Algebra trinn. Nord-Gudbrandsdalen Januar 2015

Transkript

1 Algebra trinn Nord-Gudbrandsdalen Januar 2015

2 Hva er algebra? Diskuter i grupper. Finn en enkel forklaring.

3 Algebra i skolen Når bør vi starte algebraundervisningen? Bli enige om et synspunkt. Argumenter for synspunktet deres.

4 rrrr + rr 7 gg + gg 7 rr + 7 gg 7 rr = rrgg + 7rr rrrr + 7gg rrrr rr 7gg + rrrr = 49 Snu terningen Kast to terninger Multipliser tallene på toppen av terningene. Multipliser tallet på toppen av terning 1 (rød) og bunnen av terning 2 (grønn). Multipliser tallet på toppen av terning 2 (grønn) og bunnen terning 1(rød). Multipliser tallene på bunnen av begge terningene. Summer alle produktene. Sammenlign svaret du fikk med de andre i gruppa. Forklar! 1 4 = = = = Situasjon Beskrive matematisk Omforme og beregne Føre matematisk bevis

5

6

7 LK06 revidert Formål med faget Algebra i skolen generaliserer talrekning ved at bokstavar eller andre symbol representerer tal. Det gjev høve til å beskrive og analysere mønster og samanhengar. Algebra blir òg nytta i samband med hovudområda geometri og funksjonar

8 LK06 revidert Kompetansemål etter 10. trinn behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk rekne med formlar løyse likningar og ulikskapar bruke rekneark identifisere faste og variable storleikar bruke tal og variablar

9 LK06 revidert Kompetansemål etter 7. trinn beskrive referansesystemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere berekningar utforske og beskrive strukturar og forandringar i geometriske mønster og talmønster med figurar, ord og formlar stille opp og løyse enkle likningar og løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tal

10 LK06 revidert Kompetansemål etter 2. og 4. trinn kjenne att, eksperimentere med, beskrive og vidareføre strukturar i talmønster bruke matematiske symbol og uttrykksmåtar for å uttrykkje matematiske samanhengar i oppgåveløysing lage og utforske geometriske mønster, både med og utan digitale verktøy, og beskrive dei munnleg

11 Brystvernet på en borg Se oppgaveformulering neste side. Aktuelle mål Tall og algebra 2. trinn: kjenne igjen, samtale om og videreføre strukturer i tallmønstre 4. trinn: eksperimentere med, beskrive og videreføre 7. trinn: utforske og beskrive strukturer og forandringer i geometriske mønster og tallmønster med figurer, ord og formler Geometri 2. og 4. trinn: lage og utforske geometriske mønster og beskrive dem muntlig

12 Utstyr: centikuber eller tilsvarende, evt. rutepapir. 1. Bygg eller tegn en borg, enten brystvernet på en side som over, eller med fire vegger som på forrige bilde. 2. Lag en beskrivelse av brystvernet. 3. La en annen gruppe bygge ut fra beskrivelsen. Etterpå: Er det mulig å lage en forkortet beskrivelse? Mulige beskrivelser: Ei rad med 10 klosser. En klosse oppå kloss nummer 1, 4, 7 og 10. eller Først en med høyde 2, så to med høyde 1, så en med høyde 2 og to med høyde 1, deretter en med høyde 2 og to med høyde 1. Til slutt en med høyde 2. Mulig forkortet skrivemåte H = 2 kuber i høyden L = 1 kube 3(H + 2L) + H Bestem størrelse på borgen. Finn bredde og lengde på steinene.

13 Hvorfor en slik aktivitet? En aktivitet for å bringe skriving inn i matematikken Få erfaring med at «lange forklaringer» kan skrives på en fortettet måte Når elevene selv utvikler et symbolspråk og bytter oppgaver, får de erfaring både med å skrive og tolke

14 Historisk utvikling Retorisk algebra Geometrisk algebra Synkopert algebra Symbolsk algebra 15-Jan-15 14

15 Retorisk algebra Euklid beskrev sammenhenger i fulle setninger Hvis en rett linje deles tilfeldig vil kvadratet på hele linja være lik kvadratet på de to delene og to ganger rektangelet utspent av de to delene. (Euklids Elementer, Proposisjon II-4. Etter Svege/Thorvaldsen) o Geometrisk algebra. Grekerne koblet den retoriske algebraen til geometriske figurer. De ønsket å føre generelle bevis. 15-Jan-15 15

16 Retorisk algebra i skolen Eksempler Tolk symbolske uttrykk X-boks Treff 10 Figurtall og tallmønster, lag regel Se skoleipraksis.no - algebra på Lade skole

17 Er trappa god å gå i? «Trappeformelen»: En tommelfingerregel på en god trapp er å lage den slik at 2 x opptrinn + 1 x inntrinn = 62 cm ± 2 cm Maksimal opptrinn er 21 cm. Et godt opptrinn ligger mellom 12 og 16 cm. Den minimale trinndybde er 25 cm inklusiv utheng (trinnese) over det underliggende trinnet. En god trinndybde ligger mellom 30 og 40 cm. 15-Jan-15 17

18 Trappa på jobb 2 x opptrinn + 1 x inntrinn = 62 cm ± 2 cm Opptrinn 17 cm (12-16). Inntrinn 25,7 cm (min 25). 2 x ,7 = ,7 = 59,7

19 Behandle algebraiske uttrykk Eksempler Tenk på et tall Donaldmatematikk Alder og skonummer Snu terningene Skritt og fot

20 Symbolsk algebra Algebra slik vi kjenner den med bokstaver for variable koeffisienter (parametere) ukjente 15-Jan-15 20

21 TIMMS: Algebraoppgave 8. trinn

22 TIMMS: Algebraoppgave 8. trinn

23 Hva bruker vi algebra til? Område Problemløsing Generalisert aritmetikk Sammenhenger Studie av strukturer, begrunnelser og bevis Bruk ukjente konstanter variable uttrykk formler variable, parametere egnede symbol for variable eller ukjente identiteter Hva? Løser dere ikke likninger her? 15-Jan-15 23

24 Mønster, system og sammenhenger Variabler Ligninger Funksjoner Graf Konkreter, bilder, figurer Formel/ symbol Tekst Tabell Analysere endringer i ulike situasjoner Bruke algebraiske symbol

25 Mønster Elevene må kunne Kopiere og utvide mønster Finne hva som mangler i et gitt mønster Gjenkjenne mønster i omgivelsene Lage mønster

26 Kopiere, utvide og gjenkjenne repeterende og voksende mønster D D DA DA DA I I Tramp Klapp

27 Sette navn på mønstre A B mønster A A B mønster A B B C mønster 4 brikker med 3 ulike farger. Hvor mange ulike mønstre?

28 UTFORSKE LAGE

29 Mønster i tall Mønster i 9-gangen. Antall trykte kort i en kopieringsbedrift. Figurer som vokser. Tid (i sekund) Antall kort som blir skrevet ut

30 Differensen er 30 kort på bordet Bruk en hel kortstokk. Stokk kortene godt. Tell opp 30 kort som du legger på bordet foran deg. Finn ut hvor mange sorte kort som ligger på bordet. Finn ut hvor mange røde kort du har på handa. Hvor stor er differensen? Stokk kortene og gjør det samme en gang til. Hva finner du ut? Kan du forklare hvorfor det blir slik?

31 Differensen er 20 kort på bordet Gjenta flere ganger, men nå legger du 20 kort på bordet. Hvordan blir sammenhengen nå? En generell regel? Kan du ut fra antall kort på bordet si noe om hvor stor differensen blir? Annet antall kort? Du kan ta bort bildekortene fra kortstokken og gjenta undersøkelsen din. Hvordan blir resultatene da?

32 Differensen er Forskjellen (differensen) er alltid fire. Forskjellen (differensen) er alltid seks Forskjellen (differensen) er alltid lik forskjellen mellom 26 og antall kort på bordet. 30 kort på bordet Når det er 30 kort på bordet MÅ det være noen sorte der, for det er bare 26 røde kort. Vi har s sorte kort på bordet. Da er det (30 s) røde kort på bordet. Det er i alt 26 røde kort. På handa er det da 26 (30 s) = 4 + s = (s 4) røde kort Differensen er: sorte kort på bordet røde kort på handa s (s 4) = s s + 4 = 4

33 20 kort på bordet Legger vi 20 kort på bordet, kan vi risikere at alle er røde. Men forskjellen vil uansett bli 6 nevnt øverst på siden. Følger vi samme resonnement som over, får vi s sorte kort på bordet og (s 6) røde kort på handa. Differensen er 6. Differensen vil alltid være uavhengig av antall sorte kort på bordet. Differensen er

34 Mål Pinnetrappa - Orkestrering Få fram viktige poeng i planlegging av en aktivitet med elevene.

35 Case Vi er en gruppe lærere som har funnet oppgaven «Pinnetrappa». Kan oppgaven brukes med våre elever? I hvilken sammenheng?

36 Arbeid med oppgaven. 1. Arbeid individuelt med oppgaven Se etter flere ulike måter å løse oppgaven på 2. Sammenlign løsningsstrategiene med de andre på gruppa. Er noen identiske? Likheter og forskjeller? 3. Presenter de ulike strategiene på en plakat. 4. Se på plakatene til de andre gruppene. 5. Suppler evt egen plakat med flere strategier.

37 Pinnetrappa 1. Utvid mønsteret. Hva blir omkretsen til figur 5? Vis eller forklar hvordan du fant løsningen. 2. Hvor mange pinner trenger du for å lage figur 6? Vis eller forklar hvordan du fant løsningen. 3. Skriv en formel som viser hvordan du finner omkretsen til figur N. Forklar hva variablene representerer. Forklar hvordan du fant løsningen. 4. Skriv en formel som viser hvor mange pinner du trenger totalt for å lage figur N. Forklar hva variablene representerer. Forklar hvordan du fant løsningen.

38 Antall pinner i omkretsen til figur n Geometrisk

39 Antall pinner i omkretsen til figur n Ut fra tabell

40 Antall pinner totalt i figur n Geometrisk

41

42 Antall pinner totalt i figur n Ut fra tabell

43

44 Antall pinner i figur n nn nn nn nn + 1 nn nn nn (2nn 1) 2 xx + 1 xx xx 1 2 nn + 1 nn

45 Forberede en undervisningsøkt 1. Klassetrinn, varighet, tematisk sammenheng 2. Hvor mye av oppgaven ønsker dere å bruke? (punkt 1-2, 1-3, 1-4, bare 4.) 3. Mål for økta 4. Hvilke strategier vil dere fokusere på i undervisningen? 5. I hvilken rekkefølge vil dere trekke dem fram? 6. Hva vil dere gjøre dersom elevene ikke kommer opp med en av strategiene dere ønsker å fokusere på?

46 Generelle spørsmål i forberedelsen Hvordan tror du elevene vil angripe problemet? Hva vil de gjøre når de skal generalisere? Vil de argumentere ut fra tallrekker eller geometriske figurer? Ser de på dette som et algebraisk eller geometrisk problem? Hva gjør elevene når de står fast? Hvilke spørsmål vil du stille for å hjelpe elevene videre? Hvor i oppgaven står eleven fast? Har elevene ulike strategier? Hvilke løsninger vi du fremheve, i hvilken rekkefølge? Hva sier løsningsstrategiene om elevenes kompetanse?

47 Ligninger likevekt

48 Ligninger en ukjent verdi Ole samler på figurer. Han har åtte til sammen. Hvor mange er i boksen? 8 = = = = = 8

49 Ligninger Hvilken av ligningene beskriver fyrstikkene på vektskåla? A 3 = B + 3 = x + 3 = 2x + 1 tar bort en x 3 = x + 1 tar bort 1 2 = x Sjekker: = 5 og = 5

50 Ligninger - fingermetoden 3a + 4 = 22 3a + 4 = 22 3 a = 18 BYTT OG FLYTT Hvilket tall må jeg legge til 4 for å få 22? Svaret er 18. Bak fingeren står 3 a Da er 3 a = 18 Hvilket tall må jeg multiplisere med 3 for å få 18? Bak fingeren står a, så a må være er 6 a = 6 3a + 4 = 22 ser at 3a må være 18 (trekker fra 4) 3a = 18 ser at a må være 6 (dividerer med 3) a = 6

51 Ligninger - fingermetoden xx = 7 xx = 7 xx 3 = 2 xx = 7 ser at xx 3 xx 3 må være 2 = 2 ser at x må være 6 x = 6 Sett prøve og sjekk om det stemmer! x = 6

52 Ligninger - fingermetoden 15 xx 2 = 5 15 xx 2 = 5 ser at (x 2) må være 3 15 xx 2 = 5 xx 2 = 3 x 2 = 3 ser at x må være 5 x = 5 Sett prøve og sjekk om det stemmer! x = 5

53 Hvem hører sammen? situasjon, funksjon og ligning Lene sykler med en gjennomsnittsfart på 23 km/h. Hvor langt tid bruker hun på 37 km? y = 23x y = x = 23x x + 23 = 37 Se arbeidsark: Hvem hører sammen1

54 y = 2x Hvem hører sammen? Tabeller, grafer og funksjonsutrykk y = x y = 1,57x Se arbeidsark: Hvem hører sammen2

55 Mønster i tall Se arbeidsark: Matematiske runer

56 Lineære runer y = ax + b

57 Andre funksjoner

58 ( ) = Finn skjult verdi 1 Fra Lamis Skriftserie 4, 2009: Et Ess i Ermet Utstyr: En kortstokk og kort med regnetegn. En av spillerne må snu seg mens den andre legger opp kortene. Trekk ut tre tilfeldige kort fra kortstokken. Bruk kortene med regnetegn og lag et regnestykke. Svaret på regnestykket blir 10. Finn en 10-er som du legger til høyre for = Snu ett av de tre kortene du trakk. Be motspilleren snu seg og finne ut verdien på kortet du har snudd. + : Se arbeidsark: Finn skjult verdi 1 og 2

59 Her ser du en annen mulighet med de tre kortene i dette eksemplet: Kan du avsløre verdien på det skjulte kortet uten å gjette og sjekke? Dere kan lage det litt vanskeligere ved å la røde kort være negative tall.