Forhold og algebra. Er det så vanskelig da? Svein H. Torkildsen, NSMO

Transkript

1 Forhold og algebra Er det så vanskelig da? Svein H. Torkildsen, NSMO

2 Forrige samling Grunnleggende om Begrep Posisjonssystemet og tallregning Geometri Statistikk 20-Mar-12 3

3 Ett skritt videre Denne gang Forhold mellom størrelser Tall som varierer Geometrisk representasjon av variasjoner Modellering ikke så vidløftig som det kan høres ut til

4 Ta opp tråden fra sist

5 Arealmodellen utvidet bruk 20-Mar-12 6

6 Fra en videregående skole

7 Hva har nakkekoteletter med forholdstall å gjøre? 20-Mar-12 8

8 Alvorlig problem? Skaldemans forholdstall Jeg sliter litt med å regne ut hva jeg skal spise for å oppnå de rette forholdstallene... jeg er redd jeg spiser for mye proteiner og for lite fett. Er det noen som kan hjelpe meg med forholdstallene på nakkekoteletter av svin... Pleier å steke dem i ca 1-2 ss meierismør. 20-Mar-12 9

9 med enkel løsning? (x) gram protein + (y) gram karbohydrat (men denne må aldri være høyere enn 5 gram totalt) må totalt være mindre enn (z) gram fett Dvs at antall gram fett må være mer enn antall gram proteiner og karbohydrater sammenlagt. Slik regner jeg i butikken... er ikke akkurat mattegeni, så det må være enkelt... Skaldeman forklarer forholdstallet: Jeg spiser 100 g fett. Jeg dividerer vekten av fettet med resten (80 g protein pluss 20 g karbohydrat). 100 dividert med 100 er 1, altså er forholdstallet Mar-12 10

10 Algebra kun for mattegenier? Terrence Tao regnes blant de fremste matematikere i verden 20-Mar-12 11

11 Også for snekkeren? 20-Mar-12 12

12 Symbolsk algebra Algebra slik vi kjenner den med bokstaver for variable koeffisienter (parametere) ukjente 20-Mar-12 13

13 Hva bruker vi algebra til? Område Problemløsing Generalisert aritmetikk Sammenhenger Studie av strukturer, begrunnelser og bevis Bruk ukjente konstanter variable uttrykk formler variable, parametere egnede symbol for variable eller ukjente identiteter Hva? Løser dere ikke likninger her? 20-Mar-12 14

14 Historisk utvikling Retorisk algebra Geometrisk algebra Synkopert algebra Symbolsk algebra 20-Mar-12 15

15 Retorisk algebra Euklid beskrev sammenhenger i fulle setninger Hvis en rett linje deles tilfeldig vil kvadratet på hele linja være lik kvadratet på de to delene og to ganger rektangelet utspent av de to delene. (Euklids Elementer, Proposisjon II-4. Etter Svege/Thorvaldsen) o Geometrisk algebra. Grekerne koblet den retoriske algebraen til geometriske figurer. De ønsket å føre generelle bevis. 20-Mar-12 16

16 Er trappa god å gå i? «Trappeformelen»: En tommelfingerregel på en god trapp er å lage den slik at 2 x opptrinn + 1 x inntrinn = 62 cm ±2 cm Maksimal opptrinn er 21 cm. Et godt opptrinn ligger mellom 12 og 16 cm. Den minimale trinndybde er 25 cm inklusiv utheng (trinnese) over det underliggende trinnet. En god trinndybde ligger mellom 30 og 40 cm. 20-Mar-12 17

17 Holder fast ved Prinsipper for effektiv undervisning Rike oppgaver Spørsmål av høyere orden Elevaktivisering gjennom aktiviteter Ulike representasjoner Laborasjoner og eksempler på anvendelser 20-Mar-12 18

18 20-Mar-12 19

19 Oppsummering Matematikk er et språk Gjør noe Konkreter Utforsking, også teoretisk Snakk om det Utfordr elevene med spørsmål av høyere orden Hvilken regneart? Hva forteller svaret Ser du et mønster? Beskriv. Problematiser: Hvordan kan vi skrive det? Tekst Symboler Variabler 20-Mar-12 20

20 Konsumenter og produsenter Elevene må ikke utelukkende være konsumenter Ferdig oppstilte stykker med ett svar Alltid være den som finner svaret Elevene bør også være produsenter Lage problemstillinger/stille spørsmål Gjerne etter samme ide som en konsumentoppgave Utvide en oppgave de har arbeidet med 20-Mar-12 21

21 Førsteårsstudentene økte strykprosenten kraftig til 65,4 på den obligatoriske prøven. De må få alle medisinregnestykkene rett for å stå, men matematikken er på ungdomsskolenivå, skriver studentavisa Universitas. Norsk Pasientskadeerstatning har registrert 155 tilfeller av skadelig feilmedisinering siden 2004, hvor 71 saker gjelder rene doseringsfeil eller forvekslinger mellom to pasienter. (ABC Nyheter ) 20-Mar-12 22

22 Fra det enkle Med heltall Dobbelt så stor som Halvdelen Tre ganger så stor osv

23 via det litt forvirrende Blandingsforhold 1 : 7 Her er det tale om åttedeler Saften er 1/8 av hele blandingen Målestokk 1 : 10 Her er det snakk om tideler Målene på tegningen er 1/10 av målene på den virkelige gjenstanden

24 til det avanserte Det er forskjell på forhold og forskjell! Forskjellen mellom sidene er 29,7 cm 21 cm = 8,7 cm Subtraksjon 29,7 cm Forholdet mellom sidene er 29,7 cm : 21 cm = 1,41 Divisjon 21 cm 1,41 kaller vi et forholdstall Ikke naturlig med a : b her!

25 Tips: Forholdstall og bygging av props Som første eksempel vil jeg bruke Sora fra Kingdom Hearts og regne ut hvor langt Keybladet skal være i forhold til kroppen. Jeg vil gjøre målingene i et bilderedigerings-program (Gimp), men om du ikke vet hvordan det gjøres, kan du skrive ut bildet og måle med linjal. Bytt da ut antall piksler med cm og mm. 20-Mar-12 26

26 Tilsvarende kan gjøres for å måle hvor bredt Keybladet skal være. Keybladet måler 75 piksler på det bredeste og 60 piksler på det smaleste. Nå som jeg vet at Keybladet mitt skal være 115,5 cm langt, kan jeg finne ut forholdet mellom bredden og lengden på Keybladet: Bredden på det bredeste (75)/Keybladets lengde (245)= 0,3 Bredden på det smaleste (60)/Keybladets lengde (245)= 0,25, 115,5 * 0,3=34,5 cm på det bredeste 115,5 * 0,25=29 cm på det smaleste 20-Mar-12 27

27 20-Mar-12 28

28 To variable Kontekstene Fra partall til froskehopp Grad av generalisering fra eksempler - opptelling/beregning via retoriske og synkoperte uttrykk til symbolsk algebra

29 Eksempler fra media Slik gjør du 1. Mål opp en bane på 20 meter. 2. Løp frem og tilbake på banen så fort du kan. Du skal ta i bakken med hånden i hver ende av banen. 3. Løp 20 økter à 15 sekunders varighet med 15 sekunders pause mellom. Medhjelperen tar tiden på løpeturene og skriver ned hvor langt du kommer hver gang. 4. Regn ut hvor langt du har løpt til sammen, og sett det inn i formelen. 20-Mar-12 30

30 Regn ut kondisjonen slik: Kondisjonstall = 18,38 + (0,03301 x løpedistanse) Eksempel: En 45-årig kvinne løper 550 meter under testen: Kondisjonstall = 18,38 + (0,03301 x 550 m) = 36,6 (Middels kondisjonstall). Finn kondisjonstallet ditt i skjemaet nedenfor (mann/kvinne). 20-Mar-12 31

31 Din makspuls kan du grovt regne ut gjennom følgende formel: 230 minus din alder om du er kvinne, 220 minus din alder om du er mann. For en kvinne som er 38 år blir formelen = 192 i makspuls. For de fleste vil dette stemme ganske godt, men individuelle avvik på opp mot slag kan forekomme. 20-Mar-12 32

32 Algebra som underholdning. NRK under ski-vm 2011 K-faktoren forteller deg hvor gode fysiske forutsetninger du har for å bli god i kombinert Det første leddet i formelen gir et tall på hvor god du kan bli på langrenn, mens det andre leddet gir deg et tall på hvor god du kan bli i hopp. B= Hvor mange kilo du kan løfte i benkpress L= Hvor mange kilo du tar i lårpress k= Kondisjon. Mål hvor lang tid du bruker på å komme til hvilepuls etter aktivitet på melkesyreterskelnivå (k=1/tid i minutter) T= Smerteterskel. Skala på 1 til 3. 1 er normal og 3 er ekstremt god evne til å tåle smerte. m= vekten din i kg. A= Arealet av kroppen i kvadratdesimeter. Tegn gjerne rundt kroppen på stort ruteark. S= Spenst. Kan måles ved spensthopp. Hvor høyt klarer du å hoppe og tegne en strek på veggen? Skriv i desimeter F= Frykt. Angi på skala fra er pyse og 3 er fryktløs. L y = Lyst. Angi fra er ikke lyst i det hele tatt. 100 er dritlyst. 20-Mar-12 33

33 Matematikken gir resultatet! Regler for poeng i skihopp. Utarbeidet i samarbeid med matematikere fra flere land i Europa. 20-Mar-12 34

34 20-Mar-12 35

35 Hei Jeg lurer på hvordan man kan regne ut hvor lenge man må jogge hvis man f eks spiser noe som inneholder 125 kcal eller bare en vanlig melkesjokolade som inneholder 550 kcal. Hvor lenge må jeg jogge for å få bort en sjokolade på 550 kcal? Kan du vise meg formelen? Tuusen takk for svar hvis jeg får svar.. 20-Mar-12 36

36 ( )

37

38 Hei En måte å estimere energiforbruk på er regning med MET-tall. MET står for multiplikasjoner av hvilestoffskiftet (multiplies of the resting metabolic rate). 1 MET = 1 kcal x kg x h, hvor h står for time (hour). Det laveste energiforbruket en person kan ha er når han/hun sover, noe som tilsvarer 0,9 MET, og 1 MET inntreffer når personen ligger eller sitter helt stille i våken tilstand. Dette betyr for en person som veier 60 kg, som sitter stille i 1 time, at han/hun har et energiforbruk på: 1 MET = 1 kcal x 60 kg x 1 time = 60 kcal. Ved å dividere MET-tallet på 60 finner du energiforbruket per minutt, fremfor per time. Altså 1 MET/60 = 1 kcal x kg x min. 20-Mar-12 39

39 MET-tallet vil forandre seg etter som intensiteten forandres. Som sagt er MET-tallet = 1 dersom du sitter helt stille. Fysisk aktivitet utover hvile vil øke MET-tallet, helt opp til 18 (løping i 17,5 km/t). Intensiteten på aktiviteten du gjør har altså stor innvirkning på energiforbruket. La oss si at personen løper i 17,5 km/t i 1 time (lite sannsynlig siden han/hun ville blitt for sliten). Da ville regnestykket blitt slik: 18 MET = 1 kcal x 60 kg x 1 time = Vennlig hilsen treningskonsulenten, ung.no 20-Mar-12 40

40 Har vi lykkes? Vi har hatt som mål å sette fokus på sentrale begrep og prosedyrer og vise at vi kan arbeide med dette gjennom problemløsing og utforsking samtidig som aktivitetene gir mulighet for å snakke matematikk Noe av dette har vært for oss selv og skal ikke vises for elevene

41 Men dere må gjøre jobben! Vi har gitt noen prinsipper å arbeide ut fra og gitt eksempler på aktiviteter Dere må lage progresjonen for deres elever, og utvikle ideer selv Bestemme hvor langt dere skal gå Det er forskjell på NY Giv-grupper også! Vi skal utdanne kodeknekkere! 20-Mar-12 42