1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk?
|
|
- Mina Haraldsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 Innledning 1.1 Hva er statistikk? I et forsøk på å svare på hva statistikk er for noe, skal vi først betrakte et par praktiske situasjoner. Situasjon 1. Arne, Berit, Dina og Even sitter i samme gruppe på skolen. En dag teller de hvor mange blyanter de har i penalene sine. Antall blyanter finner de ut er henholdsvis Situasjon 2. Arne, Berit, Dina og Even ville at alle elevene i klassen skulle telle hvor mange blyanter de har i penalene sine. Hver elev skrev antallet på en lapp som de viste læreren samtidig. På lappene sto det: oooooo Felles for disse situasjonene er at elevene gjør en undersøkelse og registrerer (teller opp) antall blyanter de har. Elevene vil erfare at antall blyanter varierer fra elev til elev; ikke alle elevene har samme antall blyanter. En kaller denne samlingen av elevenes antall for et datamateriale. Hva skal en gjøre med et slikt datamateriale? Hva er hensikten med å samle inn disse opplysningene? Svaret er at Arne, Berit, Dina og Even ønsker å skaffe seg en oversikt over hvordan det forholder seg med (i dette tilfellet) antall blyanter i elevenes pennal. I neste omgang kan en spørre seg hva en skal med denne oversikten? Svaret på dette er gjerne at en vil ha rede på hvor stort antall blyanter en har selv i forhold til resten av klassen. Andre ganger kan det være slik at en vil formidle (gi informasjon) videre om det en har undersøkt. I situasjon 1 vil en lett registrere at datamaterialet består av 4 observasjoner. En mottaker av elevenes informasjon vil i rimelig grad ha en grei oversikt over dette datamaterialet både i det tilfellet en kun ser blyantene og i det tilfellet en hører elevene oppgi sine KAPITTEL 1 7
2 antall. Grunnen til dette er at det er relativt få observasjoner å forholde seg til. I situasjon 2 blir det sikkert noe verre for læreren å få en grei oversikt over antall blyanter elevene har i penalene. Dette skyldes at læreren må forholde seg til et større antall observasjoner, et antall som er for stort til at en med ett blikk kan ha mulighet til å få en fullstendig oversikt over datamaterialet. Dersom en tenker seg at en elev skal informere elevene i parallellklassen om antall blyanter, vil dette fortone seg som en grei oppgave når det gjelder situasjon 1, men altså en del verre når det gjelder situasjon 2. Så et nærliggende spørsmål er hva en kan gjøre for å kunne formidle resultatet fra situasjon 2 på en fornuftig måte. En innser lett at en oppramsing av observasjonene 8, 6, 10, 7, 5, 9, ikke er en fullgod måte å formidle denne informasjonen på (prøv selv!). Det er i grunnen litt merkelig fordi dette kan sees på å være den mest fullstendige måten å gjøre det på. Siden en oppramsing ikke er en brukbar framgangsmåte, må en finne alternative formidlingsformer; former som i størst mulig grad ivaretar den informasjonen som ligger i datamaterialet. En mottaker av denne informasjonen bør i tillegg ha mulighet til å trekke konklusjoner på bakgrunn av informasjonen som blir gitt. I situasjon 2 er det åpenbart en fordel å strukturere/ordne observasjonene på en hensiktsmessig måte slik at en lettere kan skaffe seg et overblikk over situasjonen. Det er dette faget statistikk bl.a. handler om. Men kan vi si mer om hva som er statistikk? Foran har vi nevnt statistikk i forbindelse med presentasjon av informasjon. Ofte gjelder dette resultater av undersøkelser. Slike undersøkelser kan betraktes som forsøk hvor en ut fra nærmere bestemte utgangsbetingelser skal registrere hvilket utfall (resultat) forsøket gir. Det er allerede verdt å merke seg at i slike forsøk er en på forhånd ikke sikker på hva resultatet av undersøkelsen blir. La oss se på et eksempel. Eksempel 1.1 Terningkast. Kaster vi en terning, vet vi ikke på forhånd hvilken side som vil vende opp (dvs. antall «øyne» terningen viser). Det eneste vi vet, er at resultatet av forsøket enten blir 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Gjentar vi forsøket, er det faktisk stor sjanse for at resultatet ikke blir det samme som i første forsøk. Antall «øyne» terningen viser vil altså variere fra kast til kast. oooooo Eksempel 1.1 beskriver altså en forsøkssituasjon hvor vi på forhånd ikke vet resultatet av forsøket, men at dette kan variere fra gang til gang. Imidlertid legger vi merke til at vi i dette tilfellet kan snakke 8 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE
3 om hvor stor sannsynlighet (sjanse) vi har for at forsøket skal resultere i f.eks. en sekser. En nærmere analyse av denne forsøkssituasjonen tilsier at en kan sette sannsynligheten for en sekser lik 1/6 (mer om dette i kapitlene om sannsynlighetsregning). Av den grunn beskrives slike forsøk ved en såkalt sannsynlighetsteoretisk modell. Det er slike forsøkssituasjoner vi behandler i statistikken. I situasjon 1 og 2 kan vi ikke uten videre tallfeste noen sannsynlighet for hvor mange blyanter elevene har i penalene sine, men på grunn av at antall blyanter åpenbart kan variere fra elev til elev, er også dette en situasjon som kan beskrives ved en sannsynlighetsteoretisk modell. Oppsummering: Registrering, innsamling og bearbeiding av opplysninger i slike forsøk som er beskrevet i eksempel 1.1, kaller vi STATISTIKK. Arbeidet i statistikk kan vi inndele i to hovedområder; 1. Samle inn og ordne opplysninger/data på en hensiktsmessig måte. 2. Tolke og trekke slutninger på grunnlag av disse opplysningene på en vitenskaplig forsvarlig måte oooooo I grunnskolen arbeides det hovedsaklig med punkt 1. Denne delen går under betegnelsen Beskrivende statistikk (også kalt deskriptiv statistikk), og omfatter bl.a. bruk av tabeller og diagrammer. Hva folk flest forbinder med begrepet statistikk er gjerne punkt 1. Formuleringen i punkt 2 inneholder mye. Her har vi bl.a. skrevet «vitenskaplig forsvarlig måte». Denne formuleringen gir en antydning om at det eksisterer et sett av «nøytrale» beslutningsregler eller samling metoder som kan anvendes i de situasjonene en undersøker. Dette er momenter som inngår i den såkalte analytiske statistikken. Denne omtales like gjerne som metodedelen innen fagområdet statistikk. Så kan en spørre hva det er som skiller metodedelen fra den beskrivende statistikken. I hovedsak består forskjellen i at en trekker konklusjoner/slutninger om en samling individer uten at en har oversikt over hele samlingen, men kun med bakgrunn i kunnskaper om en liten del av denne samlingen individer («stikkprøve»). De fleste undersøkelser vi leser og hører om, er nettopp gjennomført på denne måten. Som vi senere skal se, er en imidlertid aldri 100 % sikker i de slutninger som tas. Denne delen av statistikken omtales derfor ofte som en samling metoder hvor en trekker konklusjoner forbundet med usikkerhet. Ellers er det å bemerke til dette punktet at en selvsagt også opplever at det blir trukket konklusjoner på bakgrunn av data- KAPITTEL 1 9
4 materialer uten å ta i bruk slike nøytrale beslutningsregler. I grunnskolearbeid med statistikk bør vi ha en arbeidsform som stimulerer elevene til å trekke konklusjoner om det de undersøker. Selv om vi ikke skal forvente at konklusjonene er på et «vitenskaplig forsvarlig» nivå, bør vi arbeide på en slik måte at elevene får best mulig grunnlag for å trekke sine konklusjoner om det de undersøker. Gjennom denne oppsummeringen har vi nå sett at faget statistikk består av komponentene beskrivende statistikk, sannsynlighetsregning og analytisk statistikk. Følgende visuelle oversikt viser sammenhengen mellom de ulike komponentene: Beskrivende statistikk Metodelære (analytisk statistikk) Sannsynlighetsregning I denne boken vil vi komme innom alle disse tre områdene som i stor grad influerer på hverandre (markert med pilene). En vil finne at flere begreper som en benytter i metodelæren også anvendes i den beskrivende delen av statistikken. Sannsynlighetsregningen er en selvstendig disiplin, men virker som et bindeledd mellom deler av den beskrivende statistikken og metodelæren. 1.2 Statistikk i samfunnet Vi kjenner alle til at det i sin tid «gikk ut befaling fra keiser Augustus om at hele verden skulle innskrives i manntall», jfr. Lukas evangelium 2. kapittel 1. vers. Dette viser at fra tidlig av hadde et rikes hersker behov for å få samlet inn opplysninger om alle innbyggerne i landet. Imidlertid er det helt på det rene at denne type virksomhet startet på et enda tidligere tidspunkt i menneskets historie. En kjenner til at allerede rundt 1500 f.kr. fødsel eksisterte det i Judea offisielle data som viste at det var 100 tusen innbyggere i landet. Grunnen til at de som regjerte landet trengte slike opplysninger, 10 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE
5 skyldtes trolig et generelt behov for kontroll og ikke minst en sikring av at alle skulle betale sin skatt. Noe senere i tid, nærmere bestemt på 1700-tallet, kjenner en til at enkelte stater i Europa samlet inn data i et litt større omfang (over sine innbyggere) når det gjelder folketall, fødsler, dødsfall, osv. Siden datamaterialene opprinnelig beskrev samfunnsmessige forhold, ble statistikk mer betraktet som et samfunnsfag enn et matematisk fag. Disse eksemplene viser at statistikk er et eldre fagområde og at det har vært et nyttig «verktøy» til å styre samfunnet og til å holde oversikt over diverse forhold i samfunnet. En skal legge merke til at bruken av statistikk i disse eksemplene, baserer seg på såkalte fullstendige tellinger, dvs. hvert enkelt individ i samfunnet ble registrert. Presentasjonen av opplysningene ble gjort i form av f.eks. tabeller og diagrammer. Men også tallstørelser som angir sentrale tendenser og variasjoner i datamaterialet ble angitt. Det er dette som vi i dag altså kaller Beskrivende statistikk. I nyere tid er statistikk som metodefag utviklet. Prinsippet bak disse metodene er at en har muligheter til å skaffe seg informasjon om bestemte forhold (og trekke konklusjoner) uten at en foretar fullstendige tellinger. Med basis i et tilfeldig utvalg observasjoner (stikkprøve) er en i stand til å trekke konklusjoner om hele samlingen utvalget er hentet fra. Denne delen av faget bygger på fagområdene matematikk og sannsynlighetsregning. Alt i alt er nå fagområdet statistikk betraktet som en del av matematikken; en del som viser seg å vokse i aktualitet og omfang. Fagområdet er såvidt allsidig at det benyttes som hjelpemiddel innen såvel forskningsmiljøer som i næringslivet og i massemedia. Begreper og prinsipper i statistisk metodelære blir benyttet i høyere utdanning innen pedagogikk, psykologi, sosiologi, statsvitenskap, medisin, farmasi, økonomi m.fl. Innen disse fagområdene er statistikk et nødvendig hjelpemiddel til å sette navn på ulike fenomener, treffe beslutninger og avdekke mulige sammenhenger mellom fenomenene. I massemedia støter vi på statistikken først og fremst gjennom tabeller og grafiske framstillinger. Det emnet som kanskje er hyppigst framme i samfunnsdebatten, er de politiske meningsmålingene. Nokså hyppig ser en også oppslag om ulike undersøkelser som er blitt gjennomført. Disse er gjerne basert på den samling metoder som hører til den analytiske delen av statistikken. 1.3 Statistikk i grunnskolen Med mønsterplanen av 1974 (MP74) var det for første gang duket for statistikk som eget emne i grunnskolematematikken. Både i denne planen og i mønsterplanen av 1987 (M87) foreslås emnet KAPITTEL 1 11
6 innført i løpet av de tre første skoleårene. I Læreplanen av 1997 (L97) er «Behandling av data» som eget målområde lagt til mellomtrinnet og ungdomstrinnet, men det er rom for å starte på et tidligere tidspunkt. Mange lærere starter allerede i første eller andre klasse med å la elevene samle inn og ordne ulike data om f.eks. været. Senere øker omfanget gradvis på en slik måte at hovedinnføringen skjer på ungdomstrinnet. En studie av de tre siste planverkene for grunnskolen viser at omfanget av fagområdet statistikk øker. Nye områder i M87 var kombinatorikk og sannsynlighetsregning. Med innføringen av L97 kom nok et nytt område, nemlig beskrivelse av variasjon i et datamateriale (variasjonsbredden). Dette viser fagområdets økende aktualitet. Arbeidet med statistikk i grunnskolen dreier seg i det vesentligste om å samle inn og systematisere datamaterialer på en hensiktsmessig måte. Dette bidrar til å gi elevene en nødvendig innsikt i hvordan tabeller og diagrammer de ser i massemedia blir til. Denne systematiseringen har mye til felles med hva folk flest forbinder med begrepet statistikk. Gjennom fjernsyn, aviser og tidsskrifter blir informasjon av ulike slag presentert ved hjelp av tabeller og diagrammer. Kunnskaper om disse vil derfor bidra til å øke forståelsen og rekkevidden av den informasjonsstrømmen som vi daglig mottar. Selv om digrammer ofte øker lesbarheten, skal en være klar over at disse også kan benyttes (bevisst eller ubevisst) til å tilsløre sammenhenger. På den måten kan en risikere at diagrammene virker manipulerende. Et viktig mål med statistikkundervisningen i skolen bør derfor være at en oppøver elevene til en kritisk holdning til måter informasjon kan presenteres på. Vi avslutter dette kapitlet med et eksempel som kan beskrives av en sannsynlighetsteoretisk modell. Eksemplet knytter sammen noen av de ord og uttrykk som er benyttet i dette kapitlet. Eksempel 1.2 I en førsteklasse vil vi undersøke hvor mange søsken elevene har. Før vi spør den enkelte elev, vet vi selvsagt ikke hvor mange søsken eleven har, men det er opplagt at antallet er enten ingen (dvs. enebarn), en, to, tre, osv. Når vi så spør hver elev hvor mange søsken han eller hun har, registrerer vi antall søsken vedkommende har. Når alle er spurt, er vi ferdig med innsamlingen av datamaterialet, og det gjenstår å systematisere dette. Dette innebærer at en teller opp hvor mange av elevene som er enebarn, hvor mange som har en søster/bror osv. Denne oversikten kan vi f.eks. sette opp i en tabell. Mer om dette i kapittel STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE
7 1.4 Litt om den videre framstilling De fleste studenter kjenner fagområdene statistikk og sannsynlighetsregning fra grunnskolen og første klasse i videregående skole. Mange har også møtt disse fagområdene senere i videregående skole. I denne framstillingen vil vi for helhetens skyld gi en orientering om begreper som skulle være kjent for de fleste fra før, men også gå noe i dybden ved å analysere hvilke egenskaper de ulike begrepene har. Mye av dette fagstoffet er tenkt benyttet som selvstudium, spesielt de fire første kapitlene. Nye emner er behandlet mer omstendelig. KAPITTEL 1 13
10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)
10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes
Detaljer3.2 Misbruk i media KAPITTEL 3 31
La oss nå anta at Marie benytter noe av ukelønnen til å betale inngangspenger i ungdoms-klubben. Anta at vi kan benytte en bratt framstillingsmåte som den til venstre i figur 3.1 til å vise hvor mye inngangspengene
DetaljerDybdelæring å gripe terskelbegrepene
Dybdelæring å gripe terskelbegrepene MARS 2018 Anne-Mari Jensen NTNU Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 BRØK... 3 HVOR LIGGER PROBLEMET?... 3 HVORDAN KAN VI ARBEIDE FOR Å SKAPE BEDRE FORSTÅELSE?... 5
DetaljerSannsynlighetsregning og kombinatorikk
Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.
DetaljerLæreplan i psykologi - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram
Læreplan i psykologi - programfag i studiespesialiserende Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 03.06. 2009 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og forskningsdepartementet
DetaljerLæreplan i matematikk X - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering
Læreplan i matematikk X - programfag i utdanningsprogram for Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 22. mai 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og forskningsdepartementet
DetaljerStatistikk. Forkurs 2017
Statistikk Forkurs 2017 Hva er statistikk? Undersøke Registrere Lage oversikt Presentasjon av informasjon Formidle Arbeidet med statistikk kan vi dele inn i to hovedområder: Samle inn og ordne opplysninger
DetaljerSannsynlighetsregning og Statistikk.
Sannsynlighetsregning og Statistikk. Leksjon Velkommen til dette kurset i sannsynlighetsregning og statistikk! Vi vil som lærebok benytte Gunnar G. Løvås:Statistikk for universiteter og høyskoler. I den
DetaljerStatistikk. Forkurs 2018
Statistikk Forkurs 2018 Hva er statistikk? Undersøke Registrere Lage oversikt Presentasjon av informasjon Formidle Arbeidet med statistikk kan vi dele inn i to hovedområder: Samle inn og ordne opplysninger
DetaljerTilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet
Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet Utviklet med støtte fra Bakgrunn og innledning Tilfeldighetenes spill var et eksperiment som ble kjørt på Akvariet i Bergen under Forskningsdagene
DetaljerÅrsstudium i statsvitenskap
Årsstudium i statsvitenskap Studienavn Årsstudium i statsvitenskap 60 Varighet 1 år Organisering Nettstudier Hensikten med studiet er å gi grunnleggende kunnskap om og forståelse av politiske og administrative
DetaljerKapittel 1: Studieteknikk Tankene bak kapitlet
Kapittel 1: Studieteknikk Tankene bak kapitlet Vi tror det er svært viktig å bruke noe tid på kapitlet om studieteknikk. Det legger grunnlaget for god læring både i norsk og andre fag resten av året. I
DetaljerRegler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!
(x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Algebra Videregående 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det anbefales at
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010
ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å
Detaljer6 Sannsynlighetsregning
MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,
DetaljerSannsynlighet og statistikk
Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.
DetaljerInnføring i sosiologisk forståelse
INNLEDNING Innføring i sosiologisk forståelse Sosiologistudenter blir av og til møtt med spørsmål om hva de egentlig driver på med, og om hva som er hensikten med å studere dette faget. Svaret på spørsmålet
DetaljerLæreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program
Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-
Detaljer10.5 Mer kombinatorikk
bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske
DetaljerInspirasjon og motivasjon for matematikk
Dagsoversikt Inspirasjon og motivasjon for matematikk Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Matematikk i IKT og uteskole Om digitale ferdigheter i matematikk Presentasjon av ulike
DetaljerForelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.
Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten
DetaljerForskningsrapport. Hvordan er karakterene og miljøet på en aldersblandet ungdomsskole i forhold til en aldersdelt ungdomsskole?
Forskningsrapport Hvordan er karakterene og miljøet på en aldersblandet ungdomsskole i forhold til en aldersdelt ungdomsskole? Navn og fødselsdato: Ida Bosch 30.04.94 Hanne Mathisen 23.12.94 Problemstilling:
DetaljerSannsynlighetsbegrepet
Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis
DetaljerRAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I SAMFUNNSFAGENE PRIVATISTER 2018
RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I SAMFUNNSFAGENE PRIVATISTER 2018 Gjelder for alle utdanningsprogram Fagkoder: GEO1001, SAF1001, REL1001, HIS1002, HIS1003, SAM3001, SAM3003, SAM3017, SAM3018, SAM3019, SAM3021,
DetaljerRegning er en grunnleggende ferdighet som går på tvers av fag. Ferdigheten å kunne regne er å bruke matematikk på en rekke livsområder
Aspekter ved regning som skal vektlegges i ulike fag Regning er en grunnleggende ferdighet som går på tvers av fag. Ferdigheten å kunne regne er å bruke matematikk på en rekke livsområder ARTIKKEL SIST
DetaljerFire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
DetaljerNotater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I
Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.
DetaljerProgramområde samfunnsfag og økonomi
Programområde samfunnsfag og økonomi Ved Porsgrunn videregående skole har du mulighet til å fordype deg i en rekke dagsaktuelle samfunnsfag som hjelper deg til å forstå hvordan ulike samfunn fungerer på
DetaljerDette hellige evangelium står skrevet hos evangelisten Lukas i det 2. kapittel:
Elisabeth Lund Preken julaften i Lørenskog kirke 2008 Et barn er født i Betlehem. Har det noe å si for livet vårt? Dette hellige evangelium står skrevet hos evangelisten Lukas i det 2. kapittel: Det skjedde
DetaljerFilosofi i skolen. Filosofi er et stort tema som det finnes svært mye litteratur om. Fokuset vil ligge på. Hva er filosofi?
Filosofi i skolen Filosofi er et stort tema som det finnes svært mye litteratur om. Fokuset vil ligge på hvordan filosofi kan fungere som fag og eller metode i dagens skole og lærerens rolle i denne sammenheng.
DetaljerLese og skrive i matematikkfaget
Lese og skrive i matematikkfaget Noles-samling, Oslo, oktober 2011 Elin Reikerås Fokus på Hvordan inngår lesing og skriving i matematikkfaget? Ulike tekster og elevens læring Gjennom dette gi ideer til
DetaljerIKT i læreplanen 4/9/12 (LM)
+ IKT i læreplanen 4/9/12 (LM) + Oversikt Historisk perspektiv Et blikk på medier i forskjellige nasjonale strategier læreplan IKT i Kunnskapsløftet (LK06) Grunnleggende ferdigheter Kompetansemålene Oppgave
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
Detaljer2.3 Delelighetsregler
2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne
Detaljer6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet
. kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner.
DetaljerRAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I SAMFUNNSFAGENE ELEVER 2018
RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I SAMFUNNSFAGENE ELEVER 2018 Gjelder for alle utdanningsprogram Fagkoder: GEO1001, SAF1001, REL1001, HIS1002, HIS1003, SAM3001, SAM3003, SAM3017, SAM3018, SAM3019, SAM3021, SAM3037,
DetaljerTall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i
Lærebok: Tusen Millioner, Gjerdrum Skovdahl Tallbok (rutebok i A5 format) Barn lærer matematikk gjennom spill, leik, utforsking aktiv samhandling. Språkets betydning er veldig viktig for å forstå matematikk.
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling
DetaljerTall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i
Lærebok: Tusen Millioner, Gjerdrum og Skovdahl Tallbok (rutebok i A5 format) Barn lærer matematikk gjennom spill, leik, utforsking og aktiv samhandling. Språkets betydning er veldig viktig for å forstå
DetaljerStudieplan 2014/2015
Sosialpedagogikk 2 Studiepoeng: 30 Studiets varighet, omfang og nivå Studieplan 2014/2015 Studiet er et deltidsstudium (30 studiepoeng) over to semestre (høst og vår). Samlinger og undervisning er lagt
DetaljerStudieplan 2015/2016
1 / 9 Studieplan 2015/2016 Matematikk 2 for ungdomstrinnet Studiepoeng: 30 Studiets varighet, omfang og nivå Studiet er et videreutdanningstilbud i matematikk på Bachelornivå og tilbys gjennom Kompetanse
DetaljerKRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.
KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes
DetaljerLæreplan i geografi, samisk plan, fellesfag i studiespesialiserende utdanningsprogram
Læreplan i geografi, samisk plan, fellesfag i studiespesialiserende Gjelder fra 01.08.2007 http://www.udir.no/kl06/geo2-01 Formål Formålet med geografifaget er å utvikle bevissthet om forholdet mellom
DetaljerProgramfag innen programområde Realfag skoleåret en presentasjon av fag som tilbys ved Nes videregående skole
Programfag innen programområde Realfag skoleåret 2018 2019 en presentasjon av fag som tilbys ved Nes videregående skole 1 Valg av programfag på programområde realfag På Vg2 må du velge fire programfag.
DetaljerMappeoppgave om sannsynlighet
Mappeoppgave om sannsynlighet Statistiske eksperimenter Første situasjon Vi kom frem til å bruke Yatzy som et spill vi ønsket å beregne sannsynlighet ut ifra. Vi valgte ut tre like og to par. Etter en
DetaljerVeiledning for arbeid med Spekter
Veiledning for arbeid med Spekter Spekter er et ikke-anonymt verktøy som brukes for å avdekke mobbing og kartlegge læringsmiljøet på skolen. Skolen er ansvarlig for å hente inn informasjon om elevenes
DetaljerStudieplan 2016/2017
Sosialpedagogikk 1 Studiepoeng: 30 Studiets nivå og organisering Studieplan 2016/2017 Studiet er et deltidsstudium (30 studiepoeng) over to semestre (høst og vår). Samlinger og undervisning er lagt til
DetaljerSentralmål og spredningsmål
Sentralmål og spredningsmål av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Sentralmål og spredningsmål i statistikk I dette notatet skal vi se på de viktigste momentene om sentralmål og spredningsmål slik de blir
DetaljerFire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
DetaljerFire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;
DetaljerLÆREPLAN I PSYKOLOGI PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM
LÆREPLAN I PSYKOLOGI PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM Læreplangruppas forslag: Formål et psykologi er et allmenndannende fag som skal stimulere til engasjement innen både samfunns og
DetaljerGrunnleggende ferdigheter i Kunnskapsløftet - en ny forståelse av kunnskap?
Grunnleggende ferdigheter i Kunnskapsløftet - en ny forståelse av kunnskap? Karrierevalg i kunnskapssamfunnet? «Kurt har vært truckfører i mange år. Nesten helt siden han var liten. Først gikk Kurt på
DetaljerSTATISTIKK FRA A TIL Å
STATISTIKK FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til statistikk S - 2 2 Grunnleggende om statistikk S - 3 3 Statistisk analyse S - 3 3.1 Gjennomsnitt S - 4 3.1.1
DetaljerTall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i
Lærebok: Tusen Millioner, Gjerdrum og Skovdahl Tallbok (rutebok i A5 format) Barn lærer matematikk gjennom spill, leik, utforsking og aktiv samhandling. Språkets betydning er veldig viktig for å forstå
DetaljerVi har alle et ansvar for å bidra til å endre slike holdninger. REGNING FOR ALLE LÆRERE EN FAMILIE PÅ FEM
EN FAMILIE PÅ FEM REGNING FOR ALLE LÆRERE Mysen, 27.09.13 gretof@ostfoldfk.no DIGITAL Jeg har aldri forstått matematikk hatet faget på skolen. Ikke har jeg hatt bruk for det heller, det har gått helt fint
DetaljerVeiledning. Nasjonale prøver i regning for 5. trinn. Versjon: juli 2010, bokmål
Veiledning Nasjonale prøver i regning for 5. trinn Versjon: juli 2010, bokmål Nasjonale prøver i regning for 5. trinn Her får du informasjon om nasjonale prøver i regning og hva prøven måler. Videre presenteres
DetaljerFormål og hovedområder kristendom, religion, livssyn og. Grünerløkka skole Revidert høst 2016
Formål og hovedområder kristendom, religion, livssyn og etikk (KRLE) Grünerløkka skole Revidert høst 2016 1 Formål med faget Religioner og livssyn gjenspeiler menneskers dypeste spørsmål og har gjennom
DetaljerProgramområde samfunnsfag og økonomi
Programområde samfunnsfag og økonomi Ved Porsgrunn videregående skole har du mulighet til å fordype deg i en rekke dagsaktuelle samfunnsfag som hjelper deg til å forstå hvordan ulike samfunn fungerer på
DetaljerHvordan kan statistikk forstås, analyseres og anvendes i kommuneplanarbeidet?
Hvordan kan statistikk forstås, analyseres og anvendes i kommuneplanarbeidet? Tor-Ivar Karlsen Fakultet for helse og idrettsvitenskap Telefon: 900 60 536 Epost: tor-ivar.karlsen@uia.no Hve er statistikk?
DetaljerVeiledning del 3. Oppfølging av resultater fra. nasjonal prøve i regning. 8. trinn
Versjon 8. september 2009 Bokmål Veiledning del 3 Oppfølging av resultater fra nasjonal prøve i regning 8. trinn Høsten 2009 1 Dette heftet er del 3 av et samlet veiledningsmateriell til nasjonal prøve
DetaljerElev ID: Elevspørreskjema. 8. årstrinn. Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling Universitetet i Oslo
Elev ID: Elevspørreskjema 8. årstrinn Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling Universitetet i Oslo International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA, 2005 Veiledning
DetaljerTil elever og foresatte i de nye 8. klassene ved Gimle skole høsten 2013.
Dato: 08.03.13 Til elever og foresatte i de nye 8. klassene ved Gimle skole høsten 2013. Orientering om valg av 2. fremmedspråk eller språklig fordypning. Overgangen til ungdomsskolen nærmer seg, og vi
DetaljerSeminar om oppgaveskriving og gode besvarelser 2012
Seminar om oppgaveskriving og gode besvarelser 2012 Hva kjennetegner en god eksamensbesvarelse? Svarer på det oppgaveteksten spør etter (god avgrensning og tolkning av oppgaven) God struktur på besvarelsen
DetaljerFormål og hovedinnhold naturfag Grünerløkka skole
Formål og hovedinnhold naturfag Grünerløkka skole Revidert høst 2016 1 Formål Naturvitenskapen har vokst fram som følge av menneskers nysgjerrighet og behov for å finne svar på spørsmål om sin egen eksistens,
DetaljerInnledning kapittel 4
Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne
DetaljerLæreplan i engelsk - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering
Læreplan i engelsk - programfag i utdanningsprogram for Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 31. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og forskningsdepartementet
DetaljerRapport til undersøkelse i sosiologi og sosialantropologi
Rapport til undersøkelse i sosiologi og sosialantropologi Problemstilling: Er det en sammenheng mellom kjønn og hva de velger å gjøre etter videregående? Er det noen hindringer for ønske av utdanning og
DetaljerInternasjonal engelsk. Samfunnsfaglig engelsk
Internasjonal engelsk Internasjonal engelsk er et programfag som hører til vg2. Ved Røros videregående skole alternerer man dette faget med samfunnsfaglig engelsk, slik at kurset tilbys annethvert år.
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Emnenavn/Emnenamn: GLU 1-7 Matematikk 2. Utdanning/kull/klasse: AL/H12/GLU 1-7 Matematikk 2, ordinær og ny/uts eksamen
EKSAMENSOPPGAVE Emnekode: GBMA2212 Emnenavn/Emnenamn: GLU 1-7 Matematikk 2 Utdanning/kull/klasse: AL/H12/GLU 1-7 Matematikk 2, ordinær og ny/uts eksamen Dato: 19. mai 2015 Eksamensform: skriftlig Eksamenstid:
DetaljerØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir
ØVINGER 017 Løsninger til oppgaver Øving 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir S = {M, K}. Med to etterfølgende myntkast blir utfallsrommet S = {MM, MK,
DetaljerStudieplan 2009/2010. Matematikk 2. Studiepoeng: Arbeidsmengde i studiepoeng er: 30. Studiets varighet, omfang og nivå. Innledning.
Studieplan 2009/2010 Matematikk 2 Studiepoeng: Arbeidsmengde i studiepoeng er: 30. Studiets varighet, omfang og nivå Studiet gir 30 studiepoeng og går over et semester. Innledning Matematikk 2 skal forberede
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerEksamen 19.05.2010. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 19.05.2010 MAT1011 Matematikk 1P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer. Hjelpemidler
DetaljerInnledning kapittel 4
Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne
DetaljerLæreplan i Programmering og modellering - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram
2.12.2016 Læreplan i - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram Formål Programmering er et emne som stadig blir viktigere i vår moderne tid. Det er en stor fordel å kunne forstå og bruke programmering
Detaljer- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.
SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking
DetaljerProgramområde for studieforberedende Vg3 innen naturbruk - Læreplan i feltarbeid i naturbruk - valgfritt programfag
Programområde for studieforberedende Vg3 innen naturbruk - Læreplan i feltarbeid i naturbruk - valgfritt programfag Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 14. februar 2008 etter delegasjon i
DetaljerEksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et
DetaljerSannsynlighet for alle.
Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.
DetaljerRAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I SAMFUNNSFAGENE PRIVATISTER 2018
RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I SAMFUNNSFAGENE PRIVATISTER 2018 Gjelder for alle utdanningsprogram Fagkoder: GEO1001, SAF1001, REL1001, HIS1002, HIS1003, SAM3001, SAM3003, SAM3017, SAM3018, SAM3019, SAM3021,
DetaljerTelle med 15 fra 4. Mål. Gjennomføring. Telle i kor Telle med 15 fra 4 Planleggingsdokument
Telle med 15 fra 4 Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gi grunner for at mønstrene oppstår. Lage nye mønstre ved å utnytte mønstre en allerede har funnet. Utfordre elevene på å resonnere
DetaljerStudieplan 2011/2012. Matematikk 2. Studiepoeng: 30. Studiets varighet, omfang og nivå. Innledning. Læringsutbytte
Studieplan 2011/2012 Matematikk 2 Studiepoeng: 30 Studiets varighet, omfang og nivå Studiet gir 30 studiepoeng og går over to semester. Innledning Matematikk 2 skal forberede studentene på praktisk lærerarbeid
DetaljerVeileder. Undervisningsvurdering en veileder for elever og lærere
Veileder Undervisningsvurdering en veileder for elever og lærere Til elever og lærere Formålet med veilederen er å bidra til at elevene og læreren sammen kan vurdere og forbedre opplæringen i fag. Vi ønsker
DetaljerProgramfag innen programområde Realfag skoleåret en presentasjon av fag som tilbys ved Nes videregående skole
Programfag innen programområde Realfag skoleåret 2013 2014 en presentasjon av fag som tilbys ved Nes videregående skole 1 Innholdsliste BIOLOGI... 3 FYSIKK... 4 KJEMI... 5 MATEMATIKK FOR REALFAG... 5 MATEMATIKK
DetaljerÅrsplan samfunnsfag 10.trinn
Årsplan samfunnsfag 10.trinn 2018-2019 Uke Tema Mål Arbeidsmåter Vurdering 34-39 Samfunnskunnskap: Hva er et samfunn? Matriks samfunn 10 Kap 1 Gi eksempler på og diskutere kulturelle variasjoner og drøfte
DetaljerTelle med 120 fra 120
Telle med 120 fra 120 Mål Generelt: Søke etter mønstre og sammenhenger. Gi grunner for at mønstrene oppstår. Lage nye mønstre ved å utnytte mønstre en allerede har funnet. Utfordre elevene på å resonnere
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2P er gratis, og
DetaljerSANNSYNLIGHETSREGNING
SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like
DetaljerStegark i matematikk PRAKTISK BRUK AV STEGARKENE
Stegark i matematikk PRAKTISK BRUK AV STEGARKENE OM STEGMETODEN Stegmetodens styrke Stegarkene angir en stige hvor eleven selv kan ta et medansvar for hva han/hun bør arbeide med. De fleste lærere har
DetaljerSkriftlig innlevering
2011 Skriftlig innlevering Spørre undersøkelse VG2 sosiologi Vi valgte temaet kantinebruk og ville finne ut hvem som handlet oftest i kantinen av første-, andre- og tredje klasse. Dette var en problem
DetaljerLa oss starte med et høvelig forsøk. Kjent fra før? Det er ikke bare å gjøre et forsøk Vi må også utnytte læringsarenaen som skapes
La oss starte med et høvelig forsøk Kjent fra før? Det er ikke bare å gjøre et forsøk Vi må også utnytte læringsarenaen som skapes Arbeidsmåter Forskerspiren i praksis Barnetrinnet Anders Isnes Bergen
DetaljerHELHETLIG PLAN I REGNING VED OLSVIK SKOLE.
HELHETLIG PLAN I REGNING VED OLSVIK SKOLE. Prinsipper og strategier ved Olsvik skole. FORORD Olsvik skole har utarbeidet en helhetlig plan i regning som viser hvilke mål og arbeidsmåter som er forventet
DetaljerRegelhefte for: getsmart Begreper
Regelhefte for: getsmart Begreper Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere powerpoint-presentasjoner. Det vil
DetaljerLæreplan i utdanningsvalg med årsplan 2015-16 10. trinn
Læreplan i utdanningsvalg med årsplan 2015-16 10. trinn Faglærer: Katrine Sletten Haraldsen Formål Faget utdanningsvalg skal bidra til at elevene oppnår kompetanse i å treffe karrierevalg som er basert
DetaljerLæreplan i teknologi og forskningslære - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering
Læreplan i teknologi og - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 6. april 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-
Detaljer1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk
Detaljer