Algebra trinn. Nord-Gudbrandsdalen Januar 2015

Transkript

1 Algebra trinn Nord-Gudbrandsdalen Januar 2015

2 Hva er algebra? Diskuter i grupper. Finn en enkel forklaring.

3 Algebra i skolen Når bør vi starte algebraundervisningen? Bli enige om et synspunkt. Argumenter for synspunktet deres.

4

5

6 LK06 revidert Formål med faget Algebra i skolen generaliserer talrekning ved at bokstavar eller andre symbol representerer tal. Det gjev høve til å beskrive og analysere mønster og samanhengar. Algebra blir òg nytta i samband med hovudområda geometri og funksjonar

7 LK06 revidert Kompetansemål etter 2. og 4. trinn kjenne att, eksperimentere med, beskrive og vidareføre strukturar i talmønster bruke matematiske symbol og uttrykksmåtar for å uttrykkje matematiske samanhengar i oppgåveløysing lage og utforske geometriske mønster, både med og utan digitale verktøy, og beskrive dei munnleg

8 LK06 revidert Kompetansemål etter 7. trinn beskrive referansesystemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere berekningar utforske og beskrive strukturar og forandringar i geometriske mønster og talmønster med figurar, ord og formlar stille opp og løyse enkle likningar og løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tal

9 LK06 revidert Kompetansemål etter 10. trinn behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk rekne med formlar løyse likningar og ulikskapar bruke rekneark identifisere faste og variable storleikar bruke tal og variablar

10 Brystvernet på en borg Se oppgaveformulering neste side. Aktuelle mål Tall og algebra 2. trinn: kjenne igjen, samtale om og videreføre strukturer i tallmønstre 4. trinn: eksperimentere med, beskrive og videreføre 7. trinn: utforske og beskrive strukturer og forandringer i geometriske mønster og tallmønster med figurer, ord og formler Geometri 2. og 4. trinn: lage og utforske geometriske mønster og beskrive dem muntlig

11 Utstyr: centikuber eller tilsvarende, evt. rutepapir. 1. Bygg eller tegn en borg, enten brystvernet på en side som over, eller med fire vegger som på forrige bilde. 2. Lag en beskrivelse av brystvernet. 3. La en annen gruppe bygge ut fra beskrivelsen. Etterpå: Er det mulig å lage en forkortet beskrivelse? Mulige beskrivelser: Ei rad med 10 klosser. En klosse oppå kloss nummer 1, 4, 7 og 10. eller Først en med høyde 2, så to med høyde 1, så en med høyde 2 og to med høyde 1, deretter en med høyde 2 og to med høyde 1. Til slutt en med høyde 2. Mulig forkortet skrivemåte H = 2 kuber i høyden L = 1 kube 3(H + 2L) + H Bestem størrelse på borgen. Finn bredde og lengde på steinene.

12 Hvorfor en slik aktivitet? En aktivitet for å bringe skriving inn i matematikken Få erfaring med at «lange forklaringer» kan skrives på en fortettet måte Når elevene selv utvikler et symbolspråk og bytter oppgaver, får de erfaring både med å skrive og tolke

13 Historisk utvikling Retorisk algebra Geometrisk algebra Synkopert algebra Symbolsk algebra 16-Jan-15 13

14 Retorisk algebra Euklid beskrev sammenhenger i fulle setninger Hvis en rett linje deles tilfeldig vil kvadratet på hele linja være lik kvadratet på de to delene og to ganger rektangelet utspent av de to delene. (Euklids Elementer, Proposisjon II-4. Etter Svege/Thorvaldsen) o Geometrisk algebra. Grekerne koblet den retoriske algebraen til geometriske figurer. De ønsket å føre generelle bevis. 16-Jan-15 14

15 Retorisk algebra i skolen Eksempler Tolk symbolske uttrykk X-boks Treff 10 Figurtall og tallmønster, lag regel Se skoleipraksis.no - algebra på Lade skole

16 Er trappa god å gå i? «Trappeformelen»: En tommelfingerregel på en god trapp er å lage den slik at 2 x opptrinn + 1 x inntrinn = 62 cm ± 2 cm Maksimal opptrinn er 21 cm. Et godt opptrinn ligger mellom 12 og 16 cm. Den minimale trinndybde er 25 cm inklusiv utheng (trinnese) over det underliggende trinnet. En god trinndybde ligger mellom 30 og 40 cm. 16-Jan-15 16

17 Trappa på jobb 2 x opptrinn + 1 x inntrinn = 62 cm ± 2 cm Opptrinn 17 cm (12-16). Inntrinn 25,7 cm (min 25). 2 x ,7 = ,7 = 59,7

18 Behandle algebraiske uttrykk Eksempler Tenk på et tall Donaldmatematikk Alder og skonummer Snu terningen

19 Symbolsk algebra Algebra slik vi kjenner den med bokstaver for variable koeffisienter (parametere) ukjente 16-Jan-15 19

20 TIMMS: Algebraoppgave 8. trinn

21 TIMMS: Algebraoppgave 8. trinn

22 Hva bruker vi algebra til? Område Problemløsing Generalisert aritmetikk Sammenhenger Studie av strukturer, begrunnelser og bevis Bruk ukjente konstanter variable uttrykk formler variable, parametere egnede symbol for variable eller ukjente identiteter Hva? Løser dere ikke likninger her? 16-Jan-15 22

23 Mønster, system og sammenhenger Variabler Ligninger Funksjoner Graf Konkreter, bilder, figurer Formel/ symbol Tekst Tabell Analysere endringer i ulike situasjoner Bruke algebraiske symbol

24 Mønster Elevene må kunne Kopiere og utvide mønster Finne hva som mangler i et gitt mønster Gjenkjenne mønster i omgivelsene Lage mønster

25 Kopiere, utvide og gjenkjenne repeterende og voksende mønster D D DA DA DA I I Tramp Klapp

26 Sette navn på mønstre A B mønster A A B mønster A B B C mønster 4 brikker med 3 ulike farger. Hvor mange ulike mønstre?

27 UTFORSKE LAGE

28 Mønster i tall Skriv opp 9-gangen. Hvilke mønstre ser du? Beskriv. Hvordan kan mønstret hjelpe deg til å huske gangestykkene? Representere og analysere mønster og funksjoner, ved hjelp av tekst, tabeller og grafer

29 Mønster i tall Maria og Janne har en kopieringsbedrift. Tabellen viser hvor mange kort maskinen trykker hvert tiende sekund. Hvilke mønstre ser du i tabellen? Kan du skrive en regel som beskriver mønsteret? Tid (i sekund) Antall kort som blir skrevet ut

30 Mønster som vokser Studer figurene og hvordan de vokser. Hvilke mønstre ser du? Kan du skrive en regel som beskriver mønsteret?

31 Hundrekartet Fargelegg 2- gangen Beskriv mønsteret Fargelegg 3- gangen 4, 5, 6 osv Mønster, system

32 Hundrekartet Velg to eller tre av reglene, studer mønsteret og beskriv det. 1. Tall med sifferet 2 2. Tall hvor differensen mellom sifrene er 1 (tieren>eneren) 3. Tall med sifferet 4 4. Tall som er multipler av 5 5. Tall med sifferet 0 6. Tall som er delelig med 6 7. Tall med 5 på tierplassen 8. Tall som er multipler av 4 9. Tall hvor sifrene er like 10. Tall som er delelig med Tall hvor tverrsummen blir Tall som er multipler av både 2 og 3 Bruk en farge til hver regel.

33 Finn kvadrater og andre figurer = = = 10 Blir det alltid slik? Bevis? Større kvadrat? Prøv med et rektangel?

34 Se hvordan ormen vokser. Hvor mange trekanter trenger vi for å lage en orm som er 20 dager gammel? Hva hvis ormen er 26 dager? Eller 50 dager? Kan vi lage en orm med 60 trekanter? Hvor gammel er i så fall ormen da? Kan du skrive sammenhengen mellom alder og antall trekanter? En regel?

35 Retorisk synkopert - symbolsk For å finne antall trekanter, må jeg multiplisere alderen med to og deretter legge til to. Antall trekanter = alder T= 2a + 2

36 Adder tre Multipliser med tre Subtraher sju Subtraher tallet du startet med Divider med to 16-Jan-15 36

37 (t + 3) t 2 Tekst Eksempel Tegning Symbolsk Tenk på et tall 4 t Adder = 7 t + 3 Multipliser med tre 7 3 = 21 (t + 3) 3 = 3t + 9 Subtraher sju 21 7 = 14 3t = 3t + 2 Trekk fra tallet du tenkte på 14 4 = 10 3t + 2 t = 2t + 2 Divider med to 10 : 2 = 5 2t_+_2 2 (2t + 2) : 2 t+1 16-Jan Jan-15 37

38 Elevene som produsenter Bruk Tenk på et tall ideen. Samarbeid to og to. Lag oppskrifter til hverandre. Person 1 Person 2 Bruk bare ord (ikke tegn eller symboler) Første punktet er: 1. Tenk på et tall Bruk bare konkretiseringsmateriell og legg en oppskrift Første punktet er: Jan-15 38

39 Ligninger likevekt

40 Ligninger en ukjent verdi Ole samler på figurer. Han har åtte til sammen. Hvor mange er i boksen? 8 = = = = = 8

41 Ligninger Hvilken av ligningene beskriver fyrstikkene på vektskåla? NB: Like mange fyrstikker i hver eske! A 3 = B + 3 = x + 3 = 2x + 1 tar bort en x 3 = x + 1 tar bort 1 2 = x Sjekker: = 5 og = 5

42 Ligninger - fingermetoden 3a + 4 = 22 3a + 4 = 22 3 a = 18 BYTT OG FLYTT Hvilket tall må jeg legge til 4 for å få 22? Svaret er 18. Bak fingeren står 3 a Da er 3 a = 18 Hvilket tall må jeg multiplisere med 3 for å få 18? Bak fingeren står a, så a må være er 6 a = 6 3a + 4 = 22 ser at 3a må være 18 (trekker fra 4) 3a = 18 ser at a må være 6 (dividerer med 3) a = 6

43 Ligninger - fingermetoden xx = 7 xx = 7 xx 3 = 2 xx = 7 ser at xx 3 xx 3 må være 2 = 2 ser at x må være 6 x = 6 Sett prøve og sjekk om det stemmer! x = 6

44 Ligninger - fingermetoden 15 xx 2 = 5 15 xx 2 = 5 ser at (x 2) må være 3 15 xx 2 = 5 xx 2 = 3 x 2 = 3 ser at x må være 5 x = 6 Sett prøve og sjekk om det stemmer! x = 5

45 Se artikkel om vekst og grafer for 8-9 åringer Innsamling av tegneserier til klassebibliotek Tangenten 4/2007: Toril Eskeland Rangnes Vekst og grafer- modellering sammen med 8-9-åringer Elevene har med seg to tegneseriehefter hver til klassen. Hvor mange hefter har de til sammen? Hvor mange elever har med hefter? Hvilken strategi tar elevene i bruk? Hvilket matematisk språk bruker de? Hva leste elevene ut av grafene de selv hadde laget? Serieheftene: Hva hvis bare en elev tok med hefter? Hva hvis 2, 3, 4, 5.. elever tok med hefter? Hva hvis alle 12 elevene har med to hefter? 16-Jan-15 45

46 Innsamling av tegneserier til klassebibliotek Tangenten 4/2007: Toril Eskeland Rangnes Vekst og grafer- modellering sammen med 8-9-åringer Elevene bygde med unifixklosser. De tegnet omrisset og satte på akser. Hvordan tolket elevene diagrammene sine? 16-Jan-15 46

47 Se artikkel om vekst og grafer for 8-9 åringer Pengeinnsamling Tangenten 4/2007: Toril Eskeland Rangnes Vekst og grafer- modellering sammen med 8-9-åringer Samle inn penger til barn i fattige land. Hvor mye skal hver elev gi? Skal alle gi like mye? Hvor mange elever er det i klassen? Hvordan finne en modell som passer? 16-Jan-15 47

48 Pengeinnsamling Tangenten 4/2007: Toril Eskeland Rangnes Vekst og grafer- modellering sammen med 8-9-åringer Hvor bratt kan det bli? 16-Jan-15 48

49 Se artikkel om vekst og grafer for 8-9 åringer Antall sauer Tangenten 4/2007: Toril Eskeland Rangnes Vekst og grafer- modellering sammen med 8-9-åringer Vi starter en gård og begynner med to lam. Hvert par med sauer får to lam hvert år (en han og en hun) Hvor mange sauer er det på gården etter 10 år? 16-Jan-15 49

50 Antall sauer Tangenten 4/2007: Toril Eskeland Rangnes Vekst og grafer- modellering sammen med 8-9-åringer Antallsauer etter n antallår = 2 n 16-Jan-15 50

51 rrrr + rr 7 gg + gg 7 rr + 7 gg 7 rr = rrgg + 7rr rrrr + 7gg rrrr rr 7gg + rrrr = 49 Snu terningen Kast to terninger Multipliser tallene på toppen av terningene. Multipliser tallet på toppen av terning 1 (rød) og bunnen av terning 2 (grønn). Multipliser tallet på toppen av terning 2 (grønn) og bunnen terning 1(rød). Multipliser tallene på bunnen av begge terningene. Summer alle produktene. Sammenlign svaret du fikk med de andre i gruppa. Forklar! 1 4 = = = = Situasjon Beskrive matematisk Omforme og beregne Føre matematisk bevis

52 Mønster i tall

53 Lineære runer y = ax + b

54 Andre funksjoner

55 Treff 10 Fra retorisk til symbolsk algebra Legg inn et tall som en konstant. Elevene skal finne tallet som må slås inn for at resultatet skal bli ti. Hva skjer i lommeregneren når vi slår inn et tall og taster er lik? Lommeregneren adderer tre til det tallet vi slår inn. Teksten blir skrevet på tavla slik elevene uttrykker den. Deretter: tallet vi slår inn + 3. Veien herfra til det symbolske uttrykket t + 3 er kort 16-Jan Astrid Bondø

56 Hva skjer? Skritt og fot Tre skritt fram. To nye skritt. Beskriv. Hvordan utrykke det? 3 skritt + 2 skritt Læreren går - elevene skriver: 2s + 5f s + 3f 2s. Kunne vi oppnådd det samme ved gå på en annen måte? En fot fram. Gjenta til fire fot fram. Beskriv. 3 skritt + 2 skritt + 4 fot Ett skritt tilbake. Beskriv. 3 skritt + 2 skritt + 4 fot 1 skritt Lærer, kan jeg skrive det slik? 3s + 2s + 4f 1s 16-Jan Astrid Bondø

57 Skritt og fot A Start samme sted og forflytt dere på denne måten: 5s + 7f 2s + 3f. Ender dere opp samme sted? Hvorfor er ikke 5s + 7f 2s + 3f alltid samme lengde? B Lag en beskrivelse av hva som skal gjøres, bytt lapper og gjør det den andre har skrevet. 16-Jan Astrid Bondø