3, 3}, 4, 3, 3, 5 2, 5 2, 3, 3, 4}, { 5 2, 3, 3, 5 } { 2, 3, 3, 5 2, 5}, { 5, 5 2, 3, 3}, { { 3, 5 2, 5, 5 2} og 5 2, 5, 5 2, 3} eksisterer, og av Schläflis kriterium var disse ni de eneste mulighetene for stjernepolytoper i fem dimensjoner. Så det eksisterer derfor ingen stjernepolytoper i fem dimensjoner, og derav heller ikke i flere enn fem dimensjoner. La oss oppsummere resultatene vi har kommet frem til om regulære polytoper i ett teorem:

67 3.4. UNIFORME POLYTOPER 67 Teorem Det finnes uendelig mange regulære 2-polytoper, nøyaktig 9 regulære 3-polytoper - 5 konvekse og 4 konkave, nøyaktig 16 regulære 4- polytoper - 6 konvekse og 10 konkave og nøyaktig 3 regulære n-polytoper for n 5-3 konvekse og ingen konkave. Vi får altså totalt seksten regulære 4-polytoper! Det er altså flere regulære 4-stjernepolytoper enn regulære, konvekse 4-polytoper. I tre dimensjoner var det motsatt. Det at det finnes mange flere stjernepolytoper i fire dimensjoner har en tilknytning til at vi har flere muligheter for kombinasjoner i schläfli-symbolet. Vi kan bruke av de platonske legemene og Kepler-Poinsot stjernepolyederene som celler og hjørnefigurer, mens vi bare kunne bruke regulære trekanter, kvadrater, regulære femkanter og regulære pentagrammer når vi skulle lage regulære stjernepolyedere. Vi observerer også at det er mange flere regulære polytoper i fire dimensjoner enn i tre. Men dette er ikke en generell trend, dersom vi forsetter opp i dimensjoner. Fra fem dimensjoner og oppover er det totalt bare tre regulære polytoper - og ingen av dem er stjernepolytoper. Det er vanskelig å svare på hva som er så spesielt med fire dimensjoner. Det er jo vanskelig å se for seg hva som foregår i fire dimensjoner. Vi vet jo at det blir mer plass, og kan tenke oss at dette spiller en rolle. Men det blir jo mer og mer plass jo høyere opp i dimensjoner man kommer. Det man kan tenke seg spiller inn i tillegg til plassen er kodimensjonen. Vi ser her alltid på polytoper med kodimensjon 1, dersom vi ser på overflatene til polytopene. Vi ser altså bortifra polytopens indre. Da kan vi tenke oss at forholdet mellom dimensjonen på overflaten til polytopen og dimensjonen på rommet vi befinner oss i spiller en rolle. Kanskje forholdet 4:3 (fire-dimensjonalt rom og tre-dimensjonal overflate) er det optimale forholdet, men blir forholdet mindre enn dette gir det mye færre muligheter. Dette er bare noen tanker, og det kan være andre svar på dette spørsmålet som gir mer mening. Men noe må det være med den fjerde dimensjon som gjør den så spesiell. Spennende er det ihvertfall. 3.4 Uniforme polytoper Vi skal i denne seksjonen fjerne regularitets-begrensningen, og legge på en litt slakkere begrensning - vi skal se på uniforme polytoper. Først skal vi kort se på hva en uniform polytop er, og deretter skal vi se hvilken tilknytning de har til de uniforme polyederene. La oss se på definisjonen: Definisjon En uniform polytop er en hjørne-transitiv polytop, der alle cellene er uniforme. Slik som definisjonen av en regulær polytop bygger på definisjonen av et regulært polyeder, bygger denne definisjonen på definisjonen av et uniformt polyeder. Det er en induksjons-tankegang som ligger bak. En uniform 4- polytop vil være en hjørne-transitiv 4-polytop der alle cellene er blant de

68 68 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER uniforme polyederene, og en uniform 5-polytop vil være en hjørne-transitiv 5-polytop er alle cellene er blant disse uniforme 4-polytopene, osv. Vi kan konstruere mange av de uniforme polytopene i n dimensjoner ved å gjøre liknende operasjoner som vi gjorde når vi fant de arkimediske legemene, på regulære legemer i n dimensjoner. Vi skal ikke gjøre dette her, men vi skal se på noen eksempler. I fire dimensjoner finner vi følgende uniforme polytoper, utover de regulære: 17 prismer på de arkimediske legemene, tre uendelige familier av prismer, antiprismer og såkalte duoprismer (det brukes to ulike polytoper som topp og bunn isteden for den samme, som man gjør for prismene og antiprismene), og i tillegg 41 andre konvekse polytoper, som den avkortede tesserakten (se Figur 3.12). Man vet enda ikke hvor mange uniforme fire-dimensjonale stjernepolytoper det finnes, men de må inkludere de regulære stjernepolytopene og 57 prismer på de uniforme stjernepolyederene. I tillegg til disse har man funnet over 1000 uniforme stjernepolytoper. I fem dimensjoner og oppover finnes ingen stjernepolytoper, men mange ulike konvekse, uniforme polytoper. Et generalisert prisme er en n-polytop som Figur 3.12: Schlegeldiagram for tre uniforme 4-polytoper. Fra venstre: Avkortet tesserakt, biavkortet 16-celle og 5-8-duoprisme består av to identiske (n 1)-polytoper, og to og to tilsvarende hjørner på de to polytopene er forbundet til hverandre med en kant. I et prisme står disse parallelt i forhold til hverandre, mens antiprismer er den ene rotert i forhold til den andre med en gitt vinkel θ. I et duo-prisme vil det være benyttet to ulike (n 1)-polytoper som også blir bundet til hverandre med kanter. Vi ser at et uniformt polyeder bare er en tre-dimensjonal uniform polytop. Sammenhengen mellom de uniforme polytopene og de uniforme polyederene er derfor bare at de uniforme polyederene er er spesialtilfeller av de uniforme polytopene. Allikevel får vi flere muligheter når vi kommer opp i dimensjoner. I tre dimensjoner er alle cellene uniforme, men de er også regulære. Dette er fordi at alle uniforme mangekanter - hjørne-transitive mangekanter - også er regulære. Vi får dermed litt større frihet i fire dimensjoner da vi kan bruke både regulære og ikke-regulære, uniforme polyedere som celler i en uniform 4-polytop. Det er også derfor vi får mange flere uniforme 4-polytoper enn uniforme 3-polytoper. For eksempel finnes det 13 konvekse, uniforme 3-

69 3.4. UNIFORME POLYTOPER 69 polytoper og 41 konvekse, uniforme 4-polytoper, hvis vi ser bort ifra regulære legemer, prismer, antiprismer og duoprismer. Dersom vi fjerner regularitets-begrensingen i studiet av fler-dimensjonale polytoper ser vi at det er som å åpne alle sluser. Vi får veldig mange flere alternativer, slik vi så i fire dimensjoner, for eksempel. Vi får her mye større frihet, da vi kan kombinere cellene på mange flere ulike måter enn vi kan i tre dimensjoner. Et eksempel er duo-prismene. Vi kan lage et prisme med en polytop som bunn og en annen som topp, og fortsatt få noe uniformt. Vi ser også mange fellestrekk blant de uniforme polyederene og de uniforme polytopene i høyere dimensjoner. De er alle hjørne-transitive slik de er definert, noe som gjør at de lokale hjørnedataene bestemmer de globale egenskapene for alle uniforme polytoper. De deles også inn i noen av de samme kategoriene, selv om flere kategorier oppstår i flere dimensjoner. Hva med de semi-regulære polytopene i høyere dimensjoner? I tre dimensjoner var antallet semi-regularære polytoper én mer enn antallet uniforme polytoper. I høyere dimensjoner, derimot, vil antallet semi-regulære polytoper være mye færre enn antallet uniforme polytoper. Dette er fordi at en semi-regulær polytop må bestå av regulære celler, slik et semi-regulært polyeder består av regulære sideflater, imens uniforme polytoper består av uniforme celler som ikke nødvendigvis er regulære. Ser vi bortifra regulære legemer, finnes det faktisk bare tre semi-regulære 4-polytoper (disse er også uniforme): den snubbede 24-cellen, den rektifiserte 600-cellen og den rektifiserte 5-cellen. I høyere enn fire dimensjoner finnes det bare én semi-regulær polytop, som også er uniform, som er en generalisering av den rektifiserte 5-cellen. Når det gjelder semi-regulære legemer har altså den tredje dimensjonen overtaket, og har eneretten på den unike polytopen Millers legeme. Vi har hittil sett på ulike endelige polytoper. Hva skjer dersom vi fjerner betingelsen om endelighet?

70 70 KAPITTEL 3. POLYTOPER I HØYERE DIMENSJONER

71 Kapittel 4 Regulære romfyllinger I dette kapittelet skal vi fjerne begrensningen om endelighet på polytopene vi undersøker - vi skal se på uendelige polytoper. Vi har hittil bare nevnt at vi skal se på romfyllinger, men ikke hva en romfylling er. En romfylling er en degenerert n-polytop - istedenfor at den kan realiseres som en n-polytop, fyller den det (n 1)-dimensjonale rom. Dersom en romfylling fyller 2-rommet kaller vi den en tesselering. Definisjon En romfylling er en fylling av R n med n-polytoper som celler, der det ikke forekommer noen mellomrom. En fylling av R 2 kalles en tesselering. En romfylling som fyller R n kalles en n-romfylling. Vi skal i denne avhandlingen begrense oss til å se på regulære romfyllinger. Disse beskrives med schläfli-symbol, slik som regulære polytoper, og har regulære celler der et gitt antall møtes i hvert hjørne. Definisjon En n-romfylling er regulær dersom alle cellene dens er regulære n-polytoper og alle hjørnefigurene er regulære n-polytoper. Vi ser at en regulær romfylling defineres på samme måte som en regulær polytop - nettopp fordi de i prinsippet er det samme. Forskjellen er bare at en n-polytop er kompakt, og avgrenser en begrenset delmengde av R n, imens en n-romfylling har uendelig mange celler, og fyller hele R n. Regulære n-romfyllinger kan beskrives med schläfli-symbol med n elementer, imens n- polytopene beskrives av schläfli-symbol på n 1 elemeter. Grunnen til at vi gjør det slik er at en romfylling med n elementer i schläfli-symbolet ikke er (n + 1)-dimensjonal slik som en polytop med n elementer i schläfli-symbolet er, den er derimot n-dimensjonal og uendelig. Det er derimot en tydelig relasjon mellom n-polytoper og (n 1)-romfyllinger - de har like mange ledd i schläfli-symbolet og begge er sammensatt av (n 1)-dimensjonale celler. 71

72 72 KAPITTEL 4. REGULÆRE ROMFYLLINGER 4.1 Antall regulære romfyllinger Vi skal nå se på hvilke ulike regulære romfyllinger og tesseleringer som finnes. For å gjøre dette skal vi gå tilbake til beviset på Teorem Vi skal nå se på Schläflis kriterium med nye øyne, og skal tillate at Ω p,q,r,,v,w = 0, som gir oss de ulike romfyllingene. En regulær romfylling må nemlig tilfredstille Schläflis kriterium, akkurat slik som en regulær polytop. Teorem Det finnes tre regulære tesseleringer, én regulær 3-romfylling, tre regulære 4-romfyllinger, og én regulær romfylling i alle dimensjoner større enn fire. Bevis. La oss først se på de regulære tesseleringene. Da ser vi på likning 3.15, men setter inn likhet istedenfor ulikhet. Da får vi: 1 p + 1 q = 1 2 (4.1) Løsningene av denne likningene gir følgende tre muligheter: {3, 6}, {4, 4} og {6, 3}. Så vi har tre regulære tesseleringer. La oss nå se på 3-romfyllingene, romfyllingene som fyller R 3. Da gjør vi om på likning 3.16, slik at vi får likhet, og får: sin π p sin π r = cos π q (4.2) Her må igjen {p, q} og {q, r} være platonske legemer, slik som for 4-polytopene, da også cellene og hjørnefigurene til romfyllingene skal være regulære polytoper. Da tillater denne likningen bare én mulighet: {4, 3, 4}. Vi skal nå bevege oss mot 4-romfyllingene, romfyllingene som fyller R 4. Likning 3.17 gjør vi om, og får: cos 2 π r sin 2 π s + cos2 π q sin 2 π p = 1 (4.3) {p, q, r} og {q, r, s} må være blant de regulære 4-polytopene, og vi får følgende muligheter: {3, 3, 4, 3}, {3, 4, 3, 3} og {4, 3, 3, 4}. I fem dimensjoner og høyere bruker vi 5-polytoper, eller høyere dimensjonale polytoper, som celler, kan da bare bruke α, β og γ som celler og får da bare en mulighet: {4, 3, 3,, 3, 4}. 4.2 Den unike romfyllingen δ Romfyllingen som vi finner igjen i alle dimensjoner kalles ofte for δ eller den kubiske romfyllingen. Den er, slik vi har sett, polytopen med schläfli-symbol med 4 først og sist, og med bare 3-tall i mellom. Denne n-romfyllingen består

73 4.2. DEN UNIKE ROMFYLLINGEN δ (a) Her kan vi se naturens versjon av romfyllingen {6, 3}. 73 (b) Her ser vi romfyllingen {4, 3, 4} Figur 4.1 altså av n-dimensjonale hyperkube-celler. Hyperkubene kalles jo også målingspolytoper, så vi stabler på en måte hele n-rommet fullt av n-dimensjonale hyperkuber. Det gir da mening at denne romfyllingen finnes i alle dimensjoner, da man skal kunne stable målingspolytopen oppå hverandre uten mellomrom, for å finne volumet av et gitt område i n-rommet. δ i tre dimensjoner vil for eksempel være {4, 3, 4}, vi ser denne polytopen på Figur 4.1b. Den fremkommer av å stable kuber, slik at fire møtes i hver kant, og gjøre dette i det uendelige. Hjørnefiguren til romfyllingen er den n-dimensjonale krysspolytopen. Det gir mening at det bare er denne ene romfyllingen som finnes i alle dimensjoner, da vi i flere dimensjoner enn fire bare har α, β og γ å ta av. La oss se på hvorfor. Husk i det følgende at α = {3, 3,, 3, 3}, β = {3, 3,, 3, 34} og γ = {4, 3,, 3, 3}, og bruk penn og papir til å skrive opp schläflisymbolene det går an å danne. La oss se hva som skjer hvis vi prøver å finne en annen romfylling i et rom av høyere dimensjon enn fire. En eventuell annen romfylling må ha en av disse tre polytopene som celler og hjørnefigurer. Dersom vi bruker α som celle kan vi få en ny α (der vi bruker α som hjørnefigur) eller en β (ved å bruke β som hjørnefigur). Å bruke γ som hjørnefigur går ikke, da det da blir umulig å ha α som celle, når schläfli-symbolene til cellen og hjørnefiguren ikke passer sammen. Å bruke β som celle går ikke, da det siste 4-tallet i β sitt schläfli-symbol gjør det umulig å bruke α, β eller γ som hjørnefigurer. Bruker vi γ som celle, vil vi få en ny γ (ved å bruke α som hjørnefigur) eller δ (ved å bruke β som hjørnefigur). Å bruke γ som hjørnefigur er umulig med γ som celle, da schläfli-symbolene nok en gang ikke passer sammen. Vi ser at det eneste alternativet er δ, de andre kombinasjonene av α, β og γ gir enten polytoper eller er umulig. Denne romfyllingen er også selvdual.

74 74 KAPITTEL 4. REGULÆRE ROMFYLLINGER 4.3 Regulære tesseleringer La oss se litt nærmere på de tre regulære tesseleringene. Vi har: {6, 3}, {3, 6} og {4, 4}. Den siste er δ 2 og er kvadrater, der fire møtes i hvert hjørne. Vi kan visualisere den ved å for eksempel tenke på et ruteark. Et uendelig ruteark vil være {4, 4}. {6, 3} er tre sekskanter som møtes i hvert hjørne, og {3, 6} er seks trekanter som møtes i hvert hjørne. Disse to er duale. {6, 3} er nok den romfyllingen som er opphavet til det engelske navnet honeycomb, da den likner på slik bier lager bikubene sine, se Figur 4.1a. Vi kunne vist at det bare finnes disse tre regulære tesseleringene på en liknende måte slik vi gjorde i det geometriske beviset for Teorem Vi kunne bare isteden undersøkt hvilke regulære mangekanter vi kunne legge sammen, minst tre og tre av gangen, slik at vinkelsummen ble nøyaktig 2π om hvert hjørne i romfyllingen. Da ville vi også sett at disse tre er de eneste alternativene. 4.4 Regulære 4-romfyllinger Utenom δ og de regulære tesseleringene, finnes det bare to andre regulære romfyllinger og begge disse er fire-dimensjonale. De er {3, 3, 4, 3}, {3, 4, 3, 3}. Den første har 16-cellen som celler og 24-cellen som hjørnefigurer og kalles 16-celle-romfyllingen. Den andre har 24-cellen som celler og tesserakten som hjørnefigurer og kalles 24-celle-romfyllingen. Disse to romfyllingene er duale. I 24-celle-romfyllingen har hver 24-celle 24 naboer der nøyaktig én oktaedercelle av 24-cellen deles med hver nabo. Den har også 24 hjørne-naboer slik at den deler nøyaktig ett hjørne med hver slik nabo. 16-celle-romfyllingen er konfigurert på tilsvarende måte. Ser vi på snitt av en 4-polytop eller 4- romfylling, ved å se hva et hyperplan skjærer ut, får vi en 3-polytop eller 3-romfylling. Trekker vi for eksempel en rett linje mellom to motstående hjørner i en av 24-cellene, og legger et hyperplan ortogonalt midt på denne linjen, vil snittet bli en kubisk 3-romfylling, altså {4, 3, 4}. 4.5 Men hva med...? Det er noen typer romfyllinger vi hittil ikke har diskutert. Hva med romfyllinger som fyller det en-dimensjonale rom? Her har vi { }, som vi kaller et aperigon. Det er en mangekant som har uendelig mange sider, som vi også kan se på som en uendelig linje delt inn i linjesegmenter. Da linjesegmenter er 1-polytopene, er { } en romfylling (den eneste) som fyller det en-dimensjonale rom. I 0 dimensjoner vil jo rommet fylles av den ene polytopen som finnes - punktet. Vi har hittil bare diskutert romfyllinger satt sammen av konvekse polytoper - vi har ikke diskutert om det finnes stjerne-romfyllinger eller ikke. Så beviset av Teorem er egentlig ikke komplett dersom vi ikke ute-

75 4.5. MEN HVA MED...? 75 lukker eksistensen av stjerne-romfyllinger. Det viser seg at det ikke finnes stjerne-romfyllinger i noen dimensjoner, men hverken Schläflis eller Van Oss kriterier er sterke nok til å bevise dette. Vi skal ikke ta beviset for at det ikke eksisterer noen stjerne-romfyllinger her, men leseren kan ta en titt på [Cox49], s Vi ser at hvis vi tillater romfyllinger, får vi flere regulære legemer i alle dimensjoner. Det er lite vanlig å inkludere romfyllinger i definisjonen av en polytop, og heller vanlig å se på dem som degenererte former av polytopene. De er på den annen side verdt å studere, da de regulære romfyllingene har veldig mange av de samme egenskapene som de regulære polytopene.

76 76 KAPITTEL 4. REGULÆRE ROMFYLLINGER

77 Kapittel 5 Abstrakte polytoper Vi har hittil lagt ulike begrensninger på polytopene vi har sett på for å se hvilke ulike muligheter vi får, og dermed hva de ulike begrensningene har å si for antall muligheter. Det som hele tiden har vært implisitt, er at vi befinner oss i det euklidske rom, og at polytopene skal kunne realiseres som geometriske figurer i dette rommet. Dette er begrensninger vi ikke nødvendigvis trenger å legge på en polytop. Vi kan først og fremst befinne oss i et annet rom enn det euklidske, vi kunne for eksempel se på hvilke polytoper vi fikk med en hyperbolsk geometri. Eller hva med å fjerne begrensningen på polytopen at den skal kunne realiseres geometrisk i det hele tatt? Da beveger vi oss inn på polytoper som kalles abstrakte polytoper. Disse skal vi se kort på i dette kapittelet. Når vi beveger oss inn i den abstrakte verden er det bare det kombinatoriske som betyr noe. Vi bryr oss ikke om størrelsen på vinkler, lengden på sider, eller om konveksitet. De seks ulike figurene på Figur 5.1 er meget forskjellige i den Euklidske verden. I den abstrakte verden er de derimot like, eller isomorfe. Vi ser at det er noe disse figurene har til felles - de har fire hjørner og fire kanter, og to kanter møtes i hvert hjørne. Det kombinatoriske er likt på de to figurene. Disse er abstrakte 2-polytoper. Noen av disse er tradisjonelle 2-polytoper også, men ikke alle. De polytopene vi har sett på til nå må bestå av rette linjesegmenter, ikke slik som noen av de på figuren som har bøyde kanter. Men dette bryr vi oss ikke noe om Figur 5.1 i den abstrakte verden. Vi ser bare på de kombinatoriske egenskapene, 77

78 78 KAPITTEL 5. ABSTRAKTE POLYTOPER som sagt. Vi skal nå se kort på hvordan slike polytoper er definert, og sammenlikne denne definisjonen med definisjonen på en tradisjonell polytop. Det kan være lett å tenke at en abstrakt polytop er akkurat som en graf - at den består av hjørner og kanter i et nettverk. Men i tillegg til dette har en abstrakt polytop et dimensjonshierarki. For å definere en abstrakt polytop, er det derav noen begreper som først må introduseres. For eksempel vil vi se at elementene i en abstrakt polytop har ulik rang istedenfor ulik dimensjon. Vi skal snart definere hva rang er. Vi kaller alle elementene til en abstrakt polytop for sider, både hjørnene, kantene, sideflatene og cellene av enhver rang. Hjørner vil være 0-sider, kanter vil være 1-sider, sideflater vil være 2- sider og k-dimensjonale celler vil være k-sider. De er oppkalt etter hvilken rang de har. Videre kommer vi til å definere en abstrakt polytop som en mengde sider P og en relasjon, som i tillegg oppfyller noen aksiomer. P vil være en partiell ordning under. Dersom F og G er sider, og F G sier vi at F er en underside av G. Dersom F G eller G F sier vi at F er tilstøtende med G. Det viser seg også at det lønner seg å innføre begrepene største side og minste side. Den minste siden vil da være en delside av alle sidene, og alle sidene vil være delsider av den største siden. Den største og den minste siden er uekte sider, og de andre sidene er ekte sider. Siden sidene er ordnet etter rang, og den minste siden er en delside også av alle hjørnene vil den ha rang 1. Selvom dette kan virke rart, viser det seg å være en meget lønnsom notasjon. La oss nå se hva definisjonen av rang er. Definisjon Rangen til en side S er heltallet (m 2) slik at m er det maksimale antall sider i en lenke S < S < S < < S. Rangen, n, til en polytop P er den maksimale rangen til enhver side i P. Dette vil være rangen til den største siden. La oss nå se på et eksempel. La oss se på et kvadrat (i den abstrakte verden er dette hvilken som helst firkant). La S 1 betegne den minste sideflaten til denne polytopen, og la G være den største sideflaten. La a, b,c og d være 0-sidene og la X, Y, Z og W være 1-sidene til polytopen. Vi vil da ha rang på elementene til kvadratet slik vi ser i tabellen under. Type side Rang (k) Antall k-sider Minste -1 1 S 1 Hjørne 0 4 a, b, c og d Kant 1 4 X, Y, Z og W Største 2 1 G Det er vanlig å visualisere lavere-rangs abstrakte polytoper ved hesse-diagram. Et slikt diagram ser vi på Figur 5.2 for kvadratet i eksempelet. Vi ser at sider med samme rang er plassert som punkter på en vertikal linje, og linjer er trukket mellom tilstøtende sider. Vi skal nå definere noen begreper som er essensielle for definisjonen av en abstrakt polytop.

79 79 Figur 5.2: Til venstre ser vi kvadratet, og til høyre ser vi Hesse-diagrammet til kvadratet. Rangen til elementene står helt til høyre. Definisjon Et flagg er en maksimal lenke av sider i en abstrakt polytop P. Definisjon Gitt to sider S og U i en abstrakt polytop P, er mengden {T S T U} en seksjon av P. En seksjon av rank k kalles en k-seksjon. Definisjon En partielt ordnet mengde P er sammenhengende dersom P har rang 1, eller dersom gitt to ekte sider S og T, finnes det en følge av ekte sider: U 1, U 2,, U k slik at S = U 1 og T = U k, og enhver U i, i < k er tilstøtende med sitt etterfølgende element. P er strengt sammenhengende dersom enhver seksjon av P er sammenhengende. I tillegg trenger vi å vite at et linjesegment i den abstrakte verden er en partielt ordnet mengde som har et minste side, nøyaktig to 0-sider og en største side. Vi er nå klare for å se på hvordan vi definerer en abstrakt polytop. Definisjon En abstrakt polytop er en partielt ordnet mengde, med elementer som kalles sider, som oppfyller følgende aksiomer: (i) Den har en største side og en minste side. (ii) Alle flagg inneholder det samme antallet sider. (iii) Den er strengt sammenhengende. (iv) Enhver 1-seksjon er et linjesegment. Denne måten å se på polytoper på gir oss mange flere alternativer. Vi beholder alle polytopene fra den euklidske verden. Det blir derimot noen polytoper som nå er like, som ikke var det i den euklidske verden, slik vi så for figurene på Figur 5.1. Vi får nye polytoper som for eksempel 11-cellen, en polytop som ikke kan realiseres i noe geometrisk rom.

80 80 KAPITTEL 5. ABSTRAKTE POLYTOPER

81 Kapittel 6 Historisk epistel Teorien om polytoper har blitt utviklet over flere tusen år. Det er ikke før i nyere tid at vi har fått et generalisert begrep om polytoper som gjelder i alle dimensjoner, og polyederene har vært det som har stått i fokus. Beregninger på polyedere har blitt gjort i de fleste av oldtidens sivilisasjoner; egypterne drev blant annet med volumberegninger av polyedere som trunkerte pyramider, og babylonerne beregnet volumet av ulike prismer. Men disse beregningene var ofte relatert til praktiske problemer, det var de gamle grekerne som først studerte polyederene som rent matematiske objekter. Det er også hos grekerne vi finner de første referansene til regulære polyedere. 6.1 Polyedere i oldtidens Hellas og middelalderen Den første referansen til polyedere vi kjenner til, som ikke er relatert til et praktisk problem, er i Timaeus, en av dialogene til Platon (ca. 424 f.kr.-348 f.kr.). Platon kom med teorien om at de platonske legemene var relatert til de fire elementene som man på den tiden trodde at all materie bestod av. Han dedikerte tetraederet til ild, kuben til jord, oktaederet til luft og ikosaederet til vann. Problemet var at det finnes fem platonske legemer, ikke bare fire. Dette problemet løste han ved å dedikere et av de platonske legemene (dodekaederet) til himmelen. Han skriver: There still remained a fifth construction, which the god used for embrodering the constellations on the whole heaven (Platon sitert i [Cro97]). Denne teorien har inspirert flere i ettertid. Johannes Kepler ( ) hadde til Figur 6.1: Platon dels tiltro til denne teorien, blant annet. Idag vet vi at materie er bygget opp på en annen måte, men vi finner for eksempel science fiction filmer som er inspirert av dette. I filmen Contact fra 1997 mottar hovedrollen instruksjoner fra ailiens til 81

82 82 KAPITTEL 6. HISTORISK EPISTEL konstruksjon av en maskin som viser seg å transportere sin passasjer til et slags paradis eller himmel. Maskinen er formet som et dodekaeder. Det er nok det at Platon kom opp med denne teorien om elementene og de platonske legemene som gjør at vi har oppkalt dem etter han, for det er ikke han som først oppdaget dem. Vi finner menneskeskapte gjenstander med formen til tetraederet, kuben og dodekaederet som daterer mye lengre tilbake enn oldtidens Hellas, men det første matematiske studiet av de platonske legemene ble mest sannsynlig gjort av grekeren Theaetetus (ca. 417 f. kr.-369 f. kr.). Euklid gir Theaetetus æren for å ha oppdaget ikosaederet og oktaederet. Men hvorfor finner vi ikke noen referanser til ikosaederet og oktaederet fra tidligere tider, slik vi gjør for de andre platonske legemene? Kuben og tetraederet kan sies å være ganske lette å oppdage, de er ganske grunnleggende former. Dodekaederet ble sannsynligvis oppdaget tidlig på grunn av at man kan finne dodekaedere i naturen, blant annet i pyritt-krystaller. Ikosaederet er en kompleks form, som man ikke finner noe sted i naturen, imens det kanskje ikke ble lagt mye vekt på oktaederet, da den bare er en dobbelpyramide ([Cro97]). Det er ikke før man har en konkret definisjon av regularitet at det gir mening å studere oktaederet i detalj, isteden for pyramiden med kvadratformet bunn. Euklids Elementer er det eldste bevarte verket vi har som er en ren matematikk-bok. Han bygger opp boken på en veldig lik måte som vi bygger opp matematiske tekster idag, med aksiomer, definisjoner, teoremer og bevis. Figur 6.2: Et fragment av Euklids Elementer Han konstruerer de platonske legemene, beviser at det bare er de fem, og det er også her vi finner den første tilnærmingen til en definisjon av regularitet. Før dette kan det virke som de ble studert for deres pene utseende og likhet med kulen. Euklid definerer regularitet som et polyeder som har like sideflater og at alle sideflatene må være regulære mangekanter. Men dette er ikke en vanntett definisjon. Vi har blant annet en familie av deltaedere, som er polyedere som har regulære trekanter som sideflater, der ikke alle er regulære. Et annet problem er at han ikke definerer hva et polyeder er, det virker som om dette skal være underforstått. Allikevel sørger Elementer for et langt steg i riktig reting i studiet av polyedere. De arkimediske legemene har fått sitt navn av grekeren Arkimedes, Pappus gir Arkimedes æren av oppdagelsen av alle 13. Vi har ellers ingen kilder fra Arkimedes oppdagelse av legemene, Pappus derimot beskriver alle legemene i sin Matematiske kolleksjon. Kepler oppdager disse legemene på nytt i mid-

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 20. september v e + f = 2

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 20. september v e + f = 2 Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 20. september 2014 Oppgave 1. Beskriv et polyeder med 5 hjørner og 6 sider der alle sidene er trekanter. Beskriv to polyedre med 6 hjørner og 8 sider der alle sidene er trekanter.

Detaljer

Matematisk juleverksted

Matematisk juleverksted GLASSMALERI Matematisk juleverksted Mona Røsseland 1 2 GLASSMALERI GLASSMALERI Slik går du frem: Fremgangsmåte for å lage ramme Lag en ramme av svart papp. Lag strimler av svart papp, som skal brukes til

Detaljer

Platonske legemer i klasserommet

Platonske legemer i klasserommet Platonske legemer i klasserommet Kristian Ranestad 13. mai 2005 2 Innhold Forord iii 1 Innledning 1 2 Regulære mangekanter 3 3 Platonske legemer 7 3.1 Dualitet eller søskenforhold................... 12

Detaljer

Snu rundt. Snu rundt og gjenta stegene 1-6.

Snu rundt. Snu rundt og gjenta stegene 1-6. 1 av 5 Tetraederet Tetraederet har fire trekantede flater og er det minste platonske legemet. Det har 7 symmetriakser. Platon trodde det representerte elementet ild. Mange molekyler har atomene sine ordnet

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Plangeometri Romgeometri Høyere dimensjoner. Vinkler. Arne B. Sletsjøe. Universitetet i Oslo. Faglig-pedagogisk dag, 1.

Plangeometri Romgeometri Høyere dimensjoner. Vinkler. Arne B. Sletsjøe. Universitetet i Oslo. Faglig-pedagogisk dag, 1. Universitetet i Oslo Faglig-pedagogisk dag, 1. november 2012 Plangeometri Vinkelsummen i en plan trekant er 180 grader eller π. Vinkelsummen i en firkant er 2π. Proposisjon For en mangekant med vinkler

Detaljer

2.4 Sprettoppfigurer, overraskelseseffekter med mye matematikk

2.4 Sprettoppfigurer, overraskelseseffekter med mye matematikk 2.4 Sprettoppfigurer, overraskelseseffekter med mye matematikk Sprettoppfigurer er noe de aller fleste har sett eller kanskje til og med laget selv. Allerede på 1600-tallet ble de første bøkene med sprettoppfigurer

Detaljer

Tall og form 1 UTFORDRINGER UTFORDRINGER GENIER UTFORDRINGER UTFORDRINGER

Tall og form 1 UTFORDRINGER UTFORDRINGER GENIER UTFORDRINGER UTFORDRINGER Hvorfor er de vridd? Undersøk og sammenlikn de blå, gule og røde pinnene. Legg merke til at de blå pinnene er rette mens de gule og røde er vridd på midten. Hvorfor? Lag formen på pinnene Legg merke til

Detaljer

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X.

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. Om Fargelegging av Kart og Grafer i Planet Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. 1. Firefargeteoremet Et

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Lengdemål, areal og volum

Lengdemål, areal og volum Lengdemål, areal og volum Lengdemål Elever bør tidlig få erfaring med å vurdere ulike avstander og lengdemål. De kommer ofte opp i situasjoner i hverdagen hvor det er en stor ulempe å ikke ha begrep om

Detaljer

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet.

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet. GEOMETRI GRUNNLEGGENDE GEOMETRI Geometriske former Trekant, firkant, sirkel. - Hva er det? Hvordan ser det ut? Deltakerne fikk i oppdrag å tegne: en firkant, en trekant og en runding. Som forventet, tegnet

Detaljer

Tessellering og mangekanter:

Tessellering og mangekanter: Tessellering og mangekanter: 1. Hva menes med et tessellering? 2. Hva mener vi når vi sier at en figur tessellerer? 3. Hva er en mangekant? 4. Hva menes en regulær mangekant? 5. Regulære mangekanter kan

Detaljer

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til geometriske figurer G - 2 2 Grunnleggende om geometriske figurer G - 3 3 1-dimensjonale figurer

Detaljer

Stjernepolyeder og glidegurer

Stjernepolyeder og glidegurer Stjernepolyeder og glidegurer Gert Monstad Hana, Høgskolen i Bergen 29. september 2010 I denne artikkelen beskrives hvordan å lage romgurer ved å la papirbiter gli inn i hverandre. Ved å klippe hakk i

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Geometri. A1A/A1B, vår 2009

Geometri. A1A/A1B, vår 2009 Geometri A1A/A1B, vår 2009 27. mars 2009 1. Grunnleggende begreper 2. Areal 3. Kongruens og formlikhet 4. Periferivinkler og Thales setning 5. Pytagoras setning 6. Romfigurer, overflate og volum 7. Undervisning

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B =

Detaljer

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk

Detaljer

Kapittel 21 TESSELERING TESSELERING. Tesselere betyr å dekke en flate med en type eller noen få forskjellige typer figurer.

Kapittel 21 TESSELERING TESSELERING. Tesselere betyr å dekke en flate med en type eller noen få forskjellige typer figurer. TESSELERING Tesselere betyr å dekke en flate med en type eller noen få forskjellige typer figurer. Tesselering i planet med regulære mangekanter (regulære polygon) Vi bruker en regulær åttekant (et regulært

Detaljer

Familiematematikk MATTEPAKKE 6. Trinn

Familiematematikk MATTEPAKKE 6. Trinn Familiematematikk MATTEPAKKE 6. Trinn May Renate Settemsdal og Ingvill Merete Stedøy Aktiviteter Multisjablong Denne plata inneholder maler til mangekanter, alt fra tre- til tolv-kanter. Malen legges

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fasit 9 Grunnbok Kapittel 4 Bokmål Kapittel 4 Areal og omkrets 4.1 Alle unntatt C kan være riktige. 4.2 250 cm (= 2,50 m) langt kantebånd 4.3 3 m 4.4 a b 4 c 4 : 1 d e 9. Forhold 9 : 1 f s 2 g s 2 : 1

Detaljer

Om former og figurer Mønster

Om former og figurer Mønster Tre grunnleggende geometriske prosesser (Fosse&Munter): - Romforståelse - Formgjenkjenning - Målingsforståelse Om former og figurer Mønster Barn oppdager matematikk kap.g Sogndal 15.02.17 Solbjørg Urnes

Detaljer

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

MAT1030 Forelesning 23

MAT1030 Forelesning 23 MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter

Detaljer

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

Kul geometri - volum og overflate av kulen

Kul geometri - volum og overflate av kulen Kul geometri - volum og overflate av kulen Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner

Detaljer

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei...

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei... ESTETIKK I MATEMATIKK KRISTIAN RANESTAD Abstract. Det vakre spiller en vesentlig motiverende og veiledende rolle i matematikken. Med eksempler fra geometri, tallteori og et gammelt puslespill viser jeg

Detaljer

En presisering av kompetansemålene

En presisering av kompetansemålene En presisering av kompetansemålene - med vekt på aktiviteter Mål for kompetanse, og innhold? M87: Innholdsplan, eks geometri 5.-7. trinn: Geometriske begreper: Punkt, linjestykke, rett linje, kurve, vinkel

Detaljer

Geometri - MAT 2500. 1 Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 10. august 2012

Geometri - MAT 2500. 1 Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 10. august 2012 Geometri - MAT 2500 Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 10. august 2012 1 Innledning Dette kompendiet i Euklidsk plan- og romgeometri er satt sammen til bruk i kurset MAT 2500, og gir en innføring

Detaljer

INF Triangulering. Med sterk støtte fra Petter Kristiansen. Skal først se på et eksempel fra Google Earth

INF Triangulering. Med sterk støtte fra Petter Kristiansen. Skal først se på et eksempel fra Google Earth INF 4130 17. november 2011 Triangulering Stein Krogdahl Med sterk støtte fra Petter Kristiansen Skal først se på et eksempel fra Google Earth De bruker en underliggende triangulering av landskapet, men

Detaljer

Geometri Noen sentrale begrep. Nord-Gudbrandsdalen, Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein H Torkildsen NSMO

Geometri Noen sentrale begrep. Nord-Gudbrandsdalen, Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein H Torkildsen NSMO Geometri Noen sentrale begrep Nord-Gudbrandsdalen, 20.-23.10.14 Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein H Torkildsen NSMO Eksempelundervisning Tema på eksempelundervisningen denne gangen var Geometri, men

Detaljer

Geometri - MAT Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015

Geometri - MAT Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015 Geometri - MAT 2500 Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015 1 Innledning Dette kompendiet i Euklidsk plan- og romgeometri er satt sammen til bruk i kurset MAT 2500, og gir en innføring

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 21: Mer kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 15. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-15 00:05) Kapittel 9: Mer kombinatorikk

Detaljer

Litt topologi. Harald Hanche-Olsen

Litt topologi. Harald Hanche-Olsen MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Kombinatorikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering av regneprinsipper

Kombinatorikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering av regneprinsipper MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kombinatorikk 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:43) MAT1030 Diskret Matematikk 14.

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:42) Kombinatorikk MAT1030 Diskret Matematikk 14.

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

MAT1140: Notat om grafteori

MAT1140: Notat om grafteori MAT1140: Notat om grafteori Dette notatet har to hensikter for det første å lære bort litt grafteori og for det andre å gi et eksempel på hvordan en matematisk teori bygges opp systematisk ved hjelp av

Detaljer

Analysedrypp IV: Metriske rom

Analysedrypp IV: Metriske rom Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en

Detaljer

Stomachion. Kristian Ranestad. 10. Mars 2005

Stomachion. Kristian Ranestad. 10. Mars 2005 10. Mars 2005 Et gammelt puslespill og et matematisk problem Et gammelt puslespill Manuskriptet Arkimedes Palimpsest dukket opp på en auksjon hos Christie s i New York i 1998. Kjøperen som betalte to millioner

Detaljer

Geometriske morsomheter trinn 90 minutter

Geometriske morsomheter trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske

Detaljer

5. kurskveld på Ila. Måling, prosentregning og grunnleggende geometri

5. kurskveld på Ila. Måling, prosentregning og grunnleggende geometri 5. kurskveld på Ila. Måling, prosentregning og grunnleggende geometri Målinger finnes naturlig i hverdagen vår. Denne kurskvelden skal vi forsøke å møte de ulike begrepene slik som ungene møter dem og

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

Læreplanene for Kunnskapsløftet

Læreplanene for Kunnskapsløftet Læreplanene for Kunnskapsløftet Hvordan få samsvar mellom intensjon og praksis? Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen Leder i Lamis Lærebokforfatter; MULTI 21-Mar-06 Intensjoner

Detaljer

MAT1030 Forelesning 22

MAT1030 Forelesning 22 MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Dag Normann - 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:45) Kombinatorikk Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Ordnet utvalg uten repetisjon:

Detaljer

Eksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301)

Eksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Steffen Junge (73 59 17 73 / 94 16 27 27) Eksamen i Elementær Diskret Matematikk -

Detaljer

Kjeglesnitt. Harald Hanche-Olsen. Versjon

Kjeglesnitt. Harald Hanche-Olsen. Versjon Kjeglesnitt Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no Versjon 1.0 2013-01-25 Innledning Kjeglesnittene sirkler, ellipser, parabler og hyperbler er klassiske kurver som har vært studert siden antikken. Kjeglesnittene

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Oppgave 1 a) Sett opp en sannhetsverditabell(truth table) for det logiske uttrykket

Detaljer

Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter

Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Matematisk induksjon

Matematisk induksjon Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp

Detaljer

910 Pyramiden et arbeid med målestokk, areal og volum

910 Pyramiden et arbeid med målestokk, areal og volum 910 Pyramiden et arbeid med målestokk, areal og volum Presentasjon av oss som har workshop: Kari Haukås Lunde, lærer ved bryne skole. Sitter i sentralstyret for Landslaget for matematikk i Norge. Email:

Detaljer

HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510

HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 BJØRN JAHREN Euklids Elementer introduserte den aksiomatiske metode i geometrien, og i mer enn 2000 år var den omtrent enerådende som lærebok i geometri.

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver

Detaljer

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen... Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19

Detaljer

Forelesning 20 mandag den 27. oktober

Forelesning 20 mandag den 27. oktober Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel 5.10.1. La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut

Detaljer

LGU51005 A, Matematikk

LGU51005 A, Matematikk Skriftlig eksamen i LGU51005 A, Matematikk 1 5-10 15 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 10. desember 2013. BOKMÅL Sensur faller innen torsdag 9. januar 2014. Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første

Detaljer

Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet

Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende

Detaljer

Introduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen

Introduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Introduksjon 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Introduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf

Introduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf Introduksjon MAT13 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 28 Vi skal nå over til kapittel 1 & grafteori. Grafer fins overalt rundt

Detaljer

Eksamen MAT H Løsninger

Eksamen MAT H Løsninger Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet Kurshefte GeoGebra Barnetrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes ned

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning

Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning Gert Monstad Hana Sammendrag Teksten tar for seg hvordan å lage et perspektivisk bilde av kvadratiske rutenett. Bildet av slike rutenett kan være til

Detaljer

MAT1030 Forelesning 24

MAT1030 Forelesning 24 MAT1030 Forelesning 24 Grafteori og trær Roger Antonsen - 28. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-28 22:32) Forelesning 24 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Geometri

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Geometri QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Kapittel.3 3. For eksempel: a) b) c) d) 1 e) Kapittel.4 6. 7. Denne oppgaven kan det være greit å vente med til etter

Detaljer

Familiematematikk MATTEPAKKE. 7. Trinn

Familiematematikk MATTEPAKKE. 7. Trinn Familiematematikk MATTEPAKKE 7. Trinn Tangoes: Tangram er basert på et gammelt kinesiske puslespillet med former som kan settes sammen til et bilde eller et mønster. Tangram ble oppfunnet for mange århundrer

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære

Detaljer

Skilpaddekunst. Steg 1: Møt skilpadden. Sjekkliste. Introduksjon. Turtles

Skilpaddekunst. Steg 1: Møt skilpadden. Sjekkliste. Introduksjon. Turtles Skilpaddekunst Introduksjon Skilpadder (turtles på engelsk) er en form for roboter som har vært i bruk innen programmering i lang tid. Vi vil bruke skilpadde-biblioteket i Python til å utforske flere programmeringskonsepter

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen

Detaljer

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer