Lineær optimering. Plan for kurset

Transkript

1 Lineær optimering 27. mars 2007 Endre Bjørndal Plan for kurset Introduksjon Produktmiksproblemet (eksempel 1) Grafisk løsning og følsomhetsanalyse av LP-problemer Pause Grafisk følsomhetsanalyse forts. Diettproblemet (eksempel 2) Tilordningsproblemet (eksempel 3) Lunch Løsning av LP-problemer vha Excel Solver Flere anvendelser (eksempel 4-6) Pause Dualitet Spesialtilfeller Oppsummering 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 2

2 Introduksjon Hva er lineær optimering? Optimeringsproblemer der både målfunksjonen og sidebetingelsene består av lineære uttrykk Lineær programmering (LP) Verktøy utviklet for planlegging av militære operasjoner under 2. verdenskrig Program = plan for iverksetting av ulike aktiviteter 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 3 Eksempler på anvendelser (LP+) Bestemmelse av optimal produktmiks Utforming av kostnadseffektive dietter (oppskrifter) Planlegging av markedsføring (valg mellom ulike virkemidler) Planlegging av raffinerivirksomhet Optimal distribusjon av varer Lokalisering av produksjons- og lagerfasiliteter Optimal allokering av kapital mellom ulike prosjekter/investeringsalternativer Skjemaplanlegging av personell/utstyr (f.eks. fly- og togselskaper) Planlegging av militære operasjoner Og mange flere... 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 4

3 Løsningsmetoder Simplex-metoden Leter blant ekstrempunktene i mulighetsområdet George Dantzig (1947) Indrepunktsmetoder Karmarkar (1984) Referanse 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 5 Programvare Excel Solver AMPL GAMS Og mange flere / Lineær optimering - Endre Bjørndal 6

4 Litteratur Anderson, Sweeney & Williams (2005): An Introduction to Management Science, kap. 2-6 Hillier & Hillier (2003): Introduction to Management Science, kap. 2-5 Taylor (2007): Introduction to Management Science, kap. 2-4 Jörnsten, Storøy & Wallace (1999): Operasjonsanalyse, kap. 5 Ragsdale (2007): Managerial Decision Modeling, kap / Lineær optimering - Endre Bjørndal 7 Matematikk S1 Programfag Hovedområder Matematikk S 1 Algebra Funksjoner Sannsynlighet Lineær optimering Matematikk S 2 Algebra Funksjoner Sannsynlighet og statistikk Omfang 140 årstimer for hele S1 Kompetansemål lineær optimering: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne modellere praktiske optimeringsproblemer i økonomi ved hjelp av lineære likninger og ulikheter gjøre rede for den geometriske tolkningen av det lineære optimeringsproblemet i to variabler løse lineære optimeringsproblemer grafisk, ved regning og med digitale hjelpemidler 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 8

5 Eksempel 1 - produksjonsplanlegging Sykkelprodusenten AS produserer to sykkelmodeller: ross Racer Salgspris Variable kostnader Dekningsbidrag per stk Produksjonen er begrenset av kapasiteten i to avdelinger Timeforbruk sveiseavdeling 2 t/stk 4 t/stk Timeforbruk lakkeringsavdeling 3 t/stk 2 t/stk Kapasiteten per måned er 800 timer i sveiseavdelingen og 600 timer i lakkeringsavdelingen Etterspørselsbegrensninger gjør at man maksimalt kan selge 160 crossykler og 180 racersykler per måned 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 9 En mulig snarvei (?) til løsningen Problemstilling: Hvor mye skal vi produsere av de to produktene for at det totale dekningsbidraget skal bli størst mulig? Hva om vi velger det produktet som gir høyest bidrag per enhet knapp ressurs? ross Racer DB per time, sveising 300 kr/t 125 kr/t DB per time, lakkering 200 kr/t 250 kr/t Framgangsmåten gir mao ikke entydig svar når vi har mer enn én knapp ressurs! 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 10

6 Formulering verbal form Gjennomgangseksemplet: Beslutningsvariabler: produksjonskvanta for de to sykkeltypene Formulering: Maksimer totalt dekningsbidrag gitt at timeforbruk sveising 800 timer timeforbruk lakkering 600 timer produksjon av crossykler 160 stk produksjon av racersykler 180 stk 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 11 Formulering matematisk form Beslutningsvariabler: = antall crossykler R = antall racersykler Formulering: målfunksjon Maksimer R sidebetingelser gitt at 2 + 4R 800 (sveising) 3 +2R 600 (lakkering) 160 (salg cross) R 180 (salg racer) 0 R 0 (ikke-negativitet) 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 12

7 Grafisk løsning - framgangsmåte 1. Tegn isokvanter (kapasitetslinjer) for alle sidebetingelsene 2. Marker mulighetsområdet, dvs de løsninger som oppfyller alle sidebetingelsene 3. Finn det beste (hjørne)punktet i mulighetsområdet, det vil si det punktet der isoprofittlinjen tangerer mulighetsområdet 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 13 Isokvantlinje for sveiseavdelingen R = R > 800 (ikke tillatte løsninger) 2 + 4R = R < 800 (tillatte løsninger) R =

8 Grafisk løsning - eksemplet 400 R L DB = S DB =? DB = S R S Excel-rapport (Answer Report) 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 16

9 Excel-rapport (Sensitivity Report) 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 17 Tolkning av sensitivitetsrapporten Hvor følsom er den optimale løsningen for usikkerhet/unøyaktighet i data? Hva skjer med løsningen når vi endrer målfunksjonskoeffisientene? dekningsbidrag per stk for produktene høyresidene i sidebetingelsene? antall tilgjengelige timer (kapasitet) i avdelingene etterspørselstallene Endrer en parameter av gangen, holder alt annet konstant! 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 18

10 Følsomhetsanalyse målfunksjonskoeffisienter 400 DB = Helning = R (40;180) -0,5 (100;150) DB = 125 Helning = -1/ ,5 Anima-LP (160;60) Helning = - DB / DB R = -1, Følsomhetsanalyse høyresider (øker sveisekapasiteten med 40 timer) L R 200 S 150 (100;150) (90;165) S R / Lineær 150 optimering Endre 300 Bjørndal S

11 Skyggepriser Definisjon: skyggepris = endring i målfunksjonsverdien dersom høyresiden (kapasiteten) for en sidebetingelse økes med 1 enhet (1 time) Eksempel: endring i DB Skyggepris sveising = kapasitetsendring kr kr = = 37, 5 kr/time 40 timer Anvendelser av skyggepris Hvor mye kan vi betale for å øke kapasiteten? Hva koster det å bruke kapasiteten til noe annet enn produksjon av ross og Racer? 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 21 Følsomhetsanalyse høyresider (øker sveisekapasiteten enda mer...) L R 200 (80;180) S 150 (100;150) S R +200 timer +80 timer / Lineær 150 optimering Endre 300 Bjørndal S

12 Slakk Definisjon: slakk = ubrukt kapasitet for en sidebetingelse i den optimale planen Eksempel 1 m/kapasitet = 200 timer Sveiseavdelingen bruker 880 timer (80 stk * 2 timer stk * 4 timer) Har 1000 timer tilgjengelig Slakk = 1000 timer 880 timer = 120 timer Sidebetingelser med slakk lik null kalles ofte for bindende sidebetingelser 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 23 Sammenheng mellom skyggepris og slakk I en optimal løsning til et LP-problem kan vi ikke både ha positiv skyggepris og positiv slakk for samme ressurs! Er ikke villig til å betale for å få mer av en ressurs som som det ikke er knapphet på (slakk > 0) Dersom vi er villige til å betale for å få mer av en ressurs (skyggepris > 0), kan vi ikke samtidig ha slakk av ressursen Eksempel 1: Kapasitet sveising 800 t 880 t 1000 t DB kr kr kr Skyggepris 37,5 kr/t 37,5 kr/t 0 kr/t Slakk 0 t 0 t 120 t 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 24

13 Følsomhetsanalyse høyresider (redusert etterspørsel etter crossykler med 30 stk) R L S (100;150) S R S Optimale verdier for beslutningsvariablene ( og R) Sensitivivitetsrapport - beslutningsvariabler Hvor mye må målfunksjonskoeffisienten (DB, DB R ) reduseres for at en ulønnsom beslutningsvariabel (produkt) skal bli lønnsom? Verdier for målfunksjonskoeffisientene (DB, DB R ) Hvor mye kan målfunksjonskoeffisientene (DB, DB R ) endres før vi får en annen optimal løsning? Kan også skrives som 250 DB 750 og 400 DB R / Lineær optimering - Endre Bjørndal 26

14 Optimale verdier for venstresider i sidebetingelsene Sensitivitetsrapport - sidebetingelser Skyggepriser for sidebetingelser Verdier for høyresider (kapasiteteter) i sidebetingelsene Hvor mye kan høyresidene (kapasitetene) endres før skyggeprisene endres? Angir mao gyldighetsområde for skyggeprisene! SolverTable verktøy for utvidet følsomhetsanalyse Kap. sveising Tot. DB ross Racer , / Lineær optimering - Endre Bjørndal 28

15 Bruk av skyggepriser Lønnsomhetsvurdering av kapasitetsutvidelser Kan øke kapasiteten i sveiseavdelingen til en kostnad på kr 20 per time (utover innkalkulert lønnskostnad) Lønnsomt å øke med 50 timer? 100 timer? Lønnsomhetsvurdering knyttet til alternativ bruk av kapasiteten Produksjon av alternativ sykkelmodell Klassisk Gir kr 700 per stk i dekningsbidrag Krever 2 timer sveising og 4 timer lakkering per stk Lønnsomt? 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 29 Utvidet LP-problem med tre produkter Beslutningsvariabler: = antall crossykler R = antall racersykler K = antall klassiske sykler Formulering: Maksimer R + 700K gitt at 2 + 4R + 2K 800 (sveising) 3 +2R + 4K 600 (lakkering) 0 R 0 K 0 (ikke-negativitet) 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 30

16 Excel-rapport for utvidet LP-problem Adjustable ells Final Reduced Objective Allowable Allowable ell Name Value ost oefficient Increase Decrease $B$5 Produksjon ross $$5 Produksjon Racer $D$5 Produksjon Klassisk E+30 onstraints Final Shadow onstraint Allowable Allowable ell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $E$8 Sveising Venstreside , $E$9 Lakkering Venstreside Dekningsbidraget til Klassisk må økes med kr 75 for at denne modellen skal bli lønnsom! Når Klassisk blir lønnsom, vil den optimale produksjonsplanen endres! En reduksjon i dekningsbidraget for Klassisk spiller ingen rolle, denne modellen er ulønnsom uansett! 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 31 Excel Solver =SUMPRODUT(B2:2;$B$5:$$5) 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 32

17 Valg i Solver Angir hvor mange sekunder / iterasjoner Solver vil bruke før programmet gir opp å finne en optimal løsning. Lav verdi gjør at Solver regner mer nøyaktig. Det kan ta lenger tid!! Simplex-metoden for LPproblemer er raskere (og mer pålitelig?) enn de andre metodene som Angir at alle beslutningsvariablene brukes av Solver, så skal være ikke- denne 27/ bør krysses av hvis Lineær optimering - Endre Bjørndal negative! 33 mulig! Eksempel 2 et diettproblem En vegetarianer vil dekke sitt vitaminbehov per uke ved å innta en viss mengde av en bestemt grønnsak og en viss mengde av en bestemt type saft Innhold og minimumsinntak for noen vitaminer: Vitamin A Vitamin B Vitamin Vitamin D Vitamin E Grønnsak (per 100 g vare) 0,1 g 0,2 g 0,04 g 0,1 g 0,06 g Saft (per 100 g vare) 0,05 g 0,15 g Grønnsaken koster 20 kr per kg, mens saften koster 30 kr per kg Hvordan ser en optimal diett ut? 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 34 0,2 g 0,1 g 0,1 g Minimumsinntak per uke 40 g 50 g 70 g 10 g 60 g

18 Grafisk løsning eksempel S A Kostnad = 3000 (143;514) E B D / Lineær optimering - Endre Bjørndal 35 G Eksempel 3 et tilordningsproblem Et antall personer skal utføre et antall arbeidsoppgaver Hver person skal utføre en oppgave Tidsforbruk for ulike kombinasjoner av person/oppgave: Anne Berit hristian Dina Erik Frank Gustav Heidi Irmelin Jon Finn en optimal plan for utføring av alle arbeidsoppgavene! Problemet er i utgangspunktet vanskelig, siden det finnes 10! = mulige måter å tilordne personer til jobber på 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 36

19 Matematisk formulering Minimer t x ij ij i = A,B,...,J j= 1, 2,..., 10 gitt at x ij x ij i= A,B,...,J x ij j= 1, 2,..., 10 0 = 1 = 1 for for for j = 1, 2,..., 10 i = A,B,...,J alle i, j 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 37 Excel-modell 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 38

20 Mulige tilleggskrav i tilordningsproblemet 1) Oppgave 8 og 9 henger nært sammen. Anne og Berit kan ikke samarbeide med hverandre. 2) Dina er allergiker, og kan hverken jobbe med oppgave 3, 4 eller 5. 3) Erik og Frank er spesialister på oppgave 4, 5 og 6, og bør benyttes her. 4) Oppgave 1, 2 og 3 er relatert til hverandre. Dersom Gustav og/eller Heidi blir satt til å utføre en av disse, trenger de veiledning av Irmelin eller Jon, som i tilfelle også må jobbe med en av disse oppgavene. 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 39 Eksempel 4 et transportproblem En bryggeribedrift leverer til fem ulike byer (A-E) Produksjonen skjer i by A, og E Produksjons- By Etterspørsel kapasitet (1000 stk) (1000 stk) A B D E Totalt / Lineær optimering - Endre Bjørndal 40

21 Transportkostnader mellom byene A B D E A 0,00 1,40 2,35 2,20 1,05 B 1,40 0,00 0,95 2,00 2,45 2,35 0,95 0,00 1,05 1,60 D 2,20 2,00 1,05 0,00 1,15 E 1,05 2,45 1,60 1,15 0,00 Kostnad per transportert enhet 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 41 Mulige transportruter Markeder Fabrikker A A B E D E Hvor mye bør transporteres langs de ulike rutene, gitt at vi ønsker så lav total transportkostnad som mulig? 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 42

22 Transportproblemet på matematisk form Minimer = 1, 40x AB + 2, 35x + 1, 05x A EA + 2, 35x A + 0, 95x + 2, 45x B EB + 2, 20x + 1, 05x + 1, 60x AD D E + 1, 05x + 1, 60x + 115, x AE E ED total transportkostnad minimeres gitt at x x x AA A EA AB B EB A E AD D ED AE E EE produksjonskapasiteter overholdes 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 43 Transportproblemet på matematisk form x x x x x AA AB A AD AE A B D E EA EB E ED EE etterspørsel i samtlige markeder dekkes x ij 0 for alle i = A,,E og j = A,B,,D,E 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 44

23 Excel-modell =SUMPRODUT(B2:F6;B11:F15) 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 45 Omlastingsterminaler Hva om vi installerer en omlastingsterminal? Transportkostnader til/fra terminalen: Til/fra by: A B D E Kostnad 0,7 0,5 0,4 0,6 1 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 46

24 Nettverk med omlastingsterminal Markeder Fabrikker A A B E D E T 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 47 Eksempel 5 valg av investeringsportefølje Verdipapir Forventet avkastning Minimumsandel i portefølje Maksimumsandel i portefølje Industriaksjer 12% p.a. 10% 30% Bankaksjer 10% p.a. 5% 20% Grunnfondsbevis 8% p.a. 20% 35% Statsobligasjoner 6% p.a. 15% 100% Ønsker å sette sammen porteføljen slik at total forventet avkastning blir størst mulig Tilleggskrav Industriaksjer og bankaksjer må ikke utgjøre mer enn 40% til sammen Investeringen i statsobligasjoner må utgjøre minst 50% av den samlede investeringen i industri- og bankaksjer 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 48

25 Matematisk formulering Maksimer 0,12I + 0,1B +0,08G + 0,06S gitt at I 0,1 (min. industri) B 0,05 (min. bank) G 0,2 (min. grunnfond) S 0,15 (min. stat) I 0,3 (maks. industri) B 0,2 (maks. bank) G 0,35 (maks. grunnfond) S 1 (maks. stat) I + B + G + S = 1 (sum vekter) I + B 0,4 (industri og bank) -0,5I -0,5B + S 0 (stat, ind. og bank) I 0 B 0 G 0 S 0 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 49 Excel-modell 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 50

26 Eksempel 6 - vaktliste En sykehusavdeling har følgende behov for sykepleiere: Periode Tidsrom Behov / Lineær optimering - Endre Bjørndal 51 Eksempel 6 - vaktliste Følgende skiftordning skal benyttes: Skift Tidsrom Kostnad Hvordan sette opp en vaktliste som dekker behovet, samtidig som den gir lavest mulig lønnskostnad? 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 52

27 Matematisk formulering x i = antall ansatte på skift i = 1,..., 6 Minimer gitt at 2000x x x x x xi 0 i = 1,.., x x x x / Lineær optimering - Endre Bjørndal 53 Excel-modell 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 54

28 Primal- og dualproblemet (eksempel 1) P) Hvordan finne en optimal produksjonsplan ved fortsatt drift (primalproblemet)? Maksimerer totalt dekningsbidrag Må ta hensyn til begrenset tilgang på arbeidstimer i sveise- og lakkeringsavdelingene (ser for enkelhets skyld bort fra salgsbegrensningene) D) Hvordan fastsette priser på ressursene ved salg av bedriften (dualproblemet)? Kjøperen vil minimere total verdi av ressursene Selgeren ønsker at ressursene skal ha minst like høy verdi ved salg som ved fortsatt drift 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 55 Matematisk formulering av primalproblemet - sykkeleksemplet Beslutningsvariabler: = antall crossykler R = antall racersykler Formulering: Maksimer R gitt at 2 + 4R 800 (sveising) 3 + 2R 600 (lakkering) 0 R 0 (ikke-negativitet) 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 56

29 Matematisk formulering av dualproblemet - sykkeleksemplet Beslutningsvariabler: U S = pris per time i sveiseavdelingen U L = pris per time i lakkeringsavdelingen Formulering: Minimer 800U S + 600U L total verdi av ressursene verdi ved fortsatt drift (DB/stk) gitt at 2U S + 3U L 600 (crossykler) 4U S + 2U L 500 (racersykler) verdi ved salg U S 0 U L 0 (ikke-negativitet) 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 57 Grafisk løsning av dualproblemet i sykkeleksemplet 300 Verdi = (37,5;175) Skyggepriser for hhv. sveising og lakkering! U L 150 Verdi = Samme optimale verdi som i 50 primal-problemet! Racer ross 0 27/ Lineær 100 optimering Endre Bjørndal U S

30 Generelle regler for formulering av dualproblemet Beslutningsvariabler og sidebetingelser Hver beslutningsvariabel (kolonne) i dualen tilsvarer en sidebetingelse (rekke) i primalen Hver sidebetingelse (rekke) i dualen tilsvarer en beslutningsvariabel (kolonne) i primalen Målfunksjonskoeffisienter og høyresider Målfunksjonskoeffisientene i dualen er lik de tilsvarende høyresidene i primalen Høyresidene i dualen er lik de tilsvarende målfunksjonskoeffisientene i primalen Når primalen er et maksimeringsproblem, gjelder følgende For en ikke-negativ beslutningsvariabel i primalproblemet, vil den tilsvarende sidebetingelsen i dualproblemet være av typen For en sidebetingelsen av typen vil den tilsvarende beslutningsvariabelen i dualproblemet være ikke-negativ 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 59 Spesialtilfeller av LP-problemer LP-problem Problemet har tillatt løsning Problemet har ikke tillatt løsning Problemet er ubegrenset Problemet har optimal løsning Entydig optimum Uendelig mange optima 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 60

31 Ingen tillatt løsning - eksempel Minimumskrav til levering: 160 R 180 Hva blir mulighetsområdet nå? R L S S R S / Lineær optimering - Endre Bjørndal 61 Ubegrenset løsning - eksempel Glemmer å ta med noen sidebetingelser Mulighetsområdet blir større enn det skulle vært R L DB = S S R DB = S / Lineær optimering - Endre Bjørndal 62

32 Primal og dual generelle sammenhenger Hvis primalen ikke har tillatt løsning, er dualen ubegrenset Hvis primalen er ubegrenset, har ikke dualen tillatt løsning Altså har dualen en optimal løsning hvis, og bare hvis, primalen har det I så fall vil målfunksjonsverdiene vil være like! Maksimer x + y gitt at x - 2y 2 -x + y 3 x, y 0 Minimer 2u + 3v gitt at u - v 1-2u + v 1 u, v 0 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 63 Flere optima - eksempel 400 Endrer dekningsbidrag: DB = 750 (600) DB R = 500 (500) R S R S Helning = -DB / DB R = -1, / Lineær optimering - Endre Bjørndal 64 L S

33 Degenererte løsninger og multiple optima Adjustable ells Final Reduced Objective Allowable Allowable ell Name Value ost oefficient Increase Decrease $B$5 Produksjon ross E+30 0 $$5 Produksjon Racer onstraints Final Shadow onstraint Allowable Allowable ell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease Slakk $D$8 Sveising Venstreside E $D$9 Lakkering Venstreside $D$10 Salg av crossykler Venstreside $D$11 Salg av racersykler Venstreside E Vi sier at løsningen til et LP-problem er degenerert når En eller flere sidebetingelser har både slakk = 0 og skyggepris = 0, og/eller En eller flere beslutningsvariabler har både optimal verdi = 0 og redusert kost = 0 Dersom vi ser at løsningen er degenerert, kan det bety at det eksisterer multiple optima, men det trenger ikke nødvendigvis være tilfelle 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 65 Degenerert løsning - eksempel Endrer salgsbegrensningen for Racer: R 150 Problemet har fremdeles et unikt optimum R L Helning = - DB / DB R S S R S / Lineær optimering - Endre Bjørndal 66

34 Sensitivitetsrapport Adjustable ells Final Reduced Objective Allowable Allowable ell Name Value ost oefficient Increase Decrease $B$5 Produksjon ross $$5 Produksjon Racer onstraints Final Shadow onstraint Allowable Allowable ell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease Slakk $D$8 Sveising Venstreside , $D$9 Lakkering Venstreside $D$10 Salg av crossykler Venstreside E $D$11 Salg av racersykler Venstreside E Tillatt reduksjon for DB er 350 (som før) Sjekk verdien for tillatt reduksjon ved å ta utgangspunkt i figuren på forrige side Hva legger du merke til? 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 67 Advarsel! For et LP-problem med degenerert løsning gjelder følgende: Problemet kan ha flere optimale løsninger Problemet kan ha flere sett med skyggepriser Tillatt økning/reduksjon for målfunksjonskoeffisienter og høyresider kan være (betydelig) større enn det som oppgis i sensitivitetsrapporten 27/ Lineær optimering - Endre Bjørndal 68