Navigasjon i åpen sjø, D5LA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Navigasjon i åpen sjø, D5LA"

Transkript

1 Navigasjon i åpen sjø, D5LA En lærebok om hvordan man navigerer når det ikke er land å se til noen kant. Det dekker pensum til sertifikatet D5LA (Fritidsskippersertifikat for ubegrenset fartsområde). Det er lagt vekt på å gi leseren forståelse og ikke bare å lære teknikkene man bruker. Det vises detaljert hvordan man beregner posisjon utfra målinger av solen, månen, planeter og stjerner. Nødvendige eksempeltabeller er inkludert og mange skjemaer som gjør beregningen enklere. Det er også noe stoff som gjelder seilas når du nærmer deg land, f.eks. tidevannsstrøm, hvor langt ut vi kan se fyr, lokal vannstand og annet. Knut W. Hansson 2016 Betautgave

2 Innhold Forord... 3 Jordens gradnett... 4 Storsirkler... 4 Jorden og solen... 6 Jevndøgn og solverv... 7 Døgn... 7 Deklinasjon... 8 Klokkeslett Dato GHA, LHA og SHA Bestikk Avkortning Litt trigonometri Finne avstand og kurs for storsirkel (ortodrom) Avstand storsirkel Rettvisende kurs storsirkel Finne avstand og kurs for loksodrom (rhumb line) Rettvisende kurs loksodrom Distanse loksodrom Hvor kommer vi hvis vi seiler fast kurs og fart (loksodrom) Bedre kalkulasjoner Sammenlikning loksodrom vs storsirkel Rhumb line (loxodrome) or great circle (orthodrome)? Refraksjon Avstand til horisont på havet Enklere tilnærmingsformel Fyrenes synsvidde Sammenlikning av formlene Litt historie om navigasjon på havet Vikingenes navigasjon Middelalderen I dag: Måle vinkler med sekstant Feil i sekstanten Feil bruk Sekstantens virkemåte Fremgangsmåte i grove trekk Gjennomsnitt av flere observasjoner Observere solen Observasjon av solen i meridian Observere en stjerne Observere månen Observere planeter Posisjonsbestemmelse med to observasjoner Vinder Knut W. Hansson Side 1 av 119

3 Værmeldinger Pilotkart Havstrømmer Tidevann Beregning av lokal vannstand Beregning av lokal tidevannsstrøm Når er det høyvann GPS Prinsipper Litt om systemet Prinsippet Feilkilder og hva man gjør med dem Oppsummering Mer på Internett Eldre systemer Seilas i utlandet Ressurser Vedlegg Korriger kursen Vedlegg Beregn solens GHA Vedlegg Deklinasjon Vedlegg Stjerners senitpunkt Vedlegg Observasjon av solen i meridian Vedlegg Observasjon av månen, stjerne eller planet Vedlegg Beregn loksodrom (rhumb line) RL Vedlegg Beregn fremtidig posisjon langs loksodrom Vedlegg Beregning av storsirkelkurs og distanse (GC) Vedlegg Tommelfingerregel for fart/lengde for en båt Vedlegg Dagtabell for 15. mars og 8. august 2016 (solen, Aries og et utvalg stjerner) Vedlegg Tabeller for og minutter (solen og Aries) Vedlegg Tabell for Solen: Korreksjoner Vedlegg Tabell for stjerner: DIP og refraksjon Vedlegg Tabell for 15. mars og 8. august 2016 (planeter og måne) Vedlegg Plotteskjema for flere observasjoner Vedlegg Skjema for vannstand (før/etter høyvann) Vedlegg Registreringsskjema for båten Vedlegg Sertifikater for lystbåter Vedlegg Læreplan 2015 for D5LA Knut W. Hansson Side 2 av 119

4 Forord Dagens navigasjon på havet er i stor gradert basert på bruk av GPS og kartplotter. På handelsskip er det ikke engang nødvendig å sekstant om bord lenger. Allikevel er «astronomisk navigasjon» inkludert i pensum til D5LA Fritidsskippersertifikat for ubegrenset fartsområde. Sjøfartsdirektoratet har fastsatt en fagplan for D5LA-kurs som de mener kan gjennomføres på 45 timer (pluss eksamenstid). Der utgjør astronomisk navigasjon nesten 60% av tiden. Det kan være litt vanskelig stoff, særlig hvis man vil forstå hva man gjør og ikke bare kan gjennomføre det etter en sjekkliste. På den annen side er det interessant og morsomt. Astronomi og astronomisk navigasjon utgjør derfor vesentlige deler av innholdet i denne boken. Videre har jeg inkludert annet stoff som er nyttig når man er helt ute på havet eller når man nærmer seg en kyst. Forståelse av stoffet skal gjøre det mulig for deg å svare på spørsmål som f.eks. «hva er forskjellen på GMT og UTC tid», «hvorfor går stjerner mer enn én gang rundt jorden hvert døgn», «hvorfor er det forskjell på tidevannet i forskjellige havner», «hvordan virker egentlig GPS», «hvordan beregner vi avdrift og tar hensyn til den i videre seilas» og mange andre spørsmål. I tillegg skal du selvsagt lære konkret hvordan du måler høyden over horisont av sol, måne, planeter og stjerner og på den måten finner din posisjon på åpent hav. Du bruker både tabeller (eksempeltabeller er inkludert) og beregninger. For å kunne følge regneeksemplene, bør du skaffe en kalkulator. Jeg kan anbefale Casio fx-82es PLUS som er billig og svært grei å bruke. Andre nyttige, og gratis ressurser finner du omtalt i kapitlet Ressurser på side 90. Jeg håper du får glede av denne boken! Knut W. Hansson Knut W. Hansson Side 3 av 119

5 Jordens gradnett For å angi et sted på jorden, må vi ha en referanse. Til dette bruk er jorden inndelt i tenkt et rutenett. (http://fr.wikipedia.org, GNU lisens) Fra pol til pol går det tenkte linjer kalt lengdegrader eller meridianer. En av dem er kalt 0-meridianen og går gjennom Greenwich utenfor London (ved Royal Observatory). Meridianene er nummerert mot øst og vest, fra 0 grader til 180 grader etter vinkelen mellom dem og 0-meridianen (vinkelen λ i figuren nedenfor). Rundt midten av jorden, vinkelrett på jordaksen, går ekvator. Den er gitt betegnelsen 0 grader (rød sirkel i figuren). Parallelt med ekvator går breddegrader eller paralleller mot hver pol, nummerert fra 0 grader (ekvator) til 90 grader nord og syd etter vinkelen mellom dem og ekvatorplanet (Ф i figuren nedenfor). (Peter Mercator, Public Domain) En bestemt posisjon angis da med hvor mange grader nord/syd for ekvator den er og hvor mange grader øst/vest for 0-meridianen. Monolitten i Oslo er f.eks. i posisjon ,13 N ,10 Ø 1. Storsirkler Storsirkler er sirkler som er tegnet på en kule og som har samme sentrum som kulens sentrum. Det gjelder uansett hvordan den er trukket: Nord-syd, øst-vest eller «på skrå». Storsirklene på jorden har samme diameter og samme sentrum som jorden. Den korteste avstanden mellom to punkter på en kule er langs en storsirkel som går gjennom begge punktene. 1 Som vanlig betyr her tegnet o grader, betyr minutter og sekunder. Det er 60 sekunder på et minutt og 60 minutter på en grad. Her er det snakk om bueminutter og buesekunder (vinkler) og ikke tid. Knut W. Hansson Side 4 av 119

6 Øst-vest er det bare én storsirkel, nemlig ekvator. Vi kan tegne andre sirkler parallelt med ekvator, men de er ikke storsirkler de har mindre radius enn jorden og sentrum i jordaksen (men ikke i jordens sentrum). Hvert bueminutt er én nautisk mil (nm), som etter internasjonal standard nå er definert til 1852 meter. En nautisk mil er av historiske grunner inndelt i 10 kabellengder 2. Fordi jorden er omtrent kuleformet 3, er alle storsirkler like lange rundt jorden, nemlig 360 grader x 60 nm pr grad = nm 4. Bowditch 5 gir ytterligere fakta om storsirkler: A great circle is the intersection of the surface of a sphere and a plane passing through the center of the sphere. It is the largest circle that can be drawn on the surface of the sphere, and is the shortest distance along the surface between any two points. Any two points are connected by only one great circle unless the points are antipodal (180 apart on the Earth), and then an infinite number of great circles passes through them. Every great circle bisects every other great circle. Thus, except for the equator, every great circle lies exactly half in the Northern Hemisphere and half in the Southern Hemisphere. Any two points 180 apart on a great circle have the same latitude numerically, but contrary names, and are 180 apart in longitude. The point of greatest latitude is called the vertex. For each great circle, there is a vertex in each hemisphere, 180 apart in longitude. At these points the great circle is tangent to a parallel of latitude, and its direction is due east-west. On each side of these vertices, the direction changes progressively until the intersection with the equator is reached, 90 in longitude away, where the great circle crosses the equator at an angle equal to the latitude of the vertex. Bowditch: «The American Practical Navigator» 2 I en reperbane må man strekke ut hver kordel før man begynner å tvinne dem sammen. Siden reperbanene hadde begrenset lengde, ble også trosselengden begrenset. Man standardiserte denne lengden til 182,5 meter og kalte det en kabellengde. 3 Jorden er i virkeligheten noe flattrykt. I dag brukes WGS 84 til å modellere jordens form. Alle norske sjøkart bruker den det er angitt på kartet. Du bør passe på at din GPS bruker den samme. Ifølge den modellen, er lengdegradene m lange. Da blir en nautisk mil (ett bueminutt) 1852,216 m, men man har vedtatt 1852 m som standard. WGS 84 definerer jorden som en omdreiningsellipsoide med ekvatorradius ,0 m og radius i lengdegradene ,3142 m (avstand fra pol til sentrum). Vi regner likevel alltid jorden som en perfekt kule forskjellene blir svært små. 4 Matematikere vil kanskje reagere på at jeg bruker x som multiplikasjonstegn («gangtegn») de er vant til en prikk. Jeg har brukt x i hele denne boken for at det skal være lett å se tastetrykk på kalkulatoren i alle formler som blir brukt. Av samme grunn tar jeg med multiplikasjonstegnet også der matematikere ville underforstå det. 5 Det refereres mye til Bowditch: «The American Practical Navigator» i denne boken og da som oftest bare som «Bowditch». Du finner omtale og referanser i kapittelet Ressurser på side 84. Knut W. Hansson Side 5 av 119

7 Jorden og solen Som kjent, går jorden rundt solen. Den følger en ellipse en litt flattrykt sirkel. Ellipser har to brennpunkter og summen av avstanden til de to brennpunktene er konstant. I figuren er B1 og B2 brennpunktene. De to punktene A1 og A2 er slik at summen a1+b1 = a2+b2. (Det er antydet en kjekk måte å tegne ellipser på med en løs snor trukket rundt to stifter plassert i brennpunktene.) Jorden beveger seg fortest i banen sin når de er nærmest solen og langsomst når den er lengst unna 6. Den er nærmest solen og går på sitt raskeste rundt 3. januar hvert år ved periapsis (perihelion). Den er lengst vekk fra solen, og går da saktest, rundt 3. juli ved apoapsis (apohelion). Fartsendringene skyldes at fra apoapsis faller jorden mot solen med økende fart (heldigvis bommer den). Fra periapsis fjerner jorden seg fra solen igjen og bremses i fallet inntil den når apoapsis og faller mot solen igjen. (https://commons.wikimedia.org/wiki/file:seasons1.svg#/media/file:seasons1.svg) 6 Flateinnholdet som linjen mellom solen og jorden «feier over» på en viss tid, er konstant. Når linjen er kort, med jorden nær solen, må jorden gå fortere i banen for å sveipe over like meget flate. Knut W. Hansson Side 6 av 119

8 Da jordens akse står på skrå i forhold til banen rundt solen, vil nordre del av kloden få mest sol rundt 21. juni (sommersolverv) da Nordpolen tipper mot solen. Søndre del av kloden får mest sol rundt 21. desember (vintersolverv) da Sydpolen tipper mot solen. Midt mellom disse (ved ekvinoks) står jordaksen «på tvers» og nordre/søndre del av kloden får like meget sol. Det skjer rundt 21. mars (vårjevndøgn) og rundt 23. september (høstjevndøgn). Merk at alle disse hendelsene skjer på et eksakt tidspunkt. F.eks. er vårjevndøgn i 2016 klokken 0431 UTC den 20. mars Derfor har ikke vårjevndøgn nøyaktig like lang dag som natt på tross av navnet. F.eks. står solen opp kl 0618 og går ned kl 1832 norsk tid den 20. mars Dagen er altså 12 timer og 14 minutter lang natten 11 timer og 46 minutter. Solens tilsynelatende diameter avhenger av avstanden. Den er fra til 32 33, dvs. litt over ½ o. Den er størst når solen er nærmest, dvs. rundt 3. januar. Til sammenlikning så er månens tilsynelatende diameter fra til 34 6, altså omtrent det samme. Jevndøgn og solverv Det er vanlig her i Norge å kalle ekvinoks i mars for «vårjevndøgn». Det passer dårlig i land på den sydlige halvkule, for der er det faktisk høst. Tilsvarende gjelder for «vintersolverv» osv. Mer presist kan disse merkedagene benevnes som mars-ekvinoks, september-ekvinoks, junisolverv og desember-solverv. I denne boken har jeg allikevel stort sett holdt meg til betegnelsene fra norsk dagligtale. Døgn Ett døgn er definert som tiden fra solen står i syd ett sted, til den står i syd samme sted neste dag. Når jorden har rotert 360 o er solen ennå ikke kommet rett i syd, fordi jorden i mellomtiden har beveget seg i sin bane. Den må rotere litt til (ca 1 o ) før solen er tilbake i syd. I figuren, som er sterkt overdrevet, ser vi jorden i posisjon 1. En observatør i punkt P1 ser solen i syd. I posisjon 2 har jorden rotert 360 o. Stjernehimmelen er da den samme som den var i posisjon P1 og det har gått ett stjernedøgn. Observatøren i P2 (samme sted på jorden som P1) ser imidlertid ennå ikke solen i sør. Han må vente til jorden har rotert litt til så han kommer til punkt K før han ser solen i sør. Man kunne jo definert ett døgn på 24 timer som ett stjernedøgn, men da ville vi etter hvert fått solen i sør om natten (f.eks. kl 2300). Det blir svært upraktisk. Derfor har man i stedet definert ett døgn etter solen. Knut W. Hansson Side 7 av 119

9 Jo fortere jorden beveger seg i sin bane, desto lengre må observatøren vente på at solen skal stå i sør. Døgnene er derfor ikke helt like lange. De varierer fra 23 h ( 21 sekunder) til 24 h Det blir jo upraktisk å ha et døgn som varierer i lengde fra dag til dag (hva gjør vi med mekaniske klokker da?), så derfor er døgnet definert etter et gjennomsnittsdøgn (i Greenwich derav navnet «Greenwich Mean Time», GMT). Solen vil noen ganger stå i sør i Greenwich litt før klokken 1200 og noen ganger litt etter. Det kan variere med opptil 16 minutter før/etter kl Tidspunktet for solen i sør, kalles meridianpassasje. Tabellene våre viser når solen står i sør i Greenwich (over 0-meridianen) for hver dato. F.eks. passerer den ifølge tabellene 0-meridianen kl. 12:08:48 UTC den 15. mars Vi kan regne med at solen beveger seg ca 15 o i timen vestover og dermed beregne når den står i sør der vi er (eksempel på dette er vist i kapitlet Klokkeslett på side 10). Deklinasjon På grunn av jordaksens helling, ser det ut som solen beveger seg opp og ned på himmelen gjennom året. Som kjent står solen høyt på himmelen her hjemme om sommeren, og tilsvarende lavt om vinteren. Punktet rett under der solen står, dvs. der vi ser solen nøyaktig rett opp, kalles solens senitpunkt. I tillegg til at det går rundt jorden hvert døgn fra øst mot vest går det også nordover og sørover med årstidene. For navigasjon må vi vite hvor dette senitpunktet er, og det finner vi i tabeller og med litt enkel regning. F.eks. står solen rett over ekvator ved vårjevndøgn. I 2016 står den da 0 o 0 N 114 o 22 Ø, dvs. over Malaysia. Den beveger seg da med 15 o 03 pr time dvs. 901,8 knop vestover. (Bruker «S.fonsi», Creative Commons) Sett fra jorden beveger solen seg over stjernehimmelen i en sirkel på skrå mot ekvatorplanet. Sirkelen kalles ekliptikken. Solen går langsomt vestover langs ekliptikken i løpet av et år. Den flytter seg altså bortimot 1 o pr døgn 360 o på et år. Den beveger seg da over himmelhvelvingen, mot stjernene i bakgrunnen, og passerer stjernebilder på veien. Disse stjernebildene har stor interesse for astrologer. De mener å kunne forutsi vår fremtid etter Knut W. Hansson Side 8 av 119

10 «hvilket stjernebilde vi er født i», det vil egentlig si hvor på himmelhvelvingen solen sto da vi ble født. Sett fra jorden roterer hele himmelhvelvingen på litt under et døgn et stjernedøgn. 7 Solen og månen følger med på dette, men samtidig flytter de seg altså litt på himmelhvelvingen. Siden ekliptikken ligger på skrå, flytter solen seg også nordover og sørover sett fra jorden. Hvor langt nord/sør for ekvator solen står, kalles solens deklinasjon. Solen passerer ekvator ved vår- og høstjevndøgn (ekvinoksene). Ved sommersolverv er solen lengst mot nord. Den er da (2016) 23 26,1 N (ca 23¼ o ) som kalles «Krepsens vendekrets» etter det stjernebildet solen står i på himmelen. Ved vintersolverv er solen tilsvarende ved 23 26,1 S som kalles «Steinbukkens vendekrets» av samme grunn. Ved sommersolverv vil solen være oppe døgnet rundt alle steder nord for nordre polarsirkel som går ved 66 33,9 N (90 o 23 o 26,1 ). Tilsvarende skjer for sydlige områder ved vintersolverv. (http://theconversation.com) I figuren over er solens årlige vandring på himmelen tegnet inn, med nord oppover. Helt til høyre er vårjevndøgn (mars) og solen vandrer mot venstre med gjennomsnittlig ca. 1 o i døgnet (360 0 på 365¼ dag =59 8 ). Beregne deklinasjonen Deklinasjonen finnes i tabeller. Det er én tabell der deklinasjonen oppgis time for time UTC. Under timetallene er det oppgitt en korreksjonsfaktor kalt vd (eller v/d). På minuttsidene i tabellen finner du denne korreksjonen og hvor meget du skal rette deklinasjonen med for dette antallet minutter og denne faktoren. Vi vil f.eks. finne solens deklinasjon kl. 06:23:40 den 15. mars Vi regner alltid deklinasjonen for nærmeste hele minutt, altså her for kl. 06:24. I tabellen for finner vi deklinasjonen for kl. 06:00 UTC til -1 o 57,1 S (minustegnet brukes ofte når deklinasjonen er sydlig). Under står vd=1,0. Vi går så til tabellen for 24 minutter. Nedenfor opplistingen av GHA finner vi der en tabell med v/d-faktoren og korreksjonen vi skal bruke. Vi finner v/d=1,0 gir korreksjon 0,4. Korreksjonen er i bueminutter og skal legges til eller trekkes fra deklinasjonen for hel time. Her reduserer vi deklinasjonen fordi vi ser av dagtabellen at deklinasjonen kl. 07:00 er mindre sydover enn kl. 06:00. (Solen er på vei nordover mot ekvator og mars-ekvinox.) 7 Et stjernedøgn også kalt siderisk døgn er 23 timer, 56 minutter og 4,09 sekunder. Knut W. Hansson Side 9 av 119

11 Kronometertid: 06:23:51 ± avvik: -00:00:11 = tid 06:23:40 UTC Dato: 15/3/2016 Deklinasjon for hele timer (tabell) 06:00:00 01 o 57,1 ±Endring for min (d= 1,0) +00:24: o 00,4 =Deklinasjon for kl. =06:24:00 =01 o 56,7 Hvis vi ser på deklinasjonen kl. 07:00 så er den 1 o 56,1 S. Den endrer seg altså med ca. 1 på denne timen. Det virker da rimelig at den på 24 minutter har endret seg med nesten halvparten av dette 8. Grunnen til at man bruker en faktor d/v som mellomledd for tillegget for minutter, er at tillegget varierer både med antall minutter og med sesong. Noen ganger (nær ekvator) endrer deklinasjonen seg mye pr time, andre ganger (nær solverv) endrer den seg lite. Det vil være upraktisk å lage en egen tabell for alle minutter for hver dato. Klokkeslett Ettersom jorden roterer mot øst, vil solen stå opp i Asia før den står opp hos oss og enda litt senere i Greenwich. Det lokale klokkeslett varierer derfor med hvor langt øst/vest man er. Egentlig burde da Oslo og Bergen ha hver sin tid. Dette blir selvsagt svært upraktisk, og derfor er jorden inndelt i tidssoner. Det er én tidssone for hver 15. grad se kartet nedenfor. (Bruker «TimeZonesBoy», Creative Commons) F.eks. er sone 0 fra 7½ o øst til 7½ o vest. Denne sonen kalles også GMT. Sonene er forskjøvet av praktiske grunner så geografiske områder gjerne ligger i samme sone. Norge har valgt å bruke sonen +1 for hele landet, selv om det blir ganske feil i forhold til solen i Bergen (som 8 Det er også mulig å interpolere deklinasjonen mellom kl. 06:00 og 07:00. Deklinasjonen endrer seg da med 1 på 60 minutter = 0,394 0,4 på 23 minutter og 40 sekunder. En slik beregning er unødvendig da den gir omtrent samme svar som tabellene (det skulle bare mangle!). Knut W. Hansson Side 10 av 119

12 egentlig er i sone 0) og enda mer i Øst-Finnmark (som skulle være i sone +2). Innen hver stat vil man gjerne ha samme tid, men av kartet kan vi se at det ikke er slik for Grønland og heller ikke for Australia og Russland. De aller fleste velger dessuten å bruke et heltall for tidssonen sin, men også der er det unntak f.eks. har India tidssone +5½ og én av tidssonene i Australia er +9½. Man må ikke blande sammen soltid med klokken. Anta f.eks. at vi er like øst for Bergen på omtrent 5 o øst 9, og at solen passerer 0-meridianen kl. 12:05 UTC den dagen ifølge våre tabeller. Når står solen da i sør for oss i Bergen? Vi regner at solen beveger seg 15 o pr time. Da vi er 5 o øst for 0-meridianen vil solen stå i sør 5 = 1 time = 20 min tidligere i Bergen, 15 3 altså kl. 11:45 UTC. I Bergen bruker de imidlertid norsk tid (sone +1) så der vil klokken vise 12:45. I Vardø står solen tilsvarende i sør allerede i 11-tiden norsk tid 10. Før refererte man til GMT. Det er fortsatt navnet på tidssonen +0. Tiden er imidlertid standardisert siden 1960-årene og kalles nå UTC («Universal Time Coordinated») eller bare UT. UTC er ikke navnet på en tidssone, men alle tidssoner følger UTC med tillegg (+0, +1, +2 osv.) eller fradrag (-1, -2 osv.). UTC korrigeres fra tid til annen. Behovet oppstår fordi jordens rotasjonshastighet langsomt avtar 11. UTC kommer da i utakt med solen. Man legger da inn et «løpesekund» etter internasjonal avtale alltid enten 30. juni eller 31. desember. Det skjer gjennomsnittlig omtrent hver 19 måned. Tilsvarende vil gjelde om bord i ett skip, der kapteinen bestemmer når klokken om bord skal endres, såkalt «pinse» klokken. Det gjøres gjerne slik at klokken noenlunde følger tidssonen, men kapteinen vil kanskje heller ha samme tid som neste havn. Hvis vi i eksemplet lå i Bergen havn, kan altså skipperen godt ha pinset klokken til GMT og om bord er det den som gjelder (for vakter, måltider osv.). Man kan gjerne si at i Norge er det Stortinget som har pinset klokken til UTC +1. De pinser i tillegg med en ekstra time (til UTC +2) i sommertiden (fra siste søndag i mars til siste søndag i oktober). Dato Etter hvert som solen går rundt jorden, passerer den midnatt. Da gjelder en ny dato. Datolinjen er en linje som går omtrent ved 180 o øst/vest. På kartet over tidssoner går datoskillet mellom sone -11 og +11. På den ene siden av denne linjen er klokken f.eks den 20. januar, på den andre siden er kl den 19. januar. Et skip/fly som passerer datolinjen, må endre dato til forrige dato ved reise østover og til neste dato ved reise vestover. Etter hvert som tidspunktet 2400 = 0000 passerer over landene, endrer de datoen. Det kan derfor være 19. januar i Norge samtidig som det er 20. januar øst for oss eller 18. januar vest for oss. Et tidspunkt må altså presist angis med både klokkeslett og dato. 9 Bergen er ca 4 o 37,9 Ø, Vardø er 31 o 06,2 Ø 10 I Speideren lærte vi at solen står i sør kl. 12:00 (kl. 13:00 ved sommertid) men det er altså en «sannhet med modifikasjoner». 11 Tidevannet drives av energi fra jordrotasjonen og månen fjerner seg langsomt fra jorden og det krever også energi fra samme kilde. Avviket varierer da det også påvirkes av jordens platebevegelser o.a. Knut W. Hansson Side 11 av 119

13 GHA, LHA og SHA GHA («Greenwich Hour Angle») forteller oss i tabeller hvor langt vest for 0 meridianen et himmellegeme står på et gitt tidspunkt. Det går fra 0 o til 360 o og regnes alltid vestover. Vi vil f.eks. beregne solens GHA kl. 14:27:10 UTC den 15. mars Vi ser først i tabellen for solen den 15. mars kl 14:00. Deretter går vi til tabellen for 27 minutter på linjen for 10 sekunder og legger det til: Kronometertid: 14:27:21 ± avvik: -00:00:11 = tid 14:27:10 UTC Dato: 15/3/2016 Solens GHA for hele timer (tabell) 14:00:00 27 o 48,4 +Tillegg for min/sek (tabell) +00:27: o 47,5 =Solens GHA for kl. =14:27:10 =34 o 25,9 Hvis vi ser på GHA kl. 15:00:00 så er den 42 o 48,6. Den endrer seg altså med 15 o 00,2 på denne timen 12. Det virker da rimelig at den på 27 minutter har endret seg med nesten halvparten av dette. Tabellene er lagt opp til å finne GHA når vi kjenner klokkeslettet. Hvis vi motsatt vil finne når solen passerer en bestemt meridian, er det litt vanskeligere å finne. Hvis vi f.eks. skal finne når solen den 15. mars 2016 passerer meridianen 34 o 26,2, kunne vi lete nedover og finner at solens GHA er 27 o 48,4 kl. 14:00 og 42 o 48,6 kl. 15:00. Vår posisjon er imellom disse to. I tiden mellom disse passerer solen «vår» meridian. I praksis regner vi heller slik: Vi regner 15 o pr. time 13 fra kl. 14:00 UTC til «vår» meridian 34 o 26,2V får vi passasje t 14: 00 + (340 26,2 27 o 48,4 ) = 14: 26: Når vi kjenner solens GHA og deklinasjon, vet vi også hvor solens senitpunkt er. GHA angir lengden og deklinasjonen angir bredden for senitpunktet. 12 Tabellene for minutter/sekunder er beregnet etter solens gjennomsnittlige bevegelse på 15 o pr time. Med kalkulator kan vi altså lett beregne det selv. Siden soldøgn er opptil 21 sekunder kortere og opptil 29 sekunder lengre, varierer bevegelsen faktisk fra 15 o 00,2 til 14 o 59,7 pr time. Det er så nær 15 o at både i tabellene og vi selv alltid bruker 15 o. Hvis vi isteden interpolerer GHA mellom to timeangivelser i tabellen, kan vi i aller verste fall få opptil 0,3 forskjell. I dette eksemplet endrer deklinasjonen seg med 15 o 00,2 på 60 minutter = 6 o 47,6 på 27 minutter og 10 sekunder. Det er en forskjell på bare 0,1 fra det tabellene gir oss. 13 Tidspunktet kan også vi finne med interpolering: t 14: 00 + (15: 00 14: 00) x (340 26, 27 o 48,4 ) 42 o 48, ,4 = 14: 26: 26,1 Det gir bare 5,1 sekunders forskjell fra beregning med 15 o pr time. I praksis regner vi derfor alltid 15 o pr. time når vi skal finne når solen passerer en bestemt meridian. Knut W. Hansson Side 12 av 119

14 LHA («Local Hour Angle») forteller oss hvor langt vest for oss himmellegemet står. Det beregnes som GHA +/- vår egen lengde (vestover fra Greenwich). Anta f.eks. at vi er i Oslo, ca 10 o øst og at GHA angis i tabellene som 210 o. Vi legger til våre 10 o og får 220 o. (Pass på at det ikke blir negativt: Legg da til 360 o. Det skal heller ikke være over 360 o : Trekk da fra 360 o ). LHA er først og fremst interessant hvis vi skal bruke visse tabeller, der retning og høyde til et himmellegeme finnes ved oppslag av en antatt egen posisjon og LHA. Her enten regner vi det ut selv, eller vi bruker en passende app for mobil eller PC-program. Vi bruker derfor ikke mye LHA i denne boken. SHA («Sidereal Hour Angle» dvs. stjernens timevinkel) tar utgangspunkt i et bestemt punkt på himmelen kalt «first point of Aries» eller bare Aries og forteller oss hvor langt vest for Aries et himmellegeme står. Siden Aries og alle stjernene roterer likt (solen og planetene vandrer på himmelhvelvingen men stjernene har fast plass og kalles derfor fiksstjerner) er SHA for en stjerne konstant. Dette finner vi i tabeller, f.eks. er SHA for stjernen Vega ca 80 o. Hvis vi da vet at på et gitt tidspunkt så er GHA for Aries 35 o så kan vi beregne GHA for Vega som 35 o + 80 o = 115 o. Generelt gjelder at GHA(stjerne) = GHA(Aries) + SHA (stjerne) På den måten slipper vi med én tabell for hver stjernes faste posisjon, og én tabell for Aries timevinkel. Alternativt måtte vi hatt tabell for GHA for hver stjerne hver time gjennom hele året. Note: Stjernebildet Aries (Væren) ble valgt fordi det lå i skjæringspunktet mellom ekliptikken og ekvator ved vårjevndøgn. Imidlertid står ikke jordens akse fast den roterer litt som rotasjonsaksen på en snurrebass rett før den legger seg ned og derfor har stjernebildet Aries flyttet seg vekk fra dette punktet. Det er nå stjernebildet Fiskene som står i skjæringspunktet. Allikevel kalles skjæringspunktet fortsatt «første punkt av Væren» («first point of the Aries»). Tabellene angir altså faktisk ikke GHA for Aries, men for dette skjæringspunktet. Knut W. Hansson Side 13 av 119

15 Bestikk Å føre bestikk innebærer å beregne hvor vi er ut fra en tidligere posisjon og videreføre utseilt distanse og retning. På engelsk kalles dette «dead reckoning» 14. Godt bestikk er avgjørende uansett hva vi ellers måtte ha av hjelpemidler for posisjonsbestemmelse. Bestikket føres inn i dekksloggboken, men plottes også på kartet. Bowditch: «American Practical Navigator» 15 beskriver dette nøye. Han foreslår en egen syntaks. Selv foretrekker jeg å alltid bruke en prikk med en liten sirkel rundt. Ved siden av skriver jeg dato, tid og posisjon. En liten forkortelse forteller om dette er OP = observert (sikker) posisjon BP = bestikkposisjon SP = Sannsynlig posisjon (sikrere enn BP, mindre sikker enn OP) ØP = ønsket posisjon (frem i tid) eller ETA med klokkeslett for forventet ankomst Mellom punktene trekkes linjer som annoteres med fart gjennom vannet eller utseilt distanse og kurs. Kurser er så mangt de er avhengig av hva vi har tatt hensyn til. Kompasskursen er den kursen som rorvakten forsøker å styre. Kompasset viser feil av to grunner 1. Misvisning som skyldes at kompass-nord ikke er likt med geografisk nord. Her er en figur som viser et kompass når misvisningen er østlig, +30 o. Vi ser at hvis vi styrer rett nord etter kompasset mot Ng, så styrer vi faktisk 30 o øst for geografisk nord Nm. I 2015 er magnetisk nordpol i posisjon 86.3 N W. I sydlige norske farvann er misvisningen for tiden bare én til to grader øst. Den står oppgitt i kompassrosen på kartet. Variasjonen i misvisning for 2015 er gjengitt i dette kartet (rød farge er østlig, positiv misvisning): 14 «Dead» er muligens en forvanskning av «ded.» forkortelse for «deduced». 15 Finnes komplett og gratis på Internett ftp://ftp.flaterco.com/xtide/bowditch.pdf Knut W. Hansson Side 14 av 119

16 (http://ngdc.noaa.gov/geomag/wmm/) 2. Deviasjon som skyldes forstyrrende magnetisme i båten. For en moderne seilbåt er deviasjonen sjelden mer enn ±3 o. Båten skal ha en tabell som viser deviasjonen for forskjellige kompasskurser, f.eks. Kompasskurs Deviasjon 000 o +1 o 010 o ±0 o 020 o 1 o 030 o 1 o 040 o 3 o 050 o 3 o 358 o +4 o 359 o +2 o 360 o +1 o Andre feil oppstår fordi båten beveger seg sidelengs av forskjellige grunner: 3. Avdrift som skyldes at vind og bølger skyver på båten 4. Strøm 5. Styrefeil som skyldes at rorvakten ikke klarer å holde den angitte kursen. På grunn av bølger og vind vil båten ikke gå rett frem. En erfaren rorvakt kan merke at båten vil endre kurs og ta høyde for det med roret. Uerfarne rorvakter merker ikke endringen før de ser det på kompasset og først da legger de tilbake til riktig kurs. Endringene gjentar seg gjerne igjen og igjen samme vei, og over tid blir feilen merkbar. I tillegg vil treghet i kompasset føre til at feil ikke oppdages med en gang. Til sammen kaller jeg ofte pkt 3-5 for drift. Knut W. Hansson Side 15 av 119

17 Et eksempel, basert på 4 o østlig misvisning: Kompasskurs rettvisende kurs (i kartet) «Fra dårlig til bedre kurs, dvs. riktig vei» = bruk fortegnene som de er Kompasset viser kk 038 o + Deviasjon -003 o =Magnetkurs mk =035 o V/+Ø misvisning +004 o =Rettvisende kurs rk =039 o Rettvisende kurs (i kartet) kompasskurs «Fra god til dårligere kurs, dvs. feil vei» = bruk motsatte fortegn Rettvisende kurs rk 005 o +V/ Ø misvisning -004 o =Magnetkurs mk =001 o =361 o Deviasjon *) -002 o =Kompasskurs kk =359 o *) Deviasjonene skal egentlig baseres på kompasskursen, men det blir sjelden særlig forskjell I seilbåt i norske farvann med misvisning opp til 2 o og deviasjon opp til 3 o betyr misvisning og deviasjon til sammen bare fra -1 o til +5 o, altså lite. Derimot er det stor forskjell på fart/retning gjennom vannet etter loggen og fart/retning over bunnen. Tilsvarende forskjell mellom utseilt distanse etter loggen og utseilt distanse over bunnen. Forskjellen skyldes drift. For langsomme båter blir forskjellen større enn for raske. I eksempelet nedenfor seiler én båt i en time med seks knop, en annen seiler en time med 16 knop. Begge har 2 knop drift på tvers. Den langsomme båten settes 18,4 o ut av kurs 16, den raske bare 7,1 o. Hvis den langsomme båten skal like langt som den raske 16 nm må den seile i 2 h 40 m og kommer da 5 1 /3 nm ut av kurs. Kurs og fart over bunnen er angitt på kartplottere som COG («course over ground») og SOG («speed over ground»). Ellers avleser vi den ved plotting i kartet. 16 Beregnes enkelt med tangens: tan -1 (2/6)=18,435 o. Knut W. Hansson Side 16 av 119

18 Bestikkposisjoner må settes av hver gang det foretas en kurs- eller fartsendring og minst hver time. I en seilbåt er dette med fartsendring ikke så enkelt, så der er det bedre å bruke utseilt distanse i loggen. Hver time avleses loggen for utseilt distanse gjennom vannet og det er den som skal plottes inn i kartet. Det innebærer også at kurs, fart og utseilt distanse må loggføres. Kursen avsettes med parallellforskyver fra kompassrosen på kartet, kurslinjal eller annet. Distanser måles langs meridianer (loddrett langs lengdegrader) ved «middelbredden», dvs. i høyre kartkant på samme bredde som den du skal måle. Breddegradene er nemlig ikke like langt fra hverandre oppover kartet. I eksemplet nedenfor er utgangspunktet en sikker posisjon kl Loggen kan se slik ut: Tid Hendelse Ref i figuren 09:00 Observert posisjon nnn o N øøø o Ø. Nullstiller logg. Styrer kurs 120 o. Fart avleses til 7 kn. A 10:00 Utseilt 6 nm. Setter ny kurs rk 065 o B 10:50 Ny kurs 080 o. Utseilt 11 nm. C 12:00 Utseilt 15 nm. Får ny observert posisjon xxx o N yyy o Ø. Farten avleses til 3 kn. D, E 12:10 ETA kl 13:00 xxx o N yyy o Ø F Posisjoner og utseilte distanser, samt retning, settes ut i kartet, som da ser omtrent slik ut (bokstavene er med her for å referere til loggen vanligvis skriver jeg ikke inn slike): Hvis posisjonene er viktig av sikkerhetsgrunner, f.eks. fordi man nærmer seg land, seiler i separasjonssone e.l., anbefaler Bowditch å tegne inn sirkler rundt bestikkposisjon for å angi usikkerhet. Her er fire dagers seilas fra observert posisjon A til bestikkposisjon E tegnet inn i kartet med usikkerhet: Man anbefales da å regne med at alle feil kommer oppå hverandre. I praksis vil kanskje strøm og avdrift motvirke hverandre. Det angis 17 at driften typisk kan bli 10 til 20 nm pr døgn og i Golfstrømmen eller andre steder kan det i ekstreme tilfeller bli 50 til 100 nm pr døgn. Merk at det ikke er mulig å beregne drift uten to observerte (sikre) posisjoner. Bestikket viser aldri 17 David Burch: «Celestial Navigation». Knut W. Hansson Side 17 av 119

19 drift. Derfor må man fra tid til annen skaffe seg en slik posisjon. På havet innebærer det enten bruk av GPS eller sekstant og kronometer. Nær land har man mange andre muligheter. Hver gang man har en sikker posisjon, bør man beregne drift. I figuren nedenfor har vi en observert (sikker) posisjon (OP) kl Vi styrer rk 090 o. Etter 1 time avleser vi utseilt distanse 16 nm og plotter inn bestikkposisjonen (BP) kl Da finner vi også en OP med GPS-en og den plotter vi også inn. Da kan vi i kartet avlese driften til 3,7 nm = 3,7 knop i retning 309 o. Kjent drift bør man ta hensyn til ved videre seilas. Vi vil f.eks. seile videre fra OP 1000 og ta hensyn til den kjente driften som vi fant. Vi ønsker å planlegge 1½ time fremover. Planen tegner vi inn i kartet i figuren nedenfor er det gjort med rødt. 1. Vi tar utgangspunkt i det seneste OP 1000 og trekker opp antatt drift for 1½ time dvs. 5,6 nm i retning 129 o derfra. 2. Vi trekker opp ønsket rk beholdt (kurs over grunnen) ut fra OP Den trekkes på kartet og avleses til 097 o. (Vi vil gjerne ta igjen litt av det vi tapte på første legg og peker denne kursen litt sydover. Vi ville jo opprinnelig 90 o fra OP 0900.) 3. Vi antar samme fart gjennom vannet og setter derfor av 1½ times gange med 16 knop = 24 nm med passeren i punkt A til skjæringspunktet med ønsket rk beholdt. Punktet blir det vi ønsker å sikte på. Vi forventer ETA dit om 1½ time. 4. Vi tegner inn kursen fra A til styringspunkt og leser av denne kursen til 104 o. Rorvakten bes nå om å styre rk 104 o (som vi naturligvis først må rette for deviasjon og misvisning til en kompasskurs, kk). Siden vi jo starter i punktet OP 1000 og ikke i A, vil det se ut som vi tenker å styre langs den grønne, prikkede linjen mot B. Hvis driften holder seg konstant vil vi imidlertid faktisk styre over bunnen langs den tykke røde. Alt som tegnes i kartet gjøres med bløt blyant. Det som ikke lenger er aktuelt, bør viskes ut. Ellers blir kartet helt fullt av forvirrende streker. Selv har jeg GPS om bord. Hver time leser jeg av posisjon og loggfører. Dette er sikre posisjoner og gir utgangspunkt for beregning av kompassfeil, styringsfeil og drift og de plottes i kartet. Hvis jeg vil gjøre det litt mer korrekt, tegner jeg inn seilt kurs/fart og ønsket kurs inn på kartet. Da kan jeg se driften, som jeg så avleser mot kartets kompassrose og måler distansen. Da kan jeg korrigere for driften og gi rorvakten ny styringsordre. Det tar hensyn til absolutt Knut W. Hansson Side 18 av 119

20 alle feil, inkludert kompassfeil i én, samlet korreksjon. Jeg slipper på denne måten å korrigere for misvisning og deviasjon. Er jeg svært pragmatisk, kan jeg se på kartplotteren hvilken kurs båten holder «over bunnen» (COG). Hvis den f.eks. er 280 o mens vi styrer og vil seile 270 o ber jeg rormannen korrigere 10 o (280 o 270 o ) mot babord. Etter en stund kan jeg korrigere igjen osv. Det er imidlertid morsommere å tegne i kartet. Flere ganger har jeg truffet norskekysten akkurat som ønsket på seilas over Skagerak fra Skagen i Danmark før GPS-enes tid, bare ved hjelp av bestikk og antatt strøm ifølge Den Norske Los. Over Atlanterhavet må man skaffe seg sikre posisjoner fra tid til annen, da bare bestikket blir for usikkert i lengden. Man risikerer imidlertid at det kan gå dager imellom hver sikre posisjon hvis været ikke lager seg og GPS-en ikke virker. Derfor må man anvende nøye bestikk i tillegg. Da kan man også få mål for driften. På seilas over havet er det viktig med godt bestikk vi anvender bestikkposisjon i våre beregninger av kurs, drift, observert posisjon osv. Knut W. Hansson Side 19 av 119

21 Avkortning Mellom meridianene 20 o Ø og 20 o V er det 40 o tilsvarende 40x60=240 (bueminutter). Det er 240 langs alle breddegrader oppover mot nord vinkelen mellom breddegradene endres ikke. Langs enhver storsirkel tilsvarer ett bueminutt én nautisk mil. Ekvator er en storsirkel 18 og derfor er avstanden mellom 20 o Ø og 20 o V lik 240 nm langs ekvator. Av figuren ser du at avstanden mellom de to meridianene langs breddegradene blir mindre og mindre jo lengre nord vi kommer. Ved 90 o N er den faktisk 0 nm mellom dem. Dette fenomenet kalles avkortning. Avstanden beregnes etter formelen nm = bueminutter x cos(bredde) Da kan vi beregne avstanden 240 bueminutter for noen forskjellige breddegrader: Breddegrad Formel Lengde 0 o 240 x cos(0 o ) 240 nm 30 o 240 x cos(30 o ) 207,8 nm 60 o 240 x cos(60 o ) 120 nm 90 o 240 x cos(90 o ) 0 nm Det avkortede tallet viser altså avstanden langs breddegraden når vi styrer 90 o eller 270 o hele veien. Den korteste avstanden fra f.eks. 30 o N 20 o Ø til 30 o N 20 o V er langs en storsirkel 19. Breddegraden er ikke en storsirkel (unntatt ekvator). Det er denne avkortningen som gjør at vi alltid må måle avstander på kartet langs meridianen, dvs. i venstre/høyre kant og ikke langs breddegraden øverst/nederst i kartet. Senere forbindelse med plotteskjema viser jeg en måte å konstruere avkortning på. 18 Jeg minner om at en storsirkel er en sirkel på jordoverflaten som har sitt sentrum i jordens sentrum. Ekvator og alle meridianer er slike. Dessuten er korteste vei mellom to punkter alltid langs en storsirkel som går gjennom de to punktene. 19 Denne storsirkelen går i en liten bue nord for den 30. breddegraden. Knut W. Hansson Side 20 av 119

22 Litt trigonometri Fra plangeometrien er vi vant til at vinklene i en trekant til sammen er 180 o. Vi er også vant til å bruke Pythagoras formel for kvadratet av sidelengdene i rettvinklede trekanter og annet. a 2 + b 2 = c 2 i trekanten nedenfor. Videre defineres trigonometriske funksjoner ut fra rettvinklede trekanter tegnet på et plan. F.eks. er sin(a) = c b og tg(c) = c a osv. i nedenstående trekant (der vinkelen B er Sinusverdien er knyttet til en vinkel trekanten kan se ut som den vil. Det behøver ikke engang være en trekant, bare selve vinkelen er nok. Vinkelen D nedenfor er like stor som vinkelen C og har derfor samme sinusverdi. Disse formlene gjelder kun for figurer tegnet på et plan. Når figuren tegnes på en kule, gjelder andre regler. F.eks. er summen av vinklene mer enn 180 o, Pytagoras gjelder ikke og flateinnholdet beregnes annerledes. Det finnes en cosinussetning, men den ser helt annerledes ut. Når vi navigerer på jorden en tilnærmet kule må vi derfor bruke andre formler. Sinus, cosinus og tangens/cotangens er imidlertid allikevel definert. De er jo bare avhengig av vinkelens størrelse. En tabell for sinusverdier, kan se slik ut (utdrag): I tabellen ovenfor finner vi f.eks. at sin(48 o ) = 0,7431. Hvis vi motsatt får vite at sin(α) = 0,9511 kan vi i tabellen finne at α = sin -1 (0,9511) = 72 o. Sinus og cosinus er alltid mellom -1 og +1. Tangens kan være hva som helst. Knut W. Hansson Side 21 av 119

23 Tabellene går bare ofte til 90 o fordi sinus «gjentar seg» etter 90 o. Plotter vi sinus og cosinus, ser de slik ut (blå kurve den røde er cosinus): 1 0,5 Sinus og cosinus 0-0, sinus cosinus Det viser seg at 1. sin(α) = sin(180 o α) 2. sin( α) = sin (α) Med enkle regneregler 20 kan vi ved hjelp av en tabell for sinus, også finne cosinus, tangens osv. I praksis bruker vi i dag naturligvis kalkulator med taster for sin, cos, tan osv. og sin -1, cos -1, tan -1 osv. Kalkulatoren har ingen tabell innebygget, men beregner sinus ved behov etter en tilnærmingsformel 21. Svaret kan bli svært nøyaktig, men helt riktig kan det ikke bli da sinus kan ha uendelig mange desimaler bak komma. Vi får mye bruk for de trigonometriske funksjonene i navigasjon og en god lommekalkulator er alfa og omega. (En god, billig kalkulator er anbefalt i et vedlegg.) Kurven for tangens ser slik ut legg merke til at tan(90 o ) og tan(270 o ) ikke lar seg beregne: tangens Hvis vi søker sin(150 o ) slår vi i tabellen opp på sin(180 o 150 o ) = sin(30 o ) = 0,5000. Skal vi ha sin(210 o ) regner vi først sin(180 o 210 o ) = sin( 30 o ) = sin(30 o ) = 0,5000. For å finne cosinus bruker vi formelen cos(α) = sin (90 o α) F.eks. finner vi da cos(60 o ) = sin(90 o 60 o ) = sin(30 o ) = 0,5000. sin (α) Tilsvarende for tangens er tg(α) = cos (α) Altså er en tabell for sinus fra 0 o til 90 o alt vi trenger. 21 En slik tilnærmingsformel er «Taylors rekke» 21 som gjelder når vinkelen måles i radianer: sin(α) α α3 + α5 α7 + 3! 5! 7! Det er 2π radianer rundt en sirkel, så 1 o er lik π/180 radian. Knut W. Hansson Side 22 av 119

24 Finne avstand og kurs for storsirkel (ortodrom) Den korteste avstand mellom to punkter på jorden er alltid en storsirkel som går gjennom de to punktene. For å beregne den, må vi bruke litt sfærisk geometri. Når en storsirkel (unntatt meridianer og ekvator) tegnes inn i et Mercator-kart, vil det se ut som om de går i bue. Det skyldes ikke at vi seiler slik, men at kartet er «dradd litt her og der» for å bevare retninger. I tillegg til å finne kurser, bruker vi storsirkelen også når vi finner posisjon med sekstantmålinger. Det kommer jeg tilbake til. I eksemplet nedenfor skal vi fra posisjonen N30 o V20 o (nordvest for Gran Canaria) til N60 o V40 o (nær sydspissen av Grønland). Vi vil seile langs en storsirkel. (Google Maps) Vi er interessert i avstanden i nautiske mil (nm) og rettvisende kurs (vinkelen A mellom lengdegraden/meridianen AC og seilingsplanen CB i figuren nedenfor). Vi måler både vinkler og avstander i grader. Avstand storsirkel Vi anvender først «cosinusregelen» for sfæriske trekanter, dvs. trekanter tegnet på en kuleflate: Knut W. Hansson Side 23 av 119

25 Her er cos(a) = cos(b) x cos(c) + sin(b) x sin(c) x cos(a) a = den søkte distansen b = 90 o 30 o = 60 o c = 90 o 60 o = 30 o A = 40 o 20 o = 20 o Innsatt i cosinusregelen: cos(a) = cos(60) x cos(30) + sin(60) x sin(30) x cos(20) cos(a) = 0, a = cos 1 (0, ) 32,87 o = 32,87 60nm 1972nm Avstanden langs storsirkelen er omtrent 1972 nm. Med en fart på f.eks. 10 knop, vil det ta litt over 8 dager. Alternativ formel Vi ser at vi ovenfor regnet b=90-30 og c= Fra trigonemetrien har vi at sin(a) = cos (90 o a) og cos(a) = sin (90 o a) Vi kan derfor erstatte cos(90-30) med sin(30) osv i formelen, som da blir slik: cos(a) = sin(pk. br. ) x sin(avf. br. ) + cos(pk. br. ) x cos(avf. br. ) x cos(lf) der pk.br.=påkommende bredde (dit vi skal) avf.br=avfarende bredde (der vi kommer fra) lf=lengdeforandring Det gir cos(a) = sin(60) x sin(30) + cos(60) x cos(30) x cos(20) = 0, som gir samme svar (1972 nm). Rettvisende kurs storsirkel For å finne vinkelen C, bruker vi sinusregelen som sier at forholdet mellom sinus til en vinkel og sinus til den motstående siden er konstant. Altså: sin (a) sin (A) sin (b) sin (c) = = sin (B) sin (C) Her bruker vi bare en del av den, nemlig: sin (a) sin (c) sin(c) x sin (A) = sin(c) = sin (A) sin (C) sin (a) der C = vinkelen vi søker a = 32,87 o (nettopp beregnet) A = 40 o -20 o =20 o (forandring i lengde) c = 90 o -60 o =30 o Innsatt i sinusregelen gir det sin(c) = sin(30o ) x sin(20 o ) = 0, sin(32,87 o ) C = sin 1 (0, ) 18 o Vinkelen C er altså 18 o, men det er ikke kursen vi skal styre. Vi skal styre rettvisende kurs rk = 360 o 18 o = 342 o Vi starter seilasen langs storsirkelen med kurs omtrent 342 o. Knut W. Hansson Side 24 av 119

26 Denne kursen må vi forandre hele tiden underveis, egentlig kontinuerlig. I praksis har det lite for seg, og derfor vil vi heller styre 342 o en dags tid, og så utfra bestikket regne neste storsirkel fra det stedet vi da er på. Hvis vi vil planlegge hele turen på forhånd, finnes det både PC-programmer og app-er for mobil som beregner mange waypoints underveis, f.eks. slik at ingen av dem skal ligge lenger unna storsirkelen en et oppgitt antall nm, eller for hver gang kursen må endres med et oppgitt antall grader eller med et oppgitt tidsmellomrom etter antatt fart. Mye kan endre seg underveis på 8 dagers seilas fra Gran Canaria til Grønland (f.eks. vær og strøm) så det har sjelden mye for seg å planlegge så langt fremover. Man bør allikevel alltid se på om storsirkelen bringer oss i farlige områder o.l. Omgjøring fra vinkel til rettvisende kurs (storsirkel) Vinkelen C som vi beregner, må omgjøres til rettvisende kurs. Av tegningen ser vi at vinkelen som vi fant, 18 o, er vest for rett nord (vest for meridianen). Derfor beregnet vi rk som 360 o - 18 o. Generelt gjelder: 1. Hvis vi skal vestover: rk=360 o C 2. Hvis vi skal østover: rk=c GPS og storsirkler Det kan være av interesse å vite at alle GPS-mottakere både regner og styrer etter storsirkelen automatisk. En GPS vil derfor i situasjonen i eksemplet først angi kurs 341,63 o over grunnen (COG) til waypoint og endre den kontinuerlig etter hvert. Den siste kursen før vi ankommer punkt B er vinkelen B som er sin(b) = sin(b) sin (C) sin (c) = sin (60o ) sin (18,37 o ) sin (30 o ) B = sin 1 (0, ) 33 o rk=360 o 33 o =327 o Ytterligere et eksempel: avf.br. 50 o 00,0 N avf.lgd. 060 o 00,0 V pk.br. 19 o 05,8 N pk.lgd. 100 o 18,7 V lf 040 o 18,7 V = 0, cos (d) = sin (avf.br.) x (sin pk.br.) + cos (avf.br.) x cos (pk.br.) x (cos lf) cos d = sin (50 o ) x sin (19 o 05,8 ) + cos (50 o ) x cos (19 o 05,8 ) x cos (40 o 18,7 ) cos (d) = 0, d = cos -1 (cos( d )) = cos -1 (0, ) = 44,46 o = 44 o 27,6 GC distanse = d o x 60 = 2.667,6 nm sin (pk.br.) sin (avf.br.) x cos (d) cos (k) = cos(avf.br.) x sin(d) cos (k) = [sin (19 o 05,8 ) sin (50 o ) x cos (44,46 o )] : [cos (50 o ) x sin (44,46 o )] cos (k) = -0,48775 k = cos -1 (cos (k)) = cos -1 (-0,48775 ) = 119,19 o Rettvisende kurs: 360 o -119,19 o = 240,8 o Hvis vi skal vestover: rk=360 o k o Hvis vi skal østover: rk=k o Knut W. Hansson Side 25 av 119

27 Finne avstand og kurs for loksodrom (rhumb line) Trekker man en linjal fra punkt til punkt på et Mercatorkart, får man en rett linje som man kan styre etter. Den kalles loksodrom eller «rhumb line». Den er slik at den skjærer alle meridianer i samme vinkel. Vinkelen avleses på kartet. Dette er jo enkelt, men man seiler da altså ikke korteste vei, men i virkeligheten langs en spiral, slik det er tegnet i figurene nedenfor (fra Wikipedia): Vi skal beregne rhumb line for den samme seilasen som ovenfor fra N30 o V20 o til N60 o V40 o. VI benytter da andre formler enn for storsirkel. Vi bruker samme eksempel der også avkortede breddegrader 60 o N og 30 o N er tegnet inn: Hvis vi tenker vanlige, rettvinklede trekanter på et plan, så er tg(c) = avk 2 bf Avstanden mellom lengdegradene avtar etterhvert nordover pga. avkortning (forklart ovenfor) så vi kan ikke benytte avk2 direkte. Vi er jo på en kule. Videre reiser vi egentlig i en spiral og breddeforandringen (avk) endrer seg hele tiden. Det er tungt å regne dette riktig, så vi bruker gjerne en tilnærming. Vi kan f.eks. bruke avkortning av middelbredden: mb = = 45 o 2 som avkortes til avk = lf x cos(mb) = 1200 x cos(45 o ) 849 nm Knut W. Hansson Side 26 av 119

28 Denne avkortningen brukes i beregningen av kursen nedenfor. Note: En annen tilnærming er å bruke gjennomsnittet av avstanden mellom meridianene ved avreisestedet og ved ankomststedet, altså gjennomsnittet av avk1 og avk2: lf = 20 o = 20 x 60 nm = 1200 nm avfarende bredde (avf.br.) = 30 o påkommende bredde (pk.br.) = 60 o som gir avk 1 = lf x cos(ab) = 1200 x cos(30 o ) = 1039,23 nm avk 2 = lf x cos(pb) = 1200 x cos(60 o ) = 600,00 nm avk = avk 1+avk 2 2 = 1039,23+600, nm Vi ser at det gir en forskjell, men ingen av disse metodene er uansett korrekt begge er tilnærminger. Forskjellige fagbøker anbefale ulike tilnærminger. Rettvisende kurs loksodrom Breddeforandringen, bf, er bf=60 o 30 o =30 o =30 60 nm=1800 nm Breddeforandringen skjer langs en meridian, altså en storsirkel, og behøver ikke avkortes. Da kan vi regne tangens til vinkelen C: tg(c) = avk = 849 0,4717 bf 1800 C = tg 1 (0,4717) 25 o Dette er vinkelen C og den må omgjøres til en rettvisende kurs: rk 360 o C = 360 o 25 o = 335 o Vi styrer altså omtrent 335 o langs loksodromen. Denne kursen er fast på hele reisen. Note: Hvis benytter avk som angitt i alternativ metode i noten ovenfor (819,65), får vi 24,5 o altså svært liten forskjell i kursen. Det er først og fremst avstanden som blir forskjellig, men når vi deler med bf (1800 ) i formelen blir forskjellen stort sett borte. Omgjøring av vinkel til rettvisende kurs (loksodrom) Vinkelen C som vi beregner, vil alltid bli mindre eller lik 90 o. Vinkelen C må derfor sees relativt til rett nord eller rett sør og omgjøres til rettvisende kurs (rk). Det gjøres generelt slik: Vi skal vestover og nordover («C o vest for nord»): rk = 360 o C o Vi skal vestover og sørover («C o vest for sør»): rk = 180 o + C o Vi skal østover og sørover («C o øst for sør»): rk = 180 o C o Vi skal østover og nordover («C o øst for nord»): rk = C o Knut W. Hansson Side 27 av 119

29 Distanse loksodrom Avstanden a finner vi ved å bruke cosinus for den nå kjente vinkelen C (cos(c) = bf ) som gir a bf = 1800 = 1986 nm cos (C) cos (25 o ) Avstanden med loksodrom er omtrent 1986 nm. Eksempelet ovenfor i utfylt skjema: avf.br. 30 o N avf.lgd. 20 o V pk.br. 60 o N pk.lgd. 40 o V bf o 30 o N lf o 20 o V = bf nm 1800 nm = lf nm 1200 nm mbr = 45 o N avk = lf x cos (mbr) = 1200 nm x cos (45 o ) = 848,53 nm 849 nm tan (k) = avk : bf tan (k) = 849 nm : 1800 nm = 0,47167 k = tan -1 (tan (k)) = tan -1 (0,47167 ) = 25,25 o 25 o rettv. k = rk = 360 o -25 o = 335 o Vi skal vestover og nordover («k o vest for nord»): rk = 360 o k o Vi skal vestover og sørover («k o vest for sør»): rk = 180 o + k o Vi skal østover og sørover («k o øst for sør»): rk = 180 o k o Vi skal østover og nordover («k o øst for nord»): rk = k o dist = bf : cos (k) dist = 1800 nm : cos (335 o ) Distansen = 1986 nm Hvor kommer vi hvis vi seiler fast kurs og fart (loksodrom) Det er ofte aktuelt å beregne hvor vi kommer når vi vet utgangspunktet, kursen og distansen (evt. tid og fart). Vi benytter da formlene ovenfor men «regner baklengs». Vi må omgjøre rk til C slik: Vi seiler vestover og nordover («C o vest for nord»): C o = 360 o rk Vi seiler vestover og sørover («C o vest for sør»): C o = rk 180 o Vi seiler østover og sørover («C o øst for sør»): C o = 180 o rk Vi seiler østover og nordover («C o øst for nord»): C o = rk Vi seiler som ovenfor fra 30 o N 20 o V nordvestover rk=335 o en distanse på 1986 nm. Formlene ovenfor er «snudd» og gir følgende beregninger: 1. Vi seiler V for N, så C = 360 o = 25 o 2. bf = a x cos(c) = 1986 x cos(25 o ) = 1800nm = 30 o 3. pb = ab + bf = o = 60 o 4. mb = (ab + pb)/2 = (30 o + 60 o )/2 = 45 o a Knut W. Hansson Side 28 av 119

30 5. avk = bf x tg(c) = 1800 x tg(25 o ) = 839 nm 6. lf = avk cos(mbr) = 839 cos(45 o ) = 1186 nm = 19 o pl = al + lf = 20 o + 19 o 46 = 39 o o Vi finner påkommende posisjon er pb pl = 60 o N 40 o V, som stemmer med eksemplet over. Det blir en liten differanse på avk som jo også ovenfor ble beregnet tilnærmet. Det gir deretter litt utslag på lf. Slik kan det se ut i et skjema: Avf.br. 30 o N, Avf.lgd. 20 o V Fart kn i timer = distanse 1986 nm Styrer rk = 335 o tilsvarende k = 360 o -335 o = 25 o Fra rk til k: Vi seiler vestover og nordover («C o vest for nord»): C o = 360 o rk Vi seiler vestover og sørover («C o vest for sør»): C o = rk 180 o Vi seiler østover og sørover («C o øst for sør»): C o = 180 o rk Vi seiler østover og nordover («C o øst for nord»): C o = rk 1. bf = dist x cos(k) bf = 1986 nm x cos(25 o ) = 1800 nm = 30 o 00,0 2. pk. br. = avf. br. + bf pk.br. = 30 o N + 30 o 00,0 = 60 o 00,0 3. mbr = (avf. br + pk. br. ) 2 mbr = (30 o N + 60 o N) : 2 = 45 o N 4. avk = bf x tan (k) avk = 1800 nm x tan (25 o ) = 839 nm 5. lf = avk cos(mbr) lf = 839 nm : cos (45 o )= 1186 nm = 19 o 46,5 6. pk. lgd. = avf. lgd. + lf pk. lgd. = 20 o + 19 o 46,5 = 39 o 46,5 Bedre kalkulasjoner Dataprogrammer på PC, mobil og Internett, beregner nøyaktigere enn vi gjør her. Svarene våre er bare tilnærminger programmene regner nøyaktigere med integraler. Det er for vanskelig manuelt. For å unngå integraler, men allikevel regne nøyaktig, ble det laget egne tabeller som sjøfolk brukte kalt haversine. De gjorde manuelle beregninger enklere. I dag er det lite interessant med slike. Vi bruker jo heller en kalkulator eller et program. På Internett: På mobil: Nautical Calculator (som beregner både loksodrom (rhumb line) og storsirkel. Knut W. Hansson Side 29 av 119

31 Sammenlikning loksodrom vs storsirkel Storsirkel (ortodrom) Loksodrom (rhumb Differanse line) Avstand 1972 nm 1986 nm +14 nm Rettv. kurs 342 o startkurs, 327 o sluttkurs (gjennomsnitt 335 o, smlgn loksodrom) 335 o -7 o Hele seilasen tar 8 døgn og 5 timer med storsirkelen ved 10 knop. Loksodrom tar bare ca 1½ time ekstra. Man skal seile ganske langt over Atlanterhavet eller Stillehavet før forskjellen på loksodrom og storsirkel blir særlig merkbar. Forskjellen varierer også med kurs og med breddegrad se sitatet nedenfor. Når man trekker en rett linje på et kart med Mercator-projeksjon, er det loksodromen man tegner inn. Storsirkelen vil fremstå som en del av en sinusfunksjon (unntatt ved seiling langs meridianer og ekvator). Det finnes kart i gnomonisk projeksjon for de store havstrekningen. Der vil alle storsirkler vises som rette linjer. Den gnomoniske kartprojeksjonen er en av de eldste i verden, og ble utviklet av Thales i det sjette århundret f.kr. På gnomoniske kart (her fra Bowditch) kan vi trekke en rett linje mellom avfarende og påkommende plass og den vil vise korteste vei (storsirkelen mellom punktene). Det er imidlertid vanskelig å avlese kursen som skal følges, da nord-retningen er lokal for det enkelte punkt på kartet. Man pleier derfor å lese av passende veipunkter i det gnomoniske kartet, overføre dem manuelt til et Mercator-kart og ta ut kursene fra veipunkt til veipunkt der, slik det er gjort her: Rhumb line (loxodrome) or great circle (orthodrome)? Dette er drøftet ganske grundig i Bowditch, slik: The principal advantage of a rhumb line is that it maintains constant true direction. A ship following the rhumb line between two places does not change its true course. A rhumb line makes the same angle with all meridians it crosses and appears as a straight line on a Mercator chart. For any other case, the difference between the rhumb line and the great circle connecting two points increases (1) as the latitude increases, (2) as the difference of latitude between the two points decreases, and (3) as the difference of longitude increases. On a Mercator chart, a great circle appears as a sine curve extending equal distances each side of the equator. The rhumb line connecting any two points of the great circle on the same side of the equator is a chord of the curve. Along any intersecting Knut W. Hansson Side 30 av 119

32 meridian the great circle crosses at a higher latitude than the rhumb line. If the two points are on opposite sides of the equator, the direction of curvature of the great circle relative to the rhumb line changes at the equator. The rhumb line and great circle may intersect each other, and if the points are equal distances on each side of the equator, the intersection takes place at the equator. Great circle sailing takes advantage of the shorter distance along the great circle between two points, rather than the longer rhumb line. The arc of the great circle between the points is called the great circle track. If it could be followed exactly, the destination would be dead ahead throughout the voyage (assuming course and heading were the same). The rhumb line appears the more direct route on a Mercator chart because of chart distortion. The great circle crosses meridians at higher latitudes, where the distance between them is less. This is why the great circle route is shorter than the rhumb line. The decision as to whether or not to use great circle sailing depends upon the conditions. The savings in distance should be worth the additional effort, and of course the great circle route cannot cross land, nor should it carry the vessel into dangerous waters. Composite sailing (see Article THE SAILINGS and Article 2410) may save time and distance over the rhumb line track without leading the vessel into danger. Since a great circle other than a meridian or the equator is a curved line whose true direction changes continually, the navigator does not attempt to follow it exactly. Instead, he selects a number of waypoints along the great circle, constructs rhumb lines between the waypoints, and steers along these rhumb lines. Knut W. Hansson Side 31 av 119

33 Refraksjon Lys og andre elektromagnetiske bølger avbøyes når de går gjennom atmosfæren. Det skyldes at bølgene går langsommere i luft med stor tetthet enn i «tynn luft» 22. Også nedbør og andre atmosfæriske forhold bidrar til avbøyningen. Dermed er det mulig å se «over horisonten». Effekten er den samme som bølger på sjøen som «runder» rundt en odde eller avbøyes mot land som de går langs. Effekten kalles refraksjon. Observatøren kan ikke se at lyset er avbøyd. For observatøren ser det ut til at lyset kommer fra den retningen det har når det treffer øyet. Figuren her er sterkt overdrevet. Avbøyningen fører også til at himmellegemer synes å stå høyere over horisonten enn de egentlig gjør. Avbøyningen er størst når lyset går nær jordoverflaten, fordi luften er tettest der. I figuren nedenfor vises refraksjonens virkning på høydemålinger. Dette må vi ta hensyn til når vi måler himmellegemers høyde over horisont. Noen ganger reflekteres i tillegg bølgene opp i atmosfæren, og det blir mulig å se svært langt såkalt superrefraksjon. Andre ganger bøyes noe lys langt borte fra mer enn lys fra nærmere 22 Jordens gravitasjon bidrar også rent teoretisk, men effekten er bare 0,6 tusendels buesekund for en lysstråle som tangerer jordoverflaten. Det kan vi altså trygt se bort fra. Knut W. Hansson Side 32 av 119

34 steder. Da kan gjenstander, øyer o.l. se ut til å henge i «løse luften». Det skjer når luften nær bakken er kaldere enn litt høyere opp. Det må være minst 2 o C temperaturforskjell pr meter oppover for at fenomenet skal oppstå og helst 5-6 o C pr meter for at det skal bli tydelig. Det skjer mest i nordlige farvann og gjerne om morgenen. Det kalles hildring og Erik Bye har laget en sang om dette kalt «Hildringstimen» der han forteller om hildring sett fra styrehuset sitt. Refraksjonen er størst for lys med korte bølger, fiolett, og minst for lys med lengre bølger, rødt. Radio- og radarbølger er kortere enn synlig lys og avbøyes klart mer. Knut W. Hansson Side 33 av 119

35 Avstand til horisont på havet Det er ofte interessant å vite hvor langt borte horisonten er. Bl.a. kan det brukes til å forutsi når et fyr med kjent høyde bør dukke opp. På figuren står en person ved posisjon A på jordoverflaten og ser mot horisonten punkt B. Observatørens øyenhøyde er h. Avstanden fra jordens sentrum S til både A og B er jordens radius her kalt R som kan settes til omtrent km 23. Avstanden fra sentrum til observatørens øyenhøyde er da R+h. Vi kan nå sette opp følgende formel: cos(α) = R α = R+h cos 1 ( R ) R+h Vinkelen α er det samme som avstanden langs overflaten fra A til B. Hvis vi regner vinkelen i bueminutter tilsvarer det nautiske mil. I praksis er det vanskelig å regne cosinus til vinkler som er svært små. Kalkulatorene bruker tilnærmingsmetoder som ikke gir nøyaktig resultat og derfor får man forskjellig resultat avhengig av kalkulatoren man bruker. Med min kalkulator finner jeg f.eks. at h=1 gir avstand 1,926 nm til horisont og h=4 gir 3,8522 nm. Rent teoretisk vil h=0 (øye i havflaten) gi avstanden 0. I denne formelen er det ikke tatt hensyn til at lyset avbøyes langs jordoverflaten. Da vil synsvidden bli 5-6% lengre enn den teoretiske verdien. Enklere tilnærmingsformel Vi kan isteden anvende Pythagoras formel. Vi får da 2 a 1,95 x h Da måler vi avstanden fra A til B direkte som en direkte, rett linje altså uten å følge jordens krumning. Det er jo OK avhengig av hva vi mener med «avstand». På sjøen vil vi gjerne ha avstanden langs sjøen, slik vi ser det på et kart. Hvis man tar hensyn til refraksjonen, basert på praktiske erfaringer, blir formelen 2 a 2, 07 x h der a er avstanden til horisont i nautiske mil og h er observatørens høyde over havet i meter. 2 Avstanden til radio- og radarhorisonten er større, d 2,22 x h. 23 Jordens radius er ikke et fast tall, men varierer fordi jorden er noe flattrykt pga rotasjonen. Det oppgitt tallet er et slags gjennomsnitt. Knut W. Hansson Side 34 av 119

36 Fyrenes synsvidde Lysvidden angir hvor langt et fyr kan sees. Det regnes på to måter: 1. Nominelt: Hvor langt fyret kan sees i god sikt uten å bli for svakt 2. Geografisk: Hvor langt bort fyret kan sees uten å komme under horisonten for en observatør som er 5 m over havflaten Den korteste av de to avstanden brukes i kartene. Det er altså et mål for hvor langt lyset maksimalt rekker. Hvis vi ser mot et fyr (eller annet) som stikker opp bak horisonten og antar at lysvidden er stor nok, vil vi kunne se fyret. For å finne hvor langt det er fra fyret må vi regne ut (a) hvor langt det er fra fyret til horisont og (b) hvor langt det er fra observatøren til horisont. Summen av (a) og (b) er fyrets synsvidde 24. Den varierer naturligvis både med fyrets høyde og observatørhøyden. Her fra et sjøkart fra Kartverket. Fyrets høyde er ofte angitt i sjøkartet som f.eks. Færder (som blinker hvitt 3 ganger hvert 30. sekund) og er 47m høyt over middelvannstand og har beregnet lysvidde 19 nm. Her er observatøren ved A med øyehøyde h1 og ser mot horisonten B. Ved C er det et fyr (eller noe annet) som har høyde h2. Lyset fra fyret rekker til B og videre til observatøren ved A Vi kan ikke regne a 2,07 h1 + h2. Knut W. Hansson Side 35 av 119

37 Formelen for synsvidden blir da s = 2, 07 x ( h1 + h2) der s er synsvidden i nautiske mil og h1 og h2 er lysets og observatørens høyde over havet. Hvis f.eks. observatøren er 3 meter over vannet og fyret er 47 meter høyt, får vi a 2,07 x ( ) = 2,07x (1,73 + 6,86) = 17,8 nm Regner vi slik kartverket gjør med 5 m observatørhøyde, får vi 18,8 det stemmer jo bra med Færder som har synsvidde 19M angitt i kartet. Tips: Det kan være greit å regne ut én gang for alle hvor mye man må korrigere kartets synsvidde utfra egen observatørhøyde. Hvis vår høyde om bord er 3 m, må vi trekke fra 2,07 x 5 2,07 x 3 1 nm. Færder er angitt med synsvidde 19M i kartet, da regner vi 18M osv. Sammenlikning av formlene Vi kan altså regne synsvidde på flere, forskjellige måter. I tabellen nedenfor er formlene sammenliknet. Tallene er avrundet til nærmeste 10-dels nm = nærmeste kabellengde. Øyehøyde eller observert gjenstands høyde Avstand til horisont α = a cos 1 ( R )+5% 2,07 R+h 2 h 1 m 2,1 nm 2,1 nm 2 m 2,9 nm 2,9 nm 3 m 3,5 nm 3,6 nm 4 m 4,0nm 4,1 nm 5 m 4,5 nm 4,6 nm 6 m 5,0 nm 5,1 nm 7 m 5,4 nm 5,5 nm 8 m 5,7 nm 5,9 nm 9 m 6,1 nm 6,2 nm 10 m 6,4 nm 6,5 nm 15 m 7,8 nm 8,0 nm 20 m 9,0 nm 9,3 nm 25 m 10,1 nm 10,4 nm 30 m 11,1 nm 11,3 nm 47 m 13,9 nm 14,2 nm Som det fremgår, gir de to formlene ganske likt resultat men tilnærmingen overdriver litt. Knut W. Hansson Side 36 av 119

38 Litt historie om navigasjon på havet Vikingenes navigasjon Navigasjon i tidligere tider var i stor grad basert på at man så kysten. Man kunne krysse korte havstrekninger etter kompass, men større havstrekninger ble helst unngått. Ett unntak var vikingene som tidlig seilte rutinemessig til Shetland, Færøyene, Island og Grønland 25. En kort periode også videre til Amerika. Vikingene hadde med «kjentmann». Han brukte flere knep. For det første visste han omtrent hvor lang tid seilasen ville ta («dagsreiser»). For det andre kjente vikingene til kompasset et enkelt instrument med en magnetisk sten (en «leidarstein») på en trebit i vann. Videre kjente kjentmannen høyden på Nordstjernen («Leidarstjernen») på bestemmelsesstedet og kunne dermed vite om de var for langt syd eller nord. Man dro langs norskekysten til man var på riktig bredde, og seilte så rett vestover mot målet. Med «solstein» kunne man finne solens posisjon på himmelen også når det var overskyet. Med «solbrettet» kunne de måle solhøyden midt på dagen. Pinnen i midten kaster skygge. Lengden av skyggen angir solhøyden. Den vannrette pinne angir kursen som skal styres. Solbrett. Solen beveger seg lite nordover/sydover rundt midtsommer. Mellom 27 mai og 15. juli er solen innenfor 2 o fra lengst nord. Det er lite merkbart uten nøyaktige målemetoder. Når skipet nærmet seg målet, dukket det andre tegn opp. F.eks. er havsulene langt til havs hele dagen, men flyr hjem om kvelden. Tang som er fersk, er annerledes enn tang som har ligget lenge i vannet. Skyer danner formasjon over land osv. Nær land ville ruskevær virvle opp bunnslam det kan også skje i grunne områder i Nordsjøen. Vikingskipene hadde værhane eller tøy («vaker») i mastetoppen og rormannen holdt nøye øyde med vindretningen. I Store Norske Leksikon finner man denne beskrivelsen: For å finne retningen over havet ble det tatt utgangspunkt i forskjellige himmellegemer; på våre breddegrader særlig Solen og Polarstjernen (Nordstjernen). Peileinstrument til bruk i forbindelse med himmellegemene kan spores tilbake til ca. år Bruddstykker av en slik peileskive ble funnet på Grønland Peileskiven hadde hull i midten, og gjennom hullet et håndtak som bar skiven horisontalt slik at den kunne dreies fritt rundt. I skivens ytterkant var avmerket 32 hakk som kaltes ættir, dvs. himmelretninger. Skriftet Oddi-tala fra 1000-tallet omfatter en tabell over solhøyden i meridianen i løpet av året og en tabell som gir retningene til soloppgang og solefall. Måleenheten som ble brukt for å angi økningen av solhøyden fra uke til 25 Du kan lese mer om vikingenes navigasjon på Knut W. Hansson Side 37 av 119

39 uke fra vintersolverv til sommersolverv, ble betegnet som halve hjul (½ soldiameter). Tabellene viser seg å være meget nær opp til det riktige, bare et par graders feil. I overskyet vær anvendte vikingene en solarstein, et stykke kalkspat. Når denne ble holdt loddrett i været, ble Solens polariserte lys oppfanget slik at retningen til Solen kunne bestemmes. En litt overraskende og spesiell metode er bruken av lopper. Når en lopp ble satt på toften, krøp den alltid nordover (mente altså vikingene!). Noe som ikke blir nevnt, men som jeg holder sannsynlig, er at vikingene viste hvilke stjerner og stjernebilder de skulle ha rett over hodet underveis. Både Karlsvognen, Cassiopeia, Dragen og flere andre ligger over ca 60 o N. Disse vil komme opp rett i øst, gå over hodet, og ned rett i vest. Det vil variere hvilke som er oppe om natten, men jeg vil tro at vikingene kjente dem alle. (Om sommeren er det gjerne Dragen som er rett opp ved midnatt.) Her er en seilingsbeskrivelse for reisen til Grønland, hentet fra nettstedet nevnt i fotnote ovenfor: Fra Vestlandet skulle man seile mot vest, men holde seg så langt nord for Shetland at disse øyene bare var synlige i klart vær. Man skulle holde seg så langt sør for Færøyene at de steile og høye bergene var halvt oppe over horisonten. Videre skulle man holde seg så langt sør for Island at man ikke så land, men bare de kystbundne sjøfuglene. Når de nådde Grønlands østkyst, skulle de se etter spesielle landemerker og følge strømmen vestover rundt Kapp Farvel til bostedene på sørvestspissen. Knut W. Hansson Side 38 av 119

40 Ellers holdt også vikingene seg mye langs kysten, slik dette kartet fra Wikispaces med årstall viser: Middelalderen Vikingenes instrumenter er beskrevet i forrige avsnitt. I middelalderen kom mer avanserte instrumenter i bruk. Til å måle høyde over horisont av himmellegemer, brukte man først enkle redskaper. En av dem var «Jakobsstaven» som ble introdusert på 1400-tallet, selv om det tok litt tid før den kom i bruk på havet (på 1500-tallet). Observatøren plasserer enden av den lange staven på kinnet (A) og sikter mot horisonten og himmellegemet over tverrstaven (B og C). Ved å skyve tverrstaven ut og inn til det passet, kunne vinkelen leses av på en skala på den lange staven. Noen forbedringer hadde messingbeslag med hull ved B og C. Observasjon av solen er slitsom, fordi man må sikte direkte på den. Senere (1600-tallet den på bildet er fra 1700-tallet) ble staven erstattet av kvadranten også kalt «bakstav» fordi observatøren sto med ryggen til himmellegemet. Dermed unngikk man å Knut W. Hansson Side 39 av 119

41 se direkte på solen. Isteden kastet solen en skygge på staven mens man så på horisonten. Man stilte inn så skyggen kom over ett med horisonten. Man kunne måle opp til 45 o. Senere kom oktanten der man anvendte speil. Den måler opp til 45 o (en åttendedel av en sirkel, derav navnet) men det kan dobles til 90 o. På slutten av 1700-tallet hadde den nærmest helt erstattet kvadranten. En stor fordel var at solen og horisonten beveget seg likt for observatøren. Da ble det mye enklere å observere på et skip i bevegelse. Videre kunne man sette filter for solen, som kunne fjernes hvis man ville observere svake stjerner. I dag: Måle vinkler med sekstant I dag brukes sekstanter, der man måler opp til 60 o men det kan dobles til 120 o. Den kom i bruk fordi man noen ganger ønsket å måle vinkelen mellom månen og solen. Den kan være mer enn 90 o så da holdt det ikke med oktant. Som det fremgår av bildet er sekstanten svært lik oktanten i konstruksjon, men det er kommet til en kikkert. Sekstanter er relativt dyre. De koster fort over seks tusen kroner. Billigere varianter fra Davis er laget i kunststoff og koster et par tusen. En enkel variant, som kun egner seg til trening, er Davis Mk 3 (bildet under) til godt under tusen kroner. Davis Mk 3 Knut W. Hansson Side 40 av 119

42 Oktanter finnes nå bare som antikviteter, men det tilbys stadig eldre sekstanter å få kjøpt, f.eks. på finn.no. De kan være litt rimeligere enn nye, men man vet jo lite om kvaliteten. Feil i sekstanten Sekstanten er et følsomt instrument. Den oppbevares i spesiallaget kasse, men allikevel kan man fort få speil o.l. ut av stilling. Den må derfor kontrolleres jevnlig. Det er fire typer av feil som vi selv kan justere for: 1. Perpendikulærfeil Denne oppstår når speilet ikke står loddrett på rammen. 2. Sidefeil Når horisontspeilet/-glasset ikke står loddrett på instrumentplanet. 3. Kollimasjonsfeil (sikteaksefeil) Når kikkerten ikke er parallell med instrumentplanet. 4. Indeksfeil Når sekstanten ikke viser null når de to speilene er parallelle. De to speilene står da ikke parallelt når sekstanten viser null grader. Indeksfeilen finner man ved å stille sekstanten på 0 o. Når vi da ser gjennom kikkerten, skal vi se de to bildene av horisonten oppå (eller rett ved siden av) hverandre. Hvis ikke, finstiller vi så vi oppnår det. Da kan vi lese av indeksfeilen. Den korrigerer vi vanligvis ikke med innstilling, men vi merker oss den og tar hensyn til den i beregningene. Hvordan man justerer vekk de andre feilene kommer jeg ikke inn på her. Det vil fremgå av sekstantens bruksanvisning. Det kan være ytterligere feil i sekstanten som vi ikke kan justere bort f.eks. fordi det er feil på gradangivelsene på buen. På bildet nedenfor ser du oppslag på innsiden av lokket til en sekstantkasse med én del forstørret. Knut W. Hansson Side 41 av 119

43 Det fremgår der at man må legge til 0,2 ved målinger på 75 o og oppover. Det kommer i tillegg til indeksfeilen. En nøye innstilt sekstant, brukt av en erfaren observatør, gir vinkler som avviker mindre enn 0,1 fra det riktige. Feil bruk Feil kan også oppstå ved bruken. F.eks. er det svært viktig at sekstanten holdes loddrett ellers vil man måle for stor vinkel. Man er selvsagt også avhengig av å måle vinkelen nøyaktig. Det kan være enkelt på et stødig underlag (land, stort skip på flat sjø) men vanskeligere på en liten lystbåt som beveger seg i sjøen. Hvor stor slike feil blir avhenger av observatørens trening og andre forhold. Det er ikke mulig å tallfeste. Isteden tar man gjerne flere målinger og regner gjennomsnittsverdier. Under visse lysforhold kan man få en «falsk horisont». Særlig nevnes problemet i forbindelse med observasjon av månen om nattet lysstripen på sjøen forstyrrer øynene våre. I noen sammenhenger er det ingen horisont å se, f.eks. på land. Da bruker man en kunstig horisont i stedet. Det innebærer å måle vinkelen mellom solens speilbilde i vann og solen selv. Da får man det dobbelte av vinkelen. Det er uaktuelt for oss på havet. Klokkeslettet er også viktig for mange beregninger. Vi må bruke kronometer og lese av akkurat da målingen blir tatt. Kronometre er i prinsippet klokker som går svært nøyaktig. De fleste klokker som sertifiseres som «kronometer» er nå produsert i Sveits og flertallet er armbåndsur. De fleste moderne, elektriske armbåndsur går svært nøyaktig og kan godt være tilstrekkelige for formålet. De bør ikke stilles men jevnlig sjekkes mot GPS-en eller tidssignaler og en korreksjon loggføres. Avviket man så hensyn til ved alle beregninger. En gammel regel for kronometeret om bord, var at det skulle behandles «som en ung kvinne». Hva det innebærer kan være litt uklart: én spøkefugl foreslo at det skulle bety «innelåst i kapteinens lugar». Det er i alle fall uaktuelt å fjerne klokken fra den beskyttende kassen. Klokken ble gjerne trukket opp på fast tid hver dag. Sekstantens virkemåte Sekstanten har en kikkert som vi ser igjennom. Vi sikter mot horisonten gjennom glasset C. Samtidig vil glasset reflektere lys som kommer fra indeksspeilet (B) på samme måte som når vi kan se oss selv i et vindu og samtidig det som er bak vinduet. Når vi når vrir på indeksspeilet B, vil et himmellegeme ved A tilsynelatende vippe opp og ned i forhold til horisonten som vi ser gjennom C. Indeksspeilet B er festet til en arm slik at vi kan vippe speilet frem og tilbake. Armen har en skala som vi kan lese av og som viser vinkelen ADC, dvs. himmellegemets høyde over horisont. Vi stiller indeksspeilet (B) slik at himmellegemet ser ut til å sammenfalle Knut W. Hansson Side 42 av 119

44 eller ligge an mot horisonten som vi ser på gjennom glasset C. Det er mulig å fininnstille vinkelen av indeksspeilet med en skrue. På bildet under ser man detaljer fra en sekstant som viser vinkelen 29 o 42,5. Fremgangsmåte i grove trekk Still inn slik at solen står nær horisonten. Når man vipper sekstanten litt forsiktig fra side til side, vil solen tilsynelatende gå i en bue ned mot horisont. Sekstanten står loddrett når solen står nederst i buen (nærmest horisont). Deretter stilles inn så solen underside akkurat berører horisonten. Dette er en treningssak. Nybegynnere stiller ofte solen for lavt. Erfarne observatører foretrekker ofte å stille solen for lavt med vilje og deretter «skyve den opp» igjen til den står med underkant i horisont. Da tas tiden og vinkelen leses av. Denne prosessen kalles populært å «dra solen ned til horisont» og det resulterer i et «solskudd». Tilsvarende gjøres med månen, men da kan det være nødvendig å bruke månens overside (fordi undersiden ikke er belyst). Om natten kan det være vanskelig å finne horisonten, fordi månen belyser sjøen og skaper en «falsk horisont». Stjerner har ingen skive og man må plasserer lyspunkt midt på horisonten. Det samme gjelder planetene skiven de fremviser er så liten at det blir meningsløst å snakke om over- og underkant 26. Gjennomsnitt av flere observasjoner For noen beregninger er det avgjørende å måle solhøyden når solen står rett i sør/nord. Det er da nødvendig å ta flere solhøyder etter et bestemt system. Man utnytter det faktum at solen står høyest når den passerer meridianen og den er da i sør/nord. Her er én slik metode: 26 Semi-diameter for den store Jupiter er under 0,4 selv på sitt største (nærmest jorden). Knut W. Hansson Side 43 av 119

45 1. Beregn antatt meridianpassering. Husk avviket på kronometertiden. 2. Begynn i god tid og ta skudd etter hvert som solen stiger. Noter alle resultatene. 3. Når solen begynner å synke, setter du sekstanten til den siste høyden du fikk før toppen. Noter tiden når solen kommer ned dit. 4. Gjør det samme for to andre høyder. Du har da tre par målinger som ga samme høyde, hver med sitt tidspunkt. Finn midtpunktet mellom de to og ta deretter gjennomsnittet av de tre midtpunktene 27. Dette er da tiden for meridianpassasjen. Høyden nærmest dette tidspunktet brukes videre som «avlest høyde». Eksempel på tider (korrigert med kjent kronometeravvik) og målte høyder: Tid Snitt Målt høyde 14:50:11 og 15:10:01 15:00: ,0' 14:54:46 og 15:05:43 15:00:14, ,3' 14:58:53 og 15:01:50 15:00:21, ,5' Snitt 15:00:14 15:00: ,5' Vi finner gjennomsnittstiden 15:00:14 som vi anvender som tidspunktet for meridianpassasje. Med tabeller og litt regning kan vi da finne vår meridian = vår posisjon som lengdegrad øst/vest. Målt høyde nærmest mulig dette tidspunktet var 27 o 42,5 kl. 15:00:00 som vi anvender som målt solhøyde. Denne må da korrigeres for kjente feil og ved hjelp av tabeller og litt regning finner vi vår breddegrad nord/syd. Alternativt kan man plotte høyder og tid i et diagram og dermed se når den når toppen og hvor høy den er da. Resultatet blir svært likt: En erfaren skipper fortalte meg at han simpelthen pleide å holde solen nede på horisont når den steg ved å skru på sekstanten. Når solen stoppet å stige, noterte han tiden. Med det samme den da sank under horisont, noterte han tiden igjen. Midt mellom disse to tidene regnet han som medianpassasje og høyden kunne avleses på sekstanten (som ikke var rørt siden solen stoppet å stige). 27 Vi kan også bare summere alle de seks tidene og dele med seks. Knut W. Hansson Side 44 av 119

46 Andre ganger tar man ikke solhøyden i sør, men et annet sted. Solen vil da stige under hele seansen. For å redusere målingsfeil, tar man allikevel flere høyder, f.eks. Måling nr Tid Målt solhøyde 1 10:54:31 14 o 31,0 2 10:55:56 14 o 32,4 3 10:56:37 14 o 36,9 4 10:57:34 14 o 33,5 5 10:58:12 14 o 38,4 Snitt 10:56:34 14 o 34,4 Beregningen av snitt er enklere. Legg merke til at måling 4 ser ut til å være feil, men den er tatt med allikevel. Hvis man er sikker på at er helt feil, kan man regne snittet uten den. Da får man kl. 10:56:19 og høyde 14 o 34,7 altså litt større høyde litt tidligere. Det advares generelt mot å basere posisjonsbestemmelser på bare én måling. Knut W. Hansson Side 45 av 119

47 Observere solen Når vi har avlest en solhøyde som forklart ovenfor, må vi korrigere for en rekke feil. 1. Dip For det første skal solhøyden måles fra sann horisont. Det er den flaten som tangerer jordkloden der vi befinner oss. Det kan vi få til ved å ligge i vannet og se langs vannflaten, men det er jo ikke særlig praktisk. Vi observerer vanligvis solen fra en viss øydehøyde. Da er horisonten lenger ned enn den sanne horisonten, så vi måler for stor vinkel. En egen tabell kalt «Dip» forteller oss hvor mye vi må trekke fra for å korrigere for dette, avhengig av øyehøyden 28. F.eks. trekker vi fra 6,8 når øyehøyden er 15 meter. 2. Soldiameter Det er jo vanskelig å si når midten av solskiven står i horisont. Derfor måler vi heller vinkelen til solen underkant eller (sjeldnere) overkant. Tabellene bruker imidlertid alltid solens sentrum, så det må vi ta hensyn til. Solens tilsynelatende diameter sett fra jorden, er fra til Vi må korrigere med halvparten av dette 29 og korreksjonen er størst om vinteren (i nord) når solen er nærmest. Dette kalles «semi-diameter» og finnes av tabell. F.eks. må vi legge til 16,08 den 15. mars Refraksjon Ovenfor (kapittel om Refraksjon side 32) forklarte jeg hvordan lyset bøyes når det går gjennom atmosfæren. Denne avbøyningen må det tas hensyn til. Refraksjonen finner vi i en tabell. F.eks. er refraksjonen -0,3 for tilsynelatende høyde 70 o. Dette er beregnet ved 1010 mb trykk og 10 o C. Det kan gis en liten korreksjon etter formelen 28 Dip som er i bueminutter angi også avstanden til synlig horisont i nautiske mil. Da er det imidlertid ikke tatt hensyn til refraksjon så det er bedre å bruke den tilnærmingsformelen som ble angitt ovenfor for avstand til horisont (2,07x h for lys og 2,22x h for radio/radar). 29 Man kaller det semi-diameter og ikke radius av historiske grunner. Pga. refraksjon er solen ikke nøyaktig rund (som en sirkel) sett fra jorden, særlig når den står lavt på himmelen. Derfor brukte man forskjellige semidiameter avhengig av solhøyden. Nå regner vi heller solen som rund, bruker radius for alle solhøyder og tar hensyn til refraksjonen i en egen beregning. Navnet semi-diameter er allikevel blitt stående. Knut W. Hansson Side 46 av 119

48 tabellverdi x trykk i mb (absolutt temp) Absolutt temperatur er Celsius-grader F.eks. gir det en korrigert refraksjon på 0,29 0,3 ved 20 o C (=293 o K) og 1020 mb. I dette tilfellet får korreksjonen altså ingen betydning. I noen tabellverk er refraksjonen og semi-diameter samlet i én tabell kalt «SR» (samlede rettelser). Eksempel på korreksjoner: Vi har avlest solhøyden til 71 o 01 den 15. mars Sekstanten har en indeksfeil på -3 men ingen andre, kjente målefeil. Målingen ble utført fra 15m høyde. Slik kan det se ut når vi gjør om denne avleste solhøyden til observert (riktig) høyde: Avlest høyde underkant 71 o 01,0 ±Indeksfeil -00 o 03,0 ±Andre instrumentfeil 00 o 00,0 =Målt høyde underkant =70 o 58,0 Dip. øyehøyde etter tabell ( 15 m) -00 o 06,8 =Tilsynelatende høyde over sann horisont (app. alt.) =70 o 51,2 Refraksjon ved app.alt [ ]korrigert α [X]ukorrigert -00 o 00,3 +Semi-diameter etter tabell +00 o 16,1 =Observert høyde =71 o 07,0 α Korr. refraksjon = (tabellverdi x trykk i mb x 283) (1010 x temp i o K) = Knut W. Hansson Side 47 av 119

49 Observasjon av solen i meridian Ved å observere solhøyden når solen passerer vår meridian, kan vi beregne vår bredde. Det krever litt regning og tabellbruk. Bowditch anbefaler denne metoden brukt bare i nødsfall, da lengden inngår i beregningene og den er vanskelig å fastslå. Man bør derfor ifølge Bowditch ikke regne med at posisjonen blir riktig uten at man har to observasjoner med noen timers mellomrom. Det er beskrevet i neste kapittel. Vi må først finne ut når solen vil passere meridianen vår. Det er det samme som å finne når solens GHA = vår lengdegrad. Beregning av GHA er forklart ovenfor. Vi må bruke metoden som finner tidspunkt når GHA er gitt. Vi anvender bestikket for å finne vår meridian. Det kan synes usikkert bestikket er jo ingen sikker posisjon men det viser seg at feil i lengdegraden gir lite utslag i beregningene. Det skyldes at solen passerer ganske «flatt» (vannrett) over himmelen rundt meridianpassering. GHA oppgis jo alltid vestover opp til 360 o. Derfor må vi korrigere vår lengdegrad til vestlig lengde (tilsvarende GHA) hvis vi er øst for 0-meridianen. Vi er f.eks. 100 o Ø. Da er vi 360 o 100 o = 260 o vest for 0-meridianen. Hvis vi finner at solen passerer vår meridian om to timer, må vi regne med at vi har forflyttet oss i mellomtiden. Forskjellen i tid blir ikke stor, da solen beveger seg 900 hver time, dvs. hele 15 hvert minutt. Sagt på en annen måte, bruker solen (og alle andre himmellegemer) bare 4 sekunder på ett bueminutt. Nesten uansett hvor fort vi beveger oss vestover, blir vi snart tatt igjen av solen i alle fall hvis vi er i båt. Vår lengdeforandring pr time kan beregnes, men Bowditch anbefaler at man heller plotter antatt vei fremover i kartet og leser av lengdeforandringen der. I denne boken regner jeg ikke med dette i det hele tatt. Vi bør uansett begynne observasjonene en tid før vi antar solen vil stå på sitt høyeste. Hvis vi kan finne når solen står på sitt høyeste i sør/nord kan vi finne hvilken meridian den da sto over. Det er da vår lengde. Det tilsvarer lengden for senitpunktet på observasjonstidspunktet, altså GHA. Hvordan det gjøres, er vist tidligere. Vår bredde beregner vi ut fra solhøyden. Anta først at solens senit-punkt er på ekvator, dvs. deklinasjonen er 0 o (det er ekvinoks) og at vi er på samme meridian som solen. Hvis vi var på ekvator, hadde vi da målt solhøyden til 90 o (rett opp). Hvis vi var på Nordpolen, ville vi målt 0 o. Knut W. Hansson Side 48 av 119

50 På figuren er vi ved C, altså 60 o nord for ekvator vinkelen α. Solen står rett over ekvator, dvs. rett over E. Vinkelen β er den samme som α, altså 60 o. Vi måler da solhøyden til 30 o vinkelen γ. Legg merke til at vinklene β+γ=90 o og følgelig er også α+γ=90 o. Med andre ord er α = 90 o γ. Sagt med ord: Vår bredden er 90 o solhøyden. Avstanden fra solens senit-punkt til vår posisjon, kalles senit-distansen og når vi er på samme meridian kalles den MZD (meridian zenith distance). I eksemplet fra figuren, er det MZD som beregnes. Anta nå at solen er f.eks. 10 o nord for ekvator, så deklinasjonen er 10 o N. Da har vi målt avstanden ned til senit-punktet, men siden senitpunktet er 10 o N må vi legge til deklinasjonen for å finne avstanden til ekvator, dvs. vår bredde. I andre situasjoner må vi trekke fra deklinasjonen. Her lønner det seg å tegne figur. På figuren er deklinasjonen 10 o N og senitpunktet er E. Vi måler da solhøyden til 40 o (10 o mer enn i forrige figur). Vi beregner følgelig bredden til 90 o 40 o =50 o. Da finner vi egentlig vinkelen α dekl som er 10 o mindre enn vår bredde. Derfor legger vi til deklinasjonen og får vår bredde 60 o. Knut W. Hansson Side 49 av 119

51 Hvis vi er nord for solen og deklinasjonen er mot nord, må vi legge deklinasjon MZD for å finne vår bredde. Hvis deklinasjonen er syd, må den trekkes fra. Det er lettere å finne bredden enn lengden med denne metoden. Uansett er det noen ganger viktig nettopp å kontrollere bredden, f.eks. fordi vi skal passere N/S om en odde i dårlig sikt, finne et fyr på en bestemt bredde eller kontrollere for nordlig eller sydlig strøm. Det viser seg imidlertid at selv ganske store feil i lengden gir svært små forskjeller i observert bredde. Noen ganger er dette det beste vi kan få til og ute på storhavet er jo noen nautiske mil hit eller dit ikke noe stort problem. En bekjent som har prøvd dette i praksis, sa det slik: På overseilingskartet vil slike unøyaktigheter ikke synes 30 det er faktisk ikke mulig å plotte så nøyaktig! Vi sjekker det mot bestikket det bør være i nærheten! På neste side viser jeg et komplett utfylt skjema for observasjon av solen i meridian. 30 På Imrays overseilingskart for Nord-Atlanteren er målestokken 1: Da er 1 nm = 0,2 mm (hver mm tilsvarer 5 nm). Knut W. Hansson Side 50 av 119

52 1. Planlegging av meridianpassering Nåværende bestikkposisjon bredde: 17 o 01 N lengde: 64 o 04 V Meridianpassering 0-meridianen kl UTC 12:08:48 +V/ Ø Korreksjon pga. skipets nåv. posisjon à 15 o h:m:s +04:16:16 =Meridianpassering skipet i nåværende posisjon UTC =16:25:04 ± Skipets pinsing h:m:s -04:00:00 =Meridianpassering skipet (til planlegging) Skipstid =12:25:04 2. Observasjon Bestikkposisjon dato: 15/3/2016 bredde: 16 o 58 N lengde: 064 o 15 V Kronometertid: 16:25:21 ± avvik: 00:00:11 = tid 16:25:10 UTC Avlest høyde: 71o01,1 Indeksfeil: -00o03 Øyehøyde: 15 m Trykk: mb Temp: o C = o K A Solens GHA Tid UTC GHA Solens GHA for hele timer 16:00: o 48,8 V +Tillegg for min/sek +00:25: o 17,5 V =Solens GHA for kl. =16:25:10 =064 o 06,3 V =Antatt lengde (GHA eller 360 o -GHA) =064 o 06,3 V B Deklinasjon (nærmeste hele minutt) Tid UTC Dekl. Deklinasjon for hel time 16:00:00 01 o 47,2 S ±Endring minutter (d= 1,0) +00:25: o 04,0 N =Deklinasjon for kl. =16:25:10 =01 o 43,2 S C Observert høyde Avlest høyde underkant 71 o 01,0 ±Indeksfeil -00 o 03,0 ±Andre instrumentfeil 00 o 00,0 =Målt høyde underkant =70 o 58,0 Dip. øyehøyde etter tabell ( 15 m) -00 o 06,8 =Tilsynelatende høyde over sann horisont (app. alt.) =70 o 51,2 Refraksjon ved app.alt [ ]korrigert α [X]ukorrigert -00 o 00,3 +Semi-diameter etter tabell +00 o 16,1 =Observert høyde =71 o 07,0 α Korr. refraksjon = (tabellverdi x trykk i mb x 283) (1010 x temp i o K) = D Observert bredde 90 o 90 o 00,0 Observert høyde -71 o 07,0 =MZD =18 o 53,0 N ±Deklinasjon N/S S -01 o 43,2 =Observert bredde =17 o 09,7 N Knut W. Hansson Side 51 av 119

53 Observere en stjerne Ingen forsiktig navigatør vil i lengden stole på observasjoner bare av solen. Hvis solen er i sør, får man jo da bare observasjoner mer eller mindre mot sør, og ingen mot nord. Det gir ingen helt sikre stedsangivelser. Man må følgelig også observere stjerner og planeter. Om natten er horisonten ikke synlig og om dagen er ikke stjernene synlige. Derfor må observasjonene gjøres i grålysningen/skumringen. Vi vil helst observere stjerner med solen i ryggen (vest om morgenen, øst om kvelden). For å finne riktig stjerne bør man vite på forhånd i hvilken retning og høyde stjernen vil være på observasjonstidspunktet. Begge deler sett fra observasjonsstedet (skipet). Da må man i tillegg til en antatt bestikkposisjon vite stjernens senitpunkt. Bredden for stjernens senitpunkt finner vi ved stjernens deklinasjon. Deklinasjonen for en stjerne er oppgitt i «dagtabellen» og gjelder for hele døgnet. Den skal da ikke korrigeres for timer, minutter og sekunder (slik solens deklinasjon korrigeres med en faktor d). Deklinasjonen endrer seg allikevel litt gjennom året (jordaksen virrer litt) så man må slå opp på riktig dag. Lengden for stjernes senitpunkt er gitt ved dens GHA (Aries GHA + stjernens SHA se side13). GHA for Aries og stjernes SHA finner vi i tabeller 31. Med stjernens senitpunkt og egen posisjon som utgangspunkt, kan vi på forhånd beregne både høydevinkelen og retningen til stjernen, så vi er forberedt på selv observasjonen. Vi kan bruke formlene for storsirkler til begge. Alternativt kan både tabeller og programmer angi/beregne stjernens asimut. Asimut er knyttet til et bestemt klokkeslett og angir rettvisende retning til stjernen (0 o er rett nordover, 90 o er rett østover osv.) i forhold til observasjonstidspunktet. Når observasjonen skal gjennomføres, innstiller man den beregnede høyden og ser i omtrent riktig retning. Den stjernen man ser da, drar man ned til horisonten og leser av tid og vinkel. Stjernene sees som bare et punkt. Derfor er det ikke noe valg om man skal legge underkant, midten eller overkant ned til horisont. Man forsøker å sette punktet på horisonten. Den målte høyden må korrigeres, også for stjerner. Det første er naturligvis å korrigere for feil i instrumentet, dvs. indeksfeil og andre, kjente feil på samme måte som ved en solobservasjon. Videre må det korrigeres for dip. Det er egne tabeller for dip for stjerner, men tabellene for Dip er i praksis helt like 32 uansett hvilket himmellegeme som ble observert. Når man således har funnet tilsynelatende høyde (app.alt.) skal det naturligvis ikke rettes for semi-diameter, da stjerne bare er et punkt, men det skal korrigeres for refraksjon. Også her er det egne tabeller men også disse er i praksis like 33. Man finner da observert høyde for stjernen. Deklinasjonen legges til eller trekkes fra den tilsynelatende høyden for å gi observert høyde. 31 Stjernedøgnet er 23 timer, 56 minutter og 4,09 sekunder. Det innebærer at alle stjernene går vestover dvs. 360 GHA øker, med 23:56:o4,9 15o 02,46 pr time. 32 Dip skyldes jo vinkelforskjellen forårsaket av at observatøren sikter fra et punkt over jordoverflaten. Det blir likt uansett hva vi måler høyden på. 33 Lyset fra en stjerne bøyes like meget som lyset fra solen. Knut W. Hansson Side 52 av 119

54 Valg av stjerner for observasjon Hvis vi først har en liste over passende stjerner, f.eks. med programvaren fra Nautical Almanac, bør vi velge en stjerne som ikke står for lavt. Lave stjerner har stor refraksjon og feilmåling får stor relativ betydning. Minst 15 o er foreslått som grense. Vider bør man ikke velge en stjerne med mer enn 60 o deklinasjon, for da blir sirkelen rundt senitpunktet så liten at den ikke kan tilnærmes med en rett linje. Stjernens lysstyrke som måles i magnitude der lavest er best er viktig. Øyet kan ikke se stjerner med lysstyrke over +6, men +2 og mindre er OK. (Venus på sitt sterkest er -4,4 og Sirius er sterkeste stjerne med -1,44.) Arcturus som ble brukt ovenfor har lysstyrke 0,0. Tabellverket AP3270 Vol 2 har beregnet syv lyssterke stjerner: Deneb, Altair, Numki, Antares, Spica, Arcturus og Alkaid (Numki og Alkaid er de minst sterke av disse). Hvis man vil bruke tabellen istedenfor å regne ut høyde og retning selv, er det blant disse man bør velge eller prøve å rekke alle. Et stjernekart kan også være nyttig, særlig hvis det er produsert av et program så det er tatt hensyn til tidspunkt eller enda bedre også bestikkposisjon. Her er et eksempel fra regnearket til Nautical Almanac (ref. i vedlegget om ressurser) for posisjon 50 o N 60 o V kl 09:24UTC den 15. mars 2016: På neste side er et gjennomført eksempel for en tenkt observasjon av Arcturus den 15. mars Knut W. Hansson Side 53 av 119

55 Dato: 15/3/2016 Stjerne: Arcturus Vår posisjon: 50o00,0 N 60o00,0 V Grålysning/skumring Grålysning 0-meridianen fra kl. 05:03 UTC til kl. 05:40 UTC Korreksjon tid for vår lengde: ± +04:00 (h:m:s) Grålysning vår posisjon fra kl. 09:03 UTC til kl. 09:40 UTC Skumring 0-meridianen fra kl. UTC til kl. UTC Korreksjon tid for vår lengde: ± (h:m:s) Skumring vår posisjon fra kl. UTC til kl. UTC Planl. obs. kl.: 09:24 UTC ± avvik: -00:00:10 = kronometer 09:23:49 UTC GHA for kl. 09:24 UTC UTC GHA Aries GHA for hele timer (tabell) 09:00: o 23,9 +Rettet for min/sek (tabell) +00:24: :01,0 Aries GHA for (tabell) =09:24:00 =314 o 24,9 + Stjernens SHA (tabell) +145 o 53,8 Stjernens GHA =460 o 18,7 V Stjernens posisjon lengde Ø/V 100 o 18,7 V Egen lengde Ø/V 060 o 00,0 V Stjernens LHA Ø/V 040 o 18,7 V Deklinasjon (hele dagen) Dato Deklinasjon N/S Stjernens deklinasjon (tabell) 15/3/ o 05,8 Beregn avstanden/vinkelen d o og rettvisende kurs etter formlene for storsirkel. Sett avfarende posisjon til vår antatte posisjon, påkommende bredde til stjernens deklinasjon og lengdeforandringen til stjernens LHA. Benytt evt. eget skjema for storsirkel. Beregn antatt høyde og retning (asimut) 90 o 090 o 00,0 Beregnet avstand, d o 044 o 27,6 Antatt observert høyde =45 o 32,4 Retning rettvisende 240,8 o 241 o App-en Nautical Almanac bekrefter beregningene og gir oss asimut = 240 o 47,9 og høyde 45 o 32,7. App-en lister også Saturn i brukbar høyde nesten rett syd og ellers har vi jo alltid Polaris nesten rett i nord og ca. 50 o opp. Knut W. Hansson Side 54 av 119

56 Observere månen Månen observeres på samme måte som solen. Det er vanskelig å observere månen om nattet, da horisonten er mørk og lysstripen fra månen kan gi en «falsk» horisont. Om dagen, derimot, er ofte månen klart synlig og det samme er horisonten. Månen flytter seg på himmelen og man er avhengig av tabeller for å vite GHA og deklinasjon. Når det er kjent, er beregningen helt like dem for solen, bortsett fra at månen har en annen semidiameter å korrigere for. Dessuten måles ofte månens overside og da må semidiameteren trekkes fra. Alle himmellegemer unntatt månen er så langt vekk at lystrålende er parallelle 34 når de treffer jorden. (En tegning av dette er gitt i kapittelet Observasjon av solen i meridian ovenfor.) Månen, derimot, er så nær at man må ta hensyn til at lysstrålene ikke er parallelle. Man får en parallaksefeil. Parallaksefenomenet er velkjent for dem som har holdt en finger opp foran seg og sett vekselvis med venstre og høyre øye. Bakgrunnen eller fingeren ser ut til å flytte seg. Bildene nedenfor illustrerer dette med et stearinlys foran et maleri. Tabellen angir deklinasjonen for månens sentrum slik den ville vært sett fra jordens sentrum. Der er naturligvis ikke vi, og følgelig må vi korrigere vår målte høyde. Når vi måler høyden til et objekt som er så langt borte at lysstrålene er parallelle, så måler observatøren vinkelen (fylt blå) fra sann horisont opp til den prikkede, blå linjen («Parallell til tabellert retning»). Ved å trekke denne vinkelen fra 90 o finner vi avstanden ZD =ZD (grønn) til objektets senitpunkt. Månen er imidlertid så nær at vi måler en mindre vinkel (oransje) og 34 For solen er evt. paralaksefeil under 1 og får ingen betydning i våre beregninger. For månen kan feilen utgjøre opp mot 1 o og det må vi ta hensyn til. Knut W. Hansson Side 55 av 119

57 det oppstår en differanse (feil) som vil gi for stor ZD hvis vi trekker den fra 90 o. Det er denne feilen som er parallaksefeilen. Den må legges til den målte vinkelen. Parallaksefeilen varierer gjennom året avhengig av hvor langt fra jorden månen er. Videre er feilen størst ved lave høydemålinger og det er ingen parallaksefeil hvis vi står i månens senitpunkt. Parallaksefeilen finner vi i tabellene som horizontal parallax (HP) eller Parallax in Altitude (P in A). Parallaksefeilen korrigerer vi for til slutt. Først korrigerer vi for dip, refraksjon og semidiameter og finner observert høyde. Korreksjonen kan da beregnes med formelen korreksjon = HP x cos(observert høyde) Parallaksefeilen er liten når høyden er stor, fordi vi da ser månen omtrent slik den sees fra jordens sentrum. Motsatt blir parallaksefeilen stor når høyden er liten 35. Vi har f.eks. gjort en observasjon av månen den 15. mars 2016 kl. 08:10:49 UTC. Månen er da 45% belyst iflg tabell og økende (mot fullmåne), så det passer å måle månens underside og legge til semidiameteren. Etter alle korreksjoner finner vi en høyde på 42 o 28,3. Parallaksefeilen (P in A) for observasjoner mellom 41 o og 43 o høyde er 43. Den observerte høyden må da korrigeres med 43 x cos(42 o 28,3 ) 31,7 som skal legges til den observerte høyden 42 o 28,3. På neste side er vist beregningene for en tenkt måneobservasjon. 35 Formelen gir ingen korreksjon når OH er 90 o, da cos(90 o )=0. Motsatt blir korreksjonen stor når OH er 0 o ettersom cos(0)=1. Knut W. Hansson Side 56 av 119

58 1. Observasjon av objekt Månen Bestikkposisjon dato: 15. mars 2016 bredde: 16 o 58N lengde: 64 o 15V Kronometertid: 08:11:47 ± avvik: -00:58 = tid 08:10:49 UTC Månen er avlest i [x]underkant [ ]overkant Avlest høyde: 42 o 15,3 Indeksfeil: -00 o 03 Øyehøyde: 8 m Trykk: 1030 mb Temp: 32 o C = 305 o K A Objektets GHA og deklinasjon Kl 08:10 UTC GHA GHA (etter tabell eller eget skjema) 215 o 49 Deklinasjon (etter tabell) 17 o 49 N B Objektets observerte høyde Avlest høyde 42 o 15,3 ±Indeksfeil -00 o 03 ±Andre instrumentfeil +0 =Målt høyde underkant/overkant =42 o 18,3 Dip. øyehøyde etter tabell ( 8 m) -00 o 05,0 =Tilsynelatende høyde over sann horisont (app. alt.) =42 o 13,3 Refraksjon ved app.alt -1,1 [ ]ukorrigert [x]korr α -00 o 01,0 ±Månens semi-diameter etter tabell +00 o 16,0 =Observert høyde med evt. parallaksefeil (OH) =42 o 28,3 +Parallaksefeil månen=hp/p in A (43 ) x cos(oh) +00 o 31,7 =Observert høyde =43 o 00,0 α Korrigert refraksjon = (tabellverdi x trykk i mb x 283) (1010 x temp i o K) = -1,04 1,0 C Objektets senitdistanse ZD 90 o 090 o 00,0 Observert høyde -43 o 00,0 =ZD =47 o 00,0 Knut W. Hansson Side 57 av 119

59 Observere planeter Planetene er mer lyssterke enn stjernene og kan derfor være synlige når stjernene ikke er det. Det er særlig Venus, Mars, Jupiter og Saturn som brukes og data for dem finnes i «Air Alamanac» 36. I tabellene kan en/flere av dem mangle for en enkelt dag da er de ikke synlige. Man observerer en planet på samme måte som en stjerne, men også planetene flytter seg på himmelen og man må sjekke GHA og deklinasjon i tabeller. Planetene har i praksis ingen semidiameter å korrigere for men refraksjon må det tas hensyn til. I tabellen finner vi f.eks. at planeten Mars den 15. mars 2016 har kl UTC har GHA=52 o 00 og deklinasjon=s19 o 39. Nederst ser vi at GHA øker med 15 o 01,7 pr time og deklinasjonen går sydover (øker) med 0,2 pr time. Et skjema for beregning av observasjon av Mars kan se slik ut: 1. Observasjon av objekt Mars Bestikkposisjon dato: 15. mars 2016 bredde: 16 o 58N lengde: 64 o 15V Kronometertid: 08:15:22 ± avvik: -00:58 = tid 08:14:24 UTC Månen er avlest i [ ]underkant [ ]overkant Avlest høyde: 52 o 34,0 Indeksfeil: -00 o 03 Øyehøyde: 8 m Trykk: mb Temp: o C = o K A Objektets GHA og deklinasjon Kl 08:14:24 UTC GHA GHA (etter tabell eller eget skjema) 55 o 36,4 Deklinasjon (etter tabell) 19 o 39 N B Objektets observerte høyde Avlest høyde 52 o 34,0 ±Indeksfeil -00 o 03,0 ±Andre instrumentfeil +0 =Målt høyde underkant/overkant =52 o 31,0 Dip. øyehøyde etter tabell ( 8 m) -00 o 05,0 =Tilsynelatende høyde over sann horisont (app. alt.) =52 o 26,0 Refraksjon ved app.alt -0,7 [x]ukorrigert [ ]korr α -00 o 00,7 ±Månens semi-diameter etter tabell +0 =Observert høyde med evt. parallaksefeil (OH) =52 o 25,3 +Parallaksefeil månen=hp/p in A ( ) x cos(oh) +0 =Observert høyde =52 o 25,3 α Korrigert refraksjon = (tabellverdi x trykk i mb x 283) (1010 x temp i o K) = C Objektets senitdistanse ZD 90 o 090 o 00,0 Observert høyde -52 o 25,3 =ZD =37 o 34,7 36 Referanse bakerst i vedlegg «Ressurser». Knut W. Hansson Side 58 av 119

60 Posisjonsbestemmelse med to observasjoner Ovenfor fant vi observert bredde ved å benytte solens passering over vår meridian. Siden vi da vet meridianen og bredden, er posisjonen gitt. Det forutsatte at vi enten 1. Klarer å finne når solen rett i syd = på sitt høyeste, eller 2. Vi stoler på lengden i henhold til bestikket. Dette er ikke alltid mulig, enten fordi bestikket er for usikkert, eller fordi det ikke er mulig å observere noe som passerer meridianen. Det kan jo f.eks. være overskyet. Vi må da ty til to observasjoner. Prinsippet er slik: 1. Vi tar utgangspunkt i bestikkposisjonen, selv om den er usikker. 2. Hvis vi vet senitpunktet for himmellegemet, kan vi beregne retning og avstand til senitpunktet fra bestikkposisjonen. Formlene er som for storsirkel mellom to punkter. 3. Vi beregner hva himmellegemets høyde skal være hvis vi er på bestikkposisjonen. 4. Vi tegner inn en rett linje på kartet (eller et eget skjema) fra senitpunktet og gjennom bestikkposisjonen. Det blir retningslinjen fra bestikkposisjon til senitpunktet. 5. Vi sammenlikner beregnet høyde slik den ville vært hvis vi var i bestikkposisjonen, med den høyden vi faktisk observerte. Differansen avsettes fra bestikkposisjonen langs retningslinjen. Hvis vi har observert f.eks. 13 mer enn beregnet, må vi være 13 nm nærmere senitpunktet enn vi trodde. Hvis vi observerte 7 mindre enn beregnet, må vi være 7 nm lenger vekk. 6. Vi trekker nå en stedlinje loddrett på retningslinjen i riktig avstand fra senitpunktet. Denne linjen kalles «Sumner-linjen» 37. Vi har da fått en stedlinje for alle observatører som er så langt fra senitpunktet som vi har observert. Noen ganger kan en stedlinje kombineres med andre observasjoner, f.eks. dybde, avstand eller retning til et objekt e.l. og da får vi en observert posisjon. Uansett vil vi med to slike stedlinjer finne observert posisjon som ett av skjæringspunktet mellom stedlinjene. (Vi får to skjæringspunkter mellom to sirkler, men ett av dem ligger så nær bestikkposisjonen at det er lett å se at det er det som gjelder.) 37 En nettside (http://www.madinstro.net/sundry/navcel.html) forklarer navnet slik: Like all good inventions, Sumner lines were discovered by chance by a fellow called, you guessed right, "Sumner", Thomas H. Sumner to be precise (maybe related to the late professor Julius Sumner-Miller). Sumner was a ship captain on his way from Charleston (South Carolina) to Greenock (Scotland). And he was worried because he had been sailing for several days in bad weather, the wind was blowing from the South East making Ireland a lee shore, and he had not been able to see the sun or any stars, the coast was getting near, and he did not know exactly where he was. Suddenly there was a break in the clouds, so he grabbed his sextant and snatched a quick sun sight, before the clouds covered the sky again. Now he was wondering what to do with this information so he played a "what if" game. He did not use the bearing formula above, because nobody had worked it out in quite that form yet, but he knew the altitude formula and he said "what if my latitude is... " and calculated the corresponding longitude and he plotted it on the chart, then he tried it again with another latitude, got another point on the chart. After doing that three or four times he suddenly realised that all the points he was marking on the chart seemed to fall on a straight line. Without thinking about it any more, he saw that the line needed pushing north by a few odd miles to lead straight over Small's light, so he turned north for those few miles, then turned to starboard until he was sailing parallel to that very first "Sumner line". His crew were a bit perplexed at that, wondering if the captain had gone mad, but when suddenly they arrived right at the very light, they thought he was a flaming genius. And so did the rest of the sailing community. Knut W. Hansson Side 59 av 119

61 Du tenker kanskje at stedlinjen skal være en sirkel rundt senitpunktet. Det er riktig tenkt, men sirkelen har så stor radius at når vi ser på bare en liten del av den, fremstår den som svært nær rettlinjet. Feilen er ubetydelig og i tillegg være svært vanskelig å tegne sirkelen på et Mercator-kart. Da forutsetter man at det observerte himmellegemet ikke står over 60 o opp, for da blir sirkelens radius så liten at den ikke kan tilnærmes en rett linje. Figurene nedenfor illustreres den rettlinjede tilnærming er god. På figuren til venstre er det tegnet en sirkel med radius 2700 nm (45 o ). Det er tegnet en rett, blå linje inntil sirkelen. Her er det lett å se at den rette linjen er svært feil i forhold til sirkelen. På figuren til høyre er den samme sirkelen og linjen forstørret slik at hver strek vannrett representer én nm. Da er det svært vanskelig å se forskjell på sirkelen (rød) og den rette linjen (blå). Hvis skipet har beveget seg mellom de to observasjonene, oppstår det som populært kalles en «SUN-RUN-SUN»-situasjon. Den første stedlinjen flyttes da tilsvarende den retning og avstand skipet har beveget seg og det er den flyttede linjen som brukes. I sin enkleste form gjøres det slik: Ved BP1 finnes en stedlinje SL1. Ved BP2 senere finnes en ny stedlinje SL2 SL1 parallellforskyves til SL1 slik at den går gjennom BP2. Skjæringen mellom SL2 og den parallellforskøvede SL1 angir vår posisjon. I praksis er det vanskelig å gjøre dette på et overseilingskart. Derfor bruker man gjerne egne blanketter til tegningen. Knut W. Hansson Side 60 av 119

62 Prinsippene for posisjonsbestemmelse nærmere forklart 1. Avstand fra senit-punkt. Vi står i København 25 m fra Runde Tårn og måler høydevinkelen fra fot til topp med sekstant. Vi finner at høyden er 59 o (tilsvarer tårnhøyde 42 m da tan(59 o ) x 25 = 42). Hvis vi nå går rundt på den andre siden av tårnet, stiller oss 25 m fra tårnet og måler høyden igjen, får vi også 59 o. Alle steder som er 25 m fra tårnet vil vi måle høydevinkelen 59 o. Motsatt vil en som måler høydevinkelen til 59 o måtte stå 25 m fra tårnet. En som får større høydevinkel enn 59 o, må stå nærmere og en som får mindre enn 59 o må stå lenger vekk. Sirkelen rundt tårnet angir hvor vi kan stå hvis vi måler høydevinkelen 59 o. Vi kan kalle det en stedlinje. En slik sirkel får vi uansett hvor høyt tårnet er, men vinkelen og avstanden vil naturligvis endre seg. Hvis tårnet rekker «helt til himmelen», altså når vi måler høydevinkelen for et himmellegeme, gjelder det samme. Da er «foten» av tårnet himmellegemets senit-punkt og vi måler høydevinkelen fra sann horisont. Høydevinkelen avhenger av avstanden til senit- Knut W. Hansson Side 61 av 119

63 punktet. Vi kan tegne inn en stedlinje i form av en sirkel på globusen (kartet) med senitpunktet i midten og radius gitt ut fra høydevinkelen. Vi kan kalle den stedsirkelen. Hvis vi måler høydevinkelen for flere himmellegemer kan vi tegne en stedsirkel for hver. Der de skjærer hverandre må vi være. I figuren er A, B og C senitpunkter. OP Selv om det i praksis holder med to stedlinjer, vil tre stedsirkler gir allikevel bedre sikkerhet og kan i tillegg vise hvor godt vi har målt høydene. 2. To avstander til senitpunktet Vi finner senitpunktet i tabeller (GHA for lengden og deklinasjon for bredden). Vår egen posisjon estimerer vi ut fra bestikkposisjonen BP. Da kan vi regne både retning og avstand fra BP til senit-punktet på samme måte som vi gjør for å finne kurs/avstand langs en storsirkel. Det er beskrevet ovenfor hvordan kurs og avstand beregnes for storsirkler, men her er formlene gjentatt: avstand = cos 1 (sin(avf. br. ) x sin(pk. br. ) + cos(avf. br. ) x cos(pk. br. ) x cos (lf)) kurs = cos 1 ( sin(pk.br.) sin(avf.br.) x cos(d) cos(avf.br.) x sin(d) Stedlinjen vil bli en sirkel med den beregnede avstanden som radius og sentrum i senitpunktet. Den vil gå gjennom vår BP. Da kan vi også beregne hvilken vinkelhøyde vi skulle ha for denne avstanden, på samme måte som når vi beregner bredde etter en meridianpassering: Beregnet høydevinkel = 90 o avstand (i grader). Anta f.eks. at vi har beregnet avstanden etter storsirkelformlene til 30 o. Da vil den beregnede høydevinkelen bli 90 o 30 o = 60 o. Retningen er f.eks. 315 o rettvisende. Vi kan også beregne avstanden ut fra den observerte høydevinkelen. Retningen til senitpunktet går jo langs en storsirkel. Da vi regnet på meridianpassering, kalte vi avstanden for MZD, Meridian Zenit Distance. Her går ikke retningen langs en meridian, så vi snakker om Zenit distance, ZD. Ellers blir det samme beregningen, vi erstatter bare «beregnet høydevinkel» med «observert høydevinkel» i formelen ovenfor. Da får vi: Observert høydevinkel = 90 o avstand (i grader) ) Knut W. Hansson Side 62 av 119

64 Avstand (i grader) = 90 o observert høydevinkel I figuren er dette vist. Anta at vi observerte høydevinkelen 30 o 4. Da vinkelen er 4 større enn den beregnede, er vi 4 nm nærmere senit-punktet enn vi trodde ut fra BP. Note: Det finnes tabeller 38 som for en gitt LHA Aries og egen breddeposisjon direkte angir både høydevinkel og retning for en rekke stjerner som det er vanlig å måle. Da slipper man å beregne storsirklene. Ulempen er da at man istedenfor bestikkposisjonen må ta utgangspunkt i en tenkt posisjon («assumed position») like ved bestikkposisjonen, der bredden er i hele grader (tabellene er bare beregnet for bredde i hele grader). 3. Tegne stedlinje Vi har nå a. Bestikkposisjon b. Retning til himmellegemets senitposisjon c. Beregnet avstand til himmellegemets senitposisjon d. Observert avstand til himmellegemets senitposisjon Da kan vi tegne inn på kartet: 1. Bestikkposisjonen BP1 2. Retningen til himmellegemets senitposisjon som en pil vi trenger bare tegne en liten del av den og kaller den retningslinjen. 3. BP1 antas å være den beregnede avstanden fra senitposisjonen. Vi har funnet at den observerte avstanden er en annen. Forskjellen mellom de to avstandene kalles «intercept». Vi måler ut «intercept» langs retningslinje og merker av dette punktet som kalles «intercept terminal position». I vårt eksempel er det 4 nm nærmere senitpunktet enn BP1. 4. Vertikalt på retningslinjen tegner vi nå en linje gjennom «intercept terminal position» ITP1. Dette er den linjen vi befinner oss på ifølge observasjonen og vi kaller den stedlinjen eller posisjonslinjen. ITP1 er en bedre antakelse om posisjon enn tidligere BP1, så vi anvender nå den i den videre seilasen som vår sannsynlige posisjon, SP1. 38 AP3270 vol2. Knut W. Hansson Side 63 av 119

65 Denne stedlinjen er tangenten til stedsirkelen så nær BP1 som mulig. Hvis vi gjør dette to ganger, og ligger/står helt stille mellom observasjonene, vil vår observerte posisjon være der de to stedlinjene krysser hverandre. 4. Flytte en stedlinje «RUN-SUN-RUN» I praksis vil skipet forflytte seg mellom de to stedlinjene, og vi kan ikke bare se på hvor de krysser hverandre. Den ene må «flyttes». I denne figuren har vi gjort en observasjon fra BP1 som i forrige diagram. Senere har vi gjort en observasjon fra BP2. Vi tror at vi har forflyttet oss 4,1 nm i retning 65 o rettvisende mellom de to. Vi plotter nå først inn BP2 og parallellforskyver stedlinje 1 til BP2 tilsvarende forflytningen. Knut W. Hansson Side 64 av 119

66 I BP2 gjorde vi en ny observasjon. Den plotter vi nå inn på samme måte og får en stedlinje 2 (med grønt i nedenstående figur). Da har vi fått to stedlinjer som krysser hverandre. Det angir observert posisjon på tidspunktet for den siste observasjonen: Det er dette som kalles «SUN-RUN-SUN». Det er ingenting i veien for å gjøre denne øvelsen med flere (tre) stedlinjer. Det anbefales f.eks. av noen når det er mulig å ta observasjon midt på formiddagen, f.eks. kl lokal tid, deretter ved meridianpassasje kl lokal tid og en tredje midt på ettermiddagen kl lokal tid. Man får da gode vinkler mellom stedlinjene. To av dem må parallellforskyves til den tredje bestikkposisjonen. Generelt bør det være minst 30 o til 45 o vinkel 39 mellom observasjonene særlig hvis man bare har to. Over 60 o bedres nøyaktigheten lite, men 90 o er naturligvis det ideelle. I figuren for 39 Forfattere er uenige om minimum. Noen foreskriver dessuten tre observasjoner med ideelt 120 o vinkel mellom dem. Knut W. Hansson Side 65 av 119

67 sun-run-sun ovenfor, er det akkurat 45 o. Man ser at hvis det blir mye mindre enn dette, vil observert posisjon bli usikker og avhengig av svært nøyaktig tegning. Aller best blir posisjonsbestemmelsen med tre observasjoner i 120 o vinkel. Hvis man har tatt en observasjon av solen i meridian (tidligere kapittel) har man en ganske god indikasjon på bredde. Stedlinjen er da en breddegrad. Lengdegraden er derimot mer usikker og derfor velger man kanskje å ikke fastsette noen ny sannsynlig posisjon, men å vente til man har en observasjon til. I denne figuren er det tatt en morgenobservasjon av solen fra bestikkposisjon 1 og en posisjonslinje er tegnet inn (3). Ved middag ble det tatt en middagsobservasjon som viste en viss bredde (4). Morgenobservasjonens stedlinje er flyttet (6) tilsvarende skipets forflytning (5). Skjæringspunktet mellom stedlinje 6 og breddegraden 4 er observert posisjon ved middag. Tegne i eget skjema Ovenfor var det tenkt at vi skulle tegn på kartet. Hvis dette er et overseilingskart, f.eks. for Stillehavet, blir alt så smått at det blir umulig å tegne nøyaktig nok. Vi lager derfor vårt eget utsnitt av sjøkartet i en helt annen målestokk. Vi kan ikke så lett bruke et vanlig rutekart, for vi skal tegne inn kurser og da er vi avhengig av Mercator-projeksjon. Der er avstanden mellom meridianene avkortet, men ikke etter den vanlig formelen med cos(bredde). Det er derfor laget egne blanketter man kan tegne på. Der finner vi også riktig avkortning. En slik blankett er gjengitt nedenfor. Hvis skjemaet skal benyttes syd for ekvator, er det bare å snu det opp/ned! Knut W. Hansson Side 66 av 119

68 Legg merke til at det ikke er tegnet inn noen lengdegrader (meridianer). Det tegner du inn selv. Slik gjør du det når BP f.eks. er posisjon 40 o N 30 o V: Anta at du vil ha kartet med bestikkposisjonen midt på. Da merker du fire punkter på sirkelen etter breddegraden vår: 90 o ±40 o og 270 o ±40 o det blir 50 o, 130 o, 220 o og 310 o. Trekk loddrette linjer gjennom punktene, så har du de to første lengdegradene og kan tegne flere etter behov med samme avstand mellom dem 40. Den loddrette midtlinjen er merket med 30 o V. Videre trekker du en vannrett strek gjennom 40 o nede til høyre. På figuren nedenfor er det gjort med rødt. Dessuten er BP tegnet inn så det passer med dette kartutsnittets skala. Skalaen nede til høyre gir gradinndelingen vannrett, langs breddegradene. Nederst der, ved 0 o står gradinndelingen som gjelder langs lengdegradene. Den er lik inndelingen langs den loddrette midtlinjen. Sirkelen bruker du som kompassrose. Min høydemåling var i retning 315 o og det er tegnet inn fra BP (når BP står i sirkelens sentrum, slipper jeg å parallellforskyve). Jeg har valgt å bruke 10 ganger så stor skala som foreslått, så mellom både breddegradene og lengdegradene er det 6 istedenfor 60 = 1 o. Jeg har rettet skalaene tilsvarende. Det er fritt frem å bruke den skalaen man ønsker, f.eks. doble den. Høydemålingen viste at vi var 4 nm nærmere senitpunktet enn antatt, derfor er det satt av 4 nm utover langs retningslinjen og stedlinjen er inntegnet. ITP er 2,4 nord for 40 o, og 3,2 vest for 30 o. Det ene finner jeg ved avlesning på den loddrette skalaen og det andre ved å måle nede til høyre. ITP er altså i posisjon 40 o 02,4 N 30 o 03,2 V. Herfra benytter jeg det som sannsynlig posisjon. 40 Som du kan se, blir avstanden mellom meridianene mindre jo lenger fra ekvator vi er. Det tilsvarer den avkortning som er omtalt tidligere. Da beregnet vi avkortningen her blir den konstruert etter enkle regler. Knut W. Hansson Side 67 av 119

69 Det er naturligvis ikke tegnet inn noe land på dette kartutsnittet, da vi er i åpen sjø. (Nær kysten bruker man kart i helt annen skala og kan plotte direkte i kartet.) Du kan se en video om dette på https://www.youtube.com/watch?v=vxji0-hrp9k. I mangel av plotteskjema Plotteskjemaer får man i kartforretninger i blokker. Ett eksemplar er gjengitt her i et vedlegg. Det er hentet fra nettet på Hvis man slipper opp for skjemaer, kan man lage sine egne (fra Bowditch: «American Practical Navigator»). Start med et blankt ark gjerne et ruteark som gjør det lett å finne vannrett og loddrett på arket og tegn opp slik: Vinkel 35 o lik breddegraden der den starter Ønsket breddegrad 35 o N Knut W. Hansson Side 68 av 119

70 Trinn 1 Trekk loddrette meridianer med lik avstand. Merk dem med grader/minutter etter behov. Trinn 2 Trekk en vannrett breddegrad over midten av arket. Merk den med grader/minutter (her 35 o N). Trinn 3 Trekk en skrå linje fra et skjæringspunkt på den vannrette breddegraden i samme vinkel som breddegraden du starter på her 35 o ) og over til neste lengdegrad. Bruk passeren og mål like langt oppover lengdegraden som lengden av den skrå linjen. Trinn 4 Tegn inn en breddegrad der sirkelen traff lengdegraden. Tegn inn øvrige breddegraden med samme avstand mellom dem 41. Trinn 5 Gradér den skrå streken med passende enheter. Inndelingen tilsvarer inndeling langs lengdegradene og er mål for nautiske mil. Trekker du loddrett fra skrålinjen ned til en breddegrad, får du minuttinndeling der (ikke vist i figuren). Du ser f.eks. at hvis du trekker en loddrett strek ned fra 30 så deler du breddegraden mellom 150 o Ø og 151 o Ø akkurat i to. Også her bestemmer du selv skalaen, så plottet ditt blir mulig å få nøyaktig. 41 Hvis man skulle være ekstremt nøyaktig, så skulle avstanden mellom breddegradene finnes på samme måte som den første. Avstanden mellom breddegradene vil da bli større etter hvert nordover. I dette tilfelle blir imidlertid forskjellene så små at de ikke får betydning og det er enklere å tegne like avstander. Knut W. Hansson Side 69 av 119

71 Vinder At vinder blåser og at det dreier seg om luft som beveger seg langs jordoverflaten er opplagt for alle. Enten vi er i motor- eller seilbåt er vinden av stor betydning. Mange steder blåser vinden ofte fra en bestemt kant og med en viss styrke. Vi kaller det «fremherskende vind». Beauforts vindskala brukes internasjonalt og mye til sjøs. Da brukes ofte vindstyrken i knop. Vi er mer vant til vindstyrker i m/sek. Betegnelsene ser slik ut og uttales f.eks. «vind fra nordøst styrke 5» eller på engelsk : Beaufort Norsk Engelsk m/s kn 0 Stille Calm 0,0 0, Flau vind Light air 0,3 1, Svak vind Light breeze 1,6 3, Lett bris Gentle breeze 3,4 5, Laber bris Moderate 5,5 7, Frisk bris Fresh breeze 8,0 10, Liten kuling Strong breeze 10,8 13, Stiv kuling Moderate gale 13,9 17, Sterk kuling Fresh gale 17,2 20, Liten storm Strong gale 20,8 24, Full storm Whole gale 24,5 28, Sterk storm Storm 28,5 32, Orkan Hurricane 32, På norsk: «nordøst liten kuling styrke 6» På engelsk: «north easterly strong breeze force 6» Merk at på engelsk er det «gale» allerede ved styrke 7, mye lavere enn «storm» på norsk (styrke 9). Enkelte sier at det blåste «styrke 12 i går» og mener 12 m/s (liten kuling). Faktisk høres det ut som orkan. Man bør heller si «12 sekundmeter». Soloppvarming av havet i samvirke med jordrotasjonen gir noen fremherskende vinder som kan sees på nedenstående figur. I prinsippet strømmer luft fra høytrykk til lavtrykk og de «vris» møt høyre (sett i fartsretningen) på den nordlige halvkule pga. Corioliseffekten mot venstre på den sørlige. Sonene flytter seg sørover og nordover. Ved ekvator skifter været brått fra voldsomme regnskyll med torden og vind til stille, tørt og varmt. Ved hestebreddene er det svært lite vind, tørt og varmt. Flere store ørkenområder ligger i dette beltet. Ved polarfronten er det mange lavtrykk med nedbør og vind. I det sørlige vestavindsbeltet er det ikke noen landmasser som kan bremse vinden. Området er derfor kjent for sterke vinder og kalles «the roaring forties» 42 noen ganger også «the furious fifties» og «the screaming sixties». 42 OBS! «The roaring twenties» er et kallenavn for 1920-årene og har intet med vinder å gjøre. Knut W. Hansson Side 70 av 119

72 Polar østavind Polarfronten ca 60 o L Vestavindsbeltet Hestebreddene ca 30 o H Nordøstpassaten Ekvatorialsonen ca 0 o L Sydøstpassaten Hestebreddene Polarfronten L Polar østavind H Vestavindsbeltet, roaring forties Det som er beskrevet her, gjelder altså det overordnede bildet for hele kloden. Lokalt betyr lav- og høytrykk mye. Vinden blåser i spiral ut fra høytrykket og i spiral inn mot lavtrykket.. I figuren nedenfor ser vi til venstre at det er et lavtrykk øst for Bodø med mindre enn 990 hpa (hektopascal/m 2 = millibar). Til høyre vises vindene. Pga. Corioliseffekten dreier vinden så mye at den nesten følger isobarene 43. Vinden er sterkest der isobarene er tettest der er trykkforskjellene størst for en gitt avstand. Styrken er angitt med «fjær» på pilene jo flere «fjær» desto sterkere vind slik at hver halve «fjær» utgjør ett trinn på Beauforts vindskala. Lokalt kan vinder være sterkere enn angitt. Et fenomen mange båtfolk kjenner til er «skyvind». Det er en sterk vind som kommer raskt sammen med en kraftig sky. Det er naturligvis ikke skyen som generer vinden, men lokale luftforhold generer både skyen og vinden. Båtfolk har også erfart hvordan høye fjell langs kysten kan skape kraftige fralandsvinder og det samme kan skje i daler. Noen beryktede slike er Mistral (syd-frankrike) Meltemi (Kykladene) og Bora (Kroatia). Slike vinder er sterkes langs kysten og ikke ute på havet. Der er det først og fremst lavtrykkene som skaper vinder. De beveger seg til dels rask over havet gjerne østover. Signal om at slikt er i anmarsj er raskt synkende barometer, raskt synkende temperatur, økende sjø eller vind og skyformasjoner. Du ser et tordenvær (med masse vind) nærmer seg før det treffer deg! 43 Isobar («likt trykk») er linjer mellom punkter med samme lufttrykk. Knut W. Hansson Side 71 av 119

73 Værmeldinger Værmeldinger kan vi få tak i fra mange kilder, f.eks. 1. Vanlig DAB-radio 2. Internett 3. Telefon til værtjeneste 4. Aviser og andre media 5. VHF skipsradio 6. NAVTEX 7. INMARSAT Mulighetene 1 til 4 er jo bare aktuelle nær land. Rekkevidden for VHF er mest avhengig av sender og mottakeres høyde og mindre av senderstyrke. Kystradioene som sender værmeldinger er uansett svært sterke, og vi skal jo bare motta. Norske kystradioer sies å rekke ca 70 nm fra kysten 44. Utenfor dette benyttes Inmarsat. Rekkevidden for Navtex er større enn VHF. Den oppgis nominelt til 450 nm. Selv dette blir jo lite for en Atlanterhavskryssing på nærmere nm fra Southampton New York. Jeg fant i alle fall én på nettet til godt og vel kr Navtex sender/mottar bare tekst. For kryssing av større havstrekninger er det bare Inmarsat som duger. Den bruker satellitt og dekker hele verden. Utstyret er dessverre ganske dyrt fra USD og oppover. Til gjengjeld kan du laste ned værkart. 44 Rekkevidden kan beregnes med formelen r 2,22 x( h1 + h2) der r er «synsvidden» for antennen i nautiske mil og h1 og h2 er høyden over havet til sender- og mottakerantenne i meter. Det er ukjent hvilken høyde for antennen som er benyttet for beregning av grensen på 70 nm. Knut W. Hansson Side 72 av 119

74 Pilotkart Pilotkart («Pilot chart») er et overseilingskart storsirkelruter inntegnet. Det er ett kart for hver måned. Slike kart kan du finne på nett på - klikk på Publications og finn kartet. Her er et slikt kart for Nord-atlanteren i oktober: For hver rute er det angitt med en «rose» hvordan vinden er fra forskjellige retninger. Lengden av pilskaftet angir prosent av vind fra denne kanten en skala er gjengitt på kartet. Antall «fjær» på pilen angir gjennomsnittlig styrke, slik at antallet «fjær» angir styrke etter Beauforts vindskala. Inne i «rosen» er det angitt prosentsatsen for stille. Når prosentandelen blir for stor, skriver man isteden prosentandelen på pilen som et tall. I denne «rosen» er det altså tydelig at østavind er typisk, særlig rett øst (32%) styrke tre og sydøst styrke tre. Det er lite nordavind og gjennomsnittet fra nord er styrke to. Kartet gir også en mengde annen informasjon herunder misvisningen, bølgehøyder og havstrømmer samt stormer og orkaners vanlige baner. Videre vises lufttemperatur, vanntemperatur, lufttrykk, sikt og polisens utbredelse. Pilotkartene er svært nyttige for planlegging av en oversjøisk reise. De er basert på skips innmeldinger av værforholdene over lang tid. Tidligere ble de vel meldt i ankomsthavnen, senere med telegraf og nå sendes de stort sett automatisk. Knut W. Hansson Side 73 av 119

75 Havstrømmer På samme måte som det er fremherskende vinder, er det også fremherskende havstrømmer. Golfstrømmen er vel godt kjent eksempel. I kartet nedenfor er de vanligste havstrømmene inntegnet. https://en.wikipedia.org/wiki/ocean_current#/media/file:corrientes-oceanicas.png, public domain Hvis strømmen er sterk, kan det lønne seg å ta hensyn til den ved en overseiling. F.eks. kan Golfstrømmen øke den daglige utseilte distansen med opptil 110 nm pr døgn. Derfor bør man sjekke pilotkartene. Strømmene er kalde og varme. De påvirker i stor grad været. Labradorstrømmen er et eksempel på det. Der den møter det varme vannet i Golfstrømmen blir det svært ofte tåke. Når den i tillegg trekker med seg isfjell blir det farlige forhold for båter. I tillegg kommer at den til tider trekker lenger øst og sør enn vanlig, så det opptrer isfjell på steder der det vanligvis ikke er noen. Det var det «Titanic» ble offer for. For oss i Norge er Golfstrømmen en gave, da den hjelper til å holde havnene isfrie og bidrar til vårt relativt milde klima (i forhold til breddegraden). Golfstrømmen drives delvis av vestavindene, men også av at en kald dyphavsstrøm fører polvann til Syd-Atlanteren. Daglig fraktes like mye varme til Europa med Golfstrømmen som verdens kullforbruk i ti år 45 og idet den passerer øst for USA, frakter Golfstrømmen ca. 50 tusen ganger mer varme enn det totale energiforbruket i Norge. En ekstra fordel for oss er at den går i virvler langs norske-kysten og avgir store deler av den gjenværende varmen her. 45 Iflg Wikipedia. Knut W. Hansson Side 74 av 119

76 Tidevann Vi har alle merket at havet stiger og synker gjennom døgnet, fra lavvann til høyvann også kalt fjære og flo. Hvor mye vannstanden varierer er forskjellig. Når det er lite høyvann er det nippflo, når det er mye er det springflo (og tilsvarende også nippfjære og springfjære, men det er mindre brukt). De prosessene som skaper flo og fjære er svært kompliserte. En enkel forklaring er at månen og solen tiltrekker seg vannet som er nærmest (på måne-/solsiden) med gravitasjonskraften. Vannet buler derfor ut mot månen/solen. Kraften er størst når jorden, månen og solen er på linje og da er det springflo. Det er ved fullmåne og nymåne. Det er også forskjell etter hvor nær månen og solen er jorden det varierer gjennom året. Det er månen som har størst effekt. Solen bidrar med ca 45% av månens bidrag. Lavtrykk vil bidra til springflo og nippfjære ved at det «suger» vannet opp omtrent som du gjør med et sugerør. Høytrykk vil motsatt gi nippflo og springfjære. Videre kan sterk vind bidra langs kysten, spesielt inne i fjorder. Det er også en bølge på motsatt side av jorden. Den kan veldig enkelt forklares ved at jorden også trekkes mot månen/solen. Vannet på baksiden trekkes ikke så mye og «henger litt igjen». Alternativt kan man konstatere at jorden og månen begge roterer rundt et felles tyngdepunkt som ikke ligger i jordens sentrum. Derfor får jorden en «sleng» som gir sentrifugalkrefter på «yttersiden av rotasjonen» som et barn kjenner når du slenger det rundt deg. Uansett forklaring er det de fleste steder to høyvann pr døgn og det er ca 12 timer og 25 minutter mellom dem halve rotasjonstiden for månen sett fra jorden. Felles Jordens Månen Gravitasjon tyngde Sentrifugal sentrum -punkt Siden månen roterer vestover rundt jorden, skulle dette føre til at en bølge med to topper gikk fra øst mot vest rundt jorden. Slik går det ikke, da land stenger bølgen. Isteden oppstår det en rekke bølgesirkler (Corioli-effekten igjen). Bare i Nordsjøen er det tre slike. I midten av en slik sirkel er det lite tidevann. Der flere slike bølger sammenfaller, blir det stor forskjell på høy- og lavvann. F.eks. er det under en halv meter i Mandal i november, men øker nordover til nesten tre meter. Det er opp til 15 meter springflo ved Nova Scotia i Øst-Canada. Vannet kan bevege seg raskt i en slik bølge når det skal fylle opp et område med lavvann, eller tømme et område med høyvann. Det blir strøm. Ute på havet merker man ikke så mye til det, men nærmere land får det stor betydning. Hastigheten på tidevannet er betinget av hvilke hindringer det møter. Mellom to øyer og i trange sund får man større høydeforskjeller og Knut W. Hansson Side 75 av 119

77 tilsvarende større hastigheter på tidevannsstrømmene. I Oslofjordområdet er vi f.eks. vel kjent med strømmen i Drøbaksundet og Saltstraumen er verdens sterkeste. Moskstraumen i Lofoten er et verdenskjent eksempel. Vannstanden kan være opptil fire meter høyere på den ene siden av sundet og gir svært sterk strøm. I tillegg er sundet trangt og grunt (40-60 m). Det er ikke kjent hvor sterk strømmen kan bli, men det finnes eksempel på skip som har gått med 10 knops fart uten å avansere mot strømmen. Det dannes lokale virvelstrømmer (malstrømmer). I gamle dager gikk det rykter om seilskuter som var dradd ned i virvler der. Denne detaljen fra et kart fra 1539 viser Moskstraumen som en stor fare 46 : https://commons.wikimedia.org/wiki/file%3amoskenstraumen.jpg, Public Domain Som mange har erfart, blir sjøen krappere hvis vinden blåser mot strømmen. Det er mange områder ved kysten som er beryktet for slikt. Beregning av lokal vannstand Flo stiger fortest midt mellom fjære og flo, ca 6 timer før høyvann og endrer seg svært lite rundt høyvann og lavvann. I Kartverkets tidevannstabeller (http://www.kartverket.no/sehavniva/tidevann--og-vannstand/tidevannstabeller/) finner du denne figuren: 2. Les av faktor 0,93 5,5 m 1. En time før høyvann 1,2 m 46 En innfødt fisker som jeg snakket med for noen år siden, fortalte at når strømmen var på det sterkeste med god vind imot, ville han ikke gå der selv med sin store garnbåt. Han mente at det var for farlig. Knut W. Hansson Side 76 av 119

78 Tallene som er fylt inn av meg, gjelder Dartmouth en bestemt dag, én time før høyvann. Jeg går opp fra -1 i underkant til kurven og vannrett inn til venstre og leser av ca faktoren 0,93. Forskjellen fjære til flo er 4,3 som jeg ganger med faktoren og legger til vannstanden ved fjære: 4,3 x 0,93 + 1,2 5,2. Jeg forventer vannstand 5,2 m i Dartmouth én time før høyvann denne dagen. Fra flo til fjære reduseres vannstanden etter samme mønster. En enkel tilnærming er å anta at stigningen skjer i tolvdeler: Time Stigning Sum fra fjære «Faktor» Fjære - 0 tolvdeler 0,00 Første time etter fjære 1 tolvdel 1 tolvdeler 0,08 Andre time etter fjære 2 tolvdeler 3 tolvdeler 0,25 Tredje time etter fjære 3 tolvdeler 6 tolvdeler 0,50 Fjerde time etter fjære 3 tolvdeler 9 tolvdeler 0,75 Femte time etter fjære 2 tolvdeler 11 tolvdeler 0,92 Sjette time etter fjære = flo 1 tolvdel 12 tolvdeler 1,00 Som du ser blir «faktoren» med tolvdels-metoden ganske lik det du finner i Kartverkets skjema. Hvis forskjellen på fjære til flo f.eks. er 4,3 meter, vil hver tolvdel være 0,36 m og lagt til vannstanden ved fjære (1,2 m) blir vannstanden én time før høyvann da 1, x 0,36 5,2 m. En god forklaring på hvorfor tidevannet ikke er likt overalt, kan du finne på Knut W. Hansson Side 77 av 119

79 Beregning av lokal tidevannsstrøm Tidevannsstrømmer gjengis i spesielle kart. Et eksempel er Admiralty Tidal Stream Atlas. Nedenfor er det gjengitt en side derfra. Admiralty Tidal Stream Atlas Kartet er marker med at det gjelder én time før høyvann i Devonport (som er noe lenger øst på kysten) som er 05:45 etter høyvann i Dover (som er hovedreferansen). Det er andre kart for andre tidspunkter. Det dreier seg altså om stigende vann én time før høyvann i Devonport det flør fortsatt men ikke så mye som det gjør seks timer før høyvann. (Når det ebber går strømmen annerledes og ikke nødvendigvis akkurat motsatt.) Tallene skal forstås slik at f.eks. 03,07 ved Plymouth betyr at akkurat ved målepunktet, som er indikert med kommaet, går strømmen ved nippflo med 0,3 knop, ved springflo 0,7 knop én time for flo. Strømmen varierer også med om det er nippflo (svak strøm) eller springflo (sterk strøm). Ved hjelp av tabeller kan du finne ut om det er nippflo, springflo eller noe imellom for den tiden du seiler og beregne strømmen deretter. Tallene i kartet angir jo bare minimum og maksimum strøm for et gitt klokkeslett. Du vil antakelig være der når det hverken er nipp- eller springflo, men noe imellom. Knut W. Hansson Side 78 av 119

80 Hvis du vil vite nærmere hva dagens strøm er, så kan du gjøre slik: Ved odden sør for Dartmouth står tallene 15,30 som betyr at strømmen er 1,5 knop ved nippflo og 3,0 knop ved springflo. For å finne strømmen en bestemt dag ca én time før høyvann kl. 19:52 slår vi opp i tabellen for flo og fjære denne dagen og finner kanskje: Klokkeslett Vannstand 13:30 1,2 m 19:52 5,5 m Største differanse 4,3 m Disse tallene benytter vi så i et eget skjema som vi også finner i det nevnte atlaset. Pass på å bruke skjemaet for riktig havn det er den havnen som er brukt som utgangspunkt for strømkartet. Først tegner vi en ring rundt prikken for nippflo strøm 1,5. Deretter en ring rundt prikken springflo strøm 3,0. Trekk en linje mellom de to punktene. Finn 4,3 m differanse i venstre kant og trekk en linje derfra vannrett inn til den første linjen du trakk, og derfra ned til skalaen nederst. Les av strømmen 2,8 knop der. 4. Differanse i strøm i dag Denne gjelder for Devonport 3. Trekk linjen 2. Strømmen ved springflo Prikker for springflo 1. Strømmen ved nippflo 5. Les av strømmen loddrett Prikker for nippflo Fritt etter Strømmen i dag ved odden syd for Dartmouth og én time før flo er noe under 2,8 knop. Det utgjør 93 % av strømmen 3,0 knop ved springflo. Denne prosenten er lik for alle tallene over hele kartet, så når det f.eks. i kartet står «04,08» så vil strømmen der være 93% av 0,8 dvs. 0,7 knop. Skjemaet som er brukt for å finne den aktuelle strømhastigheten er egentlig bare en «fancy» måte å interpoler på mellom tidevannsstrømmen ved nippflo (1,5 knop) og springflo (3,0 knop). For å kunne beregne en interpolert tidevannsstrøm må vi imidlertid vite hvor stor høydeforskjellen er ved nipp- og ved springflo. Det er ikke uten videre lett å finne i noen tabell. Av skjemaet kan det se ut til at forskjellen mellom lavvann og høyvann er 2,2 m ved nippflo og 4,7 m ved springflo. Den dagen vi skal beregne for er forskjellen 4,3 m. Knut W. Hansson Side 79 av 119

81 Vi kan se på det som følgende tabell: Tidevann Diff flo-fjære Strøm Nipp 2,2 m 1,5 Nå 4,3 m T Spring 4,7 m 3,0 Vi beregner (4,3 2,2) = (T 1,5) (4,7 2,2) (3,0 1,5) T = 1,5 + (4,3 2,2) x (3,0 1,5) (4,7 2,2) = 1,5 + 2,1 x 1,5 2,5 = 2,76 Vi får en beregnet, antatt strøm på 2,76 knop, omtrent det samme som vi fant grafisk. Strømmen (2,76) er 92% av strømmen ved springflo (3,0 knop). Når er det høyvann Du kan finne tidevannstand i tabeller. For Norge finner du tabellene på Internett. Dover er også med i denne tabellen. Tidevannsstabellene er gitt for noen primærhavner. F.eks. finner vi tabell for at den 16. april 2016 er det høyvann (112 cm) kl. 06:23 og (111 cm) kl. 19:15. Hvis vi skal vite høyvann for en havn som ikke er tabulert direkte, må vi finne den som sekundærhavn. F.eks. er Årdalstangen en sekundærhavn til Bergen, og ligger 10 minutter foran. Høyvann i Årdalstangen den 16. april er altså 06:13 og 19:05. Det er også oppgitt en høydekorreksjonsfaktor på 1,15 Årdalstangen som betyr at høyvann er 1,15 x vannstanden oppgitt for Bergen, dvs. henholdsvis 129 cm og 128 cm. Også lavvannstanden multipliseres på samme måte. Tabellen fra Kartverket viser også hvordan vannstandene (flo og fjære) varierer med månefasene for primærhavnene, f.eks. her for Kristiansund: Knut W. Hansson Side 80 av 119

82 Som man kan vente utfra teorien om tidevann som er forklart ovenfor, er det størst forskjell ved nymåne, da sol og måne er på samme side av jorden. Noe mindre forskjell er det ved fullmåne, da månen og solen er på hver sin side av jorden og minst forskjell er det ved halvmåne. Knut W. Hansson Side 81 av 119

83 GPS Prinsipper Litt om systemet Satellitter GPS (Global Positioning System) er basert på satellitter, sendt opp av det amerikanske forsvar. De senere år har også den europeiske romorganisasjonen ESA sendt opp sivile satellitter under navnet Galileo og russerne har sine egne Glonass. Våre mottakere kan vanligvis bruke alle. Hver satellitt er ca 5 m i diameter (med solpaneler utslått), veier vel 800 kg og har en beregnet levetid på 7,5 år. Det er 24 slike satellitter. Satellittenes bane har en vinkel på ca 55 0 i forhold til ekvatorplanet, en omløpshastighet på ca 12 timer og går ca km over jorden. Siden jorden roterer under dem, vil vi fra ett sted på jorden se de samme satellittene én gang pr døgn. Banene er lagt slik at det til enhver tid skal være minst fem, synlige satellitter ethvert sted på jorden. Satellittene sender hele tiden ut signaler. Overvåkingsstasjoner Satellittenes bane endres stadig litt pga. innflytelse fra sol og måne, og solvinden (partikler fra solen som vi ser som nordlys). Satellittene har også en klokke som går litt feil av pga. relativitetsprinsippene (gravitasjonsfelt og hastighet endrer tidens forløp). Det er fem overvåkingsstasjoner som stadig sjekker satellittene. De kontrollerer satellittens bane med radar og kontrollerer klokken. De korrigerer satellittenes bane, gir dem beskjed om feil i klokken og banen deres, og gir dem andre beskjeder. Korreksjonene utføres typisk hver time. Signaler Satellittene sender hele tiden ut signaler i to kanaler, kalt L1 og L2. L1 er for sivil bruk sender et signal som kalles C/A (Coarse Acquisition = «grov henting»). L2 som er mer nøyaktig og kan krypteres er for militær bruk. Signalet som sendes i kanal L1, inneholder bl.a. en kode som identifiseres hver satellitt (1023 tilfeldige bits, 0 eller 1) et klokkeslett og opplysninger om feil i banen og klokkekorreksjoner som er gjort data om alle satellitter (opplysningene gjør oppdatering fra sentrale registre unødvendig da hver satellitt har data for alle de andre) antatt signalforsinkelse pga. atmosfæren osv. Det amerikanske forsvar kan når som helst legge inn bevisste feil i klokken eller annen informasjon, slik at målingene for sivile blir unøyaktig typisk 100 meter feil (dette kalles SA = selective availability). Det finnes måter å komme rundt dette på, og denne feilen ble dessuten skrudd av i mai De europeiske Galileo-satellittene er sivile og har ingen slik bevisst feil. Mottakere For å finne posisjonen vår, må vi ha en GPS mottaker. Denne mottakeren er «passiv», dvs. at den bare mottar signaler den sender selv ingen ting. Den kan imidlertid være koblet til en Knut W. Hansson Side 82 av 119

84 sender som oppgir egen posisjon til andre (AIS) i VHF-båndet og den er ofte koblet til annet utstyr om bord, f.eks. VHF og kartplotter. Prinsippet Oversikt Prinsippet er basert på at mottakeren vår kjenner posisjonen til og finner avstanden til satellitten. Når dette er kjent, vet vår mottaker at den må befinne seg på overflaten av en kule som har den gitte avstanden fra satellitten 47. Hvis mottakeren vet posisjon og avstand til to satellitter, vet den at den må være et sted på en sirkel, der de to kulene skjærer hverandre. 47 Figurene er hentet fra Figurene er laget av Diana Cooksey og hentet fra Knut W. Hansson Side 83 av 119

85 Med tre satellitter vet mottakeren at den må være i ett av to punkter. Ofte er dette nok, fordi det ene punktet åpenbart er galt, f.eks. langt inne i jorden. Med fire satellitter er det bare ett av de to punktene som er mulig. Det er mulig å benytte jorden selv som den fjerde kulen, hvis man kjenner «høyden over havet». Det er ikke så enkelt. Selv på havet er ikke denne høyden null, pga. tidevann og bølger. «Høyden over havet» i GPS-systemet er høyden over den idealisert ellipsoiden WGS84. Det kan altså hende at GPS mener vi er over/under havoverflaten selv i en båt. Bare én meters feil høyde kan fort gi 100 meter feil posisjon. Posisjon Mottakeren får opplysninger tilsendt fra den første satellitten som den finner. Satellittene følger jo ikke helt disse banene, men de sender informasjon om avviket (som de fikk beskjed om fra overvåkingsstasjonene). Mottakeren kan bruke dette til å beregne den nøyaktige satellittposisjonen. Avstand Vi kjenner vel alle til formelen Avstand = Fart x Tid eller tilsvarende. Radiosignalene fra satellitten går med lysets hastighet, ca km/sek eller 30 cm/ns (Nanosekund = Milliarddels sekund). Det tar typisk ca 6 hundredels sekund for signalene å nå ned fra en satellitt som står rett over oss. Hvis vi kan finne den tiden det tar for radiosignalet å gå fra satellitten til mottakeren, kan vi altså lett regne ut avstanden til satellitten. Satellitten sender nøyaktig klokkeslett som angir når signalet ble sendt. Mottakeren vet når signalet ble mottatt, og differansen er den tid signalet har brukt på veien. Mottakeren regner altså lett ut avstanden til satellitten. Feilkilder og hva man gjør med dem Tid For å beregne avstanden, må altså mottakeren ha en nøyaktig klokke. Husk at en feil på bare et mikrosekund (en milliondels sekund), blir avstanden 300 meter feil og et helt millisekund tilsvarer 300 kilometer! Bare atomur har slik nøyaktighet, men dessverre koster de fort USD og mer. Knut W. Hansson Side 84 av 119

86 Isteden bruker mottakeren et «knep» for å finne riktig tid. Det virker slik: Når mottakeren har mottatt signal fra fire, forskjellige satellitter, prøver den å beregne posisjonen. Det går kanskje ikke, fordi de beregnede avstandene er gale. Det er et tegn på at mottakerens klokke går galt. Den justerer da klokken sin og beregner avstandene igjen, om og om igjen, inntil de fire avstandene møtes i nøyaktig ett punkt. Da er klokken blitt riktig. Dette blir faktisk så nøyaktig, at det brukes i mange sammenhenger istedenfor atomur, til en meget lav kostnad. Om bord kan vi kontrollere kronometeret etter den (og notere evt. avvik). Lyshastigheten Lyshastigheten (som også er hastigheten til radiosignalene) er konstant men bare i vakuum. På vei fra satellitten til mottakeren, går radiosignalene gjennom atmosfæren, og da forsinkes de. Mottakeren har en modell for hvor stor forsinkelsen vanligvis er, avhengig av hvor meget atmosfære signalene må gå igjennom (lite hvis satellitten er rett opp, mye hvis satellitten er nær horisonten). I tillegg sender satellitten hele tiden beskjed om nødvendige korreksjoner i denne modellen, slik at beregningen kan bli enda bedre (den har fått beskjed av kontrollstasjonene). De som kan ta inn både L1 og L2 signalene, som sendes på to forskjellige bølgelengder, kan også utnytte at de korte bølgene forsinkes mer av atmosfæren. Det er imidlertid bare de militære og dyre sivile mottakere som kan ta inn begge signaler (hvis da ikke L2 er kryptert da er det bare de militære som kan utnytte dette). Valg av satellitt Hvis satellittene står nær hverandre på himmelen, blir trianguleringen unøyaktig. De fleste mottakere tar imot signaler fra mange satellitter samtidig, gjerne 12 eller 20. Den velger da ut noen som ligger langt fra hverandre på himmelen, på en slik måte at nøyaktigheten blir størst mulig. Refleksjoner Radiobølgene reflekteres fra hus, tårn, fjell osv. i nærheten. Da kan mottakeren motta dobbelt (eller flere) signaler fra samme satellitt. Den vil da velge det signalet som kommer først og har gått kortest vei. Man kan håpe på at det er det signalet som har gått direkte i rett linje fra satellitten til mottakeren, men hvis det ikke er tilgjengelig (noe skygger for satellitten), blir resultatet galt. Støy Eteren er full av radiostøy, signalet fra satellitten er svakt og mottakeren har liten antenne. Likevel klarer mottakeren å skille signalene fra støyen det er derfor koden er «tilfeldig». Det gjør det også svært vanskelig for en fiende å «jamme» signalet, siden «jamming» nettopp forsøker å ødelegge signalet med støy. Radiostøy er derfor ikke noe stort problem. SA = Selective Availability Det amerikanske forsvaret har bygget inn muligheten til å be satellitten sende feil tid eller andre feil. De kan også endre koden som identifiserer satellitten. Det første vil gjøre GPSsystemet svært unøyaktig (ca 100 meter feil), det andre gjør GPS-systemet utilgjengelig for sivile. Heldigvis har de ikke benyttet seg av denne muligheten siden mai 2000, og presidenten har i et dekret lovet å la det være. Det førte til at EU valgte å benytte samme teknologi, og de sender nå opp flere sivile satellitter, slik at nøyaktigheten blir enda bedre. Knut W. Hansson Side 85 av 119

87 Dette er altså heller ikke noe problem lenger. Referansemottakere Hvis man har en mottaker som man vet nøyaktig hvor er, fordi den står fast, kan man «regne baklengs» og finne nøyaktig hvor mye feil GPS-systemet gir i øyeblikket. Slike mottakere kalles referansemottakere (reference receivers), og de «sladrer» til all verden om feilen til hver, enkelt satellitt hele tiden. Hvis du selv har en såkalt differensialmottaker (differential receiver), lytter mottakeren din på denne «sladrehanken» og korrigere i henhold til det. Dette hjelper mot alle feil i tid og bane, men ikke mot reflekser som gjerne er svært lokale. Med et slikt system, kommer man også forbi SA-problemet. For noen år siden har USA, Europa (25. juni 2005) og Asia tatt i bruk det såkalte WAASsystemet. De har simpelthen sendt opp geostasjonære satellitter (som tilsynelatende står stille over ekvator). Disse videresender informasjon fra en rekke «sladrehanker» på bakken. De er tilgjengelig for nyere GPS-mottakere. «Sladrehanker» er utplassert bl.a. i Tromsø, Trondheim, Ålborg (Nord-Danmark) og Gävle (nord for Stockholm). Det er også mulig å bruke en GPS-mottaker som referansemottaker. Det gjøres en del i landmåling. Da legger man den ene mottakeren i en kjent posisjon og lar den «sladre» til den andre. En annen variant er å starte på et kjent punkt som man taster inn i mottakeren. Da blir den meget nøyaktig sålenge man beveger seg kort avstand derfra. Oppsummering GPS-systemet er meget avansert. Når man først har kjøpt en GPS-mottaker, er det også gratis å bruke den. Hvor nøyaktig posisjon man får, avhenger av forholdene. Ofte er en nøyaktighet etter en viss tid når klokken er stilt inn riktig på meter typisk. Det holder for de fleste turformål. Med differensialmottaker for WAAS som ikke er så svært mye dyrere får man typisk en nøyaktighet på 3 meter. Landmålere som benytter to GPS-mottakere som kommuniserer, oppnår nøyaktigheter ned til et par millimeter. Det vil naturligvis være svært dumdristig å stole helt på en GPS-mottaker, men en svært god hjelp kan det være. Hold uansett kontroll på bestikket! Mer på Internett En veldig fin og grundig forklaring på hvordan GPS-systemet er bygget opp og virker, finner du hos Trimble (som bl.a. selger navigasjonsutstyr) på Eldre systemer Decca var et system utviklet under den andre verdenskrig. Det sendte lavfrekvente (de går lenger) radiobølger fra faste sendere. Mellom to sendere oppstår det bølgetopper og bølgebunner der bølgene er i fase. Dette ble tegnet inn på kart. Med flere slike par kan man finne hvor de krysser hverandre og derved fastslå posisjon. Loran A, B og C utnytter tidsdifferansen for når signaler fra en master- og to slavestasjoner når frem til mottakeren. I prinsippet likner dette på GPS, men stasjonen står altså fast på bakken. Også her ble det tegnet kart. Knut W. Hansson Side 86 av 119

88 Begge disse ble brukt også av sivile, men det er GPS som nå har overtatt. I Norge ble Decca nedlagt i 1997 og Loran C i En forbedret utgave av Loran, eloran, ble nedlagt i I noen andre land fortsetter driften, men de er svært lite brukt. Det er satellittnavigasjon som har overtatt. Triangulering innebærer at man finner avstand eller retning til tre punkter. Det kan nevnes at det også er mulig for en mobiltelefon å finne hvor den er ved å se på signalstyrken fra tre basestasjoner i nærheten. Signalstyrken gir en indikasjon på avstanden og alle basestasjonene har kjent posisjon. Tilsvarende kan tjenesteleverandøren for din telefon (f.eks. Telenor) finne din posisjon på samme måte. Det hjelpe jo lite til sjøs, der vi fort kommer utenfor rekkevidden av GSM-nettet, men kystradioene kan gjøre tilsvarende med din VHF du må da holde sendeknappen inne så de kan fange opp bærebølgen fra den. Slike trianguleringer blir temmelig grove, men gir en indikasjon, f.eks. kan det angi et fornuftig leteområde for noen som trenger bistand og ikke vet hvor de er. Det fornuftigste er å ha GPS-mottaker montert om bord og koble den til fastmontert VHFradio. Bærbare VHF har GPS innebygget. Knut W. Hansson Side 87 av 119

89 Seilas i utlandet Så lenge vi seiler i norske farvann er det ikke så mye vi trenger av dokumentasjon om bord, men det er påkrevet å ha lisensdokumentasjon for VHF-radio. Ved kontroll er det kjekt å ha det sertifikatet som båten krever (Båtførerbevis eller bedre) og VHF-sertifikat (heter nå egentlig SRC = Short Range Certificate). At båten er forsikret, er en selvfølge i alle fall ansvarsforsikret. Man kan komme i meget store ansvar som fører og eier av selv små båter. Om du vil dekke kasko, brann, tyveri osv. er mer et eget valg. Når du skal utenfor Skandinavia, er det straks mer å tenke på. Her er en sjekkliste foreslått av flere, bl.a. Royal Yacht Club: Registrer båten i småbåtregisteret. Sett registreringsnummeret på båten. Registrering er ikke obligatorisk i Norge, men i mange utland er det mistenkelig med en uregistrert båt. Sjekk at fartsområdet i forsikringen dekker de land du skal til, og farvannet mellom dem. Det hjelper ikke om f.eks. både Norge og Shetland er inkludert hvis overfarten ikke er dekket. Sjekk om det kreves visum og skaff det. Sjekk om noen av landene du skal til krever seilingstillatelse og evt. hvor det er lov å seile. Skaff et høflighetsflagg for alle land du skal besøke og bruk det. Vær oppmerksom på at noen land fører et annet land til sjøs («naval ensign») enn nasjonalflagget. Flagget bør se pent ut man har hørt om folk som fikk problemer fordi høflighetsflagget var fillete og skittent. Det er ikke lovpålagt å føre høflighetsflagg etter internasjonale regler, men i enkelte land reageres det negativt om man ikke har det. Sjekk behov for vaksiner. Sjekk regler hvis du har med dyr, våpen, sterke medisiner eller dykkerflasker Sjekk passets gyldighet. Noen land krever at passet skal være gyldig i minst seks måneder etter forventet avreise fra landet. Skaff kart og planlegg reisen. For lengre overfarter bør man skaffe Pilot Chart. På reisen kreves det en god del dokumentasjon. Det varierer hva som kreves men her er en liste over skipspapirer du kan bli bedt om å fremvise i havn eller ved kontroll: Registreringsbevis. Det norske utstedes av Småbåtregisteret og heter «Båtkort». Et ark med eierskap og alle måldetaljer om skipet. I et vedlegg finner du et forslag til skjema som du kan fylle ut selv. Lisensbevis for VHF og evt. annen radio om bord. Forsikringspolise med tilstrekkelig fartsområde. Forsikringen må i alle fall dekke ansvar, men også bergingskostnader bør være med. Et ark med liste over mannskapet: Fødselsnummer, navn, nasjonalitet, passnummer, kompetanse (sertifikater) og rolle om bord. Passasjerliste hvis du har med slike med fødselsnummer, navn, nasjonalitet og passnummer. Evt. seilingstillatelse der det er krevet. Clearance, dvs. seilingstillatelse fra forrige havn, der det er krevet. Loggbok. Mange land er interessert i hvilke andre land du har vært innom. Det dokumenterer du med en utfylt loggbok. Knut W. Hansson Side 88 av 119

90 Samle all skipsdokumentasjonen i en perm og vær forberedt på å gi den fra deg til myndigheter og havnepersonell når de ber om det. I tillegg til skipets dokumenter, kreves det personlige dokumenter som for enhver turist. Imidlertid kreves det litt ekstra av mannskaper. Her er en liste: Personlig pass for alle om bord. Ta alltid med pass når du går i land mange land krever at du kan identifisere deg på forlangende. Nødvendig visum for alle. Sertifikater for skipper og alle andre som har jo flere dess bedre. Sertifikatet må være tilstrekkelig for båtens type og størrelse og for farvannet. Etterhvert vil f.eks. stadig flere land krev ICC-sertifikat. Seilas innenlands (ferskvann) i Europa krever et eget sertifikat (ICC CEVNI). En liste over sertifikater er gjengitt i et vedlegg. VHF/SRC-sertifikat for minst én person om bord, gjerne flere. Bevis for reiseforsikring det kreves ofte ved legebehandling og innleggelse på sykehus. I Europa kan man bruke Europeisk Helsetrygdkort som bestilles hos Helflo og gjelder i EØS-området. Evt. vaksinasjonsbekreftelser. Det er smart med flere betalingskort. Kontanter kan du stort sett få tak i dit du kommer. Husk at kortene må være gyldige for de land du skal til mange kort gjelder bare i visse land. Når du kommer til første havn i et nytt land, bør du sjekke om det kreves at du henvender deg til myndigheter for immigrasjonskontroll og tollkontroll. Det er gjerne skipperen som tar med seg alle papirer og gjennomfører kontrollen. Havnemyndighetene vil kunne bistå med informasjon om slikt. Knut W. Hansson Side 89 av 119

91 Ressurser 1. Nautisk tabell i pdf-format Nautiske tabeller for sol og stjerner, samt DIP og andre rettelser, kan lastes ned fra pdf.html Gratis. Aksepter vilkårene og last ned. Tabell for måne og planeter (samt sol og Aries) kan lastes ned fra https://www.thenauticalalmanac.com/aira16_all.pdf 2. Kalkulator En svært bra kalkulator for navigasjonsberegninger er Casio fx-82es PLUS. Den fås kjøpt i de fleste bok- og papirhandler og koster et par hundrelapper, f.eks. 219,- krone hos Clas Ohlsson. 3. Programvare for mobiltelefon Beregninger av loksodrom og ortodrom gjøres ganske enkelt med flere app-er. Jeg har brukt to som jeg er bra fornøyd med og som begge er gratis: Nautical Calculator (Gabriele Giacomo) Nautical Navigator (A. James) Til å beregne posisjon ut fra solhøyder, har jeg brukt Nautical Astronomy (Navigational Algorithms) Leverandøren Navigational Algorithms har en hel serie med bra programmer til forskjellig formål, f.eks. Sight Reduction. En bra nautisk kalender flott til å finne gode stjerner og planeter for observasjon er Nautical Almanac (Skrypkin Maksym) 4. Programvare for PC Et gratis program for posisjonsbestemmelse ut fra observasjoner av sol, måne og stjerner er det franske programmet Navastro (Ravet Olivier). Det finnes på Det installeres på fransk men har en innebygget engelsk versjon. Knut W. Hansson Side 90 av 119

92 For å finne fornuftige stjerner å observere, og slipp å beregne hvor de er og når, kan man bruke et ferdig og gratis regneark fra Nautical Almanac som man finner på Der taster man posisjon og tid og får oppgitt høyde og asimut for en rekke aktuelle stjerner, et lokalt stjernekart o.a. Den beregner bare stjerner, mens den tilsvarende app-en også beregner planetene. 4. Fagbok Fagboken til Bowditch (på engelsk) heter The American Practical Navigator og inneholder et vell av informasjon. Den kan varmt anbefales. Bowditch publiserte denne boken i 1802 men siden den gang har amerikanske myndigheter publisert et stort antall nye, omarbeidede og utvidete utgaver. Svært mange kompetente organisasjoner har bidratt, herunder U.S. Coast Guard, U.S. Naval Academy, U.S. Naval Oceanographic Office, US Navy Fleet Training Center, the U.S. Naval Observatory, Office of the Navigator of the Navy, U.S. Merchant Marine Academy, U.S. Coast and Geodetic Survey, the National Ocean Service, og the National Weather Service. Den må følgelig anses som meget autorativ og gjennomarbeidet. Utgave 9 kan lastes ned i sin helhet gratis som pdf-fil fra ftp://ftp.flaterco.com/xtide/bowditch.pdf. Videre kan jeg anbefale boken «Celestial Navigation» av David Burch. Det er en lærebok for selvstudium og er meget grundig og autorativ. Burch ha svært lang erfaring fra navigasjon i lystbåter. En bok som selger godt, er Mary Blewitt: «Celestial navigation for yachtsmen». Boken er ganske gammel (første utgave 1950) men er ajourført mange ganger siden da. Boken oppsummerer kort alle begreper og forklarer prosedyrene. Jeg tror man bør kunne en god del før man leser denne boken, men den er svært god som oppslagsverk. På nettet finner man også «A short guide to Celestial Navigation» av Henning Umland. Den kan lastes ned i sin helhet fra 5. På nettet En fin, lettforståelig kilde er også det danske undervisningsmateriellet GeoMat.dk til gymnaset på David Burch nevnt under litteraturen ovenfor har eget forlag Starpath. Han har laget en rekke meget instruktive videoer som man finner på evt. direkte på youtube.com https://www.youtube.com/playlist?list=plx1xvldpahgbpoufy26gc4wsk08pvethi Kartverket utgir tidevannstabeller for Norge, Svalbard og Dover på nettet. Adressen er (http://www.kartverket.no/sehavniva/tidevann--og-vannstand/tidevannstabeller/ Knut W. Hansson Side 91 av 119

93 Vedlegg Korriger kursen Kompasskurs rettvisende kurs (i kartet) «Fra dårlig til bedre kurs, dvs. riktig vei» = bruk fortegnene som de er Kompasset viser kk + Deviasjon =Magnetkurs mk V/+Ø misvisning =Rettvisende kurs rk Rettvisende kurs (i kartet) kompasskurs «Fra god til dårligere kurs, dvs. feil vei» = bruk motsatte fortegn Rettvisende kurs rk +V/ Ø misvisning =Magnetkurs mk Deviasjon *) =Kompasskurs kk *) Deviasjonene skal egentlig baseres på kompasskursen, men det blir sjelden forskjell Knut W. Hansson Side 92 av 119

94 Vedlegg Beregn solens GHA Oppgave Kronometertid: ± avvik: = tid UTC Dato: Solens GHA for hele timer (tabell) +Tillegg for min/sek (tabell) =Solens GHA for kl. Knut W. Hansson Side 93 av 119

95 Vedlegg Deklinasjon Vi regner alltid deklinasjonen for nærmeste hele minutt Kronometertid: ± avvik: = tid UTC Dato: Deklinasjon for hele timer (tabell) ±Endring for min (d= ) =Deklinasjon for kl. Vurder om endringen skal legges til eller trekkes fra ved å utviklingen time til time i dagtabellen. Knut W. Hansson Side 94 av 119

96 Vedlegg Stjerners senitpunkt Oppgave Dato: Stjerne: Vår posisjon: Grålysning/skumring Grålysning 0-meridianen fra kl. UTC til kl. UTC Korreksjon tid for vår lengde: ± (h:m:s) Grålysning vår posisjon fra kl. UTC til kl. UTC Skumring 0-meridianen fra kl. UTC til kl. UTC Korreksjon tid for vår lengde: ± (h:m:s) Skumring vår posisjon fra kl. UTC til kl. UTC Planl. obs. kl.: UTC ± avvik: = kronometer UTC GHA for kl. UTC Aries GHA for hele timer (tabell) +Rettet for min/sek (tabell) Aries GHA for (tabell) + Stjernens SHA (tabell) Stjernens GHA Stjernens posisjon lengde Ø/V Egen lengde Ø/V Stjernens LHA Ø/V UTC GHA Deklinasjon (hele dagen) Stjernens deklinasjon (tabell) Dato Deklinasjon N/S Beregn avstanden/vinkelen d o og rettvisende kurs etter formlene for storsirkel. Sett avfarende posisjon til vår antatte posisjon, påkommende bredde til stjernens deklinasjon og lengdeforandringen til stjernens LHA. Benytt evt. eget skjema for storsirkel. Beregn antatt høyde og retning (asimut) 90 o 090 o 00,0 Beregnet avstand, d o Antatt observert høyde = Retning rettvisende Knut W. Hansson Side 95 av 119

97 Vedlegg Observasjon av solen i meridian Oppgave 1. Planlegging av meridianpassering Nåværende bestikkposisjon bredde: lengde: Meridianpassering 0-meridianen kl UTC +V/ Ø Korreksjon pga. skipets nåv. posisjon à 15 o h:m:s =Meridianpassering skipet i nåværende posisjon UTC ± Skipets pinsing h:m:s =Meridianpassering skipet (til planlegging) Skipstid 2. Observasjon Bestikkposisjon dato: bredde: lengde: Kronometertid: ± avvik: = tid UTC Avlest høyde: Indeksfeil: Øyehøyde: m Trykk: mb A Solens GHA Solens GHA for hele timer +Tillegg for min/sek =Solens GHA for kl. =Antatt lengde (GHA eller 360 o -GHA) Temp: o C = o K Tid UTC GHA B Deklinasjon (nærmeste hele minutt) Deklinasjon for hel time ±Endring minutter (d= ) =Deklinasjon for kl. Tid UTC Dekl. C Observert høyde Avlest høyde underkant ±Indeksfeil ±Andre instrumentfeil =Målt høyde underkant Dip. øyehøyde etter tabell ( m) =Tilsynelatende høyde over sann horisont (app. alt.) Refraksjon ved app.alt [ ]korrigert α [ ]ukorrigert +Semi-diameter etter tabell =Observert høyde α Korr. refraksjon = (tabellverdi x trykk i mb x 283) (1010 x temp i o K) = D Observert bredde 90 o 090 o 00,0 Observert høyde =MZD ±Deklinasjon N/S =Observert bredde Knut W. Hansson Side 96 av 119

98 Vedlegg Observasjon av månen, stjerne eller planet Oppgave 1. Observasjon av objekt Bestikkposisjon dato: bredde: lengde: Kronometertid: ± avvik: = tid UTC Månen er avlest i [ ]underkant [ ]overkant Avlest høyde: Indeksfeil: Øyehøyde: m Trykk: mb Temp: o C = o K A Objektets GHA og deklinasjon Kl UTC GHA GHA (etter tabell eller eget skjema) Deklinasjon (etter tabell) B Objektets observerte høyde Avlest høyde ±Indeksfeil ±Andre instrumentfeil =Målt høyde underkant/overkant Dip. øyehøyde etter tabell ( m) =Tilsynelatende høyde over sann horisont (app. alt.) Refraksjon ved app.alt [ ]ukorrigert [ ]korr α ±Månens semi-diameter etter tabell =Observert høyde med evt. parallaksefeil (OH) +Parallaksefeil månen=hp/p in A ( ) x cos(oh) =Observert høyde α Korrigert refraksjon = (tabellverdi x trykk i mb x 283) (1010 x temp i o K) = C Objektets senitdistanse ZD 90 o 090 o 00,0 Observert høyde =ZD Knut W. Hansson Side 97 av 119

99 Vedlegg Beregn loksodrom (rhumb line) RL Oppgave avf.br. avf.lgd. pk.br. pk.lgd. bf o lf o = bf nm = lf nm mbr = avk = lf x cos (mbr) = nm x cos ( o ) = nm nm tan (k) = avk : bf tan (k) = nm : nm = k = tan -1 (tan (k)) = tan -1 ( ) = rettv. k = rk = = Vi skal vestover og nordover («k o vest for nord»): rk = 360 o k o Vi skal vestover og sørover («k o vest for sør»): rk = 180 o + k o Vi skal østover og sørover («k o øst for sør»): rk = 180 o k o Vi skal østover og nordover («k o øst for nord»): rk = k o dist = bf : cos (k) dist = nm : cos ( ) Distansen = nm Knut W. Hansson Side 98 av 119

100 Vedlegg Beregn fremtidig posisjon langs loksodrom Oppgave Forkortelser som i loksodrom-beregning. Avf.br., Avf.lgd. Fart kn i timer = distanse nm Styrer rk = o tilsvarende k = o = o Fra rk til k: Vi seiler vestover og nordover («C o vest for nord»): C o = 360 o rk Vi seiler vestover og sørover («C o vest for sør»): C o = rk 180 o Vi seiler østover og sørover («C o øst for sør»): C o = 180 o rk Vi seiler østover og nordover («C o øst for nord»): C o = rk 7. bf = dist x cos(k) bf = nm x cos( ) = nm = o 8. pk. br. = avf. br. + bf pk.br. = + = 9. mbr = (avf. br + pk. br. ) 2 mbr = ( + ) : 2 = 10. avk = bf x tan (k) avk = nm x tan ( ) = nm 11. lf = avk cos(mbr) lf = nm : cos ( ) = nm = 12. pk. lgd. = avf. lgd. + lf pk. lgd. = + = Knut W. Hansson Side 99 av 119

101 Vedlegg Beregning av storsirkelkurs og distanse (GC) Oppgave avf.br. pk.br. avf.lgd. pk.lgd. lf cos (d) = sin (avf.br.) x (sin pk.br.) + cos (avf.br.) x cos (pk.br.) x (cos lf) cos d = sin ( ) x sin ( ) + cos ( ) x cos ( ) x cos ( ) cos (d) = d = cos -1 (cos( d )) = cos -1 ( ) = o GC distanse = d o x 60 = nm cos (k) = sin (pk.br.) sin (avf.br.) x cos (d) cos(avf.br.) x sin(d) cos (k) = [sin ( ) sin ( ) x cos ( )] : [cos ( ) x sin ( )] cos (k) = k = cos -1 (cos (k)) = cos -1 ( ) = o Rettvisende kurs: = o Hvis vi skal vestover: rk=360 o k o Hvis vi skal østover: rk=k o Knut W. Hansson Side 100 av 119

102 Vedlegg Tommelfingerregel for fart/lengde for en båt Den «gamle» regelen for maksfart for deplasementsbåter var at f = l der f er praktisk maksfart i knop og l = lengde av vannlinjen i meter. Med større fart en dette vil båten begynne å klatre oppover på sin egen baugbølge. Man ser det når joller begynner å aksellere inntil de kommer opp på baugbølgen og begynner å plane. En bedre regel er denne: f = 2, 43 x l 1 fot = 0,3048 m 1 m = 3,281 fot Eksempler: 25 fots båt: f = 2,43x 25 fot x 0,3048 = 2,43 x 7,62 m 6,7 kn 5 meters båt: f = 2,43 x 5 5,4 kn Knut W. Hansson Side 101 av 119

103 Vedlegg Dagtabell for 15. mars og 8. august 2016 (solen, Aries og et utvalg stjerner) Knut W. Hansson Side 102 av 119

104 Knut W. Hansson Side 103 av 119

105 Dagtabell forklart Timevinkel (GHA) og deklinasjon for solen, time for time UTC Korreksjonsfaktorer (vt for planeter/månen, vd for solen) Solens tilsynelatende radius Dato Meridianpassasje 0- meridianen Timevinkel (GHA) for «Aries» time for time UTC Soloppgang/- nedgang SHA og deklinasjon for noen stjerner (lik for alle dager) Knut W. Hansson Side 104 av 119

106 Vedlegg Tabeller for og minutter (solen og Aries) Knut W. Hansson Side 105 av 119

107 Knut W. Hansson Side 106 av 119

108 Tabell for minutter (solen og Aries) forklart Minutter tillegg til hel time Tillegg GHA for sol/planeter og for Aries for hvert sekund Tillegg deklinasjon (etter vd) i bueminutter Knut W. Hansson Side 107 av 119

109 Vedlegg Tabell for Solen: Korreksjoner Knut W. Hansson Side 108 av 119

110 Korreksjoner for solen forklart DIP for utvalgte øyenhøyder (velg nærmeste) Refraksjon etter app.alt. (se note) Solens tilsynelatende halve diameter etter måned bruk heller tallet for dagen Solens halvdiameter samme tabell med motsatt fortegn Note: Formel for korreksjon av refraksjonen Apparent altitude (app.alt.) er målt høyde korrigert for instrumentfeil (indeksfeil, andre feil) og dip. Refraksjon beregnes før semi-diameter. Refraksjonen trekkes altså fra for solens underkant. Knut W. Hansson Side 109 av 119

111 Vedlegg Tabell for stjerner: DIP og refraksjon Knut W. Hansson Side 110 av 119

112 Vedlegg Tabell for 15. mars og 8. august 2016 (planeter og måne) Utdrag av tabellen den går over to sider. Solen og Aries er også med her. Knut W. Hansson Side 111 av 119

113 Knut W. Hansson Side 112 av 119

Arbeidskopi. Manus til leksjonene er hentet fra grunnlaget til en ny lærebok i navigasjon som utkommer på Universitetsforlaget, våren 2016, jfr

Arbeidskopi. Manus til leksjonene er hentet fra grunnlaget til en ny lærebok i navigasjon som utkommer på Universitetsforlaget, våren 2016, jfr Leksjon 5, uke 38.2015 Leksjon 5 I denne leksjonen skal vi se nærmere på Plotting på papir Logger og korreksjonstall Magnetisme og deviasjon Strømkoblinger og kursrettelser Arbeidskopi Manus til leksjonene

Detaljer

Geografisk navigasjon. Lengde- og breddegrader

Geografisk navigasjon. Lengde- og breddegrader Geografisk navigasjon Kartreferanse er en tallangivelse av en geografisk posisjon. Tallene kan legges inn i en datamaskin med digitalt kart, en GPS eller avmerkes på et papirkart. En slik tallmessig beskrivelse

Detaljer

Artikkel 7: Navigering til sjøs uten GPS

Artikkel 7: Navigering til sjøs uten GPS Artikkel 7: Navigering til sjøs uten GPS Hvordan kan navigatøren bestemme posisjonen uten GPS? I 1714 utlovet Det engelske parlament 20000 pund (en formidabel sum den gangen) som belønning for den som

Detaljer

Hvor i all verden? Helge Jellestad

Hvor i all verden? Helge Jellestad Helge Jellestad Hvor i all verden? Vi presenterer her deler av et et undervisningsopplegg for ungdomstrinnet og videregående skole. Hele opplegget kan du lese mer om på www.caspar.no/tangenten/2009/hvor-i-all-verden.pdf.

Detaljer

Navigasjon. Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015. Tom Hetty Olsen

Navigasjon. Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015. Tom Hetty Olsen Navigasjon Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015 Tom Hetty Olsen Kartreferanse Kartreferanse er en tallangivelse av en geografisk posisjon. Tallene kan legges inn

Detaljer

Leksjon 5: Himmelens koordinater

Leksjon 5: Himmelens koordinater Leksjon 5: Himmelens koordinater 1.1 Montering av UiA teleskopet Bildet viser den nye ekvatoriale pilaren. Den er festet midlertidig på et horisontalt fundament med en bolt (til høyre) og en "bordklemme"

Detaljer

Matematikk og kart et undervisningsopplegg for ungdomstrinnet og videregående skole

Matematikk og kart et undervisningsopplegg for ungdomstrinnet og videregående skole Helge Jellestad, Laksevåg videregående skole Matematikk og kart et undervisningsopplegg for ungdomstrinnet og videregående skole Kart er en grei tilnærming til trigonometri. Avstanden mellom koordinatene

Detaljer

Solur. Sola, dagen og året

Solur. Sola, dagen og året Solur Sola, dagen og året Innhold Grunnleggende astronomi Hva er et solur? Lage solur Bruke solur Solurprosjekter fra Fjell skole Solur i skolen 2. årstrinn: observere solas bevegelse 7. årstrinn: forklare

Detaljer

Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass

Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass UTM Universal Transverse Mercator (UTM) er en måte å projisere jordas horisontale flate over i to dimensjoner. UTM deler jorda inn i 60 belter fra pol til

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Navigasjon og navigasjonsberegninger TP2M MAR2002 Mål 13

Navigasjon og navigasjonsberegninger TP2M MAR2002 Mål 13 Navigasjon og navigasjonsberegninger TP2M MAR2002 Mål 13 ID UTS.SVS.STP.TIP, EL, DH.4.1.1.14 Versjon 1.04 Gyldig fra 19.01.2016 Forfatter Verifisert Godkjent Side Linda Karlsen Heidi Brastad og Lars Arne

Detaljer

Jorda bruker omtrent 365 og en kvart dag på en runde rundt sola. Tilsammen blir disse fire fjerdedelene til en hel dag i løpet av 4 år.

Jorda bruker omtrent 365 og en kvart dag på en runde rundt sola. Tilsammen blir disse fire fjerdedelene til en hel dag i løpet av 4 år. "Hvem har rett?" - Jorda og verdensrommet 1. Om skuddår - I løpet av 9 år vil man oppleve 2 skuddårsdager. - I løpet av 7 år vil man oppleve 2 skuddårsdager. - I løpet av 2 år vil man oppleve 2 skuddårsdager.

Detaljer

Kan en over 2000 år gammel metode gi gode mål for jordens omkrets?

Kan en over 2000 år gammel metode gi gode mål for jordens omkrets? SPISS Naturfaglige artikler av elever i videregående opplæring Kan en over 2000 år gammel metode gi gode mål for jordens omkrets? Forfatter: Martin Kjøllesdal Johnsrud, Bø Videregåande Skule Det er i dag

Detaljer

Solur har ord på seg å være unøyaktige,

Solur har ord på seg å være unøyaktige, I samverkan mellan Nämnaren och Tangenten ANNE BRUVOLD Lag et solur som virker Hur man bygger ett solur som visar korrekt tid är inte självklart. I artikeln kan man läsa om olika typer av solur, från de

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG, KAPITTEL 2

LØSNINGSFORSLAG, KAPITTEL 2 ØNINGFORAG, KAPITTE REVIEW QUETION: Hva er forskjellen på konduksjon og konveksjon? Konduksjon: Varme overføres på molekylært nivå uten at molekylene flytter på seg. Tenk deg at du holder en spiseskje

Detaljer

Fysikk 3FY AA6227. Elever og privatister. 26. mai 2000. Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag

Fysikk 3FY AA6227. Elever og privatister. 26. mai 2000. Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag E K S A M E N EKSAMENSSEKRETARIATET Fysikk 3FY AA6227 Elever og privatister 26. mai 2000 Bokmål Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Les opplysningene på neste

Detaljer

Om flo og fjære og kunsten å veie Månen

Om flo og fjære og kunsten å veie Månen Om flo og fjære og kunsten å veie Månen Jan Myrheim Institutt for fysikk NTNU 28. mars 2012 Innhold Målt flo og fjære i Trondheimsfjorden Teori for tidevannskrefter Hvordan veie Sola og Månen Friksjon

Detaljer

Matematikk og fysikk RF3100

Matematikk og fysikk RF3100 DUMMY Matematikk og fysikk RF300 Løsningsforslag 23. januar 205 Tidsfrist: 30.januar 205 Oppgave a) Gjør om til kanoniske polarkoordinater, d.v.s. (r, θ)-koordinater innenfor området r 0 og 80 < θ < 80.

Detaljer

Arbeid mot friksjon 1 (lærerveiledning)

Arbeid mot friksjon 1 (lærerveiledning) Arbeid mot friksjon 1 (lærerveiledning) Vanskelighetsgrad: Liten, middels Short English summary In this exercise we shall measure the work (W) done when a constant force (F) pulls a block some distance

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

For å finne bakkehastighet ved kjent vind, vindretning, flyretning og airspeed:

For å finne bakkehastighet ved kjent vind, vindretning, flyretning og airspeed: For å finne bakkehastighet ved kjent vind, vindretning, flyretning og airspeed: INFO: Vinden kommer fra 300 grader, og er 20 knop. Snurr Azimutskiva på 300 grader, og marker 20 knop med et kryss rett ovenfor

Detaljer

Kanter, kanter, mange mangekanter

Kanter, kanter, mange mangekanter Kanter, kanter, mange mangekanter Nybegynner Processing PDF Introduksjon: Her skal vi se på litt mer avansert opptegning og bevegelse. Vi skal ta utgangspunkt i oppgaven om den sprettende ballen, men bytte

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

10-mila 2014 Tidligere løp i omra det

10-mila 2014 Tidligere løp i omra det 10-mila 2014 Tidligere løp i omra det Smålandskavlen 1996 I samme område som 10-mila. O-ringen 2009 I samme område som 10-mila. Spesielt 5. etappe. Terreng og kart Terreng Terrenget er generelt flatt,

Detaljer

Blikk mot himmelen 8. - 10. trinn Inntil 90 minutter

Blikk mot himmelen 8. - 10. trinn Inntil 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Blikk mot himmelen 8. - 10. trinn Inntil 90 minutter Blikk mot himmelen er et skoleprogram der elevene får bli kjent med dannelsen av universet, vårt solsystem og

Detaljer

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Innhold 1 1 1.1 Hva er en algoritme?............................... 1 1.2

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern:

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern: Tempoplan: Etter dette kapitlet repetisjon og karaktergivende prøver! 7: Geometri Kunnskapsløftet de nye læreplanene legger vekt på konstruksjon av figurer! I utgangspunktet kan det høres ganske greit

Detaljer

Flagg Erfaren Scratch Lærerveiledning

Flagg Erfaren Scratch Lærerveiledning Flagg Erfaren Scratch Lærerveiledning Introduksjon I denne oppgaven vil vi se litt nærmere på hvordan vi kan lage spennende mønstre og animasjoner ved hjelp av litt matematikk. Spesielt skal vi tegne et

Detaljer

Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003)

Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003) Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003) 0. mars 2005 Radianer Gitt et punkt A på en sirkel med radius og sentrum O. La punktet P v flytte seg fra punktet A slik at det beveger seg langs en sirkelbue

Detaljer

dyst Nærstrid er våpenøvelser mot målskiver. Øvelsene settes sammen til en bane som består av varierende våpen og teknikker.

dyst Nærstrid er våpenøvelser mot målskiver. Øvelsene settes sammen til en bane som består av varierende våpen og teknikker. Hva er riddersport? Riddersport er middelalderens våpenbruk til hest gjeninnført som en moderne sport. Grener og momenter er historisk basert, og i størst mulig grad hentet fra manuskripter fra høy- og

Detaljer

http://www.nelostuote.fi/norja/discoveryregler.html

http://www.nelostuote.fi/norja/discoveryregler.html Sivu 1/6 Innhold 2 kart (spillebrett), 2 gjennomsiktige plastark (som legges oppå spillebrettene), Sjekkometer, 28 sjekkometerkort, 18 utstyrskort, 210 terrengbrikker, 2 tusjpenner. Hvem vinner? I Discovery

Detaljer

Oppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn

Oppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn Oppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn Løsningsord for kalenderen er RAKETTBASE PRESIS KLOKKA TO A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P Q R S T U

Detaljer

Notat om trigonometriske funksjoner

Notat om trigonometriske funksjoner Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 38 dag 1 1. På en hylle står det tre bøker. Den første boken er like tykk som de to andre til sammen. Den andre boken er på 150 sider, mens den tredje boken er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: GEF 1100 Klimasystemet Eksamensdag: Torsdag 8. oktober 2015 Tid for eksamen: 15:00 18:00 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator Oppgavesettet

Detaljer

Trigonometri, regulære mangekanter og stjerner

Trigonometri, regulære mangekanter og stjerner Trigonometri, regulære mangekanter og stjerner Nybegynner Processing Introduksjon Nå som du kan tegne mangekanter (hvis du ikke har gjort leksjonen om mangekanter, bør du gjøre dem først), skal vi se på

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 10 (ti) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 10 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................

Detaljer

En kosmisk reise Forelesning 2. Om stjernehimmelen, koordinatsystemer og astronomi i antikken

En kosmisk reise Forelesning 2. Om stjernehimmelen, koordinatsystemer og astronomi i antikken En kosmisk reise Forelesning 2 Om stjernehimmelen, koordinatsystemer og astronomi i antikken De viktigste punktene i dag: Hvordan angi posisjon på himmelen Hvordan stjernehimmelen forandrer seg gjennom

Detaljer

TRIGONOMETRISKE BEREGNINGER FOR GEOMATIKK VED BRUK AV KALKULATORER

TRIGONOMETRISKE BEREGNINGER FOR GEOMATIKK VED BRUK AV KALKULATORER BILAG TRIGONOMETRISKE BEREGNINGER FOR GEOMATIKK VED BRUK AV KALKULATORER FORELØPIG UTGAVE 1. OKTOBER 2016 1 BØKER FRA BYGGESAKEN AS Les om bøkene og bestill på www.byggesaken.no 2 KALKULATORER OG TRIGONOMETRISKE

Detaljer

Krefter, Newtons lover, dreiemoment

Krefter, Newtons lover, dreiemoment Krefter, Newtons lover, dreiemoment Tor Nordam 13. september 2007 Krefter er vektorer En ting som beveger seg har en hastighet. Hastighet er en vektor, som vi vanligvis skriver v. Hastighetsvektoren har

Detaljer

Prosjektoppgave i FYS-MEK 1110

Prosjektoppgave i FYS-MEK 1110 Prosjektoppgave i FYS-MEK 1110 03.05.2005 Kari Alterskjær Gruppe 1 Prosjektoppgave i FYS-MEK 1110 våren 2005 Hensikten med prosjektoppgaven er å studere Jordas bevegelse rundt sola og beregne bevegelsen

Detaljer

Areal av polygoner med GeoGebra

Areal av polygoner med GeoGebra 1. Vi starter med å lage forskjellige rektangler og kvadrater med følgende arealer: 1 rute, 2 ruter, 3 ruter, 4 ruter, 5 ruter, 6 ruter, 7 ruter, 8 ruter, 9 ruter og 10 ruter 2. Tegn så mange ulike figurer

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM01G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM01G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Skipsoffisersutdanningen i Norge 00TM01G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Generelt Utarbeidet av: Maritime fagskoler i Norge Godkjent av: Linda Gran Kalve Versjon: 2.01 Gjelder fra: 27.09.2016

Detaljer

1 påvirker: - årstider - døgnvariasjoner. 2 - parallellsirkel - storsirkel, småsirkel - loksodrom - meridian

1 påvirker: - årstider - døgnvariasjoner. 2 - parallellsirkel - storsirkel, småsirkel - loksodrom - meridian 06 Navigasjon Pensumet avviker fra pensum for LAPL - har ikke: 1=Kjennskap, =Redegjør, =Forklar. Radionavigasjon, NDB, VOR/ILS og DME. Referanse Pensum detaljer og tilhørense målkrav Vekt NAVIGASJONENS

Detaljer

NOTAT 4. mars 2010. Norsk institutt for vannforskning (NIVA), Oslo

NOTAT 4. mars 2010. Norsk institutt for vannforskning (NIVA), Oslo NOTAT 4. mars 21 Til: Naustdal og Askvoll kommuner, ved Annlaug Kjelstad og Kjersti Sande Tveit Fra: Jarle Molvær, NIVA Kopi: Harald Sørby (KLIF) og Jan Aure (Havforskningsinstituttet) Sak: Nærmere vurdering

Detaljer

Solsystemet, 5.-7. trinn

Solsystemet, 5.-7. trinn Lærerveiledning Solsystemet, 5.-7. trinn Viktig informasjon om Solsystemet Vi ønsker at lærere og elever er forberedt når de kommer til VilVite. Lærerveiledningen inneholder viktig informasjon om læringsprogrammet

Detaljer

5. kurskveld på Ila. Måling, prosentregning og grunnleggende geometri

5. kurskveld på Ila. Måling, prosentregning og grunnleggende geometri 5. kurskveld på Ila. Måling, prosentregning og grunnleggende geometri Målinger finnes naturlig i hverdagen vår. Denne kurskvelden skal vi forsøke å møte de ulike begrepene slik som ungene møter dem og

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 41 dag 1 1. Erik jobber som salgsmedarbeider ved et teater. En dag brukte han hele arbeidsdagen på å ringe til firmaer for å tilby spesialavtaler. Han begynte

Detaljer

Er det noe vits å kunne slike ting???.. Ja absolutt!

Er det noe vits å kunne slike ting???.. Ja absolutt! Navigasjon for PPG piloter Er det noe vits å kunne slike ting???.. Ja absolutt! Du vil ha mye bedre kontroll over turene dine, spesielt de litt lengre Slik kunnskap bringer en ny dimensjon til motorturene

Detaljer

Newtons (og hele universets...) lover

Newtons (og hele universets...) lover Newtons (og hele universets...) lover Kommentarer og referanseoppgaver (2.25, 2.126, 2.136, 2.140, 2.141, B2.7) Newtons 4 lover: (Gravitasjonsloven og Newtons første, andre og tredje lov.) GL: N I: N III:

Detaljer

ESERO AKTIVITET HVILKEN EFFEKT HAR SOLEN? Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8

ESERO AKTIVITET HVILKEN EFFEKT HAR SOLEN? Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8 ESERO AKTIVITET Klassetrinn 7-8 Lærerveiledning og elevaktivitet Oversikt Tid Læremål Nødvendige materialer 50 min. lære at Solen dreier seg rundt sin egen akse fra vest til øst (mot urviserne) oppdage

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2011 2012

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2011 2012 Bokmål Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 011 01 Første runde. november 011 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 0 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av

Detaljer

En koordinat er ikke bare en koordinat

En koordinat er ikke bare en koordinat En koordinat er ikke bare en koordinat En enkel innføring i koordinatsystem og kartprojeksjoner i Norge Versjon 1.0 Yngvar Amlien og Terje Omtveit Gilde 15. mai 2013 http://hovedprosjekter.hig.no/v2013/tol/geo/utmntm/koordinatsystem.pdf

Detaljer

Generell trigonometri

Generell trigonometri 7 Generell trigonometri 7.1 et utvidede vinkelbegrepet Oppgave 7.110 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 30 b) 120 c) 210 d) 300 Oppgave 7.111 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 45 b) 360 c) 540 d) 720 Oppgave

Detaljer

FASIT UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

FASIT UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet FASIT UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: AST1010 Astronomi en kosmisk reise Eksamensdag: Onsdag 18. mai 2016 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet er

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

Overvåking av jerv - bruk av Garmin GPS 12XL

Overvåking av jerv - bruk av Garmin GPS 12XL Overvåking av jerv - bruk av Garmin GPS 12XL Henrik Brøseth, NINA, februar 2003 Garmin GPS 12XL har en mengde funksjoner, hvorav det bare er et fåtall som er aktuelle for bruk i overvåkingsarbeidet på

Detaljer

MÅLING AV TYNGDEAKSELERASJON

MÅLING AV TYNGDEAKSELERASJON 1. 9. 2009 FORSØK I NATURFAG HØGSKOLEN I BODØ MÅLING AV TYNGDEAKSELERASJON Foto: Mari Bjørnevik Mari Bjørnevik, Marianne Tymi Gabrielsen og Marianne Eidissen Hansen 1 Innledning Hensikten med forsøket

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Beregning av bønnstider

Beregning av bønnstider Beregning av bønnstider GMSN Muslimer utfører fem bønner om dagen. Hver bønn er gitt en bestemt foreskrevet tid der den må utføres. Dette dokumentet beskriver kort disse tider, og forklarer hvordan de

Detaljer

Beregningene for tabellene over høy- og lavvann er utført av Kartverket Sjødivisjonen. Høy- og lavvannsklokkeslettene

Beregningene for tabellene over høy- og lavvann er utført av Kartverket Sjødivisjonen. Høy- og lavvannsklokkeslettene 1 Statens kartverk Sjø Beregningene for tabellene over høy- og lavvann er utført av Kartverket Sjødivisjonen. Høy- og lavvannsklokkeslettene er gitt i norsk normaltid. Ettertrykkstillatelse må innhentes

Detaljer

Tallinjen FRA A TIL Å

Tallinjen FRA A TIL Å Tallinjen FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallinjen T - 2 2 Grunnleggende om tallinjen T - 2 3 Hvordan vi kan bruke en tallinje T - 4 3.1 Tallinjen

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

5.4 Den estetiske dimensjonen

5.4 Den estetiske dimensjonen 5.4 Den estetiske dimensjonen I et brev til sin elskerinne, Sophie Volland, skriver redaktøren av Encyclopedi, Denis Diderot (1713 1774): «Michelangelo søker etter hvilken form han skal gi kuppelen i St.

Detaljer

Forord Astro-Navigasjon-02 Astronomisk Navigasjon Tid: Vi bruker GMT om bord Slik vi ser det, våre bredder

Forord Astro-Navigasjon-02 Astronomisk Navigasjon Tid: Vi bruker GMT om bord Slik vi ser det, våre bredder Forord Stoffet i dette kompendium er tatt fra forskjellige navigasjonsbøker og delvis omskrevet slik at det passer til pensum for fritidsbåtførere. Den eldste boka var tilegnet Kronprins Olav og kom ut

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

Kapittel 12 Sammenheng i tekst

Kapittel 12 Sammenheng i tekst Kapittel 12 Sammenheng i tekst 12.1 vi har har vi har vi har vi 12.2 Anna har både god utdannelse og arbeidserfaring. Anna har verken hus eller bil. Både Jim og Anna har god utdannelse. Verken Jim eller

Detaljer

Høsten 2015 Bokmål. Prøveinformasjon. Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: Del 1 (32,5 poeng) Del 2 (29 poeng)

Høsten 2015 Bokmål. Prøveinformasjon. Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: Del 1 (32,5 poeng) Del 2 (29 poeng) Høsten 2015 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen

Detaljer

Retningslinjer for Båtførerprøven

Retningslinjer for Båtførerprøven Retningslinjer for Båtførerprøven A. Generelle retningslinjer 1. Båtførerprøven er en teoretisk prøve, som er ment å gi et minimum av kunnskap om å ferdes sikkert og hensynsfullt i fritidsbåt. Prøven kan

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )

Detaljer

Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1.

Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1. FYS2130 Våren 2008 Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1. Vi har på forelesning gått gjennom foldingsfenomenet ved diskret Fourier transform, men ikke vært pinlig nøyaktige

Detaljer

Forskrift om påbudt skipsrapporteringssystem i norsk territorialfarvann og økonomisk sone

Forskrift om påbudt skipsrapporteringssystem i norsk territorialfarvann og økonomisk sone Forskrift om påbudt skipsrapporteringssystem i norsk territorialfarvann og økonomisk sone Hjemmel: Fastsatt av Fiskeri- og kystdepartementet 29. mai 2013 med hjemmel i lov 17. april nr. 19 om havner og

Detaljer

Løsning del 1 utrinn Vår 10

Løsning del 1 utrinn Vår 10 /15/016 Løsning del 1 utrinn Vår 10 - matematikk.net Løsning del 1 utrinn Vår 10 Contents Oppgave 1 4 + 465 = 799 854 8 = 56 c) d) 64 :4 = 66 Oppgave c) d)650 g = 650 : 1000 kg = 6,50kg Oppgave 4, 7 =

Detaljer

GPS-jakten Vg1-Vg3 90 minutter

GPS-jakten Vg1-Vg3 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: GPS-jakten Vg1-Vg3 90 minutter GPS-jakten er et skoleprogram hvor elevene lærer om bruk av GPS, kart og GIS. Det beste er at elever og lærere er forberedt når de kommer

Detaljer

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 9 dag 1 1. Kjetil og Øystein skal kjøre fra Stavanger til Oslo i hver sin bil. Kjetil starter først og holder en konstant fart på 75 km/t. Øystein starter en

Detaljer

Regneoppgaver AST 1010, vår 2017

Regneoppgaver AST 1010, vår 2017 Regneoppgaver AST 1010, vår 2017 (Sist oppdatert: 09.03.2017) OBS: Ikke få panikk om du ikke får til oppgavene med en gang, eller om du står helt fast: I forelesningsnotatene 1 finner du regneeksempler.

Detaljer

Soloball. Steg 1: En roterende katt. Sjekkliste. Test prosjektet. Introduksjon. Vi begynner med å se på hvordan vi kan få kattefiguren til å rotere.

Soloball. Steg 1: En roterende katt. Sjekkliste. Test prosjektet. Introduksjon. Vi begynner med å se på hvordan vi kan få kattefiguren til å rotere. Soloball Introduksjon Scratch Introduksjon Vi skal nå lære hvordan vi kan lage et enkelt ballspill med Scratch. I soloball skal du styre katten som kontrollerer ballen, slik at ballen ikke går i nettet.

Detaljer

Skogens røtter og menneskets føtter

Skogens røtter og menneskets føtter Elevhefte Skogens røtter og menneskets føtter Del 1 Frøspiring og vekst NAVN: Skogens røtter og menneskets føtter Frøspiring og vekst Innhold Del 1 Frøspiring og vekst... 1 1. Alle trær har vært et lite

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

KOORDINATBESTEMMELSER I HISTORISK PERSPEKTIV

KOORDINATBESTEMMELSER I HISTORISK PERSPEKTIV KOORDINATBESTEMMELSER I HISTORISK PERSPEKTIV TEKNOLOGISKIFTER I NORGE SIDEN REFORMASJONEN BJØRN RAGNVALD PETTERSEN INSTITUTT FOR MATEMATISKE REALFAG OG TEKNOLOGI, NMBU OG INSTITUTT FOR TEORETISK ASTROFYSIKK

Detaljer

Katrine Olsen Gillerdalen. En mors kamp for sin sønn

Katrine Olsen Gillerdalen. En mors kamp for sin sønn Katrine Olsen Gillerdalen Odin En mors kamp for sin sønn Til Odin Mitt gull, min vakre gutt. Takk for alt du har gitt meg. Jeg elsker deg høyere enn stjernene. For alltid, din mamma Forord Jeg er verdens

Detaljer

ESERO AKTIVITET STORE OG SMÅ PLANETER. Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 5-6

ESERO AKTIVITET STORE OG SMÅ PLANETER. Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 5-6 ESERO AKTIVITET Klassetrinn 5-6 Lærerveiledning og elevaktivitet Oversikt Tid Læremål Nødvendige materialer 50 minutter Å: vite at de åtte planetene har forskjellige størrelser lære navnene på planetene

Detaljer