26. Sterometria: Lineárne útvary v priestore metrické vzťahy
|
|
- Petra Øverland
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 26. Sterometria: Lineárne útvary v priestore metrické vzťahy Úlohy na výpočet vzdialeností a odchýliek, tzn. metrické úlohy, riešime v analytickej geometrii pomocou vektorov. V stereometrii sa snažíme nájsť také útvary (väčšinou sú to trojuholníky), v ktorých vieme tieto vzdialenosti a odchýlky určiť. Uhly lineárnych útvarov Uhol dvoch priamok Priamky p,q vytvoria dvojicu vedľajších uhlov. Uhlom priamok nazveme tú z oboch veľkostí, ktorá patrí do intervalu, označujeme ho. Veľkosť uhla dvoch priamok v rovine, ale aj v priestore, počítame pomocou ich smerových vektorov. Nech smerový vektor priamky p je vektor u, smerový vektor priamky q je vektor v. Uhol dvoch priamok preto vypočítame zo vzťahu: V rovine môžeme použiť namiesto smerových vektorov vektory normálové. Uhol priamky a roviny Môžeme ho určiť aj pomocou kolmice na rovinu. Priamky p a k zvierajú uhol β, priamka p a rovina zvierajú uhol α. Smerový vektor kolmice je normálový vektor roviny. Uhol priamky a roviny preto vypočítame podľa vzťahu: Kde n je normálový vektor roviny a s je smerový vektor priamky. Uhol dvoch rovín Pre každé dve roviny a platí, že ich uhol α sa rovná uhlu dvoch priamok, z ktorých jedna je kolmá na rovinu a druhá na rovinu. Priamka kolmá na rovinu ma smerový vektor rovný normálovému vektoru roviny. Uhol dvoch rovín preto vypočítame podľa vzťahu Uhol dvoch priamok Strana 1
2 Vzdialenosti lineárnych útvarov Vzdialenosť dvoch bodov Nech je bod X určený usporiadanou dvojicou súradníc dvojicou, potom vzdialenosť bodov XY sa dá vypočítať podľa vzťahu: a bod Y Vzdialenosť bodu od priamky Zápis: je vzdialenosť bodu od päty kolmice vedenej daným bodom na danú priamku. V rovine: Vzdialenosť bodu A od priamky vypočítame: V priestore: 1. Spôsob smerový vektor priamky je kolmý na vektor AP, kde P je päta kolmice vedenej bodom A na danú priamku a veľkosť vektora AP je vzdialenosť bodu A od priamky p. 2. Spôsob bodom A položíme rovinu, nájdeme, vzdialenosť bodov A a P je hľadaná vzdialenosť Vzdialenosť bodu od roviny Zápis: je vzdialenosť bodu od päty kolmice vedenej daným bodom na danú rovinu. Nech bod A a rovina, potom vzdialenosť bodu od roviny vypočítame: Vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok úlohu prevedieme na vzdialenosť bodu od priamky. Vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín úlohu prevedieme na výpočet vzdialenosti bodu od roviny. Vzdialenosť priamky rovnobežnej s rovninou počítame ako vzdialenosť bodu od roviny. Strana 2
3 Kolmosť lineárnych útvarov Kolmosť priamok priamky sú na seba kolmé, ak sa skalárny súčin ich smerových vektorov rovná nule Priamka je kolmá na rovinu práve vtedy, keď je kolmá na každú priamku tejto roviny. Ak je priamka kolmá na dve rôznobežné priamky roviny, tak je kolmá na rovinu. Daným bodom možno viesť k danej rovine jedinú kolmú priamku. Daným bodom možno viesť k danej priamke jedinú kolmú rovinu. Dve roviny sú na seba kolmé práve vtedy, keď jedna z nich obsahuje priamku kolmú na druhú rovinu. Pravouhlý priemet bodu X do roviny je bod X, ktorý leží v rovine a na priamke idúcej bodom X kolmo na rovinu. Pravouhlý priemet priamky p do roviny je množina pravouhlých priemetov všetkých bodov priamky p do roviny. Kolmosť rovín roviny sú na seba kolmé, ak sa skalárny súčin ich normálových vektorov rovná nule Uhol priamky a roviny je uhol priamky a jej kolmého priemetu do roviny. Uhol dvoch rovín je uhol dvoch priamok, z ktorých jedna je kolmá na jednu a druhá na druhú rovinu. Ak jedna rovina obsahuje priamku kolmú na druhu rovinu, potom sú roviny na seba kolmé. Rovina je kolmá na dve rôznobežné roviny práve vtedy, keď je kolmá na ich priesečnicu. Priamka kolmá k rovine je priamka, ktorej smerový vektor je násobkom normálového vektora roviny. Strana 3
4 Príklady 1. Vypočítajte uhol priamok a 2. Vypočítajte uhol priamok a 3. Určte veľkosť uhla priamky a roviny 4. Určte veľkosť uhla rovín a 5. Vypočítajte vzdialenosť bodu od priamky 6. Vypočítajte vzdialenosť bodu od priamky 7. Vypočítajte vzdialenosť priamok a 8. Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom a má od bodu vzdialenosť v=4. 9. Vypočítajte vzdialenosť bodu 10. Vypočítajte vzdialenosť rovín a 11. Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom tak že s priamkou zviera uhol 12. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín : x - y + 1 = 0, : 2x + y + z = 0 a je kolmá na rovinu : 2x + y + z + 3 = Na priamke p: 5x - 4y = 28 určte bod, ktorý má od bodov M*1; 5+, N*7; -3] rovnakú vzdialenosť. 14. Vzdialenosť bodu A od roviny σ predstavuje stranu štvorca ABCD. Vypočítajte obsah tohto štvorca ak platí: 15. Vrcholy štvorstena sú body A,B,C,D. Určite odchýlku hrany AD od roviny ρ = ABC ak platí: 16. Určte rovnice dvoch navzájom kolmých priamok, ktoré prechádzajú bodom A[7,1] a od začiatku súradnej sústavy majú rovnakú vzdialenosť. 17. Sú dané body M[- 2,3], A[5,-1], B[3,7]. Nájdite všetky priamky, ktoré prechádzajú bodom M a majú od bodov A, B rovnakú vzdialenosť. 18. Je daný kváder ABCDEFGH s rozmermi AB=12cm, BC=8cm, CG=5cm. Určte vzájomnú polohu priamok a vypočítajte ich uhol a) EB, HC b) AF, CD c) EG, DG 19. Body M, N sú stredmi hrán CD, AB pravidelného štvorstena ABCD. Dokážte, že a) AMB CD b) MN AB a MN CD c) AB CD 20. Pomer výšky pravidelného šesťbokého ihlana ABCDEFV k veľkosti jeho podstavnej hrany je 6 : 4. Určte uhol rovín BCV a DEV. Strana 4
5 21. Je daná kocka ABCDEFGH. Vypočítajte odchýlku priamok: a) AC, CH b) AC, EC c) AG, BH d) AF, CH e) AE, BH f) AS EG, S AB S BC g) AF, BH h) DE, BH i) AC, BH 60,3516,7032,90,5444,5444,90,90, Je daná kocka ABCDEFGH. Určte konštrukčne odchýlku daných priamok. Veľkosť odchýlky odmerajte uhlomerom. a) BH, DF b) AS BC, CH c) DH, BS GH asi 71, asi51, asi Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte odchýlku priamok: a) AV, DV b) AV, CV c) AB, VS AB d) BC, AV e) BD, AV f) AC, BV g) AC, VS BC h) AS CV, CS AV i)as CV, BS DV 35 06,5029,90,7227,90,90,7705,7032, Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Určte konštrukčne odchýlku daných priamok. Veľkosť odchýlky odmerajte uhlomerom: a) AD, BV b) CD, BS CV c) BD, CV asi 72, asi77, Je daná kocka ABCDEFGH. Vypočítajte odchýlku priamky od roviny: a) BH, ABC b) BH, BCF c) AG, BCG d) AS EG, BDH e) AS EG, CDH f) AS EG, BCF e) CE, CDH f) EC, AGH i) AC, EGS CD 35 16,3516,3516,3516,2406,2406,3516,5444, Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte odchýlku priamky od roviny: a) VS AC, ABC b) VS AC, BCV c) AV, ABC d) AV, BCV e) BS DV, ABC f) BS DV, S AB S CD V 90,1826,6446,3454,3516, Je daná kocka ABCDEFGH. Vypočítajte odchýlku daných rovín: a) ACG, BDH b) ABC, BDG c) EFC, AGH d) ABC, S BF S CG S EH e) ABG, BEG f) ABG, ACE 90,5444,90,2634,3516, Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte odchýlku daných rovín: a) ABC, ADV b) ADV, BCV c) BCV, VS AB S CD d) ABV, BCV e) BCS AV, ADS BV f) ADV, BCS AV 71 34,3652, 1826,8416,90, Je daný pravidelný 6 boký ihlan ABCDEFV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte odchýlku daných rovín: a) ABV, ABC b) ABV, DEV c) ABV, BCV d) ABV, CDV 60,60,5119, Je daná kocka ABCDEFGH, a = 4 cm. Vypočítajte vzdialenosť daných bodov: a) A, G b) A, S GH c) A, S EG d) B, S AH e) S AC, S CG f) S BG, S AF 4 3,6,2 6,2 6,2 3, Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte vzdialenosť daných dvoch bodov: a) A, V b) V, S BC c) A, S CV d) A, S DV e) S AC, S CV f) S AD, S CV 2 11,2 10,3 3, 19, 11, Je daná kocka ABCDEFGH, a = 4 cm. Vypočítajte vzdialenosť daného bodu od danej priamky: a) F, AB b) F, AC c) F, AD d) F, AH e) E, BH f) A, FH g) H, AS CG h) S AD, BG 4 i) B, S AH S FH 4,2 6,4 2,2 6, 6,2 6,4,3 2, Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte vzdialenosť daného bodu od danej priamky: a) V, BC b) A, CV c) S CV, AV d) S CV, BD e) B, S AV S DV f) A, 12 6 S CV S DV 2 10, 22, 22, 11, 17, Strana 5
6 34. Je daná kocka ABCDEFGH, a = 4 cm. Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných priamok: a) AE, CG b) S AB S BC, S EH S GH c) AS BG, S AE S FG 1 4 2,2 6, Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Dokážte, že dané priamky sú rovnobežné a vypočítajte ich vzdialenosť: a) AB, S CV S DV b) AV, S AB S BV , 11 c) CV, S AC S AV 3 2, Je daná kocka ABCDEFGH, a = 4 cm. Vypočítajte vzdialenosť: a) bodu F od roviny BEH; b) bodu F od roviny BEG; c) bodu F od roviny BCS AE ; d) bodu E od roviny S EH S EF S AB ; e) bodu S EF od roviny ABG; f) bodu S EF od roviny ABS CG , 3, 5, 2,2 2, Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte vzdialenosť bodu od roviny: a) S AV, ABC b) S AV, BCV c) A, S AV S BV S CV d) S BV, BCS AV 3 3, 10,3, Je daný pravidelný 6 boký ihlan ABCDEFV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte vzdialenosť: a) bodu A od roviny CFV b) bodu A od roviny BCV c) bodu A od roviny DEV d) bodu A od roviny CDV 2 3,3,6,6 Strana 6
VEDLEGG 5. 1 Støy og skyggekast. 1.1 Resultater støy
VEDLEGG 5 Ifølge regelverket skal støynivået ved helårsboliger og fritidsboliger ikke overstige den anbefalte grenseverdien på Lden 45 db. Dersom det vurderes som nødvendig for vindkraftverkets realiserbarhet
Detaljer1.9 Oppgaver Løsningsforslag
til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45
DetaljerSK skmo.sk. 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh školského kola kategórie A
SK MATMATIKÁOLYMPIÁA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh školského kola kategórie A 1. Nájdite všetky prvočísla p, q také, že rovnica x 2 + px + q = 0 má aspoň jeden celočíselný
DetaljerR1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for
DetaljerR1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1
Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x
Detaljer1 Geometri R2 Løsninger
1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...
DetaljerLøsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir
DetaljerMATURITA 2011 MATEMATIKA
KÓD TESTU 06 MATURITA 2011 EXTERNÁ ČASŤ MATEMATIKA NEOTVÁRAJTE POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU. Test obsahuje 0 úloh. Na vypracovanie testu budete mať 120 minút. V teste sa stretnete
DetaljerOppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 11. oktober 2014
Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 11. oktober 2014 Oppgave 1. La ABCD og A BC D være to parallellogrammer med felles vinkel ABC = A BC. Vis at linjene gjennom DD, A C og AC er konkurrente. Løsning 1. Det
Detaljer1 Geometri R2 Oppgaver
1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...
Detaljer( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt
. til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i
Detaljer!"#$%& ' & (!"#$%"&' "# " %! ' &% "% (("'%)* +" ', -.%/ "+ 0% # 1/+" $" % "+"." %! $( - '+% " )*#+,-./ !"# $%& ' % 89:; 2%3 2 - (45 < =>? #
!"#$%& ' & (!"#$%"&' "# " %! ' &% "% (("'%)* +" ', -.%/ "+ 0% # 1/+" $" % "+"." %! $( - '+% " )*#+,-./01 23 4567 -!"# $%& ' % 89:; 2%3 2 - (45 < =>? #@A)BCDE 2 - )*+ ',-. / 01 55 6 FGH IJ 23K 7 6 LM -
DetaljerEksamen REA3022 R1, Høsten 2010
Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x
DetaljerTaes med av RIV Taes med av RIE Kjøkkeninnredning ARK Fast inventar AR
Taes med av RIV Taes med av RIE Kjøkkeninnredning ARK Fast inventar AR HC med håndgrep med skult. ( rustfritt stål med benk og skap Volumhette- for mopper Mini med innebygd kjøleskap og komfyr HC tilpasset
Detaljer$ ( 8 " 7 6 / 6* 6 -!" #$% & ' ()* +, ( -!"#$%&' ()* +,-./01 * :!"# ; $% +! :& $% AB9C D E 2 F G HIJK LMN=O ' # $% $ # L 8 PQ RSTUG V
$( 8"7 6/6*6-!" #$% & ' ()* +, ( -!"#$%&' ()*+,-./01*2 345678 9:!"# ;$% +!:&?@ $% AB9C D E2 FGHIJK LMN=O '# $% $ # L8PQRSTUG V $% %()* WXY WAZW[\4 +,*-./.*./0((*1./( ]^_WY *.(-/- V 1/- `a bctu $% %()*
DetaljerR1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,
DetaljerNORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE
Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:
Detaljer!" # $ %& &'!"#$%&'! "# $ %!$ &' "# (%! "#!"#$%&' $!() *+,-. / '789:,; $, /0 FGHIJKL PQR S>TU$ /0VW,XY Y Z[\ ]^UN_$!(`YVWabc
!"#$%&'! "# $ %!$ &' "# (%! "#!"#$%&' $!() *+,-. /01 2345 6'789:,; 4?@ABCDE $, /0 FGHIJKL MNO @ PQR S>TU$ /0VW,XY Y Z[\ ]^UN_$!(`YVWabc1 $ /ab!(@ E V$!( M $ [\ R ( ) *+ ),-!"#"$ $"$%"!$%!!$ $ $ " &$"!"#$
DetaljerHvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren:
Oppgave ABCD og EFGH er like store kvadrater. AB EF og AD EH. Det fargelagte området har areal. Hvor stort er arealet til kvadratet ABCD? A B C ½ D 3/ E Det kommer an på hvordan man plasserer kvadratene
DetaljerGeometri R1, Prøve 1 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med
DetaljerFunkcia. Funkcia. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice. Funkcia. Monika Molnárová
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Pojem funkcie Základné vlastnosti funkcií Zložená funkcia Inverzná funkcia Elementárne funkcie Základné funkcie ekonomickej analýzy Pojem funkcie
DetaljerGEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD
GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante
DetaljerEuropa-Universität Viadrina
!"#!$% & #' #! ( ))% * +%, -.!!! / 0 1!/ %0 2!!/ 0.!!!/ /! 0 / '3 %0 #$ '! 0 4!""2 " '5 + -#! & %%! ( 6+ * $ '. % & 7 7 8 (8 *& *& *( ** *8, 8 87 - - -! )- % 4!!# &! -! ( - / 9:0 ; ; & * 7 4! + /! ) %
DetaljerC$! %!" T$K %!" F$"$ %
! " # $%&'%'!"#!"#$% &' %(( )&*+ ),-. &,*/ &),0% 1 1 ( )*+,--. /0 1 0 / 2 3456789 :;,--./ )*,- -.0/ 0 =?$ @AB-C;D-C E- - AB-C E- - FG HIJ KL0 IM1( N = U V W @ - ;D-CAB-CE-
DetaljerEksamen 1T våren 2011
Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0
DetaljerBevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.
Detaljer! " # $ #!!" #$ %&#"'
!"#$#!!"#$%&#"' % ($ ) * %,, # # ($-.. * %,, # # ($ * - %,, # # ($/..,, */%/012"# & ' (!)"*,-. /0 / # 12# 3 4",56"78" "9,5):"5;
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen
Detaljer2(! 2 "# 0 $# %8 "!8! 2(9 ;0 ; // & WG) B 1 DE! ( ) ) + #0 '# ( ' # %,% & 8*% & 88 ( 222 I B 1 B 1 R E ) 5 b RS I A B E B 11 M6I/ A B E B 1) DE
2(! 2 "# 0 $# %8 "!8! 2(9 ;0 ; // & WG) B 1 DE! ( ) ) +#0 '#( ' # %,% & 8*% & 88 8MN! @ ( 222 I B 1 B 1 R E ) 5 brs I A B E B 11 M6I/ A B E B 1) DE..W 8A B E B 1) DE.& 2 R! B 1) DE % A B E B 1b DE E E
Detaljerb, og de er dermed like lange. 3) Ettersom trekantene er kongruente, er alle rettvinklet, og vinklene mellom sidekantene i det ytre området er 90.
5.9 Bevis OPPGAVE 5.90 a) For å vise at den ytre figuren er et kvadrat, må vi vise 1) at sidekantene faktisk er fire rette linjestykker (ingen «knekk» der to trekanter møtes) ) at alle sidekantene er like
DetaljerGeometri 1T, Prøve 2 løsning
Geometri 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt trekanten til høyre. a) Bestem sin B, cos B og tanb. 4,9 sinb 0,70, 7,0 5,0 cosb 0,71, 7,0 Du får oppgitt at sinb i
DetaljerKapittel 5 - Vektorer - Oppgaver
5.4 Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4, 5.5, 5.45, 5.49, 5.300, 5.306 a) Kabeles legde: BA 6, 7, 6 6 7 6 b) Dette er e parameterfremstillig (på vektorform) for e lije: OT 6t,7t, 6t 0, 0, t6, 7, 6 OB
DetaljerTích Vô Hướng Và Ứng Dụng
Trần Thành Minh Phan Lưu iên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H Ọ 10 h ư ơng. Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng http://www.sasangsng.cm.vn/ Save Yur Time and Mney Sharpen Yur Self-Study Skill Suit Yur Pace hương. Tích
Detaljer(+ /$0 &&&" 1&& 2 3 &$%+ 2 4 $%+ 5
!"#$$%% &%$$'$!"#$'$(&$'&))'!$ *$ +! " #$%& ' $&%!)'&##!(&%!)'&))'!$ *$ () *+%+ $ $),% $ -. #,&)-&%!).#,$$)%&%!)$%&)%$)&)$'")$% &%$$'&"%! &%!)$)"%,&)% '$!"#$/ (+ /$0 &&&" *+%$ " 1&& 2 )$02 0!#!&)%'")!'$,$'&"%1$)%-&%!)2
DetaljerTangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri
Fasit Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 5.3 Formlikhet... 7.4 Pytagoras setning... 8.5 Areal... 9.6 Trigonometri 1... 10 Tangens, sinus og cosinus... 11 Arealformel
DetaljerGeometri R1, Prøve 1 løysing
Geometri R, Prøve løysing Del Tid: 60 min Hjelpemiddel: Skrivesaker Oppgåve Til høgre ser du ein sirkel med sentrum i S. B ligg på sirkelperiferien og punkta Aog Cer skjeringspunkt mellom sirkelen med
DetaljerGeometri R1, Prøve 2 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet
Detaljer! "#!" #$%&'! %()*+,- ## ### # ## # ##! ' (!" #./"#$%&' ()*+,-./ : ; < B * CDE ( FGHIJ KL CDM NO PQR( S TL CD UVJ QRO W XY (P R - Z 1
! "#!" #$%&'!%()*+,- ## #########! '(!" #./"#$%&'()*+,-./0123456789:; ?@A$B *CDE(FGHIJKL CDM NOPQR(STL CDUVJQROWXY(PR- Z 1!.+1. [\]^X _CDE`abcK,,,2,,CD BL(X ", 0#1#E8 3 ##234 4 "#$#%$ &&'# #!#$ 567&"#5"*$%."*
DetaljerGeometri R1. Test, 1 Geometri
Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6
DetaljerR1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse
R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f( x) 5x x 5 b) g( x) x e x Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P( x) x x 10x 8, DP a) Faktoriser P( x ) i førstegradsfaktorer.
DetaljerLøsningsforslag. Høst Øistein Søvik
Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )
Detaljer( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.
.9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =
DetaljerR2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka
R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,,
DetaljerUndersøkelse om opplæring i foretak (Continuing Vocational Traing Survey 5) Vennligst bruk bare papirskjema som kladd for å fylle ut webskjema.
Undersøkelse om opplæring i foretak (Continuing Vocational Traing Survey 5) Vennligst bruk bare papirskjema som kladd for å fylle ut webskjema. Webskjema side 1 av 25: Skriv inn bruker-id: Skriv inn passordet:
DetaljerPunktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.
Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser
DetaljerMARINE COMMANDER 3000
INNHOLD Innledning 2 Spilloppsett. 2 Starte et spill 3 Slaget 5 Spillvariasjoner 6 Velge type spill 8 Skape din egen startposisjon 8 "Nesten treff" 11 Kontrollere skip... 11 Lydeffekter og volum 12 Språk
DetaljerMåltall for refusjonsområdet fysioterapi 2016-tall
Analyserapport Måltall for refusjonsområdet fysioterapi 2016-tall Dato: 20.09.2017 Beskrivelse av rapporten Formålet med rapporten En viktig målsetting i analysestrategien til Helfo er å effektivisere
DetaljerMellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet
Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper
DetaljerMåltall for refusjonsområdet fysioterapi
Analyserapport Måltall for refusjonsområdet fysioterapi 2017-tall Dato: 05.09.2018 1 Beskrivelse av Rapporten Formålet med rapporten En viktig målsetting i analysestrategien til Helfo er å effektivisere
DetaljerMåltall for refusjonsområdet fysioterapi
Analyserapport Måltall for refusjonsområdet fysioterapi 2018-tall Dato: 14.06.2019 Beskrivelse av Rapporten Formålet med rapporten En viktig målsetting i analysestrategien til Helfo er å effektivisere
Detaljer!"#$%&&'&()*+"(, -!"#. "$ *'&(*&!*,/!"# &$*!$*01$*'!22 3, &9 *$ "&$*2 "*( /. )* * - 1*((&$'&&2$!$*2$&* 7* -
!"#$%&$ $"$ ' ($)$)($'!"#$%&&'&()*+"(, -!"#. "$ *'&(*&!*,/!"# &$*!$*01$*'!22 3,!'$ $*$+, $)-$%&4 $($5 6!$"'&' 7!(*2 3'&(* 7& *2 38 ("(3 2* 4 &9 *$ "&$*2 "*( / &! 3'&(*:!* $&2 7*'&(*"2 *2 3&$*2 "*('&. )*
Detaljer( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Px ( ) er altså delelig med ( x 2) hvis og bare hvis k = 8. f x x x. hx ( x 1) ( 1) ( 1) ( 1)
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a f x x x f ( x) = 6x+ 6 ( ) = 3 + 6 c 3 gx ( ) = 5ln( x x) 1 3 g ( x) = 5 3 ( x x )
Detaljer% ' & ' *! "" #, &' -& & $%&' ' & & () ())* *+,)-./01/(, + 0 (, (!" #$%&' " () $%!,!"*+,-./ :; "! 0 *2 0 F34567GHIJ8KL+M 0
% ' & ' *!""#,&' -& & $%&''&&()())* *+,)-./01/(, + 0 (,(!"#$%&' "()$%!,!"*+,-./012034567896:; "! 0 567?@ABC8DE *20 F34567GHIJ8KL+M0 3 45678NO+M *P8QR:?@F34STUVWRNXY 0 ; Z[\]^_:`NabcGH`NSCYF86 0 YZ*?@6345678DE+,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Oppskriftsbok. FDer og MVDer Relasjonsalgebra. Institutt for Informatikk. INF3100 Ellen Munthe-Kaas 1
UNIVERSITETET I OSLO Oppskriftsbok FDer og MVDer Relasjonsalgebra Institutt for Informatikk INF3100 Ellen Munthe-Kaas 1 Tillukningsalgoritmen Hvordan finne alle kandidatnøkler FDer og MVDer Hvordan finne
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)
DetaljerDet geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.
R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra
Detaljer1.8 Digital tegning av vinkler
1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket
DetaljerIALLIZWDINW Dato Signatur
IALLIZWDINW Dato 23.03.2010 ndkraft på Engvikfjellet er det utført en skyggekast beregning. ingene. Utskrift fra beregningsprogrammet er vedlagt notatet. er til. er benyttet oppdaterte analysemetoder.
Detaljer9 # # : ;8 9 9 # 53 ' 1 1!"#$%!& ' %!&$! %!&( )*%!$% +,!&)* ()*$+,-./01/ + / / 9 : ; % 2345# 2 < / ABCDE F<GHIJK; LM+N O A
9## :738 7 73;89 9#53 ' 1 1!"#$%!& '%!&$!%!&( )*%!$%+,!&)* ()*$+,-./01/+ / 2 3 4 5 6 7 8/ 9 : ; % 2345#2 < / +=>?@ABCDEF
Detaljer(((0(-+) <(( <(+0-+0*, # JK!" #$% &'! () *+!"! "# $" %& & ' "$ $!"#$%&'((() *(+ ()*+,+-((,-./01,((((! " # $ "%& ' # ((() '& *(+ " # ( # ")%,)((( '& (
(((0(-+)
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M1 Onsdag 14.desember 2005
Løsningsforslag Eksamen M Onsdag.desember 005 Her følger et kort løsningsforslag, med forbehold om at det kan ha sneket seg inn enkelte feil... Oppgave (0) a) V basskasse dm 5,5dm 5,0dm 75,dm 75, l Basskassen
Detaljer!"#$%& '. /././ "#$%&' ()*+, -./ / : /!" # ; "#$%&' ()*+, '! " -./<= > '! DE 2 FG< H '! <IJ KJLMN O +, PQR+,S
!"#$%& '. /././ "#$%&' ()*+, -./ 1 23 45 / 67 8 9: 1 1 3 45 /!" # ; "#$%&' ()*+, '! " -./ $%?@ABC< '! DE 2 FG< H '!
Detaljer! "#$% #$%&' ($)*+,-. "" " " " " CD! E 5 <FGHIJKLM NO" PQRS T! E UVIJKLM " /0!"#$%&' ()*+,-./01!"(! 23456&'789 :; (! ( <=>< (&'789:C 4 5!
! "#$% #$%&'($)*+,-. "" " " " " >?@AB CD!E5
Detaljerapple К apple fl 0 0
0 0 4 0 0 4 0 0 0 5 0 5 0 6 0 7 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 9 0 7 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 0 0 4 0 4 0 0 9 0 0 0 0 0 5 0 0 0 7 0 4 0 0 0 5 0 0 9 0 4 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 Кapple 6 0 6 5 0 8 0 6 0 4 0 0
Detaljer!"#$ %#"&' &&#""" '!&!"#$&"!&"#' &!"#$%&' ()*+&!"#$'!!!"!!! #( #! ' #!",-.)!'""'#!(/ 01-.)!'""'#'( :;)#"""*# ( <=>?-.)!'""'# # #!"#
!"#$ %#"&' &&#""" '!&!"#$&"!&"#' &!"#$%&' ()*+&!"#$'!!!"!!! #( #! ' #!",-.)!'""'#!(/ 01-.)!'""'#'( 2345678 9:;)#"""*# ( ?-.)!'""'# "#@A!"BCD # #!"## E FG#$HIJKLM N)O HPQRSTU K$VW XYJ%&' *+K N) +!# *
DetaljerGeometri løsninger. Innhold. Geometri R1
Geometri løsninger Innhold. Formlikhet... Formlike trekanter... Kongruente trekanter... 5. Pytagoras setning... 6.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning.... 8.4 Geometriske steder... 5.5 Skjæringssetninger
DetaljerLøsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6
Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300
DetaljerArbeidsoppgaver i vektorregning
Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:
DetaljerOppskriftsbok. FDer og MVDer - oversikt: se s. 3 Relasjonsalgebra - oversikt: se s. 45
UNIVERSITETET I OSLO Oppskriftsbok FDer og MVDer - oversikt: se s. 3 Relasjonsalgebra - oversikt: se s. 45 Oppskriftsboken er ment brukt som oppslagsverk og eksempelsamling. Ikke alt er like viktig. I
DetaljerEksamen R1 høsten 2014
Eksamen R1 høsten 014 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f x x x x b) gxx e 5 5 Oppgave
DetaljerE 1996-gutter. B 1998-gutter
Gruppe: Gruppe: A B 1999-gutter C 1998-gutter 2000 1997-gutter 1995-gutter AA Åga IL 1 BA Mo IL 1 CA Stålk 1 DA Åga IL 8 EA Stålk 3 FA Åga IL 11 AB Åga IL 2 BB Mo IL 2 CB Stålk 2 DB Åga IL 9 EB Stålk 4
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved f 3 6 4 a) f 3 6 6 6 b) g 5ln 3 3 Vi bruker kjerneregelen
Detaljer( ) ( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. x x x x. Oppgave 1. Vi deriverer med produktregel: Vi deriverer kjerneregelen: Vi velger u = x 3 som kjerne.
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 3 ( ) = 5 + 4 f f = ( ) 6 5 b c g ( ) = e Vi deriverer med produktregel: g ( ) = e + e =
DetaljerDagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes.
Dagens tema Dagens tema C-programmering Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Adresser og pekere Parametre Vektorer (array-er) Tekster (string-er) Hvordan ser minnet
DetaljerLøsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7
Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i 155 kapittel 1.6 og 1.7 a) 12:00: u og v har samme retning: u v u v cos0 2 3 1 6 b) 09:30: Hver time er 30. Lilleviser (u) midt mellom 09 og 10! Altså
DetaljerEksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 7355 0256 Eksamensdato: 21. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerVeľa úspechov v súťaži a veľa zábavy s matematikou v budúcnosti.
INŠTRUKCIE K TESTU Na vyriešenie 25 otázok máte 45 minút. Správna je vždy len jedna odpoveď. Ak napriek tomu zvolíte viacero správnych odpovedí, úloha sa bude hodnotiť ako nevyriešená! Podobne, ak sa v
DetaljerPERSONBIL. Diverse opplysninger Alternativt batteri
PERSONBIL VARTA BLACK dynamic med Power Frame teknologi A17 VAR 541 400 Alternativt: VAR 544 402 360 41 T4H 207 175 175 0 1 B13 B23 VAR 545 077 300 45 E2H 219 135 225 0 1 B01 B24 VAR 545 079 300 45 E2V
Detaljer!" #$$ % &'& ( ) * +$ $ %,% '-!" (,+% %#&. /000)( '', 1('2#- ) 34.566,*,, - 7 )8, +$,+$#& *! +&$ % -
!" #$$ % &'& ( * +$ $ %,% '!" (,+% %#&. /000( '', 1('2# 34.566,*,, 7 8, +$,+$#& *! +&$ % + 8 ( 9( :.,;(.
Detaljer!"#$%&'&()%*+(",&-$.%)-/&%$0.+%$&1+(%)2,+",&/.33)%*& 4)%&/.%5+5",&6.%+-2&3)/*-"*",&6$5$,)31$-*
!"##$%&%'()*+,-'./*&)(0/'!"#$%&'&()%*+(",&-$.%)-/&%$0.+%$&1+(%),+",&/.)%*& 4)%&/.%+",&6.%+-&)/*-"*",&6$$,)1$-* 7"/"8+&9$-):&;.8+&"-"8":&;.8"&@"8"1.%":&A.-+(?+&B+8.*":& 7"/"%.&C/?++:&"-6&>)/?+?+6$&;"1"/?+*"
DetaljerDiverse opplysninger Alternativt batteri PERSONBIL
PERSONBIL Kasse- VARTA BLACK dynamic med Power Frame teknologi A17 VAR 541 400 Alternativt: VAR 544 402 360 41 T4H 207 175 175 0 1 B13 B23 VAR 545 077 300 45 E2H 219 135 225 0 1 B01 B24 VAR 545 079 300
DetaljerKolonne i flyttefil Ark 1 - Avtale offentlige ordninger - pr. 01.08.2012 A Avgivende selskap tekst B Navn på kunde tekst C Kontraktsnummer tall
Kolonne i flyttefil Ark 1 - Avtale offentlige ordninger - pr. 01.08.2012 A Avgivende selskap tekst B Navn på kunde tekst C Kontraktsnummer tall Nøkkelinformasjon hos avgivende selskaps systemer. D Organisasjons-/kommunenummer
Detaljer! "#$! %&' & $ ' ' ( )*+, & -'.!,!-/ $ $ abm \$ $[\ \ U6 \ ab )!"#$%&' ()*!+,-./%&, :; 7<= 1 AB<=CDE 71./FGH1IJ KLMNO! E 2 1
"#$ %&'& $ ' ' ()+,&-'.,-/ $ $ abm\$ $[\\ U6\ab ) "#$%&'() +,-./%&,-01 123456 789:;7? @ AB
Detaljer!"#$ # % &'# #% # # ( )*+,-.-% / :; +, BCD #./0 1"# # E!"#$%&' () *+,-./01 )!"#$% : 6; )!"#$%./ D 9:E 9 9:E
!"#$ # % &'# #% # # ( )*+,-.-%/.0 1 6789:;?@A +, BCD #./0 1"# #. 1 2 1E!"#$%&'() *+,-./01 )!"#$%23456789: 6; )!"#$%./ !"#$%?@ABC D9:E 9 9:EF9 F GHIJ F KLMN!"#$%L?@O O OAB@ 3P!"#$% LQRS6;3TUPVS6;
DetaljerGeometri R2, Prøve 2 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt punktene P 1, 1,5 og Q 1,4,0 a) Bestem avstanden mellom punktene Avstanden mellom punktene er lengden av PQ PQ 1 1,4
DetaljerYF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10
Detaljer5.A Digitale hjelpemidler i geometri
5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4255 FORSØKSPLANLEGGING OG ANVENDTE STATISTISKE METODER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 BOKMÅL EKSAMEN I FAG TMA4255 FORSØKSPLANLEGGING OG ANVENDTE
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 4.8 1 La ABC være en trekant og E et punkt i det indre av BC. Vi skal vise
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 4.5 1 La ABC være en trekant, og la D være et punkt på AB slik at A B D. Utsagnet
DetaljerOffentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret
Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret 19.10.2007 Desimal Hex Beskrivelse Tegnets utseende Punktkode 0 0000 4578
Detaljer11 Nye geometriske figurer
11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi
Detaljer(((5( *, (( (*(5((,5( +! "# " #$% & ' % & "! & & ((()!"#)((( $%&'!$%*(((!" # $% " & ' ((()& # & " & )(((& $( # & " ) # & $( *+& ((,*()* ((,**! "# $%&'
(((5( *, (( (*(5((,5( +! "# " #$% & ' % & "! & & ((()!"#)((( $%&'!$%*(((!" # $% " & ' ((()& # & " & )(((& $( # & " ) # & $( *+& ((,*()* ((,**! "# $%&'&%!!""!!()!*++,!!*!*! % -''&. /'& 0 + -. /.0.10' 1.0
DetaljerOPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD
OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære
Detaljer!!" #! $ %&'!& "!"#$%&'!" ( ) *+,-./!" :; 9: 23AB CD4523AB E FGHIJK8LMNO PQRSTUV PW 4523 XY K Z [\]^_`ab c : L ; U P W [ M :
!!" #!$ %&'!& "!"#$%&'!" ( )*+,-./!" 01 23456789:;9:?@23ABCD4523ABE FGHIJK8LMNOPQRSTUVPW4523XY KZ[\]^_`abc : L ; U P W 2 3 4 5[M:;NO2345AB DPW2345PD 2345 ()*+!X ab\!;: \!9: -23456789:;9 :
DetaljerEksamen R1 høsten 2014 løsning
Eksamen R1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f x x x 5 5 f x 15x 4x
DetaljerEksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del
DetaljerVektorer. Dagens tema. Deklarasjon. Bruk
Dagens tema Dagens tema Deklarasjon Vektorer Vektorer (array-er) Tekster (string-er) Adresser og pekere Dynamisk allokering Alle programmeringsspråk har mulighet til å definere en såkalte vektor (også
DetaljerDagens tema INF1070. Vektorer (array er) Tekster (string er) Adresser og pekere. Dynamisk allokering
Dagens tema Vektorer (array er) Tekster (string er) Adresser og pekere Dynamisk allokering Dag Langmyhr,Ifi,UiO: Forelesning 23. januar 2006 Ark 1 av 23 Vektorer Alle programmeringsspråk har mulighet til
Detaljer