Bedriftsøkonomisk analyse

Transkript

1 S P E S I E L L E E M N E R I Bedriftsøkonomisk analyse Rasmus Rasmussen

2

3 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Del 1 Lineær Programmering og kostnadsfordeling Vansker med å bestemme relevante kostnader og inntekter når et problem skal løses ved hjelp av lineær programmering. N år et problem skal løses ved hjelp av lineær programmering må en være veldig bevisst hva som er relevante kostnader og inntekter. Vanligvis er vi interessert i å maksimere resultatet eller minimere kostnadene. For å oppnå målet må vi kunne variere verdien eller størrelsen på enkelte beslutningsvariabler, f. eks. å endre produktenes produksjonsmengder. Lineær programmering finner så de optimale verdiene på beslutningsvariablene slik at vårt mål blir tilfredsstilt best mulig. Ofte er det restriksjoner på beslutningsvariablene, enten direkte som maksimalt salg, eller indirekte via forbruk av knappe ressurser som f. eks. bruk av begrenset produksjonskapasitet. L I N E Æ R P R O - G R A M - M E R I N G Målfunksjon Beslutningsvariabler Restriksjoner R E L E V A N T E K O S T N A D E R / I N N T E K T E R Kun endringer i kostnader og inntekter ved endringer i beslutningsvariablene er relevante å ta hensyn til i målfunksjonen. For å kunne løse et problem ved hjelp av lineær programmering må en ha en klar målsetting og kunnskap om hva problemet består i. Det kan ofte være uklart hva målsettingen egentlig er, og enda mer uklart hva problemet egentlig går ut på. Vi skal ikke her gjøre noe forsøk på å gi en generell beskrivelse av hvordan man kommer fram til et klart og entydig mål, og hvordan en uklar problemstilling skal struktureres til en LP -modell. Men å studere mange forskjellige problemtyper løst med LP gir nyttig veiledning. De eksemplene som blir presentert her i dette kapittelet er på ingen måte tilstrekkelig i så henseende. En må vokte seg vel for å se alle problem som spiker hvis en er ekspert på bruk av hammer. Det er f. eks. ikke sikkert at en stor udekket etterspørsel er et kapasitetsproblem som skal analyseres som et investeringsproblem, det kan først og fremst være et prissettingsproblem. Relevante kostnader og inntekter. Men selv om en har lyktes i å komme fram til en tilsynelatende klar målsetting og en vel strukturert problemstilling, kan det likevel gjenstå en del uklare momenter. Om målet er størst mulig resultat må en være meget bevisst at det er kun endringer i kostnader og inntekter ved endringer i beslutningsvariablene som er relevante å ta hensyn til i målfunksjonen. Det betyr f. eks. at de fleste produktkalkyler er irrelevante, ettersom de som regel er basert på selvkost. Faste kostnader som ikke blir påvirket av den aktuelle beslutning, dvs. av endringer i beslutningsvariablene, er derved heller ikke relevante i målfunksjonen. Selv om faste kostnader ofte er å betrakte som en kapasitetskostnad er de ikke relevante. Kostnaden ved bruk av knappe ressurser blir 1-1

4 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G automatisk tatt hensyn til i LP, ved at knappe ressurser blir priset via skyggeprisene. Relevante kostnader er derfor kun direkte variable kostnader knyttet til beslutningsvariablene, og endringer i indirekte kostnader. Direkte kostnader ved å produsere et produkt er vanligvis lønn og materialforbruk. Men i enkelte situasjoner kan lønnen være en fast kostnad, hvis endringer i produksjonsvolumet ikke påvirker lønnsutbetalingene. Hvis antall ansatte er en beslutningsvariabel vil imidlertid lønnen utvilsomt være en variabel kostnad. I N D I R E K T E K O S T N A D E R Kan f. eks. finnes ved regresjonsanalyse Men det kan også være mange relevante indirekte kostnader. F. eks. kan kostnadene i en produksjonsavdeling være relatert til antall produksjonstimer. Produktenes bruk av produksjonstimer må derfor også belastes med indirekte kostnader i produksjonsavdelingen. Slike indirekte kostnader kan være vanskelig å dokumentere via posteringer i regnskapet eller via registreringer i produksjonsavdelingen, selv med ABC regnskap. Imidlertid kan det hende at slike indirekte kostnader lar seg avdekke ved bruk av regresjonsanalyse. Eksempel med faste og variable kostnader En liten bedrift består av to avdelinger; A og B. Bedriften har tre ansatte, to arbeider i avdeling A og en i avdeling B. Hver arbeider jobber 40 timer pr. uke, og har en fast ukelønn på kr ,-. Bedriften har hittil produsert kun ett produkt. Salgsprisen er kr. 250,- pr. enhet, og råmaterialer utgjør kr. 80,-. Produktet bearbeides i begge avdelingene, og følgende data gjelder : Data pr. uke Avdeling A Avdeling B Direkte lønn Diverse variable kostnader Diverse faste kostnader Tidsforbruk pr. enhet 0,8 timer 0,4 timer Kapasitet 80 timer 40 timer TABELL 1-1. Kostnads og produksjonsdata pr. uke. Etterspørselen har i den senere tid oversteget produksjonskapasiteten, og tabellen viser kostnadene ved full kapasitetsutnyttelse i begge avdelingene. Bedriften har imidlertid betydelig overskudd av maskinkapasitet i avdeling B. Ved å ansette en mann til i denne avdelingen vil kapasiteten kunne dobles i avdelingen. Ved full kapasitetsutnyttelse vil da kostnadene i avdelingen også dobles, unntatt de faste, som ikke endres. Bedriften overveier å starte produksjonen av et nytt produkt som vil kreve 0,2 timer i avdeling A og 0,6 timer i avdeling B. Kostnaden til råmaterialer for det nye produktet er kr. 70,- pr. enhet. Bedriften ønsker å vite minimumsprisen for at det skal være lønnsomt å introdusere det nye produktet, og om det eventuelt er lønnsomt å ansette en mann ekstra i avdeling B. Vi skal her forsøke å løse problemet manuelt, for derved å skaffe oss innsikt i hva som er relevante kostnader og inntekter, og hvordan vi kan beregne og utnytte skyggepriser i vår analyse. 1-2

5 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Minsteprisen på det nye produktet må være slik at vi ved optimal tilpassing med det nye produktet har like stort resultat som ved optimal tilpassing uten det nye produktet. Men for å bestemme optimal tilpassing må vi normalt kjenne prisen. Ved en kostnadsstruktur med faste kostnader og proporsjonale variable kostnader vil imidlertid en kapasitetsøkning med påfølgende økning i faste og proporsjonale variable kostnader innebære at den optimale produksjonen vil opptre langs den økte kapasitetsgrensen (dvs. full kapasitetsutnyttelse), ellers vil ikke en økning i kapasiteten være lønnsom. Grunnen er enkel: hvis det er lønnsomt å øke produksjonen med en enhet, så er det dobbelt så lønnsomt å øke den med to enheter. Følgelig ønsker vi å øke produksjonen så mye som mulig, dvs. utnytte den nye kapasiteten maksimalt. Optimal løsning vil dessuten alltid være en hjørneløsning. Vi kan tegne opp mulighetsområdet i en graf : Qn Avdeling A 2 mann Med dagens bemanning (2 mann i avdeling A og 1 mann i avdeling B), så er det kun mulig å produsere 100 stk. av det gamle produktet (Q g) pr. uke. Om vi ansetter en mann til i avdeling B, er alternative hjørneløsninger : O P T I M A L L Ø S - N I N G Alltid en hjørneløsning Avdeling A 1 mann Bare 100 Q g 80 Q g og 80 Q n Bare 133,3 Q n Avdeling B 2 mann Hvis vi overflytter en mann fra avdeling A til B (1 mann i avdeling A og 2 menn i avdeling B), får vi : Bare 50 Q g Qg 20 Q g og 120 Q n Bare 133,3 Q n FIGUR 1-1. Mulige produksjonsmengder. V A R I A B L E A V - D E L I N G S - K O S T N A D E R Antas proporsjonale med antall timer Om vi antar at lønnen er uavhengig av produksjonsmengde, dvs. arbeiderne har fast lønn og ikke akkord, så kan lønnen betraktes som en sprangvis kostnad. Om vi også videre antar at de variable kostnadene i avdelingene varierer proporsjonalt med antall timer, så vil kostnaden pr. time i avdeling A være lik 2400/80 = kr. 30,- pr. time, mens tilsvarende tall for avdeling B er 1400/40 = kr. 35,- pr. time. Vi kan da beregne produktkalkyler for begge produktene. Bidragskalkyle : Gammelt produkt Nytt produkt Material 80,- 70,- Variable kostnader A 30 0,8 = 24,- 30 0,2 = 6,- Variable kostnader B 35 0,4 = 14,- 35 0,6 = 21,- Variable kostnader pr. enhet 118,- 97,- Salgspris 250,- P n Dekningsbidrag 132,- P n 97,- TABELL 1-2. Bidragskalkyle, lønn antatt fast kostnad. 1-3

6 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Med dagens produksjon på 100 enheter av det gamle produktet blir resultatet : Resultat gammelt produkt Avdeling A Avdeling B Totalt Lønnskostnader ,- Faste kostnader ,- Totale faste kostnader ,- Totalt dekningsbidrag 100 stk. á kr. 132,- pr. enhet ,- Resultat pr. uke : 2.200,- TABELL 1-3. Totalresultat ved gammel produksjonstilpassing. M I N I M U M P R I S Nytt resultat like stort som gammelt Minimumsprisen på det nye produktet må altså være slik at ved optimal tilpassing med nytt produkt så blir totalresultatet like stort som før, dvs. lik kr ,-. Om vi utvider kapasiteten i avdeling B vil de to ytterste kapasitetsrestriksjonene i FIGUR 1-1 være de eneste restriksjonene. Om vi da begynner å produsere det nye produktet, må produksjonstilpassingen foregå langs kapasitetsrestriksjonen for avdeling A (med 2 mann), inntil den krysser kapasitetsrestriksjonen for avdeling B (med 2 mann). I krysningspunktet er Q g = Q n = 80 stk. Resultatet ved denne produksjonen, som medfører økte faste lønnskostnader, må være minst like stort som det gamle resultatet for at introduksjonen av det nye produktet skal være lønnsomt. 80[132 + (P n 97)] ( ) P n 155,- Om vi øker produksjonen av det nye produktet ytterligere, må tilpassingen skje langs kapasitetsgrensen til avdeling B (2 mann). Maksimal produksjon av det nye produktet er da / 3 stk. Da er det ikke kapasitet til å produsere det gamle produktet. I så fall må prisen minst være : (133 1 / 3)(P n 97) ( ) P n 211,- Imidlertid ser vi av FIGUR 1-1 at vi ved denne produksjonen ikke lenger har behov for 2 mann i avdeling A. Isteden for å ansette en ny mann i avdeling B kan vi derfor greie oss med en overføring av en mann fra avdeling A til B. De faste kostnadene vil derfor ikke øke, og minsteprisen for det nye produktet er : (133 1 / 3)(P n 97) P n 196,- Men vi ser også i FIGUR 1-1 at vi ved en slik overflytting får et nytt hjørnepunkt, der vi produserer 20 stk. av det gamle produktet og 120 stk. av det nye. Minimumsprisen for at denne tilpassingen skal være like god som den gamle tilpassingen er : 20(132) + 120(P n 97) P n 185,- Av disse alternative minsteprisene ser vi at det er prisen på kr. 155,- som er den laveste. Kr. 155,- er derfor den minste prisen vi må ha pr. enhet av det nye produktet for at en ikke skal tape på å introdusere det nye produktet. Analysen viser også at det er mer lønnsomt å ansette en ny mann i avdeling B framfor å overføre en person fra avdeling A. 1-4

7 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Vi har imidlertid i vår analyse antatt at prisen er konstant, og at omsatt mengde av det nye produktet ikke er påvirket av prisen. Hvis produktet er et tilnærmet monopolprodukt, slik at omsatt mengde faller ved økt pris, er ikke analysen vi har foretatt gyldig. Optimal tilpassing ved det nye produktet skal nå skje slik at marginalinntektene fra det nye produktet er lik marginalkostnadene. Vi har ikke opplysninger som kan hjelpe oss å beregne marginalinntekten, men vi kan inntil vi har skaffet de nødvendige opplysningene beregne marginalkostnaden. Fra FIGUR 1-1 ser vi at om vi endrer dagens tilpassing (Q g = 100 stk, Q n = 0) og begynner å produsere det nye produktet, vil vi måtte tilpasse produksjonen langs kapasitetslinjen for avdeling A. Det gjelder helt til Q n = 80, en større produksjon av det nye produktet vil føre til at avdeling B vil være den begrensende avdeling. M A R G I N A L - K O S T N A D Variable kostnader Alternativkostnad ved bruk av knappe ressurser Marginalkostnaden for det nye produktet er lik de variable kostnadene, pluss alternativkostnaden ved bruk av knappe ressurser. Alternativkostnaden vil variere, avhengig av hvilke ressurser som er knapp faktor. Avdeling A er flaskehalsen for Qn < 80 : Alternativkostnaden består i at vi ved å produsere det nye produktet må redusere produksjonen av det gamle. Det gamle produktet har et dekningsbidrag på kr. 132,- pr. enhet, og bruker 0,8 timer pr. enhet i avdeling A. Tapt dekningsbidrag pr. time er derfor lik 132/0,8 = kr. 165,- De variable kostnadene for det nye produktet er kr. 97,- pr. enhet. I tillegg består marginalkostnaden av alternativkostnaden for bruk av den knappe tiden i avdeling A, og det nye produktet bruker 0,2 timer i avdeling A. Marginalkostnaden blir derfor lik ,2 = kr. 130,- Avdeling B er flaskehalsen for Qn > 80 : Det gamle produktet trenger 0,4 timer i avdeling B, og tapt dekningsbidrag pr. time er derfor lik 132/0,4 = kr. 330,- Marginalkostnaden er nå lik ,6 = kr. 295,- F A S T E K O S T - N A D E R Endringer i faste kost-nader gir store skift i marginalkostnaden Vi ser av figuren at marginalkostnaden er kr. 130,- for kvanta opp til 80 enheter av det nye produktet. Vi får så et skift i marginalkostnaden når vi passerer 80 enheter, og marginalkostnaden for kvanta over 80 stk. er kr. 295,- pr. enhet. Merk imidlertid at idet produksjonen går fra 119 til 120 stk. så kan vi redusere bemanningen med en person, ettersom vi nå greier oss med bare en mann i avdeling A. Dermed sparer vi de sprangvise lønnskostnadene på kr ,-. Marginalkostnaden ved 120 enheter er derfor kr = kr ,-. 1-5

8 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Når vi får opplysninger som gjør oss i stand til å tegne inn marginalinntektene i figuren, så må vi i tillegg til å teste punktet der marginalinntekten er lik marginalkostnaden også teste de kvanta der vi har skift i marginalkostnaden, nemlig når Q n = 80, og når Q n = 120 stk. Marginalkostnad Qn FIGUR 1-2. Marginalkostnad ved faste kostnader. Ved sprangvise faste kostnader kan vi altså oppleve store skift i en ellers konstant marginalkostnad innenfor et område, slik som i dette tilfellet mellom 80 og 133 enheter av det nye produktet, hvor marginalkostnaden er negativ ved 120 stk. Formulering av problemet som et LP problem. Vi kan formulere dette problemet på mange måter. En mulig formulering er å ikke ta direkte hensyn til de faste kostnadene, men ta hensyn til disse i ettertid. Vi kan imidlertid ikke operere med en ukjent pris i et LP problem. Isteden kan vi ta utgangspunkt i en vilkårlig pris, og bruke intervallene fra sensitivitetsanalysen til å finne neste verdi som vil lede til en annen optimal løsning. Vi kan f. eks. starte med en pris lik 0. Da blir problemformuleringen slik : T R I N N V I S L Ø S N I N G Tar ikke hensyn til faste kostnader Max Totalt Dekningsbidrag = 132Q g + (0 97)Q n Under bibetingelsene : Avdeling A : 0,8 Q g + 0,2 Q n 80 timer (2 mann) Avdeling B : 0,4 Q g + 0,6 Q n 80 timer (2 mann) 1-6

9 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G A B C D E 1 Gammelt Nytt Totalt Kapasitet 2 3 Pris Variabel kostnad Målfunksjon : 5 Dekningsbidrag =Pris - Variabel kostnad =SUMPRODUCT(B5:C5;$B$7:$C$7) 6 Beslutningsvariabler: 7 Mengde Restriksjoner : 9 Avdeling A 0,8 0,2 =SUMPRODUCT(B9:C9;$B$7:$C$7) Avdeling B 0,4 0,6 =SUMPRODUCT(B10:C10;$B$7:$C$7) 80 TABELL 1-4. Regneark som LP-formulering. For at denne gamle løsningen skal forbli den optimale kan ikke koeffisientene i målfunksjonen endres utover intervallet angitt i sensitivitetsanalysen : S E N S I T I V I T E T A N A L Y S E N Gir marginalkostnaden for det nye produktet Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$7 Mengde Gammelt E $C$7 Mengde Nytt E+30 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $D$9 Avdeling A Totalt $D$10 Avdeling B Totalt E TABELL 1-5. Sensitivitetsanalyse for første LP-løsning. Koeffisienten i målfunksjonen for det nye produktet er 97, som er lik dekningsbidraget når prisen er 0. Sensitivitetsanalysen angir at tillatt økning er 130, uten at optimal mengde Q g = 100 og Q n = 0 endres. Denne økningen på kr. 130 er lik marginalkostnaden vil tidligere har beregnet, ut fra en skyggepris i avdeling A på kr. 165,- pr. time. Om vi nå endrer prisen mer enn den tillatte økningen på kr. 130, f.eks. setter prisen lik kr. 131,- får vi følgende løsning : FIGUR 1-3. Regneark som LP-formulering, alternativ pris nytt produkt. Her har vi fått løsningen med 80 stk. av hver av produktene. Vi kan ved hjelp av sensitivitetsanalysen beregne hvor mye prisen må endres for å finne neste alternative hjørneløsning. Dermed finner vi også marginalkostnaden. 1-7

10 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Og sensitivitetsanalysen for løsningen i FIGUR 1-3 gir oss følgende informasjon : Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$7 Mengde Gammelt ,33 $C$7 Mengde Nytt Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $D$9 Avdeling A Totalt ,33 $D$10 Avdeling B Totalt TABELL 1-6. Sensitivitetsanalyse ved alternativ pris nytt produkt. Her ser vi at koeffisienten kan øke med kr Sett i forhold til den angitte prisen på kr. 131,- får vi da i alt en grensekostnad på = kr. 295,-. Om vi endrer prisen til kr. 296,- og løser LP-modellen, får vi følgende : Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$7 Mengde Gammelt 0-0, ,667 1E+30 $C$7 Mengde Nytt 133, E+30 1 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $D$9 Avdeling A Totalt 26, E+30 53,333 $D$10 Avdeling B Totalt , TABELL 1-7. Sensitivitetsanalyse ved høy pris nytt produkt. Denne løsningen er den mest ekstreme, der vi bare produserer det nye produktet; Q g = 0 og Q n = 133,33. Denne løsningen tillater en uendelig stor økning i prisen på det nye produktet (Allowable Decrease = er måten Solver i Excel angir ). Denne trinnvise løsningsprosessen har altså gitt oss marginalkostnaden for det nye produktet : kr. 130,- for Q n < 80; og kr. 295,- for 80 < Q n < 133,33. M I N I M U M P R I S Må finnes manuelt Den minste av alternative minimumspriser For å finne minimumsprisen må ta utgangspunkt i dekningsbidraget fra løsningen uten det nye produktet i TABELL 1-4; kr For at den alternative løsningen skal gi samme resultat må prisen økes utover marginalkostnaden på kr. 130,- slik at den dekker lønnskostnaden på kr ,-. Fordelt på de 80 enhetene som produseres, blir minimumsprisen lik kr. 130, /80 = kr. 155,-. For at løsningen med bare produksjon av det nye produktet skal gi samme resultat som den gamle produksjonen, må (P n 97)(133,33) = P n = 211,-. Tar vi hensyn til at vi ved denne tilpassingen kan overføre en mann fra avdeling A til B isteden for å ansette en ny mann, blir minimumsprisen : (P n 97)(133,33) = P n = 196,-. (Vi ser i TABELL 1-7 at vi har bare behov for 26,67 timer i avdeling A, og kan derfor frigjøre 53,33 timer; mer enn en mann som jobber maksimalt 40 timer pr. uke.) 1-8

11 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G H E L T A L L Ingen sensitivitetsanalyse I K K E - L I N E Æ R Kan få lokale optimumspunkt Formulering av problemet som et IP problem Vi kan formulere problemet slik at vi automatisk tar hensyn til faste kostnader, og slik at vi finner minimumsprisen for det nye produktet direkte. Vi må da ha flere beslutningsvariabler, nemlig antall ansatte i hver avdeling (Q A og Q B). Lønnskostnadene vil da bli knyttet til disse variablene. Men antall ansatte må vanligvis være et heltall, med mindre vi har mulighet for deltidsansatte. Om vi bare kan ha heltidsansatte må disse variablene være heltall, og vi må løse problemet som et heltallsproblem (Integer Programming = IP). Ulempen med heltallsvariabler er at vi da ikke lenger får ut sensitivitetsanalyser av løsningene. Dessuten tar det lenger tid å løse problemet, ettersom programmet da må benytte Branch & Bound i tillegg til Simplex-metoden. For å finne minimumsprisen direkte må også prisen være en beslutningsvariabel. Men problemet blir da i tillegg ikke-lineært, fordi vi må beregne produktet mellom to beslutningsvariabler; pris og mengde, når vi skal beregne totalt dekningsbidrag. Vi ender altså opp med et ikke-lineært blandet heltallsproblem. Slike problem setter programvaren på en meget vanskelig prøve, og vi må i utgangspunktet være skeptiske til løsningene vi får. Målfunksjonen : Min P n (Vi ønsker å finne minimumsprisen på det nye produktet) DB Lønnskostnadene fordeles ikke på produktene Dekningsbidraget : (Nytt resultat må være like stort som gammelt resultat) 132Q g + (P n 97)Q n Q A Q B = Produksjonskapasiteter : (Tilgjengelig tid like stor som tidsforbruket) 40Q A 0,8 Q g + 0,2 Q n (Hver mann kan jobbe 40 timer pr. uke) 40Q B 0,4 Q g + 0,6 Q n (Tilsvarende for avdeling B) Total bemanning : Q A + Q B 4 (Kan maksimalt ansette 4 mann) Vi har her angitt maksimalt 4 ansatte totalt. Slik problemet er formulert kan alle 4 jobbe i samme avdeling samtidig. Om det er et tak på 2 ansatte pr. avdeling må vi isteden lage en restriksjon for hver avdeling : Q A 2 (Kan maksimalt ha 2 mann pr. avdeling) Q B 2 I tillegg til at alle variablene må være ikke - negative må vi også spesifisere at variablene Q A og Q B må være heltall. Dette angis som en restriksjon, der en velger INT fra listen over restriksjoner (<= = >= INT BIN). Vi kan eventuelt også ordne alle variablene på venstre side og konstantene på høyre side av ligningene. 1-9

12 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G FIGUR 1-4. Minimumspris ved heltallsformulering med sprangvise lønnskostnader. Som vi ser av løsningen i FIGUR 1-4 er minimumsprisen for det nye produktet som ventet lik kr. 155,- pr. enhet, ved en produksjon på Q g = 80 og Q n = 80. Det er da optimalt å ha to mann i hver avdeling; Q A = 2 og Q B = 2. S O L V E R Finner optimale verdier på målfunksjonen og beslutningsvariablene Opplysningene som Solver trenger for å løse problemet slik vi har formulert det er: FIGUR 1-5. Angivelse av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner. Det er lagt inn en restriksjon på minimum 10 stk. av det nye produktet [$C$7>=10]. Uten vil vi få en ubegrenset nedre pris på et produkt vi ikke produserer. A B C D E F G 1 Gammelt Nytt Mann A Mann B Totalt Kapasitet 2 Målfunksjon og beslutningsvariabel : 3 Pris Variabel kostnad Restriksjoner : 5 Dekningsbidrag =Pris - Variabel kostnad =SUMPRODUCT(B5:E5;$B$7:$E$7) = Beslutningsvariabler : 7 Mengde Avdeling A -0,8-0,2 40 =SUMPRODUCT(B9:E9;$B$7:$E$7) 10 Avdeling B -0,4-0,6 40 =SUMPRODUCT(B10:E10;$B$7:$E$7) Total bemanning 1 1 =SUMPRODUCT(B12:E12;$B$7:$E$7) 4 TABELL 1-8. Celle -definisjonene i regnearket. 1-10

13 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Eksempel uten bruk av produktkalkyler I følgende eksempel skal vi se at vi godt kan formulere og løse et produktvalgsproblem uten å gå veien om produktkalkyler. En produksjonsbedrift produserer to produkter; kalt X 1 og X 2. I produksjonen inngår tre delprodukter, kalt p 1, p 2 og p 3. Produksjonen foregår i to avdelinger; maskinavdelingen og monteringsavdelingen. I maskinavdelingen er det to maskiner som begge produktene benytter, disse maskinene benevnes m 1 og m 2. I monteringsavdelingen er det to arbeidsprosesser som begge produktene også må gjennomgå, disse prosessene benevnes a 1 og a 2. Følgende tabell viser gjeldende data : X 1 X 2 Kostnad a) Kapasitet b) Salgspris 1.000, ,- Delprodukt p 1 2 stk 100,- Delprodukt p 2 2 stk 200,- Delprodukt p 3 1 stk 1 stk 300,- Maskin m 1 6t 3t 10, t. Maskin m 2 2t 6t 20, t. Prosess a 1 2t 2t 100, t. Prosess a 2 1t 2t 100, t. Maksimalt salg 2000stk 2000stk a) Kostnad pr. delprodukt eller pr. time. b) Kapasiteten er angitt pr. måned. Det samme gjelder også maksimalt salg. Det vil koste Kr ,- pr. måned i markedsføring av hvert produkt for å eliminere salgsbegrensningene. Regnskapssjefen er imidlertid meget bekymret for lønnsomheten, ettersom de faste kostnadene utgjøre hele 8,4 Mill. kroner pr. år. Vi ønsker å finne optimale produksjonsmengder, og teste om totalt dekningsbidrag dekker de faste kostnadene, og eventuelt avgjøre om det er lønnsomt å foreta markedsføringskampanjer for å kunne selge mer av produktene. Hvis vi kan redusere problemet ned til to beslutningsvariabler, så kan problemet løses grafisk. G R A F I S K L Ø S - N I N G Maksimalt 2 beslutningsvariabler. Grafisk løsning. For å redusere problemet ned til to beslutningsvariabler må vi beregne bidragskalkyler for produktene X 1 og X 2. Bidragskalkyle X 1 X 2 Materialkostnad (p 1, p 2, p 3) 500,- 700,- Montering (a 1, a 2) 300,- 400,- Maskinkostnad (m 1, m 2) 100,- 150,- Variable kostnader 900, ,- Salgspris 1.000, ,- Dekningsbidrag 100,- 250,- TABELL 1-9. Bidragskalkyle. Vi trenger bidragskalkylen hvis vi skal redusere problemet ned til to beslutningsvariabler. Bidragskalkylen er overflødig om vi formulerer problemet fullstendig med alle variablene. Bidragskalkylen gjør det mulig å redusere problemet til to beslutningsvariabler. 1-11

14 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G X Salgsbegrensning X Prosess a Maskin m1 Maskin m Prosess a2 Salgsbegrensning X X1 FIGUR 1-6. Produksjonsmulighetsområdet. Vi ser av figuren at med dagens markedsbegrensninger er det optimalt å produsere stk. av både X 1 og X 2. I løpet av 12 måneder gir det : Totalt dekningsbidrag : 12 [2.000( )] = ,- Faste kostnader ,- Resultat pr. år 0,- Om vi kan eliminere salgsbegrensningene ser vi av FIGUR 1-6 at det vil lønne seg å bare produsere stk. av X 2. Vi må i så fall kjøre en markedsføringskampanje for produkt X 2, som koster kr ,- pr. måned. Resultatet blir i så fall : Totalt dekningsbidrag : 12 [4.000(250) ] = ,- Faste kostnader ,- Resultat pr. år ,- Optimal løsning er altså å kjøre en månedlig markedsføringskampanje for produkt X 2, og produsere stk. hver måned av X 2. Det gir et årsresultat på 2,4 mill. kr. 1-12

15 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Løsning uten produktkalkyler. Av mange grunner kan det være hensiktsmessig å formulere problemet med en detaljert opplisting av alle produksjonsprosessene og delene som inngår i produktene direkte, isteden for indirekte via produktkalkylene. Dette medfører at vi får flere beslutningsvariabler, men gir samtidig en mer detaljert løsning av problemet. Endres noen koeffisienter slipper vi dessuten å oppdatere kalkylene. B E S L U T N I N G S - V A R I A B L E R Like mange beslutningsvariabler som det er inntekts - og kostnads - komponenter Målfunksjon : Max Totalt DB = 1.000X X 2 100p 1 200p 2 300p 3 10m 1 20m 2 100a 1 200a R R 2 Restriksjoner : X R 1 X R 2 Salgsbegrensning X 1 + mulig ekstrasalg av reklame Salgsbegrensning X 2 + mulig ekstrasalg av reklame p 1 = 2X 1 Bruk av delprodukt p 1 p 2 = 2X 2 Bruk av delprodukt p 2 p 3 = X 1 + X 2 Bruk av delprodukt p 3 m 1 = 6X 1 + 3X 2 Bruk av maskintid m 1 m 2 = 2X 1 + 6X 2 Bruk av maskintid m 2 a 1 = 2X 1 + 2X 2 Bruk av arbeidstid prosess a 1 a 2 = X 1 + 2X 2 Bruk av arbeidstid prosess a 2 m Maksimal maskintid maskin m 1 m Maksimal maskintid maskin m 2 a Maksimal arbeidstid prosess a 1 a Maksimal arbeidstid prosess a 2 R 1 {0, 1} Reklame produkt 1 (0 eller 1) R 2 {0, 1} Reklame produkt 2 (0 eller 1) Alle variabler må være ikke- negative. Denne problemformuleringen kan også løses uten å ta hensyn til reklamekampanjen. Da må man benytte skyggeprisene fra sensitivitetsanalysen for salgsbegrensningene til å evaluere lønnsomheten av en eventuell reklamekampanje. Hvis vi benytter et regneark til å formulere problemet, står vi meget fritt til å bestemme organiseringen av problemet. Vi skal likevel først se på en formulering i tråd med standard LP formulering. Deretter skal vi se på en alternativ måte å organisere regnearket for dette problemet, og uten bruk av binær variablene for reklamebudsjettet. 1-13

16 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G FIGUR 1-7. LP-løsning uten bruk av produktkalkyler. Optimalt reklamebudsjett. Vi får et månedlig dekningsbidrag på kr ,- som tilsvarer et årlig dekningsbidrag på kr ,-. Vi får m.a.o. samme løsning som før. Legg merke til at vi har angitt cellene K5 og L5 som binærvariabler, dvs. at de må anta verdien 0 eller 1. For øvrig er problemet et standard LP problem, men vi får ikke sensitivitetsanalyse. FIGUR 1-8. Målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner til LP-modellen. Vi kan løse problemet uten bruk av binærvariabler, og benytte informasjonen fra sensitivitetsanalysen for å analysere lønnsomheten av reklamekampanjene. Solver gir imidlertid ikke sensitivitetsanalyse av restriksjoner på beslutningsvariablene, selv om vi får skyggeprisene. Om vi også har behov for full sensitivitetsanalyse av restriksjoner på beslutningsvariablene, slik som f. eks. salgsrestriksjonene i dette tilfellet, så må vi lage "dummy" variabler som settes lik beslutningsvariablene, og putte salgsbegrensningene på "dummy" variablene. (Se FIGUR 1-9.) 1-14

17 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G LP-FORM U L E - R I N G Modellen kan formuleres fleksibelt i et regneark Trenger ikke følge standard oppbygging Bruk tid på å finne en god utforming FIGUR 1-9. LP-modellen uten produktkalkyler, uten reklamemuligheter. A B C D E F G H I 1 X1 X2 X1 X2 2 3 Mengde Salgsbegrensninger 4 Kost 5 Produktdata nad Kvantum 6 Inntekt =B$3*E6 =C$3*F Material p1 =B$3*E7*$G7 =C$3*F7*$G =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E7:F7) 8 Material p2 =B$3*E8*$G8 =C$3*F8*$G =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E8:F8) 9 Material p3 =B$3*E9*$G9 =C$3*F9*$G =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E9:F9) 10 Maskin m1 =B$3*E10*$G10 =C$3*F10*$G =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E10:F10) Maskin m2 =B$3*E11*$G11 =C$3*F11*$G =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E11:F11) Prosess a1 =B$3*E12*$G12 =C$3*F12*$G =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E12:F12) Prosess a2 =B$3*E13*$G13 =C$3*F13*$G =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E13:F13) Sum kostnad =SUM(B7:B13) =SUM(C7:C13) 15 Dekningsbidrag =B6-B14 =C6-C14 =SUM(B15:C15) Totalt dekningsbidrag TABELL Formlene i regnearket uten reklamemuligheter. Kapasitet FIGUR Angivelse av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner for LP-modellen uten reklamemuligheter. 1-15

18 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$3 Mengde X E $C$3 Mengde X E Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $H$10 Maskin m1 Kvantum E $H$11 Maskin m2 Kvantum E $H$12 Prosess a1 Kvantum E $H$13 Prosess a2 Kvantum E TABELL Sensitivitetsanalyse av LP-modellen uten reklamemuligheter. S O L V E R Bergener automatisk dekningsbidragene : Objective Coefficient Gir skyggepriser på restriksjoner på beslutningsvariablene via Reduced Cost Gir ikke sensitivitetsanalyse av restriksjoner på beslutningsvariablene Legg merke til at koeffisientene i målfunksjonen er beregnet av Solver, de fremgår ikke direkte i regnearket. Vi ser at for beslutningsvariablene (Adjustable Cells) så er Reduced Cost lik dekningsbidragene for produktene. Denne reduserte kostnaden angir (for variabler som ikke er med i den optimal løsningen) hvor mye koeffisientene i målfunksjonen må endres for at beslutningsvariabelen skal komme med i den optimale løsningen. For variabler som er med i løsningen er redusert kostnad lik 0, med mindre variabelen er lik sin øvre eller nedre grense (utenom ikke-negativitetsbetingelsene). I disse tilfellene er redusert kostnad lik skyggeprisen på restriksjonen på beslutningsvariabelen. Vi får imidlertid ingen øvre eller nedre grense for endringer av denne restriksjonen, slik at vi vet ikke for hvilket intervall skyggeprisen gjelder. Vi må derfor omformulere regnearket slik at vi også får ut sensitivitetsanalysen av salgsrestriksjonene. Dette kan vi gjøre ved å lage dummy variabler som settes lik de beslutningsvariablene som har begrensinger. Begrensningene flyttes så til dummy variablene. Regnearket kan da se slik ut : FIGUR LP-modellen uten produktkalkyler, uten reklamemuligheter, med dummy variabler. Salgsbegrensningene flyttes nå til dummy variablene, og vi får følgende sensitivitetsanalyse : 1-16

19 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$3 Mengde X E $C$3 Mengde X E Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $H$10 Maskin m1 Kvantum E $H$11 Maskin m2 Kvantum E $H$12 Prosess a1 Kvantum E $H$13 Prosess a2 Kvantum E $E$4 X $F$4 X TABELL Sensitivitetsanalyse av LP-modellen med dummy variabler. H U S K : Sensitivitetsanalysen er partiell Gjelder for kun EN endring om gangen Her har vi fått sensitivitetsanalyse av salgsrestriksjonene på produktene X 1 og X 2. Vi ser at for begge produktene er maksimal økning i salgsbegrensningene stk. uten at skyggeprisene for restriksjonene endres. Skyggeprisen for X 1 på kr. 100,- pr. enhet for i alt stk. dekker bare akkurat markedsføringskampanjen på kr ,-. Det er derfor mer lønnsomt å satse på markedsføring av produkt X 2. Her vil de første ekstra solgte enhetene gi et netto dekningsbidrag på kr ,- = kr ,-. Markedsføringskampanjen vil imidlertid fjerne helt salgsbegrensningen for produktet. (Dette er formulert som et relativt stort tillegg [ stk.] til grensen på stk i modellen i FIGUR 1-7.) For å finne ny optimal tilpassing må vi derfor fjerne salgsbegrensningen for X 2, og løse problemet på nytt. Vi må imidlertid huske å trekke fra reklamekostnadene på kr ,- ved den nye løsningen når vi skal sammenligne resultatene. 1-17

20 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G P A R A M E T R I S K A N A L Y S E Analyse av systematiske endringer i koeffisientene i målfunksjonen eller høyresidene Ingen endring i beslutningsvariablene Ingen endring i skyggeprisene Parametrisk analyse og LP modeller. I det følgende eksemplet skal en avgjøre for hvilke priser det lønner seg å kjøpe eventuelt selge et halvfabrikat som inngår i den øvrige produksjonen i bedriften. En bedrift produserer to produkter; et halvfabrikat H, og en ferdigvare F. Halvfabrikatet bearbeides bare i avdeling A, og det tar 3 timer å produsere en kg. Hver kg av ferdigvaren krever ½ kg av halvfabrikatet. Ferdigvaren krever 2 timer i avdeling A og 3 timer i avdeling B. Kapasiteten i avdeling A er 42 timer og 45 timer i avdeling B. De variable kostnadene for produksjonen av halvfabrikatet er kr. 400,- pr. kg. De variable kostnadene for ferdigvaren eksklusiv kostnadene for halvfabrikatet er kr ,- pr. kg. Salgsprisen for ferdigvaren er kr ,- pr. kg. Igjen kan det være instruktivt å illustrere problemet grafisk, selv om en i praktiske problem neppe står over for så små problem at en slik framgangsmåte er mulig. O P T I M U M Alltid en hjørneløsning F Avdeling A 3H + 2 F 42 Bare produksjon av F Behov halvfabrikant ½F H 15 IV III Avdeling B 3F II Ferdigproduksjon basert på delvis kjøp av H Ferdigproduksjon bare basert på egenproduksjon H Bare produksjon H I H FIGUR Grafisk illustrasjon av egenproduksjon/kjøp av halvfabrikat. Om bedriften kun baserer seg på egenproduksjon, kan den maksimalt produsere 12 enheter av ferdigvaren. Den kan imidlertid øke produksjonen av ferdigvaren til

21 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G stk., enten ved å kjøpe inn alt den trenger av halvfabrikatet, eller ved å produsere 4 enheter av halvfabrikatet og kjøpe inn resten. For å avgjøre om det lønner seg å kjøpe inn halvfabrikat, eventuelt å selge halvfabrikatet, må en sammenligne med resultatet der en hverken kjøper eller selger halvfabrikat, men baserer produksjonen av ferdigvaren kun på egenprodusert halvfabrikat. (II): Resultat ved kun egenproduksjon : 12[ ] 6[400] = kr ,- For at det skal lønne seg å foreta delvis innkjøp at halvfabrikatet må prisen P H for halvfabrikatet være slik at resultatet i punkt III blir minst like stort som før : (III) : 15[ ] 4[400] ( 15 / 2 4)[P H] P H 4600/7 657,14 (Netto salgsinntekt egenprodusert halvfabrikat kjøp av halvfabrikat 3.600) Hvis det skal være lønnsomt å basere all produksjon på innkjøp av halvfabrikatet, må resultatet være minst like stort som når en produserer en del av halvfabrikatet selv, dvs. resultatet i punkt IV må være minst like stort som i punkt III : IV: 15[ ] ( 15 / 2)P H 15[ ] 4[400] ( 15 / 2 4)P H P H 400 IV III Det er altså lønnsomt å basere produksjonen kun på innkjøp av halvfabrikatet hvis det er billigere å kjøpe inn enn å produsere selv. Det gjenstår å avgjøre hvilke priser som gjør at det er lønnsomt å selge halvfabrikatet framfor å bruke det i produksjonen av ferdigvaren. Da må resultatet i punkt I være minst like stort som i punkt II : (I) : 14[P H 400] P H 4600/7 657,14 Det er lønnsomt å produsere halvfabrikatet for salg hvis prisen er over kr. 657,14. Vi kan dermed konkludere med følgende : Pris halvfabrikat : P H Strategi : Mindre enn kr. 400,- Kjøp 7 ½ stk. H, selg 15 stk. F. Mellom kr. 400,- og kr. 657,14 Kjøp 3 ½ og produser 4 stk. H, selg 15 stk. F. Over kr. 657,14 Produser og selg 14 stk. av H. Når kjøps- og salgsprisen for halvfabrikatet H er kr. 657,14 vil isobidragslinjen være parallell med kapasitetsskranken for avdeling A i Error! Reference source not found.. Et hvert punkt på linjen mellom punkt I og III (inklusive endepunktene) vil da gi like stort resultat, og er følgelig like gode. Når prisen er større enn 657,14 vil isobidragslinjen bli brattere slik at punkt I vil være et unikt optimumspunkt. Når prisen er mindre enn 657,14 vil isobidragslinjen bli flatere slik at punkt III blir et unikt optimumspunkt. Når prisen for halvfabrikat blir så lav som kr. 400,- vil isobidragslinjen bli parallell med kapasitetslinjen for avdeling B, og et hvert punkt på linjen mellom punkt III og IV vil gi like stort resultat. Når prisen på halvfabrikatet blir 1-19

22 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G mindre enn kr. 400,- vil isobidragslinjen snu oppover mot høyre, slik at punkt IV blir det unike optimumspunktet. P A R A M E T R I S K A N A L Y S E Endringer i en koeffisient i målfunksjonen uten at optimale verdier på beslutningsvariablene endres Produksjonsstrategien utledet via LP. Når vi skal løse en slik problemstilling ved hjelp av lineær programmering, må vi manuelt løse problemet flere ganger ved å velge forskjellige verdier på koeffisienten i målfunksjonen for kjøp og salg av halvfabrikatet. En slik metode, parametrisk analyse, der vi endrer verdien på et parameter i modellen, kan gjøres automatisk i mer sofistikerte LP programmer, men som regel bare av høyresideverdiene, dvs. kapasitetsgrensene. Vi skal gjøre endringene manuelt, slik at vi skjønner prinsippet bak analysen. Vi får i alt 4 beslutningsvariabler i vårt problem; en for kjøp (H K ), en for salg (H S ), og en for produksjon (H P ) av halvfabrikatet, samt en for ferdigproduktet (F). Målfunksjon : (prisen ved kjøp er lik prisen ved salg av halvfabrikatet) Restriksjoner : Max totalt DB = P HH K 400H P + P HH S + [ ]F 3 H P + 2 F 42 Kapasitetsforbruk avdeling A kapasiteten 3 F 45 Kapasitetsforbruk avdeling B kapasiteten H K + H P H S + ½ F Tilgang halvfabrikat forbruk halvfabrikat Om vi i utgangspunktet setter P H = 0, dvs. at vi kan kjøpe halvfabrikatet gratis, så blir selvsagt løsningen å kjøpe inn eksternt isteden for å produsere selv. FIGUR LP-modellen med halvfabrikat. Pris halvfabrikat kr. 0,-. Denne løsningen med en ferdigproduksjon kun basert på innkjøpt halvfabrikat gir følgende sensitivitetsanalyse (tabellen over restriksjonene er utelatt) : 1-20

23 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$7 Mengde Kjøp H 7, $C$7 Mengde Produksjon H E+30 $D$7 Mengde Salg H E+30 $E$7 Mengde Produkt F E TABELL Sensitivitetsanalyse med pris halvfabrikat kr. 0,-. P A R A M E T R I S K A N A L Y S E Systematisk endring : Endrer koeffisienten Fra Allowable Decrease i TABELL 1-13 ser vi at vi kan redusere koeffisienten for kjøp H med 400 uten at løsningen endres. Om vi derfor øker kjøpsprisen med mer enn 400, vil vi få en annen løsning enn å kjøpe inn 7,5 stk. H for å produsere 15 stk. F. Om vi setter kjøpsprisen til kr. 401,- blir løsningen : i målfunksjonen slik at løsningen ikke lenger forblir optimal. Får ny løsning FIGUR LP-modellen med halvfabrikat. Pris halvfabrikat kr. 401,-. Når det er dyrere å kjøpe inn enn å produsere selv, produserer vi selv så mye vi har kapasitet til og kjøper inn resten. Sensitivitetsanalysen gir oss nå følgende : A L L O A B L E D E - C R E A S E Adjustable Cells : Maksimal reduksjon av Objective Coefficient uten at Final Value endres Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$7 Mengde Kjøp H 3, ,14 $C$7 Mengde Produksjon H ,25 1 $D$7 Mengde Salg H E+30 $E$7 Mengde Produkt F E ,83 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $F$9 Avdeling A Totalt 42 0, ,5 12 $F$10 Avdeling B Totalt 45 99, $F$11 Produkt H Totalt E+30 3,5 TABELL Sensitivitetsanalyse med pris halvfabrikat kr. 401,-. Sensitivitetsanalysen i TABELL 1-14 viser at koeffisienten for kjøp av halvfabrikat kan reduseres med 256,14 fra 401,-; dvs. prisen kan økes til kr. 657,14 uten at denne 1-21

24 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G løsningen ( Final Values ) endres. Løsningen med å kjøpe 3,5 enheter av halvfabrikatet og produsere 4 enheter selv, for å selge 15 enheter av ferdigproduktet vil altså endres hvis kjøps- og salgsprisen for halvfabrikatet øker over kr. 657,14. Om vi setter prisen til kr. 658,- blir den nye løsningen : FIGUR LP-modellen med halvfabrikat. Pris halvfabrikat kr. 658,-. Vi ser at med en så høy pris på halvfabrikatet så lønner det seg å kun selge halvfabrikatet uten å produsere ferdigvaren. Sensitivitetsanalysen gir oss følgende : A L L O W A B L E D E C R E A S E Constraints : Maksimal reduksjon av Constraint R.H.Side uten at Shadow Price endres P A R A M E T R I S K A N A L Y S E Koeffisient målfunksjonen Alternative optimale løsninger for forskjellige verdier på koeffisienten i målfunksjonen Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$7 Mengde Kjøp H E+30 $C$7 Mengde Produksjon H E+30 1,50 $D$7 Mengde Salg H ,86 $E$7 Mengde Produkt F E+30 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $F$9 Avdeling A Totalt E $F$10 Avdeling B Totalt E $F$11 Produkt H Totalt E+30 TABELL Sensitivitetsanalyse med pris halvfabrikat kr. 658,-. Vi ser fra sensitivitetsanalysen at nå kan prisen på halvfabrikat økes uendelig uten at løsningen endres. Sammenfatter vi denne manuelle parametriske analysen, får vi : Produkt Pris halvfabrikat Mindre enn 400 Mellom 400 og 657,14 Over 657,14 Mengde Kjøp H 7,5 3,5 0 Mengde Produksjon H Mengde Salg H Mengde Produkt F TABELL Resultat fra parametrisk analyse av prisen på halvfabrikatet. 1-22

25 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Dette resultatet er selvsagt det samme som vi fant da vi løste problemet grafisk. Fastsetting av pris uten kostnadsfordeling. I følgende lille eksempel skal vi se at vi kan fastsette optimale priser uten å foreta kostnadsfordeling. Et lokalt oljeselskap driver et lite raffineri i nærheten av noen av sine oljekilder. Raffineringen foregår i serier, og hver serie produserer en gitt mengde av i alt 5 forskjellige ferdigprodukter, kalt A, B, C, D og E. Omsatt mengde av disse produktene er en funksjon av prisen, og markedsavdelingen har estimert etterspørselsfunksjonen for hvert av ferdigproduktene. Eventuelle produserte kvanta som ikke blir solgt må destrueres til en nærmere angitt kostnad. Disse data foreligger : Produkt Mengde pr. serie Etterspørsel pr. uke Destruksjonskost A 100 liter Q A = P A 10,- pr. liter B 50 liter Q B = / / 3P B 5,- pr. liter C 10 liter Q C = P C 20,- pr. liter D 20 liter Q D = P D 50,- pr. liter E 40 liter Q E = / / 3P E 15,- pr. liter P i = Pris pr. liter produkt i; Q i = etterspurt mengde produkt i pr. uke; i = A; B, C, D, E. Det påløper raffineringskostnader på kr ,- pr. serie. En serie krever 1000 liter fat råolje. Råoljeprisen er for tiden kr. 15,- pr. fat. Faste driftsbetingede kostnader i raffineriet utgjør kr ,- pr. uke. LP formulering med pris som beslutningsvariabel. Ettersom vi har en fallende etterspørselskurve, blir inntektsfunksjonen ikke lenger lineær. Følgende symboler benyttes : X R =antall raffineringsprosesser X O = antall liter olje X i = antall liter produsert av produkt i; i = A, B, C, D, E Q i = antall liter solgt av produkt i; i = A, B, C, D, E D i = antall liter destruert av produkt i; i = A, B, C, D, E P i = pris pr. liter av produkt i; i = A, B, C, D, E B E S L U T N I N G S V A R I A B L E R Kan reduseres med antall variabler som blir bestemt ut fra verdien på andre variabler Redusere problemet fra 22 til 6 beslutningsvariabler Ta med variabler med separate kostnader (X O ) Beslutningsvariablene er antall raffineringsprosesser X R og prisene P i på produktene. De øvrige variablene er entydig bestemt av likhetsrestriksjoner fra disse variablene. F. eks. er produksjon av antall liter av produktene X i bestemt av antall raffineringer X R, og det gjelder også antall liter olje X O. Tilsvarende er antall liter solgt (Q i) gitt ut fra prisen P i og etterspørselsfunksjonene. Antall liter destruert (D i) er lik differansen mellom antall liter produsert og solgt : X i Q i. For å sikre at antall liter solgt ikke er større enn antall liter produsert, kan en skille mellom etterspørsel og salg (S i), og angi at salg er det minste av etterspørsel og produserte mengder : S i = MIN { X i ; Q i }. Isteden bør man heller legge en ikke-negativitetsrestriksjon på mengde destruert : D i = X i Q i; D i 0. Derved oppnår man det samme, men unngår diskontinuerlige funksjoner, og problemet blir mye lettere å løse. Vi kan derfor formulere problemet som følger : 1-23

26 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G Målfunksjon : Max DB = 7000X R 15X O + P A Q A + P B Q B+ P C Q C+ P D Q D+ P E Q E 10D A 5D B 20D C 50D D 15D E Restriksjoner : Salg : Etterspørselen bestemmes av prisen. Q A = P A Q B = / / 3P B Q C = P C Q D = P D Q E = / / 3P E Etterspurt mengde A Etterspurt mengde B Etterspurt mengde C Etterspurt mengde D Etterspurt mengde E Produksjon : Kvanta bestemmes av antall raffineringer X R. X O = 1000X R X A = 100X R X B = 50X R X C = 10X R X D = 20X R X E = 40X R Antall liter olje Antall liter A produsert Antall liter B produsert Antall liter C produsert Antall liter D produsert Antall liter E produsert Lager/destruksjon : Produksjon Salg. D A = X A Q A D B = X B Q B D C = X C Q C D D = X D Q D D E = X E Q E Antall liter A destruert Antall liter B destruert Antall liter C destruert Antall liter D destruert Antall liter E destruert Ikke-negativitetsrestriksjoner : X R, P i, D i

27 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G FIGUR Regneark over LP-modellen med pris som beslutningsvariabel. L P I R E G N E A R K Kan formuleres meget fleksibelt og kompakt Her er Produksjon av produktene X A X E (eller forbruk av olje X O) på linje 7, bestemt ut fra X R (celle B7 i regnearket) med benevnelsen Produksjon Raffineri. Produksjonsforholdet er angitt i linje 6, Mengde pr. serie. Modellens 6 produksjonsrestriksjoner er angitt på linje 7 for Produksjon, som: Produksjon = Produksjon Raffineri * Mengde pr. serie. Verdien på Produksjon Raffineri bestemmes av Solver, på lik linje med Pris på produktene P A P E. Disse beslutningsvariablene er uthevet i regnearket. De 5 etterspørselsrestriksjonene er angitt på linje 8, og benevnt Salg. Og de 5 lager/destruksjonsrestriksjonene er angitt på linje 9, kalt Lager. Målfunksjonen er beregnet via variabelen Resultat på linje 11, som er lik Pris * Produksjon eller Pris * Salg Lager * Destruksjonskost. A B C D E F G H 1 Raffineri Olje A B C D E 2 3 Pris ,57 58,57 385,71 528,57 207,14 4 Destruksjonskost Mengde pr. serie Produksjon 71,42857 =Produksjon Raffineri * Mengde pr. serie 8 Salg = *Pris 9 Lager =Produksjon - Salg 10 =13333,3 =20000 = ,67*Pris - 50*Pris - 20*Pris 11 Resultat = Pris * Produksjon = Pris * Salg - Lager * Destruksjonskost 12 Faste kostnader Samlet resultat =SUM(Resultat) - Faste kostnader TABELL Celle definisjonene av regnearket med pris som beslutningsvariabel. =16666,67-66,67*Pris Det maksimale resultatet på kr ,- oppnås ved å produsere 71,4 serier pr. uke, og sette prisene slik at alt som produseres blir etterspurt. For å komme fram til dette resultatet er det ikke nødvendig å fordele raffineringskostnadene på produktene eller lage produktkalkyler. Opplysningene som Solver trenger er følgende : 1-25

28 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G FIGUR Opplysningene til Solver for LP-modellen i FIGUR I K K E - L I N E - Æ R E P R O B L E M Kun lokale optimumspunkt Løsningen følsom for startverdier på beslutningsvariablene Forsøk med andre startverdier og se om andre lokale optimumspunkt er bedre Det er verd å huske på at problemet er ikke-lineært. Den løsningen vi får i første omgang er ikke nødvendigvis et globalt optimumspunkt. Det kan derfor være nødvendig å løse problemet flere ganger og velge alternative startverdier på beslutningsvariablene, for å se om det eksisterer alternative lokal optimumspunkt som gir et bedre totalresultat. Når problemet er ikke-lineært blir også sensitivitetsanalysen amputert, ettersom vi kun får skyggepriser og ingen opplysning om i hvilke intervall de gjelder. På grunn av ikke-lineæriteten er nå skyggeprisene marginalverdier i ordets egentlige forstand, de er kun gyldige for marginale endringer. Adjustable Cells Final Reduced Cell Name Value Gradient $B$7 Produksjon Raffineri 71,4 0,0 $D$3 Pris A 78,57 0,00 $E$3 Pris B 58,57 0,00 $F$3 Pris C 385,71 0,00 $G$3 Pris D 528,57 0,00 $H$3 Pris E 207,14 0,00 Marginalkostnaden kan benyttes i kostnadsfordelingen av felleskostnadene, se Felleskostnader og fellesprodukt. Den kan også brukes til lagervurderinger og i visse produktkalkyler. Men vær obs : Constraints Final Lagrange Destruksjons- Marginal- Cell Name Value Multiplier kostnad kostnad $D$9 Lager A 0,0-17,1 10,- 7,10 $E$9 Lager B 0,0-42,1 5,- 37,10 $F$9 Lager C 0,0-391,4 20,- 371,40 $G$9 Lager D 0,0-507,1 50,- 457,10 $H$9 Lager E 0,0-179,3 15,- 164,30 TABELL Sensitivitetsanalysen av regnearket med pris som beslutningsvariabel. S K Y G G E P R I S Endringen i målfunksjonen ved å øke høyresiden av restriksjonen med en enhet Skyggeprisen angir endringen i målfunksjonen ved å øke høyresiden av restriksjonen med én enhet. En økning i lagerrestriksjonen med én enhet betyr av vi produserer en enhet for lager/destruksjon. For produkt A ville det redusere totalresultatet med kr. 17,10. Destruksjonskostnaden for A er kr. 10,- pr. liter. Resten av beløpet er marginalinntekten for produkt A, altså kr. 7,10 pr. liter. I optimum er marginalkostnader og inntekter like, så kr. 7,10 er derfor også marginalkostnaden for A. 1-26

29 L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G

30 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Del 2 Kostnadsestimering og regresjonsanalyse I mange beslutningssituasjoner er det viktig å vite hvordan kostnadene påvirkes; hvilke er faste og hvilke er variable. I nullpunktsanalyser er det en forutsetning at en har et klart skille mellom faste og variable kostnader, og at en kjenner størrelsen både på de faste kostnadene og de (proporsjonale) variable enhetskostnadene. Har en behov for bidragskalkyler i forbindelse med et produktvalgsproblem trenger en også å kjenne de variable kostnadene, og for å avgjøre om produksjonen er lønnsom må en vite om totalt dekningsbidrag dekker de faste kostnadene. I svært mange situasjoner har en altså behov for detaljert kunnskap om kostnadene. K O S T N A D E R Faste kostnader Variable kostnader : - Direkte - Indirekte Indirekte variable kostnader kan være vanskelig å beregne. Direkte kostnader kan ofte registreres via såkalte ingeniørstudier; der en måler fysiske størrelser som antall forbruk av materialkomponenter, forbruk av produksjonstid i de forskjellige produksjonsprosessene, etc. Disse fysiske størrelsene multipliseres så med prisen på de forskjellige materialkomponentene, prisen på arbeidstid, maskintid etc., og en kommer fram til et meget nøyaktig mål på direkte kostnader eller standardkost for hvert enkelt produkt eller tjeneste. Disse direkte kostnadene er variable kostnader. Men en stadig større del av produktkostnadene er indirekte kostnader, kostnader som ikke er direkte knyttet til material og fysiske produksjonsprosesser. De direkte material- og produksjons -kostnadene utgjør ofte en synkende andel av produktenes variable kostnader, i takt med en stadig voksende administrasjon og en kontinuerlig automatisering av produksjonsprosessene. Det blir derfor mer og mer viktig å avdekke disse indirekte variable kostnadene, som ikke lar seg måle ved direkte studier av den fysiske produksjonsprosessen. Metoder for kostnadsestimering. En er ofte interessert i størrelsen på de framtidige kostnadene, men må som regel basere analysen på historiske data. Det er mange metoder som kan benyttes for å estimere kostnader basert på historiske data : Tidsserie analyser : Enkelte kostnader kan predikeres basert på hvordan kostnadene har utviklet seg tidligere. En gjør ikke noe forsøk på å forklare kostnadsutviklingen, men antar at den følger samme historiske mønster også i framtiden. Her er 2-1

31 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E det mange prognosemetoder å velge i; fra glidende gjennomsnitt til forskjellige former for eksponensiell glatting med eller uten sesong og trend. E S T I M E R I N G Tidsserieanalyse Kontoklassifisering Ingeniørstudier Regresjonsanalyse R E G R E S J O N Y = b o + b 1 X 1 + +b h X h Som estimat for : Y = X h X h + Alternativt kan en benytte forskjellige former for kostnadsklassifisering : En kan foreta klassifisering av kostnadene som faste eller variable basert kontoklassifikasjonen. Her brukes skjønn og erfaring til å gruppere de forskjellig kontoene i faste eller variable kostnader; elektrisk kraft kan f.eks. klassifiseres som en variabel kostnad, mens avskrivninger klassifiseres som faste kostnader. Eller en kan foreta en mer begrunnet klassifisering av kostnadene basert på ingeniørstudier av fysiske produksjonsprosesser. Eller en kan foreta klassifisering av kostnadene som faste eller variable basert på regresjonsanalyse. Regresjonsanalyse. Regresjonsanalyse er en metode som benyttes for å beskrive sammenhengen mellom en avhengig variabel (kostnadene) og en eller flere uavhengige variabler eller forklaringsvariabler (produsert mengde, arbeidstid, etc.). Regresjonsanalysen baserer seg på lineære sammenhenger, men via alternative transformasjoner kan en analysere forskjellige former for ikke-lineære kostnadsfunksjoner. Regresjonsanalysen har den styrken at man kan angi påliteligheten av kostnadsestimeringen om man er villig til å akseptere enkelte statistiske forutsetninger. Vi skal ikke gi noen detaljert generell innføring i regresjonsanalyse, det overlates til kurs og lærebøker i statistikk, men vi skal via praktiske eksempler se hvordan regresjonsanalysen kan anvendes til kostnadsestimering, og peke på hva man må passe på for å unngå noen av de mange mulige feilene som kan begås i regresjonsanalyse. Måned Produksjon Kostnad Januar ,- Februar ,- Mars ,- April ,- Mai ,- Juni ,- Juli ,- August ,- September ,- Oktober ,- November ,- Desember ,- En produksjonsbedrift driver serieproduksjon av ett produkt. Bedriften har dessverre ikke eget internregnskap, og har derfor meget dårlig oversikt over kostnadene. Følgende informasjon om fjorårets produksjon (stk) og kostnad (kr) er hentet inn, mest fra finansregnskapet. Årlige faste beløp som betales i én måned er fordelt med et likt beløp over samtlige måneder. De månedlige kostnadene er dessuten relatert til månedens produksjon, ikke månedens salg. Variasjonen i produksjonen skyldes bare delvis fluktuasjoner i etterspørselen, en vel så stor årsak er en heller vilkårlig lagerstyring. Ledelsen håper derfor den kan stabilisere produksjonen noe kommende år, der en har budsjettert med et årlig salg på stk., og håper å kunne produsere jevnt stk. pr. måned. Før vi starter regresjonsanalysen skal vi gjøre en liten digresjon. Disse dataene er ikke hentet fra virkeligheten, men er konstruerte tall. Produksjonen er konstruert ut fra en normalfordeling med forventning stk. og standardavvik på stk. Tilsvarende er kostnadene konstruert ut fra kr ,- i faste kostnader og kr. 75,- i variable enhetskostnader, med et standardavvik på 1 / 100 av forventet totalkostnad. I regnearket er dette gjort slik: 2-2

32 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E S I M U L E R I N G A V D A T A Normalfordelt produksjon = stk. = Normalfordelt kostnad : Faste = ,- Variabel = 75,- = /100 Standardavviket er ikke konstant, men proporsjonal med forventningen. Måned Produksjon Kostnad Januar =NORMINV(RAND();10000;2500) =NORMINV(RAND(); *B2;( *B2)/100) TABELL 2-1. Simulering av data. Funksjonen NORMINV gir den inverse kumulative normalfordelingen, med syntaks NORMINV(sannsynlighet; gjennomsnitt; standardavvik); der sannsynlighet er en sannsynlighet korresponderende til normalfordelingen, gjennomsnitt er fordelingens aritmetiske gjennomsnitt, og standardavvik er fordelingens standardavvik. For å angi en tilfeldig simulert sannsynlighet, er det her benyttet funksjonen RAND(), som trekker et tilfeldig tall mellom 0 og 1. Med konstruerte data for bare 12 måneder er det ikke gitt at en får et representativt utvalg ved første simulering. Regnearket er derfor rekalkulert [F9] inntil et rimelig datasett fremkommer. Dataene er så kopiert v.h.a. "Copy" og "Paste Special" "Value", for å forhindre at nye rekalkuleringer endrer dataene. Kostnad FIGUR 2-1. Scatterdiagram over kostnader og produksjon. R E G R E S J O N Velg regresjonsparametrene b 0 og b 1 slik at : Minimer ESS = e i 2 e i = [Y i Ŷ i ] Ŷ = b 0 + b 1 X 1 Ved lineær regresjon forsøker en å finne en rett linje som passer best mulig til alle punktene i scatter-diagrammet. Normalt vil ikke alle punktene ligge nøyaktig på linjen, vi får avvik. Regresjonsanalysen velger den linjen som minimerer summen av de kvadrerte avvik (ESS = Error Sum og Squares): Minimer ESS = e i 2 Prediksjonsfeilen e i = [Y i Ŷ i] er avviket mellom observert (Y) og predikert (Ŷ) kostnad. Avviket kvadreres for at positive og negative avvik ikke skal oppheve hverandre. Predikert verdi Ŷ = b 0 + b 1X 1 (der forklaringsvariabelen X 1 er produksjonen) bestemmes ved å velge b 0 og b 1 slik at ESS blir minst mulig. Finne regresjonslinjen uten regresjonsanalyse. Parametrene b 0 og b 1 som minimerer sum kvadrerte prediksjonsfeil kan finnes analytisk, dvs. det kan utledes formler som beregner optimale parameterverdier slik at prediksjonsfeilene blir minimert. Regresjonsanalysen benytter seg av disse formlene. 2-3

33 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E S O L V E R Regresjonsparametrene kan finnes med Solver, uten bruk av regresjonsanalyse. Imidlertid kan en se på problemet med å tilpasse en linje best mulig til punktene i diagrammet som et optimeringsproblem der en forsøker å minimere avvikene mellom linjen og punktene. Disse avvikene kan måles på mange måter; et rent avvik, absolutt avvik, kvadrert avvik, etc. Om en velger å minimere sum kvadrerte avvik, får en selvsagt samme løsning som om en benytter regresjonsanalyse. FIGUR 2-2. Regresjonslinjeberegning basert på utgangspunktet for de simulerte data. E S T I M A T E R Regresjonslinjen finner kun estimater (b i ) for regresjonslinjen, ikke de sanne verdiene β i. De predikerte verdiene i FIGUR 2-2 er basert på de kostnadene som lå til grunn for simuleringen av datasettet. Det er imidlertid ikke sikkert at disse verdiene gir minst prediksjonsfeil, selv om de kan betraktes som de sanne verdiene; β 0 = og β 1 = 75. Om vi bruker Solver til å velge b 0 [G1] og b 1 [I1] slik at sum kvadrerte avvik [I15] blir minimert, får vi isteden løsningen : b 0 = ,7 og b 1 = 75,75. I så fall blir sum kvadrerte avvik redusert til Se FIGUR 2-3. En mindre sum finnes ikke, og disse estimatene gir altså mindre prediksjonsfeil enn de sanne verdiene. Dette illustrerer regresjonsanalysens dilemma, estimeringen av regresjonslinjen gir kun estimater for parametrene, ikke de sanne verdiene. Vi kan sogar risikere at de sanne verdiene ligger utenfor konfidensintervallene vi vanligvis benytter. For å kunne konstruere konfidensintervall og angi sannsynlighetsanslag for våre estimater og prediksjoner, må vi imidlertid benytte regresjonsanalysen, Solver gir oss ikke slike muligheter. 2-4

34 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E FIGUR 2-3. Regresjonslinjeberegning basert på Solver, med optimale regresjonsparametre. R E G R E S J O N Finnes i Data Analysis under Tools menyen i Excel. Hvis den mangler må Analysis Toolpak installeres fra Add-Ins som finnes under Tools Regresjonsanalysen i Excel. For å kunne benytte regresjonsanalyse i Excel må Analysis ToolPak være installert fra listen over add-in programmer. Når den er installert, finnes Regresjon under Tools menyen i Data Analysis modulen. Vi må angi hvor Y-verdiene er i regnearket, og tilsvarende hvor X- verdiene er. Hvis vi tar med navn (Labels) må vi krysse av for dette. Det er angitt at regresjonsanalysen skal legges på et eget ark, kalt Resultat. FIGUR 2-4. Angivelse av data i regresjonsanalysen. 2-5

35 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E 1 SUMMARY OUTPUT 2 3 Regression Statistics A B C D E F G 4 Multiple R 0, R Square 0, Adjusted R Square 0, Standard Error 9350, Observations ANOVA 11 df SS MS F Significance F 12 Regression 1 7,57788E+11 7,57788E , ,00456E Residual ,4 14 Total 11 7,58662E Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% 17 Intercept , , , ,58125E , , Produksjon 75, , , ,00456E-16 73, , TABELL 2-2. Resultatet fra regresjonsanalysen i Excel. Siste del av TABELL 2-2 angir regresjonsparametrene; i kolonnen Coefficients. Der listes først verdien for Intercept = b ,73; deretter koeffisienten for X 1 (Produksjon) = b 1 75,75. Regresjonslinjen blir derfor : Estimert verdi : Ŷ = b 0 + b 1X 1 = , ,75X 1 R 2 Determinasjonskoeffisienten R 2 Angir andelen av variasjonen i den avhengige variabel som er forklart via regresjonsligningen R 2 = RSS/TSS Alltid en verdi mellom 0 og 1. For å teste hvor godt regresjonslinjen passer dataene kan vi se på determinasjonskoeffisienten, R 2. Den er angitt i første del av TABELL 2-2 som R Square. Den angir hvor stor del av variasjonen i kostnadene som er forklart via regresjonslinjen. Her har vi altså fått forklart 0,9988 eller 99,88% av variasjonene i den avhengige variabelen. Totalvariasjonen for den avhengige variabel Y er beregnet som: Total Sum of Squares: TSS = (Y i Y ) 2 hvor Y er gjennomsnittsverdi Y. Variasjonen som regresjonslinjen kan forklare er beregnet som : Regression Sum of Squares: RSS = (Ŷ i Y ) 2 Estimeringsfeilene, slik vi har målt variasjonen i Y som regresjonslinjen ikke kan forklare, dvs. sum kvadrerte avvik som vi har minimert : Error Sum of Squares: ESS = (Y i Ŷ i) 2 Vi har følgende sammenheng mellom disse avvikene: TSS = RSS + ESS Determinasjonskoeffisienten er definert slik : Determinasjonskoeffisienten : R 2 = RSS/TSS = 1 ESS/TSS 2-6

36 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Vi finner igjen RSS i ANOVA delen (ANalysis Of VAriance) av TABELL 2-2 i kolonnen SS (Sum of Squares) i linjen for Regression : RSS = 7,57788E+11. På samme måte finner vi ESS i linjen for Residual (error) : ESS = Denne størrelsen var det vi også minimerte ved hjelp av Solver (se FIGUR 2-3). Og TSS er angitt i linjen for Total : TSS = 7,58662E+11. R Multippel korrelasjonskoeffisient R Alltid en verdi mellom 1 og +1. R 2 a Justert determinasjonskoeffisient R 2 a Tar hensyn til antall forklaringsvariabler Kan bli redusert ved innføring av nye forklaringsvariabler F F -verdien tester om alle stigningskoeffisientene i regresjonslinjen er 0. Kan angi sannsynlighetsanslag for F -verdien Kan foreta signifikanstest av F -verdien (Funksjonen FINV) Den multiple korrelasjonskoeffisienten R angir hvor sterkt lineær samvariasjon det er mellom faktisk og estimert verdi for den avhengige variabelen. En perfekt positiv lineær korrelasjon gir verdien +1, og en perfekt negativ korrelasjon gir verdien 1, mens ingen lineær sammenheng gir verdien 0. Determinasjonskoeffisienten R 2 er lik korrelasjonskoeffisienten R opphøyd i andre : R 2 = (R) 2. Den multiple korrelasjonskoeffisienten R er angitt øverst i TABELL 2-2 under Regression Statistics, i linjen for Multiple R, og er lik 0,9994. Den justerte determinasjonskoeffisienten R 2 a = 1 (ESS/TSS)[(n 1)/(n k)] tar hensyn til antall forklaringsvariabler som benyttes i regresjonsanalysen. Her er n = antall observasjonspar av verdier, og k = antall parameter som estimeres i regresjonsligningen. h = antall forklaringsvariabler. Merk at k er lik antall forklaringsvariabler pluss konstantleddet. R 2 a kan også skrives Den justerte determinasjonskoeffisienten R 2 a = 1 [(n 1)/(n k)](1 R 2 ) og vil alltid være mindre eller lik R 2. Ettersom R 2 alltid vil øke (eller forbli uendret) ved å ta inn flere forklaringsvariabler i regresjonsanalysen, er ikke R 2 et godt mål på om regresjonsanalysen er bedre eller dårligere med flere forklaringsvariabler. Den justerte determinasjonskoeffisienten derimot kan reduseres som følge av flere forklaringsvariabler, og indikerer derfor om nye forklaringsvariabler har hatt en gunstig effekt (sammenlignet med regresjonsanalysen uten den ekstra forklaringsvariabelen). Denne størrelsen er angitt i TABELL 2-2 under Regression Statistics, i linjen for Adjusted R Square, og er lik 0,9987. Ulempen med alle disse målene er at de er subjektive, dvs. hva som er gode eller dårlige verdier for R, R 2 og R 2 a må baseres på skjønn. Men i ANOVA delen av TABELL 2-2 er F -verdien beregnet. Der har vi i kolonnen for MS (Mean Square) : Mean Squared Regression : MSR = RSS/(k 1) = RSS/df = 7,57788E+11 Mean Squared Error : MSE = ESS/(n k) = ESS/df = ,4 hvor df angir antall frihetsgrader (degrees of freedom), angitt i kolonnen df. Hvis alle stigningskoeffisientene i regresjonslinjen egentlig er 0, dvs. β 1, β h = 0 så følger F - verdien en F -fordeling med (k 1) frihetsgrader i teller og (n k) frihetsgrader i nevner. F -verdien er angitt i kolonnen for F i ANOVA delen av TABELL 2-2: F -verdi : F = MSR/MSE = 8667,38; F - fordelt med hhv. 1 og 10 frihetsgrader. I kolonnen Significance F er sannsynligheten for å observere en mer ekstrem verdi på F hvis nullhypotesen (alle β 1, β h = 0) er riktig beregnet til 5,0045E 16. I praksis betyr en så lav verdi at vi for vanlige signifikansnivå kan forkaste nullhypotesen og akseptere den alternative hypotesen om at minst en av stigningskoeffisientene er forskjellig fra null. Med bare en forklaringsvariabel betyr det at vi aksepterer hypotesen om at β 1 0. (Det er ikke fornuftig å operere med et presisjonsnivå på særlig mer 2-7

37 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E enn 4 desimaler i regresjonsanalysen; 5E 16 er for de fleste praktiske formål lik 0,0000.) Vi kan via funksjonen FINV i Excel beregne nedre kritiske verdi som F kan ha for at vi skal kunne forkaste nullhypotesen. Funksjonen har følgende syntaks : FINV(signifikansnivå, frihetsgrader teller, frihetsgrader nevner) Om vi ønsker 5% signifikansnivå (5% sjanse for feilaktig å forkaste nullhypotesen), dvs. 95% konfidensnivå, får vi : FINV(5%, 1, 10) = 4,9646; nedre kritiske verdi ved 5% signifikansnivå og 1 frihetsgrad i teller og 10 frihetsgrader i nevner. Ettersom F -verdien er over 8000 overstiger vi nedre grense med god margin, og kan forkaste nullhypotesen. H Y P O T E S E Test av regresjonslinjens tilpassing. Alle disse størrelsene; R, R 2, R 2 a og F -verdien indikerer på forskjellig vis hvor godt regresjonslinjen passer dataene. Den første testen bør imidlertid være å plotte dataene i scatterdiagram, for å få et visuelt inntrykk av om det er en lineær sammenheng mellom hver uavhengig variabel og den avhengige variabel. Med bare en forklaringsvariabel får vi kun et diagram: Utgangspunktet for regresjonsanalysen bør være en hypotese om sammenhengen mellom den avhengige og de uavhengige variablene. Regresjonsanalysen brukes så til å teste hypotesen Kostnad FIGUR 2-5. Scatterdiagram med trendlinje. En slik visuell test er nyttig for å kunne underbygge antagelsen om lineæritet. Vi ser at figuren bekrefter de høye verdiene på korrelasjonskoeffisienten R, determinasjonskoeffisienten R 2 og den høye F -verdien. Utgangspunktet for regresjonsanalysen bør være en hypotese om hva som er årsaken til variasjonene i kostnadene. Regresjonsanalysen kan kun påvise statistiske samvariasjoner ikke årsakssammenhenger men vi kan bruke regresjonsanalysen til å teste vår hypotese om en bestemt sammenheng mellom kostnadene og produksjonsvolum. En plausibel antagelse er at kostnaden Y består av en fast kostnad β 0 pr. måned; og en variabel kostnad, proporsjonal med produksjonskvantumet : β 1X 1. X 1 angir produksjonskvantumet i en måned. Hypotesen er altså : Kostnad Y = β 0 + β 1X 1 + ε ε = tilfeldig avvik 2-8

38 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Regresjonsanalysen har gitt oss følgende estimater : Estimert kostnad : Ŷ = b 0 + b 1X 1 = , ,75X 1 G Y L D I G H E T Regresjonsanalysen gjelder kun innenfor de verdier vi har observasjoner b 0 vanligvis ikke lik de faste kostnadene Det vil imidlertid være feil å anta at månedlige faste kostnader er kr ,-. Regresjonsanalysen er nemlig kun gyldig innenfor det intervall vi har observasjoner, i dette tilfellet er regresjonsanalysen kun gyldig for månedlige produksjonskvanta som ligger mellom og stk. Vi kan IKKE ut ifra regresjonsanalysen beregne kostnadene ved en månedlig produksjon på 0 stk. Vi kan nemlig ikke utelukke at kostnadsfunksjonen er ikke-lineær eller at det er sprangvise faste kostnader i området under stk, ettersom vi ikke har noen observasjoner i dette området som kan underbygge regresjonslinjen. Vi kan imidlertid trygt anta at de variable enhetskostnadene er kr. 75,75 i det gjeldene området, og vi kan også med stor sikkerhet beregne de totale kostnadene. P Å L I T E L I G Regresjonsanalysen gir oss mulighet til å angi hvor pålitelige våre estimater er: b 0, b 1,,b h. Signifikansutsagn for regresjonslinjens estimater. I motsetning til når vi bruker Solver til å finne parametrene i regresjonsligningen så får vi når vi benytter regresjonsanalyse i tillegg også angivelse av påliteligheten av våre estimater. I første del av TABELL 2-2, Regression Statistics, er regresjonslinjens standardavvik (Standard Error) beregnet : Regresjonslinjens standardavvik s e ESS = ( n k) MSE = 9.350,39 Standardavviket til estimeringsfeilene måler spredningen av de faktiske dataene rundt regresjonslinjen. Denne størrelsen brukes også for å beregne standardavviket til regresjonsparametrene. Hvis feilleddet i regresjonsligningen, ε, er normalfordelt, så vil også estimatene for regresjonsparametrene, b i, være normalfordelt : b i N(β i, σ i). Et estimat for standardavviket til regresjonslinjens helning, σ 1, vil være : Standardavviket til b1 : s s e 1 = 0,8136 XSS Standardavvikene til koeffisientene er angitt i siste del av TABELL 2-2 i kolonnen for Standard Error. Størrelsen XSS blir ikke listet ut, men er beregnet slik : X Sum of Squares: XSS = (X 1 X 1) 2 Ved hjelp av standardavvikene til parameterne kan vi angi konfidensintervall via t - tester. Disse t - verdiene er angitt i kolonnen t Stat i siste del av TABELL 2-2 : t -verdi for b1 : t 1 = b 1/s 1 = 93,0987 t -verdien er fordelt etter en Student t -fordeling med (n k) frihetsgrader. Nullhypotesen er at koeffisienten β 1 = 0. Merk at t -fordelingen er symetrisk. Vi kan finne nedre kritiske t -verdi ved et ønsket signifikansnivå (t df ) via funksjonen TINV : 2-9

39 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E K R I T I S K t - V E R D I Kan beregne kritiske nedre grense for et ønsket signifikansnivå : t df TINV(signifikansnivå α, antall frihetsgrader df) Og vi får i vårt tilfelle når vi ønsker 5% signifikansnivå (95% konfidensnivå) : TINV(5%, 10) = 2,2281 Vi ser at den beregnede t -verdien på vel 93 klart overstiger nedre kritiske verdi på 2,2281 ved 5% signifikansnivå, og vi kan derfor forkaste nullhypotesen om at koeffisienten β 1 = 0. I kolonnen P-value i siste del av TABELL 2-2 er det angitt sannsynligheten for å observere et utfall som er mer ekstrem enn den observerte t -verdien hvis nullhypotesen er riktig. Denne p -verdien er her i praksis null (5E 16). For en regresjonsanalyse med bare én forklaringsvariabel (enkel regresjonsanalyse) er F -testen for hele regresjonsligningen og t -testen av stigningskoeffisienten β 1 identisk. K O N F I D E N S I N T E R V A L L Vi kan angi påliteligheten i form av øvre og nedre grenser på våre estimater : b 0 t df s 0 b 1 t df s 1 Vi kan også angi konfidensintervall for prediksjoner : Ŷ p t df s p Vi kan konstruere konfidensintervall for de variable kostnadene, dvs. b 1. Generelt konstrueres konfidensintervallene som : Konfidensintervall : estimat t df estimatets standardavvik Konfidensintervallet for b 1 ved 5% signifikansnivå blir da : 75,75 2,2281 0,8136 = [73,94; 77,56]. Disse verdiene er angitt nederst til høyre i TABELL 2-2, i kolonnene Lower 95% og Upper 95%. Vi kan konkludere med at i 95% av tilfellene vil konfidensintervaller konstruert på denne måten inneholde den sanne parameterverdien β 1. Når vi skal foreta tilsvarende beregninger for β 0 er eneste forskjell i forhold til β 1 at estimatet på standardavviket beregnes litt annerledes : 2 X Standardavviket til b0 : s0 se = 8453,15 XSS t -verdien beregnes på samme måte : t -verdi for b0 : t 0 = b 0/s 0 = 28,095 Vi får da konfidensintervallet for de faste kostnadene til å bli : ,73 ± 2, ,15 = [ ,93; ,53]. Men husk at vi har ingen observasjoner som kan underbygge dette forholdet. 2-10

40 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R R Multippel korrelasjonskoeffisient R Square R 2 Determinasjonskoeffisient Adjusted R Square R 2 a Justert determinasjonskoseffisient Standard Error s e Regresjonens standardavvik Observations n Antall observasjoner h Antall forklaringsvariabler ANOVA k Antall estimerte parametre df SS MS F Significance F Regression h RSS MSR F p Residual n k ESS MSE Total n (k h) TSS Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept b 0 s 0 t 0 p 0 b 0 t n k 5% s 0 b 0 + t n k 5% s 0 Produksjon b 1 s 1 t 1 p 1 b 1 t n k 5% s 1 b 1 + t n k 5% s 1 TABELL 2-3. Symbolene for resultatene av regresjonsanalysen i TABELL 2-2. Signifikansutsagn for prediksjoner. Når vi foretar prediksjoner er det ofte ønskelig å vite hvor nøyaktige prediksjonene er. Vi må imidlertid være oppmerksomme på at prediksjoner bare er gyldige innenfor de verdier vi har observasjoner for. Vi kan i vårt tilfelle bare estimere kostnader for en produksjon mellom og stk. Vi har ingen observasjoner utenfor dette intervallet, og kan derfor ikke utelukke en ikke-lineær kostnadsutvikling eller sprangvise faste kostnader utenfor dette intervallet. P R E D I K S J O N Kan predikere variable kostnader for enkeltordrer, selv om aktivitetsnivået for en enkelt ordre er mindre enn minste observasjon. E S T I M E R I N G Det betyr imidlertid ikke at vi ikke kan estimere de variable kostnadene for en enkelt ordre på f.eks. 100 stk. En månedlig produksjon på stk. består ikke av en enkeltordre på stk, men heller 100 små ordrer på 100 stk. Vi har estimert de variable kostnadene foregående år til å være kr. 75,75 og med et konfidensintervall på [73,94; 77,56]. En kan derfor bli fristet til anslå de variable kostnadene for en enkeltordre på 100 stk. til å ligge i intervallet [7.394,-; 7.756,-], med forventet verdi på kr ,-. Dette intervallet er imidlertid for snevert i forhold til vårt ønskede konfidensnivå på 95%, ettersom vi nå lager en prediksjon. Konfidensintervall for estimatene basert på datasettet er forskjellig fra konfidensintervall for prediksjoner basert på regresjonslinjen. Om vi ønsker å beregne et konfidensintervall for en prediksjon av både faste og variable kostnader basert på regresjonslinjen må vi gå mer grundig til verks. Vi må da først beregne standardavviket til prediksjonen : Prediksjonens standardavvik s p s e 2 1 ( X p X ) 1 n XSS X p = predikert verdi for den uavhengige variabelen. Etterkontroll (estimering) av kostnader for enkeltordrer tilsvarer prediksjoner av kostnader for nye ordrer hvis en benytter de samme regresjonsparametrene til begge deler. Konfidensintervall Ŷp: Ŷ p t df s p Ŷ p = b 0 + b 1X p 2-11

41 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Regresjonsanalysen i Excel gir ikke noen enkel måte å beregne s p på, så denne formelen må vi konstruere selv. Et regneark som foretar beregninger av konfidensintervall for prediksjoner basert på regresjonsanalyse, kan f.eks. se slik ut : FIGUR 2-6. Beregning av konfidensintervaller ved prediksjon basert på regresjonsanalyse. Som vi ser så vil s p alltid være større enn s e, men avviket er lite når n er stor og predikert verdi X p er nær gjennomsnittsverdien for X. Om vi ønsker å predikere totale kostnader i en måned der produksjonen er totalt stk. (X p = ) får vi : Ŷ p = b 0 + b 1X p = , = ,- Og konfidensintervallet for prediksjonen ved 5% signifikansnivå blir : K O N F I D E N S I N T E R V A L L Konfidensintervall for prediksjoner basert på regresjonslinjen er større enn konfidensintervall for estimatene av parametrene i regresjonslinjen basert på datasettet. Ŷ p ± t df s p = , ,01 = [ ,-; ,-] Vi beregnet tidligere konfidensintervallet for de faste kostnadene til å bli : ,73 ± 2, ,15 = [ ,93; ,53] Dette er et estimat på de faste kostnadene pr. måned foregående år. Om vi predikerer kostnadene ved en produksjon X p = 0 basert på regresjonsligningen får vi : Ŷ p ± t df s p = ± 2, ,98 = [ ,-; ,-] Dette konfidensintervallet for prediksjonen av de faste kostnadene ser vi er større enn estimatet på de faste kostnadene, og illustrerer at konfidensintervall for prediksjoner er større enn konfidensintervall for estimater. Dessuten vil prediksjoner utenfor datagrunnlaget vårt være tvilsomme, noe som gir store konfidensintervall. 2-12

42 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E A B C D E F 1 Måned Produksjon Kostnad Estimat Fra regresjonsanalysen 2 Januar =Faste+Variable*B2 Faste =Resultat!B17 3 Februar =Faste+Variable*B3 Variable =Resultat!B18 4 Mars =Faste+Variable*B4 n =Resultat!B8 5 April =Faste+Variable*B5 Se =Resultat!B7 6 Mai =Faste+Variable*B6 7 Juni =Faste+Variable*B7 t =TINV(5%;Resultat!B13) 8 Juli =Faste+Variable*B8 9 August =Faste+Variable*B9 10 September =Faste+Variable*B10 11 Oktober =Faste+Variable*B11 12 November =Faste+Variable*B12 13 Desember =Faste+Variable*B13 14 Snitt =AVERAGE(B2:B13) 15 XSS =n*varp(b2:b13) 16 95% konfidensintervall 17 Måned Produksjon Estimat Sp Nedre Øvre 18 Prediksjon =Faste+Variable*B18 =se*sqrt(1 + 1/n + (B18-Snitt)^2/XSS) 19 Prediksjon 0 =Faste+Variable*B19 =se*sqrt(1 + 1/n + (B19-Snitt)^2/XSS) TABELL 2-4. Definisjon av regnearket i FIGUR 2-6. =C18-t*D18 =C18+t*D18 =C19-t*D19 =C19+t*D19 K O N F I D E N S I N T E R V A L L E T Smalest for prediksjoner nær gjennomsnittet FIGUR 2-7 illustrerer sammenhengen mellom prediksjonene og konfidensintervallene for prediksjonene : Kostnad Y Øvre del av konfidensintervallene Regresjonslinjen : Y = b0 + b1x Ŷhøy Ŷp Ŷlav Nedre del av konfidensintervallene b0 Dataobservasjoner Xp X Produksjon X FIGUR 2-7. Regresjonslinjen og konfidensintervall for prediksjoner. 2-13

43 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Teste regresjonslinjen basert på nye observasjoner. En viktig forutsetning for regresjonsanalysen er at det bakenforliggende forhold som analysen skal forsøke å avdekke er konstant. I vårt tilfelle betyr det at sammenhengen mellom kostnadene og produksjonsvolum er den samme hver måned. Vi kan ikke ha eksterne effekter som inflasjon eller interne effekter som f.eks. produktivitetsendringer eller nyinvesteringer i produksjonsutstyr. Dette vil i så fall bety at sammenhengen mellom kostnadene og produksjonsvolum ikke er konstant, og regresjonsanalysen vil ikke være i stand til å estimere den sanne sammenhengen. F O R U T S E T T E R En stabil og kontinuerlig sammenheng mellom den avhengige og de uavhengige variablene. Anta f.eks. at kostnadene i Januar var kr ,- og at produksjonen var stk. Er dette i samsvar med de regresjonsparametrene vi har estimert, eller har det vært et skift i den bakenforliggende sammenhengen mellom produksjonsvolum og kostander? Ved en produksjon på stk. gir regresjonslinjen en predikert kostnad på kr ,-mens prediksjonens standardavvik blir 9.745,38. Dette gir en observert t -verdi på : t = [Y Ŷ p]/s p = [ ]/9.745,38 = 2,90 TEST Sannsynligheten for å observere en så stor t -verdi som den observerte må være mindre enn ønsket signifikansnivå α. Dvs. den observerte verdien ligger 2,90 standardavvik fra den predikerte verdien. Sannsynligheten for å observere en verdi på 2,9 standardavvik eller mer fra den predikerte verdien er lik 0,0159. Dvs. det er mindre enn 1,6% sannsynlighet for å observere en så stor eller større kostnad ved en produksjon på stk. Ved 5% signifikansnivå kan vi derfor ikke akseptere at den observerte verdien samsvarer med parametrene i regresjonsligningen. For å finne sannsynligheten til en observert t -verdi, kan en i Excel benytte funksjonen TDIST, som har følgende syntaks : TDIST(observert t -verdi; frihetsgrader df; haler) hvor observert t -verdi er [Y Ŷ p]/s p, og frihetsgrader df er antall frihetsgrader (n k), og haler er enten 1 eller 2 avhengig av om en foretar en enhale eller tohale test. Vi kan også komme til samme konklusjon om vi sammenligner den observerte t - verdien på 2,9 med den nedre kritiske t -verdien på 2,228 som vi beregnet ved 5% signifikansnivå og 10 frihetsgrader. Vi ser at den observerte t -verdien overstiger denne nedre kritiske grensen. Eller vi kan lage konfidensintervall for prediksjonen på vanlig måte. I så fall vil vi få et intervall på [ ,-; ,-]. Vi ser at den observerte kostnaden på ,- ligger utenfor konfidensintervallet for 5% signifikansnivå. Analysen gir derfor grunn til å anta at det har skjedd endringer i kostnadsstrukturen som gjør at regresjonsanalysen basert på fjorårets data kanskje ikke lenger er gyldig. Men før en forkaster regresjonsestimatene bør en undersøke om det har vært spesielle forhold, f.eks. produksjonsuhell, som kan være årsak til avviket. 2-14

44 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Nullpunktsanalyser og regresjon. Av og til kan en av grunnene for å foreta kostnadsestimering være å kunne gjøre nullpunktsanalyser. Anta f.eks. at produktet har en salgspris P lik kr. 100,- pr. stk. Hvor stor er nullpunktsomsetningen X Null pr. måned? N U L L P U N K T X Null = b 0 /(P b 1 ) Husk : X Null =FK/db Nullpunktet er den omsetningen som gir null i resultat, dvs. at inntekten er like stor som kostnadene : P X Null = b 0 + b 1X Null 100 X Null = , ,75 X Null X Null Våre estimater fra regresjonslinjen gir altså en nullpunktsomsetning på stk. Kostnad Inntekt : 100X Regresjonslinjen : Y = b 0 + b 1X ŶNull b0 Produksjon Xlav XNull Xhøy FIGUR 2-8. Regresjonslinjen brukt ved nullpunktsanalyser. K O N F I D E N S I N T E R V A L L Ŷ Lav t α df s p Lav = FIGUR 2-8 viser at konfidensintervallet for nullpunktet må bestemmes slik at nedre og øvre grenseverdi fra konfidensintervallet for kostnadene er like stor som inntekten. Vi må altså finne X lav og X høy ut fra følgende ligninger : P X Lav Ŷ Høy + t α df s p Høy = b 0 b X 1 lav t df s e 1 ( X n lav X ) XSS 2 P X lav P X Høy b 0 b X 1 høy t df s e 1 n ( X høy X ) XSS 2 P X høy 2-15

45 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E I et regneark kan vi bruke Goal Seek for å finne de verdiene vi søker, etter at vi har spesifisert ligningene, men Goal Seek kan bare løse en ligning i gangen. Om vi bruker Solver kan vi løse alle tre ligningene samtidig : FIGUR 2-9. Beregning av nullpunkt pr. måned med øvre og nedre konfidensintervall. R E S T R I K S J O N Nullpunkt : Estimert kostnad = Inntekt Nedre konfidens- intervallgrense : Som restriksjoner til Solver har vi satt at hhv. estimert kostnad, nedre verdi i konfidensintervallet, og øvre verdi i konfidensintervallet skal være lik tilhørende inntekt. Beslutningsvariabler er produsert mengde. Følgende informasjon er gitt til Solver : Estimert kostnad X Lav = Inntekt X Lav Øvre konfidensintervallgrense : Estimert kostnad X Hoy = Inntekt X Høy FIGUR Angivelse av beslutningsvariabler og restriksjoner for nullpunktsanalyser. Vi får altså følgende konfidensintervall for nullpunktsomsetningen i stk. pr. måned: X Null = med nedre og øvre verdi : [9.543; ]. Fra FIGUR 2-9 ser vi at inntekten er lik estimert kostnad ved en mengde lik 9.792, mens inntekten er lik nedre grense for konfidensintervallet for en mengde lik og inntekten er lik øvre grense for konfidensintervallet for en mengde lik Dette gir oss altså konfidensintervallet for nullpunktsomsetningen pr. måned, ettersom analysen bygger på månedlige data. 2-16

46 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Nullpunktsanalyser fra måned til årsbasis. Regresjonsanalysen vi har foretatt er basert på månedsdata. I tillegg til nullpunktsanalyser pr. måned, kan ledelsen også være interessert i nullpunktsanalyser for hele året samlet. N U L L P U N K T Nullpunkt pr år : X Null År = 12 X Null mnd X Null År = 12 b 0 /(P b 1 ) Vi beregnet nullpunktsomsetningen pr. måned til å være stk. som tilsvarer = stk. pr. år. Dette kan vi også finne direkte fra regresjonslinjen om vi husker på å multiplisere de faste kostnadene pr. måned med antall måneder : P X Null År = 12 b 0 + b 1X Null År 100 X Null År = , ,75 X Null År X Null (forskjell p.g.a. avrundingsfeil.) FIGUR Beregning av nullpunkt pr. år med øvre og nedre konfidensintervall. K O N F I D E N S I N T E R V A L L X Lav År 12 X Lav mnd Vi ser i FIGUR 2-11 at vi får et konfidensintervall for nullpunktsomsetningen som strekker seg fra en årsproduksjon på vel stk. til knapt stk. pr. år. Men vær obs. på at vi ikke kan multiplisere nedre og øvre grense for konfidensintervallet pr. måned med 12 for å finne tilsvarende grenser pr. år. Formelen for konfidensintervallet er ikke lineær, og vi må nå benytte formlene : X Høy År 12 X Høy mnd 12 b mnd 0 b X 1 År lav t df s e År 1 ( X lav X ) n XSS 2 P X År lav 12 b mnd 0 b X 1 År høy t df s e 1 ( X n År høy X ) XSS 2 P X År høy Merk at vi her beveger oss langt utenfor gyldighetsområdet for regresjonsanalysen. Vi gjorde også det da vi benyttet oss av regresjonsanalysen for å estimere kostnadene for en enkelt ordre på f.eks. 100 stk. Da argumenterte vi for at månedsproduksjonen normalt besto av slike enkeltordrer, som i sum ga et kvantum som ligger innenfor regresjonens gyldighetsområde. Her har vi i tillegg beveget oss utenfor tidsdimensjonen, og får derved også i tillegg problemer med konstantleddet. Nullpunktet på årsbasis kan vi finne, men får problemer med usikre konfidensintervall. 2-17

47 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E N U L L P U N K T E T Regresjonslinjen : Det kan hende at det ikke eksisterer nedre eller øvre grenser for konfidensintervallet til nullpunktsomsetningen. Kostnad Inntekt : 100X Y = 12b 0 + b 1X ŶNull 12b0 Produksjon XNull FIGUR Regresjonslinjen og nullpunkt pr. år med ingen øvre og nedre konfidensintervall. Vi kan sogar risikere å ikke finne noe nedre eller øvre grense for konfidensintervallet, spesielt hvis prediksjonens standardavvik er stort. Dette er illustrert i Error! Reference source not found.. Her ser vi at linjen for inntektene hverken skjærer kurven for nedre eller øvre konfidensintervall. Det kan selvsagt tenkes situasjoner der inntektsfunksjonen bare krysser nedre eller bare krysser øvre konfidensintervall, men ikke begge. Selv om vi kan finne nullpunktet er vi altså ikke garantert at det finnes et lukket konfidensintervall for nullpunktsomsetningen. Vi kan f.eks. oppleve følgende: Nullpunkt pr. mnd. Ingen nedre konfidensintervall Nullpunkt pr. år. Ingen øvre konfidensintervall FIGUR Ikke lukket konfidensintervall, forskjellig fra måned til år. 2-18

48 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Momenter ved regresjonsanalyse. Mange er ganske bevisste på de rent matematiske statistiske forutsetningene som ligger til grunn for regresjonsanalysen. Disse forutsetningene har også sterke implikasjoner for datagrunnlaget, og vi skal ta for oss de viktigste. D A T A Nøyaktige Korrekt tidsavgrenset Ingen vilkårlig kostnadsfordeling Ingen stordrifts- eller læringseffekter Stabil produksjonsprosess Variert aktivitetsnivå Prosedyrer i innsamlingen og bokføringen av dataene. Prosedyrene for hvordan dataene er samlet inn og bokført kan ha stor betydning for hva slags data vi har å bygge på når vi skal foreta regresjonsanalysen. Følgende momenter er viktige å ta hensyn til. Nøyaktighet og ærlighet ved innsamling av data. Regnskapsdata er som regel objektive og nøyaktige, ettersom de blir revidert og kontrollert. De mange regler for føring av finansregnskapet gir ikke store rom for unøyaktigheter og skjønn. Bygger regresjonsanalysen derimot på mer uformelle produksjonsrapporter utenfor regnskapet må vi være mer på vakt, fordi disse er mer utsatt for feil. Ofte er de som fører rapportene ikke klar over betydningen av nøyaktigheten, og nøyer seg med omtrentlige data. Det er dessuten ingen uavhengig verifikasjon av dataene slik som ved en revisjon av finansregnskapet. I tillegg kan en ofte bli fristet til å føre de mest gunstige data og ikke de mest korrekte data, spesielt hvis rapporten også benyttes til å evaluere den som rapporterer. Unøyaktige data kan medføre at regresjonsanalysen ikke greier å avdekke eller feiltolker den underliggende sammenhengen i dataene. Regnskapsmessige prosedyrer. Regresjonsanalysen krever sammenligninger av samhørige tallpar. Det betyr bl.a. : Nøyaktige tidsavgrensinger Lik tidsperiode for alle data Ingen vilkårlig kostnadsfordeling av felles kostnader Om det f.eks. har skjedd en gal tidsavgrensing i mai måned, så kan det i regnskapet være tilstrekkelig å korrigere neste måned uten konsekvenser for årsregnskapet. Imidlertid vil dette føre til to feil i regresjonsanalysen, ettersom både mai og juni vil inneholde gale tall. Det kan også være et problem at vi for enkelte variabler har månedlige data, mens for andre variabler finnes bare kvartalsvise data. Da må i så fall alle data gjøres om til kvartalsdata. Et annet problem er kontoinndelingen og fordelingen av felles kostnader som administrasjon, avskrivninger, etc. Hvis bokføringen inneholder bestemte prosedyrer for vilkårlig fordeling av slike felles kostnader, vil regresjonsanalysen kun avdekke disse reglene. Alle vilkårlige kostnadsfordelinger må lukes bort fra dataene før regresjonsanalysen kan gi mening. Stordriftsfordeler og læringseffekter. Regresjonslinjen vil ikke være lineær hvis det eksisterer stordriftsfordeler eller læringseffekter. Imidlertid kan slike effekter tas hensyn til ved at regresjonslinjen modifiseres, f.eks. ved at effekten av stordriftsfordeler måles ved en ny variabel lik kvadrert mengde. En negativ koeffisient til en slik variabel betyr at enhetskostnaden blir mindre jo større produksjonsvolumet er. 2-19

49 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Endringer i produksjonsprosessen. Regresjonsanalysen forutsetter en stabil og kontinuerlig sammenheng mellom den avhengige og de uavhengige variablene. Hvis det har skjedd endringer i produksjonsprosessen, f.eks. nytt produksjonsutstyr, nye råmaterialer eller endrede produksjonsrutiner, så vil dette kunne endre sammenhengen mellom variablene. Slike endringer må i så fall tas hensyn til; f.eks. modellering av skift i faste kostnader med en dummy variabel, som er lik 0 i periodene med gammelt utstyr og lik 1 i periodene med nytt utstyr. Konstant aktivitetsnivå. Regresjonsanalysen vil fungere best om den avhengige og de uavhengige variablene er observert over et vidt spekter av verdier. Imidlertid vil en bedrift forsøke å stabilisere produksjonen for å unngå problemer med arbeidskraft og maskinkapasitet. I tillegg vil aggregerte data over et lengre tidsrom ofte stabiliseres på et jevnt nivå. Om produksjonen svinger fra uke til uke, så har den ofte en tendens til å jevnes ut fra måned til måned og enda mer om dataene samles kvartalsvis. Da kan vi risikere å ende opp med en regresjonsanalyse som bare er gyldig i et meget snevert intervall. Tilpasninger til ekspansjon og innskrenkinger. Det er ofte større vansker med å tilpasse seg innskrenkinger enn utvidelser, p.g.a. irreversible investeringer. En slik asymmetri vil medføre at det ikke er noen lineær sammenheng mellom nåværende kostnader og nåværende aktivitetsnivå. En må også ta hensyn til forhistorien bak dagens kostnadsnivå ved f.eks. å modellere endringer i produksjonsvolum som en ny forklaringsvariabel. Valg av forklaringsvariabel. Ofte er den mest sannsynlige forklaringsvariabelen ikke registrert i regnskapet. Da er nye registreringsrutiner påkrevet, og en kan ikke foreta regresjonsanalysen før tilstrekkelige nye data er samlet inn. K R I T E R I E R Logisk modell God forklaringsevne Pålitelige estimater Kriterier for å evaluere resultatene av en regresjonsanalyse. Om vi kan gå god for dataene som er benyttet i regresjonsanalysen, så må vi evaluere resultatene regresjonsanalysen gir. Er modellen logisk? Regresjonsmodellen må være plausibel. Regresjonsanalysen måler kun samvariasjon mellom den avhengige og de uavhengige variablene, ikke årsakssammenhenger. Analysen bør brukes til å stadfeste hypoteser om en underliggende prosess. I tillegg til å vurdere om det er en logisk sammenheng mellom forklaringsvariablene (de uavhengige variablene) og den forklarte variabelen (den avhengige variabelen), må vi også ta stilling til om det er logisk med et konstantledd. Forklaringsevne. Determinasjonskoeffisienten, R 2, gir et grovt blide på hvor godt modellen passer til dataene, og endringen i R 2 a angir om nye uavhengige variable har økt forklaringsevnen til modellen. Pålitelighet. Påliteligheten av regresjonsresultatene kan måles med t- eller F- tester, både for estimatene til koeffisientene i regresjonslinjen og for prediksjoner basert på regresjonsligningen. 2-20

50 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E S T A T I S T I S K E F O R U T SET- N I N G E R Lineæritet Feilleddene har forventning lik 0 Feilleddene har konstant varians Feilleddene er uavhengige Feilleddene er normalfordelt Ukorrelerte forklaringsvariabler Spesifikasjonstester. Vi må også teste om de statistiske forutsetningene som ligger bak pålitelighetsutsagnene er gyldige. Husk at vi kan finne parametrene i regresjonslinjen uten bruk av regresjon. Kun når vi foretar sannsynlighetsutsagn er vi avhengige av de statistiske forutsetningene bak regresjonsanalyse. L I N E Æ R I T E T. Den avhengige variabelen må være en lineær funksjon av alle de uavhengige variablene. En første foreløpig test er å foreta plott av scatterdiagram mellom den avhengige og hver av forklaringsvariablene. Lineæritet er en streng forutsetning som innebærer at effekten på den avhengige variabelen av en endring i en uavhengig variabel ikke er påvirket av nivået på denne uavhengige variabelen eller nivået (størrelsen) på noen av de andre forklaringsvariablene. Hvis lineæritetsforutsetningen ikke holder må modellen omformuleres, eller en må benytte ikke-lineær regresjon. F E I L L E D D E N E H A R F O R V E N T E T V E R D I 0. En forutsetning for t- og F- testene er at feilleddet er normalfordelt. I tillegg må vi forutsette at feilleddet har forventning lik 0, ellers har vi utelatt en forklaringsvariabel. Vi forutsetter altså at ε t ~ N(0,σ 2 ). Ettersom regresjonsanalysen gir sum feilledd lik null, er avvik fra forutsetningen vanskelig å oppdage. Imidlertid kan analyser av residualene (feilleddene) i enkelte tilfeller avsløre mønstre, noe som indikerer at viktige forklaringsvariabler er utelatt. F E I L L E D D E T H A R K O N S T A N T V A R I A N S. Dette betyr at feilleddets varians ikke må være en funksjon av : i. Tiden (perioden) ii. Størrelsen på noen av den uavhengige variablene iii. Størrelsen på den predikerte avhengige variabelen Når alle disse betingelsene er oppfylt har vi homoskedastisitet. I motsatt fall er det heteroskedastisitet. Denne forutsetningen kan testes ved å plotte feilleddene; rangert over tid, over størrelsen på de uavhengige variablene, og over størrelsen på den predikerte avhengige variabelen. Feilleddene skal da være spredt i et konstant bredt belte rundt null. Hovedproblemet med heteroskedastisitet er at standardavvikene fra regresjonsligningen kan være unøyaktige. F E I L L E D D E N E E R U A V H E N G I G E. Hvis feilleddene er korrelerte med hverandre har vi et mindre effektivt datasett enn antatt, og våre estimat blir mindre presise enn de tilsynelatende er. Ved autokorrelasjon vil standardavvikene underestimeres. En Durbin-Watson test vil kunne avdekke 1. ordens seriekorrelasjon, men regresjonsanalysen tillater ingen seriekorrelasjon overhode. Den vanligste årsaken til autokorrelasjon er feil spesifiserte modeller : i. Utelatelse av viktige variabler, som sesong -effekter ii. Ikke-lineær sammenheng, f.eks. p.g.a. inflasjon iii. Skift i produksjonsprosessen D E U A V H E N G I G E V A R I A B L E N E E R U K O R R E L E R T E. Hvis to eller flere uavhengige variabler er korrelerte, så vil koeffisientene til disse variablene være upålitelige og standardavvikene store. Kolineæritet påvirker kun enkelte koeffisienter, ikke modellens totale forklaringsevne, R 2. F E I L L E D D E N E E R N O R M A L F O R D E L T. Forutsetningen om normalfordeling er kun nødvendig for å kunne foreta t- og F- tester. Hvis forutsetningen ikke er oppfylt vil standardavvikene være usikre, og derved også signifikansnivået. 2-21

51 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E M U L T I P P E L R E G R E S J O N S - A N A L Y S E Mer enn én forklaringsvariabel Multippel regresjonsanalyse. Hvis den avhengige variabelen påvirkes av mange uavhengige variabler må vi ty til multippel regresjonsanalyse. Den er i prinsippet lik enkel regresjonsanalyse; vi har bare føyd til flere forklaringsvariabler. La oss se på følgende eksempel : En bedrift har problemer med å beregne produksjonskostnadene sine. De har ingen detaljerte kostnadsstudier å bygge på, men ønsker å kunne anslå kostnadene ut fra enkle størrelser som arbeidstid, maskintid, materialforbruk og antall produksjonsserier. Dette er data som allerede i dag registreres, og bedriften har samlet dataene for de siste 30 ukene. Hypotesen om at produksjonskostnadene blir påvirket av arbeidstid, maskintid, mengde materialforbruk og antall produksjonsserier synes å være en rimelig antakelse. Vi ønsker å bruke regresjonsanalysen til å teste om en slik sammenheng eksisterer, og hvilke kostnader hvert ledd medfører. FIGUR Data for multippel regresjonsanalyse. FIGUR Dialogboks for multippel regresjonsanalyse. Om vi foretar en regresjonsanalyse med dataene fra FIGUR 2-14, som angitt i FIGUR 2-15, får vi som resultat verdiene i TABELL 2-5. Her ser vi at de faste kostnadene pr. uke er kr ,38 mens en arbeidstime medfører kostnader på kr. 99,45 og hver produksjonsserie koster kr.583,75 i seriekostnader. Imidlertid får vi det ulogiske svar at kostnadene blir redusert jo flere maskintimer vi benytter. Vi ser også at konfidensintervallet for koeffisienten for materialforbruk inneholder verdien 0. Det betyr at vi ikke kan 2-22

52 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E M U L T I P P E L R E G R E S J O N Må ta bort variabler med ulogisk fortegn Må ta bort variabler med koeffisienter som ikke er signifikant forskjellig fra 0 utelukke at den sanne verdien er lik 0. Ved 5% signifikansnivå må vi derfor akseptere nullhypotesen og anta at koeffisienten for denne variabelen er 0. SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,9930 R Square 0,9860 Adjusted R Square 0,9838 Standard Error 6312,96 Observations 30 ANOVA df SS MS F Significance F Regression ,4956 8,85968E-23 Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , ,13 26,4725 8,31319E , ,89 Arbeidstimer 99,45 4,35 22,8585 2,83379E-18 90,49 108,41 Maskintimer -9,15 32,72-0,2796 0, ,54 58,24 Materialforbruk 19,95 13,10 1,5233 0, ,02 46,92 Produksjonsserier 583,75 73,29 7,9648 2,54607E ,81 734,70 TABELL 2-5. Resultatet fra multippel regresjonsanalyse. Konklusjonen blir altså at denne regresjonsanalysen må forkastes, ettersom forklaringsvariablene maskintimer og materialforbruk ikke har koeffisienter signifikant forskjellig fra 0. Vi må derfor kjøre en ny regresjonsanalyse, der disse variablene er utelatt. Koeffisientene for de øvrige forklaringsvariablene og konstantleddet vil nemlig ikke være upåvirket av at vi fjerner enkelte ikke-signifikante forklaringsvariabler. Strengt tatt burde vi bare fjerne den variabelen med størst P-verdi, og kjøre en ny regresjonsanalyse. I dette tilfellet ville det medføre en ny analyse der vi kun fjernet maskintimer som forklaringsvariabel. Det kan nemlig tenkes at i en slik analyse så ville koeffisienten for materialforbruk bli signifikant, ettersom de estimerte koeffisientene vil endres. Leserne oppfordres til å teste om dette faktisk er tilfelle. Poenget er altså at vi justerer regresjonsanalysen ved å trekke fra (eller legge til) kun en variabel i gangen. 2-23

53 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E FIGUR Dialogboks for relevante data for multippel regresjonsanalyse. I regresjonsanalysen i Excel kan en kun angi forklaringsvariablene som ett sammenhengende område, vi må derfor kopiere dataene til et nytt område i regnearket og slette kolonnene for maskintid og materialforbruk, som i FIGUR Vi må så kjøre regresjonsanalysen på nytt med kun disse dataene. For å teste påliteligheten av regresjonsanalysen bør en også plotte residualene, dvs. feilleddene. Disse plottene kan vi få automatisk, ved å krysse av de ønskede alternativene i dialogboksen for regresjonsanalysen, slik som i FIGUR FIGUR Relevante data for multippel regresjonsanalyse. TEST Gode resultat er ikke nok : Må teste de statistiske forutsetningene. Må sjekke datagrunnlaget. Fra TABELL 2-6 på side 25 er vi at denne modellen forklarer 98,46% av variasjonene i felleskostnadene. Vi ser også at alle koeffisientene er signifikant forskjellig fra 0, ettersom ingen konfidensintervall spenner over verdien 0. De faste kostnadene er nå estimert til å være kr ,79 mens variable kostnader pr. arbeidstime er kr. 99,36 og kostnader pr. ny produksjonsserie er kr. 573,82. Selv om vi nå har en logisk modell med stor forklaringsevne og signifikante koeffisienter, må vi teste om de statistiske forutsetningene for signifikanstestene er oppfylt. Hvis disse forutsetningene ikke er oppfylt kan vi heller ikke stole på våre sannsynlighetsutsagn, og vi kan ikke foreta signifikanstester og beregne konfidensintervall for våre estimater på koeffisientene eller for våre prediksjoner. For å teste disse forutsetningene, kan vi analysere forskjellige plott av feilleddene. Vi må også forvisse oss om at dataene er korrekte, dvs. at dataene er nøyaktige og pålitelige, at de er korrekt tidsavgrenset, at kostnadene ikke er relatert til periodens salg men periodens produksjon, at det ikke har vært endringer i produksjonsprosessen, eller benyttet nye typer råmaterial, etc. 2-24

54 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,9923 R Square 0,9846 Adjusted R Square 0,9835 Standard Error 6359,6 Observations 30 ANOVA df SS MS F Significance F Regression , ,20663E-25 Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , , , ,43047E , ,52 Arbeidstimer 99,36 2, , ,00795E-24 93,87 104,85 Produksjonsserier 573,82 73, , ,96233E ,72 723,92 RESIDUAL OUTPUT Observation Predicted Felleskostnad Residuals , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , TABELL 2-6. Resultatet fra modifisert multippel regresjonsanalyse. 2-25

55 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Produksjonsserier Residual Plot T E S T F E I L - L E D D E N E Residualene må : Ha forventning lik 0 Ha konstant varians Ingen mønster Residuals Produksjonsserier FIGUR Plott av feilleddene i forhold til antall produksjonsserier. Være normalfordelt Arbeidstimer Residual Plot Residuals Arbeidstimer FIGUR Plott av feilleddene i forhold til antall arbeidstimer. Hvis feilleddene har forventning lik 0, bør prediksjonsfeilene plotte nær 0, uten antydning til mønster i plottene. Om de har konstant varians, må feilleddene plotte med samme spredning, bredden må være den samme i hele diagrammet. 2-26

56 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E Residual Plot Residuals Observasjoner FIGUR Plott av feilleddene i forhold til tiden (ukenummer). Hvis feilleddene er uavhengige, må det ikke være noe mønster over tid. Om vi også krysser av for Normal Probability Plots i FIGUR 2-16 får vi i tillegg FIGUR Felleskostnad Normal Probability Plot Sample Percentile FIGUR Plott av den avhengige variabel, prosentvis fordelt over utvalget. Hvis feilleddene er normalfordelt, så er den avhengige variabel også normalfordelt. En måte å teste om feilleddene er normalfordelt er å teste om den avhengige variabelen er normalfordelt. I så fall bør plottet i være tilnærmet en rett linje. Det ser ut til å stemme ganske bra i dette tilfellet. T E S T F O R K L A - R I N G S V A R I - A B L E R Må være ukorrelerte Men for å teste om de uavhengige variablene er ukorrelerte må vi benytte funksjonen Correl i Excel. Vi får i så fall at arbeidstid og produksjonsserier har en korrelasjonskoeffisient på 27,49%, som tyder på at de er lite korrelerte. Vi skal i neste kapittel ta for oss noen eksempler med bruk av regresjonsanalyse. 2-27

57 K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E 2-1

58 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E Del 3 Eksempler på bruk av regresjonsanalyse Ofte avslører regresjonsanalysen at dataene ikke tilfredsstiller de statistiske forutsetningene bak regresjonsanalysen. D et vil ofte oppstå problemer når en skal foreta en praktisk regresjonsanalyse. Vi skal nå se på noen eksempler der det viser seg at dataene i utgangspunktet ikke tilfredsstiller de statistiske forutsetningene som er nødvendige for at vi skal kunne foreta sannsynlighetsutsagn basert på regresjonsanalysen. Selv om disse forutsetningene ikke er nødvendige for å finne parametrene i regresjonsanalysen, så kan vi ikke foreta signifikansutsagn uten at disse forutsetningene er oppfylte. A V V I K S - A N A L Y S E Avvikene må ha : Konstant varians Forventning lik 0 Normalfordeling Ingen systematiske variasjoner Analysen av residualene vil ofte kunne hjelpe oss til å avsløre svikt i forutsetningene. Det finnes flere formelle statistiske tester til hjelp i dette, men dessverre gir ikke regresjonsanalysen i Excel slike tester. Vi skal derfor vise eksempler der forskjellige plott av avvikene avslører at forutsetningene ikke holder. Når vi skal analysere avvikene eller residualene, dvs. prediksjonsfeilene som den estimerte regresjonslinjen gir i forhold til de observerte dataene, må vi gjøre mange plott. Vi må plotte avvikene i forhold til verdiene på hver av forklaringsvariablene, vi må plotte avvikene i forhold til verdiene til den forklarte eller predikerte variabelen, og vi må plotte avvikene i forhold til rekkefølgen på dataene, ofte vil det tilsvare tidsrekkefølgen. For hver av disse plottene må avvikene være sentrert rundt 0, dvs. ha forventning lik 0; og avvikene må være spredt i et like bredt belte rundt 0, dvs. ha konstant varians. Hvis vi kan ane et mønster i noen av plottene, må vi undersøke dette nærmere. Når vi endelig har funnet fram til en logisk modell som synes å tilfredsstille alle nødvendige forutsetninger for å kunne komme med signifikansutsagn basert på regresjonsanalysen, kan vi ta i bruk analyseresultatene. Men også her er det skjær i sjøen for den uerfarne. Signifikansutsagnene kan brukes på mange måter, men de kan også meget lett misbrukes eller brukes feil. Vi skal derfor i det første eksemplet se på hvordan signifikansutsagn fra regresjonsanalysen kan brukes til hjelp i praksis, og peke på noen av fellene en må være oppmerksomme på. Deretter skal vi se på forskjellige eksempler der avviksanalysen avslører svikt i de statistiske forutsetningene for signifikansutsagnene. 3-1

59 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E Bruk av prediksjoner fra regresjonsanalyse. En lokal plastprodusent produserer garnblåser til fiskeindustrien. Produksjonsprosessen består bl.a. i å presse flytende plast inn i former, og deretter herdes produktet før formene åpnes. Bedriften har produsert en del blåser med forskjellig herdetid, og testet hvor stort trykk de kan motstå før de sprekker. Bedriften ønsker å finne ut hvor lang herdetid som trengs for at de skal kunne markedsføre blåsene med spesifikasjon om at det er mindre enn 5% sannsynlig at en blåse ikke kan motstå et trykk på 200 kg/cm 2. K R I T I S K t - V E R D I Funksjonen TINV er basert på tohale test. Ved enhale test må vi benytte α 2 som sannsynlighet. Øverst til venstre i FIGUR 3-2. er dataene for 30 forskjellige herdetider (i sekund) og tilhørende trykk (kg/cm 2 ) blåsene tålte før de gikk i stykker. I høyre del i samme figur er resultatet fra regresjonsanalysen gjengitt. Her er regresjonsanalysen foretatt uten konstantledd, både fordi det er ulogisk at blåsene tåler trykk uten å herdes, og fordi koeffisienten for konstantleddet viser seg å ikke være signifikant forskjellig fra 0 ved 5% signifikansnivå. Vi ser at tålt trykk øker med vel 5 kg/cm 2 pr. sekund herdetid. Helt øverst til høyre i FIGUR 3-2. er kritisk t -verdi beregnet via funksjonen TINV(α = 5% 2, df = 29). Ettersom vi i dette tilfellet foretar en enhale test må vi benytte 10% sannsynlighet ved 5% signifikansnivå, fordi funksjonen TINV måler begge halene. Over grafen i figuren er så prediksjoner basert på regresjonsresultatene beregnet. For alternative herdetider fra 20 til 90 sekunder er predikert trykk og prediksjonens standardavviket beregnet, samt nedre grense til konfidensintervallet for en enhaletest med 5% signifikansnivå. Solver i Excel er så benyttet for å finne den herdetiden som trengs for at nedre grense skal være 200 kg/cm 2. Oppsettet i Solver er vist i FIGUR 3-1. Merk at vi denne gangen ikke har angitt noen restriksjoner, men krevd at målfunksjonen skal anta en bestemt verdi (den skal altså ikke maksimeres eller minimeres). FIGUR 3-1. Solver parametre for å finne minimum herdetid i FIGUR Vi ser i FIGUR 3-2. at vi må ha en herdetid på minst 50,95 sekunder for at nedre verdi på konfidensintervallet ved 5% signifikansnivå skal være 200 kg/cm

60 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E FIGUR 3-2. Data og prediksjoner for herdetid og trykk av garnblåser. Det er meget viktig å ha klart for seg om det er en enhale eller en tohale test vi ønsker å utføre. Dette har betydning for nedre kritiske t-verdi, og for konstruksjonen av konfidensintervallene for prediksjonene. Selv om en herdetid på 50,95 sekund medfører at blåsene i snitt vil tåle et trykk på 257 kg/cm 2, så er det altså 5% av blåsene som forventes å ikke tåle et trykk på mer enn 200 kg/cm 2 med den samme herdetiden. Definisjonene av regnearket er vist i TABELL

61 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E E F G H I J K L M N O 1 Nr. Herdetid Tålt trykk SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Signifikansnivå 0, Multiple R 0,9567 Kritisk t-verdi en-hale =TINV(N3*2;J13) R Square 0, Adjusted R Square 0, Standard Error 32, Observations ANOVA df SS MS F Significance F Regression ,58 9,6181E Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 0 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A Herdetid 5,035 0, ,5155 8,008E-30 4,83 5, Nedre Predikert herdetid Tålt trykk sp grense =J22*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J22-$F$33)^2/$F$34) =K22-L22*$N$ =J23*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J23-$F$33)^2/$F$34) =K23-L23*$N$ =J24*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J24-$F$33)^2/$F$34) =K24-L24*$N$ =J25*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J25-$F$33)^2/$F$34) =K25-L25*$N$ =J26*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J26-$F$33)^2/$F$34) =K26-L26*$N$ =J27*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J27-$F$33)^2/$F$34) =K27-L27*$N$ =J28*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J28-$F$33)^2/$F$34) =K28-L28*$N$ =J29*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J29-$F$33)^2/$F$34) =K29-L29*$N$ Minimum 50,95 =J30*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J30-$F$33)^2/$F$34) =K30-L30*$N$ Gj.snitt =AVERAGE(F2:F31) 34 SXX =VARP(F2:F31)*$J$8 TABELL 3-1. Definisjonene av regnearket i FIGUR Diagrammet i FIGUR 3-2. er konstruert ved å velge kolonnene Predikert herdetid, Tålt trykk og Nedre Grense, og et Scatter diagram. Konklusjonen er altså at bedriften må herde blåsene i minst 50,95 sekunder for at en kan garantere at det er maksimalt 5% sannsynlighet for at blåsene ikke tåler et trykk på 200 kg/cm 2. Vi kan bruke Goal Seek eller Solver til å finne denne nødvendige herdetiden. Her har vi brukt Solver, og angitt at målfunksjonen (Nedre Grense) skal ha verdien 200, ved å variere beslutningsvariabelen (Herdetid). 3-4

62 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E Regresjonsanalyse og ny produksjonsprosess. En bedrift har foretatt regresjonsanalyse mellom kostnadene og produsert mengde for de 30 siste månedene. Regresjonsanalysen ser rimelig god ut, med en forklaringsevne på over 83%, og tilsynelatende signifikante koeffisienter. Ett av residualplottene avslører imidlertid at ikke alle de statistiske forutsetningene er tilfredsstilt, ettersom det er et åpenbart mønster i feilleddene over tid. I siste halvdel av perioden, fra måned 16 og ut, er nesten alle feilledd negative. Dette indikerer at det har vært et skift i kostnadsstrukturen mellom måned 15 og 16. Se FIGUR 3-3. A V V I K S A N A L Y S E Avslører skift i kostnadsfunksjonen : Skift i faste kostnader? Skift i variable kostnader? Skift i både faste og variable kostnader? Det er flere måter å ta hensyn til et slikt skift på. Vi kan f.eks. droppe de 15 første månedene og kun kjøre regresjonsanalysen på de 15 siste månedene, ettersom denne perioden åpenbart er den som gir det mest reelle bildet av dagens sammenheng mellom kostnadene og produsert mengde. Men vi kan også fortsatt foreta regresjonsanalysen på hele datasettet, men modellere inn skiftet. Da har vi igjen flere muligheter. Vi kan modellere et skift i de faste kostnadene, et skift i de variable kostnadene, eller et skift i både de faste og de variable kostnadene. Fordelen med å beholde hele datasettet er at vi da får sikrere estimater på de koeffisientene som forblir uendret. Vi kan altså ikke tape noe på å beholde hele datasettet, men kan vinne litt presisjon. Om vi kjører en regresjonsanalyse og modellerer et skift i de faste kostnadene, så kan det gjøres ved å lage en binær variabel som er 0 i de første 15 månedene, og 1 i de 15 siste. Koeffisienten for denne variabelen vil da angi endringen i de faste kostnadene fra de første 15 månedene til de siste 15 månedene. Se FIGUR 3-4. Om vi ønsker å modellere et skift i de variable kostnadene, deler vi produksjonen opp i to; en variabel er lik produksjonen for de første 15 månedene, og en annen variabel er lik produksjonen for de siste 15 månedene. Koeffisientene for disse variablene vil da angi de variable kostnaden for hhv. gammelt og nytt utstyr. Denne modellen har ikke så stor forklaringsevne som modellen med kun skift i de faste kostnadene, R 2 har gått ned fra 87,18% til 86,50%. Sammenlign FIGUR 3-5. og FIGUR 3-4. Om vi ønsker å modellere både et skift i de faste og de variable kostnadene kombinerer vi den binære variabelen og oppdelingen av aktivitetsnivået slik at vi ender opp med 3 forklaringsvariabler. Vi får nå imidlertid problem med at forklaringsvariablene er sterkt korrelerte; den binære variabelen er f.eks. 0 når aktiviteten på den nye maskinen er 0, og 1 når den nye maskinen er i aktivitet. Dette gir seg bl.a. utslag i at koeffisienten til den binære variabelen nå ikke lenger er signifikant forskjellig fra 0. Determinasjonskoeffisienten har riktignok økt til 87,19%, men den justerte determinasjonskoeffisienten har gått ned fra 86,23% til 85,70%. Denne modellen må altså forkastes. Se FIGUR 3-6. Om vi ønsker å ta hensyn til at både de faste og de variable kostnadene er endret må vi derfor innskrenke regresjonsanalysen til bare å gjelde de siste 15 månedene. Denne modellen viser seg å ha størst forklaringsevne (R 2 ) og mest pålitelige estimater (de har de største t-verdiene). Se FIGUR

63 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E DATA RESIDUAL OUTPUT Måned Aktivitet Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals O P P R I N N E L I G M O D E L L Må forkastes p.g.a. systematiske avvik i feilleddene. SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,9120 R Square 0,8317 Adjusted R Square 0,8257 Standard Error Observations 30 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 8,24736E+11 8,25E ,3346 2,39E-12 Residual 28 1,66933E+11 5,96E+09 Total 29 9,91669E+11 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , , , ,27E , ,01 Aktivitet 84, , , ,39E-12 69, , Prediksjonsfeil Måned FIGUR 3-3. Avviksanalysen avslører skift i produksjonsprosessen. 3-6

64 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E DATA RESIDUAL OUTPUT Måned Aktivitet Nytt utstyr Kostnad Observation Predicted Residuals Kostnad , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2 204, , , , , , , , , ,3-4124, , , , , , , , , , , , , , , , ,3 2310, , , , ,28 M O D E L L M E D S K I F T I F A S T E K O S T - N A D E R Akseptabel modell, men bør også teste for endring i variable kostnader. SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,9337 R Square 0,8718 Adjusted R Square 0,8623 Standard Error Observations 30 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 2 8,64535E+11 4,3227E+11 91, ,04903E-13 Residual 27 1,27134E Total 29 9,91669E+11 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , , , ,9878E , ,588 Aktivitet 81, , , ,0211E-12 67,875 94,606 Nytt utstyr , , , , , ,552 FIGUR 3-4. Regresjonsanalyse med modellert skift i faste kostnader. Her er de faste kostnadene for det gamle utstyret estimert til å være kr ,83. Når nytt utstyr tas i bruk reduseres de faste kostnadene med kr ,84 slik at de faste kostnadene fra måned 16 er kun kr ,-. De variable kostnadene er kr.81,24 pr. stk. i hele perioden. Prediksjoner etter måned nr. 30 vil da baseres på følgende modell : Ŷ = ,24 X Hvor Ŷ er predikert kostnad og X er antall produserte enheter. 3-7

65 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E DATA RESIDUAL OUTPUT Måned Gammel aktivitet Ny aktivitet Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,784 M O D E L L M E D S K I F T I V A R I A B L E K O S T N A D E R Akseptabel modell, men dårligere enn med bare skift i faste. Bør teste skift i både faste og variable. SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,9300 R Square 0,8650 Adjusted R Square 0,8550 Standard Error Observations 30 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 2 8,57769E+11 4,288E+11 86,4817 1,82211E-12 Residual 27 1,339E Total 29 9,91669E+11 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , , , ,336E , ,2403 Gammel aktivitet 89,95 6, , ,341E-13 75, , Ny aktivitet 76,54 7, , ,047E-11 61, , FIGUR 3-5. Regresjonsanalyse med modellert skift i variable kostnader. Her ser vi at de faste kostnadene er estimert til å være kr ,82 pr. måned i hele perioden, mens de variable kostnadene ved det gamle utstyret er redusert fra kr. 89,95 pr. enhet til kr. 76,54 med det nye utstyret. Hvis kun de variable kostnadene endres med nytt utstyr får vi følgende prognose for framtidige kostnader : Ŷ = , ,54 X Sammenlignet med modellen der kun de faste kostnadene endres har vi nå større faste kostnader pr. måned, men lavere variable enhetskostnader. 3-8

66 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E DATA RESIDUAL OUTPUT Måned Gammel aktivitet Ny aktivitet Nytt utstyr Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,92 M O D E L L M E D S K I F T I F A S T E O G V A - R I A B L E K O S T - N A D E R Ikke signifikante parametre p.g.a. sterkt korrelerte forklaringsvariabler. Bør teste modellen med redusert datasett. SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,9337 R Square 0,8719 Adjusted R Square 0,8571 Standard Error Observations 30 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 3 8,64591E+11 2,882E+11 58, ,8695E-12 Residual 26 1,27078E+11 4,888E+09 Total 29 9,91669E+11 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , ,993 6, ,998E , ,467 Gammel aktivitet 80,36 10,6047 7, ,82E-08 58, ,1544 Ny aktivitet 81,81 8,5084 9, ,768E-10 64, , Nytt utstyr , , , , , ,8744 FIGUR 3-6. Regresjonsanalyse med skift i både faste og variable kostnader. Her har vi estimert de gamle faste kostnadene til å være kr ,13 pr. måned, som blir redusert med kr ,07 når nytt utstyr introduseres i måned 16. De variable kostnadene med det gamle utstyret er kr. 80,36 og blir økt til kr. 81,81 pr. enhet med det nye utstyret. Vi ser imidlertid at endringen i de faste kostnadene ikke er signifikant forskjellig fra 0 [konfidensintervallet spenner over verdien 0]. Det har vært en ørliten økning i R 2, men R 2 a er blitt redusert ved innføringen av flere forklaringsvariabler. Vi får også illustrert at koeffisientene til korrelerte forklaringsvariabler får usikre estimater. Selv om vi kan predikere de totale kostnadene ganske godt med denne modellen, er fordelingen på faste og variable kostnader usikker. 3-9

67 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E DATA RESIDUAL OUTPUT Måned Aktivitet Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,92 M O D E L L M E D R E D U S E R T D A T A S E T T Tar kun med data i periodene etter skiftet i kostnadsstrukturen. SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,9678 R Square 0,9367 Adjusted R 0,9319 Square Standard Error Observations 15 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 4,5188E+11 4,519E , ,6043E-09 Residual ,348E+09 Total 14 4,82403E+11 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , , , ,228E , ,302 Aktivitet 81,81 5, , ,604E-09 69, , FIGUR 3-7. Regresjonsanalyse med data for kun perioden med nytt utstyr. Denne modellen med kun data for perioden med nytt produksjonsutstyr ser ut til å gi de beste prediksjonene. Den har størst forklaringsevne (R 2 ) og mest presise koeffisienter (de har lavest t-verdier). Prognosen for kostnadene etter denne modellen blir : Ŷ = , ,81 X Vi ser vi får de samme kostnadene som i modellen der vi varierte både faste og variable kostnader (Figur 3-6), men presisjonen er mye større med redusert datasett. Konklusjon : Den første regresjonsanalysen avslørte at det var systematiske variasjoner i avvikene, når disse ble plottet over tid. Skiftet i kostnadsstrukturen etter måned nr. 15 ser ut til å ha påvirket både de faste og de variable kostnadene. Å modellere en endring i både faste og variable kostnader skaper sterke korrelasjoner mellom de nye forklaringsvariablene, slik at de estimerte koeffisientene blir meget usikre. Derfor lønner det seg å foreta en regresjonsanalyse kun på de data som gjengir den nye kostnadsstrukturen, ettersom vi da riktignok får de samme verdiene på de estimerte koeffisientene i regresjonsligningen, men presisjonen blir større. Vi skal nå se på flere eksempler der avviksanalysen avslører systematiske avvik. Vi må så prøve å tolke avvikene, slik at vi kan modifisere vår modell/hypotese. 3-10

68 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E Regresjonsanalyse og prisstigning. En bedrift har i det siste opplevd en sterk kostnadsvekst, og ønsker å få en bedre oversikt over sine kostnader. De har funnet fram data for de 30 siste månedene for produsert mengde og kostnadene i produksjonsavdelingen. Regnskapssjefen føler at kostnadene er ute av kontroll, og ønsker å foreta en regresjonsanalyse for å avdekke kostnadsstrukturen i produksjonsavdelingen. Myndighetene har store problemer med å begrense prisstigningen, som har vært på nesten 12,7% pr. år den siste tiden. PRI S Ø K N I N G Feilleddene vil vise systematiske avvik over tid. P R I S J U S T E - R I N G Deflatere nominelle verdier til realverdier : X t r = X t n / (1+p mnd ) t p mnd =(1+p år ) 1/12 1 Den første regresjonsanalysen avslører et tydelig mønster i feilleddene over tid. Som vi ser av FIGUR 3-8 er det de første månedene stort sett negative feilprediksjoner, som så går mot null og etter hvert stigende positive feilprediksjoner. Dette gir oss indikasjoner på at dataene ikke er korrigerte for prisstigningen, vi har fått nominelle data og ikke realdata. For å ta hensyn til den sterke prisstigningen må vi derfor deflatere kostnadene til en gitt periode, f.eks. til måned 0. Vi tar da den nominelle kostnaden i måned t (X tn ) og dividerer med (1+p mnd) t, der p mnd er den månedlige prisstigningen : Kostnader i realverdi måned 0 : X t r = X t n (1+p mnd) t Når vi skal finne den månedlige prisstigningen må vi regne om prisstigningen pr. år p år til prisstigningen pr. måned p mnd : Månedlig prisstigning : p mnd = (1+p år) 1/12 1 = (1+0,127) 1/12 1 = 1% Når vi foretar regresjonsanalysen på nytt, basert på prisjustering av kostnadsdataene, får vi økt forklaringsevnen fra knapt 47% til vel 71% (R 2 ). Den økte forklaringsevnen gir oss også mer presise estimater; standardavvikene til estimatene både for de faste kostnadene og de variable kostnadene er nesten halvert. Når analysen foretas på prisjusterte data ser det ut til at både de variable og de faste kostnadene er redusert. Dette er imidlertid en illusjon, fordi koeffisientene fra analysen i FIGUR 3-8 er nominelle verdier mens koeffisientene fra analysen i FIGUR 3-9 er realverdier. Disse må derfor oppjusteres med prisstigningen. P R I S J U S T E - R I N G Justere predikerte kostnader tilbake til nominelle verdier : Ŷ n t = Ŷ r t (1+p) t Anta at vi predikerer kostnadene i måned 31. For regresjonsanalysen basert på nominelle data beregnes kostnadene ved aktivitet X 30 til å være : , ,98 X 30 Benytter vi regresjonsanalysen for de prisjusterte dataene må vi oppjustere kostnadene fra måned 0 til måned 31, slik at predikert kostnad blir : ,76 (1,01) ,47 (1,01) 31 X 30 = , ,58 X 30 Regresjonsanalysen basert på nominelle data (FIGUR 3-8) vil systematisk predikere for store kostnader i tidlige tidsperioder og for små kostnader i sene tidsperioder. 3-11

69 Feilledd E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E DATA RESIDUAL OUTPUT Måned Aktivitet Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,87 SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,68547 R Square 0,46974 Adjusted R Square 0,45080 Standard Error Observations 30 ANOVA Df SS MS F Significance F Regression , ,92581E-05 Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , , , ,747E , ,89 Aktivitet 291,98 58, , ,925E ,89 412, Måned FIGUR 3-8. Regresjonsanalyse med prisstigning. 3-12

70 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E DATA RESIDUAL OUTPUT Måned Aktivitet Prisjustert Predicted Prisjustert Residuals , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,12 SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,8443 R Square 0,7128 Adjusted R Square 0,7026 Standard Error Observations 30 ANOVA Df SS MS F Significance F Regression ,5082 4,52853E-09 Residual ,9 Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , , , ,08E , ,717 Aktivitet 260,47 31, , ,52E , , FIGUR 3-9. Regresjonsanalyse med prisjustering. Vi må altså huske på å prisjustere disse kostnadsestimatene fra realverdier til nominelle størrelser når vi skal foreta prediksjoner. Konklusjon : Når dataene er forurenset med prisstigning vil regresjonsanalysen gi systematiske prediksjonsfeil. Dette avslører også plottene av residualene over tid. Vi må derfor foreta regresjonsanalysen på realverdier, men må da huske på å justere predikert kostnad fra realverdi til nominell verdi : Ŷ n t = Ŷ r t (1+p) t 3-13

71 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E Regresjonsanalyse og sesongvariasjoner. Et dagbrudd utvinner mineraler fra et gruvefelt, og opplever store variasjoner i kostnadene. Dette har skapt hodebry for økonomiavdelingen, som ikke greier å lage pålitelige budsjetter og kostnadskalkyler. I håp om å bedre økonomistyringen har de leid inn en konsulent, som har fått data over produksjon og kostnader for hvert kvartal de 10 siste årene. Bedriften forsikrer at det ikke har skjedd forandringer i produksjonen ut over ordinært vedlikehold og utskiftninger, og har også prisjustert dataene til realverdier. En regresjonsanalyse på disse dataene gir liten forklaringsevne, bare 14,8% av variasjonene i kostnadene blir forklart ut fra den opprinnelige modellen. Dataene samt prediksjonene og residualene er gjengitt i Tabell 3-2, og regresjonsanalysen er gjengitt i FIGUR DATA RESIDUAL OUTPUT År Kvartal Produksjon Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4 TABELL 3-2. Data, prediksjoner og feilledd for regresjonsanalyse med sesongdata. 3-14

72 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,3848 R Square 0,1481 Adjusted R Square 0,1256 Standard Error Observations 40 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 2,46213E+11 2,46213E+11 6,6042 0,0142 Residual 38 1,41669E Total 39 1,66291E+12 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , ,2030 7,0119 2,37001E , ,73 Produksjon 32,94 12,8170 2,5699 0,0142 6,99 58, Avvik Kvartal FIGUR Regresjonsanalyse med sesongvariasjoner. S E S O N G - V A R I A S J O N E R Faste kostnader : Lager binærvariabler for 3 kvartal. Koeffisientene til disse variablene angir endringene i faste kostnader i forhold til faste kostnader i det kvartalet som er utelatt. Igjen ser vi at plottet av feilleddene over tid avslører et tydelig mønster, noe som strider mot forutsetningen om at feilleddene er uavhengige. Her har vi kvartalsvise variasjoner, som betyr at hvert 4. feilledd er korrelerte med hverandre. Vi har altså autokorrelasjon av 4. orden. Selv om analysen tilsynelatende gir signifikante koeffisienter for faste og variable kostnader, så er forutsetningene bak signifikansutsagnene brutt, og dermed blir signifikansutsagnene ugyldige. Hvis bedriften ikke tar hensyn til sesongvariasjonene hvert kvartal, vil budsjetter og kostnadskalkyler nødvendigvis også bli meget upålitelige. Vi vet imidlertid ikke om det er de faste, de variable eller begge kostnadskomponentene som varierer hvert kvartal. Vi bør derfor teste alle disse mulighetene. Om vi først antar at det er de faste kostnadene som varierer, kan vi lage binærvariabler for 3 av kvartalene som angir endringene i de faste kostnadene i forhold til kvartalet vi ikke har laget binærvariabel for. Dette er gjort i TABELL

73 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E DATA RESIDUAL OUTPUT År Kvartal Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal 4 Produksjon Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,21 SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,9951 R Square 0,9902 Adjusted R Square 0,9890 Standard Error Observations 40 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 4 1,64655E+12 4,11637E ,7073 1,37582E-34 Residual ,5 Total 39 1,66291E+12 Coefficients Standard Error 71, ,9276E ,59 t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , , ,99 Kvartal , , , ,4366E , ,84 Kvartal , , , ,5418E , ,91 Kvartal , , , ,0837E , ,33 Produksjon 39,12 1, , ,7366E-25 36,18 42,05 TABELL 3-3. Data, prediksjoner og feilledd for sesongjusterte faste kostnader. 3-16

74 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E S E S O N G - V A R I A S J O N E R Variable kostnader : Deler produksjonen inn i 4 kvartaler; en for hvert kvartal. Som vi ser av analysen i TABELL 3-3 har vi nå forklart hele 99% av variasjonene i kostnadene, og vi har fått meget presise estimater på koeffisientene. De faste kostnadene i kvartal 1 er anslått til å være kr ,- (nærmeste hele 10-krone), mens de faste kostnadene i kvartal 2 reduseres med kr ,- i forhold til kvartal 1. Tilsvarende reduseres de faste kostnadene i kvartal 3 med ,- i forhold til kvartal 1, og kostnadene i kvartal 4 reduseres med kr ,- i forhold til i kvartal 1. Vi får dermed følgende kvartalsvise faste kostnader : Kvartal 1 Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal Kr ,- Kr ,- Kr ,- Kr ,- De variable kostnadene er stipulert til å være kr. 39,12 pr. enhet produsert. Det kan imidlertid hende at det er de variable kostnadene som varierer pr. kvartal. Driften i et dagbrudd vil f. eks. lett bli påvirket av været, og det er naturlig å tro at det er de variable kostnadene som varierer for hvert kvartal. For å teste dette må vi splitte produksjonen opp i 4 ledd, ett for hvert kvartal, som i TABELL 3-4. DATA Produksjon År Kvartal Kvartal 1 Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal 4 Kostnad TABELL 3-4. Data, prediksjoner og feilledd for sesongjusterte variable kostnader. 3-17

75 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,96363 R Square 0,92859 Adjusted R Square 0,92043 Standard Error Observations 40 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 4 1,544E+12 3,8604E ,7818 1,50516E-19 Residual 35 1,187E Total 39 1,663E+12 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , ,89 21,0113 1,986E , ,73 Kvartal 1 76,47 4,84 15,7885 1,716E-17 66,64 86,31 Kvartal 2 37,01 4,35 8,5132 4,789E-10 28,18 45,83 Kvartal 3-0,71 4,46-0,1589 8,747E-01-9,77 8,35 Kvartal 4 55,95 5,00 11,1810 4,223E-13 45,79 66,10 TABELL 3-5. Resultat fra regresjonsanalysen for sesongjusterte variable kostnader. Analysen der de variable kostnadene varierer hvert kvartal forklarer en mindre andel av variasjonene i kostnadene ettersom R 2 er redusert fra 99% til knapt 93%. Dessuten gir analysen ikke grunn for å anta at de variable kostnadene for kvartal 3 er forskjellig fra 0, noe som jo er lite sannsynlig. Vi ser at de variable kostnadene er størst i kvartal 1, lik kr. 76,47, og blir redusert til kr. 37,01 i kvartal 2. I kvartal 3 angir analysen at de variable kostnadene er negative lik kr. 0,71 og øker så til kr. 55,95 i kvartal 4. Analysen gir altså ikke et logisk svar, ettersom de variable kostnadene i kvartal 3 ikke er signifikant forskjellig fra 0, og modellen må derfor forkastes. Men vi bør for fullstendighetens skyld også teste en modell der både de faste og de variable kostnadene varierer. Det er gjort i TABELL 3-6, og vi ser at denne modellen er usannsynlig god, ettersom den har forklart hele 99,9% av variasjonene i kostnadene. De kvartalsvise faste kostnadene er anslått til å være : Kvartal 1 Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal Kr ,- Kr ,- Kr ,- Kr ,- De variable kvartalsvise enhetskostnadene er anslått til å være : Kvartal 1 Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal 4 Kr. 48,69 Kr. 40,74 Kr. 27,71 Kr. 42,89 En så stor forklaringsevne er neppe realistisk å håpe på, for mange analyser er en forklaringsevne over 70% et meget godt resultat. Dette eksemplet var konstruert med faste kostnader på hhv , , og pr. kvartal, og variable kostnader på hhv. 50, 40, 30 og 45 pr. kvartal. Dataene var selvsagt konstruert slik at sesongvariasjonene skulle være lette å oppdage. Det er ikke alltid tilfellet. 3-18

76 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E DATA Produksjon År Kvartal FK 2 FK 3 FK 4 VK 1 VK 2 VK 3 VK 4 Kostnad SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,9993 R Square 0,9985 Adjusted R Square 0,9982 Standard Error 8778 Observations 40 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 7 1,660E+12 2,372E ,324 2,1709E-43 Residual Total 39 1,663E+12 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , ,59 93,1078 1,570E , ,33 FK , ,67-19,8349 1,525E , ,85 FK , ,09-37,0214 7,625E , ,66 FK , ,37-9,0648 2,366E , ,52 VK 1 48,69 1,24 39,2549 1,217E-28 46,16 51,21 VK 2 40,74 1,09 37,4824 5,176E-28 38,53 42,96 VK 3 27,71 1,08 25,5453 7,440E-23 25,50 29,92 VK 4 42,89 1,34 31,9492 7,541E-26 40,16 45,63 TABELL 3-6. Resultat fra regresjonsanalysen for sesongjusterte faste og variable kostnader. 3-19

77 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E Regresjonsanalyse og manglende variabler. En konfeksjonsbedrift har spesialisert seg på produksjon av arbeidsklær. Etterspørselen er svært variabel, men bedriften har forsøkt å holde de ansatte sysselsatt med annet forefallende arbeide i perioder med lav etterspørsel. Bedriften trenger gode kalkyler for å kunne gi presise anbud, og har derfor kjørt en regresjonsanalyse over dataene for de siste 36 ukene. Dataene er vist i TABELL 3-7. DATA Uke Mengde Arbeidstimer Produksjonsserier Felleskostnad TABELL 3-7. Data fra konfeksjonsbedriften for de siste 36 ukene. Bedriften har en sterk antagelse om at felleskostnadene varierer med produksjonen, og at arbeidstiden også påvirker felleskostnadene føler de seg ganske sikre på. De mener også at det påløper ekstra kostnader for hver produksjonsserie, ettersom det må foretas mange tilpasninger mellom hver serie. Bedriften ble derfor meget forundret når regresjonsanalysen bare forklarte ca. 50% av variasjonene i felleskostnadene, og enda mer forundret over at koeffisienten for produksjonsserier ikke var signifikant forskjellig fra 0. Men mest av alt ble de forskrekket over at kostnadene reduseres ved økt mengde. Se TABELL

78 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,7127 R Square 0,5080 Adjusted R Square 0,4619 Standard Error Observations 36 ANOVA df SS MS F Significance F Regression ,0132 3,9891E-05 Residual Total 35 1,9324E+11 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , ,807 6,5759 2,071E , ,90 Mengde -206,85 76,850-2,6916 1,122E ,38-50,31 Arbeidstimer 339,85 73,926 4,5972 6,382E ,27 490,43 Produksjonsserier 190, ,485 0,1573 8,760E , ,80 TABELL 3-8. Regresjonsanalysen fra konfeksjonsbedriften for de siste 36 ukene. D Å R L I G M O D E L L Ulogisk resultat kan skyldes at viktige forklaringsvariabler er utelatt. Detaljert kunnskap omkring produksjonsforholdene og bedriftens praksis er ofte nødvendig for å lage gode modeller. Bedriften foretok derfor en ny analyse, der produksjonsserier var utelatt som forklaringsvariabel. Dessverre ga den nye analysen omtrent samme resultat. SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,7125 R Square 0,5076 Adjusted R Square 0,4778 Standard Error Observations 36 ANOVA df SS MS F Significance F Regression ,0101 8,3769E-06 Residual Total 35 1,9324E+11 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept , ,356 7, ,132E , ,12 Mengde -209,20 74,260-2, ,121E ,28-58,11 Arbeidstimer 342,49 70,922 4, ,050E ,20 486,78 TABELL 3-9. Regresjonsanalysen fra konfeksjonsbedriften, uten produksjonsserier. Bedriften kan ikke akseptere dette resultatet, ettersom kostnadene så avgjort ikke reduseres ved økt mengde. Tvert imot har de inntrykk av at kostnadene øker ved økt mengde, men blir ikke redusert særlig om produksjonen synker, fordi de ansatte blir forsøkt sysselsatt med annet arbeid. Denne kunnskapen gir opphav til ideen om å lage en ny modell, der en også tar hensyn til de gangene produksjonen reduseres. En ny variabel konstrueres, lik differansen mellom denne uke og forrige ukes produksjon hvis produksjonen reduseres, ellers settes variabelen til 0. Hvis produksjonen er angitt i kolonne B, vil den nye variabelen i linje 5 kunne skrives som =MAX(B4 B5;0). Merk at denne variabelen ikke er definert i den første uken, ettersom vi da ikke er i stand til å beregne noen endring i forhold til foregående uke. Regresjonsanalysen må derfor starte i uke

79 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E A B C D E F 1 DATA 2 3 Uke Mengde Reduksjon Arbeidstimer Produksjonsserier Felleskostnad TABELL Data fra konfeksjonsbedriften, med ny variabel. Legg merke til at vi nå må begynne analysen fra uke nr. 2, og at vi derfor ikke kan bruke Labels lenger. Ettersom vi ikke har fullt datasett for uke 1 (vi mangler data for den nye variabelen), mister vi en frihetsgrad, fordi n (antall observasjoner) blir redusert med 1. Husk også at alle forklaringsvariablene må være i ett sammenhengende område. FIGUR Regresjonsanalyse med ny konstruert forklaringsvariabel (Reduksjon). 3-22

80 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,9906 R Square 0,9813 Adjusted R Square 0,9788 Standard Error Observations 35 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 4 1,8833E ,7232 1,8688E-25 Residual Total 34 1,9192E+11 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 54934, ,493 5, ,4481E , ,56 X Variable 1 112,07 19,462 5, ,7441E-06 72,32 151,82 X Variable 2 303,27 10,980 27, ,8681E ,84 325,69 X Variable 3 185,06 15,882 11, ,1598E ,62 217,50 X Variable 4 129,43 244,874 0, , ,66 629,53 TABELL Regresjonsanalysen fra konfeksjonsbedriften, med ny variabel. Merk at ettersom vi nå ikke kan angi Labels, i Benevning : Gjelder : X Variable 1 Mengde X Variable 2 Reduksjon X Variable 3 Arbeidstimer X Variable 4 Produksjonsserier FIGUR 3-11 så angis variablene med nummer i TABELL 3-11 : Forbedringen i forklaringsevnen er enorm, man har nå lyktes å forklare over 98% av variasjonene i felleskostnadene. Men bedriftsledelsen er fortsatt overrasket over at produksjonsseriene ikke har en koeffisient signifikant forskjellig fra 0. En ny regresjonsanalyse uten produksjonsserier gir litt mer presise koeffisienter, men overfører seriekostnadene til de faste kostnadene. Se TABELL Bedriften vurderer derfor fortsatt å benytte produksjonsserier som forklaringsvariabel i sine anbudskalkyler, ettersom de meget bestemt mener det er kostnader forbundet med å starte en ny produksjonsserie. Bedriften vi derfor benytte resultatene fra TA- BELL D I L E M M A Velge mellom : Logisk modell, men med en ikke signifikant koeffisient. Signifikant modell, men ikke fullt så logisk. SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,99052 R Square 0,98113 Adjusted R Square 0,97931 Standard Error Observations 35 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 3 1,8830E ,3624 8,460E-27 Residual Total 34 1,9192E+11 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 56668, ,963 6, ,7491E , ,17 X Variable 1 110,70 19,063 5, ,1268E-06 71,82 149,58 X Variable 2 303,35 10,851 27, ,4927E ,22 325,48 X Variable 3 186,75 15,374 12, ,5413E ,40 218,

81 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E TABELL Regresjonsanalysen fra konfeksjonsbedriften, med ny variabel, uten serier. 3-24

82 E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E 3-1

83 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Del 4 Nullpunktsanalyser og prissetting Omsatt mengde og oppnådd salgspris er ofte de viktigste og mest usikre størrelsene for en bedrift. D et er viktig å skille mellom langsiktige beslutninger ved investeringer i produksjonsmidler, og kortsiktige beslutninger om utnyttelsen av allerede anskaffet utstyr. Investeringsanalyse og langsiktige beslutninger skal vi la ligge i denne omgang, og konsentrere oss om de daglige, kortsiktige beslutningene. N U L L P U N K T S - A N A L Y S E R På kort sikt er vanligvis omsatt mengde de usikre faktoren. På kort sikt (under ett år) er produktenes kostnader og priser ofte fastsatt. IKEA har f.eks. fastsatt sine priser i sin produktkatalog for ett år av gangen. Den største usikkerheten er derfor knyttet til solgt mengde. I slike situasjoner kan nullpunktsanalyser gi nyttig innsikt. Nullpunktsanalyser Nullpunktsanalyser har som mål å finne ut hvor stor omsatt mengde må være for at produksjonen skal være lønnsom. Alle de tre komponentene som inngår mengde, kostnader og inntekter kan analyseres, selv om det som regel er mengde vi anser som den usikre variabelen. Nullpunktomsetningen, X 0 er den omsetning som gir null i resultat : p X 0 [vk X 0 + FK] = 0 X 0 FK db p = enhetsprisen (eller gjennomsnittsprisen for et produktspekter). vk = variable enhetskostnader. db = dekningsbidraget = (p vk). FK = totale faste kostnader i en gitt tidsperiode, upåvirket av aktivitetsnivået X. X 0 = omsatt mengde X som gir 0 i totalresultat i en gitt tidsperiode. De viktigste forutsetningene som ligger til grunn for nullpunktsanalyser er at total inntekt og totale variable kostnader varierer proporsjonalt med mengden, mens de faste kostnadene forblir konstante i perioden, upåvirket av aktivitetsnivået X. Analysen avhenger derfor av hvilke faktorer som måler aktiviteten, og lengden på tidsperioden. 4-1

84 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G De faste kostnadene kan betraktes som kapasitetskostnader på kort sikt (maksimalt ett år). Driftsuavhengige faste kostnader; som avskrivninger, eiendomsskatt, etc. vil også påløpe selv om driften innskrenkes eller stanses i en kort periode. Driftsavhengige faste kostnader; som annonser, vedlikehold, etc. kan falle bort dersom driften innskrenkes eller faller bort i en periode. De variable kostnadene endres i takt med bedriftens aktivitetsnivå; som material og enkelte lønnskostnader, salgskostnader, etc. De variable kostnadene antas normalt å være proporsjonale, dvs. at enhetskostnaden er konstant slik at vi får en lineær analyse. Men analysen kan også gjøres ikke-lineær hvis de variable kostnadene er overeller under- proporsjonale, eller sprangvise ( faste i små intervall). Relevant tidsperiode for analysen er avgjørende for hvilke kostnader som er faste og hvilke som er variable. Ved en lang tidshorisont vil alle kostnadene bli variable. Ved innskrenkinger kan en selge bygninger etc., mens ved utvidelser vil nye investeringer bli foretatt. Ved en meget kort tidshorisont vil alle kostnadene være faste. Material er innkjøpt, arbeidere ansatt, etc. For statistiske analyser er tidsperioder på uker, måneder, kvartal eller maksimalt ett år hensiktsmessige periodelengder. Prisen forutsettes konstant uavhengig av mengden. Ideelt fastsettes pris og mengde simultant; en kan ikke selge ubegrensede kvanta til en gitt pris. Men om vi er i en atomistsituasjon, der produksjonen utgjør en forsvinnende del av totalmarkedet for et homogent produkt, kan antagelsen om en konstant enhetspris være realistisk. Nullpunktsanalyse og ett produkt. En bedrift har nettopp investert i nytt produksjonsutstyr og topp moderne lokaler for 25 millioner kroner. Bedriften har spesialisert seg på et høyteknologiprodukt, som i den senere tid har hatt store prisvariasjoner. Følgende opplysninger foreligger : Investeringer Omløpsaktiva 20% av produksjonskostnadene. Varelager 15% av omsetningen. Maskiner, anlegg Kr. 25 mill. Levetid 15 år. Produksjonsutstyret har en månedlig kapasitet på enheter av produktet. Imidlertid øker kostnadene når kapasitetsutnyttelsen overstiger 75%. Produksjonskostnadene er anslått til å være : Kr. 200,- Kr. 220,- Kr. 240,- Kr. 250,- Variabel enhetskost opp til 75% av kapasiteten. fra 75% til 80% av kapasiteten. fra 80% til 90% av kapasiteten. fra 90% til 100% av kapasiteten. Månedlige faste kostnader totalt beløper seg til ½ million kroner, inklusive avskrivninger. Med unntak av avskrivninger, forsikringer og 4-2

85 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G kommunale avgifter er alle disse driftsbetingede. Kalkulatoriske avskrivinger er beregnet etter lineær metode. I tillegg påløper salgskostnader, som utgjør 5% av omsetningen. Eierne vurderer investeringen i bedriften som en høyrisiko investering, både på grunn av ny og moderne teknologi, og også på bakgrunn i de store prisvariasjonene som har vært. De ønsker derfor 20% årlig avkastning (nominell, før skatt) på sin kapital med utgangspunkt i 80% kapasitetsutnyttelse. Vi må først beregne prisen eierne forlanger for å oppnå den ønskede avkastningen ved den angitte kapasitetsutnyttelsen. Priskalkyle : Omsetning : P stk. = 8000P Produksjonskostnader kr stk + kr stk. = ,- Faste kostnader = ,- Salgskostnader 5% 8000 P = 400P Resultat pr. måned : 7.600P Dette månedlige resultatet skal gi 20% årlig avkastning på investert kapital. Investert kapital : Omløpsaktiva 20% ,- = ,- Varelager 15% 8.000P = 1.200P Anleggsaktiva = ,- Sum aktiva : P A V K A S T N I N G Årlig avkastningskrav forskjellig fra månedlig avkastningskrav. 20% avkastning pr. år av investert kapital tilsvarer en månedlig avkastning lik : [ P] (1,20 (1/12) 1) = , ,37P Vi får dermed følgende ligning når vi skal sette månedlig resultat lik ønsket månedlig avkastning : 7.600P = , ,27P P = 329,43 330,- Om vi antar at nullpunktsomsetningen skjer før stk. vår vi følgende ligning for å beregne nullpunktsomsetningen : ( %)X = 0 X 0 = /( ,50) = stk. Ved en pris på kr. 330,- pr. stk. vil bedriften dekke sine kostnader ved en omsetning på stk. pr. måned. Merk at vi her fikk et svar som var innenfor vår forutsetning om at nullpunktet måtte inntre før de variable kostnadene begynte å øke. Vi kan illustrere beregningene i en figur, slik som i FIGUR

86 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Inntekt/Kostnad Omsetning Pris = 330 Totale kostnader Nullpunkt Faste kostnader Mengde FIGUR 4-1. Nullpunktsanalyse. Prisen har den siste tiden sunket på grunn av sterk konkurranse, og ligger for tiden helt nede på kr. 260,- pr. stk. Som en ser av FIGUR 4-2 så vil en så lav pris aldri dekke de totale kostnadene. Bedriften kan derfor ikke leve med en slik pris på lang sikt. Det er imidlertid ikke opplagt at bedriften bør legges ned kommende måned. P R I S E N D R I N G Helningen på inntektslinjen endres ved endring i salgspris. Optimal tilpassing skjer som alltid der marginalkostnaden er lik marginalinntekten. Netto marginalinntekt = Pris Salgskostnader = 260 5% 260 = 247,- Marginalkostnaden er i dette tilfellet lik de variable enhetskostnadene : Kr. 200,- Kr. 220,- Kr. 240,- Kr. 250,- Marginalkostnad opp til 7500 stk. fra 7500 til 8000 stk. fra 8000 til 9000 stk. fra 9000 til stk. Optimal tilpassing skjer ved stk. Da er marginalinntekten lik marginalkostnaden. 200 Marginalkostnad Optimum

87 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Inntekt/kostnad Omsetning Pris = 260 Totale kostnader Faste kostnader FIGUR 4-2. Nullpunktsanalyse, redusert salgspris. Selv om vi altså ikke får dekt alle kostnadene våre, så kan det likevel hende at det er lønnsomt å drive produksjonen neste måned, også ved en så lav pris som kr Optimal tilpassing er i så fall ved en produksjon på stk. Driftsresultat : Omsetning : stk. = ,- Produksjons- Kostnader : Driftsbetingede faste kostnader : kr stk + kr stk. + kr stk = , ( /15 år)/12 mnd = ,- Salgskostnader : 5% = ,- Resultat pr. måned : ,- Vi ser at selv med en så lav pris som kr. 260,- pr. stk. så er driften lønnsom, i den forstand at den dekker kr ,- av de driftsuavhengige faste kostnadene. Å legge ned driften en måned vil medføre et tap som er kr ,- større enn om produksjonen opprettholdes. På lang sikt, dvs. en tidshorisont der salg av hele anlegget er aktuelt, slik at også årlige faste kostnader kan endres eller falle bort, så kan bedriften ikke leve med en så lav pris. (Minimumsprisen på lang sikt er kr. 273,68 ved stk. pr. måned. Den gir imidlertid 0% avkastning på investert kapital.) 4-5

88 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Nullpunktsanalyse i regneark. Vi kan også foreta nullpunktsanalysen i regneark. En bør imidlertid ta seg tid til å organisere regnearket på en oversiktlig måte, det letter både arbeidet med regnearket og den senere bruken av utskriften eller analysene fra regnearket. Det finnes ingen entydig beste måte å organisere et regneark på. Eksemplet under er derfor ikke den eneste riktige måten å løse problemet på. FIGUR 4-3. Priskalkylen i regneark. For å finne prisen som gir den ønskede avkastningen, kan man benytte Goal Seek, som finnes under Tools -menyen i Excel. Det gir følgende dialogboks : FIGUR 4-4. Goal Seek dialog boks. En ønsker å sette verdien i celle F22, som er lik Resultat - Ønsket avkastning, til verdien 0; ved å endre celle $F$4, som er Pris. Dermed finner vi prisen som gir en avkastning på 20% pr. år. 4-6

89 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G 1 A B C D E F 2 Kostnadsanslag Produktkalkyle 3 Kvantum Enhetskostnad Mengde Pris 329, Omsetning =Pris * Mengde Produksjonskostnader 8 Faste kostnader =MIN($B$4;F$3)*$C$4 + MAX(MIN($B$5;F$3)-$B$4;0)*$C$5 + MAX(MIN($B$6;F$3)-$B$5;0)*$C$6 + MAX(MIN($B$7;F$3)-$B$6;0)*$C$7 9 0,05 Salgskostnader =$D$9 * Omsetning 10 Totale kostnader 11 =Produksjonskostnader + Faste kostnader + Salgskostnader 12 Resultat =Omsetning - Totale kostnader Investeringer 15 0,2 Omløpsaktiva =$D$15 * Produksjonskostnader 16 0,15 Varelager =$D$16 * Omsetning 17 Anlegg = Aktiva =Omløpsaktiva + Varelager + Anlegg ,2 Ønsket avkastning =Aktiva * ((1 + $D$20)^(1/12) - 1) Målsettingsavvik =Resultat - Ønsket avkastning TABELL 4-1. Formlene i regnearket. Dette regnearket er ganske lite og relativt oversiktlig. Men definisjonen av produksjonskostnader (celle F7) kan vel trenge en liten forklaring: Første leddet i formelen; =MIN($B$4;F$3)*$C$4 beregner kostnadene for alle produksjonsmengder (F$3) mindre enn 7500 ($B$4) stk.; ved å multiplisere den minste av disse størrelsene (MIN($B$4;F$3)) med enhetskostnaden på kr. 200 ($C$4) pr. stk. Neste ledd i formelen : + MAX(MIN($B$5;F$3)-$B$4;0)*$C$5; beregner eventuelle kvanta mellom stk. ($B$5) og stk. ($B$4) ved å ta det minste av produksjonsmengden (F$3) og øvre grense på stk. ($B$5) og trekke fra nedre grense ($B$4). I tilfeller hvor dette gir et negativt tall ( produksjonen er mindre enn stk.) benyttes uttrykket MAX( ;0) for å nøytralisere disse tilfellene. Kvanta mellom og stk. multipliseres så med enhetskostnaden på kr. 220 ($C$5). De to siste leddene beregner kvanta mellom og stk. og kvanta mellom og stk.; og multipliserer disse med kostnadene på hhv. 240 og 250. Dette regnearket kan nå benyttes til å finne nullpunktsomsetningen, og uten at vi behøver å ta forutsetninger om at nullpunktet inntrer før produksjonskostnadene begynner å stige, fordi vi har definert produksjonskostnadene fullstendig for at hvilket som helst kvantum. 4-7

90 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Vi kan benytte samme framgangsmåte som da vi fant ønsket salgspris, ved at vi benytter Goal Seek funksjonen. Men Target Cell er nå celle F12; Resultat, som ønskes satt lik 0, ved å endre celle F3, Mengde. Om vi ønsker å beholde løsningen vår ved 80% kapasitetsutnyttelse, kan vi lage flere kolonner i regnearket, og la mengden variere fra kolonne til kolonne. Enkleste måten å gjøre dette på er å markere cellene F3:F22 og flytte markøren ned til nederste høyre hjørnet av det markerte området slik at kopieringssymbolet (+)vises. Da er det bare å holde nede venstre mustast og dra over det ønskede antall nye kolonner. En kan så f.eks. foreta Goal Seek analysen for nullpunktet i kolonne G. FIGUR 4-5. Regnearket utvidet med flere kolonner for forskjellige kvanta. FIGUR 4-6. Goal Seek for nullpunktsanalysen. Vi finner altså nullpunktet ved å sette resultatet (celle $G$12) til verdien 0; ved å variere mengden (celle $G$3). Legg merke til at prisen er rundet av til kr. 330,- i de nye kolonnene. Det finnes også en alternativ metode for å lagre alternative løsninger for et regneark. I stedet for at vi laget nye kolonner for alternative mengder, kunne vi f.eks. benytte Scenario under Tools menyen. Da får vi først opp en dialogboks tilsvarende FIGUR 4-7. Når vi lager et nytt scenario må vi flytte pekeren på knappen merket ADD og trykke på venstre mustast. Da dukker en ny dialogboks opp, som i FIGUR 4-8. Her fyller vi ut et passende navn på scenariet; f.eks. Basis, for å angi at dette er utgangspunktet. Vi må også angi hvilke celler i regnearket som skal endres i de alternative scenariene, i FIGUR

91 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G FIGUR 4-7. Dialogboks for Scenario Manager. FIGUR 4-8. Dialogboks for angivelse av navn og endringsceller for scenariet. FIGUR 4-9. Dialogboks for angivelse av verdier i endringscellene. 4-9

92 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G FIGUR Dialogboks for å velge ønsket scenario. Vi kan så foreta nullpunktsanalysen med Goal Seek, og så lage et nytt scenario som vi kan kalle Nullpunkt, på samme måte som vi laget scenariet Basis. Vi kan da skifte mellom de forskjellige scenariene ved å velge ett av de og så trykke på Show, som i FIGUR Vi kan også lage et sammendrag av de alternative scenariene ved å trykke på Summary. Da opprettes et nytt ark, med verdiene for endringscellene, samt verdiene på de cellene vi angir som reslutatceller. FIGUR Dialogboks for å angi resultatcellene for et sammendrag av alle scenariene. Dette gir følgende sammendrag av scenariene : FIGUR Sammendrag av alle scenariene. 4-10

93 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G En tredje måte å analysere effekten av alternative produksjonskvanta er å benytte Tabell funksjonen i Excel. Men først må en klargjøre regnearket. Det kan f.eks. gjøres slik : FIGUR Regneark klargjort for bruk av Tabell funksjonen. Her er det klargjort for en tabell der Inntekt (F5), Faste kostnader (F8), Totale kostnader (F10) og Overskudd (F12) skal beregnes for varirende Mengde. Dette gjøres ved å lage en tabell med henvisning til de formlene en ønsker å beregne forskjellige verdier ved varierende mengder. Disse henvisningene skrives inn i øverste linje i tabellen (B25:E25). I første kolonne (A26:A46) angis så de verdiene en ønsker å benytte for variabelen Mengde. 4-11

94 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G FIGUR Regneark med angivelse av område for tabellen. Fra Data menyen velger vi så Table. Vi må så angi hvilken celle i regnearket som skal referere til kolonnen med de alternative verdiene for produksjonskvanta : FIGUR Angivelse av cellereferansen i regnearket som skal anta varierende verdier. 4-12

95 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Da ender vi opp med følgende tabell : FIGUR Resultatet av bruk av Tabell funksjonen under Data menyen. Vi har nå fått analysert Inntekt, Faste kostnader, Totale kostnader og Overskudd for varierende kvanta. Denne tabellen er et godt utgangspunkt for å lage en grafisk framstilling av vår nullpunktsanalyse. Dette gjøres enklest ved å bruke Chart Wizard og velge typen Scatter diagram. Da kan vi f.eks. ende opp i et diagram tilsvarende FI- GUR Vi har nå vist tre forskjellige metoder for å analysere et en problemstilling ved hjelp av et regneark; enten å lage flere kolonner der vi varierte produksjonsmengden, eller ved at vi benyttet forskjellige Scenario til å analysere effekten av forskjellige verdier for pris og mengde, eller ved at vi benyttet Tabell funksjonen. Men dette er bare noen få av mulighetene som bruk av regneark gir oss. 4-13

96 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Nullpunktanalyse Inntekt Faste kostnader Totale kostnader Mengde FIGUR Grafisk presentasjon av tabellen i FIGUR Nullpunktsanalyse og flere produkter. Hvis foretaket produserer mange forskjellige produkter, blir problemstillingen mer kompleks. Hvis en kan henføre noe av de faste kostnadene til de enkelte produktene (produktgruppene), kan en foreta en nullpunktsanalyse for hvert produkt. Men det vil uansett være kostnader som ikke direkte kan henføres til et bestemt produkt og som derfor er felles for alle produktene. Disse kostnadene vil derfor forbli udekket ved denne framgangsmåten. En alternativ metode er derfor å anta at det er et konstant omsetningsforhold mellom produktene. En finner da den totale omsetningen som med det gitte forholdet mellom produktene gir null i resultat. Anta f.eks. at et foretak produserer 3 forskjellige produkter : Produkt A Produkt B Produkt C Salgspris Variable enhetskostnader : Material Lønn Indirekte kostnader Salgskostnader Variabel enhetskost DB Tabell 4-2. Data for et multiprodukt foretak. De faste kostnadene utgjør totalt kr , hvorav er i produksjonen. Om vi antar at produkt A, B og C utgjør hhv. 20%, 30% og 50% av produksjonen, kan vi foreta en nullpunktsanalyse. 4-14

97 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G FIGUR Nullpunktsanalyse med multiple produkter. Her er Solver benyttet til å finne nullpunktet. Goal Seek kan nemlig ikke benyttes hvis den cellen som skal justeres består av en formel. Solver finnes under Tools menyen, og gir følgende dialogboks : FIGUR Angivelse av målsettingen og endringsceller i Solver. Her ønskes Resultat ($F$22) lik 0, ved å endre Mengde Totalt ($F$13). Forutsetningen for at en multippel nullpunktsanalyse skal fungere, er at vi antar et konstant omsetningsforhold, som f.eks. 20% A, 30% B og 50% C. Hvis disse andelene kan variere fritt finnes nemlig et uendelig antall mengdekombinasjoner som gir et dekningsbidrag like stort som de faste kostnadene. 4-15

98 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Prissetting Prissettingsbeslutninger kan være meget komplekse og viktige. Å fastsette prisen på et nytt serieprodusert produkt med forventet lang levetid og store investeringer kan være en svært strategisk viktig og langsiktig beslutning. Derimot vil en liten tilleggsordre ved ledig kapasitet for en ordreproduserende bedrift ikke være noen komplisert prisbeslutning. I praksis er prissettingen ofte basert på kostnadsanalyser. En bedrift som produserer et vidt spekter av spesialprodukter vil ofte differensiere prisene basert på produktenes kostnader. For standardprodukter med en gitt markedspris er kostnadene avgjørende for valg av produksjonsmengde, produksjonsmetode, etc. Selv om det i praksis synes å være stor forskjell på prisbeslutningene som f.eks. IKEA foretar når de fastsetter prisene i sin produktkatalog for ett år i gangen, i forhold til et lite verksted som tar tilfeldige reparasjonsoppdrag, så bygger de på samme prinsipp: de ønsker å ta den prisen som gir størst fortjeneste. Teoretisk prissetting Optimal pris og mengde må i prinsippet fastsettes simultant, og vil alltid inntre der marginalkostnaden er lik marginalinntekten : O P T I M A L P R I S Marginalkostnad = Marginalinntekt Optimal pris/mengde : Marginalkostnad = Marginalinntekt Dette kan illustreres i en figur : Monopol Atomist Etterspørsel P* P Marginalkostnad Marginalkostnad Marginalinntekt Q* Q* FIGUR Optimal prisfastsetting. Metoden er kanskje best egnet til å finne agreert markedslikevekt, den kan være vanskelig å anvende på spesifikke produkter for en enkelt produsent. 4-16

99 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Problemer med teoretisk prissetting. 1) VANSKER MED Å ESTIMERE ETTERSPØRSELEN: a) Total., aggregert markedsetterspørsel kan ofte estimeres, men sjelden for et spesifikt produkt fra en produsent. b) Krever økonometriske ferdigheter; må ta hensyn til alle variabler, problem med ikke-stasjonæritet og simultane ligninger. c) Vansker med å modellere konkurrentenes reaksjoner på prisendringer. d) Andre faktorer som produktegenskaper, reklame, distribusjon, service, etc. påvirker både kostnadene og etterspørselen. 2) VANSKER MED Å ESTIMERE MARGINALKOSTNADEN: a) Prissetting og produktmiksbeslutninger er i utgangspunktet langsiktige beslutninger. Marginalkostnaden må i tillegg til de kortsiktige variable kostnadene også innbefatte: i) Produktets kapasitetskostnader ii) Felleskostnader og indirekte kostnader, nødvendig for å beholde produktet. iii) Produktets kapitalkostnader. Ad i): Fastsettelse av produktets kapasitetskostnader krever estimering av periodens verdifall, samt eventuelle problemer med å fordele felleskostnader for fellesprodukter, og å fastslå alternativkostnaden for bruk av knappe ressurser. Ad ii): Faste kostnader og administrasjonskostnader er typiske felleskostnader og indirekte kostnader, nødvendig for å beholde produktet. Selv om disse kostnadene er historiske eller faste, utgjør de en del av marginalkostnaden, fordi en del av disse kostnadene vil forsvinne hvis produktet legges ned. Ad iii): Produktets kapitalkostnader, inklusive arbeidskapital og langsiktige aktiva, er en alternativ rentekostnad. I tillegg til problemet med å fastslå et spesifikt produkt's kapitalbehov, kan det være vanskelig å angi korrekt rentesats for kapitalkostnaden. En langsiktig marginalkostnadsfunksjon kan derfor ikke utledes av et historisk kost og transaksjonsbasert kostnadsregnskap. Og husk : TC MC Q MC = Marginalkostnad TC = Totale kostnader Q = Mengde 4-17

100 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Prissettingsmetoder i praksis. I praksis er de fleste metodene for prissetting ensidig basert på kostnadene, uten særlig hensyn til etterspørselen. Full kost prissetting. De vanligste formene for prissetting i praksis tar sikte på full kostnadsdekning, med et tillegg for ønsket fortjeneste. 1) ESTIMERING AV DIREKTE KOSTNADER. 2) ESTIMERING AV INDIREKTE KOSTNADER : a) Fordeling av indirekte kostnader etter : i) Direkte arbeidstid ii) Materialkostnader iii) Produksjons/maskintid b) Fordelingssatsene blir typisk beregnet ut fra forventede totale kostnader og forventet total mengde. c) Fordeling av felles administrasjonskostnader etter f.eks. tilvirkningskost. 3) PÅSLAG FOR ØNSKET FORTJENESTE. Metodens største fordel er at den gjør det enkelt å fastsette priser etter at budsjettene for totale kostnader og aktivitetsnivå er utarbeidet. Den har imidlertid enkelte ulemper. Prisen vil sjelden samsvare med markedsprisen; man kan lett prise for høyt og derved tape kunder, eller prise for lavt og tape inntekter. Man blir også sårbar overfor konkurrenter som benytter minimumkostmetoden ved ledig kapasitet. Metoden tar dessuten sjelden hensyn til alternativkostnadene ved bruk av knappe ressurser, og som regel overser en at forskjellige produkter legger ulik beslag på kapital. Det er dessuten ikke alltid at ønsket fortjeneste samsvarer med ønsket avkastning; 20% fortjeneste gir ikke nødvendigvis 20% avkastning på investert kapital. Metoden er imidlertid enklere å bruke enn teoretisk prissetting basert på marginalkostnader og inntekter. Full kost prissetting vil også gi stabile priser tross fluktuasjoner i etterspørselen, hvis kalkylene er basert på et standard aktivitetsnivå. (Det vil da imidlertid oppstå problemer med over/underdekning av faste kostnader.) Hvis alle i en bransje benytter full kost prissetting kan det dessuten skape ensartede priser uten prissamarbeid. Det har dessuten vært moralsk akseptert å foreta prisøkninger i forbindelse med kostnadsøkninger i perioder med priskontroll, med henvisning til priskalkyler basert på full kostnadsdekning. Mange av ulempene kan dessuten reduseres ved variasjoner i fortjenestepåslaget. Et lite eksempel på metoden: F U L L K O S T Direkte kostnad + indirekte variable + faste kostnader + påslag for fortjeneste = Salgspris Direkte material 2 stk. á kr. 50,- 100,00 Direkte lønn 1 time á kr. 150,- 150,00 Indirekte variable kostnad : 20% av material 20,00 20% av lønn 30,00 Indirekte fast kostnad : kr. 50,- pr. time 50,00 350,00 Felles administrasjon : 20% av tilvirkningskost 70,00 420,00 Fortjeneste : 10% av kostnadene 42,00 Salgspris : 462,00 Prissetting basert på avkastningskrav. Metoden er i prinsippet basert på full kostnadsdekning, men har en mer systematisk begrunnelse og beregning av påslaget for fortjeneste. 4-18

101 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G 1) ESTIMERING AV VARIABLE KOSTNADER. 2) ESTIMERING AV FASTE KOSTNADER. 3) FORDELING AV FASTE KOSTNADER, BASERT PÅ ET STAN- DARD AKTIVITETSNIVÅ. 4) ESTIMERING AV ANLEGGSAKTIVA OG ARBEIDSKAPITAL. 5) BEREGNING AV PÅSLAG BASERT PÅ ØNSKET AVKASTNINGS- KRAV OG ESTIMERT KAPITALBEHOV. Metoden har de samme fordelene som full kost prissetting: Det er enkelt å fastsette prisene, straks budsjettene for totale kostnader og aktivitetsnivå er utarbeidet. I tillegg blir det lett å tallfeste og begrunne påslaget (hvis en ser bort fra vanskene med å fastsette relevant avkastningskrav på investert kapital). Metoden vil gi stabile priser hvis kalkylen baseres på et standard aktivitetsnivå. Og prisene oppfattes som moralsk forsvarlige. Men metoden har mange av de samme ulempene: Den tar ikke hensyn til konkurransesituasjonen, ei heller ikke hensyn til alternativkostnaden ved bruk av knappe ressurser (om metoden modifiseres vil den gi ustabile priser, ettersom alternativkostnadene varierer med aktivitetsnivået). Metoden tar heller ikke hensyn til etterspørselssituasjonen. Dette kan imidlertid tilpasses. En kan f.eks. først beregne prisen, og så vurdere om den må justeres for å nå ønsket mengde. Eller en kan først anslå markedsprisen, og så vurdere om kostnadene må reduseres for å oppnå ønsket avkastning på investert kapital. Et eksempel på denne måten å fastsette prisen på er vist i det første eksemplet i dette kapittelet (med ønske om 20% avkastning på investert kapital). I N F L U E N S - D I A G R A M Omløpsaktiva Pris Inntekt Varelager Mengde Salgskostnad Produksjonskost Anlegg Faste kostnader Sum AKTIVA Ønsket avkastning RESULTAT Aktivitets/ transaksjonsbasert kostnadsfordeling (ABC- kalkyler). De tradisjonelle kostnadsfordelingsmetodene er ofte grove og for unøyaktige til at de gir en rimelig beskrivelse av sammenhengen mellom kostnadene og produktene. Endringsanalyser, bidragskalkyler, nullpunktsanalyser, etc. har en tendens til å undervurdere variable kostnader som : kostnader som varierer med mengdeendringer over en kort periode. Felleskostnader, salgskostnader, administrasjonskostnader, etc. vil 4-19

102 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G ofte ikke variere med produksjonsmengden, men med produktspekterets spennvidde og kompleksitet. Disse kostnadene er typisk sprangvise og kan vokse fort. Disse kostnadene blir ikke påvirket av produksjonsvolumet, man av transaksjonsvolumet : bestille, utføre og bekrefte materialbevegelser, utføre produksjonsplanlegging og material- og lagerplanlegging, utføre kvalitetskontroll, ajourføre eller endre materiallister, produksjonsrutiner, standarder og spesifikasjoner. Kostnadsfordelingen av disse indirekte kostnadene bør derfor baseres på produktets transaksjonsbehov. F.eks. antall setups, deler, forhandlere, inspeksjoner, betalinger, modifikasjoner. Et kostnadsfordelingssystem bør forsøke å spore direkte til produktene alle kostnadene i en bedrift/organisasjon, ikke bare de rene produksjonskostnadene. Dette inkluderer også kostnadene ved å etablere distribusjonskanaler, salgskostnader, inklusive reklamekostnader, servicekostnader ovenfor kunden, og administrasjonskostnader som ingeniørdesign, produksjonsforbedringer, kjøp, informasjonssystemer, økonomiske analyser. Å fordele disse kostnadene like på alle produktene ved en felles % sats kan skape enorme feil og kryss subsidiering mellom produktene : Indirekte kostnader er ofte større for lavvolum, ny introduserte spesial produkter enn masseproduserte enkle standardprodukter. En felles % sats vil belaste de masseproduserte standardproduktene med uforholdsmessig høye kostnader samtidig som lavvolum spesialprodukter blir belastet for lite. Dette kan føre til gale produktvalg. Husk faren ved å fordele faste kostnader! Prissetting nye produkter og produksjonsbeskrankninger. Fortsatt er prinsippet at optimal tilpassing krever likhet mellom marginalinntekter og marginalkostnader. Men like enkelt kan en si at prisen må være slik at resultatet med det nye produktet må være minst like stort som resultatet uten at produktet lanseres. For nye produkter der etterspørselsfunksjonen er ukjent kan et slikt resonnement hjelpe til å finne en akseptabel pris, uten kjennskap til marginalinntektene. Problemet er selvsagt at uten prisen på det nye produktet kan en ikke finne de optimale mengdene. I eksemplene som følger skal vi vise hvordan vi kan søke oss fram til logiske optimale mengder for det nye produktet, og derved finne hvilke priser som i så fall må gjelde for at disse alternative kvantaene skal gi like godt resultat som uten det nye produktet. Minimumspris på gammelt produkt. En bedrift produserer to produkter, X og Y. Produkt Y er et standard produkt med en markedspris på kr. 500,- pr. stk. Produkt X har ingen entydige konkurrenter, og bedriften er derfor svært usikker på hvilken pris de skal forlange. Bedriften er imidlertid redd for å prise for høyt, ettersom en større konkurrent da kan kaste seg inn i markedet. Hvis dette ikke skjer, regner bedriften med at etterspørselen etter både pro- 4-20

103 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G dukt X og Y vil overstige bedriftens egen produksjonskapasitet. Produksjonen foregår i tre avdelinger; A, B og C. Følgende tabell viser kapasitetsforbruk, kapasiteter og kostnader : Avdeling X Y Kapasitet Fast kostnad Variabel kostnad A 2t 4t t pr. år ,- pr. år 30,- pr. t B 5t 6t t pr. år ,- pr. år 20,- pr. t C 2t 2t t pr. år ,- pr. år 10,- pr. t Material 20,- 120,- Totalt: ,- pr. år Dette gir følgende kalkyle : BIDRAGSKALKYLE: X Y Material 20,- 120,- Variabel kostnad avd. A 2 30,- = 60,- 4 30,- = 120,- B 5 20,- = 100,- 6 20,- = 120,- C 2 10,- = 20,- 2 10,- = 20,- Variable kostnader 200,- 380,- Pris P 500,- Dekningsbidrag P 200,- 120,- 1 Y 2 Avdeling C: 2X + 2Y Avdeling B: 5X + 6Y Punkt X Y Avdeling A: 2X + 4Y FIGUR Grafisk analyse. 3 4 X For en gitt pris på produkt X vil optimal tilpassing være i ett av punktene 0 4. Punkt 0 [ingen produksjon] vil være det optimale hvis driftsresultatet er negativt. Punkt 1 [produksjon av kun Y] gir årlig resultat: = ,- Hvis de faste kostnadene er driftsbetingede, er det mer lønnsomt å legge ned produksjonen [punkt 0]. Det vil i så fall gi et resultat på 0,-. Punkt 2 [1000X og 3500Y] er bedre enn punkt 1 [4000 Y] hvis : 1000 (P 200) > P > 260,- Når P > 260,- vil det lønne seg å produsere 1000X og 3500Y [punkt 2] framfor kun 4.000Y [punkt 1]. Men for å dekke de faste kostnadene må prisen være slik at : 1000 (P 200) = P = 280,- 4-21

104 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Punkt 3 [4000 X og 1000 Y] er bedre enn punkt 2 [1000X og 3500Y] hvis : 4000 (P 200) > 1000 (P 200) P > 300,- Punkt 4 [5000 X] er bedre enn punkt 3 [4000 X og 1000 Y] hvis : 5000 (P 200) > 4000 (P 200) P > 320,- Vi får derfor følgende konklusjon : Pris X Optimal tilpassing : Punkt 1 [4000Y]. P < 260 Hvis de faste kostnadene er driftsbetingede bør driften legges ned [punkt 0] Punkt 2 [1000X og 3500Y] 260 P < 300 Nullpunkt for P = 280,- Legg ned [punkt 0] for P < 280, P < 320 Punkt 3 [4000X og 1000Y] 320 P Punkt 4 [5000X] Tilpassing i punkt 1 : 4000Y. Punkt 0 optimalt for P < Tilpassing i punkt 2 : 1000X og 3500Y. Punkt 0 optimalt for P < 280. Tilpassing i punkt 3 : 4000X og 1000Y. FIGUR Optimal tilpassing og resultat for alternative priser P for produkt X. Tilpassing i punkt 4 : 5000X. 4-22

105 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Om vi løser problemstillingen i regneark, kan regnearket f. eks. se slik ut : FIGUR Regneark med pris P for produkt X lik 0. Tilpassing i punkt 1. A B C D E F G H I 1 2 X Y Totalt Kapasitet Faste Variable 3 Avdeling A 2 =SUMPRODUCT 4 ($C$11:$D$11;C3:D3) Avdeling B 5 =SUMPRODUCT 6 ($C$11:$D$11;C4:D4) Avdeling C 2 =SUMPRODUCT 2 ($C$11:$D$11;C5:D5) Material =SUM(H3:H5) 7 Variable =SUMPRODUCT (C3:C5;$I$3:$I$5) =SUMPRODUCT (D3:D5;$I$3:$I$5) 8 Pris Dekningsbidrag =C8-SUM(C6:C7) =D8-SUM(D6:D7) Mengde TABELL 4-3. Definisjonen av regnearket. =SUMPRODUCT ($C$11:$D$11;C9:D9) =E9-H6 Resultat FIGUR Bruk av Solver. Totalt resultat ($G$9) maksimeres ved å variere mengden ($C$11:$D$11), men slik at kapasitetene ikke overskrides. 4-23

106 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Vi ser at med en pris P lik 0 for produkt X får vi optimal tilpassing i punkt 1, dvs. å bare produsere maksimalt med produkt Y. Ettersom de faste kostnadene ikke blir påvirket av produksjonsvolumet, vil Solver aldri velge punkt 0 så lenge minst ett av produktene gir et positivt dekningsbidrag. (Vi kan ta hensyn til de faste kostnadene vha. binærvariabler, men det skal vi komme tilbake til senere.) Resultatet i punkt 0 vil nemlig bli ,-. For å finne ut hvor mye prisen på produkt X må økes (fra 0), for at det skal bli lønnsomt å produsere produktet, kan vi be om sensitivitetsanalysen i Solver : FIGUR Be om Sensitivity rapport i Solver. Vi får da følgende rapport : Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $C$11 Mengde X E+30 $D$11 Mengde Y E TABELL 4-4. Utdrag fra sensitivitetsanalyse med pris P = 0. Vi ser fra kolonnen Allowable Increase at koeffisienten i målfunksjonen (dvs. dekningsbidraget) kan øke med 260 uten at løsningen Final Value endres. Hvis vi øker prisen på produkt X med mer enn kr. 260,- (fra 0,-) så vil altså den optimale løsningen bli en annen. Om vi bruker Solver når prisen er endret til 261, får vi : X Y Totalt Kapasitet Faste Variable Avdeling A Avdeling B Avdeling C Material Variable Pris Dekningsbidrag Resultat Mengde FIGUR Optimal løsning når P = 261. Tilpasning i punkt 2. Vi ser at vi fortsatt går med underskudd. 4-24

107 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G FIGUR Goal Seek for å finne minimumsprisen. For å finne ut hva prisen må være for at resultatet skal bli 0 kan vi bruke Goal Seek. Ikke uventet blir svaret : 280. FIGUR Regneark med svar fra Goal Seek. Pris Dekningsbidrag Resultat Om vi setter prisen tilbake til 261 og ber om sensitivitetsanalyse av denne løsningen, gir Solver følgende svar : Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $C$11 Mengde X $D$11 Mengde Y ,8 TABELL 4-5. Sensitivitetsanalyse når P = 261. Vi ser at dekningsbidraget (og derved prisen) kan økes med 39, dvs. prisen må være større enn = 300, for at vi skal få en annen løsning enn punkt 2. Om vi setter prisen til kr. 301,- og løser regnearket på nytt v.h.a. Solver, får vi følgende sensitivitetsanalyse : Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $C$11 Mengde X $D$11 Mengde Y ,2 19 TABELL 4-6. Sensitivitetsanalyse når P = 301. For å få en annen løsning enn den i punkt 3, ser vi at prisen må økes med mer enn 19, dvs. prisen må være større enn = 320. Om vi setter prisen til kr. 321,- og løser regnearket på nytt med Solver, får vi følgende sensitivitetsanalyse : Adjustable Cells Mengde Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $C$11 Mengde X E+30 1 $D$11 Mengde Y E+30 TABELL 4-7. Sensitivitetsanalyse når P = 321. Her ser vi at prisen på produkt X kan økes uendelig uten at det påvirker optimal løsning (1E+30 er det største tallet Excel kan bruke, og angir her uendelig). Det vil uansett være optimalt å bare produsere produkt X, dvs. tilpasningen vil forbli i punkt 4. Denne framgangsmåten (sensitivitetsanalyse av LP-modellen) må benyttes hvis vi har mer enn to produkter, da kan vi ikke lenger løse problemet grafisk. 4-25

108 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Minimumspris på nytt produkt. I det følgende eksemplet skal vi se på hvordan prisen på et nytt produkt kan fastsettes, uten at en kjenner etterspørselsfunksjonen. Selv om bedriften har mange produkter fra før, skal vi se at analysen kan gjøres enkelt når det kun er én knapp faktor. En bedrift produserer tre produkter; A, B og C. Produksjonen er spesialisert, slik at hvert produkt produseres på en spesialmaskin. Produkt A produseres på maskin a, produkt B produseres på maskin b, og produkt C produseres på maskin c. Bedriften vurderer imidlertid å introdusere et nytt produkt D, som kan produseres på hvilken som helst av maskinene a, b eller c. Hver av maskinene a, b og c betjenes av én arbeider, som jobber 35 timer i uken, 48 uker pr. år. Bare én arbeider kan betjene en maskin om gangen. Bedriftens selvkostkalkyle er basert på årlige faste kostnader på kr ,- : Produkt A B C D Material 10,- 5,- 120,- 40,- Produksjonskost 1) 40,- 10,- 160,- 20,- Selvkost 50,- 15,- 280,- 60,- Pris 50,- 20,- 320,-? Etterspørsel (stk. pr. år) ? 1) Satsen er kr. 40,- pr. time, inkludert faste kostnader fordelt pr. time, basert på full kapasitetsutnyttelse. Bedriften ønsker å finne minimumsprisen for produkt D, ved følgende alternative etterspurte mengder : Etterspørsel : 500stk., 2.000stk., 5.000stk., 8.000stk. og stk. D. Selvkostkalkylen er ikke til mye hjelp, vi må renske ut de faste kostnadene og lage en bidragskalkyle. Vi må derfor finne hva de faste kostnadene utgjør i kalkylen. Totalt antall timer pr. år er: 3 mann 35 timer 48 uker = timer pr. år. Faste kostnader pr. time blir da : kr /5.040 timer = kr. 20,- pr. time. Timeforbruket for hvert produkt kan finnes ved å dele produksjonskostnaden med timesatsen på kr. 40,- : Produkt A B C D Tidsforbruk : 40/40 = 1t 10/40 = ¼t 160/40 = 4t 20/40 = ½t Dermed er det mulig å konstruere en bidragskalkyle, ettersom vi nå vet at de variable produksjonskostnadene utgjør kr = kr. 20,- pr. time. Samtidig vet vi tidsforbruket for hvert av produktene. 4-26

109 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Bidragskalkyle : A B C D Material 10,- 5,- 120,- 40,- Produksjonskost 20 1 = 20,- 20 ¼ = 5, = 80,- 20 ½ = 10,- Variable kostnader 30,- 10,- 200,- 50,- Pris 50,- 20,- 320,-? Dekningsbidrag 20,- 10,- 120,-? DB pr. time 20/1 = 20,- 10/(¼) = 40,- 120/4 = 30,- TABELL 4-8. Bidragskalkyle. Ettersom vi kun har én felles knapp faktor i produksjonen arbeidstid kan vi rangere produktene etter bidrag pr. knapp faktor. Vi ser da at vi taper minst DB/t ved å produsere produkt D på bekostning av A, dernest C, og det koster mest pr. time å produsere D på bekostning av produkt B. Men vi bør først undersøke om vi har ledig tid til å produsere D uten at det går ut over etterspørselen etter de andre produktene. Hver mann kan jobbe 35 timer 48 uker = timer pr. år på en maskin. Antall timer pr. år delt på tidsforbruk pr. enhet gir kapasiteten pr. år : PRODUKT A B C Etterspørsel (stk) Kapasitet pr. år (stk) 1680/1 = /(¼) = /4 = 420 Ledig kapasitet (stk) Ledige timer 0t 720 ¼ = 180t 20 4 = 80t TABELL 4-9. Kapasitetsoversikt. Vi ser at det er i alt = 260t ledig kapasitet. Det gir mulighet til å produsere inntil 260t/(½)t pr. stk = 520 stk. D uten at det påvirker den øvrige produksjonen. Produksjon ut over dette vil gå på bekostning av den øvrige etterspørselen. MASKIN a b c Kapasitet pr. år 1.680t 1.680t 1.680t Ledige timer 0t 180t 80t = Tidsforbruk 1.680t 1.500t 1.600t Ekstraproduksjon D 1680/(½) = /(½) = /(½) = Alternativkostnad 20 ½ = 10,- 40 ½ = 20,- 30 ½ = 15,- TABELL Ekstraproduksjon produkt D, og tilhørende alternativkostnad pr. stk. D produsert. Vi får følgende prioriterte produksjonsplan for ekstraproduksjon av produkt D : STRATEGI Kvantum D Alternativkost Sum kvantum D Ledig kapasitet 520 stk. 0,- 520 stk. Reduser produkt A stk. 10, stk. Reduser produkt C stk. 15, stk. Reduser produkt B stk. 20, stk. TABELL Akkumulert ekstraproduksjon av produkt D. Etter å ha produsert 520 stk. D med bruk av ledige timer, er det billigst å redusere produksjonen av produkt A, som gir mulighet til å produsere ytterligere stk. D, dvs. totalt stk., osv. Vi ser at vi maksimalt kan levere stk. D pr. år. Minimumsprisen for produkt D må dekke de variable kostnadene pluss alternativkostnaden ved den fortrengte produksjonen av de øvrige produktene. Dette vil sikre at resultatet ikke blir mindre ved å produsere det nye produktet. Men hvis begrepet 4-27

110 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G minimumspris skal ha noen mening, kan ikke resultatet øke, ellers kunne jo prisen ha vært lavere. Dermed kan vi sette opp følgende regnestykke : Mengde D Alternativkost + variable kostnader = Minimumspris D 500 stk = 50, stk. [( ) 10]/ = 57, stk. [( ) 15 + ( ) 10]/ = 60, stk. [( ) 20 + ( ) 15 + ( ) 10]/ = 62, stk. [( ) 20 + ( ) 15 + ( ) 10]/ = 64,05 TABELL Minimumspris produkt D for alternative kvanta. Ved en etterspørsel på f. eks stk. D vil de siste enhetene mellom og stk. foregå på bekostning av produkt C, til en alternativkostnad på kr. 15,- pr. halvtime (pr. stk. D). Enhetene mellom 3880 og 520 stk. går på bekostning av produkt A, til en alternativkostnad på kr. 10,- pr. halvtime. Disse totale alternativkostnadene fordeles på alle stk. D, og de variable kostnadene legges til, for å komme fram til minimumsprisen en må ha for ikke å få et lavere resultat enn det en hadde før produkt D ble produsert. Fordi det bare var én felles knapp faktor, kunne vi finne optimale strategier ved rangering pr. knapp faktor. Normalt er det mer enn en restriksjon som begrenser produksjonen av de forskjellige produktene. Da må vi ta regneark til hjelp. Vi skal illustrere framgangsmåten på det eksemplet vi nettopp har løst. FIGUR Regneark med optimal tilpasning uten det nye produktet D. 4-28

111 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Fra FIGUR 4-29 ser vi at optimalt dekningsbidrag er kr ,- pr. år. Det er funnet hva. Solver, ved å maksimere samlet dekningsbidrag. Beslutningsvariablene er mengden av produktene, som ikke kan være større enn etterspørselen. Samtidig kan ikke tidsforbruket overstige kapasitetene. Dette er angitt i Solver slik : FIGUR Angivelse av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner for max DB. Regnearket er definert slik : 1 A B C D E F G 2 Produkt A B C D Samlet 3 4 Salgspris Variable kostnader Dekningsbidrag =Salgspris - Variable kostnader =SUMPRODUCT(C6:F6;C9:F9) Mengde Etterspørsel Tidsforbruk pr. stk. 1 =1/4 4 =1/2 13 Tidsforbruk totalt =Mengde * Tidsforbruk pr. stk. =SUM(C13:F13) 14 Kapasitet =35*48 =35*48 =35*48 =SUM(C14:E14) TABELL Formlene i regnearket. Regnearket er så kopiert til et nytt ark (Via Edit menyen og Move or Copy Sheet ). I det nye arket er linje 7 gitt navnet Gammelt Dekningsbidrag, og den gamle verdien på kr ,- lagt inn i kolonne G. Dette blir nå en restriksjon i vårt nye problem, samlet dekningsbidrag må være like stort som det gamle dekningsbidraget. Målfunksjonen blir å minimere prisen på produkt D, når mengden for D er lik 500 stk. Ellers er det de samme restriksjonene som før. Beslutningsvariablene er fortsatt mengdene, i tillegg til prisen for produkt D. Derved vil Solver finne den minste prisen på produkt D som gir like stort dekningsbidrag som før. Men ettersom både pris og mengde for produkt D nå er beslutningsvariabler, blir problemet ikke-lineært. Vi må nå gi følgende informasjoner til Solver: 4-29

112 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G FIGUR Angivelse av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner for minimum pris D. Ved en angitt mengde for produkt D lik 500 stk. blir minimumsprisen lik de variable kostnadene på kr. 50,- : FIGUR Minimumspris produkt D ved 500 stk. produkt D. Svaret er intuitivt opplagt; den minste prisen vi kan selge produkt D for når vi har ledig kapasitet (vi har bare brukt av i alt timer) er lik de variable kostnadene for produktet. Nå kan vi enkelt finne minimumsprisen for de øvrige kvantaene. Vi endrer etterspørselen av produkt D til den ønskede mengden, og kjører Solver på nytt. 4-30

113 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Produkt A B C D Samlet Salgspris ,40 Variable kostnader Dekningsbidrag , Gammelt Dekningsbidrag Mengde Etterspørsel Tidsforbruk pr. stk. 1 0,25 4 0,5 Tidsforbruk totalt Kapasitet FIGUR Minimumspris produkt D ved en etterspørsel på stk. Ved en etterspørsel på stk. D blir minimumsprisen kr. 57,40 pr. stk. tilsvarende får vi ved de øvrige etterspørslene på og stk. D : Produkt A B C D Samlet Salgspris ,08 Variable kostnader Dekningsbidrag , Gammelt Dekningsbidrag Mengde Produkt A B C D Samlet Salgspris ,50 Variable kostnader Dekningsbidrag , Gammelt Dekningsbidrag Mengde FIGUR Minimumspris produkt D ved etterspørsel på og stk. Ved en mengde på D får vi imidlertid følgende beskjed fra Solver : FIGUR Solver kan ikke finne en mulig løsning på problemet. Ettersom vi ikke har kapasitet til å produsere så mye som stk. D greier ikke Solver å finne en mulig løsning. Vi trenger timer men har bare timer. 4-31

114 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G Vi kan imidlertid tvinge Solver til å bruke all kapasitet på produkt D, ved å sette etterspørselen etter de gamle produktene lik 0, og ikke ha noen grense på kvantum av produkt D : FIGUR Minimumspris produkt D ved maksimal produksjon av produkt D. Vi ser at maksimalt kvantum D er lik stk., og minimumsprisen er kr. 64,05. Opplysningene til Solver er i dette tilfellet disse : FIGUR Målfunksjon, beslutningsvariabler or restriksjoner ved maksimal produksjon av D. Vi har altså kun sløyfet restriksjonen for kvantum av produkt D. I tillegg er etterspørselen etter de gamle produktene satt lik

115 N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G 4-1

116 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Del 5 Kostnadsfordeling og serviceavdelinger Kostnadene i serviceavdelingene fordeles på brukerne av serviceavdelingenes tjenester. D et finnes mange typer serviceavdelinger, men felles for de fleste er at de er opprettet for å betjene hele foretaket med bestemte tjenester. Det kan være fordi det ikke finnes ekstern tilgang på tjenesten, eller foretaket har funnet det rimeligere å produsere tjenesten selv. Foretaket kan også ha opprettet serviceavdelingen fordi de ønsker bedre kontroll med kvaliteten på tjenesten, eller det kan være leveringsbetingelser eller andre forhold som gjør at de foretrekker å ha full kontroll over tilgangen på tjenesten. A L T E R N A T I V K O S T Markedspris Marginalkostnad Serviceavdelingene er som regel organisert som et kostnadssenter, de skal levere de etterspurte kvanta av tjenesten på en kostnadseffektiv måte. For at brukerne av tjenestene ikke skal etterspørre mer enn hva som er optimalt for foretaket, må tjenesten prises til alternativkostnaden ved å levere tjenesten internt. Hvis det ikke eksisterer et eksternt marked for tjenesten er korrekt internpris lik marginalkostnaden. Problemet blir å finne korrekt marginalkostnad. Hvis det eksisterer et eksternt marked for tjenesten, og avdelingen kan selge sin tjeneste eksternt, da er alternativkostnaden lik markedsprisen på tjenesten. Om tjenesten leveres internt så går serviceavdelingen glipp av inntektene den kunne fått ved eksternt salg, og internprisen må derfor settes lik markedsprisen. Avdelingen kan i så fall med fordel organiseres som et profittsenter, og de øvrige avdelingene i foretaket bør kunne velge om de vil kjøpe tjenesten internt eller eksternt. I et slikt tilfelle er det selvsagt heller ikke behov for å fordele kostnadene i serviceavdelingen. Direkte fordeling av kostnadene Kostnadsfordelingen må basere seg på det direkte forbruket av tjenesten. Nøyaktig registrering av mengden; enten timer vedlikehold og eventuelt materialforbruk fra en vedlikeholdsavdeling, kilowatt strøm fra en kraftavdeling, etc. er nødvendig for å kunne foreta en korrekt kostnadsfordeling. Ofte har en ikke et direkte mål på forbrukt mengde, da må man omhyggelig velge et substitutt eller kostnadsdriver som i størst mulig grad er proporsjonal med mengdeforbruket, som f. eks. m 2 gulv rengjort isteden for faktisk rengjøringstid. 5-1

117 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Eksempel på kostnadsdrivere Kostnadsdrivere må være lett målbare og sterkt korrelert med bruken av de interne tjenestene. Noen eksempler kan være : Serviceavdeling Kostnadsdriver Vedlikehold Antall vedlikeholdstimer Kraft IT Regnskap Antall kilowatt Antall PC er Antall bilag Hvis serviceavdelingen ikke bruker tjenester fra andre serviceavdelinger kan en finne en tilnærming til alternativkostnaden ved å beregne enhetskostnaden lik totale variable servicekostnader i serviceavdelingen dividert på aktivitetsnivået representert ved total mengde av kostnadsdriveren. Denne enhetskostnaden er da en tilnærming av marginalkostnaden, som er korrekt alternativkostnad ved fravær av en ekstern markedspris på tjenesten. Faktiske kostnader, eller normal eller standard kost kan benyttes, avhengig av formålet med fordelingen. For finansregnskapet kan en fordele faktiske kostnader. Imidlertid vil standardkost som regel være mer hensiktsmessig å bruke i et internregnskap, både fordi den bedre representerer marginalkostnaden og fordi den bidrar til større kostnadsbevissthet i serviceavdelingen. Hvis serviceavdelingen ukritisk fikk fordele alle sine faktiske kostnader på brukerne, ville den ha ingen insentiver til å drive kostnadseffektivt. Denne prosedyren for kostnadsfordeling av kostnadene i serviceavdelingene vil være lik prosedyren for fordeling av bedriftens øvrige felleskostnader. Men om serviceavdelingene leverer tjenester også til hverandre, blir kostnadsfordelingen straks mer kompleks. Simultan kostnadsfordeling Når serviceavdelingene også leverer tjenester til hverandre, kompliseres kostnadsfordelingen en del. Da er det ikke lenger klart hvilken kostnad som skal fordeles, fordi serviceavdelingen også blir belastet med kostnader for bruk av tjenester fra de øvrige serviceavdelingene. Og kostnadene i de øvrige serviceavdelingene er også ubestemt, fordi disse avdelingene også blir belastet med bruk av tjenester fra andre serviceavdelinger. Det oppstår et simultant ligningssystem, der serviceavdelingenes kostnader er avhengige av hverandres kostnader. Før en kan fordele kostnadene må en altså først løse et simultant ligningssystem for å finne de totale kostnadene som skal fordeles. Som illustrasjon kan vi tenke oss et foretak med 3 serviceavdelinger og 2 produksjonsavdelinger. Kostnadene i serviceavdelingene skal fordeles til produksjonsavdelingene, og til slutt på produktene som produseres. 5-2

118 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Serviceavdeling A Serviceavdeling B Serviceavdeling C Produksjonsavdeling I Produksjonsavdeling II FIGUR 5-1. Kostnadsfordeling mellom serviceavdelinger og produksjonsavdelinger. Bedriften har i siste kvartal registrert følgende mengder av tjenestene : Service Enhet Totalt Avdeling A Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II A kw B Minutt C stk TABELL 5-1. Forbrukt mengde av tjenester produsert av interne serviceavdelinger. Serviceavdeling A leverer elektrisk kraft, og har produsert i alt kw siste periode. Avdelingen har selv bruk kw (som den også selv må betale for), mens serviceavdeling B har brukt kw og serviceavdeling C har brukt kw. Produksjonsavdelingen I og II har til sammen brukt kw. Tilsvarende har serviceavdeling B produsert minutt av sin tjeneste og serviceavdeling C har produsert stk. av sin tjeneste. Direkte interne variable enhetskostnader er hhv. kr. 0,30 pr. kw i serviceavdeling A, kr. 1,- pr. minutt i serviceavdeling B og kr. 0,50 pr. stk. i serviceavdeling C. Kostnadene i avdelingene før kostnadsfordelingen tar til er derfor: Totalt Avdeling A Avdeling B Avdeling C Enhetskostnad 0,30 1,00 0,50 Direkte kostnad TABELL 5-2. Direkte interne variable servicekostnader. Totalt er det således kr ,- som skal fordeles fra serviceavdelingene over på produksjonsavdelingene. Den totale summen som skal fordeles er imidlertid større, fordi en del kostnader også fordeles til serviceavdelingene. For å finne de totale variable kostnadene i serviceavdelingene må vi først løse et simultant ligningssystem, der de samlede kostnader i en avdeling er lik de direkte kostnadene i avdelingen, pluss kostnadene for bruk av tjenester, inklusive bruk av egne tjenester. 5-3

119 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R A V D E L I N G S - K O S T N A D E R Direkte kostnader Kostnad eget forbruk Kostnad bruk av andre tjenester Variable kostnader Avdeling A Avdeling B Avdeling C Direkte variable kostnader , , ,- Kostnader tjeneste A : MCA QA MCA MCA MCA Kostnader tjeneste B : MCB QB MCB MCB 0 MCB Kostnader tjeneste C : MCC QC MCC MCC 0 MCC 0 Sum variable kostnader : TC TCA TCB TCC Totalt kvantum : Q Marginalkostnad : MC = TC/Q MCA MCB MCC TABELL 5-3. Simultan bestemming av totale kostnader i serviceavdelingene. Løsningen av det simultane ligningsystemet med 3 ligninger gir følgende verdier: Sum variable kostnader: TC TCA= ,3 TCB= ,0 TCC= ,3 Marginalkostnad: MC=TC/Q MCA=1,22 MCB=1,12 MCC=0,78 Dermed har vi funnet marginalkostnaden i serviceavdelingene, og kan nå fordele kostnadene i serviceavdelingene på brukerne av serviceavdelingene etter fakturaprinsippet : pris mengde; der pris er marginalkostnaden for tjenesten og mengde er forbrukt mengde av tjenesten : Tjeneste Avdeling I Avdeling II Type Pris Mengde Kostnad Mengde Kostnad Totalt A 1, , , B 1, , , C 0, , , Sum , , TABELL 5-4. Servicekostnadene fordelt på produksjonsavdelingene. Som en ser, så blir det fordelt i alt kr ,- på de to produksjonsavdelingene, nøyaktig lik summen av de direkte variable kostnadene i de tre serviceavdelingene. Om vi ser på tjeneste A, så er det fordelt i alt kr ,- på de to produksjonsavdelingene, mens avdelingens direkte kostnader bare var kr ,-. Men for de to andre tjenestene er kostnadene som er fordelt på produksjonsavdelingene mindre enn de direkte kostnadene. Derimot er marginalkostnadene for alle tjenestene større enn den direkte variable enhetskostnaden for tjenesten. Marginalkostnaden tar også hensyn til alle ringvirkninger : Å øke produksjonen i serviceavdeling A med én enhet vil koste kr. 1,22 og ikke kr. 0,30. Dette fordi å produsere én enhet av tjeneste A til produksjonsavdelingene også medfører økt etterspørsel etter tjeneste B og C fra serviceavdeling A. Dette fører igjen til økt etterspørsel etter tjeneste A fra serviceavdelingene B og C, som igjen fører til økt etterspørsel etter B og C, osv. Alle disse ringvirkningene er tatt hensyn til i marginalkostnaden. Denne marginalkostnaden vil være proporsjonal og konstant, så lenge strukturen i ligningsystemet er den samme, dvs. koeffisientene er uforandret. Om en avdeling legges ned, så utgår en ligning i systemet, og ligningsystemet må løses på nytt. 5-4

120 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Fordeling av faste kostnader Vanligvis vil det også være en del faste kostnader i serviceavdelingene. Når disse faste kostnadene fordeles over på produksjonsavdelingene må dette ikke få innvirking på internprisen av tjenestene. I så fall kan det lett lede til gale tilpassinger i produksjonsavdelingen, i forhold til hva som er optimalt for foretaket samlet. Kostnadsoverføringen må også være slik at endret aktivitetsnivå i andre avdelinger ikke får innvirking på overføringen til en avdeling som ikke har hatt endring i sitt aktivitetsnivå. Faste kostnader må dessuten oppfattes som faste, som ikke kan manipuleres av den som blir belastet med kostnadene. En slik metode å overføre de faste kostnadene er å fordele kostnadene proporsjonalt med kapasiteten i de avdelingene som etterspør tjenestene. Den fordelte faste kostnaden kan dermed betraktes som en reservasjonspris for å kunne kjøpe tjenesten til en lav marginalkostnad i kvanta opp til sitt eget maksimale behov. Anta at produksjonsavdelingene ved full kapasitetsutnyttelse har følgende behov for tjenester fra serviceavdelingene : Tjeneste Totalt Avdeling A Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II A B C TABELL 5-5. Forbruk av tjenester ved full kapasitetsutnyttelse i produksjonsavdelingene I og II. Vi ser at produksjonsavdeling I i utgangspunktet allerede hadde full kapasitetsutnyttelse, mens avdeling II tidligere bare gikk med 90% kapasitetsutnyttelse, i forhold til aktiviteten i TABELL 5-1. Serviceavdeling A s forbruk har økt proporsjonalt med den totale produksjonen i avdeling A, og tilsvarende forhold gjelder for avdeling B og C. Kostnadsfordelingen innebærer at avdelingene må dekke serviceavdelingens faste kostnader proporsjonalt med andelen av maksimalforbruket : Tjeneste Avdeling A Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II A 2,00 % 9,29 % 30,37 % 48,62 % 9,72 % B 10,77 % 0,00 % 5,45 % 31,42 % 52,36 % C 65,85 % 0,00 % 0,00 % 12,81 % 21,34 % TABELL 5-6. Andel av forbruket ved full kapasitetsutnyttelse i produksjonsavdelingene I og II. De faste kostnadene i avdelingene er som følger : Totalt Avdeling A Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II Faste kostnader TABELL 5-7. Direkte faste kostnader i avdelingene. Men vi får igjen problemet med å fastslå hvor store de faste kostnadene i serviceavdelingene er, fordi avdelingene også får regninger på faste kostnader i de øvrige serviceavdelingene. Vi må derfor gjenta samme prosedyre som ved fordelingen av de variable kostnadene, vi må løse et simultant ligningsystem for å finne de totale faste kostnadene i serviceavdelingene. 5-5

121 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Faste kostnader Avdeling A Avdeling B Avdeling C Direkte faste kostnader Kostnader tjeneste A TCA 2,00 % TCA 9,29 % TCA 30,37 % Kostnader tjeneste B TCB 10,77 % TCB 0,00 % TCB 5,45 % Kostnader tjeneste C TCC 65,85 % TCC 0,00 % TCC 0,00 % Sum faste kostnader : TC TCA TCB TCC TABELL 5-8. Faste kostnader fordelt proporsjonalt med kapasitetsforbruket ved full etterspørsel. Dette gir følgende totale faste kostnader å fordele fra serviceavdelingene : Avdeling A Avdeling B Avdeling C Sum faste kostnader : TC , , ,9 Bruker vi disse kostnadene som grunnlag for fordeling etter de satsene som er beregnet i TABELL 5-6, får vi følgende fordeling : Tjeneste Avdeling I Avdeling II Type Kostnad Andel Kostnad Andel Kostnad Totalt A ,0 48,62 % ,72 % B ,7 31,42 % ,36 % C ,9 12,81 % ,34 % Sum TABELL 5-9. Faste kostnader i serviceavdelingene fordelt på produksjonsavdelingene. Avdeling I vil få en regning på totalt kr ,- fra serviceavdelingene, og avdeling II får en regning på i alt kr ,-. Til sammen vil produksjonsavdelingene da få regninger på i alt kr ,-; nøyaktig lik summen av de faste kostnadene i serviceavdelingene. Så lenge de faste kostnadene i serviceavdelingene forblir faste, og kapasitetene i produksjonsavdeling I og II ikke endres, så vil denne kostnadsfordelingen forbli konstant, og kostnadene vil oppfattes som faste. Kostnadsfordelingen er basert på kapasiteter, ikke kapasitetsutnyttelse, og derved vil variasjoner i aktivitetsnivået ikke endre kostnadsfordelingen. Å beregne totalproduksjonen og etterspørselen etter serviceavdelingenes tjenester ved full kapasitetsutnyttelse, dvs. finne de verdier som er angitt i TABELL 5-5, krever detaljert kunnskap om produksjonsforholdene. I neste del, Lønnsomhetsvurdering av en serviceavdeling, er nødvendige data for disse beregningene angitt i TABELL 5-10, med kapasiteter hentet fra TABELL Her blir også prosedyren for beregningene beskrevet som et simultant ligningssystem. Det kan være en god øvelse å selv forsøke å løse de ligningene som leder fra til svarene i TABELL

122 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Lønnsomhetsvurdering av en serviceavdeling Når det eksisterer eksterne markeder for den tjenesten en intern serviceavdeling tilbyr, er det interessant å vite om foretaket kanskje kan tjene på å kjøpe tjenesten eksternt framfor å produsere den selv internt. Følgende resonnement er da nærliggende, men ufullstendig : Hvis foretaket ikke kan spare noen av sine faste kostnader ved å legge ned serviceavdelingen, så er det lønnsomt å kjøpe tjenesten eksternt hvis markedsprisen er lavere enn marginalkostnaden ved å produsere internt. E K S T E R N T K J Ø P Reduserte kvanta Reduserte faste kostnader En må også ta i betraktning at når en kjøper tjenesten eksternt, så vil behovet for tjenesten reduseres, på grunn av bortfall av eget forbruk og på grunn av ringvirkningene ved bortfall av avdelingens etterspørsel etter de andre tjenestene. En trenger altså ikke kjøpe like mange enheter eksternt som en må produsere internt, for å dekke etterspørselen av tjenesten fra de øvrige avdelingene. For å beregne behovet for eksternt kjøp, må vi har mer detaljerte kunnskaper om produksjonsforholdene. De mengdene som er angitt i TABELL 5-1 er beregnet ut fra følgende data : Tjeneste Enhet Avdeling A Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II A kw 1/50 1/10 1/5 5 1 B minutt 1/10 0 1/ C stk /3 Aktivitetsmål kw minutt stk Maskintid Arbeidstid Periodens produksjon TABELL Forbruk av tjenester pr. aktivitetsenhet i avdelingene. F.eks. produserer serviceavdeling A tjenesten elektrisk kraft, målt i kw. Avdelingen forbruker selv 1/50 kw pr. kw produsert, og den bruker 1/10 tjeneste B (målt i minutt) pr. produsert kw, samt 1 enhet tjeneste C (målt i stk.). Ingen av de andre serviceavdelingene forbruker sine egne tjenester. Serviceavdeling B bruker 1/10 kw (A) pr. enhet B (målt i minutt), mens serviceavdeling C bruker 1/5 kw (A) og 1/30 minutt (B) pr. stk. C produsert. Produksjonsavdeling I måler sin aktivitet i maskintid, og bruker 5 kw (A) pr. maskintime, 3 minutter av tjeneste B pr. maskintime, og 2 stk. tjeneste C pr. maskintime. Produksjonsavdeling II måler sin aktivitet i arbeidstid, og bruker 1 kw (A) pr. arbeidstime, 5 minutter tjeneste B og 10/3 stk. C pr. arbeidstime. Med disse forbruksdata over bruk av tjenestene fra serviceavdelingene kan vi beregne totalforbruket av tjenestene straks vi vet aktiviteten og etterspørselen fra produksjonsavdelingene. Når produksjonsavdeling I i perioden har en aktivitet på maskintimer og produksjonsavdeling II har benyttet arbeidstimer, er aktiviteten i serviceavdelingene entydig bestemt: Da trenger foretaket 1 mill. kw tjeneste A, timer ( minutter) tjeneste B og 1,5 mill. stk. tjeneste C. Vi må imidlertid løse et simultant ligningssystem for å finne disse kvanta. For å beregne behovet for eksternt kjøp av en tjeneste hvis serviceavdelingen legges ned, må en igjen løse et simultant ligningssystem, med utgangspunkt i de forbruksdata som er gitt i TABELL Om vi f. eks. ønsker å vite hva vi maksimalt kan betale for tjeneste A ved eksternt kjøp, må vi først finne mengden : 5-7

123 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Kvanta ved eksterne kjøp av A Tjeneste A Tjeneste B Tjeneste C K V A N T A T J E N E S T E R Bestemmes entydig av aktiviteten i produksjonsavdelingene. Etterspørsel fra avdeling A : Avdeling A antas lagt ned Etterspørsel fra avdeling B : QB 1/10 QB 0 QB 0 Etterspørsel fra avdeling C : QC 1/5 QC 1/30 QC 0 Etterspørsel fra avdeling I : Etterspørsel fra avdeling II : /3 Total etterspørsel Q : QA QB QC TABELL Ligningssystem for å bestemme nødvendig eksterne kvanta tjeneste A. Løsningen av dette ligningsystemet når serviceavdeling A er lagt ned gir : Kvanta ved eksterne kjøp av A Tjeneste A Tjeneste B Tjeneste C Total etterspørsel Q : A N T A G E L S E Uendret aktivitet produksjonsavdelingene F A S T E K O S T N A D E R Driftsbetingede faste kostnader spares ved nedleggelse Vi kan nå beregne hvor mye vi maksimalt kan betale for kjøp av tjeneste A eksternt, idet vi nå vet at vi i så fall har behov for i alt kw. Vi har tidligere beregnet marginalkostnaden til 1,22 og kan derfor betale maksimalt i alt Kr. 1, = ,- (Nøyaktig : ,33). Dette beløpet tilsvarer den totale reduksjonen av variable kostnader i foretaket ved at avdeling A legges ned, produksjonen i serviceavdeling B reduseres fra til minutter, og produksjonen i serviceavdeling C reduseres fra stk. til stk. Vi må også ta hensyn til eventuelle bortfall av faste kostnader. Av serviceavdeling A sine totale faste kostnader på kr pr. periode er kr driftsbetingede, og vil således spares hvis avdelingen legges ned. Den totale besparelsen av nedleggelsen er derfor kr kr = kr Maksimal pris pr. kw som kan betales ved eksterne kjøp er derfor / = kr. 1,87. Egen produksjon A Tjeneste A Tjeneste B Tjeneste C Totalt Kvanta Enhetskostnad 0,30 1,00 0,50 Direkte kostnad Eksternt kjøp A Kvanta Enhetskostnad? 1,00 0,50 Direkte kostnad Besparelse variable kostnader ved eksternt kjøp av tjeneste A Besparelse faste kostnader ved å legge ned serviceavdeling A Totalt besparelse Maksimal pris ved eksternt kjøp av tjeneste A : / = 1,87 TABELL Beregning av besparelse ved eksternt kjøp av tjeneste A. 5-8

124 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Vil vi kjøpe inn enheter A (kw) hvis ekstern markedspris er mindre enn kr. 1,87? Det kan jo tenkes at en annen pris på tjeneste A vil føre til et annet aktivitetsnivå i produksjonsavdelingene. For å besvare det spørsmålet må vi vite hva som ligger til grunn for aktiviteten i produksjonsavdelingene. Anta at bedriften produserer to produkter; X og Y. Følgende data gjelder : K O S T N A D S - K A L K Y L E Servicekostnader prises til marginalkost Øvrige variable kostnader innkalkuleres Råmaterial Bidragskalkyle Produkt X Produkt Y Kapasitestforbruk Avdeling I 3 1 Avdeling II 2 3 Råmaterial 3 3 Serviceforbruk Tjeneste A (kw) 17 8 Tjeneste B (min) Tjeneste C (stk) 12 2/3 12 Kostnadskalkyle Kostnad A: 1,22 20,70 9,74 Kostnad B: 1,12 21,31 20,19 Kostnad C: 0,78 9,89 9,37 Avdeling I: 23,- 69,00 23,00 Avdeling II: 10,- 20,00 30,00 Råmaterial: 50,- 150,00 150,00 Enhetskost 290,90 242,30 Pris 350,00 300,00 DB 59,10 57,70 TABELL Bidragskalkyle ved intern produksjon av servicetjenester. Begge produktene produseres i begge avdelingene, og forbruk maskintid og arbeidstid er angitt i tabellen. Begge produktene bruker også 3 enheter av et råmaterial, som koster kr. 50,- pr. enhet. Gitt tidsforbruket i produksjonsavdelingene kan forbruket av tjenestene A, B og C beregnes. Kostnadskalkylen tar også hensyn til at variable kostnader pr. time i avdeling I er kr. 23,- og kr. 10,- i avdeling II (i tillegg til servicekostnadene). Salgsprisen for X er kr. 350,- mens den er kr. 300,- for Y. Det er dessuten visse produksjonsbegrensinger, som følger : Kapasitet Avdeling I Avdeling II Råmaterial Enhet Maskintimer Arbeidstimer Stk. Kapasitet totalt Serviceavdelingene har rikelig kapasitet til å dekke etterspørselen ved full aktivitet. Dermed står foretaket overfor følgende produktvalgsproblem : Maksimer totalt dekningsbidrag DB : 59,10 Q X + 57,70 Q Y Gitt at : Total maskintid : 3 Q X + 1 Q Y Total arbeidstid : 2 Q X + 3 Q Y Totalt materialforbruk : 3 Q X + 3 Q Y TABELL Produktvalgsproblem og bruk av serviceavdelinger. Løser vi dagens tilpassingsproblem, får vi som svar at optimal produksjon er enheter X og enheter av produkt Y. Dette krever totalt maskintimer i avdeling I og arbeidstimer i avdeling II. Dette tilsvarer dagens aktivitetsnivå, som altså er optimalt bestemt ut fra egenproduksjon av tjeneste A. 5-9

125 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R S O L V E R Finnes under Tools menyen i Excel For eksempel kan problemet formuleres i et regneark og løses med Solver : FIGUR 5-2. Produktvalgsproblemet formulert i et regneark. Formelen for DB Totalt (celle E3) : =SUMPRODUCT($C$5:$D$5;C3:D3). Ved å dra i kopieringsmerket i celle E3 nedover kolonnen, får en automatisk beregnet totalverdier for de øvrige linjene. (En kan senere slette totalen for line 4-6.) De øvrige tall er data for problemet. Solver i Excel gir følgende rapport (når celle E3 maksimeres ved at cellene C5:D5 varieres slik at E7:E9 F7:F9) : S O L V E R I E X C E L Velg Sensitivity fra Solver Results Dialog Box Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $C$5 Mengde X ,10 114,00 1,40 $D$5 Mengde Y ,70 1,40 38,00 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $E$7 Avdeling I Totalt , $E$8 Avdeling II Totalt , E $E$9 Råmaterial Totalt , TABELL Sensitivitetsanalyse av produktvalgsproblemet. Vi ser f. eks. at dekningsbidraget for produkt Y bare kan reduseres med kr. 1,40 før vi får andre optimale produksjonskvanta. Men om vi f. eks. kjøper A eksternt for kr. 1,50 pr. kw, så endres dekningsbidraget for X med mer enn kr. 1,40. Dermed får vi et annet produktmiks, og dermed også en annen etterspørsel etter tjenestene fra serviceavdelingene. Antagelsen da vi beregnet maksimal ekstern pris på tjeneste A til kr. 1,87 ved eksternt kjøp var imidlertid at aktivitetsnivået som genererte etterspørselen etter tjenestene fra serviceavdelingene forble uforandret. Denne forutsetningen holder ikke lenger stikk. Når marginalkostnaden for A endres til kr. 1,50 så endres nemlig også marginalkostnaden for tjeneste B og C. 5-10

126 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R N Y M A R G I N A L K O S T N A D Proporsjonal kostnad Uavhengig av aktivitetsnivået Avhengig av antall serviceavdelinger og ligningsstrukturen Kr. 1,50 for eksternt kjøp A Avdeling B Avdeling C Direkte variable kostnader , ,- Kostnader tjeneste A : 1,50 QA 1, , Kostnader tjeneste B : MCB QB MCB 0 MCB Kostnader tjeneste C : MCC QC MCC 0 MCC 0 Sum variable kostnader : TC TCB TCC Totalt kvantum : Q Marginalkostnad : MC = TC/Q MCB MCC TABELL Beregning av nye marginalkostnader ved tenkt pris kr. 1,50 for eksternt kjøp. Her blir MC B = 1,15 og MC C = 0,84. Dermed blir bidragskalkylen endret : Tar utgangspunkt i dagens aktivitet i produksjonsavdelingene. Bidragskalkyle Produkt X Produkt Y Kostnad A: 1,50 25,50 12,00 Kostnad B: 1,15 21,85 20,70 Kostnad C: 0,84 10,62 10,06 Avdeling I: 23,- 69,00 23,00 Avdeling II: 10,- 20,00 30,00 Råmaterial: 50,- 150,00 150,00 Enhetskost 296,97 245,76 Pris 350,00 300,00 DB 53,03 54,24 TABELL Ny bidragskalkyle ved eksternt kjøp av tjeneste A. Med disse dekningsbidragene endres optimale produksjonskvanta. Adjustable Cells Kalkylen er basert på en tenkt ekstern pris på service A på kr. 1,50. Prisen er satt høyere enn marginalkostnaden på kr. 1,22 ved intern produksjon, men mindre enn maksimal pris beregnet til kr. 1,87. Denne maksimalprisen kan endres hvis aktivitetsnivået endres som følge av endret pris på service A. Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $C$5 Mengde X ,03 1,21 16,87 $D$5 Mengde Y ,24 25,31 1,21 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $E$7 Avdeling I Totalt , E $E$8 Avdeling II Totalt , $E$9 Råmaterial Totalt , , TABELL Ny optimal løsning av produktvalgsproblemet ved eksternt kjøp av tjeneste A. Tjeneste Totalt Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II A B C Aktivitet Enhet kw minutt stk Maskintimer Arbeidstimer TABELL Nye optimale mengder i avdelingene ved eksternt kjøp av service A. 5-11

127 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Y Avdeling I Råmaterial Optimal tilpassing ved egenproduksjon tjeneste A Avdeling II X FIGUR 5-3. Grafisk løsning av optimal tilpassing. E K S T E R N T K J Ø P Ny optimal tilpassing Endret kvantum eksternt kjøp A Endret verdi av eksternt kjøp tjeneste A Den opprinnelige optimale tilpassingen basert på egenproduksjon av tjeneste A var å produsere X og Y. Imidlertid ser en at isobidragslinjen har en helning i forhold til produksjonsmulighetsområdet som gjør at bare en liten endring i dekningsbidraget vil føre til at en ny optimal tilpassing vil være optimal. En slik endring vil medføre at produksjonen isteden bør være X og Y. Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II Totalt Mengde Enhetskostnad 1 0, Avdelingskostnader Materialkostnad ( X Y) 150= Totalt kostnad Eksklusiv kostnad kjøp av A Total inntekt ( )= DB ved kjøp Eksklusiv kostnad kjøp av A DB ved egenproduksjon Inklusive kostnader ved egenproduksjon av A Økt DB eksternt kjøp Sparte faste kostnader Netto økt resultat Eksklusiv kostnad kjøp av A TABELL Maksimal verdi av eksternt kjøp tjeneste A. 5-12

128 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Maksimal verdi av eksternt kjøp av tjeneste A er derfor ikke kr slik som vi beregnet under forutsetning av uendret aktivitet i produksjonsavdelingene, men isteden kr Maksimal enhetspris øker imidlertid fra kr. 1,87 til / = kr. 1,94 fordi eksternt kjøp reduseres ytterligere ved den nye tilpassingen. Denne prisen vil være slik at totalresultatet ved optimal tilpassing ved egenproduksjon av A vil være lik totalresultatet ved optimal tilpassing ved eksternt kjøp av tjeneste A. Den direkte variable enhetskostnaden på kr. 0,30 for egenproduksjon av tjeneste A kan derfor øke til kr. 1,94 ved eksternt kjøp av tjenesten. I D E N T I S K R E S U L T A T Resultat ved eksternt kjøp tjeneste A er lik resultatet ved intern produksjon av tjeneste A Produkt X Produkt Y Totalt Avdelingskostnader Kostnad A: 1,94 32,95 15, Kostnad B: 1,19 22,68 21, Kostnad C: 0,93 11,75 11, Avdeling I: 23,- 69,00 23, Avdeling II: 10,- 20,00 30, Råmaterial: 50,- 150,00 150, Enhetskost 306,38 251, Pris 350,00 300, DB 43,62 48, Spart fast kostnad Totalt resultat stk stk TABELL Resultat ved maksimal ekstern pris tjeneste A. Vi ser altså at resultatet, når vi også tar hensyn til de sparte kostnadene, er identisk med resultatet ved optimal tilpassing ved egenproduksjon av tjeneste A, når eksternprisen er kr. 1,94. Det er også grunn til å merke seg at selv om vi kjøper tjeneste A eksternt for i alt kr ,- så er det bare innkalkulert med kr ,- i produktene. Derimot ser vi at det er innkalkulert mer i kostnader for serviceavdeling B og C enn de direkte kostnadene skulle tilsi. Summen av de innkalkulerte servicekostnadene tilsvarer imidlertid summen av de direkte kostnadene i serviceavdelingene. Sammendrag vurdering av eksternt kjøp Lønnsomheten av egenproduksjon av en tjeneste kontra eksternt kjøp : Beregn resultatet ved optimal tilpassing ved egenproduksjon av tjenesten. Beregn behov for kvanta eksternt kjøp av tjenesten som vurderes, forutsatt uendret tilpassing i produksjonsavdelingene. Beregn resultatet ved eksternt kjøp (men uten å ta hensyn til kjøpskostnader), og ta hensyn til eventuelle reduksjoner i faste kostnader. Maksimal ekstern markedspris forutsatt uendret aktivitet i produksjonsavdelingene er lik differansen mellom resultatet ved egenproduksjon og resultatet ved gratis kjøp av tjenesten, dividert på behov for ekstern mengde av tjenesten. 5-13

129 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Sjekk om denne maksimalprisen på tjenesten medfører at optimal tilpassing i produksjonsavdelingene endres. Hvis optimal tilpassing endres, må en beregne behovet for eksternt kjøp ved dette nye optimale aktivitetsnivå i produksjonsavdelingene. Korrekt maksimal pris ved eksternt kjøp av tjenesten er lik differansen mellom resultatet ved den nye tilpassingen (men uten å ta hensyn til kjøpskostnadene for eksternt kjøp av tjenesten) og resultatet ved optimal tilpassing ved egenproduksjon av tjenesten, dividert på kvantum av tjenesten kjøpt eksternt. Hvis den egenproduserte tjenesten også kan selges eksternt, vil optimal tilpassing være den samme, uavhengig av om tjenesten kjøpes internt eller eksternt, fordi optimal internpris er lik ekstern markedspris. Egenproduksjonen er lønnsom hvis serviceavdelingen har et totalt dekningsbidrag som dekker alle driftsbetingede faste kostnader knyttet til avdelingen. Serviceavdelingen bør da organiseres som et profittsenter. Marginalkostnad når serviceavdelingen begrenser produksjonen Det vil skape ytterligere problemer å fasteslå korrekt marginalkostnad hvis serviceavdelingene begrenser aktiviteten i produksjonsavdelingene. I en slik situasjon vil det imidlertid være uhensiktsmessig å organisere serviceavdelingene og produksjonsavdelingene separat, fordi produksjonsbegrensningene ligger i serviceavdelingene. Om serviceavdelingene ikke organiseres som separate enheter er behovet for kostnadsfordeling betraktelig redusert. Anta f. eks. at det er følgende kapasiteter i serviceavdelingene : Kapasitet Avdeling A Avdeling B Avdeling C Enhet kw minutt stk. Kapasitet totalt Bedriften må nå også ta hensyn til disse begrensningene i sin produksjonsplanlegging. Foretaket ønsker å maksimere sitt totale dekningsbidrag : M A X D B Kostnader registreres på aktivitetene Inntektene registreres på produktene Ingen kostnadsfordeling Ingen produktkalkyle Max DB = 0,3Q A 1Q B 0,5Q C 23Q I 10Q II 50Q M + 350Q X + 300Q Y Legg merke til at foretaket ikke behøver å foreta noen form for kostnadsfordeling for å definere sin målsetting om å maksimere totalt dekningsbidrag. Kostnadene registreres på den aktivitet som genererer kostnaden; kostnader for tjenester fra serviceavdelingene angis ved å multiplisere kvanta av tjenestene med de direkte variable kostnadene for tjenestene, kostnader i produksjonsavdelingene angis ved å multiplisere antall timer med timekostnaden i avdelingene, kostnader material angis ved å multiplisere kvanta material med materialkostnaden. Inntektene registreres på den aktivitet som skaper inntekter; mengde produsert multiplisert med salgsprisen. Målsettingsfunksjonen er altså fri for enhver form for kostnadsfordeling og produktkalkyler. 5-14

130 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Når en skal definere begrensningene må man i tillegg til de totale kapasitetene også huske materialbalansene; tilgangen av en ressurs må være minst like stor som forbruket. Materialbalansene : Service A : Produsert mengde A = Forbrukt mengde Q A = 1/50 Q A + 1/10 Q B + 1/5 Q C + 5 Q I + 1 Q II Service B : Produsert mengde B = Forbrukt mengde Q B = 1/10 Q A + 1/30 Q C + 3 Q I + 5 Q II Service C : Produsert mengde C = Forbrukt mengde Q C = 1Q A + 2 Q I + 10/3 Q II Maskintimer : Antall maskintimer = Forbrukt mengde Q I = 3 Q X + 1 Q Y Arbeidstimer : Antall arbeidstimer = Forbrukt mengde Q II = 2 Q X + 3 Q Y Material : Antall enheter = Forbrukt mengde Q M = 3 Q X + 3 Q Y Kapasitetsrestriksjoner : Q A kw Q B minutt Q C stk. Q I maskintimer Q II arbeidstimer Q M stk. Når vi formulerer problemet på standard LP form, dvs. alle variabler er angitt på venstre side av ligningen og bare konstante verdier på høyresiden, får vi et lineært problem som enkelt kan løses i et regneark. 5-15

131 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R En måte å organisere regnearket på er : FIGUR 5-4. LP formulering av produktvalgsproblemet ved beskrankninger i serviceavdelingene. Totalkolonnen er definert som for Totalt DB : multiplikasjon mellom beslutningsvariablene (linje 5, Stk.) og den aktuelle linje (linje 3, DB). (Se formel-linjen over regnearket.) Denne definisjonen kopieres til de øvrige cellene i totalkolonnen. Øvrige tall i regnearket er data til problemet, unntatt verdiene på beslutningsvariablene på linje 5, som beregnes av Solver. Følgende opplysninger er gitt til Solver : FIGUR 5-5. Angivelse av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner. Her har vi angitt målfunksjonen (Target Cell), beslutningsvariablene (Changing Cells) og restriksjonene (Constraints). Trykk på Solve knappen, og få : 5-16

132 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R FIGUR 5-6. Valg av løsningsrapporter. Velg Sensitivity rapporten, trykk OK knappen, og man får følgende rapport : S E N S I T I V I T Y R E P O R T To-delt : Adjustable cells : Sensitivitetsanalyse av beslutningsvariablene. Constraints : Sensitivitetsanalyse av restriksjonene. Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $B$5 Stk Avdeling A ,30 1E+30 1,19 $C$5 Stk Avdeling B ,00 1E+30 2,18 $D$5 Stk Avdeling C ,50 1E+30 0,94 $E$5 Stk Avdeling I ,00 33,83 8,84 $F$5 Stk Avdeling II ,00 1E+30 12,91 $G$5 Stk Råmaterial ,00 1E+30 18,61 $H$5 Stk Produkt X ,00 42,14 20,63 $I$5 Stk Produkt Y ,00 30,95 24,01 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $J$7 A Totalt 0-2, , ,44 Kapasiteter Materialbalanser $J$8 B Totalt 0-1, , ,31 $J$9 C Totalt 0-1, , ,89 $J$10 Avd. I Totalt 0-42, , ,94 $J$11 Avd. II Totalt 0-35, , ,97 $J$12 Material Totalt 0-50, , ,88 $J$14 A Totalt , , ,09 $J$15 B Totalt , E ,03 $J$16 C Totalt , E ,54 $J$17 Avd. I Totalt , E ,94 $J$18 Avd. II Totalt , , ,70 $J$19 Material Totalt , E ,12 TABELL Løsningen av produktvalgsproblemet. Materialbalansene er angitt i linjene 7-12, mens kapasitetene er angitt i linjene For Service A er materialbalansen etter å ha transformert den til standard form : 49/50 Q A 1/10 Q B 1/5 Q C 5 Q I 1 Q II = 0 Skyggeprisen angir endringen i målfunksjonen av å øke høyresiden i restriksjonen med én enhet. En slik økning tilsvarer f. eks. å produsere en enhet for lager. Denne verdien er kr. 2,77; dvs. totalt dekningsbidrag vil bli redusert med kr. 2,77 hvis vi produserer en enhet A for lager (om vi kan tenke oss lagring av kraft). Mar- 5-17

133 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R ginalverdien gjelder pr. enhet for økninger i lageret med inntil stk. A (Allowable Increase). Om vi kunne benytte oss av gammelt lager, ville marginalverdien gjelde for lagerreduksjoner på inntil stk. (Allowable Decrease). Men marginalverdien ville selvsagt også kunne overføres på eksterne kjøp analogt med interne lagerreduksjoner. Marginalverdien på kr. 2,77 ville derfor være maksimal ekstern pris for tjeneste A opp til stk. Analoge tolkinger gjelder for alle materialbalansene; f. eks. kan vi betale inntil kr. 35,71 pr. time for å få utført tjenester tilsvarende en arbeidstime i avdeling II, inntil timer. Maksimale endringer (Allowable Increase/Decrease) for restriksjonene angir endringer av høyresidene (Constraint R.H. Side), slik at skyggeprisene ikke endres. Endringer utenfor de angitte verdier vil altså kunne medføre at skyggeprisene/marginalverdiene endres. I tillegg vil selvsagt optimale verdier for beslutningsvariablene kunne endres når mulighetsområdet endres, selv innenfor de angitte intervall. Maksimale endringer (Allowable Increase/Decrease) for beslutningsvariablene (Adjustable Cells) angir endringer av koeffisientene i målfunksjonen (Objective Coefficient), slik at optimal løsning (Final Value) ikke endres. Endringer i koeffisientene utenfor de angitte maksimale endringer kan føre til at optimal løsning endres. I tillegg vil skyggeprisene endres, selv om koeffisientene endres innefor de angitte intervall. La oss se nærmere på service A (kw). Koeffisienten i målfunksjonen er kr. 0,30. Den kan økes uendelig (1E+30 angir et uendelig stort tall), dvs. det kan bli billigere å produsere A, uten at det påvirker optimal verdi på beslutningsvariablene. Maksimal reduksjon er derimot kr. 1,19; reduseres koeffisienten i målfunksjonen mer, vil det kunne gi andre optimale verdier på beslutningsvariablene. M A R G I N A L - V E R D I E R S E R V I C E - A V D E L I N G E R Skyggeprisene i materialrestriksjonene. Tar hensyn til alternativkostnaden ved bruk av knappe ressurser. Videre ser vi at service A s materialbalanse angir en skyggepris på kr. 2,77. Dette angir f. eks. maksimal pris for A ved eksternt kjøp (utover egenproduserte kvanta). Ved egenproduksjon beregnet vi tidligere marginalkostnaden for tjeneste A til kr. 1,22. At marginalkostnaden for tjeneste A nå er økt til kr. 2,77 skyldes at service A nå utgjør en bindende restriksjon. Restriksjonen for service A har en skyggepris på kr. 1,19 (se TABELL 5-22). Om vi hadde kapasitet til å produsere én enhet mer av tjeneste A, dvs. øke høyresiden fra til , så ville målfunksjonen øke med kr. 1,19. Den økte produksjonen av A ville gjøre det mulig å øke produksjonen av produktene X og Y, og derved øke det totale dekningsbidraget. Skyggeprisen for restriksjonen av totalproduksjonen av service A på kr. 1,19 inngår nå i beregningen av marginalverdien av service A. I tillegg til den direkte variable kostnaden på kr. 0,30 påløper en alternativkostnad på kr. 1,19 for bruk av den knappe ressursen. Om vi beregner marginalkostnaden for service A ved egenproduksjon og tar hensyn til denne alternativkostnaden i tillegg til den direkte kostnaden, kommer vi fram til marginalkostnaden på kr. 2,77. Dessuten ser vi at denne alternativkostnaden også er maksimal reduksjon av koeffisienten i målfunksjonen for service A. Det har imidlertid lite for seg å organisere serviceavdelingene som kostnadssentra og produksjonsavdelingene som profittsentre når det er så stort behov for samkjøring som i dette tilfellet. Man kunne selvsagt tenke seg å bruke de beregnede marginalkostnadene som internpriser som ville lede avdelingene til å tilpasse seg optimalt. 5-18

134 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R Men for å finne disse internprisene må en først utlede optimal tilpassing og skyggeprisene på knappe ressurser. Det minner derfor litt om sirkelresonnering når man så i ettertid skal benytte de beregnede marginalkostnadene som internpriser for å la avdelingene finne optimum på egenhånd. Eksternt kjøp av tjenester ved kapasitetsrestriksjoner. Hvis en i denne situasjonen med kapasitetsrestriksjoner i serviceavdelingene vurderer å legge ned en av serviceavdelingene for å kjøpe tjenesten eksternt, kan følgende framgangsmåte benyttes. (Metoden kan selvsagt også benyttes selv om det ikke er kapasitetsrestriksjoner på serviceavdelingene.) Lag en ny LP modell, der materialbalansene endres til (fjerner avdeling A): Materialbalansene : Service A : Eksternt kjøp A = Forbrukt mengde Q A = 1/10 Q B + 1/5 Q C + 5 Q I + 1 Q II Service B : Produsert mengde B = Forbrukt mengde Q B = 1/30 Q C + 3 Q I + 5 Q II Service C : Produsert mengde C = Forbrukt mengde Q C = 2 Q I + 10/3 Q II Fjern restriksjonen om maksimal produksjon av tjeneste A, men føy i steden til følgende nye krav : Totalt nytt DB gammelt DB sparte faste kostnader i avd. A : P AQ A 1Q B 0,5Q C 23Q I 10Q II 50Q M + 350Q X + 300Q Y FK A Målfunksjonen : Den nye målfunksjonen vil nå være å finne den maksimale enhetsprisen vi kan betale for eksternt kjøp av tjeneste A : Min P A Svaret er : 2,2752 Ved denne prisen vil det nå være optimalt å produsere stk. av både X og Y. I regnearket vil optimal løsning se slik ut : 5-19

135 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R FIGUR 5-7. Max pris eksternt kjøp tjeneste A. FIGUR 5-8. Problemdefinisjonen i Solver. Legg merke til at i dette problemet kan enkelte beslutningsvariabler være negative, slik at vi må presisere hvilke variabler som skal være ikke-negative. På grunn av at både pris og mengde for A er beslutningsvariabler, som multipliseres med hverandre, blir dessuten problemet ikke-lineært. 5-20

136 K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R 5-1

137 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Del 6 Felleskostnader og fellesprodukt Når en produksjonsprosess resulterer i flere produkter samtidig oppstår et kostnadsfordelingsproblem. D et typiske eksemplet på felleskostnader og fellesprodukt er raffinering av råolje. Når et fat råolje raffineres, resulterer raffineringsprosessen i flere produkter samtidig: bensin, olje, tjære og flere kjemikalier. Kostnaden av råoljen og raffineringskostnadene alle kostnadene fram til produktene adskilles er felleskostnader som vanskelig lar seg fordele på ferdigproduktene. Raffineringsprosessen resulterer i flere produkter, en kan ikke bestemme seg for bare å produsere bensin av råoljen (selv om en kan kaste de øvrige produktene). Når en ikke kan bestemme seg for å produsere bare ett produkt men må ta med alle produktene, da står vi altså overfor en problemstilling med fellesprodukt og felleskostnader. Det gjelder også om en til en viss grad kan regulere forholdet mellom de produktene en produserer, en kan f. eks. til en viss grad regulere raffineringsprosessen til å produsere ferdigvarene i andre proporsjoner. F E L L E S - K O S T N A D E R Én prosess resulterer i mer enn ett produkt. Felleskostnadene for en slik prosess tilsvarer kostnadene ved å skaffe til veie og behandle den opprinnelige ressursen inntil de felles produktene blir solgt eller viderebehandlet separat. Felleskostnader har mye til felles med indirekte kostnader som f. eks. avskriving, forsikring, etc. som gjelder hele foretaket. Kostnadene ved drift og vedlikehold av jernbaneskinnene er f. eks. indirekte kostnader for all jernbanetrafikk; men jernbaneselskapet kan selv velge om de vil bruke skinnene til frakt av gods eller passasjerer, eller begge deler, derfor er kostnaden ikke en felleskostnad. Felleskostnader kan aldri fordeles på en økonomisk riktig måte. Heldigvis er det for beslutningsformål heller ikke nødvendig å fordele felleskostnader. I praksis blir felleskostnader fordelt av forskjellige grunner : 1. For verdi/kostnadsestimering i finansregnskapet, og for å tilfredsstille eksterne regler og krav. 2. For å koordinere beslutningene i desentraliserte avdelinger i en bedrift. 6-1

138 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T F O R D E L I N G A V F E L L E S - K O S T N A D E R Marginalkostnad Netto verdi Brutto verdi Fysiske enheter Metoder for kostnadsfordeling av felleskostnader. I praksis fordeles altså felleskostnadene, f. eks. for verdsetting av lagerbeholdninger til finansregnskapet. Det er flere metoder som er i bruk, men felles for alle er at kostnadsfordelingen ikke egner seg som bakgrunnsmateriale for beslutninger. Det finnes ett unntak, en kostnadsfordelingsmetode gir kostnadsfordelinger som egner seg til bruk ved beslutninger; marginalkostnadsmetoden, men metoden benyttes ikke i praksis. Metoder som mest benyttes i praksis er enhetsmetoden og netto realisasjonsverdimetoden. Marginalkostnadsmetoden setter kostnadene for hvert av fellesproduktene lik produktenes marginalinntekter. Ved optimal tilpassing er jo marginalinntektene lik marginalkostnadene, og kostnadsfordelingen baserer seg på dette prinsippet. Netto realisasjonsverdimetoden fordeler felleskostnader som ikke kan henføres direkte til et produkt proporsjonalt med produktets andel av netto realisasjonsverdi totalt for alle produktene fra den samme produksjonsprosessen. Brutto salgsverdimetoden er lik netto realisasjonsverdimetoden men benytter brutto salgsverdi som fordelingsgrunnlag isteden for nettoverdien. Fordeling basert på fysiske enheter er den enkleste og mest vanlige. Her fordeles felleskostnadene likt på antall enheter av ferdigproduktene (stk., kg, energienheter, etc.). Metoden er dessverre også den som minst samsvarer med økonomisk teori og regnskapsprinsipper. Metoden kan føre til at et produkt blir tildelt kostnader som overstiger verdien av produktet. Dette strider bl.a. mot finansregnskapets forsiktighetsprinsipp om at f. eks. lagerverdien er lik det minste av kostnad eller markedsverdi. Eksempel med felleskostnader. For å illustrere problemstillingen med felleskostnader og fellesprodukt kan følgende eksempel benyttes : Et konsern består av to avdelinger : avdeling I og avdeling II. Avdeling I behandler råmaterial A til produktene B og C. Det går med 100 liter A for å produsere 20 liter B og 80 liter C. Produkt A koster kr. 10,- pr. liter. Produksjonsprosessen i avdeling I er dimensjonert for å behandle 100 liter A pr. prosess, og de variable kostnadene pr. prosess er kr. 100,-. Driftsbetingede faste kostnader i avdeling I er kr ,- pr. periode. For å klargjøre produkt B for salg påløper ytterligere kr. 20,- pr. liter B. Bedriften er i en monopolsituasjon for produkt B, og følgende etterspørselsfunksjon er estimert : Q B = P B Q B = antall liter B solgt pr. periode P B = pris pr. liter B. Avdeling II bearbeider produkt C, en prosess som resulterer i 40 liter D og 50 liter E pr. 100 liter C. De variable kostnadene er kr. 200,- pr. prosess i 6-2

139 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T avdeling II, og de driftsbetingede faste kostnadene er kr ,- pr. periode. Produkt E har en markedspris på kr. 100,- pr. liter, og foredlingskostnadene er kr. 25,- pr. liter før salg. Det har vist seg umulig å selge mer enn liter E pr. periode. Produkt D kan erstatte råmaterial A brukt i avdeling I. Følgende figur illustrerer situasjonen : F E L L E S - P R O D U K T Produkt A gir både B og C Produkt C gir både D og E. 100 l A 10,- pr. l Avdeling I VK = 100,- FK = ,- 20 l B 20,- pr. l 80 l C QB = PB 40 l D Avdeling II 100 l C VK = 200,- FK = ,- 50 l E 25,- pr. l PE = 100,- QE l FIGUR 6-1. Produksjonsprosess med felleskostnader og fellesprodukt. Dette problemet kan løses på flere forskjellige måter, men felles for alle metodene er at det ikke gjøres noen form for kostnadsfordeling for å finne optimale kvanta og priser. Om en løser problemet manuelt må man benytte samme metode som ved dynamisk programmering; dele problemet opp i flere trinn, og starte med å løse siste trinn først. En får her to beslutningstrinn, ett trinn for hver avdeling/prosess, og beslutningsvariabelen på hvert trinn blir antall prosesser som skal gjennomføres pr. periode. B E S L U T N I N G S - V A R I A B E L Antall ganger prosess II Enheter tilsvarende én prosess avdelingii 100-litring C 50-litring E 40-litring D En starter altså med siste beslutningstrinn først, dvs. med avdeling II. Her er beslutningsvariabelen antall prosesser i avdelingen, og en må derfor operere med størrelser som 100-litring av produkt C, 50-litring av produkt E og 40-litning av produkt D. Når man skal beregne inntektene i prosessen må en ta hensyn til at man får ikke inntekter fra produkt E for kvanta som overstiger liter, dvs. man får bare inntekter fra E for de /50 = 200 første gangene prosessen kjøres i en periode. Om prosessen i avdeling II kjøres mer enn 200 ganger i perioden er eneste inntekt det som spares ved at produkt D kan erstatte A i prosess I, dvs. kr. 10,- pr. liter D som produseres. Men husk at beslutningsvariabelen er antall prosesser, dvs. man sparer tilsvarende en 40-litning av D, og sparer da 40 liter à kr. 10,- som tilsvarer kr. 400,- pr. prosess. Men for de 200 første gangene prosessen kjøres kommer selvsagt inntektene fra produkt E i tillegg, dvs. en 50-litrning E. Og 50 liter E gir netto 50(100,- 25,-)= kr ,-. I siste beslutningstrinn, avdeling II, har vi altså følgende data pr. prosess: 6-3

140 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T I N T E R N P R I S P R O D U K T D Prises til markedspris Variable kostnader og inntekter Avdeling II Antall prosesser avdeling II Opp til 200 ganger Over 200 ganger Inntekter E: 50 liter à kr. (100-25) 3.750,- 0,- Inntekter D: 40 liter à kr. 10,- 400,- 400,- Totalinntekt pr. prosess : 4.150,- 400,- Kostnader pr. prosess II : 200,- 200,- Nettoinntekt pr. prosess : 3.950,- 200,- TABELL 6-1. Inntekter/kostnader pr. prosess i avdeling II. I beslutningstrinnet foran, dvs. i avdeling I, må vi også huske at enheten for beslutningsvariabelen er antall prosesser i avdelingen. Dvs. vi må bruke enhetene 20-litring produkt B og 80-litrning produkt C. Når det gjelder produkt B, så er det jo egentlig prisen pr. enhet som er beslutningsvariabelen; etterspørselsfunksjonen angir kvantum som en funksjon av prisen. Men her må alt gjøres om til enheter tilsvarende en prosess i avdelingen. Vi må derfor snu funksjonen slik at mengde blir beslutningsvariabelen : E N H E T E R Alle variabler må gjøres om til samme enheter som beslutningsvariablene. Q B = P B P B = 95 1/1000 Q B Her er prisen pr. liter B uttrykt som en funksjon av antall liter B. Prisen på en 20- litring B må koste 20 ganger en én-litring, slik at : P B 20 = 20 P B P B 20 = /50 Q B Men her er prisen på en 20-litring uttrykt som en funksjon av antall én-litre. Én 20-litring tilsvarer 20 én-litre : Q B = 20 Q B 20 P B 20 = /5 Q B 20 Prisen på en 20-litring tilsvarer inntekten i avdeling I fra produkt B. Men det koster kr. 20,- pr. liter B å klargjøre produktet for salg, dvs. kr. 400,- pr. 20-litring. Nettoinntekten fra B er derfor /5 Q B = Nettoinntekt B pr. prosess I : /5 Q B 20 I tillegg får vi inntekter fra produkt C. Inntekten fra produkt C tilsvarer de verdier som produktet genererer i avdeling II. Ettersom det går med 100 liter C pr. prosess i avdeling II må vi dividere nettoinntekten pr. prosess i avdeling II med 100 for å finne inntekten pr. liter C. Men i avdeling I er enheten 80-litrning for produkt C, slik at omregningsfaktoren blir 80/100 pr. prosess i avdeling II. Inntekten fra en 80- litrning C er derfor kr. (80/100) 3.950,- = kr ,-. Men dette er verdien av 80 liter C så lenge prosessen i avdeling II ikke går mer enn 200 ganger. Det tilsvarer liter C pr. gang i prosess II, dvs liter C. Og liter C tilsvarer /80 = 250 ganger i prosess I. For kvanta over 250 ganger i prosess I (dvs. 200 ganger i prosess II) så er inntekten pr. 80 liter C lik : (80/100) 200,- = kr. 160,-. Dermed får vi følgende data pr. prosess I: 6-4

141 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Variable kostnader og inntekter Avdeling I Antall prosesser avdeling I Opp til 250 ganger Over 250 ganger Inntekter B: /5 QB /5 QB 20 Inntekter C: 3.160,- 160,- Totalinntekt pr. prosess : /5 QB /5 QB 20 Kostnader 100 liter A à kr. 10,- 1000,- 1000,- Kostnader pr. prosess I: 100,- 100,- Totalkostnad pr. prosess : 1.100, ,- TABELL 6-2. Inntekter/kostnader pr. prosess I. M A R G I N A L - I N N T E K T Deriverte av totalinntekten Ettersom én 20-litring B (Q B 20 ) tilsvarer én prosess i avdeling I (Q I), kan vi skrive totalinntekten i avdeling I som pris mengde : TR I = ( / 5 Q I) Q I, når Q I 250. Marginalinntekten er den deriverte av totalinntekten : MR I = TR I/ Q I = / 5 Q I Q I 250 MR I = TR I/ Q I = / 5 Q I Q I > 250 O P T I M U M Marginalinntekt = Marginalkostnad Marginalinntekt i avdeling I /5 QI Vi kan nå utlede optimal strategi i avdeling I, og deretter gå ett trinn tilbake i beslutningsprosessen og løse optimal strategi i avdeling II. Optimal tilpassing for avdeling I må være slik at marginalinntekten er lik marginalkostnaden for avdelingen. Marginalkostnaden er enkel å finne, ettersom de variable kostnadene er proporsjonale blir enhetskostnaden pr. prosess og derved marginalkostnaden konstant. Marginalkostnaden er altså kr ,-. Men for å finne marginalinntekten må vi derivere totalinntekten. Marginalkostnad i avdeling I Marginalinntekt i avdeling I /5 QI Q I FIGUR 6-2. Optimal tilpassing i avdeling I. I FIGUR 6-2 ser vi at optimal tilpassing er å kjøre prosessen i avdeling I 700 ganger. 6-5

142 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T D Y N A M I S K P R O G R A M - M E R I N G Dele beslutningen opp i trinn Løse siste trinn først Finne optimal strategi fra første trinn og fram til siste trinn. Vi kan nå gå ett trinn tilbake i løsningsprosessen, til avdeling II. Ettersom vi kjører prosessen i avdeling I 700 ganger får vi i alt = liter C. Dette gir mulighet til å kjøre prosess II i alt /100 = 560 ganger. Ettersom prosess II også gir positiv nettoinntekt selv om den kjøres mer enn 200 ganger, så er det altså lønnsomt å kjøre prosess II i alt 560 ganger. Vi ender da opp med følgende resultat : Resultat ved optimal tilpassing begge avdelinger Inntekter B: 700( /5 700) ,- Avdeling I Kostnad A: , ,- Kostnad prosess I: , ,- Dekningsbidrag avdeling I : , ,- Inntekter E: (100-25) ,- Inntekt D: , ,- Avdeling II Kostnad C: 0,- Kostnad prosess II: , ,- Dekningsbidrag avdeling II : , ,- Totalt dekningsbidrag: ,- Faste kostnader: : ,- Resultat : ,- TABELL 6-3. Samlet resultat av optimal tilpassing. Ingen kostnadsfordeling. Det er her ikke gjort noe forsøk på å fordele felleskostnadene på produktene eller sette noen internpris for produkt C mellom avdelingene. Det er derfor heller ikke beregnet noe avdelingsresultat; isteden er det beregnet et totalt dekningsbidrag som sammenlignes med totale faste kostnader. Vi ser at begge avdelingene samlet er lønnsomme. Det er derfor ikke aktuelt å legge ned avdeling I, ettersom det nødvendigvis også vil medføre nedleggelse av avdeling II, fordi avdelingen ikke lenger får råstoffet C. For å avgjøre om det eventuelt er lønnsomt å legge ned avdeling II må vi beregne optimal tilpassing i avdeling I når produkt C ikke gir inntekter, og se om totalresultatet da blir større enn resultatet fra begge avdelingene; ,-. Vi behøver heller ikke foreta noen fordeling av felleskostnadene i avdeling I for å finne optimal pris på produkt B. Optimal pris på en 20-litring er : P B 20 = /5 Q B 20 = /5 700 = 1.620,- Optimal literpris må da være 1/20 av en 20-litring : P B = P B 20 /20 = 1.620/20 = 81,- 6-6

143 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T G L O B A L T O P T I M U M Må teste alle lokale optimumspunkt For å forsikre oss om at dette er den globale optimale tilpassingen og ikke bare et lokalt optimumspunkt må vi teste optimal tilpassing med bare avdeling I i drift. Da må marginalinntekten fra kun produkt B være lik marginalkostnaden i avdelingen, ettersom vi ikke lenger får inntekter fra produkt C. Dvs /5 Q I = 1.100, som gir Q I = 500. Dekningsbidraget blir ( /5 500) = ,-. Dette dekker ikke de faste kostnadene på kr ,-. Driften av bare avdeling I er derfor ikke lønnsom. Dermed har vi påvist at det globale optimumspunktet er ved produksjon i både avdeling I og II. Alternativ problemformulering Dette problemet lar seg forholdsvis lett løse manuelt, fordi det er relativt lite og oversiktlig, se FIGUR 6-1. Men problemene kan fort bli uhåndterlig for manuell løsning. Vi skal derfor se hvordan problemet kan formuleres slik at det egner seg for løsning i regneark eller spesialprogram for optimering. Etter å ha satt seg grundig inn i problemstillingen, må en forsøke å finne beslutningsvariablene. Det lønner seg å følge produksjonsprosessen; fra innkjøp av råmaterial, via produksjonsprosessene, og til salg av ferdigprodukter. F IGUR 6-3. Eksempel på formulering av et problem med felleskostnader i regneark. 6-7

144 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Her er beslutningsvariablene listet opp i kolonneoverskriftene (med unntak av Totalt -kolonnen og Kapasitet -kolonnen). Det er Mengde (linje 7) som angir verdien på beslutningsvariablene, med unntak av Salg B, der er Salgspris beslutningsvariabelen. Mengde for Salg B er gitt av etterspørselsfunksjonen (se formel-linjen for J7). FIGUR 6-4. Målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner angitt i Solver. Målfunksjonen : I N G E N K O S T N A D S - F O R D E L I N G Ingen produktkalkyler eller kostnadsfordeling i målfunksjonen Max DB = 10 Q A 100 Q I 200 Q II + (P B 20)Q B S + (100 25)Q E S Etterspørselsfunksjonen : Q B S = P B (angitt via definisjonen av Mengde for Salg B [J7]) Materialbalanser avdeling I : Q A + Q D = 100Q I (tilgang av A og D må dekke behovet i prosess I) 20Q I = Q B P (produksjon av B tilsvarer 20 liter pr. prosess I) 80Q I = Q C I (produksjon av C tilsvarer 80 liter pr. prosess I) Materialbalanse mellom avdeling I og II : Q C I Q C II (produksjon i avd. I må dekke behovet i avd. II) M A T E R I A L - B A L A N S E N E Definerer produksjonsprosessene Materialbalanse i avdeling II : II Q C = 100Q II (bruk av C i prosess II må være lik behovet) 40Q II = Q D (produksjon av D tilsvarer 40 liter pr. prosess II) 50Q II = Q E P (produksjon av E tilsvarer 50 liter pr. prosess II) Materialbalanse produksjon og salg : Q B P Q B S Q E P Q E S (produksjon av B må minst tilsvare salget) (produksjon av E må minst tilsvare salget) 6-8

145 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Q E S (maksimalt salg av produkt E) I N T E R N P R I S B E R G N E S A U - T O M A T I S K Marginalverdi for produkt C Markedsverdi for produkt D Legg merke til at vi i denne formuleringen ikke har laget noen som helst form for kostnadsfordeling eller produktkalkyler, og at vi heller ikke har gjort noen form for omregning av enheter. Kostnadene er ført direkte på de beslutningsvariabler der kostnader oppstår, og inntekter er angitt for de variabler som genererer inntekter. Materialbalansene sørger for at alle kostnadene i produksjonen kommer med, og tar også av seg alle enhetsomregninger. Denne formuleringen gjør det også enkelt å legge inn eventuelle produksjonsbegrensinger. Problemet kan formuleres mer kompakt; antall beslutningsvariabler kan reduseres (ned til 4), og antall restriksjoner kan også reduseres. Poenget her er imidlertid ikke å lage en så kompakt og løsningseffektiv formulering som mulig (et så lite problem setter ingen programvare på noen alvorlig prøve), men å vise hvordan problemet bør struktureres. Når problemet formuleres for bruk i programvare krever enkelte program at problemet formuleres på standard form, dvs. at alle variabler er på venstre side av ligningen, og kun konstanter på høyresiden. (Solver i Excel krever ikke dette, men det gir problemet en mer oversiktlig struktur som letter bruken av Solver.) Materialbalansen for produkt A får da formen : Q A 100Q I + Q D = 0 (Se linje 10 i regnearket i F IGUR 6-3. Der er koeffisientene i ligningen angitt.) Venstre side av denne restriksjonen er beregnet i Totalt kolonnen (som produktsummen av linjen med koeffisientene [linje 10] og linjen for Mengde [linje 7]). Høyresiden er angitt i Solver, enten som en konstant, eller som en referanse til regnearket. (Referansen behøver ikke være en konstant, det kan også være til en celle som er en funksjon av en beslutningsvariabel.) Tilsvarende omformulering gjelder de øvrige restriksjonene. I K K E - L I N E - Æ R E P R O B L E M Vanskelig å løse Lokale optimumspunkt Snever sensitivitetsanalyse Vel så nyttig som å finne optimale verdier på beslutningsvariablene er det å vite skyggeprisene på restriksjonene. Dette problemet er ikke-lineært på grunn av etterspørselsfunksjonen av produkt B, inntekten fra produkt B er ikke en lineær funksjon av pris og mengde. Ikke-lineære problemer er adskillig vanskeligere å løse enn lineære problem, og vi får heller ikke så detaljert sensitivitetsanalyse av løsningen. Når problemet er ikke-lineært kan det være mange lokale ekstremalpunkt, og en må søke gjennom alle disse for å avgjøre hvilket punkt som er det globale optimumspunkt. Sensitivitetsanalysen blir ikke så omfattende, fordi skyggeprisene nå er marginalverdier i ordets rette forstand, de gjelder bare for små endringer av høyresidene. En fullstendig problemformulering kunne også ta hensyn til de faste kostnadene i avdelingene, f. eks. ved bruk av binær -variabler. Men det ville gjøre problemet enda mer komplekst og vanskelig å løse, i tillegg til at vi da ikke får noen form for sensitivitetsanalyse. Det kan derfor i mange tilfeller være gode grunner for å løse problemet uten faste kostnader, og først ta hensyn til faste kostnadene i ettertid. Følgende sensitivitetsanalyse får vi fra Solver i dette tilfellet: 6-9

146 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Adjustable Cells Final Reduced Cell Name Value Gradient $J$4 Salgspris Salg B 81 0 $B$7 Mengde Kjøp A $C$7 Mengde Prosess I $D$7 Mengde Produksjon B $E$7 Mengde Produksjon C $F$7 Mengde Bruk C $G$7 Mengde Prosess II $H$7 Mengde Produksjon D $I$7 Mengde Produksjon E $K$7 Mengde Salg E S K Y G G E P R I S Kan brukes ved fordeling av felleskostnader Constraints Final Lagrange Cell Name Value Multiplier $L$10 A Totalt Materialbalanser 0-10 $L$11 B Totalt i 0-47 $L$12 C Totalt Avdeling I 0-2 $L$18 C Totalt Materialbalanser 0-2 $L$19 D Totalt i 0-10 $L$20 E Totalt Avdeling II 0 0 $L$15 C Totalt 0-2 $L$23 B Totalt Tilgang produksjon i forhold til 0-47 $L$24 E Totalt bruk eller salg $L$27 E Totalt Salgsrestriksjon TABELL 6-4. Skyggepriser (Lagrange Multiplier) for ikke-lineært problem med felleskostnader. Disse marginalverdiene (Lagrange Multiplier) viser skyggeprisene på restriksjonene. Første restriksjon gjelder råstoffet A, og har en skyggepris på 10, som er prisen pr. stk. A. Skyggeprisen angir endringen i målfunksjonen av å øke høyresiden av restriksjonen med én enhet. En slik økning kan f. eks. være at vi skal kjøpe inn én enhet mer av A enn det vi bruker; det vil i så fall redusere totalt dekningsbidrag med. Restriksjonen for produkt B har tilsvarende fortolkning; øker vi høyresiden av restriksjonen med én enhet, f. eks. at vi har som restriksjon at vi skal produsere én enhet mer enn det vi selger, så vil totalt dekningsbidrag bli redusert med 47. Motsatt betyr det at hvis vi kunne selge én enhet mer enn det vi produserer (f. eks. ved å selge fra lager), så vil totalt dekningsbidrag øke med +47. For produkt C ser vi at skyggeprisen er 2, dvs. å produsere én enhet mer i avdeling I enn hva vi kan bruke i avdeling II vil redusere totalt dekningsbidrag med 2. Materialbalansene for produkt E har en skyggepris på 0, dvs. det har f. eks. 0 verdi å ha produktet på lager. Det skyldes at vi produserer mer enn det vi kan selge (en overproduksjon på stk. E), og lager har derfor 0 verdi. Derimot ser vi at om vi kunne øke maksimalt salg av produkt E utover , så vil totalt DB øke med 75. F. eks. er en markedsføringskampanje for E verdt kr. 75,- pr. E ekstra solgt.. Disse skyggeprisene fra sensitivitetsanalysen kan vi benytte i kostnadsfordelingen av felleskostnadene. 6-10

147 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Fordeling av felleskostnader Vi har sett at vi trenger ikke å fordele felleskostnadene på ferdigproduktene, hverken for å finne optimale produksjonskvanta eller optimale priser. Om vi likevel må fordele felleskostnadene, f. eks. for å fastsette verdien på lagerbeholdninger, kan vi velge blant flere alternative metoder. Fordeling etter marginalkostnadsmetoden. Her fordeles felleskostnadene etter produktenes marginalkostnader. Ettersom marginalkostnadene er ukjente fordi vi ikke vet kostnadene, brukes marginalinntektene isteden, siden marginalkostnader og marginalinntekter er like i optimum. Vi bruker i dette tilfellet skyggeprisene for materialbalansene fra sensitivitetsanalysen som marginalinntekter. Avdeling I Avdeling II Felleskostnader Material A+D: ( ) 10, ,- Prosess I: , , ,- Kostnadsfordeling Produkt B: , ,- Produkt C: , , ,- Felleskostnader Produkt C: , ,- Prosess II: , , ,- Kostnadsfordeling Produkt D: , ,- Produkt E: ,- 0, ,- TABELL 6-5. Variable felleskostnader fordelt etter marginalkostnadsmetoden. M A R G I N A L - K O S T N A D S - M E T O D E N Fordeler kun variable kostnader Skjev fordeling av resultatet mellom avdelingene Gir riktige internpriser Gir riktige produktkalkyler Marginalkostnadsmetoden kan bare fordele de variable felleskostnadene. For avdeling I består disse av råmaterialkostnader og prosesskostnader, i alt kr ,- som ikke kan henføres direkte på sluttproduktene. Men om vi bruker skyggeprisene og belaster produkt B med kr. 47,- og produkt C med kr. 2,- pr. stk. ser vi at vi får fordelt samtlige variable felleskostnader i avdelingen. Metoden angir også internprisen for produkt C, og vi kan sette opp følgende resultatfordeling : Avdeling I Avdeling II Produkt B: ( ) ,- Produkt C: (2 2) 0,- Totalt dekningsbidrag : ,- Faste kostnader: ,- Resultat avdeling I , ,- Produkt D: (10 10) 0,- Produkt E: ( ) ,- Totalt dekningsbidrag : ,- Faste kostnader: ,- Resultat avdeling II , ,- Resultat totalt ,- TABELL 6-6. Resultatfordeling mellom avdelingene ved marginalkostnadsmetoden. 6-11

148 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Som vi ser har marginalkostnadsmetoden ved kostnadsfordeling av felleskostnadene gitt korrekt totalresultat, men fordelingen av resultatet på avdelingene er skjevt ; avdeling II går med et stort resultat takket være en lav internpris på produkt C, mens avdeling I av samme grunn viser et underskudd. Det er imidlertid denne internprisen som må benyttes hvis avdelingene skal komme fram til optimale kvanta og priser hver for seg. Hvis avdelingene hver for seg kan bestemme optimale kvanta (og priser for produkt B), så vil en annen internpris medføre at tilpassingen ikke blir slik at bedriften samlet får størst mulig resultat. Fordeling etter netto realisasjonsverdimetoden Her fordeles felleskostnadene proporsjonalt med produktenes andel av total netto realisasjonsverdi. Netto realisasjonsverdi Avdeling I Kr. % B : (81 20) ,- 60,31% C: [56.000/100] ( ) (100 25) ,- 39,69% TABELL 6-7. Netto realisasjonsverdi avdeling I. Total netto realisasjonsverdi : ,- 100,00% N E T T O R E A L I S A - S J O N S V E R D I - M E T O D E N Fordeler felleskostnadene Netto realisasjonsverdi for produkt B er altså kr ,- og utgjør 60,31% av total netto realisasjonsverdi. Produkt B vil derfor bli belastet med 60,31% av felleskostnadene vi ikke har kunnet henføre på noe produkt på annen måte. Tilsvarende er netto realisasjonsverdi for produkt C kr ,- (fra produkt D og E i avdeling II, minus prosesskostnadene og faste kostnader i avdelingen), og det utgjør 39,69% av total netto realisasjonsverdi. Produkt C vil derfor bli belastet 39,69% av felleskostnadene. Felleskostnader Avdeling I Kr. Material A+D: ( ) 10, ,- Prosess I: , ,- Faste kostnader : ,- Totale felleskostnader avdeling I : ,- TABELL 6-8. Totale felleskostnader avdeling I. Felleskostnader er alle kostnadene som ikke kan henføres til et bestemt sluttprodukt. proporsjonalt med netto realisasjonsverdi Fordeler også faste kostnader Tar utgangspunkt i en gitt produksjonstilpassing Kan ikke benyttes til prissetting og produksjonsplanlegging Fordelte felleskostnader avdeling I % Kr. Liter Kr./liter Produkt B: 60,31% , ,94 Produkt C: 39,69% , ,23 100,00% ,- TABELL 6-9. Totale felleskostnader avdeling I fordelt etter netto realisasjonsverdimetoden. Vi ser at produkt B blir belastet med kr ,- eller 60,31% av felleskostnadene, og det utgjør kr. 43,94 pr. liter B. Tilsvarende blir C belastet med kr ,- eller 39,69% av felleskostnadene, som utgjør kr. 7,23 pr. liter C. Legg merke til at denne kostnadsfordelingsmetoden tar utgangspunkt i en gitt produksjonstilpassing, forhåpentligvis den optimale. Metoden kan altså ikke benyttes til å finne optimal produksjonstilpassing og prissetting. Om vi foretar tilsvarende kostnadsfordeling for avdeling II får vi : 6-12

149 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Netto realisasjonsverdi Avdeling II Kr. % TABELL Netto realisasjonsverdi avdeling II. D : , ,- 23,00% E: (100 25) ,- 77,00% Total netto realisasjonsverdi : ,- 100,00% Felleskostnader Avdeling II Kr. Material C: ,- Prosess II: , ,- Faste kostnader : ,- Totale felleskostnader avdeling II : ,- TABELL Totale felleskostnader avdeling II. Materialkostnaden for produkt C tilsvarer fordelte felleskostnader på produktet fra avdeling I. Fordelte felleskostnader avdeling II % Kr. Liter Kr./liter Produkt D: 23,00% , ,39 Produkt E: 77,00% , ,46 100,00% ,- TABELL Totale felleskostnader avdeling II fordelt etter netto realisasjonsverdimetoden. Vi får her et dilemma når vi skal beregne de fordelte felleskostnadene pr. liter for produkt E. Vi har produsert liter men kan bare selge liter, resten må kastes eller destrueres. Om vi velger å fordele kostnaden på kun det antall som er solgt, blir fordelte felleskostnader pr. liter E kr. 62,90 isteden for kr. 22,46. R E S U L T A T - F O R D E L I N G Må baseres på mengder solgt E Inntekter internleveranser C ikke de samme som benyttet ved kostnadsfordelingen Om vi nå foretar en lønnsomhetsberegning av avdelingene basert på kostnadsfordelingene etter netto realisasjonsverdimetoden, får vi : Avdeling I Avdeling II Produkt B: ( ,94) ,- Produkt C: (7,23 7,23) 0,- Resultat avdeling I , ,- Produkt D: (10 8,39) ,- Produkt E: ( ,90) ,- Resultat avdeling II , ,- Resultat totalt ,- TABELL Resultatfordeling mellom avdelingene ved netto realisasjonsverdimetoden. For at denne metoden skal gi et korrekt totalresultat, må vi beregne inntekter for produkt C forskjellig fra de vi har lagt til grunn i TABELL 6-7. Netto realisasjonsverdi avdeling I. Der beregnet vi verdien av produkt C til å være kr ,- eller kr. 10,04 pr. liter. Her er verdien satt lik den fordelte felleskostnaden som produktet blir belastet med (kr. 7,23), som benyttes som internpris for produktet. Om vi er konsekvente og benytter samme inntekter når vi beregner resultatfordelingen mellom avdelingene som når vi beregner kostnadsfordelingen innad i avdelingene, kommer vi fram til galt totalresultat. Kostnadsfordeling basert på fysiske enheter Om vi foretar kostnadsfordelingen etter antall liter av ferdigproduktene som er produsert (eller solgt), kommer vi fram til følgende kostnadsfordeling : 6-13

150 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Felleskostnader avdeling I : kr ,- (Se TABELL 6-8.) Antall liter produsert avdeling I : B C = liter Felleskostnad pr. liter produsert i avdeling I : kr / = kr. 14,57 Felleskostnader avdeling II : , = kr ,- Antall liter produsert avdeling II : D E (solgt) = liter Felleskostnad pr. liter solgt i avdeling II : kr / = kr. 37,90 Vi får dermed følgende resultatfordeling basert på kostnadsfordeling etter fysiske enheter : Produkt B: ( ,57) ,- Avdeling I Avdeling II Produkt C: (14,57 14,57) 0,- Resultat avdeling I , ,- Produkt D: (10 37,90) ,- Produkt E: ( ,90) ,- Resultat avdeling II , ,- Resultat totalt ,- TABELL Resultatfordeling mellom avdelingene ved kostnadsfordeling etter fysiske enheter. Om vi sammenligner resultatfordelingen på avdelingene og produktene etter de tre alternative kostnadsfordelingsmetodene, ser vi at marginalkostnadsmetoden gir et lite underskudd til avdeling I, netto realisasjonsmetoden fordeler overskuddet nesten jevnt på avdelingene, mens enhetsmetoden gir et stort underskudd for avdeling II. Vi har tidligere argumentert for at det ikke er aktuelt å legge ned avdeling I så lenge totalresultatet er positivt, ettersom en slik nedleggelser innebærer nedlegging av begge avdelingene. Marginalkostnadsmetoden som gir et lite underskudd til avdeling I vil derfor neppe forlede noen til å legge ned avdelingen av den grunn. Derimot ser vi at enhetsmetoden gir et stort underskudd til avdeling II, og det kan villede ledelsen til å legge ned avdeling II. Vi har imidlertid vist at optimal tilpassing med bare avdeling I gir et dårligere resultat enn med begge avdelingene i drift. Om vi ser på resultatfordelingen på produktene etter disse tre alternative kostnadsfordelingsmetodene, ser vi at marginalkostnadsmetoden gir null eller et positivt resultat for alle produktene. Det vil også netto realisasjonsverdimetoden gjøre. Men vi ser at marginalkostnadsmetoden gir null i resultat for alle internleveranser, enten de skjer til internprisen (produkt C) eller til markedsprisen (produkt D). Netto realisasjonsverdimetoden viser imidlertid et overskudd på det produktet som leveres internt til markedspris. Det er ikke spesielt logisk; når internleveransen foregår til markedspris har vi hverken tjent eller spart på internleveransen (i forhold til å kjøpe eksternt). Enhetsmetoden viser et enormt underskudd på disse leveransene av D. 6-14

151 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Fordeling av faste kostnader Marginalkostnadsmetoden fordeler ikke faste kostnader på produktene, og derved heller ikke mellom avdelingene via internprisen, slik som netto realisasjonsverdimetoden og enhetsmetoden gjør. Det er for såvidt også korrekt, ettersom en fordeling pr. enhet på produktene omgjør kostnaden til en variabel kostnad. Vi får da også problemer med over/underdekning hvis aktivitetsnivået endres. F O R D E L I N G F A S T E K O S T N A D E R Fast beløp Ikke manipulerbart Kostnad for reservasjon av kapasitet Fordeler resultatet mellom avdelingene Men å la være å fordele de faste kostnadene skaper en vilkårlig fordeling av totalresultatet mellom avdelingene. Den lave internprisen som marginalkostnadsmetoden setter på produkt C tar ikke hensyn til de høye faste kostnadene i avdeling I. For at avdeling II skal kunne kjøpe C til denne lave prisen kan en argumentere for at de da må betale en reservasjonskostnad; tilsvarende sin andel av bruken av kapasiteten i avdeling I. Vi betrakter da de faste kostnadene som en kapasitetskostnad, og brukerne reserverer en andel av kapasiteten mot å betale en tilsvarende andel av de faste kapasitetskostnadene. Ved fellesprodukter blir det umulig å angi hvor stor andel av kapasiteten de forskjellig produktene legger beslag på, ettersom flere produkter kan produseres samtidig med samme kapasitet. En kan ta utgangspunkt i produksjonskvanta; 20/100 B og 80/100 C (som vil tilsvare enhetsmetoden) slik at C blir belastet med 80% av de faste kostnadene i avdeling I. Alternativt kan en argumentere for at kapasiteten gir opphav til 2 fellesprodukt, og at de faste kostnadene derfor deles med 1/2 på hver. Eller man kan fordele de faste kostnadene proporsjonalt med den omsetningsverdi kapasiteten genererer. Her får vi imidlertid problemer med at omsetningsverdien er manipulerbar, slik at fordelingen av faste kostnader ikke lenger blir fast. Det er viktig at faste kostnader oppfattes som faste, ellers kan det lede til gale beslutninger. Det er også viktig at kostnadsfordelingen ikke er manipulerbar av avdelingslederne. Fordeling faste kostnader Avdeling I Produksjonsforhold Antall produkter Produkt B: 20/ ,- 1/ ,- Produkt C: 80/ ,- 1/ , , ,- TABELL Fordeling av faste kostnader avdeling I, basert på andel av kapasiteten. Om vi fordeler de faste kostnadene på produktene, slik at avdeling II må betale den faste andelen som tilfaller produkt C som en slags reservasjonskostnad mot å få kjøpe produkt C til den lave marginalkostnaden, vil vi rette opp problemet med at marginalkostnadsmetoden gir en skjev resultatfordeling mellom avdelingene. Om vi f. eks. fordeler de faste kostnadene basert på produksjonsforholdene, må avdeling II betale kr ,- i faste kostnader for å få kjøpe produkt C. Dermed vil overskuddet i avdelingen bli redusert med samme beløp, mens resultatet i avdeling I øker tilsvarende. Vi får da følgende resultatfordeling : Avdeling I: kr ,- + kr ,- = kr ,-. Avdeling II: kr ,- kr ,- = kr ,-. Vi har nå fått en fordeling av totalresultatet som bedre harmonerer med en tradisjonell "rettferdighetsoppfatning", samtidig som vi har fordelt de faste kostnadene som faste og ikke som variable. 6-15

152 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Prissetting og produktvalg av fellesprodukt Fellesprodukter skaper en del tillempingsproblemer når vi skal analysere ellers enkle beslutningssituasjoner. Vi skal igjen ta utgangspunkt i et enkelt eksempel, og analysere forskjellige beslutningssituasjoner. En kjemisk industribedrift bearbeider et råstoff Y i en produksjonsprosess, til tre produkter; A, B og C. Utbytteforholdet er konstant, og slik at f. eks. 10 enheter Y bearbeidet i produksjonsprosessen gir 5 enheter A, 3 enheter B og 2 enheter C. Dette kan illustreres slik : 10 Y Produksjonsprosess 5 A 3 B 2 C Produkt A, B og C kan bearbeides til halvfabrikata, kalt A 1, B 1 og C 1. Disse halvfabrikataene kan enten selges eller videreforedles, til hhv. A 2, B 2 og C 2. Følgende tabell viser salgspriser og foredlingskostnader samt tidsforbruk og kapasiteter : RÅMATERIAL HALVFABRIKATA FOREDLET PRODUKT Y A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 Salgspris 5,- 10,- 15,- 10,- 15,- 24,60 Variable kostnader 1) 5,- 1,- 2,- 3,- 4,- 6,- 8,- 1) Råmaterial Y koster Kr. 4,- pr. enhet, i tillegg påløper bearbeidingskostnader på kr. 1,- pr. enhet Y. For de øvrige produktene utgjør de variable kostnadene bearbeidingskostnader. F.eks. koster det Kr. 4,- pr. enhet å videreforedle A 1 til A 2. Faste kostnader utgjør Kr ,- pr. periode. De faste kostnadene er driftsbetingede. V I D E R E - F O R E D L I N G Lønnsomt hvis : netto økning i salgsverdi større enn netto økte foredlingskostnader Trenger ingen fordeling av felleskostnader Forutsetter INGEN kapasitetsrestriksjoner En vanlig problemstilling er å avgjøre hvorvidt det lønner seg å foredle produktene fra halvfabrikata til ferdigvarer. F. eks. koster det kr. 1,- å bearbeide produkt A til halvfabrikatet A 1, som kan selges for kr. 5,-. Imidlertid kan A 1 bearbeides ytterligere til produktet A 2, til en merkostnad på kr. 4,-. Produktet A 2 kan selges for kr. 10,-. Merinntekten av videreforedlingen er endringen i salgsinntekten ved å selge A 2 isteden for A 1 : Merinntekt av videreforedling : Salgspris A 2 salgspris A 1 : kr. 10 kr. 5 = 5,- Merkostnad ved videreforedling : Foredlingskostnad A 2 : = 4,- Nettoverdi ved videreforedling av A 1 til A 2 : = 1,- Det er derfor mer lønnsomt å selge produkt A som A 2 framfor A 1. Det samme ser vi er tilfellet med produkt C, en tjener netto [(24,6 15) 8] = kr. 1,60 pr. enhet mer ved å videreforedle produkt C 1 til C 2 framfor å selge produktet som C 1. Derimot er det ikke lønnsomt å videreforedle produkt B fra B 1 til B 2, ettersom det gir en negativ merinntekt på [(15 10) 6] = kr. 1,-. Bedriften bør altså videreforedle produktene A og C til ferdigvarer, men selge produkt B som halvfabrikat. 6-16

153 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Hvis det er produksjonsbegrensinger er analysen foran ufullstendig. Anta f.eks. at bearbeidingen av halvfabrikata skjer via en felles produksjonsressurs, eksempelvis begrenset av tilgjengelig arbeidstid. Anta at følgende tidsforbruk gjelder: A2 B2 C2 Tidsforbruk i timer TABELL Tidsforbruk videreforedling av fellesprodukter. É N K N A P P F A K T O R : Bruk ressursen til å produsere kun ETT produkt Med kun én knapp faktor vil det lønne seg å produsere mest av det produktet som gir størst bidrag pr. knapp faktor : Bidrag pr. knapp faktor A2 B2 C2 Merinntekt videreforedling 1,00 1,00 1,60 TABELL Bidrag pr. knapp faktor videreforedlet produkter. Tidsforbruk i timer DB/t 2 0,50 1 1,00 3 0,53 Vi har fastslått at det ikke er lønnsomt å videreforedle produkt B fra B 1 til B 2. Valget står derfor bare mellom A 2 og C 2. Vi bør kun videreforedle produkt C 2 i dette tilfellet, da vil vi utnytte den knappe ressursen best mulig. For en gitt mengde bearbeidet råstoff Y videreforedler vi kun produkt C 2, inntil all foredlingstid er brukt opp. Hvis vi har foredlet alt C tilgjengelig benyttes eventuell resterende bearbeidingstid til å videreforedle A 1 til A 2. Hvis den samme knappe faktoren også benyttes til å bearbeide den felles råvaren Y blir problemet imidlertid ytterligere komplisert. Da er det nemlig ikke lenger sikkert at det er lønnsomt å videreforedle halvfabrikataene. Anta at det også går med 3 timer til å bearbeide Y til produktene A, B og C : Y A2 B2 C2 Tidsforbruk i timer TABELL Tidsforbruk bearbeiding av råmaterial og videreforedling halvfabrikata. Nå vil en videreforedling av produkt C til C 2 medføre at vi må redusere produksjonen av råmaterial Y, og dermed få mindre av produktene A, B og C. Vi må nå vurdere om en time skal benyttes til å bearbeide bare Y (som gir flere enheter av A, B og C) eller om vi skal benytte en bearbeidingstime til både Y og C 2. Om vi benytter en time til å produsere bare Y får vi : 3Y = 1 time Y = 1 / 3 (Vi produserer 1 / 3 Y pr. time) Benytter vi timen til å foredle både Y og C 2 får vi : 3Y + 3C 2 = 1 time 10Y gir 2 C 2 / 10Y = C 3Y + 3( 2 / 10)Y = 1 Y = 10 / 36 (Vi produserer 10 / 36 Y pr. time) Vi må så sammenligne dekningsbidraget pr. time av å kun foredle Y til fellesproduktene A, B og C uten videreforedling med dekningsbidraget pr. time ved å både foredle Y og C

154 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T V I D E R E - F O R E D L I N G B R U K E R S A M M E R E S S U R S S O M F E L L E S - R Å V A R E N Ikke uten videre lønnsomt å bruke ressursen på ellers lønnsom videreforedling DB pr. time ved bare å foredle Y : DB Y = 1 / 3{ 5 / 10A / 10B / 10C 1 Y} = 1 / 3{ 5 / 10(5 1)+ 3 / 10(10 2) + 2 / 10(15 3) 5} = 18 / 30 = 0,60 pr. time DB pr. time ved å foredle både Y og C 2 : DB Y&C2 = 10 / 36{ 5 / 10A / 10B / 10C 2 Y } = 10 / 36{ 5 / 10(5 1)+ 3 / 10(10 2) + 2 / 10([24,6 8] 3) 5}= 212 / 360 0,59 pr. time Når tidsforbruket i videreforedlingen reduserer foredlingstiden tilgjengelig til råmaterialet er det ikke lenger bestandig optimalt å videreforedle produkter som uten produksjonsbegrensinger er lønnsomme å videreforedle. Vi ser at vi i dette tilfellet tjener mer pr. knapp faktor ved kun å foredle råmaterial Y til halvfabrikata. Om det i tillegg er begrensinger på bearbeidingen av fellesråvaren Y, må vi tillempe analysen ytterligere. Anta f. eks. at det bare er tilgjengelig enheter av råmaterial Y pr. periode, og at total tilgjengelig arbeidstid er timer pr. periode. Vi vil her bearbeide så mye av Y som mulig, altså all tilgjengelig mengde av råmaterialet. Total tid som går med til å bearbeide Y er = timer. Vi har da = timer igjen. Av Y får vi : A = ( 5 / 10) = B = ( 3 / 10) = C = ( 2 / 10) = Om vi benytter resterende tid "til overs" til å videreforedle C 1 til C 2 trenger vi i alt = timer. Vi har da igjen = timer som vi kan benytte til å videreforedle A 1 til A 2. Vi kan da videreforedle i alt /2 = stk. A 1 til A 2. Resten av A : = stk. selges som A 1. Dermed får vi følgende optimale produksjonsplan : RÅMATERIAL HALVFABRIKATA FOREDLET PRODUKT Y A1 B1 C1 A2 B2 C2 Mengde TABELL Optimale mengder ved knapp bearbeidingstid og knapp materialtilgang. P R I S F A S T S E T - T I N G Optimal pris der marginalinntekt er lik marginalkostnad Hvis vi må bestemme prisen på et fellesprodukt, f. eks. hvis prisen på produkt C 2 ikke nødvendigvis er lik kr. 24,60 pr. enhet men kan bestemmes av bedriften, blir bildet ytterligere komplisert. Hvis f. eks. etterspørselsfunksjonen er estimert til å være slik : qc p 2 C ; der q er mengde pr. periode og p er pris pr. enhet av 2 produkt C 2. Optimal pris er den som gir likhet mellom marginalinntekten og marginalkostnaden. Marginalinntekten er den deriverte av totalinntekten, og totalinntekten er lik produktet av pris og mengde. Selv om prisen er den egentlige beslutningsvariabel i dette tilfellet, blir analysen forenklet om vi fortsatt betrakter mengden som beslutningsvariabel. Vi må da "snu" funksjonen, slik at mengde blir beslutnings- eller høyreside -variabel: 6-18

155 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T q p p 40 qc 1 C2 C2 C2 500 Vi får da følgende totalinntekt : 2 TR p q 1 C2 C ( 40 ) 2 C qc 2 q C2 Marginalinntekten blir da : TRC2 1 2 q C MR C 40 qc 2 M A R G I N A L - K O S T N A D E N Må ta hensyn til alternativkostnaden av å foredle C 2 Varierer med kvantum C 2 Å finne marginalkostnaden blir en litt mer intrikat øvelse. Vi trenger imidlertid ingen form for kostnadsfordeling av felleskostnadene for råmaterial Y og bearbeidingen av dette råmaterialet. Så lenge videreforedlingen av C 2 kan skje uten å fortrenge produksjonstid til Y og A 2 er alternativkostnaden ved å videreforedle C 2 lik videreforedlingskostnadene på kr. 8,- pluss tapt inntekt av ikke å selge C som C 1 : kr. 15,-. Marginalkostnaden blir da kr. (8,-+15,-) = kr. 23,-. Denne marginalkostnaden gjelder for kvanta videreforedlet C 2 som ikke reduserer foredlingskapasiteten til Y og A 2. For å illustrere dette skal vi nå anta at antall timer tilgjengelig er i alt timer. Ledig tid for C 2 etter å ha foredlet av Y og av A 2 blir dermed : = timer. Vi kan da foredle i alt /3 = stk. C 2 uten at det vil gå på bekostning av Y eller A 2. De første enhetene av C 2 har derfor en marginalkostnad på kr. 23,-. De neste enhetene av C 2 som blir foredlet vil nå gå på bekostning av A 2. Marginalkostnaden blir da lik kr. 23,- pluss tapt merinntekt av å måtte selge A som A 1 isteden for videreforedlet som A 2 : [(10 5) 4] = 1,- pr. enhet A 2. Da A 2 bruker 2 timer mens C 2 bruker 3 timer er tapet 3 / 2 A 2 pr. C 2, dvs. kr.(23 + ( 3 / 2) 1) = kr. 24,50. Om vi foredler så mange enheter av C 2 at det også reduserer antall timer tilgjengelig til å foredle Y, må alternativkostnaden i tillegg til kr. 23,- ta hensyn til tapt dekningsbidrag pr. time : DB Y = 1 / 3{ 5 / 10A / 10B / 10C 1 Y} = 1 / 3{ 5 / 10(5 1)+ 3 / 10(10 2) + 2 / 10(15 3) 5} = 18 / 30 = 0,60 pr. time Alternativkostnaden blir da lik kr. (23,-+ 3 timer à kr. 0,60) = kr. 24,80 Alternativkostnaden på kr. 23,- gjelder for de første enhetene av C 2. Alternativkostnaden på kr. 24,50 gjelder for fortrengelsen av A 2, dvs. antall C 2 utover stk. og i tillegg i alt stk. A 2 à 2 timer = timer. Det tilsvarer /3 = enheter C 2. Men vi kan maksimalt foredle C 2 p.g.a. begrensingen av Y til maksimalt stk. Dermed blir optimal tilpassing slik: 6-19

156 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T 40 Marginalinntekt 40 qc Marginalkostnad 24, FIGUR 6-5. Optimal tilpassing og optimal prissetting ved fellesprodukt. q C2 Marginalinntekten er lik marginalkostnaden ved en mengde på C 2, som gir en 1 optimal pris lik p C q , 50 2 C. Optimal produksjonsplan 2 ved en kapasitet på timer pr. periode er da : RÅMATERIAL HALVFABRIKATA FOREDLET PRODUKT Y A1 B1 C1 A2 B2 C2 Mengde TABELL Optimale mengder ved timer og fallende etterspørsel etter produkt C 2. Imidlertid nærmer vi oss nå den grensen hvor det ikke lenger er praktisk å løse problemet manuelt, men isteden formulere problemet som et LP -problem (eventuelt ikke-lineært problem når vi har monopolprodukter). Matematisk formulering for optimal prissetting og produktvalg ved fellesprodukt Vi kan formulere vårt problem som et vanlig LP -problem, med unntak av at prisstrukturen for C 2 gjør problemet ikke-lineært. At problemet er ikke-lineært påvirker valg av løsningsmetode, men i prinsippet ikke formuleringen av problemet. Y, A, B, C, A 1, B 1, C 1, A 2, B 2 og C 2 angir mengder; P C2 angir pris for produktene. Målfunksjonen: Max DB = (Foredlingskostnadene for halvfabrikataene A 1, B 1 og C 1 er angitt på produktene A, B og C. Derved belastes både halvfabrikataene og ferdigproduktene samtidig.) (4+1)Y 1A 2B 3C +5A B C 1 + (10 4)A 2 + (15 6)B 2 + (P C2 8)C 2 Etterspørsel : C 2 = P C2 (Angis i regnearket som en formel for C 2, celle [K8]) 6-20

157 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Produksjonsprosess : 5 / 10 Y = A (10 enheter Y gir 5 enheter A) 3 / 10 Y = B (10 enheter Y gir 3 enheter B) 2 / 10 Y = C (10 enheter Y gir 2 enheter C) Materialbalanser : A A 1 + A 2 B B 1 + B 2 C C 1 + C 2 (Produksjon av A minst like stor som salget) (Produksjon av B minst like stor som salget) (Produksjon av C minst like stor som salget) Kapasitetsrestriksjoner : 3Y + 2A 2 + 1B 2 + 3C timer (Forbruk foredlingstid kapasitet) Y (Foredling av Y må være mindre enn tilgangen på Y) FIGUR 6-6. Regneark med løsning av prissetting- og produktvalgsproblemet ved fellesprodukt. Angivelsene av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner er gjort via Solver slik : 6-21

158 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T FIGUR 6-7. Målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner. Vi ser av FIGUR 6-6 at vi får samme løsning som ved manuell løsning, men forhåpentligvis uten så mange muligheter til å begå feil. Etterhvert som kompleksiteten på problemene øker, blir det umulig å løse problemene manuelt. En viss trening i å formulere problemene matematisk er derfor nyttig for å kunne løse praktiske problem av denne type. Lagerverdi og internprising basert på marginalkostnadsmetoden Vi skal i følgende eksempel se at marginalkostnadsmetoden for fordeling av felleskostnader ved fellesprodukt også kan benyttes til verdifastsetting av lagerbeholdninger og til internprising. A/S Fiskeforedling er en moderne fiskeforedlingsbedrift som ligger ved kysten nær ferskt råstoff. Tilgangen på fisk er god, med stor konkurranse i førstehåndsomsetningen, slik at prisen på råvarene betraktes som markedsbestemt. Bedriften har imidlertid spesialisert seg på kvalitetsprodukter med et begrenset marked. Dette krever råstoff av beste kvalitet, og kiloprisen på slik fisk levert fra båt har vær kr. 8,- pr. kg. råfisk. Etter at fisken er kommet på land må den sløyes, vaskes og bearbeides for videre produksjon. Denne prosessen koster kr. 2,- pr. kg. råfisk. Bedriften har spesialisert seg på produktene A og B. 1 kg. råfisk gir 350g A og 400g B, resten er svinn. En har funnet det formålstjenlig å selge A og B i pakninger på hhv. 350g og 400g. En videre bearbeiding av råfisken til produkt A koster kr. 15,- pr. stk. A. En kan også bearbeide den resterende delen av fisken til produkt B, dette koster kr. 10,- pr. stk. B. Produktene A og B har som nevnt et meget begrenset marked, for det meste utenlandsk, og etterspørselen pr. år er gitt som følger : Q A = P A Q B = P B Q i = etterspurt mengde pr år produkt i P i = pris pr. enhet produkt i De driftsbetingede faste kostnadene er på kr ,- som er 80% av de totale faste kostnadene pr. år. De store faste kostnadene skyldes den enorme kapasiteten som A/S Fiskeforedling har, ettersom de er i 6-22

159 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T stand til å dekke markedsetterspørselen etter både A og B til nesten hvilken som helst pris. For å kunne si noe om lønnsomheten og eventuelle priser må vi først finne optimal tilpassing av priser og mengder. Vi starter med å finne marginalinntektene. Først for produkt A (TR = Total Revenue ; MR = Marginal Revenue ) : Q A = P A TR A = P A Q A MR A = TR A/ Q A P A = 150 ( 1 / 200)Q A = [150 ( 1 / 200)Q A]Q A = 150 ( 1 / 100)Q A Tilsvarende for produkt B : Q B = P B TR B = P B Q B MR B = TR B/ Q B P B = 60 ( 1 / 600)Q B = [60 ( 1 / 600)Q B]Q B = 60 ( 1 / 300)Q B Ser vi produktene samlet, f. eks. ved at begge produktene produseres samtidig og av alt råstoffet som bearbeides, kan vi summere marginalinntektene : MR AB = MR A + MR B = {( ) [( 1 / 100) + ( 1 / 300)]Q AB} = 210 ( 4 / 300)Q AB Marginalinntektene må så vurderes opp mot marginalkostnadene. Om vi foredler begge produktene av alt råstoffet, er kostnaden for én enhet av både A og B lik summen av råstoffkostnaden pluss foredlingskostnadene : MC AB = (8,- + 2,-) + 15,- + 10,- = 35,- Vi kan da finne optimal tilpassing ved å sette marginalkostnaden lik marginalinntekten : MR AB = MC AB 210 ( 4 / 300)Q AB = 35 Q AB = Denne løsningen forutsetter imidlertid at det er optimalt å produsere like mye av ferdigproduktene A og B, dvs. at råstoffet benyttes fullt ut til begge produktene. Det er ikke nødvendigvis den optimale løsningen. Det kan nemlig tenkes at det ikke er lønnsomt å selge like mye av produkt A som av B. 6-23

160 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T L I K E P R O D U K - S J O N S K V A N T A Hvis produktenes marginalinntekter dekker produktenes foredlingskost- MC MR 21 0 nader ved optimal tilpassing med like produksjonskvanta av produktene, så er denne tilpassingen den beste. 15 MRA MRAB Optimal Tilpassing : MRAB = MCAB 60 MRB 35 MCAB MCA MCB QAB FIGUR 6-8. Marginalinntekter og marginalkostnader for fellesprodukter. Ved den optimale mengden ser vi at marginalinntekten for A er større en foredlingskostnadene for A ( MC A), og tilsvarende for B; marginalinntekten for B er større enn foredlingskostnadene for B ( MC B). Ettersom produktenes marginalinntekter dekker produktenes merkostnader er dette den optimale løsningen : Vi bør produsere enheter av A og enheter av B. For å få omsatt disse mengdene må prisene settes slik : P A = 150 ( 1 / 200)Q A Q A = P A = 150 ( 1 / 200) = 84,375 P B = 60 ( 1 / 600)Q B Q B = P B = 60 ( 1 / 600) = 38,125 Dermed får vi følgende totalresultat : [(84,375+38,125) 35] = ,50 Vi har her kun trukket fra de driftsbetingede faste kostnadene, totale faste kostnader utgjør i alt kr ,-. Bedriften vil derfor gå med et bokført tap. Tapet vil imidlertid bli større om produksjonen stanses. 6-24

161 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T M A R G I N A L - I N N T E K T E N E Men hva om foredlingskostnadene for A og B var annerledes, slik at foredlingskostnaden for A var kr. 5,- og for B kr. 20,-. Da vil figuren se slik ut : M Å D E K K E F O R E D L I N G S - K O S T N A D E N E Hvis produktenes marginalinntekter ved like produksjonskvanta ikke dekker produktenes foredlingskostnader : Optimal tilpassing for det produktet med underdekning der foredlingskostnaden er lik marginalinntekten Det produkt som MC MR produseres mest belastes med felleskostnadene i marginalkostnaden, som settes lik marginalinntekten 15 MRA MRB MRAB MCAB MCB MCA QB QA QAB FIGUR 6-9. Marginalinntekter og marginalkostnader for fellesprodukter, endret kostnadsstruktur. Vi ser at ved disse foredlingskostnadene så dekker ikke marginalinntektene til produkt B produktets foredlingskostnader. Det er derfor ikke lønnsomt å produsere like mange A som B. Optimal produksjon for produkt B er da ved det kvantum der foredlingskostnadene ( MC B) er lik marginalinntekten (MR B), mens produkt A også må belastes for råmaterialkostnadene, og dermed får en marginalkostnad lik (10+5) = 15. Optimal produksjon for A er da der marginalinntekten (MR A) er lik marginalkostnaden (MC A). Med disse foredlingskostnadene er optimal tilpassing : MR A = 150 ( 1 / 100)Q A = MC A 150 ( 1 / 100)Q A = 15 Q A = MR B = 60 ( 1 / 300)Q B = MC B 60 ( 1 / 300)Q B = 20 Q B = P A = 150 ( 1 / 200)Q A Q A = P A = 150 ( 1 / 200) = 82,50 P B = 60 ( 1 / 600)Q B Q B = P B = 60 ( 1 / 600) = 40,00 Dermed får vi følgende totalresultat : [82,50 (5+10)] [40 20] = ,- 6-25

162 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Denne kostnadsstrukturen hadde altså vært en smule gunstigere for bedriften. Generell formulering av problemet Vi har så langt løst problemet grafisk, basert på visse antagelser. Dette har gitt oss nyttig bakgrunnskunnskap og vist oss hvordan vi bør resonnere ved slike problemstillinger. Neste trinn blir å systemere dette til en generell metode for å løse slike problemer. D E L E P R O B L E M E T I T R E D E L E R : Q A >Q B Q A =Q B Q A <Q B Felleskostnaden belastes det produktet som bestemmer mengden av fellesråstoffet Utgangspunktet er som før at optimal tilpassing skjer ved å sette marginalinntektene lik marginalkostnadene. Problemet er å fordele felleskostnadene, ettersom det påvirker marginalkostnaden. Resonneringen er da meget enkel : Hvis vi produserer mest av produkt A slik at dette produktet bestemmer mengden av fellesråstoffet, så belastes produkt A med alle felleskostnadene. I motsatt fall belastes produkt B med alle felleskostnadene. Om vi produserer begge produktene i like kvanta, slik at ingen av produktene kan belastes felleskostnadene, så lar vi være å fordele felleskostnadene, og setter Q A = Q B = Q AB. Dermed må vi undersøke tre mulige tilpasninger I) Q A > Q B : Felleskostnaden belastes produkt A TC = [15 +(8+2)]Q A + 10Q B TR = [150 ( 1 / 200)Q A]Q A + [60 ( 1 / 600)Q B]Q B Totalkostnad Totalinntekt NR = TR TC = [125 ( 1 / 200)Q A]Q A + [50 ( 1 / 600)Q B]Q B Nettoinntekt Maksimal nettoinntekt der den deriverte er lik null : NR/ Q A = ( 1 / 100)Q A = 0 Q A = NR/ Q B = 0 50 ( 1 / 300)Q B = 0 Q B = Ettersom Q A < Q B, og fordi det motsatte var utgangspunktet, er dette ikke en mulig løsning. II) Q A = Q B = Q AB : Felleskostnaden fordeles ikke TC = [(8+2) ]Q AB TR = [150 ( 1 / 200)Q AB]Q AB + [60 ( 1 / 600)Q AB]Q AB NR = TR TC = [175 ( 4 / 600)Q AB]Q AB Totalkostnad Totalinntekt Nettoinntekt Maksimal nettoinntekt der den deriverte er lik null : NR/ Q AB = ( 4 / 300)Q AB = 0 Q AB = III) Q A < Q B : Felleskostnaden belastes produkt B TC = 15Q A + [10 + (8+2)]Q B TR = [150 ( 1 / 200)Q A]Q A + [60 ( 1 / 600)Q B]Q B Totalkostnad Totalinntekt 6-26

163 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T NR = TR TC = [135 ( 1 / 200)Q A]Q A + [40 ( 1 / 600)Q B]Q B Nettoinntekt Maksimal nettoinntekt der den deriverte er lik null : NR/ Q A = ( 1 / 100)Q A = 0 Q A = NR/ Q B = 0 40 ( 1 / 300)Q B = 0 Q B = Ettersom Q A > Q B, og fordi det motsatte var utgangspunktet, er dette ikke en mulig løsning. Vi har derfor bare én mulig løsning, nemlig den der Q A = Q B = Vi får altså samme løsning som tidligere : P A = 150 ( 1 / 200)Q A Q A = P A = 150 ( 1 / 200) = 84,375 P B = 60 ( 1 / 600)Q B Q B = P B = 60 ( 1 / 600) = 38,125 Som ga følgende totalresultat : [(84,375+38,125) 35] = ,50 L A G E R B E - H O L D N I N G E R Prises til marginalinntekten ved ledig kapasitet Prises til markedspris ved full kapasitetsutnyttelse Ofte er det behov for å sette verdier på lagerbeholdninger. A/S Fiskeforedling har kapasitet til å dekke den totale etterspørselen i en periode, og lagerets verdi er da kun de sparte kostnadene ved at en slipper å produsere neste periode de enhetene som er på lager. Lagerbeholdninger av produktene A og B bør derfor vurderes til marginalkost. Siden marginalinntekten er lik marginalkostnaden i optimum, kan vi bruke marginalinntektene til å avlede marginalkostnadene : MR A = 150 ( 1 / 100)Q A = 150 ( 1 / 100) = 18,75 MC A = 18,75 MR B = 60 ( 1 / 300)Q B = 60 ( 1 / 300) = 16,25 MC B = 16,25 = 35,00 Vi har dermed fordelt verdien av én A og én B på i alt kr. 35,- med kr. 18,75 på A og kr. 16,25 på B. Hvis lagerbeholdningene er små, kan altså disse marginalverdiene benyttes som verdier av lagerbeholdninger. 6-27

164 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T I N T E R N P R I S Settes lik marginalkostnaden ved ledig kapasitet Settes lik markedspris ved full kapasitetsutnyttelse Det kan også være aktuelt å sette internpris for interne leveranser av produkter basert på et felles råstoff. Internprisen må være lik alternativkostnaden ved å foreta internleveransen. Ved ledig kapasitet må interne leveranser prises til marginalkostnaden. I) Hvis internleveransen er slik at Q A > Q B : TC = [15 +(8+2)]Q A + 10Q B (Felleskostnaden belastes A) MC A = TC/ Q A = 25,- MC B = TC/ Q B = 10,- II) Hvis internleveransen er slik at Q A = Q B : TC = [(8+2) ]Q AB (Felleskostnaden fordeles ikke) MC = TC/ Q AB = 35,-(Kan fordeles med kr. 18,75 på A og kr. 16,25 på B.) III) Hvis internleveransen er slik at Q A < Q B : TC = 15Q A + [10 + (8+2)]Q B (Felleskostnaden belastes B) MC A = TC/ Q A = 15,- MC B = TC/ Q B = 20,- Når kapasiteten er fullt utnyttet, må interne leveranser prises til markedspris. Hvis det ikke eksisterer eksterne markeder for produktet, og bedriften opererer ved full kapasitetsutnyttelse, må internprisen også inneholde alternativkostnaden ved bruk av den knappe produksjonsressursen (dvs. skyggeprisene). Løsning i regneark Vi kan formulere vårt problem omtrent som et LP problem. For eksempel : Besultningsvariabler: Bedriften kan bestemme hvor mye råstoff som skal kjøpes inn; Q F (kvantum fisk), og hvilke priser de ønsker å ta for ferdigproduktene; P A og P B. Målfunksjonen: Max DB = [P A 15]Q A + [P B 10]Q B (8+2)Q F Etterspørsel : Q A = P A Q B = P B (Angitt som en formel i regnearket) (Angitt som en formel i regnearket) 6-28

165 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Materialbalanser : (Angitt som en restriksjon i Solver) Q F Q A (Kvanta fisk minst like mye som behov i produksjon av A) Q F Q B (Kvanta fisk minst like mye som behov i produksjon av B) Et regneark over problemet kan da se slik ut: FIGUR Regneark for eksempel med felles råstoff. FIGUR Tilhørende oppsett for Solver. Denne kompakte formuleringen gir oss optimal løsning, men sensitivitetsanalysen blir også tilsvarende knapp. De eneste restriksjonene vi har angitt er betingelsene om at vi ikke kan produsere mer enn det vi har kjøpt inn av råstoff. Skyggeprisene sier oss da hvor mye dekningsbidraget vil øke om vi kan produsere en enhet ferdigvare mer enn det vi kjøper inn av råstoff. Skyggeprisene blir en slags verdivurdering av eventuelt lager av råstoff (som allerede er betalt). For å få skyggepriser som angir lagervurderinger av ferdigproduktene, må vi i modellen vår skille mellom produksjon og salg av ferdigproduktene. 6-29

166 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T FIGUR Regneark for eksempel med felles råstoff, skille mellom produksjon og salg. FIGUR Tilhørende oppsett i Solver. Her har vi skilt produksjon og salg av ferdigproduktene. Det er et vurderingsspørsmål om foredlingskostnadene skal henføres på produksjon eller salg av produktene. Hvis det er mulig å vente med å videreforedle til de skal selges, kan det hende det er mer korrekt å belaste kostnadene på salg og ikke produksjon. Fordelingen kan nemlig ha konsekvenser for skyggeprisene. Når vi skiller produksjon og salg, må vi selvsagt også legge inn restriksjoner om at vi ikke kan selge mer enn det vi har produsert. Den matematiske formuleringen ser derfor slik ut: Besultningsvariabler: Bedriften kan bestemme hvor mye råstoff som skal kjøpes inn; Q F (kvantum fisk), og hvilke priser de ønsker å ta for ferdigproduktene; P A og P B. Bedriften kan også bestemme hvor mye den ønsker å produsere av ferdigproduktene; X A og X B. Målfunksjonen: Max DB = (8+2)Q F 15X A 10X B + P AQ A + P BQ B Etterspørsel : Q A = P A Q B = P B (Angitt som en formel i regnearket) (Angitt som en formel i regnearket) 6-30

167 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T Materialbalanser : (Angitt som en restriksjon i Solver) Q F X A (Kvanta fisk minst like mye som behov i produksjon av A) Q F X B (Kvanta fisk minst like mye som behov i produksjon av B) Salgsrestriksjoner : X A Q A X B Q B (Kan ikke selge mer av A enn det som er produsert) (Kan ikke selge mer av B enn det som er produsert) Sensitivitetsanalysen gir oss nå de søkte marginalkostnadene: Adjustable Cells Final Reduced Cell Name Value Gradient $F$3 Pris Salg A 84,375 0 $G$3 Pris Salg B 38,125 0 $C$12 Mengde Råfisk $D$12 Mengde Produksjon A $E$12 Mengde Produksjon B Constraints Final Lagrange Cell Name Value Multiplier $H$14 Material til A Totalt 0-3,75 $H$15 Material til B Totalt 0-6,25 $H$16 Salg A Totalt 0-18,75 $H$17 Salg B Totalt 0-16,25 Produksjonsbegrensninger. Antagelsen om at bedriften har ubegrenset produksjonskapasitet er ikke alltid på sin plass. La oss derfor anta at bedriften har en kapasitet på (enheter) pr. periode, og at kapasitetsforbruket er 4 for råstoffet og hhv. 2 og 3 for produksjon av produktene A og B. Den nye restriksjonen blir da: Produksjonsrestriksjon : 4Q F + 2X A + 3X B (Kan ikke benytte mer enn total kapasitet) Siden denne restriksjonen blir bindende, får vi en annen løsning. Og skyggeprisene tar nå hensyn til alternativkostnadene fra den nye bindende restriksjonen. 6-31

168 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T FIGUR Regneark for eksempel med felles råstoff, med produksjonsbegrensinger. FIGUR Tilhørende oppsett i Solver. Fordi vi har restriksjoner med forskjellige retninger på ulikhetsbetingelsene, må vi angi disse restriksjonene separat. Adjustable Cells Cell Name Final Value Reduced Gradient $F$3 Pris Salg A 94,444 0 $G$3 Pris Salg B 41,481 0 $C$12 Mengde Råfisk 11111,111 0 $D$12 Mengde Produksjon A 11111,111 0 $E$12 Mengde Produksjon B 11111,111 0 Constraints Cell Name Final Value Lagrange Multiplier $H$14 Material til A Totalt 0-17,922 $H$15 Material til B Totalt 0-4,012 $H$16 Salg A Totalt 0-38,889 $H$17 Salg B Totalt 0-22,963 $H$18 Produksjon Totalt ,

169 F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T 6-1

170 D E S E N T R A L I S E R I N G Del 7 Desentralisering I store konsern med mange produkter og avdelinger spredt over store geografiske områder, er det ofte tvingende nødvendig med desentraliserte beslutninger. I store konsern vil mange divisjoner ofte være selvstendige enheter, med desentralisert beslutningsmyndighet. Selv om mange aktiviteter og operasjoner er avhengig av hverandre og sterkt sammenknyttet, må de ofte administreres separat. D E S E N T R A L I - S E R I N G For å overføre beslutningene dit mest relevant informasjon finnes. Sentralstyring, der organisasjonene er bygd opp med hierarkiske, vertikale relasjoner sikrer koordineringen ved ordrer ovenfra, og oppfølgingen kontrolleres via regnskapet. Men i praksis kan ikke en sentral ledelse vite alt om en organisasjons mange aktiviteter. Mange beslutninger må gjøres på lavere eller lokale nivå i organisasjonen. Mange moderne selskap er en (nasjonal) økonomi i miniatyr, med interne kapital- og arbeidsmarkeder. Handlinger i en del av organisasjonen får konsekvenser for mange andre avdelinger. Sosialiststater som benytter sentralstyring av resursfordelingen, vil ofte oppleve ineffektive produsenter på grunn av manglende insentiver for tilpasning til konsumentenes preferanser og markedets stadige endringer. Hvis informasjon og beregningsmessige vansker gjør det ønskelig med en desentralisert resursallokering og beslutningsfatting for en nasjonaløkonomi, så vil også en viss grad av desentralisering være ønskelig for store konsern. Problemet er at priser, som spiller en slik vital rolle i en kapitalistisk økonomi, ikke er direkte tilgjengelige innen konsernet som veiledning for lokal beslutningstagning. I tillegg, fordi eksterne eiere mangler informasjon eller mulighet for å overvåke beslutninger, kan lederne bli motivert til å handle i egeninteresse på bekostning av eierne. Selskaper bruker derfor en samling av ikke -markedsmekanismer (som kontrakter, avlønninger og straff, rapporter og standarder) for å forenkle ressursallokeringen og beslutningsfattingen, når informasjonsrestriksjoner forhindrer markedet i å fungere. Selv om det finnes mange gode grunner til desentralisering, er det også forbundet med mange ulemper. Det er derfor ikke opplagt at desentralisering er den beste løsningen. Vi skal derfor studere problemstillingen litt mer detaljert. 7-1

171 D E S E N T R A L I S E R I N G Grunner til desentralisering Mange ulike forhold kan gi opphav til ønske om desentralisering av driften, for å skape en bedre organisering. 1) Selskapets omgivelser. a) Under stabile eksterne omgivelser kan den interne organisasjonen være styrt av regler, prosedyrer og en hierarkisk myndighetsinndeling. Organisasjonen er formalisert og sentralisert med de fleste beslutninger avgjort av toppledelsen ( mekanisk organisasjonssystem). b) Under hurtig endrede omgivelser vil den interne organiseringen være mye løsere, fri eller fleksibel. Regler og prosedyrer er uskrevne eller ignoreres, og lederne må selv finne ut av hva som må gjøres. Organisasjons strukturen og myndigheten er uklar, med desentralisert beslutningstaking ( organisk organisasjonssystem). c) Komplekse og usikre eksterne omgivelser krever at flere ressurser brukes til å overvåke omgivelsene, og at mange beslutninger må desentraliseres til eksperter som kan spesialisere seg på å skaffe informasjon om, og utvikle ekspertise i å takle endringer i selskapets omgivelser. Disse lokale, desentraliserte ekspertene kan raskt og effektivt reagere på endringer og nye muligheter. 2) Informasjonspesialisering. Den kanskje sterkeste grunnen til desentralisering er vanskeligheten med å dele all informasjon med sentralledelsen. Lokale ledere utvikler gjennom observasjoner og erfaring en ekspertise i saker som markedsmuligheter, produksjonsmuligheter og restriksjoner, arbeidsstyrkens dyktighet og moral, og kvalitet og pålitelighet fra leverandører. Det vil være ganske vanskelig, kostbart og tidkrevende for lokale ledere å kommunisere all relevant informasjon som de innehar videre til toppledelsen. En viktig grunn for desentralisering er derfor ønsket om å plassere beslutningsmyndighet på det nivå der relevant informasjon finnes. 3) Hurtig reaksjonsevne. En desentralisert beslutningstaking kan reagere raskere på uventede endringer enn om alle handlinger måtte godkjennes av en sentral ledelse. Sentralstyring medfører forsinkelser ved : a) Overføring av relevant informasjon fra den lokale til den sentrale ledelsen. b) Samling av de aktuelle personer, pluss tid for å fatte informasjonen, foreta avveininger, og nå en beslutning. c) Overføre informasjon om anbefalt beslutning tilbake til den lokale ledelsen. 4) Utnyttelse av sentralledelsens tid. Toppledelsens tid er en av de mest knappe ressursene i et selskap, og prinsippet om komparative fortrinn gjelder også innen et selskap (ikke bare mellom nasjoner). Den enorme mengden av lokale beslutninger ville være overveldende selv for den mest talentfulle arbeidsnarkoman. Det ville dessuten ta oppmerksomheten bort fra sentralledelsens viktigste oppgave, de strategiske overveielsene. Den optimale arbeidsfordelingen vil værte å la toppledelsen konsentrere seg om de langsiktige strategiske beslutningene, og avdelingslederne kan konsentrere seg om de operasjonelle beslutningene. 5) Komplekse beregninger. Selv om det er ønskelig med en sentraldirigert beslutningsprosess, vil det ofte 7-2

172 D E S E N T R A L I S E R I N G ikke være mulig å foreta fullstendige totale globale optimale beregninger. Med store simultane ligningssystemer og diskontinuerlige ikke-lineære funksjoner, heltallsvariabler og usikkerhet, vil det ofte ikke være mulig å utlede en global optimal løsning, og en må ty til heuristiske løsningsteknikker. Beslutninger fattet av avdelingsledere vil da ofte kunne være bedre enn slike heuristiske løsninger for toppledelsen. 6) Opplæring av lokale ledere. Hvis alle viktige beslutninger ble fattet sentralt, ville de lokale lederne i hovedsak bare implementere sentralledelsens planer. Avdelingslederne vil opparbeide erfaring i å motivere ansatte og å oppfylle produksjonsplaner, men får lite trening i å fatte beslutninger. En viss grad av delegert beslutningsmyndighet er derfor ønskelig for å : a) Gi trening for fremtidens toppledere. b) Indikere hvilke ledere som er best kvalifisert for avansement til høyere lederstillinger. 7) Motivasjon for avdelingsledere. Gode ledere er ambisiøse og stolte over sitt arbeid. Hvis deres oppgave bare er å utføre ordrer vil de miste interessen, og det vil bli vanskelig å rekruttere kreative, energiske ledere. Hvis en derimot tillater lokale ledere å ta beslutninger, vil en oppmuntre lederne i å være mer aktive i å skaffe seg informasjon, og mer initiativrike og strategiske i sine handlinger. Det blir derfor utfordrende å utforme insentivsystemer slik at aggressive, nyskapende og strategiske handlinger på lokale nivå er konsistente med selskapets overordnede mål og misjon. Typer av desentraliserte avdelinger. Alle avdelinger i en organisasjon benytter ressurser i sin produksjon, enten av varer eller tjenester. Men avdelingene varierer i hvilken grad produksjonen lar seg måle, og hvor mye selvstyre hver avdelingsleder er gitt i å anskaffe resurser og velge produksjonsmiks. Disse forskjellene gjør det hensiktsmessig med forskjellige typer av desentraliserte avdelinger. Standard kostnadssenter Standard kostnadssenter kan etableres for alle repeterende operasjoner der en kan måle den fysiske produksjonen og spesifisere en produksjonsfunksjon som relaterer ressursbruk til produksjonen. Avdelingslederne er da ikke holdt ansvarlig for variasjoner i aktivitetsnivået, men for hvor effektivt de møter den eksterne etterspørselen (innenfor egen kapasitet), dvs. verdien av de ressurser som går med i produksjonen. Benyttes full kostnadsfordeling, så holdes ikke avdelingen ansvarlig for underdekning av faste kostnader som følge av volumavvik, bare egne sprangvise kostnader. Produksjonen måles opp mot kvalitetsstandarder og hvorvidt leveranser skjer til rett tid. Et kostnadssenter er altså ikke ansvarlig for sine inntekter, ettersom det ikke har myndighet over produksjonsvolum eller priser. De har vanligvis heller ingen myndighet over investeringer eller bruk av ny teknologi. Inndelingen i kostnadssentra er nyttig når en kan forta en objektiv måling av produksjonen, og det er nøyaktige spesifikasjoner av ressursbruken. 7-3

173 D E S E N T R A L I S E R I N G Inntektssenter Formålet med inntektssenter er å markedsføre og distribuere produkter. Hvis inntektssenteret har myndighet til å fastsette prisen, så kan det gjøres ansvarlig for bruttoinntektene sine. Hvis prisen er fastsatt utenfor inntektssenteret så holdes avdelingslederen ansvarlig for salgsvolum og salgsmiks. Det er viktig at et inntektssenter ikke bare vurderes etter total salgsinntekt, men at det også tas hensyn til produksjonskostnadene. Ellers kan avdelingslederen bli motivert til å redusere prisen for å øke totalt salg, bruke uforholdsmessig mye annonser og reklame, og vektlegge produkt med lavt dekningsbidrag. Alle disse beslutningene kan øke totale salgsinntekter men redusere selskapets totalresultat. Kostnadssentra Kostnadssentra er velegnet for avdelinger der produksjonen ikke er målbar i finansielle måleenheter, eller hvor det ikke er noen sammenhang mollom ressursforbruket og de resultater som oppnås. Eksempler på slike avdelinger er Administrasjonsavdeling, Forskning og Utvikling, Lagring, og Markedsføring. Produksjonen i administrasjonsavdelingen er ofte vanskelig å måle, mens for forskning og utvikling er det ingen sterk sammenheng mellom ressursforbruk og produksjonen. Der kan vi måle om avdelingen er effektiv (dvs. vi kan se om de når selskapets mål for produktutvikling etc.) Men en kan ikke måle om avdelingen er effesient, dvs. om den faktiske produksjonen har skjedd med minst mulig ressursforbruk, fordi det er ingen entydig sammenheng mollom ressursforbruk og resultat. Og der det er vanskelig å måle produksjonen kan en hverken kontrollere effektivitet eller effesiens. Kostnadssentra har derfor en tendens til å strebe etter best mulig kvalitet og prestisje, selv om en litt lavere kvalitet ville gitt nesten samme service til betydelig lavere kostnad. Å fastsette budsjett for kostnadssentra krever derfor profesjonell vurdering av toppledere med god kjennskap til avdelingene. Profittsentra Når en avdeling har myndighet til å bestemme både produksjon og salg, kan den evalueres som et profittsenter. Avdelingslederen har da myndighet til å bestemme hvilke produkt som skal produseres, og hvordan, kvalitets- og prisnivå, samt salgsog distribusjonssystem. Hvis avdelingslederen ikke har myndighet til å bestemme investeringsnivået så er det kortsiktige resultatet (profitt) et velegnet mål for å evaluere hvor godt avdelingslederen kan skape verdier med utgangspunkt i de ressurser han har fått til disposisjon. Investeringssentra Når avdelingslederen i tillegg til den myndighet som en leder i et profittsenter har, også kan bestemme nivå på investeringene og arbeidskapital, er det bedre å måle resultat opp mot den kapital som er investert, som f.eks. ROI (Resultat av investeringer). Evalueringsmål for desentraliserte avdelinger. Prinsippene for kontroll av desentraliserte avdelinger kan deles i to : Driftsinstruksjoner og regler. Insentiver for motivasjon av avdelingsledere. 7-4

174 D E S E N T R A L I S E R I N G Driftsinstruksjonene kan for enkle observerbare oppgaver være detaljerte spesifikasjoner over hva som skal gjøres. Men for desentraliserte avdelinger, der avdelingslederen ofte har bedre innsikt i hva som må gjøres, er driftsinstruksjonene bare generelle formuleringer omkring konsernets målsetting. Insentivene for motivasjon av avdelingslederen vil avhenge av formen på driftsinstruksjonene. Hvis disse er spesifikke oppgaver hva som skal gjøres, kan insentivene være i form av straff hvis oppgaven ikke utføres i henhold til instruksen. Men hvis driftsinstruksjonene bare er oppfordringer om å gjøre hva som er nødvendig for å nå konsernets generelle mål, da må insentivene for motivasjon av avdelingslederne være former for belønning, f.eks. i forhold til avdelingens rapporterte resultat. Å velge et evalueringsmål som fungerer som insentiv for motivasjon av avdelingslederne er kanskje det vanskeligste problemet med desentralisering. Dette målet signaliserer hvordan toppledelsen ønsker at avdelingslederne skal tilpasse seg. Disse regler, mål og belønninger må: Være i samsvar med konsernets målsetting. Lette koordineringen mellom forskjellige avdelinger. Minimere informasjonsbehovet i evalueringsprosessen. Hindre dysfunksjonelle kostnader ved lokal suboptimering. Vi må være klar over følgende problemer som kan dukke opp når vi skal konstruere evalueringsmål for desentraliserte avdelinger : Problem med målkongruens For ikke-hierarkiske konsern er det ikke behov for interne evalueringsmål : de kan evalueres ved differansen mellom prisene for kjøp- og salgs- transaksjoner utført med eksterne markedsaktører. For en desentralisert hierarkisk organisasjon må det imidlertid konstrueres nye evalueringsmål. I praksis er det nesten umulig å konstruere ett enkelt evalueringsmål som sikrer målkongruens mellom desentraliserte avdelinger og konsernet. Evalueringsmålet blir derfor en målsetning i seg selv, ofte viktigere enn den målsetningen det er ment å representere. F.eks. kan det i et inntektssenter bli fokusert på produkter med høy salgspris isteden for høyt dekningsbidrag. Et annet problem er at de fleste evalueringsmål er basert på interne resultat i stedet for i forhold til eksterne muligheter. En avdeling som forbereder sitt resultatet vil vurderes som godt ledet, men kanskje skyldes resultatforbedringen spesielt gode markedsforhold, som egentlig ikke ble utnyttet godt nok. Slikt kan være vanskelig for sentralledelsen å avdekke. Et tredje problem oppstår når framtidige økonomiske konsekvenser av dagens handlinger ignoreres. Dette er veldig vanlig, fordi de fleste evalueringsmål er basert på enperiodiske regnskapsdata. Dette gjelder særlig Forskning og Utvikling, Markedsføring, Investering og Vedlikehold. Resultatene av disse kostnadene vil først komme til syne i framtidige perioder. Problem med eksternaliteter Når forskjellige desentraliserte avdelinger i mer eller mindre grad er avhengig av hverandre, så vil handlingene til en avdeling ikke bare påvirke eget evalueringsmål, det vil også kunne få konsekvenser for andre avdelingers evalueringsmål. Spesielt viktig blir 7-5

175 D E S E N T R A L I S E R I N G da prinsipper for internprising av interne leveranser mellom avdelingene. Men også andre ikke-prisede aspekter ved interne leveranser har betydning, som kvalitet og leveringspunktlighet. Ofte kan det være hensiktsmessig å inkludere komponenter fra andre avdelinger i evalueringsmålet, kanskje også fra konsernet totalt. Dette vil gi et insentiv for lokale avdelingsledere til å samarbeide og derved unngå unødige friksjoner, samt å vektlegge konsernets målsetninger. Et slik eksempel i praksis: utviklingsavdelingen ble holdt ansvarlig for salgsinntektene til de produktene de utviklet, og salgsavdelingen ble holdt ansvarlig for utviklingskostnadene for de produktene de solgte. Overforbruk av frynsegoder Enkelte lokale avdelingsledere kan foretrekke å bruke ressurser på nytt moderne kontorutstyr og møbler, ansette mange sekretærer, dyr firmabil, etc. Disse kostnadene vil redusere avdelingens prestasjon, evalueringsmålet, og dermed sannsynligvis også avdelingslederens belønning. Med det direkte forbruket av frynsegoder kan hende verdsettes større enn den indirekte reduksjonen i lønn dette medfører. Noen avdelingsledere er også stormannsgal og forsøker å ekspandere og bygge en så stor avdeling som mulig, med mange ansatte. Dette innebærer ofte stor prestisje og makt, og avlønningen er dessuten ofte en funksjon av avdelingens størrelse. Profittsentra og internprising Et profittsenter er en desentralisert avdeling, der avdelingslederen har myndighet til å bestemme over innkjøp og salg, med unntak av investeringer. Det mest vanlige evalueringsmål for en slik avdeling er resultatet (profitt). Valg av resultatindeks Følgende eksempel viser mulige resultatmål : Inntekter ,- Variable kostnader ,- 1 Avdelingens dekningsbidrag 5.000,- Kontrollerbare faste kostnader 800,- 2 Kontrollerbart bidrag 4.200,- Ukontrollerbare faste kostnader 1.200,- 3 Avdelingens resultat 3.000,- Fordelte konsernkostnader 1.000,- 4 Andel av konsernresultat 2000,- 1) Avdelingens dekningsbidrag er nyttig for enkelte beslutninger, men det er ikke meningsfylt i å evaluere avdelingslederens dyktighet, eller å analysere avdelingens lønnsomhet. Avdelingslederen har myndighet over det meste av de faste kostnadene, og disse må derfor med i evalueringen. 2) Kontrollerbart bidrag er kanskje det beste målet for å evaluere en avdelingsleder, ettersom dette gir uttrykk for det resultat lederen har myndighet til å påvirke. a) Et problem er imidlertid å avgjøre hvilke faste kostnader avdelingslederen faktisk har kontroll over. 7-6

176 D E S E N T R A L I S E R I N G b) Et annet problem er at særlig inntektene er avhengig av eksterne forhold. Det bør derfor også med i vurderingen hvor godt eksterne muligheter bli utnyttet. c) Kontrollerbart bidrag er ikke egnet til å vurdere avdelingens lønnsomhet, fordi det ikke tar hensyn til alle relevante faste kostnader. 3) Avdelingens resultat er velegnet til å vurdere avdelingens lønnsomhet, men ikke til å vurdere avdelingslederens dyktighet. 4) Avdelingens andel av konsernresultatet er hverken egnet til å måle avdelingens lønnsomhet eller avdelingslederens dyktighet, men kan motivere avdelingsledere til å argumentere for kostnadsbevissthet i konsernledelsen. Internprising. Prinsippet for optimale internpriser er enkelt : Internprisen settes lik konsernets alternativkostnad ved å foreta internleveransen. Det eksisterer et eksternt marked for produktet : Internprisen settes da lik markedsprisen. Internprisen kan avvike fra markedsprisen hvis interne leveranser har mindre salgsog transaksjonskostnader. Vær oppmerksom på at eksterne konkurrenter kan redusere prisen i håp om leveranser, for å øke prisen senere. Hvis det eksisterer eksterne markeder for alle avdelingens produkter så kan avdelingen frigjøres fra konsernet, ettersom det ikke vil være noe å tjene på sentralstyring. Det finnes ingen eksterne marked : Internprisen settes da lik marginalkostnaden. Men en del problemer dukker opp: Den leverende avdeling vil gå med tap lik de faste kostnadene. Marginalkostnaden kan være ikke-lineær. Dette kan skape et kostnadsfordelingsproblem, hvis det er mange kjøpere. Ved full kapasitetsutnyttelse skifter marginalkostnaden fra kortsiktig til langsiktig (må ta hensyn til alternativkostnaden for bruk av knappe ressurser). Internpris lik marginalkostnad kan gi insentiv til strategisk manipulasjon av informasjon (løgner). Et alternativ til å sette internprisen til marginalkostnaden er å plusse på en fast kostnad for reservert kapasitet. De forskjellige interne avdelingene som ber om internleveranser betaler da en fast kostnad, proporsjonal med den andel av produksjonskapasiteten de planlegger å benytte. For å sikre en fleksibel, optimal tilpassing kan avdelingene kjøpe og selge reserverte kapasiteter fra hverandre. I praksis blir ofte internprisen satt lik en pris basert på full kostnadsdekning (selvkost). En slik internpris er hverken gunstig for å evaluere avdelingens lønnsomhet eller avdelingslederens dyktighet. I tillegg vil det føre til gale økonomiske beslutninger, og det gis heller ingen insentiver for kostnadsbevissthet. Men i enkelte tilfeller kan selvkost være en tilnærming av den langsiktige marginalkostnaden. Anbudsbasert internprising. I tilfeller der det ikke eksisterer perfekte markeder, kan internprisen fastsettes med utgangspunkt i forhandlinger mellom avdelinger, eventuelt basert på eksterne anbud. 7-7

177 D E S E N T R A L I S E R I N G For å gjøre eksterne anbud troverdige, må disse tilbud til tider aksepteres, ellers vil anbyderne miste interessen. For at denne framgangsmåten skal virke er det en forutsetning at alle partner står fritt til å akseptere eller å forkaste en pris. Ellers vil en ende opp i en diktert pris og ikke en forhandlingsbasert pris. Prosessen krever ekstra tid, og kan dessuten skape konflikter mellom avdelingene. Avdelingsresultatene vil dessuten bli sensitive for avdelingsledernes forhandlingsstyrke, og hvis prisen avviker fra alternativkostnadene vil det føre til for lav produksjon. Investeringssentra Et investeringssenter er en desentralisert avdeling, der avdelingslederen har myndighet til å foreta kortsiktige beslutninger om produktmiks, prissetting, valg av produksjonsmetoder, samt anskaffelse og bruk av produksjonsutstyr. Det avviker altså fra et profittsenter ved at avdelingslederen også har investeringsmyndighet. Avkastning på investeringene Evalueringen av et investeringssenter skjer ofte ved at resultatet måles i forhold til de investeringene som er foretatt. Dette kan også tjene som en form for etterkontroll av investeringskalkyler, en etterkontroll som ellers ofte ikke ble foretatt. Et slikt lønnsomhetsmål ble først utviklet i firmaet DuPoint : ROI = resultat/aktiva = [resultat/salg] [salg/aktiva] = resultatgrad omløpshastighet. Tekniske svakheter ved et %-vis lønnsomhetsmål Oppbyggingen av lager for å øke ROI : En lageroppbygning vil overføre faste kostnader til lager og derved øke resultatgraden. Dette vil riktignok redusere omløpshastigheten, men totalt sett vil ROI øke. Gale investeringsbeslutninger : En avdeling som har en ROI som er større enn konsernets kapitalkostnad vil likevel ønske å forkaste alle investeringsprosjekt med avkastning mindre enn sin ROI, alternativt kvitte seg med aktiva som har avkastning mindre enn ROI, selv om avkastningen faktisk er større en kapitalkostnaden. Et problem med relative lønnsomhetsmål er at de er utsatte for manipulasjon både av teller og nevner. I tillegg er relative lønnsomhetsmål vanskelige å forstå og bruke riktig, selv og de fleste oppfatter relative tall som enklest (jamfør bruk av internrente kontra nåverdi ved investeringsbeslutninger). Resultat etter investeringskostnader : RI Dette evalueringsmålet er et absolutt tall der avdelingsresultatet blir fratrukket en kapitalkostnad på den anvendte kapitalen. En evaluering basert på dette resultatet vil ikke motivere til gale investeringsbeslutninger. Det er også mer fleksibelt, ettersom en kan benytte forskjellig kapitalkostnad på forskjellige typer aktiva. 7-8

178 D E S E N T R A L I S E R I N G Bruk av kortsiktige resultatmål for å evaluere langsiktige investeringer Inflasjon Vanligvis føres regnskapene slik at investeringer registreres til historisk kost, med tilhørende avskrivninger, mens inntektene føres i løpende nominelle verdier. En slik praksis vil føre til overvurderte kortsiktige resultatmål i perioder med inflasjon. Problemene blir imidlertid tydelig når inflasjonen minker eller stopper opp. En slik praksis vil også lett føre til situasjoner der lønnsomheten tilsynelatende er god, men hvor en likevel får likvide problemer med å erstatte utrangert produksjonsutstyr. Denne regnskapspraksisen vil også medføre att resultatenheter med gamle anlegg vil vise bedre resultat enn de med nye anlegg. Dette medfører at avdelingslederen ønsker å utsette nyinvesteringer så lenge som mulig, selv om en investeringsanalyse tilsier at bytte av utstyr bør skje tidligere. Avskrivninger Selv i perioder uten inflasjon vil avskrivningene medføre avvik mellom et kortsiktig resultatmål og et langsiktig. Avskrivningene i det kortperiodiske regnskapet erstatter investeringen i den langsiktige evalueringen. For å få samsvar mellom disse lønnsomhetsmål må avskrivningene beregnes etter verdifallsmetoden. F.eks. kan lineære avskrivninger motivere til ikke å foreta nye investeringer (ved utrangeringer). Aktivering kontra utgiftsføring Hvis aktiva som genererer inntekter over flere år utgiftsføres i anskaffelsesåret, så vil dette på kort sikt gi lave resultat, men etter noen år vil de kortperiodiske resultatene overvurderes. Dette kan ofte være tilfelle, f.eks. i markedsføringsavdelingen. Leasing kontra kjøp Fordi leasede objekter vanligvis ikke regnskapsføres som aktiva, vil en avdelingsleder som evalueres etter ROI eller RI være motivert til leasing fremfor egeninvestering, ettersom dette vil medføre mindre investeringer (aktiva), og mindre kalkulert kapitalkostnad i kroner. For å unngå dette problemet bør leasede aktiva bokføres, og avdragsdelen fra leasingbeløpet behandles som avskriving (for å unngå dobbeltregning av rentekostnaden). På grunn av de mange problemer som kan oppstå ved bruk av bare ett evalueringsmål, kan det i steden være hensiktsmessig å splitte opp i flere : 1. Resultatstyring, f.eks. ROS (Return on Sales). 2. Kapitalstyring, f.eks. ved investeringskalkyler. 7-9

179 D E S E N T R A L I S E R I N G Et eksempel med desentralisering og internprising Big Concern A/S er en stor bedrift bestående av to avdelinger; avdeling I og avdeling II. Konsernledelsen har planer om å gjøre om avdelingene til selvstendige resultatenheter, i håp om at dette kan rasjonalisere og effektivisere styringen av bedriften. Avdeling I produserer produktene A og B. Produkt A er et halvfabrikat som bearbeides videre i avdeling II. Produkt B er et standardprodukt som selges på det åpne markedet. Produkt A og B produseres vha. prosessene 1 og 2, og kapasitetsforbruk og kapasiteter pr. år, samt kostnader og priser er følgende : Avdeling I Produkt A B Kapasitet Prosess Prosess Variable kostnader 300,- 500,- Faste kostnader 400,- 480,- Fortjeneste 15,- 20,- Salgspris 715, ,- Kostnadskalkylen er basert på full kapasitetsutnyttelse, der de totale faste kostnadene i avdelingen på i alt kr , -pr. år er fordelt med kr. 80,- pr. kapasitetsenhet. Fortjenesten for produkt A er beregnet som 2% av salgsprisen (rundet opp til hele kroner). Dette ut fra markedsprisen på kr ,- for produkt B, som gir 2% fortjeneste. Salgsprisen for produkt A er en kalkulert internpris. Avdeling II produserer produktene C og D, som krever visse kvanta av halvfabrikat A. Følgende data for avdeling II foreligger : Avdeling II Produkt C D Kapasitet Prosess Prosess Halvfabrikat A 2 /3 ½ Variable kostnader 400,00 700,00 Halvfabrikat A 476,67 357,50 Faste kostnader 270,00 420,00 Fortjeneste 153,33 122,50 Salgspris 1.300, ,00 forslåtte internprisen på kr. 715,- pr. stk. Kostnadskalkylen er basert på full kapasitetsutnyttelse, der de totale faste kostnadene i avdelingen på i alt kr ,- pr. år er fordelt med kr. 30,- pr. kapasitetsenhet. Kostnaden for halvfabrikat A er beregnet ut fra den Fortjenesten er beregnet som differansen mellom utsalgsprisen og kostnadene. Salgsprisen for produkt B, C og D er å betrakte som gitte markedspriser. Konsernledelsen ønsker dessuten å fordele felles administrasjonskostnader på kr ,- pr. år over på avdelingene, og har foreslått å benytte 7-10

180 D E S E N T R A L I S E R I N G en fordelingsnøkkel lik 2% av omsetningen, selv om disse kostnadene i det vesentlige er å betrakte som faste. Lederen for avdeling I protesterer heftig på dette, da all hans fortjeneste vil forsvinne. Han hevder dessuten at hans fortjeneste på 2% av salgsprisen for produkt A bør økes til 10%, som ligger mer på det nivå som avdeling II har. Lederen for avdeling II gjør oppmerksom på at det er denne avdelingen som gir de største inntektene og derved vil belastes den største andelen av de felles administrasjonskostnadene. Med en høyere pris på produkt A i tillegg vil avdelingen knapt gå med overskudd, og mener det vil bli en urimelig inntektsoverføring til avdeling I. Konsernledelsen ønsker svar på følgende: 1. Hva er optimal tilpassing for konsernet som helhet? 2. Hvordan bør avdelingene organiseres ved en eventuell desentralisering? 3. Hva blir resultatet i hver divisjon? Optimal tilpassing Om vi ser konsernet samlet som én enhet, må vi bestemme optimale mengder av produktene A, B, C og D simultant. Produktkalkylene må basere seg på variable kostnader, og kostnadene for produkt A fordeles ikke på de øvrige produktene, for å unngå mulighet for dobbeltregning. DB Kostnadene ved halvfabrikatet fordeles ikke på produktene. Produktkalkyle : Produkt A B C D Salgspris Variable kostnader Dekningsbidrag Vi kan da formulere konsernets samlede produksjonstilpasning som et LP problem Målfunksjonen : (Maksimere totalt dekningsbidrag) Max Z = -300X A + 500X B + 900X C + 900X D Produksjonskapasiteter : (Kapasitetsforbruk mindre enn kapasiteten) 3X A + 2X B (Prosess 1) (Avdeling I) 2X A + 4X B (Prosess 2) 4X C + 8X D (Prosess 3) (Avdeling II) 5X C + 6X D (Prosess 4) Materaialbalanse : X A 2 /3X C + ½X D (Knytter sammen avdeling I og avdeling II) (Produksjon av A må være større enn forbruket) 7-11

181 D E S E N T R A L I S E R I N G Siden vi har mer enn to beslutningsvariabler kan problemet i utgangspunktet ikke løses ved en grafisk analyse. Men om vi ser hver avdeling isolert, så har vi kun to beslutningsvariabler i hver avdeling. Vi kan derfor studere hver divisjon vha. en grafisk analyse. Om vi greier å finne riktig internpris for produkt A, så kan også avdelingene adskilles; hver avdeling maksimerer sitt dekningsbidrag til den gjeldende internprisen. Derved kan vi faktisk ved den grafiske analysen for hver avdeling også finne optimal tilpassing for konsernet sett under ett. I N T E R N P R I S Variabel kostnad + alternativkostnad = Marginalkostnaden Internprisen for produkt A må være lik marginalkostnaden ved å foreta internleveransen, når det ikke eksisterer eksterne markeder. Marginalkostnaden er lik de variable kostnadene på kr. 300,-. Men vi må også ta hensyn til alternativkostnaden ved bruk av knappe ressurser; i dette tilfellet skyggeprisene på kapasitetene i prosess 1 og prosess 2. Og alternativkostnadene er den verdien disse ressursene gir ved beste alternative anvendelse. I avdeling I er det kun én alternativ anvendelse (til å produsere produkt A), nemlig å produsere produkt B. Alternativkostnaden ved å bruke disse ressursene (prosess 1 og 2) er derfor det dekningsbidraget de vil gi ved å produsere produkt B. La oss derfor først se på avdeling I. Om vi ikke produserer produkt A, kan avdeling I maksimalt produsere stk. B. (Se FIGUR 7-1.) Om vi begynner å produsere produkt A, så vil prosess 2 være den bindende restriksjonen for kvanta av A mindre enn stk. For kvanta mellom og stk. A vil prosess 1 være den knappe faktoren. XB Prosess 1 : 3XA + 2XB Prosess 2 : XA + 4XB XA FIGUR 7-1. Grafisk analyse for avdeling I. 7-12

182 D E S E N T R A L I S E R I N G Vi vil derfor få to internpriser for produkt A; en for kvanta opp til stk., og en annen for kvanta over stk. TO I N T E R N - P R I S E R Internprisen avhenger av hvilke restriksjoner som er bindende. 0 X A 3000 : Prosess 2 er bindende restriksjon: Internprisen må dekke de variable kostnadene samt tapt dekningsbidrag produkt B. DB produkt B pr. time i prosess 2 = 500/4 = 125,- Internpris P A = 300, ,- = 550, X A 4000 : Prosess 1 er bindende restriksjon: Internprisen må dekke de variable kostnadene samt tapt dekningsbidrag produkt B. DB produkt B pr. time i prosess 1 = 500/2 = 250,- Internpris P A = 300, ,- = 1.050,- Vi kan nå analysere avdeling 2 og ta hensyn til internprisene for produkt A. XD Halvfabrikat A : 2 /3XC + ½XD Halvfabrikat A : 2 /3XC + ½XD Prosess 4 : 5XC + 6XD Prosess 3 : 4XC + 8XD FIGUR 7-2. Grafisk analyse for avdeling II XC X A < X A > Produkt C D C D Salgspris 1.300, , , ,00 Variable kostnader 400,00 700,00 400,00 700,00 Materialkostnad A 366,67 275,00 700,00 525,00 Dekningsbidrag 533,33 625,00 200,00 350,00 Ettersom produktene C og D gir positivt dekningsbidrag også for den høyeste internprisen, vil det lønne seg for avdeling II å produsere så mye som mulig av produktene. Optimal tilpassing blir da X C = stk. og X D = stk. i avdeling II. 7-13

183 D E S E N T R A L I S E R I N G Avdeling I vil da måtte produsere : X A = 2 / ½ = stk. A. Fra FIGUR 7-1 ser vi at da vil prosess 1 være bindende, og vi kan finne mengde B : Prosess 1 : X B = X B = stk. B. Denne løsningen vil samsvare med LP-løsningen av konsernets totalmodell. Ved en slik internpris vil isobidragslinjen til avdeling I være parallell med den til enhver tid bindende restriksjon i avdelingen, og et hvilket som helst punkt på randen av mulighetsområdet vil gi samme resultat. FIGUR 7-3. Regneark for løsning av konsernets totale LP-modell. Regnearket er definert slik: 1 A B C D E F G H 2 Produkt A B C D Totalt Kapasitet 3 4 Mengde Pris Variable DB =Pris - Variable =SUMPRODUCT($C$4:$F$4;C8:F8) 9 10 Prosess =SUMPRODUCT($C$4:$F$4;C10:F10) Prosess =SUMPRODUCT($C$4:$F$4;C11:F11) Prosess =SUMPRODUCT($C$4:$F$4;C12:F12) Prosess =SUMPRODUCT($C$4:$F$4;C13:F13) Material A 1 =-2/3 =-1/2 =SUMPRODUCT($C$4:$F$4;C14:F14) 0 TABELL 7-1. Definisjon av LP-modellen som regneark. 7-14