Snakk om algebra! Et solid grunnlag for et avansert symbolspråk. Svein H. Torkildsen NSMO

Transkript

1 Snakk om algebra! Et solid grunnlag for et avansert symbolspråk Svein H. Torkildsen NSMO

2

3 Riktig sykkel? Seterørslengde: fra toppen av sadelen til midten av krankakselen: Seterørslengde = Skrittlengde * 0,883 Overrørslengden inkl. stem = (Armlengde + Torsolengde)/ Rammehøyde = (Skrittlengde * 0,883) - 18 (Gjelder tradisjonelle rammer)

4 Historisk utvikling Retorisk algebra Geometrisk algebra Synkopert algebra Symbolsk algebra

5 Retorisk algebra Beskrev sammenhenger i fulle setninger Aktiviteter Treff 10 lommeregner film Partall/oddetall - figurtall Husnummer

6 Husnummer I Skoggata er partallene på høyres side og oddetallene på venstre side. Hvor mange hus på høyre side må du gå forbi før du kommer til hvert av partallene du ser på bildene? Lag en regel som sier hvor mange hus du må gå forbi før du kommer til et spesielt partall. Hvor mange hus på venstre side må du gå forbi før du kommer til hvert av oddetallene du ser på bildene? Lag en regel som sier hvor mange hus du må gå forbi før du kommer til et spesielt oddetall.

7 Retorisk algebra, eksempler Hvis en rett linje deles tilfeldig vil kvadratet på hele linja være lik kvadratet på de to delene og to ganger rektangelet utspent av de to delene. (Euklids Elementer, Proposisjon II-4. Etter Svege/Thorvaldsen) Geometrisk algebra. Grekerne koblet den retoriske algebraen til geometriske figurer. De ønsket å føre generelle bevis.

8 Synkopert algebra Kombinasjon av symboler og tekst. Aktiviteter Summen av to påfølgende hele tall Summen av tre påfølgende hele tall Støtte i materiell

9 Synkopert algebra, eksempler I et rektangel er en side to centimeter lengre enn den andre. Omkretsen er tjueåtte centimeter. Hvor lang er den korte siden? Den korte siden er x cm, den lengste (x + 2) cm. Omkretsen er 28 cm og består av sider som er x, (x + 2), x og (x + 2) cm lange, til sammen (4x + 4) cm. Da er 4x fire mindre enn 28, dvs 24 og x må være 6. Den korte siden er 6 cm. (Nämnaren Tema: Algebra för alla, exempel 7) Arealet til en trekant er grunnlinjen høyden : 2

10 Symbolsk algebra Algebra slik vi kjenner den med bokstaver for variable koeffisienter (parametere) ukjente

11 Hovedområde Tall og algebra i LK06 Algebra i skolen generaliserer tallregning ved at bokstaver eller andre symbol representerer tall. Det gir anledning til å beskrive og analysere mønster og sammenhenger. Algebra blir også anvendt i forbindelse med hovedområdene geometri og funksjoner.

12 Hva betyr

13 Likhetstegnet og variabelbegrepet Etter Beck m.fl.: Matematik i læreruddannelsen 2, Gyldendal Likhetstegnet i forskjellige roller: Identisk lik med: (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab Likhetstegnet uttrykker en sammenheng som kan bevises. Navngivningstegn: h(x) = 2x + 3 Her har jeg noe som jeg i det følgende vil omtale under navnet Tildelingstegn: For x = 7 er h(x) Den variable x skal i de følgende linjer ha verdien 7 Likningslikhetstegn En oppgave eller oppfordring: hva må x være for at likhetstegnet skal gjelde? Relasjonstegn Viser sammenheng mellom forskjellige variable. Sirkel C gitt ved x 2 + y 2 = 4

14 Likninger med kort! Hvilken verdi har kortet som er snudd?

15 Vanskelig? xx 22 = xx 22 = 3 3. xx 22 = xx 22 = 55 xx = 77

16 Hva bruker vi algebra til? Problemløsing Generalisert aritmetikk Sammenhenger Studie av strukturer, begrunnelser og bevis

17 Veier til algebra Områder Likninger Mønster generaliseringer Funksjoner Progresjon Prealgebra Innledende algebra Symbolsk algebra De tre stegene i progresjonen brukes på hvert av de tre områdene (Nämnaren Tema: Algebra för alla, exempel 7)

18 Progresjon i tre faser Fase 1 Få forståelse av fordelen med å bruke bokstaver som symbol for tall. Uttrykke seg algebraisk ikke i eksempler. Retorisk og symbolsk algebra side om side. Oppgaver som med stor sannsynlighet blir formulert noenlunde likt. Eksempler: Treff 10, partall, oddetall, kvadrattall og andre figurtall

19 Hvem passer sammen?

20 Progresjon i tre faser, II Fase 2 Begrunne at uttrykk er identiske, med utgangspunkt i situasjoner som inviterer til resonnement og begrunnelser, gjerne med støtte i konkreter. Oppgaver som gir mulighet for å se mønsteret på flere forskjellige måter Eksempel: Bjelken

21 Bjelken

22 Progresjon i tre faser, III Fase 3 Bevise og begrunne, sammenlikne ulike representasjoner. Oppgaver med et overraskende resultat.

23 Tenk på et tall Tenk på et tall Adder to Multipliser med tre Subtraher tallet du tenkte på Subtraher fire Divider med to Si hvilket tall du nå har og jeg skal si hvilket du tenkte på!

24 Fire representasjoner Tekst Talleksempel Tegning Symbolsk Tenk på et tall 4 1) t Adder = 6 II t + 2 Multipliser med tre 3 6 = 18 II II II 3(t + 2) = 3t + 6 Subtraher tallet du tenkte på 18 4 = 14 II II II 3t + 6 t = 2t + 6 Divider med 2 14 : 2 = 7 III III (2t + 6) : 2 = t + 3 Si meg hvilket tall du nå har, så 7 Skal jeg si hvilket du tenkte på! 7 3 = 4 2) 3) 1) Boksen representerer tallet vi tenkte på og er da symbol for en variabel. Kan sammenliknes med fyrstikkesken vi brukte for å huske tallet vårt. 2) Tegningen viser at vi har tre mer enn tallet vi tenkte på. 3) Uttrykket viser at vi nå har tallet pluss 3. Trekker vi bort 3 vet vi tallet!

25 Ulike representasjoner Muntlig / tekst Tegning / konkreter Numerisk (med tall) Symbolsk (med bokstaver)

26 Kilder Tangenten 1/06 - Temahefte Breiteig/Venheim: Matematikk for lærere 2, kap 8 og 9 ISBN Nämnaren Tema: Algebra för alla, Algebra i et 1-12-perspektiv Nämnaren, Box 1010, Mölndal, Sverige Svege/Thorvaldsen: Algebraens historie Beck m. fl.: Matematik i læreruddannelsen 1 & 2

27 «Donald-matematikk» Velg to av sifrene 1-9. Lag to tosifrede tall med disse to sifrene. Summer tallene. Divider summen av tallene med summen av sifrene. Hva blir svaret?

28 Skonummer og alder 1. Skriv skonummeret ditt. 2. Multipliser med to. 3. Adder fem. 4. Multipliser det du nå har med Legg til Trekk fra fødselsåret ditt fire siffer. 7. Legg til årstallet vi har nå. 8. Trekk fra Har du hatt fødselsdag i år, legger du til en.

29